Las (forest)– graf nie zawierający cykli Drzewo (tree) – las spójny

Las (forest)– graf nie zawierający cykli
Drzewo (tree) – las spójny
Liść (leaf) – wierzchołek stopnia 1
Drzewo rozpinające/spinające grafu spójnego G – drzewo
powstałe z grafu G po usunięciu cykli (poprzez usunięcie
pojedynczych krawędzi dla każdego z cykli).
Las spinający dowolnego grafu G – las powstały poprzez
utworzenie drzewa rozpinającego dla każdej składowej spójnej
grafu G.
Rząd cykliczności grafu G – liczba usuniętych krawędzi przy
tworzeniu lasu spinającego (=m-n+k gdzie m – liczba krawędzi, n –
liczba wierzchołków, k – liczba składowych)
Rząd rozcięcia/spójności grafu G – liczba krawędzi w lesie
spinającym (=n-k gdzie n – liczba wierzchołków, k – liczba
składowych)
Dopełnienie lasu spinającego T grafu G – graf otrzymany z grafu
G poprzez usunięcie krawędzi z T.
Drzewo ukorzenione (rooted tree) – drzewo z wyróżnionym
wierzchołkiem zwanym korzeniem, wszystkie krawędzie rozumiane
są jako skierowane od korzenia
Głębokość/poziom wierzchołka (depth/level) – odległość
wierzchołka od korzenia (korzeń - 0)
Wysokość drzewa ukorzenionego (height)– długość najdłuższej
ze ścieżek od korzenia
Rodzic (parent) – wierzchołek poprzedzający wierzchołek w na
drodze od korzenia do wierzchołka w (wierzchołek w nazywamy
dzieckiem).
Przodek (ancestor) wierzchołka w – wierzchołek, który znajduje
się na ścieżce od korzenia do wierzchołka w (wierzchołek w
nazywamy wtedy potomkiem (descendant))
Wierzchołek wewnętrzny (internal vertex) – wierzchołek, który
ma przynajmniej jedno dziecko.
Rodzeństwo (siblings)– wierzchołki mające tego samego rodzica
Drzewo m-arne (m-ary tree) (m>=2) – drzewo ukorzenione, w
którym każdy z wierzchołków ma co najwyżej m dzieci, a
przynajmniej 1 wierzchołek ma ich dokładnie m.
Drzewo m-arne zupełne – drzewo m-arne w którym każdy
wierzchołek wewnętrzny ma dokładnie m dzieci i wszystkie dzieci
mają taką samą głębokość.
Drzewo uporządkowane (ordered tree) – drzewo ukorzenione, w
którym dzieciom każdego wierzchołka nadano stałą kolejność (np.
od lewej do prawej)
Drzewo binarne (binary tree) – uprządkowane 2-arne drzewo, w
którym każde z dzieci określamy jako lewe lub prawe.
Dwa drzewa ukorzenione są izomorficznymi drzewami
ukorzenionymi jeśli istnieje dla nich izomorfizm, który mapuje
korzeń jednego na korzeń drugiego.
Drzewo etykietowane/oznakowane (labeled tree) - drzewo, w
którym wierzchołki mają przypisane etykiety
Wzór Cayley'a – liczba n wierzchołkowych drzew etykietowanych
wynosi nn-2, dla n>=2)
Zbiór rozspajający (egde-cut) – zbiór krawędzi, których usunięcie
spowoduje, że graf G nie będzie już spójny.
Rozcięcie grafu (minimal edge-cut) – zbiór rozspajający, którego
żaden podzbiór właściwy nie jest już zbiorem rozspajającym.
Most (cut-edge/bridge) – rozcięcie będące pojedynczą krawędzią
Zbiór rozdzielający (vertex-cut)– zbiór wierzchołków, których
usunięcie spowoduje, że graf G nie będzie już spójny.
Minimalny zbiór rozdzielający (minimal vertex-cut)– zbiór
rozdzielający, którego żaden podzbiór właściwy nie jest już zbiorem
rozdzielającym.
Wierzchołek rozcinający (cut-vertex/cutpoint)– zbiór rozdzialający
składający się z jednego wierzchołka
Przekrój (rozcięcie podziałowe/partition-cut) <X1,X2> dla grafu
G=(V,E) - zbiór krawędzi z G które mają jeden koniec w zbiorze
X1, zaś drugi w X2 .
Pełny las rozpinający (full spanning forest) grafu G jest lasem
rozpinającym składającym się z kolekcji drzew takich, że każde z
nich jest drzewem rozpinającym innej składowej spójnej grafu G.
Dla danego pełnego lasu rozpinającego F, cykl utworzony poprzez
dodanie do F krawędzi e, należącej do względnego dopełnienia F
jest nazywany cyklem fundamentalnym.
Zbiór cykli fundamentalnych związany z pewnym lasem
rozpinającym F grafu G – zbiór wszystkich cykli fundamentalnych w
grafie G związany z lasem F.
Przestrzeń cykli grafu WC(G)- podzbiór przestrzeni krawędzi,
zawierający zbiór (graf) pusty, wszystkie cykle w grafie i sumy
rozłącznych krawędziami cykli z G.
Dla danego drzewa rozpinającego T grafu spójnego G, bazą
przestrzeni cykli WC(G) grafu G jest zbiór cykli fundamentalnych
związany z drzewem T.
Dla danego pełnego lasu rozpinającego F i dowolnej krawędzi e z F,
niech zbiory V1,V2 są zbiorami wierzchołków nowych składowych,
które powstały po usunięciu krawędzi e. Wtedy przekrój <V 1,V2>,
który jest rozcięciem grafu G jest nazywane rozcięciem
fundamentalnym.
Zbiór rozcięć fundamentalnych związany z pewnym lasem
rozpinającym F grafu G – zbiór wszystkich rozcięć fundamentalnych
w grafie G związany z lasem F.
Przestrzeń rozcięć grafu WS(G)- podzbiór przestrzeni krawędzi,
zawierający zbiór (graf) pusty, wszystkie rozcięcia w grafie i sumy
rozłącznych krawędziami rozcięć z G.
Dla danego drzewa rozpinającego T grafu spójnego G, bazą
przestrzeni rozcięć WS(G) grafu G jest zbiór rozcięć
fundamentalnych związany z drzewem T.