r - main5.amu.edu.pl

1. Wektory
1.1 Wprowadzenie
Algebra liniowa jest pewnym działem algebry zajmującym się badaniem przestrzeni
liniowych (inna nazwa: przestrzeń wektorowa) oraz pewnej klasy funkcji określonych na tych
przestrzeniach, zwanych przekształceniami liniowymi. Ogólnie rzecz biorąc przestrzeń
wektorowa to pewien zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które mogą być, nieformalnie
mówiąc, skalowane i dodawane. Zbiór ten musi spełniać określony zbiór aksjomatów, które
poznamy poniŜej. Zaczniemy nasz wykład od przedstawienia pewnego pierwowzoru
przestrzeni wektorowej, jakim jest przestrzeń euklidesowa E3 (lub E2) reprezentowana przez
uporządkowane trójki liczb albo przez zbiór wektorów geometrycznych. Własności wektorów
geometrycznych, reprezentowanych zwykle jako strzałki, stanowią dobry, intuicyjny model
dla wektorów w bardziej abstrakcyjnych przestrzeniach liniowych, które nie mają interpretacji
geometrycznej. Przykładem takiej abstrakcyjnej przestrzeni wektorowej jest np. zbiór
wszystkich wielomianów o współczynnikach rzeczywistych albo teŜ zbiór wszystkich funkcji,
określonych na jakimś przedziale liczbowym.
Jak wiemy wiele wielkości fizycznych, takich jak masa, temperatura, czas są całkowicie
opisane przez jedną liczbę, określającą ich wielkość. Są to wielkości skalarne. Inne wielkości
wymagają, do pełnego opisu, więcej niŜ jednej liczby. To są wektory. Spotkaliście je juŜ
Państwo w czasie lekcji geometrii analitycznej (jako uporządkowane pary punktów, jeden z
nich jest początkiem – lub punktem zaczepienia, a drugi
Rys. 1.1.1 Wektor jako uporządkowana para punktów.
końcem) czy teŜ w świecie fizycznym, gdzie oczywistymi przykładami wektorów są:
prędkość, przyśpieszenie, siła czy teŜ pole elektryczne i magnetyczne. Aby określić wektor
potrzebujemy nie tylko liczby określającej jego wielkość (wartość, rozmiar, natęŜenie) lecz
równieŜ określić musimy jego kierunek1. Razem potrzebujemy dwóch liczb w przestrzeni
dwuwymiarowej (2D) a trzech liczb w przestrzeni trzywymiarowej (3D). Istnieją w zasadzie
trzy róŜne typy wektorów jakie spotykamy w fizyce:
•
•
•
Wektory swobodne: W wielu sytuacjach jedynie wielkość i kierunek wektora mają
znaczenie i nie jest istotny punkt zaczepienia wektora w przestrzeni. Wektory
swobodne moŜna przesuwać równolegle w dowolnym kierunku (mówimy Ŝe, wektor
w przestrzeni 3-wymiarowej ma trzy stopnie swobody).
Wektory związane (zaczepione, umiejscowione): początki wszystkich wektorów
związanych nie są dowolne, lecz pokrywają się (patrz rysunek).
Wektory ślizgające się (posuwne): w mechanice czasami istotna jest linia działania
wektora (siły) bo przy równoległym przemieszczeni wektora zmienia się inny wektor
1
Czasami mówimy teŜ, Ŝe wektor posiada zwrot, kierunek i wartość. Kierunkiem wektora nazywamy prostą, na której ten
wektor leŜy. Zwrot określa nam, które zakończenie odcinka symbolizującego nasz wektor jest początkiem, a które końcem
wektora. Wartość wektora to jego długość określana w jednostkach. W tym wykładzie utoŜsamiać będziemy pojęcie kierunku
z podaniem prostej, na której leŜy wektor, i zwrotu równocześnie.
1
tzw. moment. Wektor ślizgający się moŜna przesuwać tylko wzdłuŜ tej linii (ma tylko
jeden stopień swobody).
(a)
(b)
(c)
Rys.1.1.2 Wektory swobodne (a), ślizgające się (b) i związane (c).
W trakcie tego wykładu skupimy się tylko na analizie wektorów swobodnych i mówiąc
wektor mieć na myśli będziemy tylko wektory swobodne2. Oznacza to, Ŝe utoŜsamiać
będziemy dwa wektory równolegle o tej samej wartości i kierunku jak np. te przedstawione na
Rys. 1.1.2a. Ściślej mówiąc wektor swobodny to zbiór wszystkich takich wektorów
związanych, które moŜna przesunąć równolegle jeden na drugi (wektorów równowaŜnych
translacyjnie)3. PoniŜszy rysunek przedstawia wybranych reprezentantów
wektorów
2
swobodnych PQ i RS
płaszczyzny E . W dalszym ciągu utoŜsamiać będziemy
reprezentanta wektora swobodnego z samym wektorem swobodnym (tj. całą klasą wektorów
zaczepionych) i stosować te same oznaczenia.
Q
R
PQ
RS
P
PQ
RS
S
Rys. 1.1. 3. Wektor swobodny jako klasa wektorów zaczepionych
ZauwaŜmy, Ŝe wektor swobodny określony jest jednoznacznie przez kaŜdego swojego
reprezentanta4, ponadto dla kaŜdego wektora swobodnego oraz dla kaŜdego punktu moŜna w
tym punkcie zaczepić dokładnie jednego reprezentanta danego wektora swobodnego. Dla
wektora swobodnego niezbyt waŜny jest punkt początkowy (zaczepienia) ani punkt końcowy,
r
r
dlatego bardzo często oznaczać będziemy wektor tylko jedną literą np. a lub A (nie mającą
2
Słowo wektor (z łac. vector = niosący) zaproponował, w roku 1845, William Rowan Hamilton. Wyparło ono
termin rayon mobile (franc. ruchomy promień), którego uŜywali wcześniej Gauss (1809) i Cauchy (1821).
3
W języku matematycznym wektory swobodne to klasy równowaŜności wektorów zaczepionych względem
odpowiedniej relacji równowaŜności (translacyjnej).
4
Uwaga: bardzo często jako reprezentanta wektora swobodnego wybiera się wektor, którego punkt początkowy
leŜy w początku układu współrzędnych.
2
nic wspólnego z punktem początkowym i końcowym któregoś z jego reprezentantów).
Czasami wektor oznaczać będziemy równieŜ wytłuszczonym drukiem: np. A lub b.
1.2 Długość wektora i wektory jednostkowe
r
Długość wektora (albo moduł, albo wartość bezwzględna wektora) A oznaczać będziemy
r
symbolem A lub (gdy nie będzie wątpliwości, Ŝe chodzi o długość a nie np. o punkt)
symbolem A . Długość wektora określa wartość liczbową albo miarę danej wielkości
reprezentowanej przez wektor. Obrazem geometrycznym takiego wektora jest odcinek
skierowany (strzałka), którego długość jest równa długości wektora. Długość wektora jest
zawsze liczbą nieujemną. Wektor, którego długość wynosi jeden nazywamy wektorem
jednostkowym. Wektor, którego długość jest róŜna od zera nazywamy wektorem właściwym.
Wektor, którego długość jest równa zeru nazywamy wektorem niewłaściwym (geometrycznie
taki wektor reprezentowany jest przez punkt, który jest jednocześnie jego początkiem i
końcem.
1.3 Równość wektorów
Dwa wektory swobodne są równe jeśli ich długości i kierunki są takie same. Nieistotny jest
punkt zaczepienia. (Dla wektorów związanych takie same muszą być ponadto punkty
zaczepienia a dla wektorów ślizgających się identyczne muszą być linie działania wektorów).
1.4 Działania na wektorach
Dodawanie i odejmowanie wektorów
Sumą wektorów A i B nazywamy wektor którego początek, pokrywa się z początkiem
wektora A a koniec z końcem wektora B przy czym wektor B został tak przesunięty
równolegle, Ŝe jego początek pokrywa się z końcem wektora A .
r
A
r
B
r r
A+ B
r
B
Rys. 1.4.1 Dodawanie wektorów
MoŜna pokazać, Ŝe tak określone działanie ma własność przemienności tzn.
r r r r
A+ B = B + A
r
A
r
A
r
B
r
B
r
B
r r r r
A+ B = B + A
Rys. 1.4.2 Prawo przemienności dla dodawania wektorów
3
r
A
(1.4.1)
oraz łączności:
r r
r r
r r
( A + B ) + C = A + ( B + C ).
(1.4.2)
r r
r r
r r
( A + B) + C = A + (B + C)
r r
B+C
r
B
r r
A+ B
r
C
r
A
Rys. 1.4.3 Prawo łączności dla dodawania wektorów
Skoro suma wektorów nie zaleŜy od kolejności wykonywanych działań pomijać moŜemy
nawiasy (które wskazują nam kolejność działań) w działaniach. Z prawa przemienności
wynika, Ŝe suma nie zaleŜy od kolejności dodawanych wektorów. MoŜemy więc napisać:
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
A1 + A2 + A3 + A4 = A4 + A3 + A2 + A1 = A2 + A1 + A4 + A3 = ...
Wektor, którego początek i koniec się pokrywają nazywamy wektorem zerowym i oznaczać
r
r
go będziemy symbolem 0 . Dla kaŜdego wektora A zachodzi zaleŜność
r r r r r
A+0 = 0+ A = A
(1.4.3)
skąd widać, Ŝe dodanie wektora zerowego nie zmienia wektora do którego jest dodawany.
r
r
Przez wektor przeciwny do wektora A rozumiemy wektor o tej samej długości co A
r
lecz o przeciwnym kierunku (patrz rysunek). Oznaczać go będziemy − A
r
A
r
−A
r
Rys. 1.4.4 Wektor przeciwny do A .
Mamy oczywistą toŜsamość
r
r r
A + (− A) = 0 .
r
r
r
Odejmowanie wektora B od wektora A definiujemy jako dodawanie do wektora A wektora
r
przeciwnego do B :
r r r
r
A − B = A + (− B) .
(1.4.4)
4
r r
A+ B
r
B
r r
A− B
r
A
r r
A− B
r
−B
A +B
Rys. 1.4.5 RóŜnica wektorów jako jedna z przekątnych równoległoboku rozpiętego na tych wektorów.
r
r
Druga z przekątnych to wektor A + B .
Z powyŜszego rysunku widać, Ŝe aby odjąć dwa wektory rysujemy je z jednego punktu a
następnie łączymy koniec drugiego (punkt początkowy róŜnicy wektorów) z końcem
pierwszego wektora (punkt końcowy róŜnicy) jak to pokazano na rysunku 1.4.6.
Rys. 1.4.6. Interpretacja geometryczna odejmowania.
MnoŜenie wektora przez liczbę
r
Niech α będzie liczbą dodatnią a A pewnym wektorem. Przez iloczyn liczby α przez wektor
r
r
A rozumiemy wektor, który ma ten sam kierunek co A i jest od niego α razy dłuŜszy. Ten
r
iloczyn oznaczać będziemy przez αA (bez kropki miedzy liczbą i wektorem). Jeśli α jest
r
r
liczbą ujemną, to przez αA rozumiemy wektor, który ma przeciwny kierunek niŜ A i jest od
r r
r r
niego -α razy dłuŜszy. Jeśli α=0 lub A = 0 to αA = 0. Zachodzą następujące relacje:
r r
a) αA = Aα
prawo przemienności,
r
r
r
b) α ( βA) = (αβ ) A = αβA
prawo łączności mnoŜenia,
r
r
r
c) (α + β ) A = αA + βA
prawo rozdzielności dodawania względem mnoŜenia
5
r
d)
r
r
r
α ( A + B ) = αA + αB
prawo rozdzielności mnoŜenia względem dodawania
r r
1A = A
r
r
f) − 1A = − A
e)
Rys. 1.4.7. Przykłady mnoŜenia wektora przez liczbę.
Uwaga: Stosujemy tutaj te same oznaczenia „+” dla dodawania liczb ( α + β ) jak i dla
r r
dodawania wektorów ( A + B ) .
1.5 Współrzędne wektora w układzie współrzędnych
Podstawową zaletą rachunku wektorowego jest jego niezaleŜność od konkretnego układu
odniesienia jednakŜe układy współrzędnych są równieŜ bardzo uŜyteczne dlatego
wprowadzimy na początku pojęcie współrzędnej wektora i wektorów bazy.
Niech E1,E2,E3 oznaczają odpowiednio
prostą, płaszczyznę oraz przestrzeń
euklidesową. Elementy kaŜdego z tych zbiorów nazywać będziemy punktami. Na początek
przypomnijmy sobie pojęcie układu współrzędnych. W przestrzeni E3 wyróŜniamy punkt,
który oznaczamy symbolem O i nazywamy początkiem układu. Uporządkowaną trójkę osi
liczbowych (Ox,Oy,Oz) nazywamy układem współrzędnych w przestrzeni E3 i oznaczamy
symbolem Oxyz lub Ox1x2x3 . Jeśli osie są wzajemnie do siebie prostopadłe to taki układ
nazywamy układem współrzędnych prostokątnych (kartezjańskich). W dalszym ciągu
posługiwać się będziemy tylko układami kartezjańskimi. Dla dowolnie ustalonego punktu
P∈E3 znajdujemy jego rzuty na kaŜdą oś układu współrzędnych, zob. rysunek:
z
Pz
r
r
• P
Py
O
y
Px
x
Rys.1.5.1 Układ współrzędnych prostokątnych i współrzędne punktu.
Niech Px, Py, Pz oznaczają rzuty punktu P odpowiednio na oś Ox, Oy, Oz, niech ponadto
xP, yP, zP oznaczają współrzędne rozpatrywanych punktów na odpowiednich osiach.
6
Współrzędne te mogą przybierać wartości ujemne, jeśli odpowiedni rzut leŜy na ujemnej
półosi a wartość bezwzględna danej współrzędnej jest równa odległości danego rzutu od
początku układu współrzędnych. Wektor łączący początek układu współrzędnych O z
punktem P nazywamy wektorem wodzącym tego punktu. Bardzo często wektor wodzący
r
r
oznaczamy tak jak na rysunku 1.5.1 przez r (lub czasami rP ).
Podobnie, jak punktom płaszczyzny, równieŜ i wektorom przyporządkowujemy ich
współrzędne. Współrzędne wektora obliczamy odejmując od współrzędnych końca
współrzędne początku. Jeśli P : [ x P , y P , z P ] (Zapis P : [ x P , y P , z P ] oznacza, Ŝe punkt P ma
współrzędne
xP,yP,zP)
i
Q : [ xQ , y Q , z Q ]
to
wektor
PQ
ma
współrzędne
( xQ − x P , yQ − y P , zQ − z P ) , gdzie dla odróŜnienia współrzędne wektora umieściliśmy w
nawiasach okrągłych a współrzędne punktów umieszczać będziemy zawsze w nawiasach
kwadratowych (Uwaga: wielu autorów uŜywa odwrotnej konwencji). Jeśli dany wektor
zaczepimy w początku układu współrzędnych, to jego współrzędne są współrzędnymi końca
r
wektora. Na przykład współrzędne wektora wodzącego r danego punktu są takie same jak
współrzędne punktu końcowego. Umieśćmy na dodatnich osiach układu kartezjańskiego
r r r
wektory jednostkowe i , j , k tak jak na rysunku 1.5.2. Dowolny wektor swobodny moŜna
przedstawić w sposób jednoznaczny w postaci:
r
r
r
r
a = axi + a y j + azk ,
(1.5.1)
gdzie liczby a x , a y , a z oznaczają współrzędne danego wektora. Wynika to z poniŜszego
r
rysunku, gdzie pokazano konstrukcję prostopadłościanu, którego przekątną jest wektor a a
krawędzie mają długości |ax|,|ay|,|ay|. Kolor czerwony pokazuje łamaną, która odpowiada
r
r
r
prawej stronie równania (1.5). Czasami wektory a x i , a y j , a z k nazywamy składowymi
r
wektorowymi wektora a , zaś liczby a x , a y , a z czasami nazywa się teŜ składowymi wektora.
r
r
r
Wektory i : (1,0,0), j : (0,1,0), k : (0,0,1) nazywamy wersorami odpowiednio na osiach Ox, Oy,
Oz (często stosujemy dla nich specjalne oznaczenia iˆ , ĵ , k̂ ). Czasami wektory te nazywamy
teŜ bazą układu współrzędnych.
Dwukrotne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa daje nam znany wzór na długość
wektora:
a 2 = a x2 + a 2y + a z2
skąd
a = a x2 + a 2y + a z2 .
7
Rys. 1.5.2. Wektor i jego współrzędne. Zaznaczono kąty proste między odpowiednimi odcinkami. Kolorem
zielonym oznaczono wektory jednostkowe i,j,k.
Dowolny wektor moŜna przedstawić w sposób jednoznaczny w postaci
r
r
r
a = a x i + a y ˆj + a z k
i na odwrót, dla dowolnej trójki (x, y, z) liczb rzeczywistych x, y, z istnieje dokładnie jeden
r
r r
r
r
r
wektor swobodny r taki, Ŝe r = xi + yj + zk . Zapis r : (x,y,z) oznacza, Ŝe wektor
r
swobodny r ma współrzędne x,y,z.
r
r
Weźmy pod uwagę dwa wektory A : (Ax , Ay , Az ) i B : (B x , B y , B z ) wtedy jak łatwo pokazać
r r
A + B : (Ax + B x , Ay + B y , Az + C z ) .
Dowód:
r
r
r
r r
r
r
r
r
r
r
A + B = Ax i + Ay j + Az k + B x i + B y j + C z k = ( Ax + B x )i + (Ay + B y ) j + ( Az + C z )k ,
gdzie skorzystaliśmy z łączności i przemienności dodawania wektorów oraz prawa
rozdzielności dodawania względem mnoŜenia (własność c rozdz. 1.5). Dla dowolnej liczby α i
r
r
wektora A : (Ax , Ay , Az ) mamy αA : (αAx , αAy , αAz ) poniewaŜ
(
)
αA = α Ax i + Ay j + Az k = αAx i + αAy j + αAz k : (αAx ,αAy ,αAz ) .
r
r
r
r
r
r
r
r
Oczywiste jest, Ŝe wektor zerowy ma wszystkie współrzędne równe zeru: 0 : (0,0,0) a więc i
r
zerową długość. Wektor przeciwny do A : (Ax , Ay , Az ) ma wszystkie współrzędne
r
przeciwnego znaku tj. − A : (− Ax ,− Ay ,− Az ) .
1.6 Liniowa niezaleŜność i liniowa zaleŜność wektorów
r r
r
Definicja: Wektory właściwe A1 , A2 ,... An nazywamy:
1. liniowo niezaleŜnymi, jesli dla dowolnych liczb rzeczywistych r1 ,…,rn , spełniony jest
warunek:
r
r
r
r1 A1 + …+ rn An = 0 ⇒ r1 = … = rn = 0.
(1.6.1)
8
2. liniowo zaleŜnymi, jeśli istnieją liczby rzeczywiste s1 ,…, sn , nie wszystkie równe
jednocześnie zeru dla których zachodzi zaleŜność:
r
r
r
s1 A1 + …+ sn An = 0
(1.6.2)
r
Interpretacja geometryczna: zaleŜność liniowa n wektorów Ai oznacza, Ŝe moŜna znaleźć n
r
takich wektorów ri Ai (i=1,2, ... ,n), z których moŜna zbudować wielobok zamknięty.
Uwaga: MoŜemy uogólnić definicję liniowej niezaleŜności na nieskończone zbiory
wektorów. Taki nieskończony zbiór nazywamy liniowo niezaleŜnym, jeŜeli kaŜdy skończony
podzbiór tego zbioru jest liniowo niezaleŜny.
Przykład 1
r r
Dwa wektory A i B są liniowo zaleŜne, gdy są równoległe (moŜna otrzymać jeden z nich np.
r
r r
r
A mnoŜąc drugi (tzn. B ) przez odpowiednią liczbę α taką, Ŝe |α| = A B . Liczba α jest
r
r
liczbą dodatnią, gdy wektory A i B mają taki sam zwrot (kierunek) i α jest liczbą ujemną,
r r
r
r
gdy A i B mają przeciwne zwroty (kierunki). Oczywiste jest, Ŝe A − αB = 0 , a więc istnieją
takie liczby s1=1 i s2=−α nie wszystkie równe zero dla których jest spełniony warunek (1.7).
Wszystkie wektory równoległe do pewnej prostej tworzą pewną „przestrzeń
jednowymiarową” (co dokładniej kryje się za tym terminem poznamy wkrótce). Nazywamy
je wektorami współliniowymi albo kolinearnymi. W tej „przestrzeni” moŜna wybrać tylko
jeden wektor liniowo niezaleŜny. MoŜe to być kaŜdy wektor właściwy. Obrany wektor
r
niezaleŜny np. B nazywamy wektorem podstawowym danej „przestrzeni” a liczbę α
r
określoną poprzednio dla dowolnego innego wektora A tej przestrzeni nazywamy
r
r
współrzędną wektora A ze względu na wektor B . Bardzo często jako wektor podstawowy
wybieramy dowolny wektor jednostkowy tej przestrzeni.
Wszystkie wektory równolegle do jednej płaszczyzny tworzą przestrzeń dwuwymiarową.
Wektory naleŜące do takiej przestrzeni nazywamy komplanarnymi albo
współpłaszczyznowymi.
Ćwiczenie.
Ile maksymalnie wektorów liniowo niezaleŜnych moŜna wybrać w takiej przestrzeni? (odp.
dwa dowolne nierównoległe wektory).
r r r
Obierzmy dowolne trzy wektory A , B , C w tej przestrzeni i wykreślmy je z dowolnego
punktu O. Wykreślamy równoległobok
r
C
P2
r
B
O
r
A
P1
Rys. 1.6.1 Pokazanie liniowej zaleŜności trzech wektorów na płaszczyźnie.
9
z którego wynika, Ŝe
r
C = OP1 + OP2 ,
r
r
ale OP1 jest kolinearny z wektorem A zaś OP2 jest kolinearny z wektorem B :
r
r
OP1 = xA
i
OP2 = yB
stąd
r
r
r
C = xA + yB .
r
r
r r r
r r
Wynika z tego, Ŝe wektory A , B , C są liniowo zaleŜne, bo 1· C − xA − yB = 0 .
PowyŜsze przedstawienie jest jednoznaczne bo gdyby istniały inne liczby x’,y’ takie, Ŝe
r
r
r
C = x ′A + y ′B to
r
r
r
0 = (x ′ − x )A + ( y ′ − y )B
r r
ale A i B są liniowo niezaleŜne (bo są nierównoległe) więc wynika z tego, Ŝe x’= x, y’= y.
Twierdzenie. W przestrzeni dwuwymiarowej kaŜdy wektor daje się jednoznacznie
r
przedstawić przez dwa niekolinearne wektory tej przestrzeni (czasami mówimy, Ŝe wektor C
r
r
r
r
daje się przedstawić jako kombinacja liniowa wektorów A i B ) . Wektory A i B
nazywamy wektorami podstawowymi tej przestrzeni.
Pytanie. Ile jest wektorów liniowo niezaleŜnych w przestrzeni trójwymiarowej?
Odp. Trzy wektory nie leŜące w jednej płaszczyźnie, a więc kaŜde trzy wektory
niekomplanarne. KaŜde cztery wektory są juŜ liniowo zaleŜne bo moŜna zbudować
odpowiedni równoległościan podobnie jak na rysunku 1.8.
Przykład 2
Wektory: i−j , j−k , k−i są liniowo zaleŜne ze względu na to, Ŝe
r
1·(i−j) + 1·(j−k) + 1·(k−i) = 0 .
Ćwiczenie.
Czy wektory i + j −k , i −j + k , −2·i są liniowo niezaleŜne?
Twierdzenie.
a) jeśli ze zbioru n-wektorów pewien podzbior jest liniowo zaleŜny to wszystkie wektory
są liniowo zaleŜne. Dowód: niech pierwsze k ≤ n wektorow będzie liniowo zaleŜnych
wtedy istnieją liczby rzeczywiste s1 ,…, sk , nie wszystkie równe jednocześnie zeru, dla
r
r
r
których zachodzi zaleŜność: s1 A1 + …+ sk Ak = 0 , wtedy liczby s1 ,…, sk, sk+1= 0,
sk+2= 0 ..., sn= 0 są równieŜ nie wszystkie równe zeru i zachodzi relacja (1.7) cbdo.
b) jeśli n-wektorów jest liniowo niezaleŜnych to kaŜdy podzbior tych wektorow jest
takŜe liniowo niezaleŜny. Dowód wynika bezpośrednio z punktu a).
c) jeśli n-wektorów jest liniowo zaleŜnych to przynajmniej jeden z nich da się wyrazić
przez kombinację liniową pozostałych.
Dowód: Istnieje taki zbiór liczb s1 ,…, sn , z których nie wszystkie są równe
r
r
r
jednocześnie zeru, dla których s1 A1 + …+ sn An = 0 . Niech sk≠ 0 wtedy:
10
r
s r
s r
s r
s r
Ak = −( 1 A1 +…+ k −1 Ak −1 + k +1 Ak +1 +...+ n An ).
sk
sk
sk
sk
d) jeŜeli n wektorów jest liniowo niezaleŜnych a zbiór złoŜony z tych wektorów i jeszcze
jednego wektora jest liniowo zaleŜny to ten ostatni da się przedstawić przez
kombinację liniową pozostałych wektorów.
Dowód wynika z punktu c) jeśli zamiast n przyjmie się liczbę n+1 i zauwaŜy się, Ŝe to
r r
r
właśnie sn+1 ≠ 0 bo inaczej układ wektorów A1 , A2 ,... An byłby liniowo zaleŜny.
Ćwiczenie.
Wykazać, Ŝe gdy zachodzi relacja:
r
r
r
r
r
r
s1 A1 + s2 A2 + s3 A3 = s1 B1 + s 2 B2 + s3 B3
komplanarne (liniowo zaleŜne).
to wektory
r
r r
r
A1 − B1 , A2 − B2 ,
r
r
A3 − B3 są
Ćwiczenie.
r r r
Jaki warunek muszą spełniać trzy wektory A , B , C , aby moŜna było z nich zbudować
trójkąt?
1.7 Iloczyn skalarny
Definicja.
r
r
r r
Iloczynem skalarnym wektorów A i B nazywamy liczbę rzeczywistą A ◦ B taką, Ŝe
r r
r r
0,
jesli A = 0 lub B = 0
r r
r r
r r
r r
A ◦B=  r r
jeśli A ≠ 0 i B ≠ 0 .
A
⋅
B
⋅
cos
∠
A
,
B
,

( )
( )
( )
r r
r r
r
r
(symbol ∠ A, B oznacza kąt między wektorami A oraz B , zakładamy ponadto, Ŝe ∠ A, B
naleŜy do przedziału < 0,π >. Czasami ten kąt oznaczać będziemy jedną literką θ). Czyli
iloczyn skalarny jest iloczynem długości przez kosinus mniejszego kąta między wektorami.
( )[ ]
r r
r r
Inne oznaczenia dla iloczynu skalarnego: A, B , A, B .
r2
r
r
r r
Z definicji iloczynu skalarnego: A 2 ≡ A ◦ A = A = A2 stąd A =
Własności iloczynu skalarnego:
r r r r
a) A o B = B o A
r r
r r
r r
b) αA o B = α A o B = αA o B
r r r
r r r r
c) A o B + C = A o B + A o C
( )
(
)
(
r r
Ao A .
przemienność
łączność
)
rozdzielność
Dowód wynika z własności rzutu prostokątnego i tego, Ŝe iloczyn skalarny przedstawia się
przy pomocy rzutu prostokątnego:
r r r
r
r r
A o B = A rzut Ar B = B rzut Br A ,
11
r r
gdzie rzut Ar B = B cos θ
r
r
jest tzw. rzutem (algebraicznym) wektora A na wektor B .
Własności rzutów wektorów
r r r
Niech u , v , w będą dowolnymi wektorami oraz niech α ∈ R. Ponadto niech l będzie dowolną
prostą w przestrzeni. Wtedy
r r
1. rzut prostokątny sumy wektorów u , v na prostą l jest równy sumie rzutów tych wektorów
na tę prostą,
r
2. rzut prostokątny iloczynu wektora w przez liczbę α na prostą l jest równy iloczynowi
rzutu tego wektora na tę prostą przez liczbę α.
Rys. 1.7.1. Rzut prostokątny wektora
AP na wektor AB .
Ponadto wprost z definicji mamy:
r r r2 r
r
r2
d) A o A = A i A o ( − A) = − A
r r
r
r
e) wektory A i B są prostopadłe ⇔ A o B = 0
(wygodne kryterim prostopadłości
wektorów)
r r r r r r
r r r r r r
f) i o i = j o j = k o k = 1 oraz i o j = j o k = k o i = 0
r r
r r
r r
g) A o B ≤ A ⋅ B - równość jest moŜliwa tylko wtedy, gdy wektory A i B są równoległe
Z własności f) wynika prosty wzór na iloczyn skalarny w kartezjańskim układzie
współrzędnych:
r r
A o B = Ax B x + Ay B y + Az Bz .
Znając iloczyn skalarny i długości wektorów moŜemy określić kąt między wektorami
r r
r r
Ao B
cos ∠ A, B = r r
A⋅B
( )
lub
 Ar o Br 
r r
∠ A, B = arccos r r  .
 A⋅B


( )
12
Ćwiczenie.
r r
r r
Oblicz A − B , gdy dane są długości wektorów A i B oraz kąt pomiędzy nimi.
1.8 Iloczyn wektorowy
Definicja (orientacja układu współrzędnych w przestrzeni)
W zaleŜności od wzajemnego połoŜenia osi Ox, Oy, Oz układu współrzędnych wyróŜniamy
dwie jego orientacje: układ prawoskrętny (Rys. 1.12) i układ lewoskrętny (Rys. 1.13).
Rys. 1.8.1 Układ współrzędnych o orientacji
prawoskrętnej
Rys. 1.8.23 Układ współrzędnych o orientacji
lewoskrętnej
Nazwa układ prawoskrętny pochodzi od reguły prawej dłoni: jeŜeli prawą rękę umieścimy
tak, aby kciuk wskazywał dodatnią część osi Oz, to zgięte pozostałe palce wskaŜą kierunek
obrotu od osi Ox do osi Oy (po mniejszym kącie). Podobną interpretację ma układ
lewoskrętny (reguła lewej dłoni albo przy takim samym ułoŜeniu palcy prawej dłoni kciuk
r r r
wskaŜe ujemną część osi Oz). Podobnie mówimy o uporządkowanej trójce wektorow u , v , w ,
Ŝe tworzy układ prawoskrętny lub układ lewoskrętny gdy stosuje się do nich regula prawej
r
lub lewej dłoni. Uogólniamy tutaj tylko tę regułę tak, Ŝe wektor w moŜe tworzyć z kciukiem
prawej ręki kąt ostry (zamiast pokrywania się) dla układu prawoskrętnego wektorów i kąt
rozwarty (zamiast antyrownoległości) dla układu lewoskrętnego.
Definicja (iloczyn wektorowy).
r
r
Niech u i v będą niewspółliniowymi wektorami. Iloczynem wektorowym uporządkowanej
r r
r
pary wektorów u i v nazywamy wektor w , który spełnia następujące warunki:
r r
1. jest prostopadły do płaszczyzny rozpiętej na wektorach u i v (rys. 1.14),
r r
2. jego długość jest równa polu równoległoboku rozpiętego na wektorach u i v , tj. równa
r r
r r
jest u ⋅ v ⋅ sin ϕ , gdzie ϕ jest miarą mniejszego kąta między wektorami u i v ,
r r r
3. orientacja trójki wektorów u , v , w jest zgodna z orientacją układu współrzędnych Oxyz.
r r r
Tzn. układ wektorów u , v , w jest układem prawoskrętnym.
r
r r
r
r
Iloczyn wektorowy pary wektorów u i v oznaczamy przez u × v . JeŜeli jeden z wektorów u ,
r r r
r
v jest wektorem zerowym lub wektory te są współliniowe, to przyjmujemy, Ŝe u × v = 0 . Tak
więc kryterium współliniowości albo równoległości dwóch wektorów właściwych jest
znikanie iloczynu wektorowego tych wektorów.
13
r
r
r
Rys.1.8.3 Wektor w jest iloczynem wektorowym wektorów u i v .
r r
Szczególnie waŜna jest interpretacja długości iloczyny wektorowego a × b jako pola
r
równoległoboku rozpiętego na tych wektorach czyli długość podstawy a razy jego wysokość
r
h = b sin θ .
r r
Rys. 1.8.4 Pole trójkąta rozpiętego na wektorach a , b (zakreskowany na zielono) jest równe połowie pola
równoległoboku rozpiętego na tych samych wektorach.
gdyŜ bardzo często pole jakiegoś wieloboku moŜemy rozbić na sumę pól mniejszych
r r
trójkątów składających się na ten wielobok. Pole trójkąta rozpiętego na wektorach a , b jest
równe połowie pola równoległoboku rozpiętego na tych samych wektorach ( P∆ = 12 Prównoleg ).
Własności iloczynu wektorowego
r r r
Niech u , v , w będą dowolnymi wektorami oraz niech α ∈ R. Wtedy
r r
r r
1. u × v = −v × u ,
r r
r r r
r
2. (αu ) × v = α (u × v ) = u × (αv ) ,
r r r r r r r
3. (u + v ) × w = u × w + v × w ,
r r r r
4. u × v ≤ u ⋅ v ,
antyprzemiennosć
łączność mnoŜeń
rozdzielność dodawania względem mnoŜenia
r r
r r
5. wektory u i v są równoległe ⇔ u × v = 0 , kryterium równoległości dwóch wektorów
Wprost z definicji widać teŜ, Ŝe
r r r r r r r
i ×i = j × j = k ×k = 0
14
oraz
r r r
i × j = k,
r r r
j ×k = i,
Z antyprzemienności, łączności mnoŜeń oraz
wektorowy:
r
i
r r
u × v = ux
vx
r r r
k × i = j.
wzorów () i () wynika prosty wzór na iloczyn
r
j
r
k
uy
uz
vy
vz
(1.8.1)
Dowód:
(
) (
)
( ) ( )
( )
( ) ( )
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r r
u × v = u x i + u y j + u z k × v x i + v y j + v z k = (u x i )× (v x i ) + (u x i )× (v y j ) + (u x i )× v z k +
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
+ (u y j )× (v x i ) + (u y j )× (v y j ) + (u y j )× v z k + u z k × (v x i ) + u z k × (v y j ) + u z k × v z k =
r r
r r
r r
r r
r r
r r
= (u x ⋅ v y )i × j + (u x ⋅ v z )i × k + (u y ⋅ v x ) j × i + (u y ⋅ v z ) j × k + (u z ⋅ v x )k × i + (u z ⋅ v y )k × j =
r
r
r
= (u y ⋅ v z − u z ⋅ v y )i + (u z ⋅ v x − u x ⋅ v z ) j + (u x ⋅ v y − u y ⋅ v x )k
( )
Definicja (moment siły)
r
r
Momentem siły F przyłoŜonej w punkcie P, względem punktu O nazywamy wektor M
określony wzorem:
r
r
M = OP × F .
r
F
P
O
r
M
Rys.1.8.5 Moment siły
1.9 Iloczyn mieszany
Definicja (iloczyn mieszany)
r r r
r r r
Niech u , v , w będą wektorami. Iloczyn mieszany uporządowanej trójki wektorów u , v , w
określamy wzorem:
(ur × vr ) o wr .
(1.9.1)
Interpretacja geometryczna iloczynu mieszanego wektorów
r r r
Iloczyn mieszany wektorów u , v , w jest równy (z dokładnością do znaku) objętości
r r r
równoległościanu V rozpiętego na wektorach u , v , w (Rys. 1.9.1).
r r r
V = (u × v ) o w .
15
r r r
P = u ×v
φ
Rys. 1.9.1 Równoległościan rozpięty ma wektorach
r r
r r r
u , v , w . Wektor pola jest prostopadły do płaszczyzny u ,v .
r r r
Objętość to pole podstawy P = P = u × v razy wysokość h =
r
w ⋅ cos ϕ , gdzie φ jest
r
kątem między wektorem w a prostą prostopadłą do płaszczyznay podstawy (tj. płaszczyzny
r r
rozpiętej przez wektory u , v . Tak więc objętość równoległościanu jest równa:
r r r
r r r
r r r
V = P ⋅ h = u × v ⋅ w ⋅ | cos ϕ |= u × v ⋅ w ⋅ cosϕ = (u × v ) o w .
r r r
Wprowadziliśmy tutaj wektor elementu powierzchni P = u × v , który jest prostopadły do
danej powierzchni (w naszym przypadku równoległoboku podstawy równoległościanu) i
r r r
którego długość równa się polu danego elementu powierzchni. Łatwo zauwaŜyć, Ŝe (u × v ) o w
jest liczbą dodatnią, gdy kąt φ jest kątem ostrym, co jest równoznaczne ze stwierdzeniem, Ŝe
r r r
układ wektorów u , v , w jest układem prawoskrętnym. Gdy φ jest kątem rozwartym
(ur × vr ) o wr = −V a wektory ur, vr, wr tworzą układ lewoskrętny.
Własności iloczynu mieszanego
r r r r
Niech u , v , w, r będą wektorami i niech α ∈ R. Wtedy
r r r
r r r
r r r
1. (u × v ) o w = (v × w) o u = ( w × u ) o v ,
r r r
r r r
r r r
u o (v × w) = v o ( w × u ) = w o (u × v ) .
własność cyklicznej przemienności
Dowód. KaŜdą ścianę równoległościanu moŜemy uwaŜać za jego podstawę więc objętość
równoleglościanu mozna wyrazić trzema sposobami. Wartość iloczynu mieszanego nie
zmienia się przy cyklicznej zamianie wektorów. Druga relacja wynika z przemienności
iloczynu skalarnego.
r
v
r
u
r
w
Rys.1.9.3 Cykliczna przemienność wektorów
16
r r r
r r r
r r r
2. (u × v ) o w = −(v × u ) o w = −( w × v ) o u ,
własność antysymetrii
Dowód. Pierwsza równość wynika z antyprzemienności iloczynu wektorowego a drugą
uzyskujemy z cyklicznej przemienności iloczynu mieszanego.
Z antysymetrii wynika, Ŝe zamiana dwóch wektorów (nie tylko skrajnych) daje zmianę znaku
iloczynu mieszanego.
r r r r r r
3. (u × v ) o w = u o (v × w)
prawo zamienności
r r r
r r r r r r
Dowód: (u × v ) o w = ( v × w) o u = u o ( v × w).
Jest to waŜna i bardzo uŜyteczna własność, która mówi, Ŝe przy tej samej kolejności
wektorów, moŜemy zmienić miejscami iloczyn wektorowy „ × ” i skalarny „ o ” a iloczyn
mieszany nie ulega zmianie.
Uwaga: nawias musi zawsze zawierać („obejmować”) iloczyn wektorowy. WyraŜenie typu
r r r
u × (v o w) nie ma sensu bo po obydwu stronach iloczynu skalarnego muszą znajdować się
wektory aby to działanie było wykonalne.
Z prawa zamienności wynika, Ŝe w iloczynie mieszanym wystarczy tylko określić kolejność
wektorów a działania „ × ” i „ o ” moŜna wstawić w dowolne miejsca. Skoro tak, to moŜna
iloczyn mieszany oznaczać w sposób symboliczny podając tylko kolejność wektorów:
def
[ur, vr, wr ] = (ur × vr ) o wr .
Własność cyklicznej przemienności w tych oznaczeniach ma postać:
r r r
r r r
r r r
[u , v , w] = [v , w, u ] = [ w, u , v ] .
Inne własności iloczynu mieszanego to:
r r r r
r r r
r r r
4. [ r + u , v , w] = [ r , v , w] + [u , v , w] ,
r r r
r r r
5. [αu , v , w] = α [u , v , w] ,
r r r
r r r
6. wektory u , v , w leŜą w jednej płaszczyźnie ⇔ [u , v , w] = 0 ,
kryterium
współpłaszyznowości albo liniowej zaleŜności
Dowód. Objętość równoległościanu znika wtedy i tylko wtedy, gdy trzy wektory leŜą w jednej
płaszczyźnie. Trzy wektory leŜące w jednej płaszczyźnie są teŜ liniowo zaleŜne.
r r r
r r r
7. [u , v , w] ≤ u ⋅ v ⋅ w .
Uwaga. Równość w ostatniej nierówności jest moŜliwa tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden
r r r
z wektorów u , v , w jest zerowy albo, gdy te wektory są wzajemnie prostopadłe.
Wzór do obliczania iloczynu mieszanego
r
r
r
Niech u : (u x , u y , u z ) , v : (v x , v y , v z ) , w : ( w x , w y , w z ) będą
trzywymiarowej. Wtedy
ux u y uz
r r r
[u , v , w] = v x v y v z .
wx w y wz
Dowód:
17
wektoramiw
przestrzeni
(1.9.2)
r
r
r
 i

j
k

r
r
r
r r r
r r r 

[u , v , w] = (u × v ) o w = u x u y u z  o wx i + w y j + wz k =


 vx v y vz 


r
r
r
r
r
r
= (u y ⋅ v z − u z ⋅ v y )i + (u z ⋅ v x − u x ⋅ v z ) j + (u x ⋅ v y − u y ⋅ v x )k o wx i + w y j + wz k =
(
)
(
)(
)
= u y ⋅ v z ⋅ w x − u z ⋅ v y ⋅ wx + u z ⋅ v x ⋅ w y − u x ⋅ v z ⋅ w y + u x ⋅ v y ⋅ w z − u y ⋅ v x ⋅ wz
Ćwiczenie.
Pokazać, Ŝe objętość czworościanu V o wierzchołkach A1 = [x1,y1,z1], A2 = [x2,y2,z2], A3 =
[x3,y3,z3], A4 = [x4,y4,z4] wyraŜa się wzorem:
 x1 − x 4
1
V = det  x 2 − x 4

6
 x 3 − x 4
y1 − y 4
x2 − x4
x3 − x 4
 x1
z1 − z 4 
x
1
z 2 − z 4  = det  2
 6
 x3
z 3 − z 4 

 x4
y1
y2
y3
y4
z1 1
z 2 1 .

z 3 1

z 4 1
Rys. 1.9.4 Czworościan.
1.10 Podwójny iloczyn wektorowy
Iloczyn wektorowy jest wektorem, moŜna więc pomnoŜyć go wektorowo przez inny wektor.
W wyniku dostajemy oczywiście wektor. Ten wektor nazywamy podwójnym iloczynem
wektorowym i zapisujemy:
r r
r
r
r
r
A × (B × C ) lub ( A × B ) × C .
(Uwaga: nie są to w ogólności takie same wektory jak moŜna się bezpośrednio przekonać
r r
r
r
r
r
r
biorąc np. A || B i C nierównoległe do B wtedy A × (B × C ) jest wektorem właściwym
r r
r r
r r
leŜącym w płaszczyźnie B, C zaś ( A × B ) × C = 0 .)
Istnieje waŜna relacja zwana prawem rozwinięcia dla podwójnego iloczynu wektorowego:
r r r
r r r
r r r
r r r
r r r
r r r
( A × B) × C = ( A o C ) B − ( B o C ) A
lub A × B × C = A o C B − A o B C
(1.10.1)
(
) (
) (
Dowód.
Udowodnimy drugą z tych równości i to tylko dla jej x-owej składowej:
18
)
(A × (Br × C ))
r
r
x
(
)
(
r r
r r
= Ay B × C z − Az B × C
)
y
= Ay (Bx C y − B y C x ) − Az (Bz C x − B x C z ) =
= (Ay C y + Az C z )B x − (Ay B y + Az Bz )C x = (Ax C x + Ay C y + Az C z )B x − (Ax B x + Ay B y + Az Bz )C x =
r r
r r
= ( A o C ) B x − ( B o C )C x
dla pozostałych składowych jak i drugiej równości dowód przebiega analogicznie.
Wniosek: Iloczyn wektorowy jest wektorem leŜącym w płaszczyźnie rozpiętej przez dwa
wektory znajdujące się w nawiasie.
r r
r r
Iloczyny skalarne typu ( A o C ) ≡ α lub ( B o C ) ≡ β są liczbami, więc podwójny
r
r
r r r
iloczyn wektorowy A × (B × C ) jest kombinacją liniową wektorów B
i C:
r r r
r
r
( A × B ) × C = αB − βA . Wiemy, ze kombinacja liniowa dwóch wektorów leŜy w
płaszczyźnie rozpiętej przez te wektory.
Dowód:
Wniosek: (rozkład wektora na składowe równoległe i prostopadłe do danego wersora)
Stosując wzór (1.10.1) na podwójny iloczyn wektorowy dla następującej trójki wektorów n̂ ,
r
r
r
v
A , n̂ mamy: nˆ × ( A × nˆ ) = ( nˆ ⋅ nˆ ) A − ( nˆ ⋅ A)nˆ , skąd wobec (nˆ ⋅ nˆ ) =1 mamy poszukiwany
przepis rozkładu:
r
r
r
A = (nˆ ⋅ A)nˆ + nˆ × ( A × nˆ ) .
(1.10.2)
1.11 Iloczyny wielokrotne. ToŜsamości wektorowe.
Oprócz iloczynu mieszanego i podwójnego iloczynu wektorowego istnieją inne iloczyny
wielokrotne tj. wyraŜenia, w których występuje wiele wektorów połączonych działaniami
mnoŜenia skalarnego lub wektorowego, oraz nawiasami, które podają nam kolejność
r r
r r
wykonywanych działań. Przykładem takiego iloczynu wielokrotnego jest ( A × B ) o (C × D ).
WyraŜenie to jest oczywiście skalarem (liczbą). MoŜna je wyrazić w prostszej postaci
stosując prawo rozwinięcia i prawo zamienności:
r r
r r
r r r r
r
r r r
r r r
( A × B) o (C × D) = A o [ B × (C × D)] = A o [( B o D)C − ( B o C ) D)] =
r r
r r
r r r r
r r r r
( A o C ) ( A o D)
= ( A o C )( B o D) − ( A o D)( B o C ) = r r
r r .
( B o C ) ( B o D)
WyraŜenia tego typu nazywane są równieŜ toŜsamościami wektorowymi i są często
przydatne w rachunkach. Takie toŜsamości wektorowe dowodzi się korzystając z prawa
rozwinięcia i prawo zamienności a czasami równieŜ z prawa cyklicznej przemienności i
antysymetrii dla iloczynu mieszanego. PoniŜej podajemy kilka przykładów takich toŜsamości
zostawiając ich dowód na ćwiczenia. Oto one:
1)
[
] [
] [
]
r r
r r
r r r r r r r r
( A × B ) × (C × D ) = A, B, D C − A, B, C D =
r r r r r r r r
= A, C , D B − B, C , D A.
[
19
]
[Ar , Ar , Ar ] = [Ar × Ar , Ar
2
2)
3)
4)
5)
6)
1
2
3
1
2
2
r r r
× A3 , A3 × A1
]
r r
r r
r r
r r
r r
r r
( A × B ) o (C × D ) + ( B × C ) o ( A × D ) + (C × A) o ( B × D ) = 0
(
)
(
)
(
)
r r r
r r r r
r r r
A× B ×C + B × C × A + C × A× B = 0
r r
r r
( A × B ) 2 + ( A o B ) 2 = A2 B 2
r r
r r
r r
( A + B ) × ( A − B ) = − 2( A × B )
7)
r r
r r r r r r
r r
( A − B) × ( B − C ) = A × B + B × C + C × A
8)
r r r r r r
Ao D Ao E Ao F
r r r r r r
r r r r r r
A, B, C D, E , F = B o D B o E B o F
r r r r r r
CoD CoE CoF
[
][
]
r
A2
r r r2
r r
A, B, C = A o B
r r
AoC
[
9)
]
r r
Ao B
r
B2
r r
BoC
r r
Ao F
r r
BoC
r
C2
[Br, Cr , Dr ]Ar − [Cr , Dr , Ar ]Br + [Dr , Ar, Br ]Cr − [Ar, Br, Cr ]Dr = 0r
10)
r
Korzystając z ostatniej toŜsamości moŜemy wyrazić dowolny wektor A przez dowolną inną
r r r
trójkę nieosobliwych wektorów niekomplanarnych B, C , D :
[
[
]
]
[
[
]
]
[
[
]
]
r r r
r r r
r r r
r A, C , D r A, B, D r A, B, C r
A= r r r B− r r r C + r r r D.
B, C , D
B, C , D
B, C , D
r r r
W przypadku, gdy B, C , D są wektorami jednostkowymi wzór ten przedstawia rozkład
r
wektora A w układzie ukośnokątnym, którego osie określone są przez wektory podstawowe
r r r
B, C , D .
20