Autoreferat rozprawy doktorskiej - Wycena opcji indeksowych na

Autoreferat rozprawy doktorskiej - Wycena opcji indeksowych na

Autoreferat rozprawy doktorskiej
Wycena opcji indeksowych
na danych wysokiej częstotliwości.
Analiza porównawcza
Paweł Sakowski
Uniwersytet Warszawski,
Wydział Nauk Ekonomicznych.
2 czerwca 2011 r.
Streszczenie
Przedmiotem niniejszej rozprawy jest analiza własności modeli wyceny opcji
indeksowych typu europejskiego przy wykorzystaniu danych o wysokiej częstotliwości. Wśród rozpatrywanych narzędzi znajdują się modele Blacka (1976) z alternatywnymi oszacowaniami parametru zmienności, modele klasy GARCH (Bollerslev
1986, Duan 1995) oraz model zmienności stochastycznej Hestona (1993). Badanie
empiryczne przeprowadzono na 5-minutowych cenach transakcyjnych opcji i notowaniach kontraktów futures na indeksy giełdowe na trzech rynkach opcji indeksowych: polskim, japońskim i brazylijskim. Wnioski końcowe odnoszą się do wskazania najlepszego modelu wyceny opcji oraz stwierdzenia ewentualnego występowania
zależności między przeciętnym błędem wyceny a rodzajem modelu wyceny, charakterystyką wycenianej opcji (określonej przez rodzaj opcji, wartość współczynnika
moneyness oraz długość okresu zapadalności), etapem cyklu giełdowego (okresy
bessy/hossy oraz niskiej/wysokiej zmienności) oraz cechami danego rynku (związanymi z jego płynnością oraz stopniem rozwoju).
1
Wstęp
Problem prawidłowej wyceny teoretycznej instrumentów pochodnych, w tym opcji, ma
fundamentalne znaczenie dla prawidłowego funkcjonowania rynków finansowych. Zagadnienie to obecne jest zarówno w literaturze akademickiej, jak i wśród praktyków giełdowych od wielu lat wraz z ukazaniem się prac Blacka i Scholesa (1973), Mertona (1973)
oraz Blacka (1976) dotyczących teoretycznego modelu wyceny opcji typu europejskiego. W kolejnych dekadach zaproponowano wiele alternatywnych narzędzi wyceny opcji,
1
w których w mniejszym bądź większym stopniu zrezygnowano z restrykcyjnych założeń
modelu Blacka-Scholesa-Mertona (BSM). Do najpopularniejszych z nich należą modele
zmienności stochastycznej oraz modele klasy GARCH. Mimo swoich wielu niedoskonałości, model BSM pozostaje jednak w dalszym ciągu najpopularniejszym modelem wyceny
opcji.
1.1
Cel badania
Niniejsza rozprawa została poświęcona próbie kompleksowej analizy porównawczej trafności wycen opcji indeksowych skonstruowanych na podstawie trzech grup modeli dla
danych wysokiej częstotliwości. Znalazły się wśród nich modele Blacka (1976) z alternatywnymi oszacowaniami parametru zmienności, modele klasy GARCH (Engle 1982,
Bollerslev 1986) oraz model zmienności stochastycznej Hestona (1993). Narzędzia te różnią się przede wszystkich założeniami metodologicznymi odnośnie traktowania zmienności
cen instrumentu bazowego, która ma kluczowe znaczenie procesie wyceny opcji.
Badanie empiryczne przeprowadzono na 5-minutowych cenach transakcyjnych opcji
i notowaniach kontraktów futures na indeksy giełdowe na trzech rynkach opcji indeksowych: polskim, japońskim i brazylijskim. Rynki te cechuje odmienna charakterystyka
instytucjonalna oraz różny poziom płynności, co pozwala na analizę odporności metod
wyceny w różnym otoczeniu rynkowym.
Najważniejsze wnioski końcowe odnoszą się do wskazania najlepszego modelu wyceny opcji oraz do stwierdzenia ewentualnego występowania zależności między przeciętnymi
błędami wyceny a rodzajem modelu wyceny, charakterystyką wycenianej opcji (określonej
przez rodzaj opcji, wartość współczynnika moneyness 1 oraz długość okresu zapadalności), etapem cyklu giełdowego (okresy bessy/hossy oraz niskiej/wysokiej zmienności) oraz
cechami danego rynku związanymi z jego płynnością oraz stopniem rozwoju.
1.2
Motywacja
Formuła wyceny opcji w modelu Blacka (a także w modelu BSM) umożliwia m. in. zastosowanie wielu alternatywnych metod szacowania parametru zmienności σ. Rodzi to
oczywiście pytanie która z tym metod jest najwłaściwszą miarą zmienności rynkowej.
Dotyczy to zarówno samej konstrukcji miary, jak i częstotliwości obserwacji danych na
podstawie których ma ona być oszacowana. Wydaje się, że wykorzystanie danych wysokiej częstotliwości może przyczynić się do uwzględnienia większej ilości informacji o
dynamice cen instrumentu bazowego. Dane takie są obecnie dostępne w co raz większym
stopniu, a współczesne narzędzia pozwalają na ich względnie bezproblemową obróbkę.
Model Blacka (oraz BSM) charakteryzuje się względną prostotą i łatwością w praktycznym zastosowaniu. Wydaje się, że ciekawym wyzwaniem badawczym jest udzielenie
odpowiedzi na pytanie czy stosowanie bardziej skomplikowanych i czasochłonnych modeli
1
Współczynnik moneyness jest zdefiniowany jako iloraz ceny terminowej instrumentu bazowego (indeksu giełdowego) oraz ceny rozliczenia opcji.
2
wyceny opcji przekłada się na wyceny teoretyczne bardziej zbliżone do rynkowych cen
opcji.
W literaturze dotyczącej polskiego rynku finansowego brakuje jak dotąd badania,
które w kompleksowy sposób dokonałoby porównania szerszej grupy modeli wyceny opcji
oszacowanych przy wykorzystaniu danych wysokiej częstotliwości, przy jednoczesnym odniesieniu uzyskanych wyników do rynków opcyjnych o innym stopniu rozwoju. Niniejsza
rozprawa stawia sobie za zadanie wypełnienie tej luki.
1.3
Hipotezy badawcze oraz wartość dodana pracy
Główną hipotezą badawczą rozprawy jest przypuszczenie, że najbardziej efektywnym modelem wyceny opcji jest model Blacka, w którym parametr σ oszacowano na podstawie
zmienności implikowanej. Hipoteza ta oparta jest na przesłankach intuicyjnych, ale znajduje także oparcie w literaturze, gdzie możemy znaleźć wiele badań, które jako najlepszy
model do wyceny opcji wskazują właśnie model BSM ze zmiennością implikowaną (Raj
i Thurston 1998, Ferreira i inni 2005, Mixon 2009). Wyniki tych badań wskazują jednocześnie na to, że zmienność implikowana jest najbardziej precyzyjną miarą zmienności
rynkowej.
W moim zamierzeniu rozprawa niniejsza ma zawierać kilka elementów do tej pory
nieobecnych lub rzadko poruszanych w badaniach dotyczących wyceny opcji na polskim
rynku finansowym.
Pierwsza grupa korzyści ma charakter poznawczy:
• Badanie stanowi kompleksowe porównanie trzech grup popularnych modeli wyceny
opcji, tj. modelu Blacka z alternatywnymi oszacowaniami parametru zmienności,
modeli klasy GARCH oraz modelu zmienności stochastycznej Hestona, poprzez ich
bezpośrednie porównanie w różnych warunkach wyceny.
• Wyniki udzielają odpowiedzi na pytanie, które do tej pory rzadko było poruszane
w literaturze dotyczącej polskiego rynku opcyjnego: czy w porównaniu do danych
dziennych modele wyceny opcji oparte danych wysokiej częstotliwości przyczyniają
się do uzyskania wycen bardziej zbliżonych do cen rynkowych opcji?
• Porównanie międzyrynkowe umożliwia odpowiedź na pytanie czy płynność danego rynku opcyjnego oraz stopień jego rozwoju może być dodatkowym czynnikiem
wpływającym na efektywność modeli wyceny opcji.
• W przypadku rynku opcji na indeks WIG20, relatywnie długi okres badania pozwala
wyodrębnić zarówno trendy wzrostowe, jak i spadkowe indeksu, ale także umożliwia
zbadanie zachowania modeli wyceny w okresach wysokiej i niskiej zmienności.
• Badanie daje także odpowiedź na pytanie o zasadność stosowania złożonych, skomplikowanych oraz bardziej czasochłonnych w praktycznym zastosowaniu modeli klasy GARCH oraz zmienności stochastycznej w miejsce prostszego, choć opartego na
3
silniejszych i często nierealistycznych założeniach, modelu Blacka (oraz tym samym
modelu BSM).
Drugą grupę korzyści stanowią zastosowane w badaniu empirycznym rozwiązania o
charakterze metodologicznym:
• Zastosowanie danych wysokiej częstotliwości umożliwiło zastosowanie w modelu
Blacka relatywnie szerokiej gamy miar zmienności, które w porównaniu do danych
dziennych potrafią dostarczyć dodatkowych informacji o dynamice rynku. Oprócz
zmienności historycznej i implikowanej w analizie uwzględniono także zmienność
zrealizowaną oraz estymatory zrealizowanego zakresu zmian, Garmana-Klassa i
Rogersa-Satchella.
• Przeprowadzono analizę odporności miar zmienności zastosowanych w modelu Blacka oraz uzyskanych wyników na zmiany szerokości interwału ∆ i wartości parametru
uśredniania n.
• Duża liczba wycen teoretycznych (ponad 430 tys. dla rynku polskiego i ponad 450
tys. dla rynku japońskiego) zwraca uwagę na występowanie wśród błędów wycen
opcji wartości nietypowych (ang. outliers). W przypadku badań, w których wycena
odbywa się na jeden moment w czasie taka analiza nie jest możliwa a co więcej,
wyniki uzyskane w ten sposób są narażone na ryzyko wystąpienia takich wartości.
• Wycena opcji odbywa się na podstawie cen terminowych indeksu (tj. cen kontraktów futures wystawionych na indeks) a nie w oparciu o notowania samego indeksu. Podejście takie jest możliwe dzięki wygasaniu opcji w tym samym terminie
co odpowiadających im serii kontraktów futures. Umożliwia to ominięcie problemu
związanego z założeniem modelu BSM odnośnie ciągłego charakteru dywidendy
wypłacanej przez instrument bazowy.
2
Modele wykorzystane w badaniu
Wśród rozpatrywanych narzędzi znajdują się modele Blacka (1976) z alternatywnymi
oszacowaniami parametru zmienności, modele klasy GARCH (Bollerslev 1986, Duan
1995) oraz model zmienności stochastycznej Hestona (1993).
2.1
Model Blacka oraz zastosowane miary zmienności
Do pierwszej grupy wykorzystanych narzędzi należą modele Blacka (1976), w których do
oszacowania stałego w czasie parametru zmienności zastosowano sześć alternatywnych
miar: zmienność historyczną (HV), zmienność zrealizowaną (RV), zrealizowany zakres
zmian (RR, ang. realized range), estymatory Garmana-Klassa (GK) i Rogersa-Satchella
(RS) oraz zmienność implikowaną (IV).
4
Model Blacka jest rozszerzeniem modelu Blacka-Scholesa-Mertona (BSM) pozwalającym na wycenę opcji wystawionych na kontrakt futures. W badaniu empirycznym potraktowano go jednak jako model równoważny modelowi BSM z uwagi na fakt, iż terminy
wygaśnięcia wszystkich analizowanych serii opcji pokrywały się z terminami wygaśnięcia odpowiednich serii kontraktów futures. W takich warunkach wyceny cenę teoretyczną
opcji wystawionej na kontrakt futures na instrument bazowy możemy traktować jako równoważną cenie teoretycznej opcji wystawionej bezpośrednio na rozpatrywany instrument
bazowy (Hull 2008). Zasadniczą korzyścią z takiego podejścia jest możliwość uniknięcia
obciążenia w modelu BSM wynikającego z nierealistycznego założenia o ciągłym charakterze dywidendy wypłacanej przez instrument bazowy.
Wybór właściwej miary zmienności nie jest oczywisty, z uwagi na nieobserwowalność
zmienności oraz jej zmienność w czasie i tendencję do tworzenia skupisk (grupowanie się
zmienności). Szacowanie parametru zmienności przeprowadzono dla czterech szerokości
interwału obserwacji ∆ (5, 10, 15 i 30 minut)2 oraz dziewięciu wartości parametru n (0,
1, 2, 3, 5, 10, 21, 42 i 63 dni), który określa stopień uśredniania zmienności w procesie
jej szacowania. Podejście takie pozwala odpowiedzieć na pytanie o optymalne wartości
parametrów ∆ i n.
Poniżej przedstawiono podstawowe informacje na temat konstrukcji miar zmienności
wykorzystanych w modelach Blacka.
Zmienność historyczna (HV) została oszacowana jako odchylenie standardowe dziennych zwrotów kontraktów futures w okresie ostatnich n = 63 dni handlowych.
Zmienność zrealizowaną (RV) określono jako sumę ostatnich N∆ zwrotów śróddziennych, gdzie N∆ jest liczbą zwrotów śróddziennych w ciągu jednego dnia handlowego.
Zrealizowany zakres zmian (RR) oparty jest na różnicy między maksymalną a minimalną ceną terminową indeksu dla danego interwału o szerokości ∆.
Estymator Garmana-Klassa (GK) wykorzystuje dodatkowo informacje na temat ceny otwarcia i zamknięcia dla danego interwału o szerokości ∆.
Estymator Rogersa-Satchella (RS) oparty jest na tych samych informacjach co estymator GK, lecz jego nieco odmienna konstrukcja zapewnia, iż pozostaje on estymatorem nieobciążonym niezależnie od występowania dryfu w szeregu cen.
Zmienność implikowana (IV) została określona na podstawie modelu Blacka w oparciu o ostatnią obserwowaną cenę transakcyjną opcji.
2
Dość powszechnie w literaturze z ekonometrii finansowej akceptowany jest pogląd, że agregacja danych wysokiej częstotliwości do przedziałów o długości od ∆ = 5 min. do ∆ = 30 min. jest rozsądnym
kompromisem między chęcią uniknięcia obciążenia wynikającego z tzw. mikrostruktury rynku (microstructure bias) i zniekształceń wynikających z braku synchronizacji transakcji z kwotowaniami (nonsynchronous bias).
5
Szczegóły konstrukcji powyższych miar wraz z formułami matematycznymi przedstawiono w punktach 2.2 oraz 2.3 rozprawy. Przed zastosowaniem w modelu Blacka,
wszystkie miary zmienności zostały zannualizowane.
2.2
Modele klasy GARCH
Drugą grupę stanowią modele klasy GARCH, w których zmienność cen instrumentu
bazowego jest szacowana za pomocą zmiennej w czasie funkcji warunkowej wariancji.
Uwzględniono wśród nich trzy modele: standardowy model GARCH (Bollerslev 1986),
model GARCHt (Bollerslev 1987), w którym warunkowym rozkładem reszt jest rozkład
t-Studenta oraz model wykładniczy EGARCH (Nelson 1991), który uwzględnia asymetryczną reakcję funkcji warunkowej wariancji na informacje napływające na rynek. Wybór
tych trzech modeli umożliwia ocenę wpływu na wycenę opcji uwzględnienia dwóch ważnych stylizowanych faktów dotyczących dynamiki stóp zwrotu instrumentu bazowego, tj.
leptokurtycznego charakteru rozkładu zwrotów oraz ujemnej korelacji między zmiennością a wielkością zwrotu (efektu dźwigni).
Wycenę opcji w oparciu o tę klasę modeli przeprowadzono na podstawie metodologii Duana (1995). W podejściu takim, w pierwszym etapie, dla każdego 5-minutowego
interwału oszacowano parametry modeli przy założeniu, że dynamika stóp zwrotu i warunkowej wariancji określona jest względem fizycznej miary prawdopodobieństwa P. Drugi
etap obejmował oszacowanie wartości oczekiwanych zdyskontowanych wypłat opcji (które stanowią jednocześnie teoretyczną cenę opcji) dla następnego interwału w oparciu o
symulacje Monte-Carlo, których dokonywano na podstawie równań opisujących dynamikę
stóp zwrotu i warunkowej wariancji względem miary martyngałowej Q.
2.3
Model zmienności stochastycznej Hestona
Trzecią grupę reprezentuje model zmienności stochastycznej Hestona (1993), w którym,
w odróżnieniu od modelu Blacka, zmienność jest traktowana jako realizacja pewnego
procesu stochastycznego. Zakłada się dodatkowo, że proces ten może być skorelowany
z procesem opisującym dynamikę cen instrumentu bazowego. Zasadniczą zaletą modelu
Hestona (w porównaniu z modelem BSM) jest możliwość zastosowania różnych rozkładów zwrotów (w tym skośnych i leptokurtycznych) i uwzględnienia różnych powierzchni
zmienności implikowanej zwrotów oraz efektu grupowania zmienności.
Kalibrację parametrów równań modelu Hestona przeprowadzono za pomocą metod
optymalizacji globalnej i lokalnej (gradientowej) w oparciu o ceny transakcyjne opcji kupna dla 1-godzinnego interwału. Następnie, oszacowania tych parametrów zostały wykorzystane do określenia cen teoretycznych opcji kupna i sprzedaży dla kolejnego interwału
1-godzinnego.
6
3
Dane
Badanie empiryczne przeprowadzono na 5-minutowych cenach transakcyjnych opcji i notowaniach kontraktów futures na indeksy giełdowe na trzech rynkach opcji indeksowych:
polskim (opcje na indeks WIG 20), japońskim (opcje na indeks NIKKEI 225) oraz brazylijskim (opcje na indeks BOVESPA). Dane obejmują okres 23/9/2003-19/8/2010 dla
rynku polskiego oraz 1/1/2008-30/6/2008 dla rynków japońskiego i brazylijskiego. Wybrane do analizy rynki opcyjne różnią się między sobą istotnie pod względem rozwoju i
oferowanej płynności, co pozwala także uwzględnić w analizie ten czynnik jako potencjalne źródło obciążenia modeli wyceny.
Zastosowanie danych wysokiej częstotliwości opiera się na przypuszczeniach, że w
odróżnieniu od notowań dziennych, mogą one dostarczyć dodatkowych informacji dotyczących zachowania rynku w trakcie sesji, szczególnie w okresach o wysokiej zmienności.
Wysoka częstotliwość danych pozwala na uwzględnienie szerszej gamy miar zmienności
natomiast kilkuletni horyzont czasowy obejmujący zarówno wzrosty, jak i spadki indeksów umożliwia badanie okresów o wysokiej i niskiej zmienności rynków. Uzyskany w ten
sposób relatywnie duży zbiór z cenami transakcyjnymi daje możliwość porównania rozpatrywanych modeli w różnych warunkach wyceny.
Główne badanie poprzedzono analizą płynności rozpatrywanych rynków. Liczba transakcji opcyjnych na polskim rynku była ok. dziesięciokrotnie niższa niż na rynku japońskim
i jednocześnie ok. dziesięciokrotnie wyższa niż na rynku brazylijskim3 . Rozkład obrotów
(zarówno wolumenu, jak i jego wartości) okazał się jednak podobny na wszystkich trzech
rynkach. Zdecydowanie większy obrót zaobserwowano wśród opcji OTM i ATM4 , na których koncentrują się głównie inwestorzy spekulacyjni, zaś niższe obroty związane są z
opcjami ITM i mocno ITM, które są popularne przeważnie wśród dużych inwestorów
instytucjonalnych.
4
Wyniki oraz wnioski końcowe
Wyniki przedstawiono uwzględniając podział opcji ze względu na ich rodzaj (opcje kupna
i sprzedaży), wartość współczynnika moneyness (5 klas opcji) oraz długość terminu do
wygaśnięcia (także 5 klas).
Ocenę efektywności rozpatrywanych modeli wyceny przeprowadzono poprzez bezpośrednie porównanie teoretycznych cen opcji uzyskanych w tych modelach z cenami transakcyjnymi opcji za pomocą statystyk błędów ex-post. Porównań takich dokonano dla
każdego 5-minutowego interwału. Do określenia błędu wyceny wykorzystano głównie medianowy bezwzględny błąd procentowy (MdAPE) oraz wskaźnik przeszacowań cen transakcyjnych.
3
Proporcje takie uzyskano dla okresu 1/1/2008-30/6/2008.
OTM (ang. out-of-the-money) – opcja poza ceną, ATM (ang. at-the-money) – opcja po cenie, ITM
(ang. in-the-money) – opcja w cenie.
4
7
Ranking modeli
Wyniki badania empirycznego wskazują na istotne różnice między przeciętnymi błędami wycen teoretycznych wśród analizowanych modeli. Kolejność modeli, od najlepszego
do najgorszego, zależy jednak w pewnym stopniu od cech rynku i poziomu zmienności
instrumentu bazowego. Na ranking taki nie wpływają natomiast istotnie takie czynniki jak charakterystyka opcji (rodzaj opcji, wartość współczynnika moneyness, okres do
wygaśnięcia) oraz podział na okresy bessy i hossy.
Zgodnie z przypuszczeniami, najlepszym modelem okazał się model Blacka, w którym parametr zmienności σ został oszacowany na podstawie zmienności implikowanej (BIV). Model ten uzyskał najniższe przeciętne błędy wyceny na trzech rynkach, w
większości analizowanych klas opcji. Wynik taki sugeruje, że zmienność implikowana jest
najbardziej precyzyjną miarą zmienności cen instrumentu bazowego, zaś wyceny modelu
BIV mogą stanowić punkt odniesienia dla nowych koncepcji wycen teoretycznych opcji.
Za drugi najlepszy model można uznać model zmienności stochastycznej Hestona. Jego wyniki są jednak dość silnie zróżnicowane w zależności od dwóch czynników.
Pierwszym z nich jest stopień rozwoju rynku i ilość oferowanych na nim opcji z różnymi
terminami do wygaśnięcia. Najniższe przeciętne błędy wyceny zaobserwowano na rynku
japońskim, gdzie w procesie kalibracji tego modelu wykorzystano opcje z sześcioma różnymi terminami zapadalności, najwyższe zaś na rynku polskim, gdzie dostępne są opcje z
dwoma terminami do wygaśnięcia. Drugim czynnikiem jest poziom zmienności. Dla rynku
polskiego model Hestona uzyskał znacznie lepsze rezultaty w okresie wysokiej zmienności. Należy podkreślić także fakt, iż stosowanie modelu Hestona w praktyce jest bardziej
problematyczne niż w przypadku modelu Blacka. Istotnym wyzwaniem dla badacza jest
jego prawidłowa kalibracja, głównie z uwagi na skomplikowany charakter algorytmów
optymalizacyjnych oraz długi czas ich działania.
Na dalszych miejscach znalazły się podobnie zachowujące się model Blacka ze
zmiennością historyczną oszacowaną na podstawie dziennych stóp zwrotu z ostatnich 63 dni (BHV) oraz model Blacka ze zmiennością zrealizowaną dla interwału
5-minutowego i uśrednioną w okresie także ostatnich 63 dni (BRV5m 63). Porównywalne
wyniki modeli BHV i BRV5m 63 związane są ze zbliżonymi przebiegami oszacowanych
szeregów zmienności historycznej i uśrednionej zrealizowanej. Nieco gorszy rezultat osiągnął model Blacka ze zmiennością zrealizowaną oszacowaną bez procesu uśredniania (BRV5m). Przypuszczalną przyczyną okazała się dość wysoka wahliwość zmienności zrealizowanej (ang. volatility of volatility) oszacowanej dla danych o 5-minutowym
interwale obserwacji.
Słabiej od oczekiwań wypadły zaś modele klasy GARCH. Mimo, iż potrafią one
uwzględnić wiele stylizowanych faktów dotyczących dynamiki stóp zwrotu i ich zmienności, to ich przeciętne błędy wyceny są wyższe w porównaniu z modelem Blacka ze
zmiennością historyczną (BHV). Po drugie, modele te zachowują się między sobą do pewnego stopnia podobnie i trudno jest uznać ich własności uwzględniające leptokurtyczny
charakter zwrotów (model GARCHt-M) czy asymetryczną reakcję funkcji warunkowej
8
wariancji (model EGARCH-M) za czynnik istotnie wpływający na jakość teoretycznych
wycen opcji. W praktycznym zastosowaniu modele te są także dość problematyczne. Wiele
kłopotów może sprawić proces estymacji parametrów, zaś uzyskane oceny są często niestabilne i często wrażliwe na obecne w danych wysokiej częstotliwości skoki stóp zwrotu.
Mogą także nie spełniać warunku stacjonarności funkcji warunkowej wariancji. Problemy
estymacyjne nasilają się w okresach wysokiej zmienności i, co ważne, nie da się ich ominąć w prosty sposób poprzez stosowanie alternatywnych algorytmów maksymalizujących
funkcję wiarygodności.
Ranking modeli zamykają modele Blacka z estymatorami zrealizowanego zakresu zmian (BRR5m 63), Garmana-Klassa (BGK5m 63) oraz Rogersa-Satchella
(BRS5m 63), oszacowanymi dla interwału 5-minutowego i uśrednionymi w okresie ostatnich 63 dni. Modelom tym możemy przypisać zdecydowanie najwyższe przeciętne błędy
wyceny, choć należy przyznać, że w niektórych klasach analizowanych opcji błędy te nie
różniły się znacząco od błędów modelu najlepszego. Wydaje się, że główną przyczyną
słabej jakości wycen są istotnie niższe poziomy zmienności oszacowanej przez estymatory
RR, GK i RS w porównaniu do zmienności historycznej i zrealizowanej (dla tych samych
szerokości interwału obserwacji ∆ oraz wartości parametru uśredniania n).
Powyższy ranking modeli został potwierdzony przez statystyki częstości najlepszych
wycen w pojedynczym interwale czasowym. Statystyki te do pewnego stopnia różnią się
w zależności od wartości współczynnika moneyness, okresu zapadalności i rodzaju opcji
(kupna/sprzedaży), choć w dalszym ciągu modelem uzyskującym wycenę teoretyczną
najbardziej zbliżoną do ceny rynkowej opcji jest najczęściej model Blacka ze zmiennością
zrealizowaną (BIV).
Zależność przeciętnych błędów od charakterystyk opcji
Wykorzystana w prezentacji wyników klasyfikacja opcji pozwala na łatwą identyfikację
potencjalnych zależności między wielkością błędów a wartościami współczynnika moneyness, długością okresu do wygaśnięcia opcji oraz rodzajem opcji. W istocie, na wszystkich
trzech rozpatrywanych rynkach obserwujemy silny spadek przeciętnych błędów wyceny
wraz ze wzrostem współczynnika moneyness dla opcji kupna i wraz z jego spadkiem
dla opcji sprzedaży. Najwyższe przeciętne błędy obserwujemy wśród opcji mocno OTM,
najniższe zaś wśród opcji mocno ITM. Efekt taki związany jest zapewne z faktem, iż
największą aktywność na rynku opcji o niskich wartościach (mocno OTM, OTM, ATM
oraz opcje z krótkimi terminami do wygaśnięcia) przejawiają przede wszystkim inwestorzy spekulacyjni, natomiast główną grupą graczy na rynku opcji o wysokich wartościach
(ITM, mocno ITM oraz opcje z długimi terminami zapadalności) są w większości inwestorzy instytucjonalni, którzy mając dostęp do szerszego zbioru informacji i odpowiednich
narzędzi, mogą dokonywać bardziej precyzyjnych wycen opcji.
Wśród opcji mocno OTM możemy także zauważyć największe zróżnicowanie błędów
między modelami, natomiast dla opcji mocno ITM wybór modelu ma relatywnie mniejsze
znaczenie (szczególnie dla krótkich terminów do wygaśnięcia, gdzie dla większości modeli
9
błędy są niekiedy niższe niż 0,1% wartości rynkowej opcji).
Na rynku polskim i japońskim zaobserwowano także istotną zależność między wielkością przeciętnego błędu wyceny a czasem pozostającym do wygaśnięcia opcji. Dla opcji
mocno OTM i OTM wyższe błędy odnotowujemy dla opcji z krótkimi okresami zapadalności. Odwrotny efekt da się zaobserwować wśród opcji ITM oraz mocno ITM, gdzie
przeciętne błędy dla krótkich okresów do wygaśnięcia są zdecydowanie niższe. Efekt ten
nie jest natomiast widoczny na rynku brazylijskim. Należy także zauważyć, że w porównaniu z efektem współczynnika moneyness, okres zapadalności opcji jest mniej istotnym
czynnikiem różnicującym zarówno modele, jak i klasy opcji pod względem przeciętnego
błędu wyceny.
W zdecydowanej większości przypadków wnioski dla opcji sprzedaży są takie same jak
dla opcji kupna. Rodzaj opcji nie jest zatem czynnikiem, który w istotny sposób różnicuje
ceny transakcyjne opcji pod względem przeciętnych błędów wycen.
Zasadność stosowania danych wysokiej częstotliwości
Odpowiedź na pytanie o zasadność stosowania danych wysokiej częstotliwości nie jest
niestety jednoznaczna i zależy od stosowanego modelu oraz od płynności rynku opcyjnego.
Z jednej strony zmieniając szerokość interwału obserwacji ∆ najniższe błędy uzyskano
dla interwału 5-minutowego, najwyższe zaś dla 30-minutowego. Stosując dane wysokiej
częstotliwości uzyskujemy także możliwość zastosowania większej liczby miar zmienności,
także w wersji uśrednionej.
Z drugiej zaś strony, owe dodatkowe miary okazały się być mniej dokładnymi metodami szacowania zmienności rynkowej w porównaniu ze zmiennością implikowaną (przynajmniej z punktu widzenia jakości teoretycznych wycen opcji). Co ważniejsze, w przypadku
danych wysokiej częstotliwości trudniejszy staje się proces estymacji parametrów modeli
klasy GARCH. Uzyskane oceny parametry są niestabilne w czasie, zdarza się także, że
nie spełniają one założeń odnośnie stacjonarności funkcji warunkowej wariancji w tych
modelach. Wydaje się, że prawdopodobną przyczyną tych problemów są wysokie wartości zwrotów na otwarciu sesji (ang. opening jumps) oraz fakt, że wraz ze zmniejszaniem
szerokości interwału obserwacji kurtoza rozkładów zwrotów istotnie wrasta. Zaobserwowano także, że powyższe problemy nasilają się w okresie wysokiej zmienności (dla rynku
polskiego).
Efekt zmiany parametru uśredniania oszacowań zmienności
W badaniu empirycznym uwzględniono także koncepcję uśredniania uzyskanych szeregów
oszacowań zmienności rynkowej (Ślepaczuk i Zakrzewski 2009). Podejście takie pozwala zwiększyć efektywność miar zmienności przy jednoczesnym wykorzystaniu informacji
ukrytych w danych wysokiej częstotliwości. Dla większości analizowanych miar zmienności w modelu Blacka oszacowanych na podstawie danych z 5-minutowych interwałem
obserwacji, najniższe przeciętne błędy wyceny uzyskano dla parametru uśredniania równego ostatnim 63 dniom handlowym. Z drugiej strony, wyniki dla modelu Blacka z es10
tymatorami RR, GK i RS okazały się istotnie gorsze od modelu Blacka ze zmiennością
implikowaną.
Wpływ etapów cyklu giełdowego
Relatywnie długi okres badania dla rynku polskiego pozwolił na wyodrębnienie okresów
bessy i hossy oraz niskiej i wysokiej zmienności rynku. W przypadku pierwszego podziału
nie zaobserwowano istotnych różnic między uzyskanymi wynikami. Natomiast w drugim
przypadku są one już zauważalne. Z jednej strony możemy zauważyć istotną poprawę
wyników dla modelu Hestona oraz w mniejszym stopniu wśród opcji mocno OTM, OTM
i ATM dla pozostałych modeli, z wyjątkiem modeli klasy GARCH. Dla tych ostatnich w
okresie wysokiej zmienności zwrotów instrumentu bazowego nasilają się problemy natury
ekonometrycznej: oceny parametrów są niestabilne, często nie spełniają warunków zapewniających stacjonarność funkcji warunkowej wariancji a algorytmy maksymalizujące
funkcję wiarygodności mają problemy z osiągnięciem zbieżności.
Różnice między rynkami
Uwzględnienie w analizie trzech istotnie różniących się rynków pozwala także zauważyć,
że stopień rozwoju rynku opcyjnego oraz jego płynność do pewnego stopnia mają wpływ
na efektywność rozpatrywanych modeli wyceny. Najbardziej jest to widoczne w przypadku modelu Hestona, który na rynku japońskim okazał się tylko nieznacznie gorszy od
modelu Blacka ze zmiennością implikowaną a w niektórych klasach był nawet modelem
najlepszym. Z drugiej strony, ten sam model na polskim rynku opcyjnym charakteryzował się największymi błędami wyceny (z wyjątkiem okresu o wysokiej zmienności rynku).
Na rozwiniętych rynkach opcyjnych spotykamy opcje o szerszym zakresie terminów zapadalności, co ma duże znaczenie dla procesu kalibracji modelu Hestona.
Konsekwencją niższej płynności rynku brazylijskiego są z kolei nieco wyższe błędy
modelu BIV w porównaniu do dwóch pozostałych rynków. Za prawdopodobną przyczynę
można uznać duże przerwy między kolejnymi transakcjami opcyjnymi oraz występowanie
tzw. efektu braku synchronizacji parametrów (ang. nonsynchronous bias), czyli sytuację,
w której do obliczenia zmienności implikowanej relatywnie często wykorzystywane są ceny
transakcyjne mocno odległe od momentu wyceny.
Zasadność stosowania skomplikowanych modeli wyceny
Powyższe wyniki oraz wnioski skłaniają także do postawienia pytania o zasadność stosowania bardziej skomplikowanych modeli wyceny opcji w miejsce modelu Blacka (względnie
modelu BSM). Mimo swoich niedoskonałości model BSM oraz jego modyfikacje wymagają o wiele mniejszych nakładów w praktycznej implementacji. Szacowanie zmienności
implikowanej w modelu Blacka (oraz BSM) opiera się co prawda także na technikach numerycznych, ale z praktycznego punktu widzenia jest to proces zdecydowanie łatwiejszy
niż kalibracja modelu Hestona czy estymacja parametrów w modelu GARCH. W przy-
11
padku tych ostatnich stosowane jest podejście symulacyjne, które jest czasochłonne, zaś
uzyskane na ich podstawie rezultaty są często wrażliwe na wybór konkretnych algorytmów
estymacyjnych i optymalizacyjnych.
Biorąc pod uwagę uzyskane wyniki, można jednak wysnuć przypuszczenie, że w przypadku modelu Hestona trud ten może się opłacić. Warunkiem jest kalibracja oparta na
cenach transakcyjnych opcji z możliwie wieloma różnymi terminami zapadalności. To
z kolei jest możliwe na najbardziej rozwiniętych rynkach opcyjnych oferujących inwestorom wysoką płynność. Z drugiej strony, trudno jest znaleźć przesłanki za tym, aby
uznać modele klasy GARCH oparte na metodologii Duana (1995) za bardziej atrakcyjne w porównaniu z modelem Blacka ze zmiennością implikowaną. Wydaje się jednak, że
rozszerzenie tego podejścia o możliwość uwzględnienia skoków zarówno wśród zwrotów
instrumentu bazowego, jak i w korelacji między zwrotami a zmiennością (Duan i inni
2006, Duan i inni 2007) czy też kalibracja modelu GARCH w oparciu o ceny rynkowe
opcji (Barone-Adesi i inni 2008) mogą w znacznym stopniu korzystnie wpłynąć na jakość
uzyskiwanych wycen przez modele klasy GARCH.
Wpływ nietypowych wartości błędów
Na koniec warto jeszcze podkreślić znaczenie problemu występowania błędów wycen o
nietypowo wysokich wartościach. Błędy takie pojawiają się relatywnie częściej w przypadku danych o wysokiej częstotliwości obserwacji. Ich wartości niekiedy są na tyle wysokie, że nawet przy względnie niskiej liczebności w stosunku do całkowitej liczby wycen
teoretycznych w danej klasie opcji, średnia wartość błędu może być w istotny sposób
zawyżona. W konsekwencji, rozkłady błędów wycen charakteryzują się wysoką wartością
współczynnika asymetrii. Aby uniknąć arbitralnego rozwiązania polegającego na usunięciu problematycznych obserwacji (najczęściej cen transakcyjnych opcji o niskiej wartości,
tj. opcji mocno OTM z krótkim terminem wygaśnięcia), jako miarę przeciętnego błędu
w miejsce wartości średniej zastosowano medianę rozkładu.
Literatura
Barone-Adesi G., Engle R. F. i Mancini L. (2008). A GARCH option pricing model with filtered
historical simulation. Review of Financial Studies, 21(3):1223–1258.
Black F. (1976). The pricing of commodity contracts. Journal of Financial Economics, 3:167–
179.
Black F. i Scholes M. (1973). The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political
Economy, 81(3):637–654.
Bollerslev T. (1986). Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity. Journal of
Econometrics, 31(3):307–327.
Bollerslev T. (1987). A conditionally heteroskedastic time series model for speculative prices
and rates of return. The Review of Economics and Statistics, 69(3):542–547.
12
Duan J.-C. (1995). The GARCH option pricing model. Mathematical Finance, 5(1):13–32.
Duan J.-C., Ritchken P. i Sun Z. (2006). Approximating GARCH-Jump models, Jump-Diffusion
processes, and option pricing. Mathematical Finance, 16(1):21–52.
Duan J.-C., Ritchken P. i Sun Z. (2007). Jump-starting GARCH: Pricing and hedging options
with jumps in returns and volatilities. Working Paper 07/35, Risk Management Institute.
Engle R. F. (1982). Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance
of United Kingdom inflation. Econometrica, 50(4):987–1007.
Ferreira E., Gago M., León A. i Rubio G. (2005). An empirical comparison of the performance
of alternative option pricing models. Investigaciones Economicas, 29(3):483–523.
Heston S. L. (1993). A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options. Review of Financial Studies, 6(2):327 –343.
Hull J. C. (2008). Options, Futures & Other Derivatives. Prentice Hall, 7 edition.
Merton R. C. (1973). Theory of rational option pricing. The Bell Journal of Economics and
Management Science, 4(1):141–183.
Mixon S. (2009). Option markets and implied volatility: Past versus present. Journal of Financial Economics, 94(2):171–191.
Nelson D. B. (1991). Conditional heteroskedasticity in asset returns: A new approach. Econometrica, 59(2):347–370.
Raj M. i Thurston D. C. (1998). Transactions data examination of the effectiveness of the
Black model for pricing options on Nikkei index futures. Journal of Financial and Strategic
Decisions, 11(1):37–45.
Ślepaczuk R. i Zakrzewski G. (2009). Emerging versus developed volatility indices. the comparison of VIW20 and VIX indices. Working Paper 11/2009 (21), University of Warsaw, Faculty
of Economic Sciences.
13