Ambitne zadania dla umiej¡cych programowa¢

Ambitne zadania dla umiej¡cych programowa¢

Ambitne zadania dla umiej¡cych programowa¢ - zestaw I
Kwadrat ªaci«ski
n × n to tabelka (macierz) wymiaru n × n w którym w ka»dym
1, 2, . . . , n wyst¦puje dokªadnie jeden raz. Przykªady poni»ej.
wierszu i w ka»dej
kolumnie ka»dy z elementów
1
2
3
4
5
6
7
2
1
6
5
7
3
4
3
7
1
2
4
5
6
4
6
2
1
3
7
5
5
4
7
3
6
2
1
6
5
4
7
2
1
3
Na te kwadraty mo»na spogl¡da¢ jako na zbiór
tabelka) oraz
ale
1
2
3
4
5
6
7
2
1
6
7
4
3
5
3
4
1
5
6
7
2
4
3
5
1
7
2
6
7
6
4
2
1
5
3
6
5
7
3
2
1
4
5
7
2
6
3
4
1
G = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} z zadanymi na nim dziaªaniami ◦ (pierwsza
(G, ◦) oraz (G, ?). Tutaj zapis a ◦ b = c
si¦ wiersza a i kolumny b znajduje si¦ element c. Przykªadowo:
(druga tabelka). Mo»na wi¦c traktowa¢ je jako algebry
?
oznacza, »e w pierwszej tabelce na przeci¦ciu
2 ◦ 5 = 4,
7
3
5
6
1
4
2
2?5=6
w drugiej tabelce.
Ka»dy kwadrat wyznacza pi¦¢ nowych kwadratów (nazywanych parastrofami) z dziaªaniami ◦i ,
i = 1, 2, 3, 4, 5,
gdzie
x ◦1 y
x ◦2 y
x ◦3 y
x ◦4 y
x ◦5 y
=z
=z
=z
=z
=z
←→ x · z = y
←→ y · z = x
←→ y · x = z
←→ z · y = x
←→ z · x = y
Drugi z wy»ej podanych kwadratów jest parastrofem pierwszego bo odpowiada algebrze
(G, ◦4 ).
Je±li dla dwóch kwadratów ªaci«skich tego samego wymiaru istniej¡ trzy funkcje (permutacje)
zorowuj¡ce zbiór
G = {1, 2, ..., n}
α, β, γ
odw-
na siebie oraz speªniaj¡ce warunek γ(x ?1 y) = α(x) ?2 β(y) dla dowolnych
x, y ∈ G, gdzie ?1 odpowiada jednemu kwadratowi a ?2 drugiemu, to mówimy »e te kwadraty (czyli algebry
(G, ?1 ), (G, ?2 )) s¡ izotopijne. Je±li istniej¡ funkcje α0 , β 0 , γ 0 speªniaj¡ce warunek γ 0 (x ?1 y) = α0 (y) ?2 β 0 (x)
dla dowolnych x, y ∈ G to kwadraty s¡ antyizotopijne.W przypadku α = β = γ mówimy, »e kwadraty s¡
izomorczne, a w przypadku α0 = β 0 = γ 0 antyizomorczne.
Kwadrat ªaci«ski odpowiadaj¡cy algebrze (G, ?) jest super twardy je±li warunek γ(x ? y) = α(x) ? β(y)
dla wszystkich x, y ∈ G jest speªniony jedynie w przypadku gdy α(x) = β(x) = γ(x) = x dla wszystkich x ∈ G. Podobnie kwadrat ªaci«ski odpowiadaj¡cy algebrze (G, ?) jest super sztywny je±li warunek
γ(x ? y) = α(y) ? β(x) dla wszystkich x, y ∈ G jest speªniony jedynie w przypadku gdy α(x) = β(x) = γ(x) = x
dla wszystkich x ∈ G.
Zadanie 1.1.
Napisa¢ program komputerowy wyznaczaj¡cy wszystkie parastrofy podanego (z klawiatury)
kwadratu i sprawdzaj¡cy które z nich s¡ izotopijne (antyizotopijne) mi¦dzy sob¡. Dla kwadratow izotopijnych
(antyizotopijnych) komputer powinien poda¢ te trzy permutacje wyznaczaj¡ce dan¡ izotopi¦ (antyizotopi¦).
Zadanie 1.1a.
(ªatwiejsze) Napisa¢ program komputerowy sprawdzaj¡cy czy dwa podane (z klawiatury)
kwadraty ªaci«skie s¡ izotopijne lub antyizotopijne. Dla kwadratow izotopijnych (antyizotopijnych) komputer
powinien poda¢ te trzy permutacje
Zadanie 1.2.
α, β, γ
wyznaczaj¡ce dan¡ izotopi¦ (antyizotopj¦).
Napisa¢ program komputerowy sprawdzaj¡cy czy podany (z klawiatury) kwadrat ªaci«ski jest
super twardy (super sztywny). Je±li taki nie jest to odpowied¹ powinna podawa¢ jeden ukªad odwzorowa« (permutacji)
α, β, γ
Zadanie 1.3.
przy którym speªniony jest warunek
γ(x ? y) = α(x) ? β(y) (odpowiednio γ(x ? y) = α(y) ? β(x)).
Napisa¢ program komputerowy wyznaczaj¡cy wszystkie super twarde (super sztywne) kwadraty
ªaci«skie danego wymiaru.