( )1 { }

ZADANIA MATURALNE – FUNKCJA KWADRATOWA I JEJ WŁASNOŚCI (PR)
• Zad.2. ( PR- 9 pkt)
Suma długości dwóch boków trójkąta równa się 4 cm, a kąt między tymi bokami ma miarę 60 0 . Oblicz,
jaka jest najmniejsza możliwa wartość obwodu tego trójkąta.
Zad.3. (PR –10 pkt )
1
Dane jest równanie: x 2 + ( m − 5 ) x + m 2 + m + = 0. Zbadaj, dla jakich wartości parametru m stosunek
4
sumy pierwiastków rzeczywistych równania do ich iloczynu przyjmuje wartość najmniejszą. Wyznacz tę
wartość.
• Zad.4. ( PR- 4 pkt)
W banku w pierwszym roku oszczędzania stopa procentowa była równa p%, w drugim roku była o 2 %
niższa. Po dwóch latach, przy rocznej kapitalizacji odsetek, stan konta wzrósł z 1000 zł do 1232 zł. Oblicz
p.
• Zad.5. ( PR – 5 pkt)
Funkcja kwadratowa f ( x ) = ax 2 + bx − 3 , gdzie b > 0 posiada dwa różne miejsca zerowe, których iloczyn
jest równy (- 3). Wiedząc, że funkcja ta przyjmuje najmniejszą wartość równą (-4), wyznacz:
a) współczynniki a i b,
b) miejsca zerowe funkcji f.
• Zad.6. (PR – 5 pkt)
Pierwiastkami równania x 2 + px + p = 0 są dwie różne liczby x1 , x2 . Stosując wzory Viete`a zbadaj, czy
istnieje taka wartość parametru p, przy której wyrażenie ( x1 + 2 x2 ) ⋅ ( x2 + 2 x1 ) osiąga wartość 1.
• Zad.7. ( PR –5 pkt)
(
Liczby x1 , x2 są pierwiastkami równania 4 x 2 − 8 x + k 2 − 21 = 0 . Naszkicuj wykres funkcji k → x1−1 + x 2−1
• Zad.8. ( PR – 4 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
nie ma rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.
mx 2 − 3(m + 1)x + m = 0
• Zad.9. ( PR – 4 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x 2 − mx + 4 = 0
ma dwa różne pierwiastki takie, że suma ich kwadratów jest równa 3m + 2.
• Zad.10. ( PR – 4 pkt)
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c funkcja:
f ( x) = ( x − a )( x − b ) + ( x − b )( x − c ) + ( x − c )( x − a )
ma co najmniej jedno miejsce zerowe.
• Zad.11. ( PR – 5 pkt)
Dla jakich wartości parametru p iloczyn zbiorów A i B jest zbiorem pustym, jeżeli
A = ( x, y ) : x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ x 2 + y 2 − 6 x + 2 y + 8 ≤ 0 ,
B = {( x, y ) : x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ x − y + p 〈 0}.
{
}
1
)
−1
.
• Zad.12. ( PR – 4 pkt)
Dla jakich wartości parametru m∈ R nierówność
mx 2 + (m + 2 ) x + m
〉 1 jest spełniona przez każdą
x 2 +1
liczbę rzeczywistą x?
• Zad.13. ( PR)
Dla jakich wartości parametru m∈ R dziedziną funkcji f określonej wzorem
f (x ) =
jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych?
(m
2
)
− 1 x 2 + 2 (m − 1) x + 2
• Zad.14. ( PR – 6 pkt )
Wyznacz dziedzinę i naszkicuj wykres funkcji f danej wzorem
f (m ) = x1 ⋅ x2 , gdzie x1 , x 2 są różnymi
pierwiastkami równania (m + 2 ) ⋅ x 2 − (m + 2 ) ⋅ x + 3m + 2 = 0 , w którym m ∈ R \ {− 2 }.
2
•Zad.15. ( PR – 4 pkt )
Sporządź ilustrację graficzną i podaj wszystkie pary liczb całkowitych spełniających układ nierówności:
 y − x 2 − 3 x ≥ 0

 y + x − 2 < 3
• Zad.16. ( PR - 5 pkt )
Liczby
x1 = 5 + 23 i x 2 = 5 − 23
niewiadomą x . Oblicz wartości p i q.
są rozwiązaniami równania
(
)
x 2 − p 2 + q 2 x + ( p + q)= 0 z
• Zad.17. ( PR - 5 pkt )
Suma trzech liczb rzeczywistych dodatnich jest równa 13. Druga liczba jest trzy razy większa od
pierwszej. Wyznacz trzy liczby spełniające podane warunki tak, aby suma ich kwadratów była
najmniejsza.
• Zad.18. ( PR - 5 pkt )
Właściciel sklepu z odzieżą kupił w hurtowni koszulki, płacąc za nie 720 zł. Gdyby każda koszulka
kosztowała o 2 złote mniej, to za tę samą kwotę mógłby kupić o 5 koszulek więcej. Oblicz, ile koszulek
kupił w tej hurtowni wspomniany właściciel sklepu. Podaj cenę jednej koszulki.
• Zad.19. ( PR - 3 pkt )
Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej n > 1 największą liczbę całkowitą spełniającą
nierówność x 2 − 3nx + 2n 2 < 0 o niewiadomej x. Wyznacz wzór funkcji f.
• Zad.20. ( PR – 5 pkt )
W skarbcu królewskim było k monet. Pierwszego dnia rano skarbnik dorzucił 25 monet, a każdego
następnego ranka dorzucał o 2 monety więcej niż dnia poprzedniego. Jednocześnie ze skarbca król
zabierał w południe każdego dnia 50 monet. Oblicz najmniejszą liczbę k, dla której w każdym dniu w
skarbcu była co najmniej jedna moneta, a następnie dla każdej wartości k oblicz, w którym dniu w
skarbcu była najmniejsza liczba monet.
• Zad.21. ( PR – 5 pkt )
Jeden z końców odcinka leży na paraboli o równaniu = , a drugi na prostej o równaniu
= 2 − 6.Wykaż,że długość tego odcinka jest nie mniejsza od √5. Sporządź odpowiedni rysunek.
2
• Zad.22. ( PR – 5 pkt )
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie + + 2 = 0 ma dwa różne
pierwiastki rzeczywiste takie, że suma ich kwadratów jest większa od 2 − 13.
• Zad.23. ( PR – 5 pkt )
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie − − 4 + − 4 = 0 ma
dwa różne pierwiastki rzeczywiste, których suma jest mniejsza od 2 − 3.
• Zad.24. ( PR – 4 pkt )
Narysuj wykres funkcji f określonej wzorem = − 4|| i na jego podstawie wyznacz liczbę
rozwiązań równania = w zależności od wartości parametru m.
• Zad.25. ( PR – 5 pkt )
Dla jakich wartości parametru m suma kwadratów dwóch różnych pierwiastków równania
+ − 5 + − 7 = 0 jest najmniejsza?
• Zad.26. ( PR – 5 pkt )
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie − 4 − + 6 + − 2 = 0
ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1 i x2 takie, że − < 8 + 1.
Zadania z informatora
Zadanie 1.
Dane jest równanie + 3 − 2 = − − 2 z niewiadomą x . Sformułuj warunki, jakie powinien
spełniać parametr m, by to równanie miało dwa różne pierwiastki, których suma odwrotności jest
dodatnia.
Zadanie 2.
Dane jest równanie + + = 0 z niewiadomą x . Wyznacz wartości b oraz c tak, by były one
rozwiązaniami danego równania.
Zadanie 3.
Dane jest równanie + + − 1 = 0 z niewiadomą x . Uzasadnij, że dla każdej liczby
całkowitej m wszystkie rozwiązania tego równania są liczbami całkowitymi.
Zadanie 4.
Dana jest funkcja = − 2
a) Narysuj wykres funkcji f w przedziale 〈−4, 3) .
b) Narysuj wykres funkcji =
||
, której dziedziną jest zbiór
(−5, −2) ∪ (−2, 2) ∪ (2,5).
c) Zapisz zbiór rozwiązań nierówności () < 0 .
Zadanie 5.
Liczba − jest miejscem zerowym funkcji kwadratowej = 15 + + .
Ciąg (15, , ) jest arytmetyczny. Oblicz współczynniki b i c.
3