o pociemnieniu brzegowym

Prawa pociemnienia brzegowego
Pociemnienie brzegowe odgrywa kluczową rolę w modelowaniu ciasnych
układów podwójnych. Wyniki obserwacji przedstawione w postaci krzywej blasku
analizowane są poprzez dopasowywanie modeli, a te z kolei są zbudowane
na podstawie nawet kilkudziesięciu parametrów związanych z fizyką gwiazd.
Jednym z parametrów jest pociemnienie brzegowe wyrażone przez stosunek
jasności tarczy w danym miejscu do jasności tarczy w centrum. Aby najlepiej
odtworzyć obserwowaną krzywą, należy możliwie najdokładniej zdefiniować
funkcję pociemnienia brzegowego. Na przestrzeni wieku wykorzystywane były
różne ”prawa”pociemnienia, a pierwszym z nich było wprowadzone przez Milne
(1921) liniowe prawo pociemnienia brzegowego:
(1)
Iλ (µ)
= 1 − uλ (1 − µ),
Iλ (1)
Gdzie µ = cos θ, θ jest kątem pomiędzy kierunkiem patrzenia a normalną
do powierzchni gwiazdy w danym punkcie, a uλ jest liniowym współczynnikiem
pociemnienia brzegowego. I(µ) jest natężeniem strumienia światła w zadanym
punkcie na tarczy gwiazdy, a I(1) jest natężeniem maksymalnym, czyli w centrum
tarczy. Równanie to dobrze spisywało się w przypadku rozkładu jasności na
Słońcu oraz, przez analogię, gwiazd podobnych do Słońca. Później, dzięki
rozwojowi możliwości komputerów pojawiły się modele oparte na kwadratowym
prawie pociemnienia brzegowego (np. Wade i Ruciński, 1985):
(2)
Iλ (µ)
= 1 − aλ (1 − µ) − bλ (1 − µ)2 ,
Iλ (1)
oraz oparte na sześciennym prawie pociemnienia brzegowego (np. Van’t Veer,
1960):
(3)
Iλ (µ)
= 1 − aλ (1 − µ) − bλ (1 − µ)3 ,
Iλ (1)
gdzie aλ i bλ są współczynnikami pociemnienia brzegowego. Bardzo dobrymi
rezultatami cieszyły się modele z gwiazdami o temperaturach 100 000 < T <
400 000, które zbudowano na logarytmicznym prawie pociemnienia brzegowego
(Klingesmith i Sobieski, 1970):
(4)
Iλ (µ)
= 1 − aλ (1 − µ) − bλ µ ln µ,
Iλ (1)
Po wprowadzeniu pierwiastkowego prawa pociemnienia brzegowego (Diaz-Cordoves
i Gimenez, 1992) w postaci:
(5)
Iλ (µ)
√
= 1 − aλ (1 − µ) − bλ (1 − µ)
Iλ (1)
wykonywano porównania między modelami z zaimplementowanymi różnymi
prawami pociemnienia brzegowego i to ostatnie wydawało się pasować najlepiej
(Alencar, Vaz, 1998). Złożoność praw pociemnienia była pierwotnie uważana za
zbędną, jednak Cowley (1965) zwrócił uwagę, że nie ma powodu aby uważać, że
cztero- lub nawet pięcioparametrowe prawa nie będą lepsze od praw prostych. Co
więcej, prawa proste mogą być według niego zupełnie nieadekwatne do opisu tak
1
2
złożonego problemu, jak pociemnienie brzegowe gwiazd. Dziś coraz częściej używa
się prawa pociemnienia z czterema współczynnikami (Claret 2000):
(6)
Iλ (µ)
= 1 − aλ (1 − µ)1/2 − bλ (1 − µ) − cλ (1 − µ)3/2 − dλ (1 − µ)2
Iλ (1)
Wszystkie współczynniki do praw pociemnienia brzegowego brane były z tablic
(wybrane przykłady: Russel i Shapley 1912, van Hamme 1993, Claret i Bloomen
2011, Claret 2012) utworzonych dzięki obliczeniom numerycznym bazujących na
modelach atmosfer (np. modele Kurucz 1993).
Wpływ współczynników pociemnienia brzegowego na parametry
układu
W przypadku uzyskania bardzo dokładnych danych fotometrycznych można
spróbować wywnioskować z krzywej blasku, jakie są współczynniki przy zadaniu
odpowiedniego prawa pociemnienia brzegowego. Próby te wykonywane były
różnymi drogami, np.: metoda poprawek różnicowych, metodą najmniejszych
kwadratów z pewnym przedziałem ufności, metodą Monte Carlo i innymi (np.:
Abubekerov 2008, Tabachnik 1969, Andersen 1984 i inne prace). Współczynniki
pociemnienia brzegowego wyznaczane droga obserwacyjną zawsze wychodziły
mniejsze, niż to by wynikało z ich teoretycznych wartości. Do badań wybierano
zazwyczaj systemy rozdzielone o bardzo niewielkim stopniu deformacji, a gwiazdy
wchodzące w skład obserwowanych systemów były takie, jakich własności
próbuje się osiągnąć w modelach numerycznych (tj. modelach atmosfer
płaskorównoległych lub sferycznie symetrycznych). Odstępstwo obserwabli od
wartości teoretycznych jest niepokojące ze względu na konsekwencje, które niesie
z sobą złe oszacowanie rozkładu jasności na tarczy gwiazdy. Zostało zasugerowane
(Grygar 1965, Southworth 2008), żeby współczynniki pociemnienia brzegowego
były dopasowywane tak jak wszystkie inne parametry, bowiem współczynniki
teoretyczne są przyczyną dodatkowych błędów systematycznych. Neilson i Lester
(2011) zaproponowali wręcz, że zmierzone parametry pociemnienia brzegowego
mogą służyć jako informacja o strukturze atmosfery, jeśli użyje się ich w modelach
atmosfer (tym sposobem problem został odwrócony).
Poważnym problemem jest ścisła korelacja między współczynnikami pociemnienia
brzegowego a pozostałymi parametrami systemu. Już Serkowski (1961) napisał,
że próba oszacowania rozmiarów gwiazd (w rozumieniu modelu Roche’a) oraz
współczynników pociemnienia jest bardzo niedokładna ze względu na związek
między tymi parametrami. Dodatkowo, źle zadane prawo pociemnienia wpłynie
negatywnie na rozwiązanie inklinacji układu. To pociąga za sobą złe oszacowanie
stosunku mas składników układu podwójnego i, podążając za modelem Roche’a,
wprowadza błąd w wyliczeniu rozmiarów i geometrii systemu Innym przykładem
mogą służyć analizy tranzytów planet pozasłonecznych, które, w zależności od
dokładności wybranego prawa pociemnienia brzegowego, definiują inklinację
orbity planety oraz jej rozmiary i masę (Knutson i inni 2007). Serkowski
(1961) zwraca jeszcze uwagę na błędne wyznaczenie ∆(B − V ) oraz innych
różnic barw podczas trwania zaćmienia, jeśli zaadoptuje się prawo pociemnienia
z błędnymi współczynnikami, bowiem te ostatnie zależą silnie od długości fali,
na której prowadzi się obserwacje. Na problem obserwowalnego wyodrębnienia
parametrów pociemnienia zwrócił uwagę już Wyse (1939), który zaproponował,
aby wyznaczano różnicę współczynników pociemnienia na różnych długościach
POCIEMNIENIE BRZEGOWE W CIASNYCH UKŁADACH PODWÓJNYCH
3
fali, bowiem parametry systemu będą takie same na różnych długościach
fali, ale pociemnienie brzegowe będzie się różnić. Obserwacyjne wyznaczenie
współczynników oraz analizę błędów poprawił Popper (1984), który przeanalizował
próby wyznaczenia pociemnienia brzegowego osobno dla składników: pierwotnego
oraz wtórnego w układzie podwójnym. W swojej pracy zwrócił też uwagę
na niebezpieczeństwo wpadnięcia w łokalnieńajlepsze rozwiązanie parametrów
fizycznych, orbitalnych oraz pociemnienia brzegowego dla danego systemu.
Oprócz powyższego, współczynniki odpowiednio wybranego pociemnienia
brzegowego kształtują również sytuację w gwiazdach kataklizmicznych, gdzie
parametry te wchodzą bezpośrednio w analityczne rozwiązanie dla inklinacji
układu i, jeśli jest obecny dysk akrecyjny, jasność absolutną całego systemu
(Paczynski 1980).
Pociemnienie brzegowe w ciasnych układach podwójnych
Wszystkie dotychczasowe rozważania opisywały sytuację wynikającą z analizy
obserwacji gwiazd sferycznie symetrycznych oraz układów rozdzielonych.
W przypadku ciasnych układów podwójnych w grę wchodzą dodatkowe efekty
bliskości, również uwikłane w pociemnienie brzegowe. Najbardziej oczywistym
jest deformacja gwiazd związana z siłami pływowymi. Pociemnienie brzegowe,
zależne od fizyki atmosfery gwiazdowej oraz temperatury powinny więc być
liczone lokalnie (pierwszy zwrócił na to uwagę Chandrasekhar 1933, a analityczną
zależność podał m.in. Devinney, 1980). Podczas swojej analizy wyników obserwacji
Twigg i Rafert (1980) stwierdzili wprost, że układy kontaktowe oraz półrozdzielone
posiadają inne współczynniki pociemnienia brzegowego niż wynika to z modeli dla
gwiazd pojedynczych. W tej samej pracy zauważyli, że współczynniki z układów
rozdzielonych bardziej współgrają z przewidywaniami teoretycznymi.
W ciasnych, zaćmieniowych układach podwójnych dużą rolę w obserwacjach
odgrywają plamy gwiazdowe, których jasność jest zwyczajowo determinowana
stosunkiem do jasności powierzchni gwiazdy. Pociemnienie brzegowe będzie miało
więc wpływ na postrzeganą jasność plamy, a źle dobrane prawo pociemnienia
może zmienić postrzegany rozmiar i temperaturę plamy położonej blisko krawędzi
tarczy (Eker 1999). Rozmiar i temperatura plamy mają wpływ na geometrię
krzywej blasku, więc takie zaburzenie będzie miało konsekwencje w błędnym
rozwiązaniu pozostałych parametrów układu (w szczególności inklinacji).
Innym, rozważanym od stosunkowo niedawna (Hilditch 1996) efektem jest
wpływ oświetlenia gwiazdy przez zewnętrzne źródło, jak w przypadku gwiazd
typu HW Virginis (Wood i inni 1993), na pociemnienie brzegowe. Jak wynika
z analizy modeli, w przypadku zewnętrznego oświetlenia wszystkie prawa
pociemnienia brzegowego prowadzą do powstania pojaśnienia tuż przy brzegu
tarczy oświetlonej gwiazdy (Alencar 1999). Pojaśnienie jest najmniejsze dla
prawa liniowego, a najsilniejsze dla pierwiastkowego (czteroparametrowe prawo
pociemnienia nie było badane). Oświetlenie wpływa też na wzrost temperatury
po ”dziennejśtronie gwiazdy, co tym bardziej przemawia za potrzebą lokalnego
wyznaczania współczynników pociemnienia brzegowego.
Pierwszą, bardzo dokładną analizę układu β Aurigae obserwowanego z dużą
precyzją przez satelitę WIRE dokonali Southworth, Bruntt, Buzasi (2007).
W swojej pracy przedstawili trzy rozwiązania dla elementów systemu, każde
w przypadku innego prawa pociemnienia brzegowego: liniowego, pierwiastkowego
i kwadratowego. Rozwiązania parametrów były bardzo zbliżone, więc konieczność
4
używania bardziej skomplikowanych praw pociemnienia wydaje się być nie na
miejscu. Autorzy jednak zwracają uwagę, że obserwowany przez nich układ posiada
płytkie minima jasności, a przesłanianie się gwiazd jest szczątkowe. W takim
wypadku test różnych praw pociemnienia jest bardzo słaby. Co więcej, układ β
Aurigae jest układem rozdzielonym, a deformacja składników przez siły pływowe
jest stosunkowo niewielka. Kwestia znalezienia współczynników pociemnienia
brzegowego oraz analizę praw pociemnienia jest wciąż otwarta dla układów
kontaktowych oraz półrozdzielonych. Krzywe blasku o dokładności takiej jak u
Southwortha, Bruntta, Buzasiego (2007) są ogólnie dostępne teraz, kiedy misja
Kepler została przedłużona, a dane uwolnione do otwartej bazy danych MAST.
Jest to okazja, o której pisał Eker w 1999 roku, tj. moment, w którym dokładność
fotometryczna będzie lepsza niż 0.0001 mag, będzie oznaczał czas wiarygodnej
fotometrii. Dla porównania, Kepler wykonuje fotometrię gwiazd z dokładnością
20 ppm dla gwiazdy typu Słońca o jasności R = 12 mag, a wybrane obiekty są
próbkowane co 58.8 sek.
Bibliografia
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
[14]
[15]
[16]
[17]
[18]
[19]
[20]
[21]
[22]
[23]
Paczynski B., Schwarzenberg-Czerny A., AcA vol. 30, p.127, 1980
Wyse A.B., PASP, vol 51, p.328, 1939
Cowley C., AJ, 134, 264, 1961
Grygar J., BAC, 16, 195, 1965
Tabachnik V.M., SvA, 12, 830, 1969
Budding E., Ap SS, 22, 87, 1973
Devinney E.J. Jr., BAAS, 12, 501, 1980
Andersen J., Clausen J.V., Nordstrom B., A&A, 137, 281, 1984
Hilditch R.W., Harries T.J., Hill G., MNRAS, 279, 1380, 1996
Alencar S.H.P., Vaz L.P.R., A&A SS, 135, 555, 1999
Eker Z., ApJ, 512, 386, 1999
Abubekerov M.K., Gostev N.Yu., Cherepashchuk A.M., Astron. Reports, 53, 722,
2009
Southworth J., MNRAS, 286, 1644, 2008
Neilson H. R., Lester J. B., MNRAS 530, 8, 2011
Chandrasekhar S., MNRAS, 93, 562, 1933
Twigg L.W., Rafert., MNRAS, 193, 775, 1980
Grygar J., Cooper M.L., Jurkevich I, BAAS, 23, 1973
Knutson H.A. i in., ApJ, 655, 562, 2007
Southworth J., Bruntt H., Buzasi D. L., A&A467, 1215, 2007
Wood J.H., Zhang, Er-Ho., Robinson E. L., MNRAS, 261, 103, 1993
Popper D.M., AJ, 89, 132, 1984
Serkowski K., ApJ, 66, 405, 1961
Milne B.A., MNRAS, 81, 361, 1921
5