1 dobor struktury asortymentowej metoda geometryczna

1 dobor struktury asortymentowej metoda geometryczna

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z
przedmiotu:
Badania operacyjne
Temat ćwiczenia:
Programowanie liniowe, „metoda geometryczna”, dobór struktury
asortymentowej produkcji
Opracował:
Dr inż. Artur Berliński
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Mechatroniki
Szczecin 2011
Wprowadzenie do ćwiczeń laboratoryjnych
Metody i narzędzia pracy
W trakcie ćwiczeń laboratoryjnych omawiane są konkretne przykłady, z zakresu zastosowań
aktualnie rozważanego modelu optymalizacyjnego, różnorodnych sytuacji decyzyjnych,
występujących w zadaniach zarządzania i organizacji przedsiębiorstwem.
W każdym przykładzie wyróżniane są przy tym następujące etapy:
- sformułowanie problemu decyzyjnego (sytuacji decyzyjnej),
- budowa modelu matematycznego sytuacji decyzyjnej,
- wybór narzędzi teoretycznych oraz programu komputerowego do rozwiązywania problemu,
- wprowadzanie danych do komputera i rozwiązywanie problemu,
- analiza uzyskanego rozwiązania i wszelkich parametrów z nim związanych,
- wnioski odnośnie decyzji przyjmowanej do realizacji.
W trakcie zajęć wykorzystywane są narzędzia komputerowe, w szczególności SOLVER w
pakiecie EXCEL.
Zaliczenie
Zajęcia kończy pisemne kolokwium zaliczeniowe. Organizowane jest ono w laboratorium
komputerowym w terminie ostatniego spotkania i trwa 90 minut.
Obowiązują na nim zadania podobne do tych rozpatrywanych w trakcie zajęć.
Cel poznawczy i kształcący
Po zaliczeniu przedmiotu studenci powinni umieć:
a/ budować liniowe modele optymalizacyjne opisujące najprostsze sytuacje decyzyjne
spotykane w praktyce,
b/ dobierać właściwe narzędzia (programy komputerowe) służące do rozwiązywania
zbudowanych modeli optymalizacyjnych,
c/ korzystać z programów komputerowych rozwiązujących liniowe modele optymalizacyjne,
w szczególności:
- poprawnie wprowadzać dane i sterować procesem rozwiązywania,
- właściwie interpretować i wykorzystywać wyniki uzyskane w rozwiązaniach.
Literatura:
[1] Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A.: Badania operacyjne w przykładach i
zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN 2007
[2] Zawadzka, Ludmiła. Metody ilościowe w organizacji i zarządzaniu. Cz. 1.
[3] Filipowicz B.: Badania operacyjne. Wybrane metody obliczeniowe i algorytmy. Cz. I,
Kraków 1997.
[4] Siudak, Marek.: Badania operacyjne /. Warszawa : Oficyna Wydaw. Politechniki
Warszawskiej, 1998.
[5] Sawik Tadeusz, Badania operacyjne dla inżynierów zarządzania, Wyd. AGH, Kraków
1998.
>2<
Programowanie liniowe
Programowanie liniowe jest to sformułowanie problemu decyzyjnego w postaci zadania
optymalizacji matematycznej. Oznacza zbiór matematycznych modeli, opisujących rozpatrywaną
sytuację decyzyjną oraz zestaw metod szukania minimów lub maksimów funkcji kryterialnych.
Zagadnienie programowania liniowego to szczególny przypadek zagadnienia programowania
matematycznego, w którym wszystkie związki zachodzące między zmiennymi mają charakter
liniowy.
„Metoda geometryczna”
Zadanie programowania liniowego (PL) można zinterpretować i rozwiązać geometrycznie. W
tym celu zagadnienie PL należy przedstawić w postaci kanonicznej gdzie przestrzeń rozwiązań
X ∈ R 2 jest przestrzenia działania:
b ∈ Rn ,c ∈ R2
Interpretacja geometryczna zadania PL:
W przestrzeni działań, jeśli zbiór rozwiązań dopuszczalnych:
b ∈ Rn ,c ∈ R2
(przy czym
b ∈ R n , c ∈ R 2 jest ograniczony), to tworzy on wielościan wypukły S.
Wyrażenie z=c*X określa w przestrzeni R2 rodzinę równoległych hiperpłaszczyzn, przy czym
wektor - c prostopadły do tych hiperpłaszczyzn wskazuje kierunek malenia funkcji z. Wychodząc
z pewnej hiperpłaszczyzny należącej do tej rodziny i mającej wspólne punkty z wieloscianem S,
przy przesuwaniu jej rónolegle w kierunku malenia z, można dojść do takiego jej położenia, że
staje się ona hiperpłaszczyzną podpierającą. Jeśli ta hiperpłaszczyzna ma tylko jeden punkt
wspólny ze zbiorem X0 to punkt ten będzie punktem wierzchołkowym i zadanie PL ma jedyne
rozwiązanie optymalne.
>3<
Algorytm metody geometrycznej
(1) narysuj obszar rozwiązań dopuszczalnych i określ jego wierzchołki – jeżeli obszar
rozwiązań jest pusty - wszystkie rozwiązania są niedopuszczalne - ponownie rozważ
sformułowanie ograniczeń
(2) narysuj 2 różne wykresy Funkcji Celu (FC) i określ kierunek optymalizacji (max vs. min)
– jeżeli problem dotyczy maksymalizacji FC równolegle przesuń linię reprezentującą FC w
kierunku przyrostu jej wartości – jeżeli problem polega na minimalizacji FC przesuń linię w
kierunku przeciwnym, tj. zmniejszania się wartości FC
(3) przesuń funkcję celu znajdując „ostatni wierzchołek” – w przypadku, gdy FC jest
równoległa do jednego z boków Obszaru Rozwiązań Dopuszczalnych (ORD), wówczas problem
posiada szereg rozwiązań alternatywnych leżących pomiędzy wierzchołkami ORD. Równania
prostych, które przecinają się w punkcie wierzchołkowym tworzą układ równań określających
współrzędne punktu optymalnego
Dobór struktury asortymentowej (Alokacja środków produkcji)
Cel problemu: optymalny rozdział surowców, zdolności produkcyjnej maszyn oraz
dysponowanego czasu pracy ludzi pomiędzy poszczególne wyroby (produkty), jakie może
produkować firma.
Kryterium optymalizacji: maksymalizacja zysku.
Ograniczeniami są ilości posiadanych środków produkcji oraz technologia produkcji
stosowana w firmie.
Zmienną decyzyjną xj jest wielkość produkcji j-tego wyrobu.
Dane potrzebne do rozwiązania problemu:
• technologia produkcji [aij] = A; ilość i-tego środka produkcji potrzebna do
wyprodukowania jednostki j-tego wyrobu
• ilość posiadanych środków produkcji [bi] = B
• zysk jednostkowy [cj] = C; zysk ze sprzedaży jednostki j-tego wyrobu,
cj = (cena - koszt jednostkowy produkcji)
Metody: Programowanie liniowe. Metoda graficzna (geometryczna): przy dwu wyrobach, dla
dowolnej liczby zmiennych np. metoda simpleks. Programowanie parametryczne.
Wyniki: X = [xj] - wielkość produkcji poszczególnych wyrobów, F(X)=Z(X)=max maksymalna wartość funkcji celu - największy zysk możliwy do uzyskania w danych warunkach,
analiza wrażliwości (wyniki programowania parametrycznego).
Interpretacja wyniku: optymalny plan produkcji.
Problemy do rozwiązania w ramach ćwiczeń laboratoryjnych
Zapisać modele matematyczne, w konwencji problemu alokacji środków produkcji, oraz
opracować rozwiązanie, posługując się interpretacją geometryczną zadania, następujących
sytuacji decyzyjnych:
Zadanie 1
Optymalizacja produkcji mebli:
Fabryka mebli wytwarza szafy w dwóch gatunkach. Do ich produkcji zużywa odpowiednio:
Szafa typu 1
Szafa typu 2
Surowiec (drewno m3)
36
18
Energia kWh
30
20
Praca godz.
20
20
>4<
Fabryka dysponuje ilością: 1800m3 drewna, 1900 kWh energii oraz 1600 godzinami pracy.
Ile należy wyprodukować szaf 1 i 2 gatunku, aby zysk była maksymalny. Zysk jednostkowy ze
sprzedaży szafy 1 wynosi 30zł, a szafy 2 20zł.
Zadanie 2
Zdolność produkcyjna zakładu umożliwia wytwarzanie 200 silników elektrycznych typu A
lub 600 silników elektrycznych typu B miesięcznie. Ustalić, ile silników elektrycznych każdego
typu powinien zakład produkować. aby osiągnąć maksimum produkcji towarowej przy
następujących warunkach dodatkowych:
o silniki obu typów maja. identyczna, cenę;
o cena silnika typu A jest trzy razy większą od ceny silnika typu B.
o ceny silników typu A i B pozostają, do siebie w stosunku jak 9:2.
Zadanie 3
Oddział mechaniczny może wytworzyć w ciągu zmiany 600 detali nr 1 lub 1200 detali nr 2.
Zdolność produkcyjna oddziału obróbki cieplnej, gdzie muszą trafić oba detale w tym samym
dniu, pozwala wykonać w ciągu zmiany 1200 detali nr 1 lub 800 detali nr 2. Ceny obu detali są
identyczne. Określić dzienny program produkcji detali, maksymalizujący produkcję towarową
zakładu, przy następujących warunkach dodatkowych:
o Oba oddziały pracują na jedną zmianę.
o Oddział mechaniczny pracuje na trzy zmiany, a oddział obróbki cieplnej na dwie zmiany.
o Przedsiębiorstwo pracuje na dwie zmiany i w tym czasie musi wytworzyć nie więcej
aniżeli 800 szt. detali nr 1 i nie więcej aniżeli 1OOOszt. detali nr 2.
>5<
Zadanie 4
Przedsiębiorstwo produkuje dwa wyroby: A i B. W procesie produkcji tych wyrobów zużywa
się wiele środków, spośród których dwa są limitowane – robocizna oraz surowiec X. Limity te
wynoszą: robocizna – 36 000 roboczogodzin, surowiec – 50 000 jednostek. Na wykonanie
wyrobu A potrzeba 6 roboczogodzin oraz 10 jednostek surowca X, a na wykonanie wyrobu B
potrzeba 6 roboczogodzin oraz 5 jednostek surowca X. Ze względu na ograniczenia popytowe
produkcja wyrobu B nie może przekroczyć 4000 sztuk. Cena sprzedaży obydwu wyrobów jest
taka sama i wynosi 100 zł/szt. Ułożyć LZD, jeżeli celem przedsiębiorstwa jest maksymalizacja
przychodu.
Jak zmieni się zadanie jeśli ze względów technologicznych należałoby produkować co
najmniej trzy razy więcej wyrobu A niż wyrobu B?
Zadanie 5
Przedsiębiorstwo produkuje dwa wyroby A i B zużywając w tym celu 3 rodzaje surowców
S1, S2, S3, których zasoby wynoszą: S1 – 4kg, S2 – 9kg i S3 – 3kg. Do produkcji wyrobu A
zużywa się 3kg S1, 4kg S2 i 1kg S3. Do produkcji wyrobu B zużywa się 1kg S1, 3kg S2 i 2kg
S3. Koszt zakupu kilograma surowca wynosi: S1 – 10 PLN, S2 – 20 PLN, S3 – 20 PLN.
Przychód ze sprzedaży jednostki wyrobu to: 150 PLN za wyrób A oraz 120 PLN za wyrób B.
Wyrobu B nie należy produkować więcej aniżeli 5 jednostek. Określić asortyment produkcji
metodą geometryczną wiedząc, że przedsiębiorstwo dąży do maksymalnego zysku.
o jakie jest rozwiązanie optymalne?
o ile wynosi maksymalny zysk dla rozwiązania optymalnego?
o które surowce zostały w pełni wykorzystane?
o co stałoby się ze zbiorem rozwiązań dopuszczalnych ZRD, z rozwiązaniem
optymalnym i z wartością funkcji celu, gdyby:
•
konieczne było całkowite zużycie surowca S1?
•
zysk z tytułu sprzedaży wyrobu A wynosił 30zł, a nie 20zł?
•
konieczna była produkcja dokładnie 5 sztuk wyrobu B?
o jak można zmienić wagi funkcji celu, aby rozwiązanie optymalne pozostało takie
samo?
>6<