Efekty topologiczne i sztuczne pola cechowania w zimnych gazach
Transkrypt
Efekty topologiczne i sztuczne pola cechowania w zimnych gazach
Uniwersytet Jagielloński W Krakowie Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Efekty topologiczne i sztuczne pola cechowania w zimnych gazach atomowych Małgorzata Mochol-Grzelak Praca doktorska Promotor pracy: Prof. dr hab. Krzysztof Sacha Kraków, 2016 Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Uniwersytet Jagielloński Oświadczenie Ja niżej podpisana Małgorzata Mochol-Grzelak (nr legitymacji: 1014624) doktorantka Wydziału Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Uniwersytetu Jagiellońskiego oświadczam, że przedłożona przeze mnie rozprawa doktorska pt. „Efekty topologiczne i sztuczne pola cechowania w zimnych gazach atomowych” jest oryginalna i przedstawia wyniki badań wykonanych przeze mnie osobiście, pod kierunkiem prof. dra hab. Krzysztofa Sachy. Pracę napisałam samodzielnie. Oświadczam, że moja rozprawa doktorska została opracowana zgodnie z Ustawą o prawie autorskim i prawach pokrewnych z dnia 4 lutego 1994 r. (Dziennik Ustaw 1994 nr 24 poz. 83 wraz z późniejszymi zmianami). Jestem świadoma, że niezgodność niniejszego oświadczenia z prawdą ujawniona w dowolnym czasie, niezależnie od skutków prawnych wynikających z ww. ustawy, może spowodować unieważnienie stopnia nabytego na podstawie tej rozprawy. Kraków, dnia 25.03.2016 .......................................................... podpis doktorantki Streszczenie W pracy doktorskiej poruszana jest tematyka efektów topologicznych oraz sztucznych pól cechowania, które można obserwować i badać w zimnych gazach atomowych. W pierwszej części pracy zaprezentowany został problem ciemnego solitonu (będącego topologicznym defektem w jednym wymiarze) w kondensacie Bosego-Einsteina poddanego wpływowi zewnętrznego potencjału przypadkowego. Klasyczne podejście pozwoliło nam wysnuć wniosek, że dla słabego potencjału deformacja ciemnego solitonu jest słabym efektem, dzięki czemu przechodząc do opisu kwantowego, możemy pominąć sprzężenie pomiędzy solitonem a podukładem fononów. Traktując bowiem soliton kwantowo, jego położenie opisane jest rozkładem prawdopodobieństwa. Okazuje się jednak, że umieszczając kwantowy soliton w potencjalne przypadkowym, możliwe jest zaobserwowanie lokalizacji Andersona. Kolejnym zagadnieniem przedstawionym w pracy jest generacja sztucznego pola magnetycznego w chmurze zimnych atomów za pomocą fali zanikającej, która powstaje w wyniku całkowitego wewnętrznego odbicia w pryzmacie. Pierwsze obliczenia przeprowadziliśmy dla pojedynczej fali płaskiej, która jednak stanowi pewną idealizację prawdziwej wiązki laserowej. W związku z tym rozszerzyliśmy analizę o rzeczywistą wiązkę gaussowską. W eksperymencie z kondensatem Bosego-Einsteina obecność pola magnetycznego objawia się powstaniem wirów w chmurze atomowej, które są kwantowymi odpowiednikami ruchu po okręgu cząstki naładowanej w polu magnetycznym. Dla realistycznych parametrów eksperymentalnych wyznaczyliśmy ich liczbę, a następnie przeprowadziliśmy symulacje numeryczne, które potwierdziły nasze szacowania. Okazuje się, że efekty sztucznego pola magnetycznego można również zaobserwować w zimnych gazach atomowych, których temperatura jest zbyt wysoka dla kwantowej degeneracji. Sygnaturą sztucznych pól może być w tym przypadku przekaz pędu w kierunku prostopadłym do prędkości atomów, będący wynikiem działania sztucznej siły Lorentza. Numeryczne symulacje trajektorii pokazały, że atomy mogą być odbijane od powierzchni pryzmatu właśnie dzięki tej sile. Jeśli sztucznego pola nie ma, wszystkie atomy spadają na powierzchnię. Ostatni rozdział pracy poświęcony jest kwantowemu efektowi Halla w czterech wymiarach przestrzennych. Analogicznie do przypadku dwuwymiarowego, pasma energetyczne scharakteryzowane są niezmiennikiem topologicznym, w tym przypadku drugą liczbą Cherna. W pracy przedstawiamy efektywny algorytm do jej wyznaczenia oparty na metodach teorii cechowania na sieci. Ponadto proponujemy szkic eksperymentalnej realizacji z udziałem zimnych gazów atomowych umieszczonych w trójwymiarowej optycznej sieci Bravais z bazą. Abstract In the thesis we consider topological effects and artificial gauge potentials that can be observed and investigated in ultracold atomic gases. In the first part of the thesis we present a problem of a dark soliton (that is a topological defect in one dimension) in the BoseEinstein condensate that is affected by the external random potential. Classical approach allows us to conclude that the dark soliton deformation due to the weak external potential is very weak, so that in the quantum approach we can omit the coupling between the soliton and the phonon subsystem. In the quantum description the soliton position degree of freedom becomes an operator, so that its values are determiend according to the probability distribution. It turns out, that it is possible to observe Anderson localization when the quantum soliton is placed in a disorder potential. The next issue that is considered in the thesis is the generation of the artificial magnetic field in the ultracold atomic cloud by the evanescent wave that occurs due to the total internal reflection in the prism. In the first step we calculate the artificial magnetic field in the plan wave approximation of the laser beam. Such a simplification allows us to obtain analytical results, but is just an idealization of the real laser beam. Therefore we extent our analysis to the real gaussian profile of the beam. In the experiment with the Bose-Einstein condensate the presence of the artificial magnetic field appears as vortices in the cold atomic cloud that are the quantum equivalent of the circular motion of a charged particle in magnetic field. For the realistic experimental parameters we estimate their number and make numerical simulations to confirm our predictions. It turns out that effects of the artificial magnetic field can be observed in cold atomic gases whose temperature is higher than for the quantum degeneracy. The signature of the magnetic field existence can be the momentum transfer in the direction perpendicular to the atomic velocity that comes from the artificial Lorentz force. Numerical simulations of the trajectories show that atoms can be reflected from the prism surface due to the existence of the Lorentz force. In the absence of the magnetic field, all atoms are lost on the dielectric surface. The last chapter is devoted to the quantum Hall efect in four spatial dimensions. Analogously to the two dimensional case, the energy bands are characterized by the topological invariant, the so called second Chern number. In the thesis we present effective algorithm to calculate such a number. It is based on the methods well-known in the Lattice Gauge Theory. Moreover we propose a sketch of the experimental realization of the four dimensional Hall model in the ultracold atomic gases placed in the three dimensional optical Bravais lattice with the base. Skróty 1D Jeden wymiar 2D Dwa wymiary 3D Trzy wymiary 4D Cztery wymiary BZ Strefa Brillouina FHS Algorytm Fukui-Hatsugai-Suzuki Spis treści Wstęp 1 1 Wprowadzenie 3 1.1 1.2 Zimne gazy atomowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Teoria kondensacji w przybliżeniu średniego pola . . . . . . . . . . . 4 Wprowadzenie do zjawisk topologicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Defekty topologiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Solitony jako defekty topologiczne w 1D . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.3 Wiry jako defekty topologiczne w 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.4 Izolatory topologiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Ciemny soliton w potencjale przypadkowym 2.1 23 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.1 Deformacja ciemnego solitonu: rozwinięcie w modach Bogoliubova . 24 2.1.2 Deformacja ciemnego solitonu: rozwinięcie w modach potencjału Pöschl–Tellera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.3 Lokalizacja Andersona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2 Ciemny soliton w potencjale przypadkowym: opis klasyczny . . . . . . . . . 31 2.3 Ciemny soliton w potencjale przypadkowym: opis kwantowy . . . . . . . . . 33 2.4 2.3.1 Efektywny hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3.2 Lokalizacja Andersona ciemnego solitonu . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3 Sztuczne pola cechowania w zimnych gazach atomowych 3.1 41 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.1.1 Oddziaływanie atomów ze światłem 3.1.2 Twierdzenie Floquet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 i . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 SPIS TREŚCI 3.2 SPIS TREŚCI 3.1.3 Stany ubrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1.4 Adiabatyczny ruch atomów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.1.5 Faza Berry’ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.1.6 Związek pomiędzy fazą Berry’ego a sztucznymi polami cechowania . 49 3.1.7 Fala zanikająca i jej własności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Generacja sztucznego pola magnetycznego przez falę zanikającą w przybliżeniu fali płaskiej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.2.1 Opis układu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.2.2 Przybliżenie adiabatyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2.3 Analiza sztucznego pola magnetycznego generowanego pojedynczą falą zanikającą . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.2.4 Topologiczne wiry jako konsekwencja istnienia sztucznego pola magnetycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.3 Generacja sztucznego pola magnetycznego przez falę zanikającą z profilem gaussowskim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.3.1 Opis układu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.3.2 Analiza sztucznego pola magnetycznego generowanego falą zanikającą z profilem gaussowskim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3.3 3.4 3.5 Symulacje numeryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Lustro dla zimnych gazów atomowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.4.1 Stany ubrane dla konfiguracji Λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.4.2 Opis eksperymentu z zimnymi gazami atomowymi . . . . . . . . . . 70 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4 Kwantowy efekt Halla w 4D 4.1 4.2 79 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.1.1 Cząstka w potencjale periodycznym . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.1.2 Sieć kwadratowa w polu magnetycznym . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.1.3 Przewodność Halla i liczby Cherna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.1.4 Uogólnienie kwantowego efektu Halla na wyższe wymiary . . . . . . 89 Efektywne algorytmy wyznaczania liczb Cherna . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.2.1 Efektywny algorytm wyznaczania pierwszej liczby Cherna w opaciu o teorię cechowania na sieci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.2.2 Efektywny algorytm wyznaczania drugiej liczby Cherna . . . . . . . 94 ii SPIS TREŚCI 4.2.3 SPIS TREŚCI Przykłady zastosowania efektywnego algorytmu do wyznaczania drugiej liczby Cherna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.3 4.4 Realizacja doświadczalna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.3.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.3.2 Opis układu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.3.3 Wstępne wyniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.3.4 Perspektywy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Podsumowanie 115 Bibliografia 118 Podziękowania 127 iii Wstęp Praca podzielona jest na następujące części: Rozdział 1, w którym przedstawione są wiadomości wstępne stanowiące tło dla analizowanych w pracy problemów. Pierwszy punkt stanowi wprowadzenie w świat zimnych gazów atomowych, a także przedstawia motywację prowadzenia badań w tym zakresie. Następnie przybliżenie średniego pola daje nam skuteczne narzędzie do efektywnego studiowania zjawisk zachodzących w kondensacie Bosego-Einsteina. Wprowadzenie do zjawisk topologicznych natomiast spina klamrą tematykę pracy, dotyczącą ciemnych solitonów, sztucznych pól cechowania oraz czterowymiarowego kwantowego efektu Halla. Rozdział 2, który prezentuje wyniki uzyskane podczas magisterium oraz ich kontynuację w pierwszych miesiącach studiów doktoranckich. Punkty wprowadzające stanowią krótkie streszczenie wyników otrzymanych w Pracy Magisterskiej, a następnie przedstawione jest ich konkretne zastosowanie w analizie ciemnego solitonu w potencjale przypadkowym. Rozważania podzielone są na dwie części: opis klasyczny, podczas którego analizujemy zachowanie klasycznego solitonu pod wpływem zewnętrznego potencjału przypadkowego, oraz opis kwantowy, który prowadzi do lokalizacji Andersona ciemnego solitonu w potencjale przypadkowym. Rozdział 3, który jest jednym z najważniejszych rozdziałów pracy. Przedstawiona jest w nim metoda generacji sztucznego pola magnetycznego falą zanikającą, która powstaje w wyniku całkowitego wewnętrznego odbicia w pryzmacie. Przedstawiony jest mechanizm działania przybliżenia adiabatycznego, który stanowi bazę dla naszej metody oraz rezultaty obejmujące zarówno analityczne wzory na postać pola magnetycznego, jak i wyniki symulacji numerycznych. W rozdziale przedstawiona jest również propozycja eksperymentu z niezdegenerowanymi zimnymi gazami atomowymi. Rozdział 4 wprowadzający w tematykę czterowymiarowego efektu Halla. W pracy przedstawiamy efektywny algorytm do wyznaczania drugiej liczby Cherna, a więc niezmiennika topologicznego charakteryzującego pasma czterowymiarowego układu, oparty na metodach teorii cechowania na sieci. Ponadto proponujemy szkic eksperymentalnej 1 Wstęp realizacji najprostszego topologicznego izolatora z udziałem zimnych gazów atomowych umieszczonych w trójwymiarowej sieci Bravais z bazą. Autorka uzyskała środki finansowe na przygotowanie rozprawy doktorskiej z Narodowego Centrum Nauki w ramach finansowania stypendium doktorskiego ETIUDA na podstawie decyzji numer DEC-2014/12/T/ST2/00325. Praca doktorska została napisana na podstawie wyników badań projektu PRELUDIUM finansowanego ze środków Narodowego Centrum Nauki przyznanych na podstawie decyzji numer DEC-2012/05/N/ST2/02745. 2 Rozdział 1 Wprowadzenie 1.1 Zimne gazy atomowe Pierwsze eksperymentalne realizacje kondensatu Bosego-Einsteina w 1995 roku [1–3] pozwoliły na wgląd do świata kwantowej materii oraz stworzyły podwaliny pod jedną z najbardziej dynamicznie rozwijających się obecnie dziedzin fizyki - zimnych gazów atomowych. Okazuje się, że atomy o całkowitym spinie (bozony) schłodzone do temperatur bliskich zeru bezwzględnemu obsadzają makroskopowo stan podstawowy pułapki, tj. prawie wszystkie znajdują się w tym samym stanie jednocząstkowym, co odpowiada zjawisku kondensacji Bosego-Einsteina. Dzięki temu, że atomy zachowują się kolektywnie jesteśmy w stanie modelować i badać zjawiska kwantowe w makroskali. To nie jedyna zaleta ultrazimnych gazów atomowych. W niskich temperaturach zaczynają mieć również znaczenie fale materii, zapostulowane przez de Broglie’a w 1924 roku [4]. Zgodnie z jego hipotezą, √ każdy obiekt może być widziany jako cząstka oraz jako fala o długości λdB = h/ 2πmkB T , która zależy od masy obiektu m, stałej Boltzmanna kB , temperatury T oraz stałej Plancka h. W większości przypadków fale materii są bardzo trudne do zaobserwowania, ponieważ stała Plancka charakteryzuje trudno dostępny świat kwantowy. Im większa masa obiektu oraz im wyższa temperatura, tym krótsza fala de Broglie’a, a tym samym skala, na której kwantowe efekty mają znaczenie. Aby osiągnąć reżim kwantowy, fala de Broglie’a λdB musi być rzędu średnich odległości między atomami. Dlatego istnieją dwie możliwości, w których fala de Broglie’a może osiągać istotne długości. Po pierwsze dla mas atomów warunek ten jest spełniony dla temperatur poniżej 1µK. Idealnie do tego celu nadają się rozrzedzone gazy atomowe, w których ponadto odległość między atomami jest większa niż zasięg ich oddziaływania, a więc są słabo oddziałujące i dominują zderzenia dwuciałowe stabilizujące gaz w niskich temperaturach. Drugą możliwością jest obniżenie masy obiektu, które po- 3 1.1. Zimne gazy atomowe zwala na kondensację w wyższych temperaturach. Własność tą wykorzystują kondensaty polarytonów ekscytonów [5], a więc kwazicząstek będących bozonami, stworzonych przez ekscyton (para elektron-dziura) silnie sprzęgnięty z fotonem (polaryton). Szczególnie silne sprzężenie można osiągnąć w półprzewodnikowych mikrownękach, w których polarytony są skwantowane. Polarytony ekscytonów charakteryzuje bardzo mała masa efektywna, rzędu 10−4 masy elektronu, dzięki czemu mogą kondensować nawet w temperaturach pokojowych [6–8]. Niesłabnąca atrakcyjność zimnych gazów atomowych ma jeszcze inne źródła. Z eksperymentalnego punktu widzenia zimne gazy atomowe są układami o ogromnych możliwościach manipulacji. Dobierać można rodzaj atomów (bozony, fermiony lub mieszaniny obu) oraz kontrolować oddziaływania między nimi wykorzystując rezonanse Feshbacha [9, 10]. Poprzez zastosowanie odpowiednich wiązek laserowych możliwe jest wygenerowanie potencjałów harmonicznych [11], periodycznych [12, 13], kwaziperiodycznych [14, 15] czy też przypadkowych [16,17], a także kontrolowanie wymiarowości układu, począwszy od 1D [18]. Dzięki tym udogodnieniom, w zimnych gazach atomowych możliwe jest symulowanie zjawisk z innych dziedzin fizyki. Stanowią one tzw. kwantowe symulatory, których ideę wprowadził Richard Feynmann w 1982 roku [19]. Zgodnie z jego założeniem, skomplikowany kwantowy układ może być zastąpiony prostszym, który naśladuje jego właściwości [20,21]. Zimne gazy atomowe są swego rodzaju interdyscyplinarnym laboratorium o ogromnych możliwościach badania skomplikowanych problemów m.in. z fizyki fazy skondensowanej czy optyki kwantowej [12, 13]. Rozwój tej dziedziny w ostatnich latach doprowadził do wytworzenia sztucznych pól cechowania, a więc pewnych specyficznych warunków, które powodują, że neutralne atomy zachowują się jak naładowane cząstki w efektywnym polu magnetycznym. Istnieje kilka metod generowania sztucznych pól, m.in. rotujące pułapki i sieci optyczne [22–24], tunelowanie wspomagane laserem [25, 26] oraz oddziaływanie atomów z polem laserowym [27–30]. Otworzyło to wachlarz możliwości dla symulowania i lepszego zrozumienia fundamentalnych zjawisk magnetycznych takich jak kwantowy efekt Halla [31, 32], fraktalna struktura pasm energetycznych (Motyl Hofstadtera) [33–35] czy wysokotemperaturowe nadprzewodnictwo [36, 37] i izolatory topologiczne [38–40]. 1.1.1 Teoria kondensacji w przybliżeniu średniego pola Równanie Grossa-Pitajewskiego Kondensat Bosego-Einsteina jest gazem N bozonów, które znajdują się w takim samym stanie kwantowym, zatem całkowitą funkcję falową układu można przedstawić w postaci 4 1.1. Zimne gazy atomowe iloczynu funkcji jednocząstkowych [41]: Ψ(r~1 , ..., r~N ) = N Y φ0 (~ri ). (1.1.1) i=1 W rzeczywistości jednak istnieją oddziaływania między atomami i powyższa forma funkcji falowej może być jedynie przybliżeniem rzeczywistego stanu podstawowego układu. Atomy oddalone od siebie o r oddziałują między sobą van der Waalsowsko poprzez elektryczne dipole d1 i d2 z potencjałem oddziaływania [42]: r r i 1 h d · d − 3 d · d · . Ud−d (r) = 1 2 1 2 4πǫ0 r3 r r (1.1.2) Traktując go perturbacyjnie możemy zauważyć, że poprawka pierwszego rzędu do energii układu będzie równa zero ze względu na zachowanie parzystości stanów własnych, tj. elementy diagonalne operatorów momentu dipolowego są równe zero. Dlatego też pierwsza niezerowa poprawka pojawi się w drugim rzędzie rachunku zaburzeń i potencjał oddziaływania między atomami będzie się zmieniał jak ∼ 1/r6 , a więc zanika szybciej niż 1/r3 . Wynika stąd, że w zakresie niskich energii między atomami dominują zderzenia o momencie pędu równym zero a więc charakteryzuje ją jedna liczba - długość rozpraszania a. Dlatego też w opisie kondensatu można przyjąć prosty krótkozasięgowy potencjał postaci: U (r1 − r2 ) = g0 δ(r1 − r2 ), (1.1.3) który jest potencjałem kontaktowym ze względu na deltę Diraca. Parametr g0 jest stałą sprzężenia i dla trzech wymiarów (3D) wnosi: g0 = 4π~2 a , m (1.1.4) a więc jest proporcjonalny do długości rozpraszania a, którą można zmieniać niemal dowolnie stosując rezonanse Feshbacha [9, 10]. Hamiltonian opisujący układ N atomów o masie m spułapkowanych w potencjale V (r) przybiera postać: H= N 2 X p i i=1 2m + V (ri ) + N 1 X U (ri − rj ). 2 (1.1.5) i6=j=1 Wyznaczając jego wartość średnią w stanie kondensatu (1.1.1) otrzymujemy funkcjonał energii: E[φ0 , φ∗0 ] = hΨ|H|Ψi = N Z ~2 N −1 2 2 4 d r |∇φ0 (~r)| + V (~r)|φ0 (~r)| + g0 |φ0 (~r)| . 2m 2 (1.1.6) 3 5 1.1. Zimne gazy atomowe Czynnik pojawiający się w wyrazie oddziaływania N (N − 1)/2 jest liczbą kombinacji two- rzenia par oddziałujących ze sobą bozonów. Dla dużej liczby cząstek N − 1 ≈ N . Zwycza√ jowo funkcję kondensatu przepisuje się w postaci ψ(r) = N φ0 (r), dzięki czemu wyrażenie na energię układu przyjmuje prostszą formę: 2 Z ~ g0 3 2 2 4 E= d r |∇ψ(~r)| + V (~r)|ψ(~r)| + |ψ(~r)| , 2m 2 (1.1.7) Aby znaleźć stan jednocząstkowy, dla którego ψ będzie najlepszym przybliżeniem stanu podstawowego, minimalizujemy energię układu stosując metodę mnożników Lagrange’a i dokonując wariacji względem φ∗0 . W ten sposób otrzymujemy równanie Grossa-Pitajewskiego [43]: − ~2 2 ∇ φ0 (~r) + V (~r)φ0 (~r) + g0 |φ0 (~r)|2 φ0 (~r) = µφ(~r), 2m (1.1.8) gdzie µ jest mnożnikiem Lagrange’a posiadającym interpretację fizyczną jako potencjał chemiczny. Można pokazać, że: µ= ∂E . ∂N (1.1.9) Równanie Grossa-Pitajewskiego jest szczególnym przypadkiem nieliniowego równania Schrödingera, w którym wyraz nieliniowy odpowiada średniopolowemu oddziaływaniu atomu z resztą chmury. W zależności od znaku długości rozpraszania (efektywnie g0 ) potencjał chmury atomowej może być przyciągający (g0 < 0) lub odpychający (g0 > 0). Rozważmy teraz kondensat Bosego-Einsteina umieszczony w pudle. Na jego brzegach funkcja falowa musi znikać, natomiast z dala od ścian potencjału gęstość kondensatu jest jednorodna i osiąga pewną określoną wartość. Odległość, na jakiej wartość funkcji falowej rośnie od zera do jej wartości maksymalnej wewnątrz pudła, można wyznaczyć z równania Grossa-Pitajewskiego, ponieważ z dala od ścian funkcja falowa jest zdeterminowana przez współzawodnictwo między energią oddziaływania ∼ g0 |ψ|2 a energią kinetyczną. Jeżeli przestrzenne zmiany funkcji falowej zachodzą na zakresie ξ, energia kinetyczna na cząstkę jest rzędu ~2 /2mξ 2 i dwie energie są sobie równe gdy: ~2 = g0 |ψ0 |2 , 2mξ 2 (1.1.10) a więc ~ . ξ=p m|ψ(0)|2 g0 (1.1.11) Wielkość ta zwana jest długością zabliźnienia czy też długością koherencji (lub korelacji) i opisuje długość, na której funkcja falowa dąży do swojej maksymalnej wartości gdy poddana jest lokalnemu zaburzeniu. 6 1.1. Zimne gazy atomowe Przybliżenie Thomasa-Fermiego Równanie Grossa-Pitajewskiego (1.1.8) jest równaniem różniczkowym nieliniowym, a więc nie istnieje jednoznaczna metoda znajdywania jego rozwiązań analitycznie. W ogólności trudno jest znaleźć ścisłe rozwiązania w wymiarach większych niż jeden (1D). W 1D ścisłymi rozwiązaniami są solitony: jasne dla oddziaływań przyciągających (g0 < 0) i ciemne dla odpychających (g0 > 0), do których wrócimy później, zob. sekcja 1.2.2. W większości przypadków jednak można zastosować pewne przybliżenia, które pozwalają otrzymać stan podstawowy kondensatu. Jednym z nich jest przybliżenie Thomasa-Fermiego, które stosuje się dla chmur o dużej liczbie atomów i oddziaływaniach odpychających i polega na pominięciu energii kinetycznej. Przyjmując jako R promień kondensatu Bosego-Einsteina umieszczonego w potencjale harmonicznym, dla dużej liczby atomów otrzymujemy warunek: r ~ , (1.1.12) mω gdzie prawa strona nierówności jest oscylatorową skalą długości dla pułapki harmonicznej R≫ o częstości ω dla atomów o masie m. Rozpatrując stosunek energii kinetycznej do energii potencjalnej pułapki dostajemy wyrażenie: 2 ~ Ekin 2 ≈ mR2 2 = Eharm mω R ~ mωR2 2 ≪ 1, (1.1.13) a więc w równaniu Grossa-Pitajewskiego możemy zaniedbać wyraz proporcjonalny do ∇2 ψ i otrzymać rozwiązanie Thomasa-Fermiego: r µ− 21 r 2 g ψT F (r) = 0 r2 ≤ 2µ ≡ RT2 F , (1.1.14) r2 > RT2 F . Zastosowaliśmy w tym przypadku tzw. jednostki oscylatorowe, dla których skalą długości p jest l0 = ~/mω, a energii E0 = ~ω. Potencjał chemiczny µ wyznaczamy z warunku R normalizacji |ψT F (r)|2 d3 r = 1 i dla 2D w jednostkach oscylatorowych wynosi on: p (1.1.15) µ = g/π. Linearyzacja równania Grossa-Pitajewskiego Linearyzacja równania Grossa-Pitajewskiego (1.1.8) jest procedurą pozwalającą na analizę rozwiązań pod kątem ich stabilności, tj. eksponencjalnej rozbieżności w czasie. Liniowe rozwinięcie wokół małego zaburzenia δφ funkcji falowej kondensatu prowadzi do teorii liniowej odpowiedzi układu na zewnętrzną perturbację oraz do teorii Bogoliubova, która mikroskopowo opisuje gaz ultrazimnych atomów [44]. 7 1.2. Wprowadzenie do zjawisk topologicznych Niech φ0 będzie stacjonarnym rozwiązaniem równania Grossa-Pitajewskiego (1.1.8). Zakładając słabe zaburzenie funkcji falowej, wprowadźmy małą poprawkę wokół tego rozwiązania: (1.1.16) φ = φ0 + δφ. Wstawiając do równania (1.1.8) i uwzględniając jedynie człony liniowe w δφ, możemy wyznaczyć poprawkę δφ oraz δφ∗ . Problem sprowadza się do rozwiązania zagadnienia własnego dla liniowego operatora L: (1.1.17) L|ψk i = ǫk |ψk i, gdzie w 1D L= +HGP + g0 |φ0 |2 −g0 φ∗2 0 g0 φ20 −HGP − g0 |φ0 |2 ! , (1.1.18) 1 (1.1.19) HGP = − ∂x2 + g0 |φ0 |2 − µ, 2 w jednostkach oscylatorowych. Załóżmy również parametryzację prawostronnego wektora własnego L jako: |ψkR i = 1.2 " |uk i |vk i # do wartości własnej ǫk . (1.1.20) Wprowadzenie do zjawisk topologicznych Topologia jako dziedzina matematyki zajmuje się obiektami (przestrzeniami topologicznymi), których własności są niezmiennicze ze względu na ciągłe deformacje takie jak rozciąganie, zginanie, ściskanie, skręcanie, które nie powodują dziurawienia, rozrywania czy sklejania ich struktury. Aby lepiej zrozumieć rolę jaką odgrywają efekty topologiczne w fizyce, powinniśmy zacząć od wyjaśnienia kilku pojęć [45]. Ciągłe odwzorowania f : X → Y pomiędzy przestrzeniami topologicznymi X i Y zwane są homeomorfizmami lub izomorfizmami topologicznymi, jeśli f jest ciągłą bijekcją (każ- demu elementowi obrazu odpowiada dokładnie jeden element dziedziny), która posiada ciągłą funkcję odwrotną f −1 . Homeomorficzne przestrzenie są zatem identyczne z topologicznego punktu widzenia, choć mogą mieć różne rozmiary i kształty. Weźmy dla przykładu okrąg i kwadrat. Pomimo różnic geometrycznych przestrzenie związane z tymi figurami są izomorficzne topologicznie - zawierają jednowymiarowy kontur zamknięty, który dzieli płaszczyznę na dwie części - 8 1.2. Wprowadzenie do zjawisk topologicznych wewnątrz i na zewnątrz figury. Ściśle związane z homeomorfizmem jest pojęcie homotopii, które jest mniej restrykcyjne ze względu na własności. Homotopią nazywamy odwzorowanie H : X × [0, 1] → Y między przestrzeniami topolo- gicznymi X i Y , takie że dla ciągłych funkcji f i g, f, g : X → Y zachodzi f (x) = H(x, 0) i g(x) = H(x, 1) dla każdego x ∈ X. Jeśli drugi parametr funkcji H rozważymy np. jako parametryzację czasu, to homotopia opisuje ciągłą deformację funkcji f w g, ponieważ dla czasu t = 0 startujemy od funkcji f i kończymy na funkcji g po czasie t = 1. Zarówno homeomorfizm jak i homotopia są relacjami równoważności, co oznacza, że są symetryczne (jeśli f jest homeomorficzne/homotopijne do g, to g homeomorficzne/homotopijne do f ) oraz przechodnie (jeśli f jest homeomorficzne/homotopijne do g, a g jest homeomorficzne/homotopijne do h, to f jest homeomorficzne/homotopijne do h). Stąd homeomorfizmy i homotopie mogą być podzielone na klasy równoważności. Najbardziej znanym przykładem homeomorfizmu, będącego również homotopią jest przekształcenie kubka na kawę w torus. Można tego dokonać w sposób ciągły bez rozrywania czy sklejania poprzez stopniowe rozszerzanie dna kubka (spłycanie) i wygięcie go wzdłuż uchwytu. Oczywiście również istnieje ciągła transformacja odwrotna. Ogólnie każdy homeomorfizm jest homotopijnie równoważny, ale odwrotne twierdzenie nie jest prawdziwe. Aby to zilustrować rozważmy koło oraz punkt. Są one homotopijnie równoważne względem siebie, ponieważ koło można sprowadzić do punktu, natomiast nie są homeomorficzne, ponieważ takie odwzorowanie nie jest bijekcją. Powyższe przykłady pokazują, że topologia nie bazuje na konkretnych kształtach i rozmiarach obiektów, ale na ich pewnych generycznych własnościach. Te z nich, które są niezmiennicze względem homeomorfizmów lub homotopii (w zależności od wyboru klasyfikacji przestrzeni topologicznych) nazywamy własnościami topologicznymi lub inaczej topologicznymi niezmiennikami. Może nimi być np. liczba dziur, ponieważ nie da się ciągłym przekształceniem sprowadzić dziury do punktu. Dlatego pączek, obwarzanek i precel są scharakteryzowane innymi liczbami topologicznymi zwanymi również ładunkiem topologicznym. 1.2.1 Defekty topologiczne Szczególną rolę w fizyce odgrywa grupa efektów topologicznych określana mianem topologicznych defektów. Są to rozwiązania równań różniczkowych cząstkowych, których nie da 9 1.2. Wprowadzenie do zjawisk topologicznych się w sposób ciągły przekształcić w rozwiązania próżniowe (o najniższej energii), a więc są homotopijnie różne od próżni. Wprowadzona wcześniej teoria homotopii pozwala na klasyfikację rozwiązań i określa kiedy rzeczywiście są topologicznie odrębne. Z tego też powodu można je uważać za wzbudzenia układu, które są stabilne względem niewielkich zaburzeń oraz nie mogą same ulegać rozpadowi, choć stabilność w tym przypadku ma odmienne znaczenie niż dla większości rozwiązań generowanych przez rachunek perturbacyjny, ponieważ w tym przypadku dotyczy możliwości (lub jej braku) ciągłej transformacji. Obecność topologicznych defektów ściśle związana jest ze spontanicznym łamaniem symetrii [46], dlatego mogą one pojawiać się w różnych dziedzinach współczesnej fizyki [47, 48]. Słowo „defekt” wskazuje, że stanowią pewne zaburzenie naturalnego porządku. W przypadku kondensatu Bosego-Einsteina wyznaczają miejsca zerowe funkcji falowej, a więc odstępstwa od jednorodnej struktury gęstości prawdopodobieństwa. W zależności od wymiaru układu możemy obserwować jednowymiarowe solitony, które zostały opisane w punkcie 1.2.2, oraz dwuwymiarowe wiry, punkt 1.2.3. 1.2.2 Solitony jako defekty topologiczne w 1D Równania różniczkowe cząstkowe z wyrazem nieliniowym mogą posiadać rozwiązania solitonowe, a więc takie, które propagują się bez zmiany kształtu. Dzięki kompensacji dyspersji przez nieliniowość równania, swobodny pakiet falowy nie ulega rozmyciu i zachowuje swój pierwotny kształt. Ponadto solitony wykazują stabilność ze względu na zaburzenia i wzajemne zderzenia. W fizyce znanym przykładem równania posiadającego rozwiązanie solitonowe jest równanie sine-Gordona, ale także równanie Grossa-Pitajewskiego [49] opisujące kondensat. Ciemne solitony w kondensacie Bosego-Einsteina Rozważmy jednowymiarowe równanie Grossa-Pitajewskiego z odpychającymi oddziaływaniami między atomami (g0 > 0): i~ ~2 ∂ 2 φ 0 ∂φ0 =− + g0 |φ0 |2 φ0 . ∂t 2m ∂x2 Analitycznym rozwiązaniem jest tzw. ciemny soliton [42]: " !# r r 2 2 q̇ q̇ q̇ x − q √ 1− 2 φ0 (x, t) = e−iµ0 t/~ ρ0 i + 1 − 2 tanh , s s ξ s (1.2.1) (1.2.2) gdzie ρ0 to gęstość kondensatu z dala od solitonu, µ0 = ρ0 g0 oznacza potencjał chemiczny, p s = ρ0 g0 /m jest prędkością zaburzeń długofalowych w kondensacie (prędkość dźwięku), 10 1.2. Wprowadzenie do zjawisk topologicznych √ natomiast ξ = ~/ mρ0 g0 opisuje długość zabliźnienia. Ponadto centrum solitonu, a tym samym minimum gęstości chmury atomowej, zlokalizowane jest wokół q i porusza się z prędkością q̇ ≤ s. Stacjonarny soliton, dla którego q̇ = 0 przyjmuje postać: φ0 (x, t) = e −iθ √ ρ0 tanh x−q ξ , (1.2.3) gdzie θ jest globalną fazą funkcji falowej. Topologiczna natura solitonu objawia się w warunkach brzegowych, a więc w zachowaniu φ0 w ±∞: √ φ0 (+∞) ≡ φ+ → eiθ ρ, 0 √ φ0 (−∞) ≡ φ− → −eiθ ρ. 0 (1.2.4) (1.2.5) Wynika stąd, że faza funkcji falowej wzdłuż solitonu zmienia się o π. Ciemny soliton zatem jest pewną interpolacją między dwoma stanami o takich samych energiach, φ+ 0 i φ− 0 . W takiej sytuacji nie da się ciągłą transformacją sprowadzić solitonu do rozwiązania próżniowego, tj. φ0 = const, ponieważ należą one do innych klas równoważności, a więc nie są homotopijne względem siebie. Taka deformacja byłaby możliwa jedynie w sytuacji, − gdy φ+ 0 = φ0 . Rozwiązania zachowujące się w taki sposób, jak ciemny soliton noszą w fizyce nazwę „kinków” [45]. 1.2.3 Wiry jako defekty topologiczne w 2D Wiry pojawiają się w fizyce jako miejsca zerowe dwuwymiarowej funkcji falowej, wokół których wzdłuż niewielkiej pętli faza funkcji falowej wzrasta o 2πn, gdzie n jest liczbą całkowitą wyrażającą ładunek topologiczny czy też inaczej liczbę nawinięć fazy. Rozpatrując nadciekłość można zauważyć, że krążenie atomów w wirze odbywa się bez tarcia (z definicji nadciekłości), a więc nigdy nie ustaje. Wiry w kondensacie Bosego-Einsteina Rozważmy funkcję falową kondensatu ψ(r, t) w przybliżeniu średniego pola zapisując ją za pomocą gęstości prawdopodobieństwa ρ(r, t) = |ψ(r, t)|2 oraz fazy φ(r, t), tj.: ψ(r, t) = p ρ(r, t)eiφ(r,t) 11 (1.2.6) 1.2. Wprowadzenie do zjawisk topologicznych Wstawiając ją do równania Grossa-Pitajewskiego opisującego kondensat w potencjale pułapkującym V (r) i rozdzielając część rzeczywistą i urojoną, otrzymujemy dwa równania: ∂ρ ∂t ∂φ −~ ∂t ~ ∇ · (ρ∇φ) , m ~2 ~2 √ = − √ ∇2 ρ + ∇φ · ∇φ + V (r) + g0 ρ. 2m ρ 2m = − (1.2.7) (1.2.8) Jeśli zdefiniujemy prędkość kondensatu jako: v(r, t) = ~ ∇φ, m (1.2.9) to wyrażenie (1.2.7) przyjmuje postać równania ciągłości znanego z hydrodynamiki: ∂ρ + ∇ · (ρv) = 0, ∂t (1.2.10) gdzie v jest tak naprawdę potencjalnym polem prędkości, ponieważ stanowi gradient wielkości skalarnej, którą jest faza pełniąca rolę potencjału prędkości. Na drugie równanie natomiast (1.2.8) możemy obustronnie zadziałać operatorem ∇ i doprowadzić je do postaci równania ewolucji dla pola prędkości: 1 ~ ∂v 2√ ρ = 0. +∇ mv 2 + V + g0 ρ − ∇ m √ ∂t 2 2m ρ (1.2.11) Równanie to odpowiada klasycznemu równaniu Eulera dla idealnej cieczy (nielepkiej) za wyjątkiem ostatniego wyrazu zwanego ciśnieniem kwantowym ze względu na obecność stałej Plancka, który opisuje siły powstałe w wyniku przestrzennych zmian amplitudy funkcji falowej kondensatu. Jeśli zmiany te odbywają się na skali mniejszej niż długość zabliźnienia ξ (1.1.11), to ciśnienie kwantowe staje się istotną wielkością. W większości przypadków jednak dla gładkich gęstości prawdopodobieństwa ciśnienie kwantowe jest zaniedbywalnie małe, a więc można je pominąć. Cechą pól potencjalnych jest brak cyrkulacji, co wynika wprost z rachunku wektorowego: I Z Z ~ v · dr = (∇ × v) · ds = Γ= (∇ × ∇φ) · ds = 0, (1.2.12) m C dlatego w większości przypadków kondensat Bosego-Einsteina jest bezwirowy. Może się jednak zdarzyć, że pole prędkości (1.2.9) posiada osobliwości na obszarze wyznaczonym konturem C i wtedy cyrkulacja będzie różna od zera. Nie może ona jednak przyjmować być dowolna. Wynika to z faktu, że zmiana fazy funkcji falowej kondensatu po konturze zamkniętym musi być wielokrotnością 2π ze względu na jednowartościowość funkcji falowej. Zatem dozwolone wartości cyrkulacji wynoszą: I h ~ v · dr = 2πl = l , Γ= m m C 12 (1.2.13) 1.2. Wprowadzenie do zjawisk topologicznych gdzie l jest liczbą całkowitą. Widać zatem, że cyrkulacja jest skwantowana w jednostkach h/m. Aby zobrazować efekt niezerowej cyrkulacji, rozważmy kondensat atomów będących w stanie jednocząstkowym o momencie pędu Lz = ~l, ψ(r, ϕ, z) = f (r, z)eilϕ , (1.2.14) gdzie f (r = 0, z) = 0. W tym przypadku pole prędkości posiada osobliwość w punkcie r = 0, co łatwo widać wyznaczając gradient fazy we współrzędnych cylindrycznych: l ∇(lϕ) = êϕ . r (1.2.15) Zatem cyrkulacja jest niezerowa i wynosi: Γ= ~ m I ldϕ = l h , m (1.2.16) gdzie l wyznacza liczbę nawinięć fazy funkcji falowej, a więc pełnych obiegów, wokół osobliwości. Okazuje się, że cyrkulacja zawsze wyniesie lh/m, gdy kontur całkowania będzie obejmował oś r = 0, dlatego też kwanty cyrkulacji są rodzajem ładunku topologicznego, a więc pewnej wewnętrznej własności układu, dlatego deformacja konturu, o ile obejmuje on osobliwość, prowadzi zawsze do tego samego wyniku. 1.2.4 Izolatory topologiczne Izolatory topologiczne to materiały będące izolatorami, tj. posiadające przerwę energetyczną pomiędzy pasmem całkowicie obsadzonym a pasmem przewodnictwa, w których jednak istnieją stabilne przewodzące stany na brzegach, a przewodność scharakteryzowana jest topologicznymi liczbami kwantowymi. Historycznie pierwszym układem przejawiającym topologiczne zachowanie był kwantowy efekt Halla i tego typu izolatorami, zwanymi izolatorami Cherna, będziemy się zajmować w niniejszej pracy. Obecnie znanych jest wiele innych rodzajów topologicznych izolatorów, a lista kategorii uwzględniających zachowane w układzie symetrie jest bardzo długa [50–53]. Aby lepiej zrozumieć istotę kwantowego efektu Halla [54], zacznijmy od przypadku klasycznego [55]. Klasyczny efekt Halla Rozważmy gaz elektronów w przewodniku w dwóch wymiarach przestrzennych, tj. w płaszczyźnie XY oraz załóżmy, że w przewodniku płynie prąd tak jak na Rys. 1.1. Ruch 13 1.2. Wprowadzenie do zjawisk topologicznych elektronów w przybliżeniu można traktować jako jednostajny prostoliniowy, ponieważ natężenie zewnętrznego pola elektrycznego przyspiesza elektrony do średniej prędkości dryfu vd w czasie τ pomiędzy zderzeniami z innymi elektronami, tj. vd = − eτ E. m (1.2.17) Wysumowanie przyczynków od wszystkich elektronów prowadzi do wyrażenia na gęstość prądu j = −ne evd = σ0 E, gdzie: σ0 = n e e2 τ m (1.2.18) wyraża przewodność, a ne jest koncentracją elektronów. Jeśli natomiast dodatkowo przewodnik umieścimy w polu magnetycznym o indukcji B, skierowanym wzdłuż osi z, a więc prostopadle do przewodnika, to trajektorie nośników zostaną zakrzywione w wyniku działania siły Lorentza, a więc wyrażenie (1.2.17) musi ją uwzględniać, tj.: vd = −e(E + vd × B) τ . m (1.2.19) Prowadzi to do asymetrii w rozkładzie ładunku chmury elektronów, tj. ładunek ujemny będzie akumulowany na jednym z brzegów przewodnika, tak jak na Rys. 1.1. Powstała w ten sposób różnica potencjałów nosi nazwę napięcia Halla, a wygenerowane pole elektryczne przeciwdziała dalszemu gromadzeniu się elektronów i napięcie przyjmuje określoną wartość. Przepisując gęstość prądu jako: j = σ0 E − σ0 j×B ne ec (1.2.20) widać, że w tym przypadku przewodność staje się tensorem. Z powyższego wyrażenia łatwo odczytać tensor oporności ρ, tj.: E = ρj, ρ= ρ0 B ne ec − nB e ec ρ0 ! (1.2.21) gdzie ρ0 = 1/σ0 . Wtedy przewodność σ jest macierzą odwrotną do ρ, tj. σ = ρ−1 , a więc σxx = σ0 , 1 + ωc τ 2 σxy = ne ec 1 + σxx , B ωc τ (1.2.22) gdzie ωc = eB/cm wyraża częstość cyklotronową. Kwantowy efekt Halla Traktując elektron kwantowo, możemy wyrazić jego stan za pomocą funkcji falowej |ψ(r)i. W obecności pola magnetycznego część kinetyczna hamiltonianu ulega modyfikacji, 14 1.2. Wprowadzenie do zjawisk topologicznych z y x I B Rysunek 1.1: Klasyczny efekt Halla. W zewnętrznym polu magnetycznym B skierowanym wzdłuż osi z poruszające się w płaszczyźnie XY ładunki są odchylane w wyniku działania siły Lorentza. W ten sposób powstaje asymetria w rozkładzie ładunku chmury elektronów, a tym samym poprzeczna różnica potencjałów między brzegami próbki zwana napięciem Halla. tj. p → p−eA/c. W klasycznym efekcie Halla pole magnetyczne B skierowane było wzdłuż osi z, a więc B = B ẑ. Wykorzystując związek pomiędzy potencjałem wektorowym A i polem magnetycznym B = ∇ × A możemy zastosować tzw. cechowanie Landaua, aby otrzymać odpowiedni wektor pola magnetycznego. Wtedy A = Bx ŷ i zagadnienie własne dla elektronu w polu magnetycznym przyjmuje postać: 2 e 2 1 px py − Bx + |ψ(r)i = E|ψ(r)i. H|ψ(r)i = 2m 2m c (1.2.23) Ponieważ pęd py komutuje z hamiltonianem, to funkcję falową |ψi możemy zapisać rozsepa- rowując zmienne, tj. |ψi = eiky y φ(x). Korzystając z wyrażenia na częstość cyklotronową ωc = eB/cm hamiltonian z równania (1.2.23) można sprowadzić do postaci oscylatora harmonicznego: H= 1 p2x + mωc (x − x0 )2 , 2m 2 (1.2.24) 2 k , a l to długość magnetyczna określająca rozmiar elementarnej gdzie x0 = ~ky /mωc ≡ lB y B orbity cyklotronowej. Energie własne układu wynoszą: 1 En = ~ωc n + , 2 15 (1.2.25) 1.2. Wprowadzenie do zjawisk topologicznych a więc spektrum złożone jest z poziomów odległych od siebie o ~ωc , zwanych również poziomami Landaua. Są one zdegenerowane, ponieważ energia nie zależy od liczby kwantowej ky . Aby wyznaczyć liczbę możliwych poziomów Landaua oraz ich obsadzenie zakładamy, że wymiary układu wynoszą Lx i Ly w kierunkach x i y odpowiednio. Zakładając periodyczne warunki brzegowe, ky może przyjmować wartości: 2π my , ky = Ly (1.2.26) gdzie my jest liczbą całkowitą. Stąd możliwe wartości x0 są oddalone od siebie o ∆x = 2 ∆k = 2πl2 /L . Zauważmy, że jeśli L ≫ l , to ∆x ≪ l , a więc odległość między lB y y y B B B sąsiadującymi stanami jest dużo mniejsza niż szerokość każdego z nich. Całkowita liczba 2 , a każdy poziom Landaua ma ich: niezależnych stanów wynosi zatem Lx Ly /2πlB NL = 1 eB = 2 2π~c 2πlB (1.2.27) w jednostce powierzchni. Wynika stąd, że im silniejsze pole magnetyczne, tym większa degeneracja stanów oraz separacja poziomów Landaua, ponieważ ωc ∼ B. Reżim kwantowego efektu Halla pojawia się dla odpowiednio silnych pól magnetycznych i niskich temperatur, tj. kB T ≪ ~ωc . Wtedy każdy poziom Landaua ma tak dużą degenerację, że wszystkie elektrony obsadzają tylko kilka najniższych z nich poniżej energii Fermiego EF (maksymalnej energii obsadzenia w temperaturze T = 0) oraz wzbudzenia termiczne nie powodują przejść pomiędzy nimi. W takim przypadku można rozpatrywać dwie sytuacje. Jeśli energia Fermiego EF przecina jeden z poziomów Landaua, otrzymujemy metal, natomiast jeśli EF znajduje się pomiędzy ν a ν + 1 poziomem Landaua, gdzie ν jest liczbą naturalną, to mamy do czynienia z izolatorem. Wtedy rozpraszanie elektronów zanika, ponieważ nie ma dostępnych stanów nieobsadzonych (wszystkie stany do energii EF są obsadzone), a więc żaden z elektronów nie może zmienić swojego stanu ze względu na zakaz Pauliego. Stąd diagonalne wyrazy tensora oporności ρ (1.2.21) oraz tensora przewodności (1.2.22) znikają (τ → ∞), a pozadiagonalne są skwantowane i wyrażone przez kombinację fundamentalnych stałych - ładunku elektronu e i stałej Plancka h: h e2 , σ = ν , (1.2.28) xy νe2 h gdzie jako koncentrację przyjęliśmy liczbę obsadzonych stanów w jednostce powierzchni, ρxy = tj. ne = νNL . W eksperymencie energia Fermiego jest ustalona, a jedynym zmiennym parametrem jest indukcja pola magnetycznego B. Ponieważ En ∼ B, to zwiększając pole magnetyczne zwiększamy również energie wszystkich pasm (poziomów Landaua). Dlatego też wybierając indukcję pola magnetycznego B możemy decydować o tym, czy układ jest metalem, czy izolatorem. 16 1.2. Wprowadzenie do zjawisk topologicznych Kwantyzacja przewodności Halla w kontekście stanów brzegowych - argument Laughlina Przewodność Halla ma fundamentalne topologiczne znaczenie, pierwszy raz wskazane przez Laughlina w jego argumencie bazującym na niezmienniczości cechowania [56]. Jak zaznaczył później Halperin [57], efekty brzegowe odgrywają w nim zasadniczą rolę. Rozważmy dwuwymiarowy (2D) materiał umieszczony w prostopadłym polu magnetycznym o indukcji B. Zakładamy periodyczne warunki brzegowe w kierunku y i otwarte w kieruku x, a więc efektywnie otrzymujemy cylindryczną geometrię układu, której oś symetrii jest równoległa do kierunku x. Pole magnetyczne zatem skierowane jest radialnie do powierzchni cylindra. Wprowadźmy ponadto dodatkowy strumień pola Φ przechodzący przez walec równolegle do jego osi symetrii, który pozwoli nam kontrolować zmiany ky , zob. Rys. 1.2. B Iy B Vx Rysunek 1.2: Schemat układu realizującego eksperyment myślowy Laughlina, który identyfikuje kwant przewodności Halla z liczbą cząstek przetransportowanych z jednego brzegu układu na drugi w wyniku obecności dodatkowego strumienia Φ. Obecność dodatkowego strumienia powoduje przesunięcie ky → ky + 2πΦ/Ly , gdzie Ly jest obwodem walca. Ponadto do obu brzegów próbki przykładamy różnicę potencjałów Vx . Chcielibyśmy powiązać prąd płynący na powierzchni cylindra, jy , ze spadkiem potencjału z jednego brzegu, na drugi, a więc rozważyć kwantowy efekt Halla. Operator prądu można wyrazić jako zmiany hamiltonianu w funkcji strumienia Φ, tj.: jy = Ly ∂H ∂H = . ∂ky 2π ∂Φ 17 (1.2.29) 1.2. Wprowadzenie do zjawisk topologicznych Wyznaczając wartość oczekiwaną prądu jy w stanie podstawowym układu: hψ|jy |ψi = ∂E ∂hψ|H|ψi − hψ|H∂Φ |ψi − (∂Φ hψ|)H|ψi = , ∂Φ ∂Φ (1.2.30) gdzie wykorzystaliśmy normalizację |ψi oraz ∂hψ|ψi/∂Φ = 0, otrzymujemy znane w fi- zyce fazy skondensowanej równanie Byers-Yanga [58]. Możemy je teraz zdyskretyzować zakładając bardzo wolny liniowy przepływ strumienia Φ: Iy = ∆E , ∆Φ (1.2.31) gdzie ∆E oznacza zmianę energii spowodowaną wprowadzeniem strumienia Φ. Otrzymujemy zatem prąd płynący wzdłuż walca, tj. wzdłuż translacyjnie niezmienniczego kierunku y. Jeżeli układ jest izolatorem, tylko na brzegach może się pojawić fizyczny efekt, jednak tylko w przypadku, gdy mamy do czynienia z nietrywialną topologią układu i przewodnością Halla. W rzeczywistości zawsze musimy wprowadzić brzeg chcąc zmierzyć napięcie, a jeśli tak, to układ jest ciągle izolatorem w całej objetości, ale blisko brzegów ograniczające pole elektryczne prostopadłe do obu brzegów Ex (L/2), Ex (−L/2) powoduje zakrzywienie pasm energetycznych i przecięcie poziomu Fermiego. Załóżmy, że ν pasm przecina EF oraz że strumień przepływający przez walec niesie dokładnie jeden kwant strumienia, ponieważ dzięki temu wiemy, że wszystkie pędy obsadzonych stanów zmienią się o 2π/Ly , a więc dokładnie tyle, ile wynosi odległość między poziomami w kierunku y. Wtedy hamiltonian ze strumieniem Φ odpowiada hamiltonianowi bez strumienia z dokładnością do transformacji cechowania. Oznacza to, że energia mogła zostać zwiększona tylko przez repopulację stanów. Bardzo blisko brzegu po adiabatycznym (bardzo wolnym) wprowadzeniu strumienia, każde pasmo przecinające poziom Fermiego ma jeden obsadzony pęd powyżej poziomu Fermiego na prawym brzegu oraz jeden nieobsadzony pęd poniżej EF na lewym przegu póbki. Skoro różnica potencjałów między brzegami wynosi Vx , to różnica energii wynikająca z wprowadzenia strumienia musi być równa energii potrzebnej do przetransportowania ν cząstek przez różnicę potencjałów: ∆E = νeVx . (1.2.32) Ponieważ ∆Φ = 1 (w jednostkach elementarnego strumienia), mamy: σxy = Iy = ν, Vx (1.2.33) w jednostkach e2 /h. Widać stąd, że istnienie przewodności Halla jest ściśle związane z istnieniem modów brzegowych, a liczba stanów na każdym z brzegów próbki musi być równa przewodności Halla. 18 1.2. Wprowadzenie do zjawisk topologicznych Stany brzegowe Zgodnie z wcześniejszym opisem, elektrony w polu magnetycznym zachowują się jak oscylatory harmoniczne z częstością cyklotronową ωc . Okazuje się, że dla lepszego zrozumienia zjawisk zachodzących w układzie pomocnym jest wprowadzenie semiklasycznego opisu zachowania elektronów wewnątrz próbki i na jej brzegach. Przyjmijmy zatem w uproszczeniu, że elektrony w wyniku działania siły Lorentza krążą po orbitach cyklotronowych. W silnym polu magnetycznym orbity te są jednak tak małe, że elektrony zostają efektywnie uwięzione w bardzo małym obszarze. Jednak te z nich, które znajdują się blisko brzegu nie mają wystarczająco dużo miejsca, aby zakreślić pełne okrążenie, w wyniku czego uderzają w brzeg próbki i zostają od niego odbite, powtarzając cały cykl, tak jak na Rys. 1.3. W ten sposób elektrony blisko brzegu mogą poruszać się wzdłuż niego w jednym kierunku, zdeterminowanym przez pole magnetyczne B. Stany te zwane są chiralnymi stanami brzegowymi i odpowiadają za kwantyzację przewodności Halla, co zostanie szczegółowo omówione w rozdziale 4. Pojęcie chiralności związane jest z faktem, że na przeciwległych krawędziach elektrony poruszają się w przeciwnych kierunkach. B Rysunek 1.3: Stany brzegowe przedstawione jako niekompletne orbity cyklotronowe elektronów znajdujących się blisko krawędzi próbki. W kontekście poziomów Landaua w przypadku periodycznych warunków brzegowych, wszystkie poziomy są płaskie i oddalone od siebie o ~ωc . Jeśli natomiast w układzie zostanie wprowadzony brzeg, tj. pewien potencjał pułapkujący, to stany Landaua ulegną deformacji, a te znajdujące się blisko brzegów najmocniej odczują wpływ potencjału i będą posiadać wyższą energię niż stany wewnątrz próbki. Zatem jeśli energia Fermiego EF będzie się znajdowała pomiędzy ν i ν + 1 poziomem Landaua, to energia ν stanów przetnie poziom EF zarówno z dodatnią prędkością grupową (prawa strona wykresu), jak i ujemną (lewa strona wykresu). Schematycznie sytuację tą przedstawia Rys. 1.4. Stany brzegowe stanowią istotę izolatorów topologicznych, które są izolatorami w całej 19 1.2. Wprowadzenie do zjawisk topologicznych E(ky) EF ky Rysunek 1.4: Schematyczny diagram poziomów Landaua i stanów brzegowych. W obecności potencjału pułapkującego na brzegach próbki, poziomy Landaua ulegają zakrzywieniu i przecinają poziom Fermiego EF , co prowadzi do brzegowego przewodnictwa topologicznego izolatora. objętości, ale posiadają przewodzące stany na brzegach stabilne ze względu na zaburzenia i nieporządek. Aspekt topologiczny kwantowego efektu Halla W kwantowym efekcie Halla przewodność σxy (1.2.28) jest skwantowana z ekstremalnie dużą dokładnością i nie zależy od materiału, z którego wykonana jest próbka oraz szczegółowej budowy układu eksperymentalnego. Dlatego też naturalnym wydaje się rozpatrywanie topologicznych własności tego efektu i związanych z nim topologicznych liczb kwantowych. Okazuje się, że liczba całkowita występująca we wzorze (1.2.28) oraz (1.2.33) jest topologicznym niezmiennikiem, tzw. pierwszą liczbą Cherna c1 , która jest zachowana przy małych zaburzeniach hamiltonianu, nie zmieniających jego topologii. Pojawienie się stanów brzegowych jest zatem naturalną konsekwencją topologicznej natury izolatorów topologicznych, ponieważ powstają one na granicy między ośrodkami o różnych liczbach Cherna, tj. nietrywialnym topologicznie izolatorem (c1 6= 0) i próżnią (c1 = 0). Przejście pomiędzy próbką a próżnią wymaga zatem nieciągłej zmiany topologii. Dlatego też zmiana liczby Cherna wymusza zamknięcie przerwy energetycznej poprzez pojawienie się modów brzegowych. Podobnie analizując przewodność σxy , pomiędzy fazami izolatora o różnych liczbach Cherna ν znajdują się fazy przewodzące, ponieważ niemożliwe jest ciągłe 20 1.2. Wprowadzenie do zjawisk topologicznych przejście między dwoma izolatorami o różnych topologiach. W rozdziale 4 wrócimy do tego zagadnienia i przeanalizujemy kwantowy efekt Halla w przypadku dyskretnym, a więc z perspektywy sieci oraz wyprowadzimy formalnie opisywane wielkości. 21 1.2. Wprowadzenie do zjawisk topologicznych 22 Rozdział 2 Ciemny soliton w potencjale przypadkowym Ciemny soliton jest dokładnym rozwiązaniem równania Grossa-Pitajewskiego w jednym wymiarze przy obecności odpychających oddziaływań między atomami. Pytanie, na które chcielibyśmy odpowiedzieć w niniejszym rozdziale dotyczy zachowania solitonu pod wpływem zewnętrznego potencjału, w szczególności potencjału przypadkowego. Wcześniejsze badania z udziałem jasnego solitonu, a więc dokładnego rozwiązania równania GrossaPitajewskiego w obecności przyciągających oddziaływań, pokazały, że w kwantowym opisie jasny soliton umieszczony w słabym zewnętrznym potencjale przypadkowym przejawia lokalizację Andersona. Naszym celem było sprawdzenie, czy w przypadku ciemnego solitonu również zachodzi zjawisko lokalizacji. Sekcja 2.1 stanowi wprowadzenie do zagadnienia ciemnego solitonu w słabym zewnętrznym potencjale oraz do lokalizacji Andersona. Punkty 2.1.1 oraz 2.1.2 przedstawiają wyniki analitycznych obliczeń deformacji solitonu pod wpływem zaburzeń. Pierwszy z nich zawiera podejście w ramach teorii Bogoliubova ze złamanymi symetriami cechowania U (1) oraz translacyjną, drugi natomiast bazuje na dobrze znanych stanach własnych hamiltonianu dla studni potencjału Pöschl–Tellera. Na podstawie otrzymanych wyników w sekcji 2.2 zaprezentowana jest analiza deformacji w zewnętrznym potencjale przypadkowym, która pozwala wysunąć wniosek, że słaby zewnętrzny potencjał wpływa nieznacznie na kształt ciemnego solitonu. Wynik ten okazuje się pomocny przy kwantowym opisie, w którym będzie można pominąć sprzężenie położenia ciemnego solitonu z rezerwuarem fononów. W ostatniej sekcji 2.3 zaprezentujemy opis kwantowy oraz wyliczymy czas życia zlokalizowanego andersonowsko ciemnego solitonu w potencjale przypadkowym. 23 2.1. Wprowadzenie Prezentowane w niniejszym rozdziale badania nad ciemnym solitonem zostały rozpoczęte w czasie pracy nad rozprawą magisterską [59] i następnie kontynuowane w trakcie studiów doktoranckich. Całość wyników została zebrana w artykule [60]. W sekcji 2.3 numeryczne symulacje zostały przeprowadzone przez dra Marcina Płodzienia, który jest współautorem wspomnianego artykułu [60]. 2.1 Wprowadzenie W rozdziale 1 w sekcji 1.2.2 wprowadziliśmy stacjonarne rozwiązanie równania GrossaPitajewskiego w postaci ciemnego solitonu: √ φ0 (x, t) = e−iθ ρ0 tanh x−q ξ , (2.1.1) gdzie θ jest globalną fazą funkcji falowej, a ρ0 gęstością gazu atomowego z dala od położenia q solitonu. Naturalną skalą energii w układzie jest potencjał chemiczny µ0 = ρ0 g0 , natomiast długość zabliźnienia ξ, zob. (1.1.11), stanowi charakterystyczną skalę zaburzeń kondensatu, dlatego też w pracy stosować będziemy następujące jednostki: E 0 = µ0 , l0 = ξ, ~ t0 = . µ0 (2.1.2) Wtedy rozwiązanie solitonowe możemy przepisać w postaci: φ0 (x) = e−iθ p ρ0 ξ tanh (x − q). (2.1.3) Średniopolowy opis ciemnego solitonu w ramach rozwiązania równania Grossa-Pitajewskiego (1.1.8) nazywać będziemy opisem klasycznym, natomiast w sekcji 2.3 zostanie wprowadzony opis kwantowy, w którym np. położenie solitonu q stanie się kwantowym stopniem swobody. W pracy rozważamy skończony jednowymiarowy (1D) układ, jednak chcąc go opisać w obszarze z dala od brzegów pudła użyjemy analitycznych rozwiązań odpowiadających nieskończonej przestrzeni, które w razie potrzeby mogą zostać dostosowane do warunków brzegowych w postaci φ0 (x = 0) = 0 oraz φ0 (x = L) = 0 [61]. 2.1.1 Deformacja ciemnego solitonu: rozwinięcie w modach Bogoliubova W naszych rozważaniach ciemny soliton umieszczony jest w ograniczonym i słabym zewnętrznym potencjale V (x). Aby obliczyć małe zaburzenie solitonowej funkcji falowej, 24 2.1. Wprowadzenie zacznijmy od niezależnego od czasu równania Grossa-Pitajewskiego w nowych jednostkach, zob. (2.1.2): 1 1 − ∂x2 φ(x) + |φ(x)|2 φ(x) + V (x)φ(x) = µφ(x), 2 ρ0 (2.1.4) i podstawmy φ = φ0 + δφ oraz µ = µ0 + δµ = 1 + δµ, gdzie δφ jest małą poprawką funkcji falowej (2.1.3), a δµ jest małym przyczynkiem do potencjału chemicznego, który pozwoli nam poprawić możliwe zmiany całkowitej liczby cząstek ze względu na obecność potencjału V (x). Zachowując jedynie liniowe wyrazy otrzymujemy niezależne od czasu, niejednorodne równania Bogoliubova-de Gennes: " # # " # " δφ φ0 −φ0 L , + δµ =V δφ∗ −φ∗0 φ∗0 (2.1.5) gdzie L= − 12 ∂x2 + 2 2 ρ0 |φ0 | − ρ10 φ∗2 0 −1 + ρ10 φ20 1 2 2 ∂x − 2 2 ρ0 |φ0 | +1 ! . (2.1.6) Aby rozwiązać równania (2.1.5) powinniśmy rozwinąć wektor (δφ, δφ∗ )T w kompletnej bazie zawierającej wektory własne niehermitowskiego operatora L. Baza ta została wyznaczona przez prof. Jacka Dziarmagę w artykule [61], zob. również [59, 62, 63], a więc zaprezentujemy tylko najważniejsze wyniki tego wyprowadzenia. Szukając kompletnej bazy trzeba zachować ostrożność, ponieważ operator L nie jest diagonalizowalny [61–64]. Możemy wyróżnić prawostronne stany własne operatora L, i.e. L|ψk i = ǫk |ψk i, gdzie |ψk i = (|uk i, |vk i)T oraz [61] uk (x) = eikx e−iθ √ 3/2 4 πǫk vk (x) = eikx eiθ √ 3/2 4 πǫk k k + itanh(x − q) + + k + 2ǫk , (2.1.7) 2 cosh2 (x − q) k k 2 k − 2ǫk , (2.1.8) + itanh(x − q) + + 2 cosh2 (x − q) 2 które odpowiadają znanemu spektrum Bogoliubova: ǫk = 1p 2 4k + k 4 . 2 (2.1.9) Powyższe stany własne nazywane są fononami, a więc stanowią elementarne wzbudzenia układu, a ich wektory sprzężone |ψkad i = (|uk i, −|vk i)T są również lewostronnymi modami własnymi L. Biorąc pod uwagę symetrie operatora L, tj. σz Lσz = L† , gdzie σz jest macierzą Pauliego, otrzymujemy |ψ̃k i = (|ũk i, |ṽk i)T = (|vk∗ i, |u∗k i)T , które są prawymi modami własnymi do wartości własnych ǫ̃k = −ǫk , natomiast |ψ̃kad i = (−|vk∗ i, |u∗k i)T są ich wektorami sprzężonymi. W nieskończonej przestrzeni prawostronne wektory i wektory 25 2.1. Wprowadzenie sprzężone do nich spełniają warunek hψkad |ψk′ i = huk |uk′ i − hvk |vk′ i = δ(k − k ′ ). W przypadku potencjału pudła wektory falowe są skwantowane, tj. kn = nπ/L gdzie n = 1, 2, . . ., a więc istnieje bardzo mała przerwa energetyczna dla wzbudzeń fononowych. Oprócz fononów istnieją dwa mody operatora L do wartości własnej ǫk = 0 odpowia- dające złamanym symetriom: cechowania U (1) oraz translacyjnej [61], # " " # φ0 uθ ∂ , =i ∂θ φ∗0 vθ " # " # uq φ0 ∂ , =i ∂q φ∗0 vq (2.1.10) (2.1.11) odpowiednio. Pojawiają się one jako mody zerowe ponieważ przesunięcie globalnej fazy θ lub zmiana położenia solitonu w rozwiązaniu (2.1.3) nie prowadzą do zmian w energii układu, a więc mogą one zostać wybrane dowolnie. Mody zerowe spełniają warunek huq |uθ i − hvq |vθ i = 0 i są ortogonalne do modów sprzężonych do fononów. Wektory sprzężone do modów zerowych nie są lewostronnymi wektorami własnymi operatora L i mogą być znalezione jako rozwiązania równania [63] # " " # uad u 1 θ,q θ,q = L , ad M θ,q vθ,q vθ,q (2.1.12) ad gdzie Mθ,q jest wyznaczone z warunku normalizacji huad θ,q | uθ,q i − hvθ,q | vθ,q i = 1. Otrzymu- jemy zatem [61] " uad θ " uad q vθad vqad # = # i = − √ 4 ρ0 ∂ ∂N0 " # φ0 φ∗0 " − iR e−iθ −eiθ # " uq vq # (2.1.13) , (2.1.14) , gdzie Mθ = ρ0 (∂N0 /∂ρ0 ), Mq = −4ρ0 i R = (2q − L)ρ0 /Mq Mθ . Mamy więc huad q |uθ i − ad T hvqad |vθ i = 0 i huad θ |uq i − hvθ |vq i = 0. Mały przyczynek od modu zerowego (uq , vq ) w ad ad ad (2.1.13) pozwala nam na spełnienie warunku ortogonalności huad q |uθ i − hvq |vθ i = 0. Posiadamy już wszystkie wektory potrzebne do zbudowania kompletnej bazy prze- strzeni Hilberta funkcji (δφ, δφ∗ ), dzięki czemu możemy w niej rozwinąć deformację solitonu, tj.: " δφ δφ∗ # = ∆θ + " X k uθ vθ # bk + Pθ " uk vk " # uad θ vθad + b∗k 26 # " + ∆q vk∗ u∗k " #! uq vq . # + Pq " uad q vqad # (2.1.15) 2.1. Wprowadzenie Podstawiając (2.1.15) do (2.1.5) otrzymujemy układ równań: V " −φ0 φ∗0 # + δµ " φ0 # Pθ = Mθ " −φ∗0 X ǫk + k bk " uθ # " − b∗k vk∗ u∗k Pq + M q vθ " # uk vk uq # vq #! . (2.1.16) Rzutując to równanie na wektory sprzężone otrzymujemy współczynniki rozwinięcia oraz małą poprawkę do potencjału chemicznego. Warto zauważyć, że nie istnieją żadne ograniczenia w wyborze małego odchylenia ∆θ oraz ∆q, ponieważ są to współczynniki związane z modami zerowymi. Niemniej jednak w przeciwieństwie do fazy θ, która może być dowolna, przekonamy się, że położenie solitonu q nie może, ponieważ zewnętrzny potencjał łamie symetrię translacyjną nie wpływając na symetrię cechowania U (1). Współczynnik ∆θ odpowiada przesunięciu globalnej fazy solitonu (2.1.3), a więc bez straty ogólności możemy wybrać ∆θ = 0. Dla współczynnika Pθ otrzymujemy Pθ = −2h∂N0 φ0 |V φ0 i + δµ − iR (huq |V φ0 i + hvq |V φ∗0 i) . Mθ (2.1.17) Ostatni wyraz z prawej strony równania może być przepisany w nieco innej formie, tj.: huq |V φ0 i + hvq |V φ∗0 i ∼ Z L 0 dx|φ0 (x − q)|2 ∂x V (x), (2.1.18) która przedstawia siłę działającą na soliton. Dla rozwiązania stacjonarnego położenie solitonu q możemy wybrać tak, że siła ta jest równa zero. Wtedy również dowolne przesunięcie solitonu powinno być równe zero, tj. ∆q = 0 w (2.1.15). Z takim wyborem położenia solitonu współczynnik Pθ jest wprost związany ze zmianą całkowitej liczby cząstek, która w naszych założeniach jest stała. Wtedy Pθ = dN = 0 i równanie (2.1.17) pozwala nam uzyskać poprawkę do potencjału chemicznego w postaci: δµ = 2h∂N0 φ0 |V φ0 i 1 L Z L 0 dy tanh y + y sech2 y tanh yV (y + q). (2.1.19) Rzutując (2.1.16) na mod sprzężony (2.1.14) otrzymujemy Pq = 0, czego można było się spodziewać, ponieważ Pq ma interpretację pędu solitonu, a więc w stanie stacjonarnym powinien być on równy zero. Zatem z właściwym wyborem położenia solitonu oraz poprawki do potencjału chemicznego, wszystkie współczynniki w (2.1.15) wynoszą zero z wyjątkiem bk = 1 [−huk |V φ0 i − hvk |V φ∗0 i ] , ǫk 27 (2.1.20) 2.1. Wprowadzenie które zawiera pełną informację o deformacji solitonu w słabym zewnętrznym potencjale. Ostatecznie stacjonarne rozwiązanie solitonowe w obecności słabego zewnętrznego potencjału wynosi: φ(x) = φ0 (x) + X [bk uk (x) + b∗k vk∗ (x)] . (2.1.21) k 2.1.2 Deformacja ciemnego solitonu: rozwinięcie w modach potencjału Pöschl–Tellera Podejście Bogoliubova jest odpowiednie w opisie modów własnych kolektywnych lub elementarnych wzbudzeń kondensatu Bosego-Einsteina [44,65]. Jednak jeśli jesteśmy zainteresowani opisem stacjonarnego rozwiązania równania Grossa-Pitajewskiego i jeśli rozwiązanie to może być przedstawione jako funkcja rzeczywista, możemy wprowadzić znaczące uproszczenie. W niniejszym punkcie zobaczymy, że opis deformacji ciemnego solitonu redukuje się do rozwinięcia funkcji falowej w modach potencjału Pöschl-Tellera [66]. Takie podejście zostało zastosowane do analizy deformacji jasnego solitonu w słabym potencjale zewnętrznym [67] i okazuje się, że jest odpowiednie również w przypadku ciemnego solitonu. Zacznijmy znowu od stacjonarnego równania Grossa-Pitajewskiego, ale załóżmy, że szukamy rozwiązania będącego funkcją rzeczywistą 1 2 1 2 − ∂x + φ − µ + V (x) φ = 0. 2 ρ0 (2.1.22) Podobnie jak w przypadku podejścia Bogoliubova wprowadźmy µ = µ0 + δµ = 1 + δµ oraz φ = φ0 + δφ, załóżmy również, że w rozwiązaniu solitonowym (2.1.3) globalna faza θ = 0. Zachowując jedynie wyrazy liniowe, przepisując φ20 (x − q) = ρ0 tanh2 (x − q) = ρ0 1 − cosh−2 (x − q) oraz zmnieniając zmienne x → x + q otrzymujemy gdzie (H0 + 2) δφ = δµφ0 − V (x + q) φ0 , (2.1.23) 1 3 H0 = − ∂x2 − , 2 cosh2 (x) (2.1.24) jest hamiltonianem dla cząstki w potencjale Pöschl–Tellera [66]. Aby obliczyć δφ musimy odwrócić operator H0 + 2. Wszystkie stany własne hamiltonianu H0 są znane w literaturze [68]. Istnieją dwa stany związane √ 3 sech(x)2 , 2 r 3 sech(x) tanh(x), ψ1 (x) = 2 ψ0 (x) = 28 (2.1.25) (2.1.26) 2.1. Wprowadzenie do energii własnych E0 = −2 i E1 = − 12 odpowiednio oraz stany rozproszeniowe: ψk (x) = do energii Ek = k2 2 , eikx k 2 − 2 + 3sech2 (x) + 3ik tanh(x) , (2π)1/2 [(1 + k 2 )(4 + k 2 )]1/2 (2.1.27) k ∈ R. Zatem możemy rozwinąć deformację δφ w ortonormalnej bazie funkcji własnych Z δφ = α0 ψ0 + α1 ψ1 + dk αk ψk (x), (2.1.28) oraz wyznaczyć współczynniki αj rzutując równanie (2.1.23) na odpowiednie mody własne Z (Ej + 2)αj = dx ψj∗ (x)[δµφ0 − V (x + q)φ0 ]. (2.1.29) Funkcja falowa (2.1.25) jest modem zerowym, tj. (H0 +2)ψ0 = 0. Wtedy, równanie (2.1.23) może być rozwiązane jeśli rzut prawej strony równania na mod zerowy znika. Wymagamy zatem, aby −hψ0 |V φ0 i + δµhψ0 |φ0 i = −hψ0 |V φ0 i ∼ h∂x φ0 |V φ0 i ZL = − dx φ20 (x − q)∂x V (x) 0 = 0. (2.1.30) W (2.1.30) skorzystaliśmy z hψ0 |φ0 i = 0 oraz z faktu, że mod zerowy jest również modem translacyjnym ciemnego solitonu, tj. ψ0 ∼ ∂x φ0 . Z warunku (2.1.30) wynika, że położenie solitonu q powinno być wybrane w taki sposób, aby siła działająca na nie wynosiła zero, por. z (2.1.18). Z równania (2.1.29) nie otrzymujemy żadnego ograniczenia na wartość α0 . Jednak biorąc pod uwagę, że α0 ψ0 ma interpretację przesunięcia położenia solitonu, powinniśmy wybrać α0 = 0 jeśli interesuje nas rozwiązanie stacjonarne. Rozwiązanie równania (2.1.23) wymaga odwrócenia operatora H0 + 2 w przestrzeni Hilberta z wyłączeniem modu zerowego, co nie stanowi problemu, ponieważ wszystkie funkcje własne H0 sa znane. Mamy zatem Z δφ(x) = dy K(x, y) [δµφ0 − V (y + q)φ0 ], (2.1.31) gdzie symetryczne jądro K(x, y) wynosi Z ψk (x)ψk∗ (y) 2 ∗ K(x, y) = ψ1 (x)ψ1 (y) + 2 3 4 + k2 1 = − sech2 (x)sech2 (y) × sh2 2x + sh2 2y + 4ch2x + 4ch2y 16 −3 − (ch2x + ch2y + 3) |sh2x − sh2y| −4sh|x − y|shx shy −6|x − y|} . 29 (2.1.32) 2.1. Wprowadzenie W podejściu Bogoliubova, nawet jeśli jesteśmy ograniczeni do podprzestrzeni fononów, operator L posiada wartość własną równą zero jeśli przestrzeń konfiguracyjna jest nieskończona, zob. (2.1.9). Wynika stąd, że otrzymanie analogicznego jądra odpowiedzi nie jest tak oczywiste, ponieważ całkowanie po podprzestrzeni fononów powinno być zamienione przez sumę po dyskretnych wartościach wektora falowego. Na koniec pozostaje nam określić poprawkę do potencjału chemicznego. W podejściu Bogoliubova istnieje szczególny mod odpowiedzialny za zmiany całkowitej liczby cząstek, który jest ortogonalny do wszystkich innych modów Bogoliubova, a więc aby utrzymać stałą liczbę cząstek w układzie wystarczy upewnić się, że zaburzenie funkcji falowej nie zawiera żadnego wkładu od tego modu. Teraz natomiast potencjał chemiczny otrzymujemy z warunku normalizacji hφ|φi = N0 + O(δφ2 ), z którego wynika, że hφ0 |δφi = 0 i wtedy R dxdy φ0 (x)K(x, y)V (y + q)φ0 (y) R δµ = Z dxdy φ0 (x)K(x, y)φ0 (y) 1 = dy tanh y + y sech2 y tanh yV (q + y), (2.1.33) L a więc otrzymujemy to samo wyrażenie co w podejściu Bogoliubova, por. z (2.1.19). Ostateczne wyrażenie na stacjonarne rozwiązanie solitonowe w obecności słabego zewnętrznego potencjału wynosi: Z ∂φ0 (x)|µ0 , (2.1.34) φ(x) = φ0 (x) − dy K(x, y)V (y + q)φ0 (y) + δµ ∂µ0 R ∂φ (x)| gdzie użyliśmy dyK(x, y)φ0 (y) = 0∂µ0 µ0 z φ0 |µ0 ≡ φ0 będącym funkcją falową z ustalonym potencjałem chemicznym µ0 = 1. W przypadku jasnego solitonu [67] funkcja falowa ψ1 (nie ψ0 jak w problemie ciemnego solitonu) stanowiła mod translacyjny układu, a także operator H0 + 2 jest zastąpiony przez H0 + 1/2. W konsekwencji otrzymujemy inne wyrażenie na symetryczne jądro, co jest zgodne z intuicją, ponieważ jasny soliton reprezentuje zlokalizowaną paczkę falową, podczas gdy ciemny soliton jest skokiem fazy w położeniu solitonu z jednorodną gęstością wokół. 2.1.3 Lokalizacja Andersona Pod koniec lat 50. XX wieku Philip W. Anderson zapoczątkował nowy rozdział w fizyce ciała stałego badając zagadnienie transportu elektronowego w przewodnikach [69]. W modelu ciasnego wiązania dla nieoddziałującego gazu elektronów na sieci otrzymujemy równanie Schrödingera w postaci: −Jψi+1 − Jψi−1 + ǫi ψ = Eψ, 30 (2.1.35) 2.2. Ciemny soliton w potencjale przypadkowym: opis klasyczny gdzie J oznacza amplitudę tunelowania elektronu pomiędzy sąsiadującymi oczkami sieci, ǫi oznacza energię zlokalizowaną na i-tym oczku sieci, a E stanowi energię własną elektronu. W sytuacji, gdy ǫi jest stałe na każdym oczku sieci, to układ jest periodyczny i posiada rozwiązania w postaci fal Blocha. Jeśli natomiast energia ǫi zmienia się w sposób losowy, to transport w układzie zanika i stany własne układu stają się zlokalizowane z eksponencjalnym zanikiem gęstości, tj.: |ψ(x)|2 ∼ e−|x−x0 |/ξloc , (2.1.36) gdzie ξloc jest tzw długością lokalizacji. Okazuje się, że za to zjawisko odpowiedzialna jest interferencja kwantowa, tj. cząstka ulega serii przypadkowych rozproszeń, a destruktywna interferencja powoduje wykładniczy zanik profilu gęstości. 2.2 Ciemny soliton w potencjale przypadkowym: opis klasyczny W niniejszym punkcie chcielibyśmy opisać deformację ciemnego solitonu w obecności słabego potencjału przypadkowego, zwanego również nieporządkiem. Przykładem potencjału tego typu jest optyczny potencjał przypadkowy, który można wygenerować eksperymentalnie poprzez naświetlanie laserem płytki dyfuzyjnej [16, 17]. W dalekim polu, natężenie światła tworzy losowy rozkład, który atomy odczuwają jako zewnętrzny potencjał przypadkowy. Efekty dyfrakcyjne odpowiedzialne są za skończoną długość korelacji potencjału nieporządku. Do porównania wyników analitycznych z obliczeniami numerycznymi wybraliśmy optyczny potencjał przypadkowy scharakteryzowany przez: średnią wartość równą zero, tj. V (x) = i1/2 h oraz funkcję autokorelacji V (x′ )V (x′ + x) = 0, odchylenie standardowe V0 = V (x)2 2 (x/σR ) gdzie σR jest długością korelacji nieporządku. Na Rys. 2.1 przedstawione są V02 sin(x/σ 2 R) przykłady rozwiązań solitonowych w obecności optycznego potencjału przypadkowego dla długości korelacji dużo mniejszej (σR = 0.05) oraz porównywalnej (σR = 1) z długością zabliźnienia kondensatu, oraz dla amplitud V0 = 1, V0 = 0.5 oraz V0 = 0.05. Wyniki otrzymane perturbacyjnie oraz poprzez numeryczne rozwiązanie równanie Grossa-Pitajewskiego pozostają w bardzo dobrej zgodności nawet jeśli siła potencjału przypadkowego jest rzędu potencjału chemicznego, jak na wykresie b). Dla długości korelacji σR = 0.05 nieporządek zmienia się gwałtownie i jego wpływ na kondensat jest zauważalnie mniejszy niż dla σR = 1, co dobrze widać porównując wykresy a) i b). Okazuje się jednak, że jeśli amplituda potencjału nieporządku jest dostatecznie mała, to bez względu na jego długość korelacji 31 2.2. Ciemny soliton w potencjale przypadkowym: opis klasyczny V0 = 0.5 R= 0.05 3 6 2 4 1 2 0 0 -25 -25 1 1 funkcja falowa funkcja falowa V0 = 1 R= 0.05 b) V(x) V(x) a) 0.5 0 -0.5 -1 0.5 0 -0.5 -1 -20 -10 0 10 20 -20 -10 x 10 20 x V0 = 0.5 R= 1 c) 0 V0 = 0.05 R= 1 d) 0.2 2 0.15 1 V(x) V(x) 1.5 0.5 0.05 0 0 -0.5 -25 -25 1 1 funkcja falowa funkcja falowa 0.1 0.5 0 -0.5 -1 0.5 0 -0.5 -1 -20 -10 0 10 20 -20 x -10 0 10 20 x Rysunek 2.1: Na górnych wykresach paneli a), b), c) i d) pokazana jest przykładowa realizacja potencjału przypadkowego o długości korelacji σR = 0.05 (a) i b)) oraz σR = 1 (c) i d)). Amplituda potencjałów zmienia się od bardzo małej, tj. V0 = 0.05 w panelu d), przez V0 = 0.5 w panelach a) i c), do V0 = 1 w panelu b). Dolnym wykresom każdej serii odpowiadają ścisłe rozwiązania równania Grossa-Pitajewskiego otrzymane numerycznie (czarna ciągła linia) oraz stosując podejście perturbacyjne (czerwona przerywana), zob. równanie (2.1.34). (Równanie (2.1.21 prowadzi do tych samych wyników). Zielone kropkowane linie natomiast odpowiadają niezaburzonej funkcji falowej ciemnego solitonu (2.1.3). 32 2.3. Ciemny soliton w potencjale przypadkowym: opis kwantowy funkcja falowa kondensatu pozostaje niemal niezaburzona nawet dla σR = 1, zob. panel d). Do tej pory rozważaliśmy ciemny soliton w pudle i analizowaliśmy jego deformację wywołaną obecnością słabego potencjału przypadkowego. Nasze wyniki mogą być również zastosowane do układu w obecności np. płytkiej pułapki harmonicznej. Rzeczywiście, jeśli jesteśmy zainteresowani deformacją funkcji falowej kondensatu w pobliżu centrum pułapki i jeśli zmiana potencjału harmonicznego w skali rozmiaru solitonu jest dużo mniejsza niż siła nieporządku, tj. ω 2 ≪ V0 gdzie ω jest częstością pułapki harmonicznej, to wpływ obecności pułapki na deformację solitonu może być zaniedbany. 2.3 Ciemny soliton w potencjale przypadkowym: opis kwantowy W poprzedniej sekcji do opisu ultrazimnych gazów atomowych zastosowaliśmy przybliżenie średniego pola, a więc że układ wielu ciał jest w stanie, w którym wszystkie atomy obsadzają tą samą jednocząstkową funkcję falową wyznaczoną przez równanie GrossaPitajewskiego. Wtedy stacjonarny ciemny soliton pojawia się jako rozwiązanie klasycznego równania falowego, a jego położenie jest dane liczbą rzeczywistą q. W niniejszej sekcji w naszych rozważaniach weźmiemy pod uwagę sytuację, w której cząstki niekoniecznie znajdują się w jednym stanie. Okazuje się, że problem ten może być opisany za pomocą kwantowej wersji podejścia Bogoliubova, w której przykładowo q staje się kwantowomechanicznym operatorem q̂ i położenie solitonu opisane jest rozkładem prawdopodobieństwa. Takie podejście ma w zasadzie bardziej naturę semiklasyczną. Pełna kwantowa analiza wymagałaby pełnego rozwiązania N-ciałowego, jak zostało zrobione w [70, 71] dla jasnych solitonów w światłowodach, zob. również [44]. Lokalizacja Andersona jasnych solitonów została też opisana w pełni w pracy D. Delande et al. [72] 2.3.1 Efektywny hamiltonian Hamiltonian efektywny opisujący jasny soliton w obecności słabego zewnętrznego potencjału został wprowadzony w referencji [73]. Opiera się on na koncepcji prof. Dziarmagi pozwalającej opisać nieperturbacyjnie stopnie swobody związane z modami zerowymi Bogoliubova [61]. Otrzymanie efektywnego hamiltonianu w przypadku ciemnego solitonu bazuje na tym samym rozumowaniu, dlatego przedstawimy tylko najważniejsze elementy. W poprzedniej sekcji 2.2 zarówno globalna faza θ funkcji falowej (2.1.3) jak i położenie solitonu q były wybierane, nie rozpatrywaliśmy żadnej zmiany ich wartości. Małe odchy- 33 2.3. Ciemny soliton w potencjale przypadkowym: opis kwantowy lenia mogą być opisane za pomocą modów zerowych, por. (2.1.10)-(2.1.11) oraz (2.1.15), podczas gdy duże zmiany potrzebują modyfikacji naszego podejścia. Rozwinięcie poprawki funkcji falowej wokół danej wartości położenia solitonu q, zob. (2.1.15), nie jest potrzebne, ponieważ możemy traktować q jako zmienną dynamiczną, to samo dotyczy θ [61]. W ten sposób otrzymujemy " φ φ∗ # = " + φ0 φ∗0 X k # + Pθ bk " " uk vk uad θ vθad # # + Pq + b∗k " " vk∗ u∗k uad q vqad #! # . (2.3.1) W równaniu (2.3.1) wszystkie mody zależą od q i θ, a więc mogą podążać za dużymi zmianami położenia solitonu i globalnej fazy. Podstawienie (2.3.1) do funkcjonału energii: Z 1 1 2 2 4 2 H = dx |∂x φ| + V |φ| + |φ| − µ|φ| , (2.3.2) 2 2ρ0 prowadzi do: Z Pq2 + dxV (x)|φ0 (x − q)|2 2|Mq | P2 + θ + 2Pθ huad θ |V φ0 i 2M Xθ [ǫk b∗k bk + sk (bk + b∗k )], + H = − (2.3.3) k z sk = huk |V φ0 i + hvk |V φ∗0 i , (2.3.4) gdzie zachowujemy jedynie wyrazy rzędu O(P 2 , b2 , P V, bV ). Warto zauważyć, że równanie (2.3.3) odpowiada klasycznej teorii perturbacji opisanej w punkcie 2.1.1, ale w sformu- łowaniu hamiltonianów. Oznacza to, że punkty stałe równań Hamiltona wygenerowanych przez (2.3.3) [73] odpowiadają stacjonarnym rozwiązaniom analizowanym w punkcie 2.1.1. Wiemy z sekcji 2.2, że stacjonarne rozwiązania pozostają w dobrej zgodzie ze ścisłymi rozwiązaniami numerycznymi dla nieporządku o sile rzędu potencjału chemicznego układu, tj. dla V0 ≈ 1. W tak zwanym formalizmie drugiej kwantyzacji, kwantowy hamiltonian wielociałowy odpowiada (2.3.2), gdzie funkcja falowa φ jest zastąpiona przez operator pola bozonowego φ̂. Wtedy, również współczynniki rozwinięcia w (2.3.1) stają się operatorami: P̂q = −i∂q , (2.3.5) P̂θ = N̂ − N0 = −i∂θ , (2.3.6) 34 2.3. Ciemny soliton w potencjale przypadkowym: opis kwantowy i spełniają relacje komutacji: [q̂, P̂q ] = i, [θ̂, P̂θ ] = i, [b̂k , b̂†k′ ] = δkk′ . (2.3.7) Funkcjonał energii (2.3.3) nie zależy od θ, a więc, w kwantowym opisie [P̂θ , Ĥ] = 0 i możemy ograniczyć go do podprzestrzeni Hilberta z dokładnie N0 cząstkami, tj. dla każdego stanu w tej podprzestrzeni P̂θ |ψi = 0, i kwantowy efektywny hamiltonian redukuje się do postaci: Ĥ = Ĥq + ĤB + Ĥ1 , (2.3.8) gdzie Z P̂q2 + dxV (x)|φ0 (x − q)|2 2|Mq | ! Z P̂q2 |Mq | V (x) dx + = − , 2|Mq | 4 cosh2 (x − q) X † ǫk b̂k b̂k , = Ĥq = − ĤB (2.3.9) (2.3.10) k Ĥ1 = X sk (b̂k + b̂†k ). (2.3.11) k Hamiltonian Ĥq opisuje ruch solitonu w efektywnym potencjale, który okazuje się być konwolucją oryginalnego potencjału z gęstością |φ0 |2 . Dzięki |φ0 |2 = ρ0 tanh2 (x − q) = |Mq | 4 [1 − cosh2 (x − q)] i V (x) = 0, Ĥq staje się podobny do odpowiedniego hamiltonianu dla jasnego solitonu w słabym zewnętrznym potencjale [64]. Wyraz ĤB opisuje podsystem kwazicząstek (fononów) i Ĥ1 jest częścią hamiltonianu, która sprzęga stopień swobody związany z położeniem solitonu z fononami. W opisie klasycznym w sekcji 2.2) sprzężenie to jest odpowiedzialne za deformację stacjonarnej funkcji falowej kondensatu. Teraz natomiast nie będziemy szukali stanów własnych pełnego hamiltonianu Ĥ, ale ograniczymy się do stanów własnych Ĥq oraz wyznaczymy czas życia układu przygotowanego w tych stanach ze względu na sprzężenie z podsystemem kwazicząstek wprowadzonym przez Ĥ1 . Chcielibyśmy podkreślić znaczące różnice pomiędzy klasycznym opisem a kwantowym. Są one najbardziej widoczne jeśli rozważmy układ bez zewnętrznego potencjału. W istocie dla V (x) = 0, położenie solitonu w opisie klasycznym może zostać wybrane dowolnie, ale jest dobrze zdefiniowane. W podejściu kwantowym hamiltonian Ĥq mówi nam, że stany własne układu odpowiadają stanom własnym operatora pędu P̂q i rozkład prawdopodobieństwa dla położenia solitonu jest zupełnie zdelokalizowany. Stąd, podobnie jak 35 2.3. Ciemny soliton w potencjale przypadkowym: opis kwantowy w przypadku jasnego solitonu [44], przewidujemy znaczącą fragmentację kondensatu w kwantowym opisie ciemnego solitonu [74–77]. 2.3.2 Lokalizacja Andersona ciemnego solitonu Ostateczna forma hamiltonianu Ĥq jest podobna do hamiltonianu dla środka masy jasnego solitonu w słabym zewnętrznym potencjale [73]. Efektywna masa |Mq | w równaniu (2.3.9) jest równa dwukrotnej wartości brakującej liczby cząstek we wcięciu ciemnego solitonu, podczas gdy w przypadku jasnego solitonu dana jest przez całkowitą liczbę cząstek w układzie. Jasny soliton jest stanem podstawowym równania Grossa-Pitajewskiego i wzbudzenia jego środka masy zwiększają energię w układzie. Ciemny soliton natomiast odpowiada kolektywnie wzbudzonemu układowi i aby obniżyć energię układu trzeba np. nadać mu prędkość. Okazuje się, że wzbudzenia stopnia swobody związanego z położeniem solitonu obniżają energię układu z powodu znaku minus na początku wyrażenia (2.3.9). We wcześniejszych pracach poruszających tematykę lokalizacji kwantowych solitonów zostało pokazane, że w obecności słabego nieporządku środek masy jasnego solitonu przejawia lokalizację [64]. Tego samego zjawiska spodziewamy się dla ciemnych solitonów. Dla V (x) będącego optycznym potencjałem przypadkowym z długością korelacji σR mniejszą niż długość zabliźnienia ξ układu, otrzymujemy efektywny potencjał w (2.3.9) gdzie długość zabliźnienia pełni rolę efektywnej długości korelacji. Podstawowe własności lokalizacji Andersona w 1D pozwalają nam przypuszczać, że wszystkie stany własne hamiltonianu Ĥq są zlokalizowane eksponencjalnie, tj. mają kształt z obwiednią [78, 79] |q − q0 | , |ψn (q)| ∝ exp − lloc 2 (2.3.12) gdzie Ĥq ψn (q) = En ψn (q), q0 jest średnim położeniem solitonu i lloc = lloc (En ) jest długością lokalizacji. Rzeczywiście na Rys. 2.2 przedstawione są przykłady stanów zlokalizowanych andersonowsko dla dwóch wartości odchylenia standardowego potencjału przypadkowego V0 . Parametry wybrane do symulacji są następujące: N0 = 105 87 Rb atomów w kwazijednowymiarowym potencjale pudła o długości L = 3550 (3.37 mm) z potencjałem harmonicznym o częstości ω⊥ = 2π × 370 Hz w poprzecznym kierunku; długość korelacji potencjału przypadkowego wynosi σR = 0.28 (0.27 µm). Jednostki energii (2.1.2) są następujące: E0 /~ = 789 Hz, l0 = 0.96 µm oraz t0 = 1.27 ms. 36 probability density wavefunction 2.3. Ciemny soliton w potencjale przypadkowym: opis kwantowy 0.2 (b) 0.1 0 -0.1 -0.2 0.2 (a) 0.1 0 -0.1 -0.2 0 10 -16 10 -100 -50 0 50 100 150 (c) -100 -12 10 0 100 200 300 (d) -24 -32 10 -48 10 -64 10 10 -36 10 -48 10 -1000 0 q 1000 -1000 0 q 1000 Rysunek 2.2: W górnych panelach pokazane są przykłady stanów własnych efektywnego hamiltonianu Ĥq , zob. (2.3.9), natomiast w dolnych odpowiadające ich gęstości prawdopodobieństwa w skali logarytmicznej. Długość korelacji potencjału przypadkowego jest równa σR = 0.28, a amplituda V0 = 7 × 10−5 (lewe panele) oraz V0 = 1.4 × 10−4 (prawe panele). Stany własne odpowiadają wartościom własnym En = −3.03 × 10−3 (lewe panele) oraz En = −8.58×10−3 (prawe panele) i przejawiają długości lokalizacji odpowiednio lloc = 10.5 oraz lloc = 15.7. Aby otrzymać przewidywania dla lokalizacji Andersona solitonów pomijamy sprzężenie położenia solitonu z podsystemem kwazicząstek. W przypadku jasnego solitonu tego typu przybliżenie było uzasadnione, ponieważ istnieje ogromna przerwa energetyczna dla wzbudzeń kwazicząstek i jeśli siła potencjału jest dużo mniejsza niż potencjał chemiczny układu, poprawki do efektywnego hamiltonianu Ĥq są zaniedbywalne [73]. W przypadku ciemnego solitonu przerwy energetycznej dla fononowych wzbudzeń praktycznie nie ma, tj. najmniejsza wartość ǫk , zob. (2.1.9), odpowiada k = π/L, które dąży do zera dla dużego układu. Ponadto ciemny soliton jest kolektywnie wzbudzonym stanem, który może rozpadać się do stanów o niższej energii poprzez emisję fononów. Jeśli siła potencjału nieporządku V0 ≪ 1 wiemy z klasycznej analizy z sekcji 2.2, że kształt stacjonarnego ciemnego solitonu jest zaniedbywalnie zdeformowany przez zewnętrzny potencjał. W opisie kwantowym możemy zatem oczekiwać, że czas życia zlokalizowanych andersonowsko stanów własnych jest dostatecznie długi, że możliwa jest eksperymentalna obserwacja efektów lokalizacji. Wybierzmy jako stan początkowy układu zawierającego N0 cząstek stan |Ψi, gdzie położenie solitonu opisane jest przez stan własny ψn (q) do energii własnej En hamiltonianu 37 2.3. Ciemny soliton w potencjale przypadkowym: opis kwantowy Ĥq oraz że nie ma wzbudzeń fononowych, tj. mamy do czynienia z próżnią kwazicząstkową: |Ψi = |ψn , 0B i = ψn (q)|0B i, (2.3.13) gdzie b̂k |0B i = 0 dla każdego k. W pierwszym rzędzie w H1 , zob. (2.3.11), układ może rozpadać się do innego stanu własnego ψm (q) odpowiadającego energii Em emitując przy tym pojedynczy fonon o energii ǫk . Zgodnie ze złotą regułą Fermiego szybkość zaniku ma postać: Γ = 2π X γm , (2.3.14) m gdzie γm = |hψm , 1k |Ĥ1 |ψn , 0B i|2 g(ǫk ) = |hψm |sk |ψn i|g(ǫk ). (2.3.15) Suma występująca w (2.3.14) przebiega po wszystkich stanach własnych ψm , dla których możemy znaleźć taki fonon, że zasada zachowania energii En = Em + ǫk jest spełniona. Zakładamy ciągłe spektrum fononów (2.1.9) z przerwą energetyczną odpowiadającą k = π/L. Gęstość stanów wynosi: ǫ g(ǫ) = h i1/2 . √ 2 2 ǫ +1−1 2(ǫ + 1) (2.3.16) Czas życia stanów zlokalizowanych andersonowsko przedstawionych na Rys. 2.2a i 2.2c wynosi τ = 1/Γ = 8×105 (∼17 minut) oraz na Rys. 2.2b i 2.2d τ = 2.5×105 (∼5 minut), co oznacza, że jest wystarczająco dużo czasu aby przeprowadzić eksperyment zanim rozpadną się ze względu na emisję fononów. Na Rys. 2.3 przedstawione zostały przyczynki γm do szybkości rozpadu (2.3.14) oraz stany ψm odpowiadające największej wartości γm . Rys. 2.3 wskazuje, że najbardziej prawdopodobny rozpad prowadzi układ do stanów zlokalizowanych w pobliżu początkowego obszaru lokalizacji. Długi czas życia stanów zlokalizowanych andersonowsko jest bardzo obiecujący z eksperymentalnego punktu widzenia. W istocie oznacza to, że jest wystarczająco dużo czasu aby wzbudzić ciemny soliton w ultrazimnej chmurze atomowej, odczekać aż się zlokalizuje w obecności słabego potencjału przypadkowego i przeprowadzić pomiar gęstości atomów. Jeśli soliton jest zlokalizowany andersonowsko, to rozkład położenia solitonu zebrany z wielu realizacji eksperymentu [74–77] będzie przejawiał eksponencjalny profil. Eksperymenty z ciemnymi solitonami były przeprowadzane w obecności pułapki harmonicznej [80–85]. W takim przypadku aby obserwować lokalizację Andersona solitonów, 38 7 10 γm 2.4. Podsumowanie 0.5 a) 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.007 2 b) 1.5 1 0.5 -0.006 -0.005 0 wave function 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 Em c) -100 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 0 q -0.01 -0.015 Em 100 200 d) -400 -200 0 q 200 400 Rysunek 2.3: Górne panele: wkład γm , z równania (2.3.15), do całkowitego czynnika rozpadu Γ jako funkcja energii Em . Dolne panele: stany początkowe ψn (q) układu (ciągłe czarne linie) oraz stany własne ψm (q) (czerwone przerywane) odpowiadające najbardziej prawdopodobnym kanałom rozpadu, tj. maksymalnym wartościom γm . Parametry wybrane w lewych (prawych) panelach są takie same jak odpowiadające im w Rys. 2.2. pułapka musi być wystarczająco płytka. Oznacza to, że stan podstawowy położenia solitonu w pułapce harmonicznej bez nieporządku rozciąga się na obszarze większym niż długość lokalizacji przewidzianej w naszej analizie, tj. √ ścią pułapki harmonicznej. 2.4 1 |Mq |ω ≫ lloc gdzie ω jest często- Podsumowanie W niniejszym rozdziale rozważaliśmy ciemny soliton w rozrzedzonym ultrazimnym gazie atomowym w obecności słabego potencjału przypadkowego. Rozważania podzieliliśmy na dwie części: opis klasyczny oraz kwantowy. Opis klasyczny dotyczył analizy stacjonarnego rozwiązania równania Grossa-Pitajewskiego oraz wpływu potencjału przypadkowego na kształt solitonu. Zastosowaliśmy w tym celu dwie metody: podejście Bogoliubova oraz rozwinięcie perturbacji funkcji falowej w stany własne potencjału Pöschl-Tellera. Obie metody prowadzą do takich samych wyników, jednak rozwinięcie w mody Pöschl-Tellera okazuje się być wygodniejsze, a w szczególności pozwala otrzymać prostą formę zaburzenia solitonu w postaci jądra całkowego. Porównanie metod perturbacyjnych z wynikami numerycznymi pokazuje zadziwiająco dobrą zgodność nawet dla potencjałów o amplitudzie 39 2.4. Podsumowanie rzędu potencjału chemicznego. Jeśli natomiast rozpatrujemy słaby zewnętrzny potencjał, to deformacja solitonu okazuje się być zaniedbywalnie mała. Podejście Bogoliubova natomiast jest nieocenionym narzędziem w opisie kwantowym, w którym interesują nas wielociałowe stany własne układu. Jeśli amplituda zewnętrznego potencjału jest dużo mniejsza niż potencjał chemiczny, położenie ciemnego solitonu może być opisane efektywnym hamiltonianem, który jest słabo sprzężony z podukładem fononów. Podobnie jak w przypadku jasnego solitonu przewidywaliśmy lokalizację Andersona ciemnego solitonu w obecności nieporządku. Ze względu na sprzężenie pomiędzy stopniem swobody związanym z położeniem solitonu z podukładem kwazicząstek zlokalizowane stany mogą rozpadać się poprzez emisję fononu. Wyznaczyliśmy czasy życia stanów zlokalizowanych andersonowsko i okazuje się, że dla typowych eksperymentalnych warunków są one dłuższe niż typowy czas życia kondensatu. Dzięki temu możliwa jest eksperymentalna realizacja lokalizacji ciemnego solitonu. 40 Rozdział 3 Sztuczne pola cechowania w zimnych gazach atomowych W sekcji 1.1 zimne gazy atomowe zostały przedstawione jako symulatory kwantowe wielu zjawisk fizycznych, które do tej pory pozostawały niedostępne w bezpośrednich badaniach. Pomimo możliwości kontrolowania wielu parametrów układu, atomy używane w eksperymentach są neutralne, a więc nie oddziałują z polem magnetycznym w taki sposób jak cząstki naładowane. Pojawia się zatem pytanie czy możliwe jest symulowanie w zimnych gazach atomowych zjawisk magnetycznych, których obserwowanie w rzeczywistych ciałach stałych jest bardzo trudne lub wręcz niemożliwe? Okazuje się, że taką możliwość dają sztuczne pola cechowania, a więc pewne specyficzne warunki, które powodują, że neutralne atomy zachowują się jak naładowane cząstki w efektywnym polu magnetycznym. Niniejszy rozdział poświęcony jest mechanizmom fizycznym stojącym za generacją sztucznych pól magnetycznych, a także zawiera szczegółowy opis opracowanej przez nas metody wytwarzania sztucznego pola magnetycznego blisko powierzchni dielektrycznej. Sekcja 3.1.1 stanowi wprowadzenie do opisu oddziaływania atomów ze światłem. Ponieważ pole wiązki laserowej jest periodyczne w czasie, do wyznaczenia stanów własnych układu, opisanych w podpunkcie 3.1.3, pomocne jest zastosowanie twierdzenia Floquet, któremu poświęcony jest podpunkt 3.1.2. Jeżeli atomy poruszają się dostatecznie wolno, a więc w przybliżeniu adiabatycznym przedstawionym w sekcji 3.1.4 pozostają w początkowym stanie ubranym, to w hamiltonianie opisującym ruch atomu pojawiają się wyrazy odpowiadające potencjałowi wektorowemu A i skalarnemu W . Potencjał wektorowy A związany jest z fazą Berry’ego, do której wprowadzenie stanowi podpunkt 3.1.5, wynikającą z ruchu adiabatycznego atomu oraz nietrywialnej geometrii przestrzeni parametrów. Ponieważ 41 3.1. Wprowadzenie nasze badania poświęcone są generacji sztucznych pól magnetycznych przez falę zanikającą, punkt 3.1.7 przedstawia zjawisko całkowitego wewnętrznego odbicia oraz własności powstającej w ten sposób fali zanikającej. Od sekcji 3.2 rozpoczyna się opis opracowanej przez nas metody generacji sztucznego pola magnetycznego przez falę zanikającą. Początkowe rozważania oparte są na przybliżeniu wiązki laserowej jako fali płaskiej. Takie podejście pozwala uzyskać analityczne rozwiązania oraz przeprowadzić wstępną analizę zarówno pola, jak i jego wpływu na chmurę ultrazimnych atomów. Okazuje się jednak, że do otrzymania optymalnych pól potrzebne są wiązki padające pod kątem bliskim kątowi granicznemu dla całkowitego wewnętrznego odbicia. W związku z tym konieczne jest wzięcie pod uwagę rzeczywistego gaussowskiego profilu wiązki laserowej. Szczegółowe obliczenia dla tego przypadku prezentuje sekcja 3.3, w której wykonaliśmy również numeryczne symulacje ukazujące powstawanie wirów w kondensacie Bosego-Einsteina, będących sygnaturą sztucznego pola magnetycznego. Sekcja 3.4 przedstawia natomiast propozycję realizacji eksperymentalnej sztucznych pól w zimnych gazach atomowych, których temperatura rzędu kilku kelwinów jest zbyt wysoka dla kwantowej degeneracji. Otrzymane przez nas wyniki symulacji trajektorii pokazują, że atomy mogą być odbijane od powierzchni pryzmatu za pomocą sztucznej siły Lorentza, która powstaje dzięki oddziaływaniu atomów z falą zanikającą blisko powierzchni dielektrycznej. Jeśli sztucznego pola magnetycznego nie ma, wszystkie atomy zostają rozproszone na powierzchni pryzmatu. Sekcja 3.5 stanowi podsumowanie otrzymanych przez nas wyników. Całość materiału zaprezentowanego w niniejszym rozdziale została zebrana w artykule [86]. 3.1 3.1.1 Wprowadzenie Oddziaływanie atomów ze światłem e ℏ|Δ| Ee ℏω 0 E=0 g Eg Rysunek 3.1: Model dwupoziomowego atomu, którego poziomy podstawowy |gi i wzbudzony |ei oddzielone są przerwą energetyczną ~ω0 . 42 3.1. Wprowadzenie Rozważmy atom dwupoziomowy (Rys. 3.1) umieszczony w polu laserowym o wektorze falowym k. Poziomy energetyczne o energiach Eg i Ee odpowiadające stanowi podstawowemu |gi i wzbudzonemu |ei, oddzielone są przerwą energetyczną równą ~ω0 . Układ ten posiada dwie skale: jedną związaną z atomem i jego strukturą (r̃) oraz drugą, związaną z ruchem środka masy (r). Okazuje się, że zależność od wewnętrznej struktury można wyeliminować stosując przybliżenie długiej fali, a więc zakładając, że zmiany pola elektrycznego zachodzą na dużo większej skali niż rozmiar atomu, tj. k · r̃ ≪ 1. Wtedy pole elektryczne można przedstawić w postaci E(r, t) = E0 (r)cos(ωt), gdzie E0 (r) jest amplitudą pola, a r jest wektorem położenia atomu. Pole to indukuje atomowy moment dipolowy d, z którym następnie oddziałuje w taki sposób, że Hint = −d · E(r, t). Zakładając różną parzystość stanów |gi i |ei, jedynie pozadiagonalne elementy Hint będą niezerowe. Hamiltonian układu opisujący wewnętrzne stopnie swobody atomu i ich oddziaływanie z zewnętrznym polem możemy zapisać jako: 1 H = H0 + Hint = ~ω0 σ̂3 + cos(ωt) (V (r)σ̂+ + V ∗ (r)σ̂− ) , 2 (3.1.1) gdzie σ̂3 = |eihe| − |gihg| jest tak zwanym operatorem inwersji, σ̂+ = |eihg| jest operatorem podniesienia, a σ̂− = |gihe| operatorem obniżenia energii atomu. Ponadto V (r) = −he|d · E0 (r)|gi ≡ d · E(r), gdzie bez straty ogólności założyliśmy rzeczywisty element macierzowy he|d|gi ≡ d. Pierwszy wyraz hamiltonianu (3.1.1) odpowiada energii atomu wy- znaczonej względem połowy odległości między poziomami, drugi natomiast można uprościć poprzez zastosowanie przybliżenia fali rotującej (RWA). Rozpisując 2cos(ωt) = eiωt + e−iωt i i przechodząc do obrazu oddziaływania poprzez transformację unitarną U = e ~ H0 t , otrzymujemy wyrazy „rezonansowe” typu ei(ω−ω0 ) oraz „antyrezonansowe” ei(ω+ω0 ) . Zakładając niewielkie odstrojenie od atomowego rezonansu ∆ = ω0 − ω widzimy, że ∆ ≪ ω + ω0 , a więc wyrazy szybko oscylujące z częstością ω + ω0 uśredniają się do zera. Wracając do obrazu Schrödingera otrzymujemy: 1 1 HRW A = ~ω0 σ̂3 + V (r)e−iωt σ̂+ + V ∗ (r)eiωt σ̂− . 2 2 (3.1.2) Powyższy hamiltonian jest periodycznie zależny od czasu, a więc znalezienie energii i stanów własnych ułatwia zastosowanie twierdzenia Floquet. 3.1.2 Twierdzenie Floquet Pomimo zależności hamiltonianu (3.1.2) od czasu, periodyczność w domenie czasowej pojawiająca się w układzie pozwala na wprowadzenie znaczących uproszczeń. Podobnie jak w fizyce ciała stałego funkcję falową cząstki w periodycznym potencjale sieci krystalicznej 43 3.1. Wprowadzenie opisuje funkcja Blocha wynikająca wprost z twierdzenia Blocha, tak twierdzenie Floquet pozwala znaleźć rozwiązania zależnego od czasu równania Schrödingera dla hamiltonianu periodycznego w czasie [87–89]. Jeżeli H(t) = H(t+T ), gdzie T jest okresem hamiltonianu, to rozwiązań równania Schrödingera możemy szukać w postaci: i |ψi = e− ~ En t |un (t)i, (3.1.3) gdzie |un (t)i = |un (t + T )i posiada periodyczność hamiltonianu, a więc T = 2π/ω, natomiast En oznaczają kwazienergie (w analogii do kwazipędów z twierdzenia Blocha). Pod- stawiając ansatz (3.1.3) do równania Schrödingera: i~ d|ψi = H(t)|ψi dt (3.1.4) otrzymujemy d |un (t)i = En |un (t)i, H − i~ dt (3.1.5) d . Warto a więc En i |un (t)i to wartości i wektory własne hamiltonianu Floquet H = H −i~ dt zauważyć, że spektrum energii posiada period ~ω, a więc w domenie kwazienergii istnieją strefy odpowiadające strefom Brillouina kwazipędów z twierdzenia Blocha. Analogicznie więc wystarczy badać tylko rozwiązania należące do pierwszej strefy Floquet. W świetle twierdzenia Floquet hamiltonian, który rozważamy przyjmuje postać: d 1 1 V (r)e−iωt σ̂+ + V ∗ (r)eiωt σ̂− − i~ . (3.1.6) H = ~ω0 σ̂3 + 2 2 dt Skoro wektory własne |un (t)i są periodyczne z okresem 2π/ω, to możemy je rozwinąć w szereg Fouriera, tj. |un (t)i = oraz wprowadzić dodatkową bazę |ji = X j eijωt cj q |ujn i, 2π ω q eijωt / 2π ω . (3.1.7) W przypadku braku oddziaływania, stany własne układu możemy zapisać w postaci wektorów |ei|ji oraz |gi|ji. Gdy oddzia- ływanie jest obecne pojawiają się sprzężenia między stanami |ei|ji i |gi|j + 1i, podobnie jak w przypadku elektrodynamiki kwantowej, w którym oddziaływanie odbywa się przez absorpcję lub emisję fotonu. W nowej bazie zdefiniowanej jako |ψ1j i = |ei|ji, (3.1.8) |ψ2j i = |gi|j + 1i, (3.1.9) hamiltonian (3.1.6) nie zależy od czasu i rozsprzęga się na niezależne bloki w postaci: V (r) ~ωj + 12 ~ω0 2 (3.1.10) H(j) = V ∗ (r) 1 ~ω(j + 1) − 2 ~ω0 2 44 3.1. Wprowadzenie Wystarczy więc wyznaczyć energie i stany własne hamiltonianu H(j) , aby uzyskać pełną informację o wewnętrznych stopniach swobody atomu zaburzonego zewnętrznym polem elektromagnetycznym. 3.1.3 Stany ubrane Rozwiązując zagadnienie własne dla hamiltonianu (3.1.10) otrzymujemy dwie energie własne 1 E± (j) = ~ω j + 2 gdzie Ω = Ω ±~ , 2 (3.1.11) p ∆2 + |V (r)|2 /~2 oznacza uogólnioną częstość Rabiego odzwierciedlającą siłę sprzężenia atomu z polem lasera. Otrzymane spektrum jest w pełni periodyczne, a odległość między poziomami stanów własnych, tzw. stanów ubranych, jest równa ~Ω, tak jak na Rys. 3.2. Każdej z energii odpowiada stan ubrany, tj. cos Φ(r) 2 |χ+ (r)i = , −iφ(r) e sin Φ(r) 2 |χ− (r)i = iφ(r) − sin Φ(r) 2 e cos Φ(r) 2 (3.1.12) (3.1.13) , gdzie Φ(r) = arctg(|κ(r)|/∆) z wprowadzonym oznaczeniem κ(r) = V (r)/~ = d · E(r)/~, oraz V (r) = |V (r)|eiφ(r) . Ponadto użyliśmy notacji: 1 Φ(r) =√ sin 2 2 r Ω−∆ , Ω Φ(r) 1 cos =√ 2 2 r Ω+∆ . Ω (3.1.14) Dla odstrojenia ku niebieskiemu (∆ < 0) stan |χ+ i skojarzony jest ze stanem podstawo- wym, zob. Rys. 3.2, dlatego jego obsadzenie będzie większe. Wraz ze wzrostem natężenia światła laserowego (efektywnie Ω(r)), rośnie również energia stanu |χ+ i, a więc atomy będą odpychane od regionów o maksymalnym natężeniu, które są niekorzystne energetycznie. Odwrotne zachowanie można zaobserwować w przypadku przeciwnego odstrojenia, ku czerwieni (∆ > 0), w którym atomy będą przyciągane do maksymalnego natężenia lasera. Dzieje się tak dlatego, że przesunięcie poziomów energetycznych, będące wynikiem oddziaływania atomów z polem elektrycznym (dynamiczny efekt Starka), odpowiada potencjałowi dipolowemu związanemu z danym stanem ubranym [90, 91], tj.: Udip = ~∆ ~ ± Ω(r) 2 2 45 dla |χ± i. (3.1.15) 3.1. Wprowadzenie Rysunek 3.2: Struktura poziomów energetycznych atomu ubranego dla ∆ < 0 (odstrojenie ku niebieskiemu). Początkowe stany o energiach Ej−1 i Ej zostają rozszczepione w wyniku oddziaływania atomu z polem elektrycznym (efekt Starka). W sektorze A widać poziomy „gołe” bez sprzężenia z polem laserowym. Sektor B natomiast przedstawia poziomy ubrane atomu znajdującego się w danym punkcie przestrzeni r. Sprzężenie z polem laserowym skutkuje zależnym od parametrów przestrzennych odpychaniem poziomów ubranych ~Ω(r). Stąd dla ∆ < 0 (stan |χ+ i skojarzony jest ze stanem podstawowym) potencjał dipolowy jest nieujemny, a więc atomy są odpychane od regionów z maksimum natężenia pola laserowego i odwrotnie gdy ∆ > 0. Wynik ten zgadza się z intuicyjnym obrazem przedstawionym wyżej. Potencjał dipolowy jest szeroko stosowany do pułapkowania atomów. 3.1.4 Adiabatyczny ruch atomów Wydawać by się mogło, że zjawiska fizyczne można podzielić pod względem ich ewolucji na dwie grupy: statyczne oraz dynamiczne. Okazuje się jednak, że gdzieś pośrodku statyki i dynamiki leży pojęcie adiabatyczności, które dotyczy efektów dynamicznych, ale w granicy „nieskończenie powolnych” zmian. Przybliżenie adiabatyczne zakłada, że układ pozostaje 46 3.1. Wprowadzenie w danym stanie własnym o ile zaburzenie działające na niego jest dostatecznie wolne i istnieje przerwa energetyczna między energią stanu a resztą spektrum hamiltonianu [92]. Typowym przykładem zastosowania przybliżenia adiabatycznego jest układ, który można podzielić na dwa podsystemy: szybki i wolny o różnych skalach czasowych. Jeżeli zmiany hamiltonianu są wolne w porównaniu z naturalną skalą czasową układu zdeterminowaną przez przerwy energetyczne w widmie, to przybliżenie adiabatyczne może być zastosowane. Aby lepiej zrozumieć ideę przybliżenia adiabatycznego oraz jego konsekwencje, rozważmy zależny od czasu hamiltonian H(t) oraz jego „chwilowe”, tj. dla ustalonego t, stany własne |n(t)i do energii własnych En (t). Zakładamy przy tym, że dla wszystkich czasów t spektrum H(t) jest dyskretne i niezdegenerowane. Jeżeli przyjmiemy stan początkowy |ψ(0)i = |n(0))i, to zgodnie z twierdzeniem adiabatycznym w czasie ewolucji układ po- zostanie w n-tym stanie własnym. Aby się o tym przekonać, rozwińmy stan |ψ(t)i w ortonormalnej bazie stanów |n(t)i [93] |ψ(t)i = X (3.1.16) cm (t)|m(t)i, m Wstawiając taką postać |ψ(t)i do zależnego od czasu równania Schrödingera otrzymujemy równanie na współczynniki cm (t): ċm (t) = −cm (t)hm(t)| X d d ck (t)hm(t)| |k(t)i, |m(t)i − dt dt (3.1.17) k6=m Aby uprościć wyrażenie (3.1.17) zauważmy, że różniczkując po czasie równanie własne H(t)|k(t)i = Ek (t)|k(t)i oraz obkładając je z lewej strony hm(t)| otrzymujemy wyrażenie: hm(t)|k̇(t)i = hm(t)|Ḣ(t)|k(t)i , Ek (t) − Em (t) m 6= k. (3.1.18) W granicy adiabatycznej zmiany hamiltonianu są nieskończenie małe, a więc |hm(t)|Ḣ(t)|k(t)i| → 0. Wtedy wyrażenie na współczynniki cm redukuje się do prostej postaci: ċm = −cm hm(t)|ṁ(t)i (3.1.19) z warunkiem początkowym cm (0) = δnm zgodnie z założeniem o stanie początkowym układu. Z warunku początkowego widać, że cm (t) = 0 dla m 6= n, a więc rozwiązaniami tego równania są współczynniki cn (t), które mają postać czynnika fazowego: Z t iϑn (t) hn(τ )|ṅ(τ )idτ cn (t) = e , ϑn (t) = i (3.1.20) 0 Otrzymaliśmy przy tym wynik zapostulowany na samym początku rozważań o adiabatyczności: jeżeli w chwili początkowej układ był w stanie |ψ(0)i = |n(0)i, to w czasie ewolucji 47 3.1. Wprowadzenie pozostaje on w n-tym stanie własnym, t.j. (3.1.21) |ψ(t)i = cn (t)|n(t)i, zgodnie z równaniem (3.1.16). 3.1.5 Faza Berry’ego Wróćmy jeszcze do wyrażenia (3.1.20) na czynnik fazowy ϑn (t). W naszym przypadku wolne zmiany hamiltonianu związane są z ruchem atomów, a więc parametrem zależnym od czasu jest położenie atomu r. Zgodnie z twierdzeniem adiabatycznym gdy ewolucja jest cykliczna wzdłuż zamkniętej krzywej C, tj. r(0) = r(T ), to stany |ψ(r(0))i i |ψ(r(T ))i mogą się różnić względem siebie tylko czynnikiem fazowym zawierającym fazę dynamiczną oraz tak zwaną fazę Berry’ego obecną w równaniu (3.1.20), którą można przepisać jako: ϑn (T ) = i Z T hn(r(τ ))|ṅ(r(τ ))idτ = i 0 I C hn(r)|∇r n(r)idr ≡ γn (C). (3.1.22) Ostatnie wyrażenie pokazuje w sposób jawny zależność fazy od geometrii przestrzeni parametrów hamiltonianu. Sir Michael Berry jako pierwszy pokazał, że γn (C) nie można wyeliminować przez transformację cechowania [94]. Warto zwrócić uwagę na jeszcze jeden aspekt geometrycznej fazy Berry’ego. Wprowadźmy oznaczenie: (n) A wtedy ≡ ihn|dni, γn (C) = I A(n) . (3.1.23) C Stany własne określone są z dokładnością do fazy, a więc arbitralna jej zmiana nie wpływa na fizyczny opis układu. Skoro naszym stanem końcowym jest |ψ(r(T ))i = eγn (C) |ψ(r(0))i, to dokonując transformacji cechowania, tj. |ψ(r)i → |ψ ′ (r)i = eiαn (r) ei H C A(n) |ψ(r)i = ei H C (A(n) +dαn ) |ψ(r)i, (3.1.24) widać, że A(n) → A′(n) = A(n) + dαn transformuje się w taki sam sposób jak potencjał wektorowy w elektrodynamice. Z twierdzenia Stokesa fazę Berry’ego można przepisać w jeszcze inny sposób: γn (C) = Z F (n) , F (n) = dA(n) , (3.1.25) Σ gdzie brzeg powierzchni Σ wyznacza krzywa zamknięta C. Dlatego też faza Berry’ego γn (C) jest analogiem strumienia magnetycznego przez powierzchnię Σ. 48 3.1. Wprowadzenie 3.1.6 Związek pomiędzy fazą Berry’ego a sztucznymi polami cechowania Aby lepiej zobrazować w jaki sposób potencjał wektorowy pojawia się w hamiltonianie opisującym ruch środka masy atomu, rozważmy ponownie atom umieszczony w polu laserowym. Jak zostało to omówione w sekcji 3.1.3, stanami własnymi układu są stany ubrane, zapisane ogólnie jako |χn i. Pełny stan kwantowy atomu można przedstawić w formie: |Ψi = N X ψn (r)|χn (r)i, (3.1.26) n=1 gdzie ψn są funkcjami falowymi dla środka masy atomu w stanie ubranym |χn i. Podstawiając |Ψi do równania Schrödingera i rzutując na pozostałe stany ubrane otrzymujemy [27]: ∂ 1 2 i~ ψ = (−i~ ▽ −A) + W ψ, ∂t 2m (3.1.27) ψ = (ψ1 , ψ2 , ...ψN )T , (3.1.28) An,m = i~hχn (r)| ▽ χm (r)i, (3.1.29) gdzie Wn,m = ~2 X hχl (r)|∇χn (r)ih∇χm (r)|χl (r)i. 2M (3.1.30) l6=n,m W hamiltonianie układu pojawiły się zatem dwa nowe wyrazy. A modyfikuje część kinetyczną hamiltonianu i wyraża potencjał wektorowy znany z elektrodynamiki, natomiast W jest geometrycznym potencjałem skalarnym wyrażającym energię kinetyczną szybkich mikroruchów atomów. Oba potencjały zależą od geometrii układu, ponieważ wyrażone są przez gradienty stanów ubranych. Porównując wyrażenia na potencjał wektorowy A oraz fazę Berry’ego γn (C) (3.1.22) można zauważyć, że są one ze sobą powiązane. Istotnie istnienie niezerowej fazy geometrycznej skutkuje efektywnym potencjałem wektorowym odczuwanym przez atomy. W przybliżeniu adiabatycznym pomijamy wyrazy pozadiagonalne opisujące sprzężenia między stanami, dzięki czemu możliwe jest rozdzielenie dynamiki poszczególnych stanów ubranych. Wtedy potencjał wektorowy dla danego stanu ubranego redukuje się do macierzy 1 × 1, a więc potencjał cechowania jest abelowy. Odpowiada to znanemu z elektrodynamiki potencjałowi wektorowemu z grupą symetrii cechowania U (1). Inaczej jest gdy układ posiada zdegenerowane (lub prawie zdegenerowane) stany ubrane. W takiej sytuacji nie da się pominąć wyrazów pozadiagonalnych sprzęgających stany zdegenerowane, co może skutkować nieabelowymi polami cechowania. 49 3.1. Wprowadzenie Wróćmy jednak do atomu dwupoziomowego i jego stanów ubranych (3.1.12) i (3.1.13). Załóżmy, że układ początkowo znajduje się w stanie |χ+ i i w czasie adiabatycznej ewolucji pozostaje w tej podprzestrzeni stanów. Wtedy potencjał wektorowy A przyjmuje postać: A(r) = i~hχ+ |∇χ+ i = ~sin2 Φ(r) ∇φ(r). 2 Ponieważ pole magnetyczne jest rotacją potencjału wektorowego A, to: Φ(r) B(r) = ∇ × A(r) = ~∇ sin2 × ∇φ(r). 2 (3.1.31) (3.1.32) Wynika stąd, że pole B zależy od gradientu fazy φ(r) danego pola laserowego oraz gradientu p uogólnionej częstości Rabiego Ω = ∆2 + |κ|2 , gdzie ∆ jest odstrojeniem od częstości rezonansowej, a κ = d · E(r)/~ częstością Rabiego [27, 28]. Gradient Ω można uzyskać na dwa sposoby: poprzez zależne od położenia odstrojenie lub gradient amplitudy pola (κ). Dużym gradientem amplitudy charakteryzuje się fala zanikająca, dlatego wydaje się ona być idealnym kandydatem do realizacji sztucznych pól magnetycznych. Temu zagadnieniu poświęcony jest kolejny punkt. 3.1.7 Fala zanikająca i jej własności Rozważmy falę płaską propagującą w płaszczyźnie XZ w ośrodku o współczynniku załamania n1 i padającą na granicę rozdziału z drugim ośrodkiem o współczynniku załamania n2 , lewa strona Rys. 3.3. Przy założeniu, że n1 > n2 istnieje taki graniczny kąt padania θc , dla którego kąt załamania β wynosi π/2. Kąt ten można wyznaczyć z prawa Snella i wynosi on: θc = arcsin n2 . n1 (3.1.33) Zatem może dojść do sytuacji, w której kąt padania będzie większy od granicznego. Wtedy kąt załamania β przyjmuje wartości zespolone i dochodzi do tzw. całkowitego wewnętrznego odbicia, prawa strona Rys. 3.3. Ponieważ długość próżniowego wektora falowego k0 = 2π/λ, gdzie λ jest długością fali, propagując w ośrodku zmienia się proporcjonalnie do współczynnika załamania, tj. k0 → k0 n1 lub k0 → k0 n2 , stąd dostajemy zależność: 2 2 k 2 = ktx + ktz , gdzie k = k0 n2 . (3.1.34) Składową ktx można wyznaczyć z warunków ciągłości na granicy ośrodków, zgodnie z którymi powinna ona być równa składowej kix , a więc: ktx = k0 n1 sinθ. 50 (3.1.35) 3.1. Wprowadzenie Stąd podstawiając do równania (3.1.34) otrzymujemy: q ktz = ik0 n21 sin2 θ − n22 . z n1 n2 (3.1.36) z n1 n2 θ θc θ θc kt n2 β n1 θ θ ki n2 x n1 kr β ∈ℂ ki θ θ kr x θc Rysunek 3.3: Schemat propagacji fali płaskiej padającej na granicę ośrodków. Lewy rysunek: odbicie i załamanie dla kąta padania θ < θc , prawy rysunek: całkowite wewnętrzne odbicie dla kąta padania θ > θc . Symbolicznie kolorem zielonym przedstawiony jest eksponencjalny zanik amplitudy fali zanikającej. Ponieważ w dalszych rozważaniach będziemy rozpatrywać przejście z dielektrycznego pryzmatu do próżni oraz będzie interesowało nas pole nad powierzchnią pryzmatu, przyjmijmy n1 ≡ n i n2 = 1 oraz pomińmy wskaźnik „t”. W nowej notacji pole nad powierzchnią pryzmatu możemy zapisać w postaci: E(x, z, t) = tT E (θ) E0 e−iωt eiφ(x) e−z/d , (3.1.37) gdzie E0 opisuje amplitudę i kierunek wektora pola elektrycznego, φ(x) = xk0 n sin θ −1 p jest tak zwaną głębokością wnijest fazą fali biegnącej, a d = k0 n2 sin2 θ − 1 kania. W powyższym wzorze wybraliśmy polaryzację T E, a więc taką, w której wektor pola elektrycznego jest prostopadły do płaszczyzny padania zarówno w pryzmacie, jak i próżni. Wtedy współczynnik transmisji wyznaczony ze wzorów Fresnela wynosi −1 p tT E (θ) = 2n cos θ n cos θ + i n2 sin2 θ − 1 . Zmiana polaryzacji na T M , w której wek- tor pola elektrycznego jest równoległy do płaszczyzny padania, nie zmienia jakościowo naszych wyników. Z postaci pola elektrycznego opisanego wzorem (3.1.37) widać, że zanika ono eksponencjalnie z odległością od powierzchni dielektryka, a wielkością charakteryzującą ten zanik jest głębokość wnikania d. Zależy ona ściśle od kąta padania θ i przyjmuje największą wartość w okolicy kąta granicznego θc , a następnie maleje bardzo szybko wraz ze wzrostem θ i dąży do wartości granicznej, która dla λ = 578 nm wynosi około 100 nm, Rys. 3.4. W 51 3.2. Generacja sztucznego pola magnetycznego przez falę zanikającą w przybliżeniu fali płaskiej kolejnych sekcjach pokażemy, że wielkość ta odgrywa kluczową rolę w generacji sztucznych pól magnetycznych za pomocą fali zanikającej. p −1 od kąta padania θ. Rysunek 3.4: Zależność głębokości wnikania d = k0 n2 sin2 θ − 1 W miarę oddalania się od kąta granicznego θc głębokość wnikania bardzo szybko maleje. 3.2 Generacja sztucznego pola magnetycznego przez falę zanikającą w przybliżeniu fali płaskiej 3.2.1 Opis układu Rozważmy elektromagnetyczną falę płaską o wektorze falowym k0 , która rozchodzi się w pryzmacie wykonanym z dielektrycznego materiału o współczynniku załamania n > 1. Fala pada na granicę między dielektrykiem a próżnią, pod kątem padania θ większym od kąta granicznego θc = arcsin(1/n) dla całkowitego wewnętrznego odbicia. Powstała w ten sposób fala zanikająca propaguje się wzdłuż granicy ośrodków w kierunku x i zanika eksponencjalnie wraz z oddalaniem się od powierzchni pryzmatu w kierunku z, tak jak na Rys. 3.5. Pole elektryczne powstałe w próżni wyraża się wzorem (3.1.37), a jego obecność będą odczuwały atomy spułapkowane nad powierzchnią pryzmatu w odległości mniejszej niż głębokość wnikania fali zanikającej. Zakładamy, że chmura atomowa znajduje się w stanie kondensatu Bosego-Einsteina, a więc wszystkie atomy opisane są tym samym stanem jednocząstkowym. Aby znaleźć stany własne układu za pomocą formalizmu przybliżenia fali rotującej, odstrojenie ∆ częstości lasera ω od atomowego rezonansu ω0 musi być niewielkie. To z kolei w przypadku atomu dwupoziomowego pociąga za sobą niebezpieczeństwo 52 3.2. Generacja sztucznego pola magnetycznego przez falę zanikającą w przybliżeniu fali płaskiej Rysunek 3.5: Geometria rozważanego układu. Fala płaska o wektorze falowym k0 (zielona strzałka) pada na powierzchnię pryzmatu pod kątem θ większym niż kąt graniczny dla całkowitego wewnętrznego odbicia. Powstała w ten sposób fala zanikająca oddziałuje z chmurą atomów (żółte koło) spułapkowaną przy powierzchni pryzmatu. dużej emisji spontanicznej, która może zniszczyć koherencję w kondensacie, a tym samym uniemożliwić obserwację sztucznego pola magnetycznego. Dlatego też nie można użyć w tego typu eksperymencie powszechnie stosowanych atomów metali alkalicznych, jak np. rubid, ale potrzebne są atomy o długo żyjących stanach (tzw. przejścia zegarowe wykorzystywane w zegarach atomowych). Są to m.in. iterb, stront czy cez [95]. W naszych obliczeniach będziemy stosować długość fali odpowiadającą przejściu 1 S0 →3 P0 w iterbie, a więc λ = 578 nm. 3.2.2 Przybliżenie adiabatyczne Oddziaływanie atomów z polem laserowym powoduje, że układ znajduje się w jednym ze stanów ubranych danych wzorami (3.1.12) oraz (3.1.13). Załóżmy, że atomy poruszają się na tyle wolno, aby przez adiabatyczną ewolucję podążały za stanem np. |χ+ i. Jest to możliwe ponieważ istnieje przerwa energetyczna między stanami ubranym o wartości ~Ω, która pozwala na separację dynamiki każdego ze stanów i adiabatyczną eliminację jednego z nich. Aby otrzymać warunek na dozwolone prędkości rozważmy stan wewnętrzny atomu 53 3.2. Generacja sztucznego pola magnetycznego przez falę zanikającą w przybliżeniu fali płaskiej dany jako superpozycja stanów ubranych Ψ(r(t)) = P i ci (t)|χi (r(t))i, gdzie i = +, − [96]. Załóżmy ponadto, że w chwili początkowej atom był w spoczynku w stanie Ψ = |χ+ i, a następnie jest jednostajnie przyspieszany do prędkości v w czasie T , tj. v(t) = vt/T dla 0 ≤ t ≤ T . Podstawiając |Ψi do zależnego od czasu równania Schrödingera i~|Ψ̇i = H|Ψi i wyznaczając lewą stronę jako: X X dr d |Ψ̇i = ċi |χi i + ci |χi i = (ċi |χi i + ci v|∇χi i) , dt dr i (3.2.1) i możemy zrzutować obustronnie na stan hχk | i otrzymać równanie: X i ci vhχk |∇χi i. ċk (t) = − Ek ck (t) − ~ (3.2.2) i W zerowym rzędzie współczynnik c− = 0, natomiast c+ (t) = e−iE+ t/~ , ponieważ jest to nasz punkt startowy. W pierwszym rzędzie otrzymujemy: Z T i t − ~i E− T c− (T ) = −v · hχ− |∇χ+ ie e ~ (E− −E+ )t dt, T 0 (3.2.3) gdzie |χ− i, |χ+ i, E− i E+ są wzięte w zerowym rzędzie w v. Zakładając, że atom jest wprawiony w ruch adiabatycznie, tzn. T (E− − E+ )/~ ≫ 1 otrzymujemy warunek: c− (T ) ≈ i~ v · hχ− |∇χ+ i − i E+ T e ~ . E− − E+ (3.2.4) W przybliżeniu adiabatycznym chcemy ponadto, aby |c− | ≪ 1, tj. aby układ podążał za stanem początkowym |χ+ i, stąd ostatecznie warunek na dozwolone prędkości przyjmuje postać: v≪ Ω , |hχ− |∇χ+ i| (3.2.5) gdzie ~Ω = |E− −E+ |. Warunek ten dla małych odstrojeń rzędu kHz pozwala na prędkości rzędu cm/s, co odpowiada temperaturze rzędu µK, a więc jest to zakres zimnych gazów atomowych. Kwantowa degeneracja zachodzi dla atomów iterbu poniżej 500nK, a więc rozważając kondensat Bosego-Einsteina i niewielkie odstrojenia możemy być pewni, że znajdujemy się w reżimie przybliżenia adiabatycznego. 3.2.3 Analiza sztucznego pola magnetycznego generowanego pojedynczą falą zanikającą Znając stany ubrane układu możemy wyznaczyć potencjał wektorowy odczuwany przez atomy: A(x, z) = ~ sin2 [Φ(z)/2] ∇φ(x), 54 (3.2.6) 3.2. Generacja sztucznego pola magnetycznego przez falę zanikającą w przybliżeniu fali płaskiej gdzie Φ(z) = arctg(|κ(x, z)|/∆), a κ(x, z) = d · E(r)/~ z polem elektrycznym E(r) danym wzorem (3.1.37). Rotacja potencjału wektorowego A pozwala na uzyskanie wyrażenia na wektor sztucznego pola magnetycznego, które posiada niezerową składową tylko w kierunku y: B(z) = −ŷB(z) = −ŷB0 p s2 α(z)n sin θ n2 sin2 θ − 1 , [1 + s2 α(z)]3/2 (3.2.7) 2 gdzie B0 = ~k02 /2 i α(z) = tT E (θ) e−2z/d . Ponadto wprowadziliśmy nowy parametr s= |d · E0 | , ~|∆| (3.2.8) będący stosunkiem maksymalnej częstości Rabiego do odstrojenia od rezonansu atomowego. Rysunek 3.6: Pole magnetyczne B(z) (3.2.7), w jednostkach B0 = ~k02 /2, jako funkcja z/d dla s = 5, zob. (3.2.8). Kolory odróżniają pola magnetyczne dla różnych kątów padania θ. Szerokość połówkowa B(z) dla każdego kąta wyznacza zakres znaczących wartości amplitudy. Wynika stąd, że ∆z ≈ d. Pole magnetyczne B(z) można modelować zmieniając kąt padania θ, który determinuje zarówno maksymalną wartość amplitudy pola, jak również zakres ∆z, na którym B(z) jest znaczące. Na Rys. 3.6 przedstawiono wykresy pola magnetycznego dla różnych kątów padania θ w zależności od z/d, a więc odległości od pryzmatu z, do głębokości wnikania d fali zanikającej. Biorąc pod uwagę szerokość połówkową krzywych jako zakres ∆z widać, że ∆z ≈ d. Najsilniejsze pole magnetyczne można wytworzyć jeśli kąt padania θ znacznie przekracza wartość kąta granicznego θc dla całkowitego wewnętrznego odbicia. Jednak wtedy głębokość wnikania maleje, a więc również ∆z. Całkując pole magnetyczne dane 55 3.2. Generacja sztucznego pola magnetycznego przez falę zanikającą w przybliżeniu fali płaskiej wzorem (3.2.7), otrzymujemy: +∞ Z B(z)dz = ~k0 sin2 [Φ(0)/2] ≤ ~k0 . (3.2.9) 0 Widać stąd, że maksymalna wartość pola magnetycznego wynosi ~k02 . Gdy θ zbliża się do kąta granicznego θc głębokość wnikania rośnie, ale maleje amplituda, ponieważ B ∝ p k0 /d = k02 n2 sin2 θ − 1. Na Rys. 3.7 przedstawione są wykresy pola magnetycznego B(z) dla dwóch różnych kątów padania θ. Jak widać poprzez zmianę kąta θ można osiągać albo silne pola na mniejszym zakresie (czarna krzywa), albo słabsze, ale odczuwalne przez atomy na większym obszarze (czerwona przerywana). BHzLB0 0.015 0.010 0.005 0.000 0 20 40 60 80 100 z @ΜmD Rysunek 3.7: Pole magnetyczne B(z) wytworzone przez pojedynczą falę zanikającą, w jednostkach B0 = ~k02 /2, jako funkcja z dla dwóch różnych kątów padania: θ − θc = 8 · 10−4 rad (czarna linia) i θ − θc = 10−5 rad (czerwona przerywana linia) oraz dla s = 5 (3.2.8) i λ = 578 nm. Wzrost parametru s (3.2.8) natomiast powoduje przesunięcie pola magnetycznego B(z) w kierunku większych wartości z jak na Rys. 3.8. Stąd poprzez odpowiednią zmianę s możemy decydować o tym, w jakim obszarze nad powierzchnią pryzmatu pole magnetyczne będzie obecne. Pozwala to na spułapkowanie atomów dostatecznie daleko od powierzchni, a tym samym uniknięcie oddziaływania van der Waalsa atomów z powierzchnią dielektryka. Istnieją jednak naturalne ograniczenia na odległość pola magnetycznego od powierzchni, a tym samym na wielkość parametru s. W przypadku atomów iterbu, dla których zostały wykonane obliczenia, uzyskanie s ≫ 1 jest trudne, ponieważ długo żyjące stany charak- 56 3.2. Generacja sztucznego pola magnetycznego przez falę zanikającą w przybliżeniu fali płaskiej teryzują się słabym sprzężeniem z polem laserowym, co jednak można ominąć wybierając odpowiednio małe odstrojenie ∆. W większości obliczeń przyjęliśmy wartość s = 5, która jest łatwo osiągalna we współczesnych laboratoriach. BHzLB0 0.015 0.010 0.005 0.000 0 2 4 6 8 10 12 14 z @ΜmD Rysunek 3.8: Pole magnetyczne B(z) wytworzone przez pojedynczą falę zanikającą, w jednostkach B0 = ~k02 /2, jako funkcja z dla trzech różnych wartości parametru s (3.2.8), tj. s = 2 (czarna ciągła linia), s = 5 (czerwona przerywana linia) i s = 10 (zielona kropkowana linia), oraz dla θ − θc = 8 · 10−4 rad i λ = 578 nm. Geometryczny potencjał skalarny W wyrażony wzorem: ~2 W (z) = 8m 1 s2 α(z) s2 α(z) 2 2 2 + k n sin θ , d2 [1 + s2 α(z)]2 1 + s2 α(z) 0 (3.2.10) okazuje się być zbyt słaby, aby przezwyciężyć przyciąganie grawitacyjne, dlatego aby spułapkować atomy blisko powierzchni pryzmatu potrzebna jest albo zewnętrzna pułapka magnetyczna, albo dodatkowe wiązki laserowe. Na Rys. 3.9 przedstawiony został potencjał skarany W (3.2.10) dla parametrów użytych na wykresach Rys. 3.7. Na przykład dla atomów iterbu, maksymalna siła od potencjału skalarnego wynosi 0.17mg, gdzie g oznacza przyspieszenie ziemskie. Również optyczny potencjał dipolowy wytworzony przez rozważaną falę zanikającą jest zbyt słaby aby utrzymać chmurę atomów nad powierzchnią pryzmatu. Dzieje się tak dlatego, że generacja sztucznego pola magnetycznego wymaga dużych głębokości wnikania d, co z kolei prowadzi do zmniejszenia gradientu uogólnionej częstości Rabiego ∇Ω, a tym samym proporcjonalnej do niej optycznej siły dipolowej. 57 3.2. Generacja sztucznego pola magnetycznego przez falę zanikającą w przybliżeniu fali płaskiej 0.25 WHzLER 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 0 20 40 60 80 100 z @ΜmD Rysunek 3.9: Geometryczny potencjał skalarny W (z) wytworzony przez pojedynczą falę zanikającą, w jednostkach energii odrzutu ER = ~2 k02 /(2m), jako funkcja z dla dwóch różnych kątów padania θ−θc = 8·10−4 rad (ciągła czarna linia), θ−θc = 10−5 rad (czerwona przerywana linia) oraz dla s = 5 (3.2.8) i λ = 578 nm. 3.2.4 Topologiczne wiry jako konsekwencja istnienia sztucznego pola magnetycznego Aby zadecydować, które wartości kąta padania θ są najbardziej odpowiednie dla eksperymentu, powinniśmy przeanalizować jaką liczbę wirów jest w stanie wygenerować sztuczne pole magnetyczne w ultrazimnej chmurze atomowej. Zgodnie z informacjami z sekcji 1.2.3 wiry w kondensacie Bosego-Einsteina są wynikiem niezerowej cyrkulacji. W mechanice klasycznej naładowana cząstka w polu magnetycznym porusza się po orbicie cyklotronowej, natomiast w mechanice kwantowej, orbitalny moment pędu jest skwantowany. A więc w tym przypadku cyrkulacja jest kwantowym odpowiednikiem ruchu po okręgu cząstki naładowanej w polu magnetycznym. Dlatego gęstość wirów może być wyrażona za pomocą długości magnetycznej lB , charakteryzującej rozmiar elementarnej orbity cyklotronowej, 2 = B/(2π~). Ponieważ położenie wirów wyznacza miejsca zerowe funkcji jako ρv = 1/lB falowej, to ich promień powinien być równy długości zabliźnienia, zob. sekcja 1.1.1. Zakładając, że pole B jest znaczące na powierzchni (∆z)2 , to liczba wirów na tym obszarze wyniesie Nv = (∆z)2 ρv . Ponieważ pole B(z) zależy tylko od współrzędnej z, to przestrzeń, gdzie pole magnetyczne jest znaczące tworzy pas o szerokości ∆z. Dlatego w √ tym przypadku powinniśmy raczej oszacować liczbę rzędów wirów, tj. Nrows = ∆z ρv , 58 3.3. Generacja sztucznego pola magnetycznego przez falę zanikającą z profilem gaussowskim która dla kąta θ bliskiego kątowi granicznemu θc może być przybliżona przez: Nrows 1 ≈ 2 r d ≈ λ 1 √ √ 2 8 2π(n − 1)1/4 θ − θ0 1/2 . (3.2.11) Dla parametrów użytych na Rys. 3.7, tj. n = 1.4 i λ = 578 nm otrzymujemy Nrows = 1 oraz ∆z ≈ 2.3 µm jeśli θ − θ0 ≈ 8 · 10−4 rad (czarna krzywa), podczas gdy θ − θ0 ≈ 10−5 rad, Nrows = 3 i ∆z ≈ 20.8 µm (czerwona przerywana). Wynika stąd, że poprzez zmianę θ możemy kontrolować liczbę wirów w realizacji eksperymentalnej. Im jesteśmy bliżej kąta granicznego, tym więcej rzędów wirów możemy wygenerować w ultrazimnej chmurze atomów. W obecnych laboratoriach możliwe jest ustawienie kąta padania z dokładnością do 10−4 rad [97], a w eksperymentach z falą zanikającą osiągalna jest jeszcze lepsza precyzja. Atomy używane w eksperymentach są neutralne, ale chcąc nabyć pewną intuicję odnośnie rzędu wielkości takiego sztucznego pola magnetycznego wygenerowanego przez falę zanikającą, załóżmy, że atomy posiadają ładunek elementarny e. Wtedy np. czarna krzywa na Rys. 3.7 odpowiada polu magnetycznemu B/e ≈ 0.3 mT, które jest obecne na obszarze ∆z ≈ 10 µm. 3.3 Generacja sztucznego pola magnetycznego przez falę zanikającą z profilem gaussowskim Dla wiązki laserowej padającej pod kątem znacznie większym od granicznego θc możliwe jest przybliżenie wiązki przez falę płaską. Dzieje się tak dlatego, że w miarę oddalania się od kąta granicznego głębokość wnikania nie zmienia się już tak drastycznie ze zmianą θ jak w przypadku kątów bliskich θc . Sytuacja wygląda nieco inaczej jeśli kąt padania θ jest bliski granicznemu. Wtedy aby opisać poprawnie generację sztucznego pola magnetycznego przez falę zanikającą trzeba wziąć pod uwagę efektywne pole powstające nad powierzchnią pryzmatu, ponieważ rzeczywista wiązka laserowa składa się wielu fal płaskich padających pod różnymi kątami i fala zanikająca już nie wygasa dokładnie jak funkcja eksponencjalna. Powinniśmy zatem rozpatrzyć wiązkę gaussowską, która jest powszechnie stosowana w eksperymentach z zimnymi gazami atomowymi. 3.3.1 Opis układu Rozważmy wiązkę laserową padającą pod kątem θin na granicę pomiędzy dielektrycznym pryzmatem a próżnią, tak jak na Rys. 3.10. Wiązka jest reprezentowana przez 59 3.3. Generacja sztucznego pola magnetycznego przez falę zanikającą z profilem gaussowskim Rysunek 3.10: Geometria rozważanego układu. Wiązka gaussowska o wektorze falowym k0 (zielona strzałka) pada na powierzchnię pryzmatu pod kątem θin większym niż kąt graniczny dla całkowitego wewnętrznego odbicia. Efektywne pole, które powstaje nad powierzchnią pryzmatu, przejawia zanik amplitudy wraz z oddalaniem się od powierzchni pryzmatu i oddziałuje z chmurą atomów (żółte koło) spułapkowaną przy powierzchni pryzmatu. gaussowską superpozycję fal płaskich, a więc możemy rozłożyć ją na dwie części: (3.3.1) E(r, t) = E1 (r, t) + E2 (r, t). Pierwsza opisuje pole zanikające, tzn odpowiada superpozycji fal płaskich o kątach padania θ > θc , E0 e−iωt E1 (r, t) = √ π∆θ Z π/2 dθ t TE (θ)e l 2 iφ(x) −z/d ink0 2 (θ−θin ) − e e 2 (θ−θin )2 − y2 (∆θ)2 wy , (3.3.2) θc gdzie ostatni eksponencjalny wyraz opisuje profil wiązki. Tak jak na Rys. 3.10, l oznacza odległość przewężenia wiązki w od powierzchni pryzmatu, ∆θ = 2/(nk0 w) określa rozkład gaussowski kątów padania, natomiast wy jest promieniem poprzecznego przewężenia [97]. Drugie wyrażenie w (3.3.1), tj. E2 (r, t) opisuje propagację fal padających pod kątami mniejszymi od granicznego, θ < θc i dane jest podobnym wzorem jak E1 (3.3.2), ale całkowanie przebiega po kątach od 0 do θc , a eksponencjalny zanik amplitudy, tj. e−z/d 60 3.3. Generacja sztucznego pola magnetycznego przez falę zanikającą z profilem gaussowskim p jest zastąpiony czynnikiem fazowym exp izk0 1 − n2 sin2 θ : E0 e−iωt E2 (r, t) = √ π∆θ Z θc dθ t TE (θ)e iφ(x) izk0 e √ l 2 1−n2 sin2 θ ink0 2 (θ−θin ) − e 2 (θ−θin )2 − y2 (∆θ)2 wy , (3.3.3) 0 Podobnie jak wcześniej wybraliśmy polaryzację T E, a więc prostopadłą do płaszczyzny padania, dlatego w wyrażeniu (3.3.1) możemy pominąć zapis wektorowy i sprowadzić je do zwykłej sumy natężeń pola elektrycznego. 3.3.2 Analiza sztucznego pola magnetycznego generowanego falą zanikającą z profilem gaussowskim Rozważmy wiązkę o realistycznych parametrach eksperymentalnych, tj.: λ = 578 nm, l = 680 mm, w = 440 µm oraz wy = 440 µm [97]. Rys. 3.11 przedstawia profil fali zanikającej, a więc wypadkowe pole |E1 (x, z)| (3.3.2) w zależności zarówno od współrzędnej x, jak i z oraz w płaszczyźnie padania XZ. Efektywne pole nad powierzchnią dielektryka, pochodzące od fal padających pod kątami θ > θc , przejawia eksponencjalny zanik w kierunku z, podobnie jak w przypadku pojedynczej fali płaskiej. Dodatkowo pojawia się natomiast pewne rozmycie w kierunku x, jednak jego zakres jest na tyle duży, że bezpiecznie możemy założyć stałe pole elektryczne w kierunku x w obrębie chmury ultrazimnych atomów, której przeciętne rozmiary są rzędu ∼ 100 µm. Okazuje się, że przyczynek |E2 (x, z)| do efektywnego pola, pochodzący od fal padających pod kątami θ < θc jest znikomy ze względu na bardzo małe rozmycie kątowe w wiązce gaussowskiej, tj. ∆θ ≈ 3 · 10−4 rad. W związku z tym całkowite pole nad po- wierzchnią pryzmatu pochodzi głównie od fal zanikających, których kąt padania znajduje się w granicach θc < θ < θin + ∆θ. W przeciwieństwie do pojedynczej fali płaskiej, wiązka gaussowska generuje trzy skła- dowe sztucznego pola magnetycznego. Jednak warto zauważyć, że brane przez nas pod uwagę kąty padania spełniają warunek d(θin ) ≪ wy , a więc uogólniona częstość Rabiego zmienia się dużo wolniej ze zmianą y niż z. Podobnie zgodnie z wcześniejszymi wnioskami, zależność amplitudy efektywnego pola od współrzędnej x zachodzi na skali dużo większej niż przeciętne rozmiary kondensatu, a więc jej przyczynek do składowych By oraz Bz będzie zaniedbywalnie mały. Stąd dominującą składową sztucznego pola magnetycznego będzie składowa w kierunku y, tj. B(r) ≈ −B(r)ŷ, podobnie jak we wcześniejszych rozważaniach z pojedynczą falą płaską. Teraz natomiast kształt B(r) zależy zarówno od kąta padania wiązki θin oraz parametru s. Wcześniej, w sekcji 3.2 parametr s nie zmieniał kształtu pola, a jedynie przesuwał je względem powierzchni pryzmatu. W przypadku wiązki gaussowskiej 61 3.3. Generacja sztucznego pola magnetycznego przez falę zanikającą z profilem gaussowskim wzrost parametru s oprócz odsuwania maksimum pola od powierzchni pryzmatu powoduje niewielkie zmniejszenie jego amplitudy. Rysunek 3.11: Wypadkowe pole |E1 (x, z)| (3.3.2) w jednostkach |E0 |, w funkcji z (lewy górny panel), x (prawy górny panel) oraz w płaszczyźnie XZ (dolny panel), fali zanikają- cej powstałej w wyniku całkowitego wewnętrznego odbicia wiązki gaussowskiej padającej pod kątem θin do powierzchni pryzmatu, Rys. 3.10. Efektywne pole nad powierzchnią dielektryka przejawia eksponencjalny zanik w kierunku z (lewy górny panel), ale również pewne rozmycie w kierunku x (prawy górny panel) na tyle jednak duże, że można rozpatrywać pole elektryczne jako stałe w kierunku x w obrębie chmury ultrazimnych atomów. Parametry układu to: λ = 578 nm, l = 680 mm, n = 1.4, θin − θc = 8 · 10−4 , w = 440 µm oraz wy = 440 µ. Rys. 3.12 przedstawia wykres B(0, 0, z) od z dla s = 5 i dla takich samych kątów padania θin jak w przypadku pojedynczej fali zanikającej, tj. θin − θc = 8 · 10−4 rad oraz θin −θc = 10−5 rad. Sztuczne pole magnetyczne odpowiadające czarnej krzywej jest prawie takie samo jak w przybliżeniu fali płaskiej, por. Rys. 3.7. Można zatem wnioskować, że dla kątów padania odchylonych od granicznego o około 10−4 rad przybliżenie fali płaskiej odzwierciedla rzeczywistą sytuację eksperymentalną. Różnicę jednak można zauważyć dla 62 3.3. Generacja sztucznego pola magnetycznego przez falę zanikającą z profilem gaussowskim θin − θc = 10−5 rad. Maksymalna wartość pola jest co prawda większa niż wcześniej, ale zakres ∆z, na którym pole magnetyczne jest znaczące zmniejszył się. Konsekwencją tej zmiany jest ograniczenie liczby rzędów wirów, które można wygenerować w ultrazimnej chmurze atomowej. Ponadto zbliżając się jeszcze bardziej z θin do kąta granicznego nie otrzymujemy już znacząco różnego pola magnetycznego, a liczba rzędów wirów pozostaje stała. 0.014 BH0,0,zLB0 0.012 0.010 0.008 0.006 0.004 0.002 0.000 0 5 10 15 20 25 30 z @ΜmD Rysunek 3.12: Pole magnetyczne B(0, 0, z) wytworzone przez wiązkę gaussowską, w jednostkach B0 = ~k02 /2, jako funkcja z dla dwóch różnych kątów padania θin −θc = 8·10−4 rad (ciągła czarna linia), θin −θc = 10−5 rad (przerywana czerwona linia) oraz dla s = 5 (3.2.8). Parametry wiązki laserowej są następujące: λ = 578 nm, l = 680 mm, w = 440 µm i wy = 440 µm. Okazuje się jednak, że sztuczne pole magnetyczne generowane wiązką gaussowską można modelować w nieco inny sposób. W przypadku pojedynczej fali zanikającej kluczowym parametrem był kąt padania wiązki θ, ponieważ odpowiadał za kształt i amplitudę sztucznego pola magnetycznego. Wiązka gaussowska natomiast generuje pole magnetyczne nieczułe na zmiany kąta padania gdy jest on bardzo bliski granicznemu, tj. gdy 0 < θin −θc ≤ 10−5 rad, jednak dla odpowiednio dobranych parametrów wiązki gaussowskiej można odtworzyć wy- niki z sekcji 3.2, por. Rys. 3.7. W przypadku kąta padania θin − θc = 8 · 10−4 rad sztuczne pole magnetyczne wygenerowane wiązką gaussowską z dobrym przybliżeniem odpowiada temu wytworzonemu przez pojedynczą falę zanikającą dla bardzo szerokiego zakresu parametrów. Zarówno szerokość przewężenia w, jak również jego odległość od powierzchni pryzmatu l nie zmienia w sposób znaczący wyników. Dla kątów bardzo bliskich granicznemu sytuacja wygląda nieco inaczej. Okazuje się, że kluczową wielkością decydującą o kształcie pola jest szerokość przewężenia wiązki w. Rys. 3.13 przedstawia zależność kształtu pola magnetycznego B(0, 0, z) od z dla trzech różnych wartości w. Aby dla kąta 63 3.3. Generacja sztucznego pola magnetycznego przez falę zanikającą z profilem gaussowskim padania θin − θc = 10−5 rad otrzymać wyniki zbieżne z przybliżeniem fali płaskiej, trzeba wybrać przewężenie wiązki równe w = 3 mm, które jest łatwo osiągalne eksperymentalnie. Intuicyjnie różnicę między falą płaską a wiązką gaussowską można poczuć patrząc na rozmycie kątowe wiązki ∆θ ∼ 1/w. Oddalając się z θin od kąta granicznego zmiany w głębokości wnikania stają się mniej drastyczne, a więc jeśli θin − θc = 8 · 10−4 rad, to do efektywnego pola nad powierzchnią pryzmatu dają przyczynek fale padające pod kątami z przedziału θc < θ < θin + ∆θ, a więc bliskie θin i o podobnej głębokości wnikania. W miarę zbliżania się do kąta granicznego również chcielibyśmy, aby największy przyczynek do efektywnego pola pochodził od kątów bliskich θin . Należy zatem odpowiednio zmniejszyć ∆θ poprzez zwiększenie szerokości przewężenia wiązki w. Podobnie jak wcześniej, parametr l nie zmienia znacząco wyników, więc jedynym kryterium w jego wyborze może być łatwość eksperymentalna. Rysunek 3.13: Pole magnetyczne B(0, 0, z) wytworzone przez wiązkę gaussowską, w jednostkach B0 = ~k02 /2, jako funkcja z dla kąta padania θin − θc = 10−5 rad oraz trzech różnych wartości przewężenia wiązki: w = 100 µm (czarna krzywa), w = 1 mm (czerwona krzywa) oraz w = 2 mm (zielona krzywa). Pozostałe parametry to: s = 5 (3.2.8), λ = 578 nm, l = 680 mm. 3.3.3 Symulacje numeryczne Do tej pory analizowaliśmy generację sztucznego pola magnetycznego przez falę zanikającą i szacowaliśmy liczbę wirów, które mogą zostać wytworzone w chmurze ultrazimnych atomów w obecności tego pola. Aby potwierdzić nasze przewidywania przeprowadziliśmy symulacje numeryczne w przybliżeniu średniego pola. Rozważamy kondensat Bosego- 64 3.3. Generacja sztucznego pola magnetycznego przez falę zanikającą z profilem gaussowskim Einsteina spułapkowany w potencjale harmonicznym w obecności potencjału wektorowego A w dwuwymiarowym (2D) przybliżeniu. Dla używanych przez nas parametrów, geometryczny potencjał skalarny W (3.2.10) i optyczny potencjał dipolowy są bardzo słabe, a więc mogą być pominięte. Równanie Grossa-Pitajewskiego (1.1.8) w jednostkach potencjału harmonicznego przyjmuje postać: i x2 + z 2 1h ψ + g|ψ|2 ψ, µψ = − (∂x + iAx )2 + (∂z + iAz )2 ψ + 2 2 (3.3.4) gdzie µ oznacza potencjał chemiczny układu, a g opisuje siłę oddziaływania między atomami (zakładamy normalizację hψ|ψi = 1). Do symulacji numerycznych potrzebujemy zdyskretyzować dwuwymiarową przestrzeń, a więc możemy zastąpić pochodną cząstkową ∂x jej dyskretną wersją: ∂x ψ(x, z) ≈ ψ(x + dx, z) − ψ(x − dx, z) . 2dx (3.3.5) Jednak w takim przypadku otrzymujemy równanie Grossa-Pitajewskiego, które nie jest niezmiennicze ze względu na transformację cechowania. Problem ten można ominąć stosując tzw. liniową całkę Schwingera używaną powszechnie w teoriach cechowania na sieciach [98]. Aby nasza dyskretna wersja hamiltonianu była niezmiennicza ze względu na transformację cechowania, wyrazy typu ψ ∗ (x, z)ψ(x+dx, z) muszą zostać zastąpione wyrazami niezmienniczymi, tj.: ψ ∗ (x, z) U (x, z; x + dx, z) ψ(x + dx, z), (3.3.6) gdzie U (x, z; x + dx, z) = exp(iAx dx) jest liniową całką Schwingera. Odpowiada to następującemu podstawieniu w równaniu Grossa-Pitajewskiego: (∂x + iAx )2 ψ(x, z) −→ 1 [U ψ(x + dx, z) + U ∗ ψ(x − dx, z) − 2ψ(x, z)], dx2 (3.3.7) i podobnie dla (∂z + iAz )2 ψ. Powstała w ten sposób dyskretna wersja równania GP jest niezmiennicza ze względu na transformację cechowani i odtwarza ciągłą wersję równania (3.3.4) w granicy dx → 0 i dz → 0. Do znalezienia stanu podstawowego równania GP użyliśmy metody polegającej na ewo- lucji układu w czasie urojonym. W przypadku liniowego równania Schrödingera, rozkładając stan układu w bazie własnej hamiltonianu: X i |ψ(t)i = αn e− ~ En t |ψn i (3.3.8) n=0 i zamieniając czas rzeczywisty na urojony, tj. t → iτ otrzymujemy: X 1 |ψ(τ )i = αn e− ~ En τ |ψn i, n=0 65 (3.3.9) 3.3. Generacja sztucznego pola magnetycznego przez falę zanikającą z profilem gaussowskim Dla długich „czasów” τ → ∞ przyczynki od stanów wzbudzonych zanikają eksponencjalnie z energią stanu, a więc największy wkład do stanu układu |ψi będzie miał stan własny hamiltonianu o najniższej energii, tj. stan podstawowy: 1 τ →∞ |ψ(τ )i −→ α0 e− ~ E0 τ |ψ0 i. (3.3.10) Przyjmując początek skali energii jako zero, E0 ≡ 0, możemy otrzymać stan podstawowy układu. Okazuje się, że nawet w przypadku nieliniowego równania G-P metoda ewolucji w czasie urojonym pozwala znaleźć stan podstawowy. W praktyce implementacja numeryczna wygląda w ten sposób, że zapisujemy zależne od czasu równanie GP w czasie urojonym: −∂τ |ψi = H|ψi, (3.3.11) i wyznaczamy |ψ(dτ )i = e−dτ H |ψ(0)i. Najpierw jednak musimy wybrać stan początkowy, od którego rozpocznie się ewolucja. W naszym przypadku najlepiej zacząć od stanu podstawowego kondensatu w pułapce harmonicznej, a więc od stanu Thomasa-Fermiego postaci (1.1.14): |ψ(0)i = gdzie µ = (x2 + z 2 )/2 p s µ − Vtrap iϕ(r) e , g (3.3.12) g/π oznacza potencjał chemiczny w 2D, potencjał harmoniczny Vtrap = pułapkuje atomy, g = RT4 F π/4 opisuje odpychającą siłę oddziaływania między atomami w 2D, a ϕ(r) jest fazą wybieraną losowo w każdym punkcie r z przedziału [0; 2π]. Wszystkie wielkości wyrażone są w jednostkach oscylatorowych. W symulacjach ustalamy promień Thomasa-Fermiego RT F i na tej podstawie wyznaczamy pozostałe parametry układu. Następnie dla małych kroków dτ możemy zastosować przybliżenie: |ψ(dτ )i ≈ (1 − dτ H) |ψ(0)i, (3.3.13) znormalizować otrzymany stan tak, aby hψ(dτ )|ψ(dτ )i = 1 i powtarzać iteracyjnie całą procedurę aż do momentu otrzymania |ψ(τ )i o najniższej energii. W praktyce algorytm przerywany jest w momencie, gdy różnica energii między |ψ(τ − dτ )i i |ψ(τ )i jest znikomo mała w porównaniu ze skalą energii w układzie. Znaleziony numerycznie stan podstawowy równania GP dla sztucznego pola magnetycznego wytworzonego przez falę zanikającą o profilu gaussowskim przedstawiony jest na Rys. 3.14. Lewy panel odpowiada czarnej krzywej na Rys. 3.12, natomiast prawy czerwonej. Współczynnik oddziaływania między atomami g został wybrany tak, aby promień Thomasa-Fermiego chmury atomów iterbu wynosił odpowiednio RT F = 10µm w 66 3.3. Generacja sztucznego pola magnetycznego przez falę zanikającą z profilem gaussowskim lewym panelu oraz RT F = 15µm w prawym. Częstość potencjału harmonicznego wynosi ωtrap = 2π × 16Hz. Rysunek 3.14: Gęstość prawdopodobieństwa atomów iterbu spułapkowanych w potencjale harmonicznym odpowiadającym częstości ωtrap = 2π × 16Hz. Współczynnik oddziaływa- nia między atomami g, zob. (3.3.4), został wybrany tak, aby promień Thomasa-Fermiego chmury atomów iterbu wynosił RT F = 10µm (lewy panel) i RT F = 15µm (prawy panel). Dwuwymiarowa przestrzeń została zdyskretyzowana, tj. dx = dz = 0.05µm (lewy panel) i 0.063µm (prawy panel). Wiry widoczne na wykresach są wynikiem obecności sztucznego pola magnetycznego wygenerowanego przez falę zanikającą z profilem gaussowskim. Parametry pola magnetycznego są takie same jak na Rys. 3.12, a więc panel lewy odpowiada czarnej krzywej na Rys. 3.12, a prawy panel czerwonej. Analizujemy zachowanie naszego układu w reżimie Thomasa-Fermiego. Profil gęstości prawdopodobieństwa jest paraboliczny ze względu na umieszczenie chmury atomów w symetrycznej pułapce harmonicznej. Ponadto zakres zaburzeń w gęstości prawdopodobieństwa, a więc rozmiar wiru, odpowiada długości zabliźnienia ξ (1.1.11), dużo mniejszej niż promień RT F oraz obszar ∆z, na którym pole magnetyczne jest znaczące. Dlatego też nawet w niewielkich chmurach atomowych możliwa jest obserwacja topologicznych defektów takich jak solitony czy wiry. Szacując liczbę rzędów wirów jako iloczyn zakresu pola magnetycznego i gęstości wirów, tj. (zob. sekcja 3.2.4): r B Nrows ≈ ∆zρv = ∆z , (3.3.14) 2π~ gdzie B jest połową maksymalnej wartości pola magnetycznego, otrzymujemy dla czarnej 67 3.4. Lustro dla zimnych gazów atomowych krzywej z Rys. 3.12 jeden rząd wirów, natomiast dla czerwonej dwa rzędy. Wielkości te są mniejsze niż wynika to z symulacji numerycznych, przedstawionych na Rys. 3.14. Powodem zaniżenia szacunkowej liczby rzędów wirów jest to, że braliśmy pod uwagę minimalną wartość pola magnetycznego na danym obszarze oraz ograniczony jego zakres odpowiadający szerokości połówkowej. W rzeczywistości natomiast atomy odczuwają silniejsze pole na większym zakresie. Przeprowadzone symulacje numeryczne i ich wyniki nie tylko jednoznacznie potwierdzają wnioski wyciągnięte na podstawie analitycznych obliczeń w sekcjach 3.2.3 i 3.3.2, ale również pokazują, że realistyczna sytuacja eksperymentalna jest bardziej obiecująca niż przyjęliśmy to w naszych szacunkach. Wszystkie parametry użyte w symulacjach są powszechnie osiągalne we współczesnych laboratoriach zimnych gazów atomowych, dzięki czemu możliwa jest eksperymentalna realizacja naszej koncepcji. 3.4 Lustro dla zimnych gazów atomowych W poprzednich sekcjach zostało omówione sztuczne pole magnetyczne wygenerowane falą zanikającą oraz jego wpływ na chmurę ultrazimnych atomów będących w stanie kondensatu Bosego-Einsteina. Teraz chcielibyśmy odpowiedzieć na pytanie czy obecność sztucznego pola magnetycznego może być obserwowana w eksperymentach z zimnymi gazami atomowymi, które są dużo łatwiejsze z perspektywy doświadczalnej implementacji. Możliwość obserwacji zjawisk magnetycznych w zimnych gazach atomowych byłaby zatem ciekawym zagadnieniem, które może doczekać się eksperymentalnej realizacji. Podczas prowadzenia niniejszych badań, grupa doświadczalna Zakładu Optyki Atomowej Uniwersytetu Jagiellońskiego w Krakowie, prowadzona przez dra Tomasza Kawalca wyraziła zainteresowanie przeprowadzeniem odpowiedniego eksperymentu. Detekcja sztucznych pól w tym przypadku musi jednak przebiegać w inny sposób, ponieważ w gazach, których temperatura jest wyższa niż krytyczna dla kwantowej degeneracji, nie można obserwować wirów charakterystycznych dla nadciekłości. Sygnaturą sztucznych pól może być zatem przekaz pędu w kierunku prostopadłym do prędkości atomów v, będący wynikiem działania siły Lorentza. Ponadto w takim wypadku prędkości osiągane przez atomy są rzędu m/s, a więc dużo większe niż prędkości ultrazimnych atomów (rzędu mm/s). Stąd aby spełnić warunek adiabatyczny potrzebne jest duże odstrojenie ∆. Taki warunek pociąga za sobą dużą częstość Rabiego, ponieważ parametr s (3.2.8) musi być większy od jedności aby pole magnetyczne było znaczące. Dla atomów iterbu spełnienie tych warunków może być trudne, ponieważ przejścia zegarowe, na których bazujemy, 68 3.4. Lustro dla zimnych gazów atomowych charakteryzują się małymi sprzężeniami z polem laserowym. Dlatego w niniejszej sekcji rozważymy inną konfigurację naszego układu. 3.4.1 Stany ubrane dla konfiguracji Λ Rozważmy dwa zdegenerowane stany wewnętrzne |1i i |2i atomu, które należą do pod- przestrzeni stanów podstawowych, np. dwa stany struktury nadsubtelnej atomu rubidu 87 Rb, oraz dwie wiązki laserowe, scharakteryzowane częstościami Rabiego κ1 (x, z), κ2 (x, z) i wektorami falowymi o długościach k1 ≈ k2 ≡ k0 , które sprzęgają oba stany podstawowe ze stanem wzbudzonym |3i, Rys. 3.15. Obie wiązki mogą wywołać przejścia Ramana po- między dwoma stanami podstawowymi. Układ ten posiada trzy stany własne, z których 3 ℏ κ2 κ1 2 1 Rysunek 3.15: Schemat Λ poziomów energetycznych atomu trójpoziomowego. Poziomy podstawowe |1i i |2i sprzęgają się z poziomem wzbudzonym |3i poprzez dwie wiązki lase- rowe o częstościach Rabiego κ1 (x, z) i κ2 (x, z) odpowiednio. Odstrojenie dla każdej wiązki wynosi ∆. jeden zasługuje na szczególną uwagę. Jest to tak zwany stan „ciemny” o energii ED = 0, będący kombinacją liniową dwóch stanów podstawowych |1i i |2i oraz rozsprzęgnięty od stanu wzbudzonego |3i, tj.: |1i − ζ|2i , (3.4.1) |χD i = p 1 + |ζ|2 gdzie ζ = κ∗1 /κ∗2 . Wynika stąd, że atom przygotowany w stanie ciemnym odporny jest na proces spontanicznej emisji i absorpcji fotonów, dzięki czemu możemy zastosować formalizm przybliżenia adiabatycznego opisanego w sekcji 3.1.4. Pozostałe stany własne układu p √ mają energie własne E± = (∆ ± ∆ + |Ω1 |2 + |Ω2 |2 )/2 i wynoszą |±i = (|χB i ± |3i)/ 2, gdzie |χB i jest tzw. stanem „ jasnym” o postaci: ζ ∗ |1i + |2i . |χB i = p 1 + |ζ|2 (3.4.2) Zakładając więc, że atom podąża adiabatycznie za stanem ciemnym |χD i, w hamiltonianie opisującym ruch środka masy atomu możemy się spodziewać niezerowego geometrycznego 69 3.4. Lustro dla zimnych gazów atomowych potencjału wektorowego A = i~hχD |∇χD i oraz skalarnego W = ~2 hχB |∇χD i|2 /(2M ). W wyrażeniu na potencjał skalarny W pojawił się przyczynek jedynie od stanu jasnego |χB i, ponieważ h±|∇χD i = hχB |∇χD i. Wynika stąd, że efektywnie układ składa się z dwóch stanów ubranych oddzielonych przerwą energetyczną: ~δǫ = − ~∆η , 4 (3.4.3) gdzie η = |κ1 |2 + |κ2 |2 /∆2 . Założyliśmy ponadto duże odstojenie ∆, a więc zachodzi nierówność η ≪ 1, tj. suma kwadratów częstości Rabiego musi być mniejsza od kwadratu odstrojenia ∆. Warto podkreślić, że stan jasny nie jest stanem własnym pełnego hamiltonianu, dlatego nie może być wybrany jako stan początkowy dla adiabatycznej ewolucji. Przewaga konfiguracji Λ nad atomem dwupoziomowym polega na tym, że wybierając stan ciemny jako stan początkowy układu, pozbywamy się zupełnie zjawiska emisji spontanicznej, które niszczy adiabatyczność ewolucji układu. Możemy zatem użyć w eksperymencie atomy rubidu 87 Rb lub innych metali alkalicznych, które są szeroko stosowane w laboratoriach zimnych gazów atomowych oraz istnieją efektywne metody ich manipulacji. Ponadto w przeciwieństwie do stanów ubranych atomu dwupoziomowego, stan ciemny nie ma przesunięcia Starka poziomów energetycznych, zob. sekcja 3.1.3. Stąd, rozpatrując zachowanie atomów przy powierzchni dielektrycznej możemy być pewni, że nie istnieje potencjał dipolowy mogący wpływać na ruch atomów, a zatem jeżeli ruch atomów jest modyfikowany przy powierzchni, to musi to wynikać z obecności potencjałów geometrycznych. 3.4.2 Opis eksperymentu z zimnymi gazami atomowymi Rozważmy chmurę atomów schłodzoną w pułapce magnetooptycznej do temperatury T i umieszczoną w odległości z0 nad powierzchnią poziomo ustawionego pryzmatu, tak jak na Rys. 3.16. Na chmurę działa siła grawitacji skierowana w dół wzdłuż osi z. W takich warunkach początkowych chmura atomów rozpręża się w polu grawitacyjnym i spada na powierzchnię pryzmatu. Zakładamy, że pierwsza wiązka pada na granicę między pryzmatem a próżnią pod kątem θ niewiele większym od kąta granicznego θc i tworzy falę zanikającą, natomiast druga propaguje się w próżni wzdłuż powierzchni pryzmatu z wektorem falowym k2 = −k0 x̂, zob. Rys. 3.16. Dzięki takiemu ustawieniu wiązek parametr ζ występujący w definicji stanu ciemnego (3.4.1) posiada odpowiednio duży gradient amplitudy i fazy, ponieważ ζ = κ∗1 /κ∗2 = s̃e−z/d e−ik0 (n sin θ+1)x , gdzie s̃ = |d1 · E01 | / |d2 · E02 | [99]. E0i opi- suje amplitudy i kierunki wektorów pola elektrycznego wiązki laserowej, natomiast di są atomowymi momentami dipolowymi. Propagacja obu wiązek w tym samym kierunku pro- 70 3.4. Lustro dla zimnych gazów atomowych z y κ2 x n κ1 θ Rysunek 3.16: Geometria rozważanego układu. Wiązka κ1 (czerwona strzałka) pada na powierzchnię pryzmatu pod kątem bliskim kątowi granicznemu θ > θc tworząc w ten sposób na granicy ośrodków falę zanikającą, natomiast druga wiązka κ2 jako fala płaska propaguje się w kierunku −x̂ (czerwona sinusoida). Chmura atomowa (żółte koło) umieszczona w odległości z0 od powierzchni pryzmatu zostaje uwolniona z pułapki magnetooptycznej i spada swobodnie w polu grawitacyjnym z prędkością początkową v = −v x̂ m/s. Blisko powierzchni atomy oddziałują z falą zanikającą, co prowadzi do powstania sztucznego pola magnetycznego, a w konsekwencji sztucznej siły Lorentza, która zakrzywia ich tor (przerywana linia). wadziłaby do zredukowania fazy fali biegnącej, a tym samym do znacznego zmniejszenia jej gradientu. Podobnie w przypadku amplitudy zastosowanie drugiej wiązki zanikającej powodowałoby ograniczenie jej gradientu. Analogicznie jak w sekcji 3.2.2 możemy wyznaczyć warunek na dozwolone prędkości w przybliżeniu adiabatycznym i podobnie jak wcześniej ma on postać: |v| ≪ δǫ . |hχB |∇χD i| (3.4.4) Okazuje się, że dla odpowiednio dużych odstrojeń ∆ warunek ten jest spełniony nawet dla atomów poruszających się z prędkością rzędu m/s, a więc możliwe jest przeprowadzenie eksperymentu z zimnymi gazami atomowymi o temperaturze rzędu kilkunastu ∼ µK. Sztuczne pole magnetyczne, które zostanie wygenerowane przez falę zanikającą w tym przypadku ma postać: B(z) = −ŷ 2~k02 (n sin θ + 1) p n2 sin2 θ − 1 71 s̃2 e−2z/d . (1 + s̃2 e−2z/d )2 (3.4.5) 3.4. Lustro dla zimnych gazów atomowych Warto podkreślić, że zastosowaliśmy w tym przypadku przybliżenie fali płaskiej, ponieważ zgodnie z wnioskami z sekcji 3.3.1 dla kątów odchylonych od θc o około 10−4 rad wyniki dla wiązki gaussowskiej i fali płaskiej są zbieżne. Rys. 3.17 przedstawia wykresy pola magnetycznego dla dwóch różnych kątów padania bliskich kątowi granicznemu. Pierwszy z nich (czarna krzywa) odpowiada kątowi pojawiającemu się we wcześniejszych rozważaniach, a więc θ − θc = 8 · 10−4 rad, drugi natomiast (czerwona przerywana) przedstawia pole magnetyczne użyte w symulacjach trajektorii w zimnych gazach atomowych, a więc dla kąta padania θ − θc = 3 · 10−4 . Różnicą w stosunku do dwupoziomowego iterbu jest ponad pięciokrotnie większa amplituda pola magnetycznego, natomiast kształt oraz funkcja parametru s̃ pozostają podobne. Porównując jednak z Rys. 3.8 można zauważyć, że sztuczne pole magnetyczne dla konfiguracji Λ jest dalej odsunięte od powierzchni pryzmatu. Aby pole B było znaczące, parametr s̃ musi być rzędu jedności bądź większy. Rysunek 3.17: Pole magnetyczne B(z) (3.4.5) wytworzone przez pojedynczą falę zanikającą, w jednostkach B0 = ~k02 /2, jako funkcja z dla dwóch różnych kątów padania: θ − θc = 8 · 10−4 rad (czarna linia) i θ − θc = 3 · 10−4 rad (czerwona przerywana linia) oraz dla s = 5 (3.2.8) i λ = 795 nm. Stan ciemny (3.4.1) rozsprzęga się ze stanem wzbudzonym i w tej konfiguracji przesunięcie poziomów energetycznych w wyniku efektu Starka nie zachodzi, a więc nie ma potencjału dipolowego, który mógłby odpychać zimne atomy od powierzchni pryzmatu. Również geometryczny potencjał skalarny W jest zbyt słaby, aby odbić atomy. Stąd jedyną możliwością na skonstruowanie lustra dla zimnych atomów jest wykorzystanie sztucznej siły Lorentza, która jest w stanie zakrzywić ich tor. Skoro pole magnetyczne ma składową w kierunku −ŷ, to przyspieszając atomy po uwolnieniu z pułapki do średniej prędkości v ∝ −x̂ możemy wygenerować sztuczną siłę Lorentza odpychającą atomy od powierzchni 72 3.4. Lustro dla zimnych gazów atomowych pryzmatu, tak jak na Rys. 3.18 przedstawiającym przykładową trajektorię atomu. 1 z [mm] 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −35 −30 −25 −20 −15 −10 −5 x [mm] Rysunek 3.18: Przykładowa trajektoria atomu odbitego od powierzchni pryzmatu przez sztuczną siłę Lorentza. Rysunki 3.19 oraz 3.20 pokazują gęstość atomów, otrzymaną na podstawie symulacji klasycznych trajektorii N = 107 atomów rubidu 87 Rb, w chwilach czasowych co 5 ms od uwolnienia z pułapki magnetooptycznej. Wszystkie rysunki przedstawiają cykl spadku i odbicia od powierzchni. Dla spadku z wysokości początkowej z0 = 1 mm i dla początkowej prędkości v = −1x̂ m/s, atomy osiągają powierzchnię pryzmatu po około 15 ms od uwol- nienia chmury z pułapki, Rys. 3.19, 3.20. Po około 30 ms następuje punkt zwrotu i odbite atomy osiągają pierwotną wysokość. Następnie po czasie t ≈45 ms można zauważyć kolejne odbicie niektórych z nich i cykl ulega powtórzeniu. Jeśli sztuczne pole magnetyczne jest nieobecne, wszystkie atomy spadają na powierzchnię pryzmatu w czasie około 15 ms. Z powodu rozmycia początkowych prędkości atomów w niezerowej temperaturze, nie wszystkie atomy zostaną odbite. Jednak te z nich, które wkroczyły w rejon pola magnetycznego pod dostatecznie małym kątem względem powierzchni, są w stanie odbijać się kilkakrotnie od pryzmatu tylko i wyłącznie w wyniku działania sztucznego pola magnetycznego. W temperaturze T = 10 µK rozmycie prędkości wynosi ∆v ≈ 0.03 m/s, co powoduje frakcję odbitych atomów na poziomie 5%, Rys. 3.19. We współczesnych laboratoriach do detekcji chmury atomowej potrzebnych jest około 104 atomów, choć w wielu przypadkach możliwe jest zejście poniżej tej wartości [100]. Obniżenie temperatury do T = 1 µK przy zachowaniu pozostałych parametrów skutkuje rozmyciem prędkości ∆v ≈ 0.01 m/s, a więc więcej atomów powinno zostać odbitych. To rozumowanie znajduje odzwierciedlenie w 73 3.4. Lustro dla zimnych gazów atomowych wynikach symulacji przedstawionych na Rys. 3.20, gdzie prawie dwukrotnie więcej atomów zostaje odbitych od powierzchni pryzmatu. Obniżenie startowej wysokości chmury atomowej pozwala na redukcję początkowej prędkości v i osiągnięcie lepszych rezultatów, tj. więcej atomów zostaje odbitych. Osiągnięcie początkowych wysokości rzędu kilkuset µm jest trudniejsze z doświadczalnego punktu widzenia, ponieważ geometria układu wymaga ustawienia wiązek laserowych pułapkujących atomy blisko powierzchni pryzmatu. Niemniej jednak problem ten można ominąć stosując pułapki dipolowe zamiast tradycyjnych magnetooptycznych. Podobnie początkowe przyspieszenie równoległe do pryzmatu, można nadać atomom poprzez obrót pryzmatu do pozycji odchylonej o 0.1 rad od wektora siły grawitacji. Wtedy początkowe przyspieszenie pojawia się w układzie naturalnie jako przyspieszenie ziemskie. 74 3.4. Lustro dla zimnych gazów atomowych t = 0 ms t = 5 ms 5 .10 5 t = 25 ms 10 10 5 t = 10 ms 4 10 5 .10 10 5 t = 30 ms .10 44 .10 t = 15 ms t = 35 ms t = 20 ms .10 4 .10 4 t = 40 ms .10 4 t = 45 ms .10 4 Rysunek 3.19: Gęstość atomów po uwolnieniu z pułapki magnetooptycznej i ich ewolucja w różnych chwilach czasowych w ciągu 45 ms w obecności pola grawitacyjnego oraz sztucznego pola magnetycznego wytworzonego przez falę zanikającą. Powierzchnia pryzmatu położona jest poziomo wzdłuż kierunku x oraz w z = 0, zob. Rys. 3.16. Siła grawitacji skierowana jest w dół wzdłuż osi z. Wyniki zostały otrzymane dla symulacji klasycznych trajektorii. Początkowo N = 107 atomów rubidu 87 Rb jest chłodzona do temperatury T = 10 µK w pułapce magnetooptycznej (ωtrap = 2π × 100 Hz) na wysokości z0 = 1 mm nad powierzchnią pryzmatu w x = 0. Zakładamy, że po wyłączeniu pułapki atomy są przyspieszane do średniej prędkości v = −1x̂ m/s. Następnie chmura spada swobodnie w polu grawitacyjnym. Blisko powierzchni atomy odczuwają sztuczne pole magnetyczne wygenerowane przez dwie odstrojone ku czerwieni wiązki laserowe (∆ = 10 GHz, λ = 795 nm) o stosunku częstości Rabiego s̃ = 5. Pierwsza wiązka rozchodzi się w pryzmacie i pada na jego powierzchnię pod kątem θ = θ0 + 3 · 10−4 rad tworząc w ten sposób falę zanikającą. Druga natomiast propaguje się w próżni w kierunku −x̂. Zakładamy, że atomy są przygotowane w stanie ubranym ciemnym (3.4.1), który nie jest sprzężony ze stanem wzbudzonym. Jedynymi skalarnymi potencjałami, które atomy mogą odczuwać, są geometryczny potencjał W , który generuje siłę odpychającą atomy od powierzchni pryzmatu, oraz potencjał grawitacyjny przyciągający do niej atomy. Siła od potencjału W jest jednak zbyt słaba (mniejsza niż 0.2mg) aby przezwyciężyć przyciąganie grawitacyjne, a w konsekwencji aby odbić atomy. Warto podkreślić, że przy braku sztucznego pola magnetycznego wszystkie atomy zostają rozproszone na powierzchni pryzmatu w czasie rzędu 20 ms. Jeśli sztuczne pole istnieje, 5% atomów zostaje odbitych od powierzchni pryzmatu po około 20 ms, a po 30 następuje punkt zwrotu i atomy spadają ponownie, powtarzając cały cykl. 75 3.5. Podsumowanie t = 0 ms t = 5 ms t = 10 ms 5 t = 25 ms t = 30 ms 10 4 10 4 10 4 10 4 t = 15 ms 10 5 10 5 t = 35 ms 10 5 10 4 t = 20 ms 5 10 4 t = 40 ms 10 4 t = 45 ms 10 4 Rysunek 3.20: Gęstość atomów po uwolnieniu z pułapki magnetooptycznej i ich ewolucja w różnych chwilach czasowych w ciągu 45 ms w obecności pola grawitacyjnego oraz sztucznego pola magnetycznego wytworzonego przez falę stojącą. Parametry układu są takie jak wcześniej, zob. Rys. 3.19 oprócz temperatury T , która teraz wynosi T = 1µK. Dzięki obniżeniu temperatury chmury atomowej prawie dwa razy większa frakcja atomów ulega odbiciu, tj. 9%. Po około 30 ms następuje punkt zwrotu i atomy spadają ponownie, powtarzając cały cykl. Drugiemu odbiciu ulega około 1% atomów po czasie t = 45 ms. Niższa temperatura chmury powoduje też mniejsze rozmycie prędkości, bo ∆v ≈ 0.01 m/s, dlatego większa frakcja atomów zostanie odbita od powierzchni pryzmatu. 3.5 Podsumowanie W niniejszym rozdziale rozważaliśmy atomy, które poruszały się wolno w obecności fali zanikającej. W celu teoretycznego opisu zachowania ultrazimnej chmury atomowej skorzystaliśmy z formalizmu przybliżenia adiabatycznego, które pozwoliło nam wyznaczyć geometryczne potencjały odczuwane przez atomy, tj. potencjał wektorowy A i skalarny W . Dzięki temu byliśmy w stanie stworzyć warunki, w których neutralne atomy zachowywały się jak cząstki naładowane w polu magnetycznym. Fala zanikająca okazała się być odpowiednia do tych celów, ponieważ posiada duży gradient amplitudy i fazy, które są kluczowe dla osiągnięcia silnych pól magnetycznych. Przedstawione zostały trzy konfiguracje prowadzące do powstania sztucznych pól ma- 76 3.5. Podsumowanie gnetycznych. Pierwsza z nich bazuje na fali zanikającej wytworzonej przez pojedynczą falę płaską, dostrojoną do atomowego rezonansu. Zatem metoda ta może być zastosowana w atomach o długo żyjących stanach. Ponadto pokazaliśmy, że kondensat BosegoEinsteina umieszczony w zakresie takiego pola, wykazuje niezerową cyrkulację, a więc obecność sztucznego pola magnetycznego przejawia się powstaniem sieci wirów w ultrazimnej chmurze atomowej. Okazuje się, że największą liczbę wirów generują fale zanikające o kącie padania bardzo bliskim kątowi granicznemu dla całkowitego wewnętrznego odbicia. W takim wypadku jednak należy wziąć pod uwagę realistyczny gaussowski profil wiązki, który dla odpowiednio dobranych parametrów odtwarza przybliżenie fali płaskiej. Trzecia konfiguracja dotyczy atomu trójpoziomowego typu Λ, gdzie do wytworzenia sztucznego pola magnetycznego użyte zostały dwie wiązki - jedna tworzy falę zanikającą, a druga propaguje się w próżni równolegle do pryzmatu. Atomy przygotowane w ciemnym stanie ubranym, który rozsprzęga się ze stanem wzbudzonym, nie ulegają procesowi emisji spontanicznej, a więc w eksperymencie mogą brać udział atomy metali alkalicznych takich jak np. rubid 87 Rb. Metodę generacji sztucznego pola dla tej konfiguracji zastosowaliśmy w zimnych gazach atomowych o temperaturze wyższej niż krytyczna dla kwantowej degeneracji. Obecność pola magnetycznego wpływa na ruch chmury atomów, która zostaje uwolniona z pułapki magnetooptycznej i spada na powierzchnię pryzmatu. W ten sposób można zrealizować nowy typ atomowego lustra, który bazuje na sztucznej sile Lorentza, a nie potencjale dipolowym [100–104] czy oddziaływaniu momentów magnetycznych atomów z zewnętrznym polem magnetycznym [105] jak do tej pory. Ponadto pokazaliśmy, że efekt ten może być obserwowany doświadczalnie w zakresie parametrów osiągalnych we współczesnych laboratoriach. 77 Rozdział 4 Kwantowy efekt Halla w 4D Kwantowy efekt Halla w dwóch wymiarach przestrzennych przyciągał zainteresowanie fizyków od wielu lat. Od momentu pierwszej obserwacji przez Klausa von Klitzinga, pojawiło się wiele propozycji eksperymentalnej realizacji fizyki Halla, m. in. w ostatniej dekadzie w ultrazimnych gazach atomowych. Nową ścieżkę w badaniach wyznaczył S. Ch. Zhang i J. Hu, którzy uogólnili kwantowy efekt Halla na cztery wymiary przestrzenne [106]. Pomimo kilku obiecujących projektów, jak np. z użyciem dwuwymiarowych kwazikryształów [107], w których parametry przesunięcia sieci pełnią rolę pędów w dodatkowych wymiarach, oraz ostatnio przez zastosowanie sztucznego wymiaru bazującego na wewnętrznych stopniach swobody atomów [108], temat jest bardzo nowy i wciąż wymaga szczegółowych badań. W niniejszym rozdziale opiszemy metodę eksperymentalnej realizacji kwantowego efektu Halla w 4D używając „rzeczywistych” wymiarów przestrzennych, które można osiągnąć poprzez odpowiednią inżynierię sieci optycznej. Przedstawimy ponadto efektywny algorytm wyznaczania drugiej liczby Cherna - niezmiennika topologicznego charakteryzującego topologiczne fazy w czterech wymiarach. W sekcji 1.2.4 rozważaliśmy elektrony umieszczone w dostatecznie silnym polu magnetycznym, aby kwantyzacja poziomów Landaua stała się znacząca. Wtedy elektrony przejawiały kwantowy efekt Halla, w którym przewodność przyjmowała dyskretne wartości będące liczbami całkowitymi w jednostkach kwantów przewodności, tj. e2 /h. Okazuje się, że efekt ten może być analizowany na różne sposoby. W przypadku ciągłym otrzymujemy mocno zdegenerowane poziomy Landaua, a przewodność Halla określa jaka ich liczba jest obsadzona. W punkcie 4.1.2 natomiast przyjrzymy się kwantowemu efektowi Halla z perspektywy sieci umieszczonej w zewnętrznym polu magnetycznym. Spektrum takiego układu w funkcji strumienia pola przepływającego przez komórkę elementarną sieci przyjmuje kształt fraktalnego motyla, zwanego Motylem Hofstadtera [33]. Zmieniając wa- 79 4.1. Wprowadzenie runki brzegowe na otwarte w jednym kierunku przestrzennym otrzymujemy stany brzegowe opisane w punkcie 1.2.4, a pokazane na wykresach w sekcji 4.1.2. Okazuje się, że przewodność Halla może być opisana zarówno za pomocą stanów brzegowych, co pokazał Laughlin w swoim argumencie, zob. punkt 1.2.4, jak również na podstawie pasm energetycznych. W drugim przypadku przewodność σxy wyrażona jest przez całkę z krzywizny Berry’ego zapełnionych pasm energetycznych, a liczba całkowita będąca wynikiem całkowania odpowiada niezmiennikowi topologicznemu, tak zwanej pierwszej liczbie Cherna, która charakteryzuje topologiczną fazę. Temu zagadnieniu poświęcony jest punkt 4.1.3. W ostatniej części wiadomości wstępnych, tj. w punkcie 4.1.4 pokażemy, że kwantowy efekt Halla może być uogólniony na wyższe wymiary. W czterech wymiarach przestrzennych, niezmiennikiem topologicznym charakteryzującym pasma energetyczne jest tzw druga liczba Cherna. W przypadku gdy model czterowymiarowy powstaje z dwóch niezależnych modeli dwuwymiarowych, to istnieje analityczna metoda wyznaczania wartości tego niezmiennika. W ogólności jednak wyznaczenie drugiej liczby Cherna w ten sposób jest niemożliwe i pojawia się potrzeba zastosowania efektywnego algorytmu, dzięki któremu można byłoby scharakteryzować pasma dowolnego układu typu kwantowego efektu Halla. Temu zagadnieniu poświęcony jest punkt 4.2, gdzie najpierw przedstawiony jest algorytm dla dwóch wymiarów przestrzennych opracowany przez Fukui, Hatsugai i Suzuki w 2005 roku, a następnie przedstawimy zaproponowane przez nas uogólnienie na cztery wymiary. Wyniki tej sekcji zostały zebrane w artykule [109] Ostatnia część rozdziału przedstawia szkic propozycji realizacji eksperymentalnej czterowymiarowego efektu Halla w trójwymiarowej sieci Bravais z bazą. Projekt ten wymaga jeszcze dodatkowych badań, a wyniki przedstawione w niniejszym rozdziale potrzebują ulepszenia i weryfikacji. 4.1 4.1.1 4.1.1.1 Wprowadzenie Cząstka w potencjale periodycznym Fale Blocha i funkcje Wanniera Rozważmy cząstkę umieszczoną w zewnętrznym periodycznym potencjale. Jej położenie na sieci może być opisane wektorem: Rnx ,ny ,nz = nx ax + ny ay + nz az , 80 (4.1.1) 4.1. Wprowadzenie gdzie nx , ny , nz ∈ Z, natomiast aj = aj ĵ, j = x, y, z, są wektorami prymitywnymi sieci. Jednocząstkowy hamiltonian możemy zatem zapisać w postaci: H=− ~2 2 ∇ + Vlatt (r), 2m (4.1.2) gdzie Vlatt (r) = Vlatt (r + aj ), j = x, y, z. Zgodnie z twierdzeniem Blocha funkcje własne hamiltonianu (4.1.2) są również periodyczne z periodem sieci i przyjmują formę tzw. fal Blocha [110]: ψnk = eikr unk (r), unk (r) = unk (r + aj ), (4.1.3) gdzie k jest tzw. kwazipędem związanym z siecią odwrotną (przestrzenią pędów), która odpowiada transformacie Fouriera przestrzeni położeń oraz j = x, y, z. Indeks n numeruje pasma powstałe na skutek tego, że dla danego k istnieje wiele różnych fal Blocha. Dla danego pasma o ustalonym n ψnk oraz energia Enk zmieniają się w sposób ciągły z k oraz dla każdego wektora sieci odwrotnej k′ mamy ψnk = ψnk+k′ , co oznacza, że wystarczy rozpatrywać wektory z komórki elementarnej sieci odwrotnej zwanej pierwszą strefą Brillouina. Fale Blocha stanowią kompletny zbiór ortogonalnych stanów własnych hamiltonianu (4.1.2), ale są zdelokalizowane. Możliwe jest jednak skonstruowanie na podstawie fal Blocha ortogonalnych stanów zlokalizowanych na oczkach sieci, zwanych funkcjami Wanniera [111, 112]: 1 X −ik·Ri e ψnk (r), wni (r) = √ N k (4.1.4) gdzie Ri jest dowolnym wektorem sieci, a N jest liczbą oczek. Funkcje Wanniera zależą tylko od względnej odległości cząstki r i oczka sieci Ri , tj. wi (r) ≡ w(r − Ri ). W dalszych rozważaniach będziemy zakładać, że tunelowanie odbywa się tylko między sąsiadującymi oczkami oraz ograniczamy się do najniższego pasma Blocha, a więc pominiemy indeks n. 4.1.1.2 Jednocząstkowy hamiltonian na sieci Przechodząc do formalizmu drugiej kwantyzacji, a więc wyrażając wektory pola jako kombinację liniową funkcji Wanniera oraz operatorów anihilacji âi (kreacji â†i ) cząstki (ferP mionu) w i-tym oczku, tj. Ψ(r) = i âi wi (r), otrzymujemy hamiltonian wielocząstkowy. Jednak w naszych rozważaniach rozpatrujemy jednocząstkowe hamiltoniany oraz funkcje falowe. Rozkładając zatem hamiltonian w bazie stanów własnych, w tym przypadku funkcji Wanniera |wi i, otrzymujemy jednocząstkową wersję hamiltonianu na sieci, tj.: X X H= (|wi ihwi |H|wj ihwj | + h.c.) = − (Jij |wi ihwj | + h.c.), hiji hiji 81 (4.1.5) 4.1. Wprowadzenie gdzie Jij = −hwi |H|wj i jest amplitudą tunelowania. Poprzez wyrażenie całkowitej funkcji falowej przez funkcje Wanniera stosujemy tzw. przybliżenie ciasnego wiązania, w którym cząstki zlokalizowane są w danym oczku sieci. Hamiltonian (4.1.5) zawiera tylko jeden wyraz, będący energią kinetyczną, który opisuje tunelowanie cząstki między oczkami. Oznaczenie hiji odnosi się do indeksów sąsiadujących ze sobą oczek, a więc tunelowanie odbywa się tylko między najbliższymi sąsiadami. 4.1.2 Sieć kwadratowa w polu magnetycznym Rozważmy hamiltonian w 2D dla bezspinowych nieoddziałujących elektronów umieszczonych w sieci kwadratowej w modelu ciasnego wiązania: (4.1.6) H = Tx + Ty + h.c., gdzie Tx i Ty są operatorami translacji o jedno oczko (stałą sieci) w kierunkach x i y odpowiednio. W zewnętrznym polu magnetycznym przyjmują one postać: Tx = J x X m,n x eiθmn |wm+1,n ihwm,n |, Ty = J y X m,n y eiθmn |wm,n+1 ihwm,n |, (4.1.7) gdzie |wm,n i są stanami Wanniera hamiltonianu 4.1.5 w oczku (m, n) , Jx oraz Jy są izotropowymi amplitudami tunelowań, dlatego pozbawione zostały indeksów sieciowych, natomiast pole magnetyczne zostało wprowadzone przez podstawienie Peierlsa [113–117]. Polega ono na dodaniu do każdego elementu przeskoku |wm+1,n ihwm,n | oraz |wm,n+1 ihwm,n | odpowiednio fazy x θmn e = ~ Z m+1 m y θmn A · dx, e = ~ Z n+1 n A · dy. (4.1.8) A wyraża potencjał wektorowy pola elektromagnetycznego. Takie podstawienie generuje fazę równą 2πφmn gdy okrążamy komórkę elementarną sieci, przez którą przepływa strumień pola φmn wyrażony w jednostkach kwantów strumienia h/e. Okazuje się jednak, że operatory translacji Tx i Ty w ogólności nie komutują ani ze sobą, ani z hamiltonianem, a tym samym hamiltonian nie jest niezmienniczy względem translacji w wyniku obecności potencjału wektorowego. Możemy jednak znaleźć tak zwane operatory translacji magnetycznej T̃x i T̃y , które komutują z hamiltonianem oraz wzajemnie ze sobą przy odpowiednim wyborze cechowania i strumienia magnetycznego. Wybierając cechowanie Landaua Ay = Bx = 2πφm, gdzie φ jest jednorodnym strumieniem pola przez plakietkę sieci, otrzymujemy komutujące operatory translacji magnetycznej jeśli φ = p/q, gdzie p i q są relatywnie pierwsze, a więc nie posiadają wspólnych dzielników oprócz jedności. Łatwo 82 4.1. Wprowadzenie stąd widać, że nowa komórka elementarna ma periodyczność q w kierunku x i zwana jest magnetyczną komórką elementarną. W sytuacji, gdy oba operatory translacji komutują z hamiltonianem, możemy numerować stany własne układu ze względu liczby kwantowe kx i ky . Wtedy magnetyczna strefa Brillouina jest q razy mniejsza w kierunku x: 0 ≤ kx ≤ 2π/q i niezmieniona w kierunku y: 0 ≤ ky ≤ 2π, a jednocząstkową funkcję falową możemy zapi- sać w postaci fal Blocha jako: ψm,n = eikx m eiky n um , gdzie um jest periodyczna z periodem q. Wstawiając ją następnie do równiania Schrödingera otrzymujemy równanie własne, które przyjmuje postać postać równania Harpera [118], tj.: (4.1.9) E/J −2Jcos(2πφm + ky )um − J(eikx um+1 + e−ikx um−1 ) = Eum , Rysunek 4.1: Fraktalna struktura poziomów energetycznych elektronu umieszczonego w dwuwymiarowej sieci kwadratowej w obecności zewnętrznego jednorodnego pola magnetycznego, znana jako Motyl Hofstadtera. Założyliśmy izotropowe tunelowania w każdym kierunku, tj. Jx = Jy ≡ J, a energia została wyrażona w jednostkach amplitudy tune- lowania J. Strumień pola magnetycznego wyrażony jest jako stosunek liczb względnie pierwszych, tj. φ = p/q ∈ [0, 1]. Spektrum dla tego problemu przedstawia sławny Motyl Hofstadtera [118], a więc fraktalna struktura poziomów energetycznych, zob. Rys. 4.1. Z wykresu można się przekonać, że rzeczywiście dla danego strumienia φ = p/q spektrum składa się z q pasm energetycznych oddzielonych przerwami energetycznymi. Ponadto dla nieparzystych wartości q poziom E = 0 znajduje się wewnątrz środkowego pasma, tak jak na prawym panelu Rys. 83 4.1. Wprowadzenie 4.2, podczas gdy dla parzystych q relacja dyspersji jest symetryczna względem E = 0, zob. lewy panel Rys. 4.2, a rozwiązanie problemu sieci w polu magnetycznym zawiera q fermionów Diraca w E = 0, tj. wokół punktów E = 0 otrzymujemy liniową relację dyspersji charakterystyczną dla cząstek relatywistycznych. Przykład struktury pasmowej z periodycznymi warunkami brzegowymi dla wartości strumienia φ = 1/2 (lewy panel) oraz φ = 1/5 (prawy panel) przedstawia Rys. 4.2. Widoczne na lewym wykresie punkty złączenia pasm nazywane są węzłami Diraca. 3 3 2 2 1 E/t E/J E/J E/t 1 0 0 -1 -1 -2 -2 -3 -3 0 π/2 π 3π/2 2π 0 ky π/2 π 3π/2 2π ky Rysunek 4.2: Struktura pasmowa poziomów energetycznych elektronu umieszczonego w dwuwymiarowej sieci kwadratowej o izotropowych tunelowaniach Jx = Jy ≡ J w obecności zewnętrznego jednorodnego pola magnetycznego, którego strumień przez komórkę elementarną sieci wynosi φ = 1/2 (lewy panel) oraz φ = 1/5 (prawy panel). Gdy q jest liczbą parzystą, to wykres jest symetryczny względem poziomu E = 0 i posiada węzły Diraca (zob. dyskusja w tekście), natomiast dla nieparzystych q poziom E = 0 znajduje się wewnątrz środkowego pasma. W obu przypadkach liczba pasm jest równa q. Na Rys. 4.3 została przedstawiona struktura pasm energetycznych dla periodycznych warunków w y i otwartych w x oraz dla strumienia pola φ = 1/3 przepływającego przez komórkę elementarną sieci. Jest to konfiguracja podobna do przedstawionej w sekcji 1.2.4, przy czym zamiast ciągłej próbki mamy dyskretną sieć. W konfiguracji Laughlina przewodność Halla była równa liczbie chiralnych modów brzegowych. Na wykresie w górnym panelu wyraźnie widać obecność modów brzegowych zlokalizowanych na brzegach układu (dolny panel). W kolejnych sekcjach pokażemy, że przewodność Halla może również być zdefiniowana w kontekście modów objętościowych, a więc istniejących wewnątrz pasm. Obie definicje są sobie równoważne, co zostało pokazane przez Hatsugai [119, 120] i nosi 84 4.1. Wprowadzenie 3 2 E/J E/t 1 0 -1 -2 -3 0 π/2 3π/2 π 2π 1 1 0.8 0.8 0.6 0.6 |ψ|2 |ψ|2 ky 0.4 0.2 0.2 0 0.4 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 x x Rysunek 4.3: Struktura pasm energetycznych dla modelu Hofstadtera o izotropowych tunelowaniach w każdym kierunku, tj. Jx = Jy = J, z periodycznymi warunkami brzegowymi w kierunku y i otwartymi w kierunku x oraz dla strumienia pola φ = 1/3. Na górnym wykresie wyraźnie widać obecność modów brzegowych zlokalizowanych na brzegach układu o liczbie oczek w kierunku x równiej Nx = 51. Mod o dodatniej prędkości grupowej porusza się na prawym brzegu próbki (dolny prawy panel), natomiast o ujemnej na lewym brzegu (dolny lewy panel). 85 4.1. Wprowadzenie nazwę zasady korespondencji między objętością a brzegiem izolatora topologicznego. 4.1.3 Przewodność Halla i liczby Cherna W rozdziale 1 zawarliśmy krótkie wprowadzenie do kwantowego efektu Halla, aby wyrobić pewną intuicję związaną z tym zjawiskiem. Pomimo jednak, że ten stosunkowo prosty fizyczny obraz pozwala na wyjaśnienie większości aspektów kwantowego efektu Halla, chcielibyśmy wprowadzić formalizm niezbędny dla głębszego zrozumienia istoty procesów odpowiedzialnych za kwantyzację przewodności Halla i pojawienie się stanów brzegowych. 4.1.3.1 Związek przewodności Halla z krzywizną pasm Blocha W przypadku sieci spektrum energii posiada strukturę pasmową odcinkami ciągłą. Energia w każdym ciągłym fragmencie zależy od kwazipędu Blocha zmieniającego się w obrębie strefy Brillouina. W dwóch wymiarach przestrzennych strefa Brillouina jest torusem, a więc stanowi ciągłą przestrzeń parametrów, w której można zdefiniować fazę Berry’ego, wprowadzoną w punkcie 3.1.5. Wtedy stan układu może zakreślić zamkniętą drogę podczas adiabatycznej ewolucji, a parametrem opisującym dane pasmo jest wektor falowy k. Jeśli poprzez małe zaburzenie sieci możemy wprowadzić adiabatyczne zmiany wektora k na zamkniętej drodze w strefie Brillouina, wtedy funkcja Blocha powinna nabyć niezerową geometryczną fazę Berry’ego. W przypadku, gdy strefa Brillouina jest torusem, możemy zmieniać k w określonym kierunku, a kiedy osiągniemy brzeg, ścieżka zostaje zamknięta automatycznie. Zgodnie z punktem 3.1.5 możemy również wyrazić fazę Berry’ego jako strumień pola magnetycznego przepływający przez powierzchnię wyznaczoną pętlą adiabatycznej ewolucji wektora k, zob. równanie (3.1.25). F stanowi tak zwaną krzywiznę Berry’ego, która opisuje geometrię stanów własnych w obrębie strefy Brillouina, a tym samym krzywiznę pasm Blocha. Okazuje się, że źródłem kwantowej przewodności Halla jest właśnie krzywizna Berry’ego zapełnionych pasm, a dokładniej [121]: σxy e2 1 = h 2π Z Z (4.1.10) dkx dky Fxy (k), BZ gdzie Ai = −i Fxy (k) = ∂kx Ay (k) − ∂ky Ax (k), X a≤ν hak| ∂ |aki. ∂ki (4.1.11) ν oznacza liczbę zapełnionych pasm, a |aki są niezdegenerowanymi stanami Blocha w paśmie a o kwazipędzie k. Wynika stąd, że przewodnictwo Halla nie zależy od energii 86 4.1. Wprowadzenie w paśmie, ale od stanów własnych układu. Ponadto widać, że krzywizna Berry’ego jest rotacją koneksji Berry’ego A. Jeśli natomiast w pasmach Blocha mamy do czynienia z degeneracją, tj. pasma się stykają lub przecinają w pewnych punktach strefy Brillouina, to koneksja oraz krzywizna Berry’ego przyjmują postać macierzową: (A(k))nm = hn(k)|∇k |m(k)i, (Fxy (k))nm = ∂kx Anm (k) − ∂ky Anm (k), (4.1.12) (4.1.13) gdzie |ni i |mi są stanami własnymi do energii poniżej energii Fermiego, a przewodność Halla zdefiniowana jest przez ślad krzywizny, tj.: Z e2 1 d2 kTr[Fxy ]. σxy = h 2π T 2 4.1.3.2 (4.1.14) Pierwsza liczba Cherna jako niezmiennik topologiczny Niejednokrotnie widzieliśmy już, że przewodność Halla wyrażona jest przez całkowitą wielokrotność ν elementarnego strumienia (w jednostkach e2 /h). Teraz przekonamy się, że ν jest topologicznym niezmiennikiem zwanym pierwszą liczbą Cherna. Zgodnie z wcześniejszymi rozważaniami strefa Brillouina w układzie dwuwymiarowym ma kształt torusa, a więc nie posiada granic. Wynika stąd, że stosując twierdzenie Stokesa zawsze otrzymamy przewodność Halla σxy = 0 jeśli A(k) jest dobrze zdefiniowane na całej strefie Brillouina. Niezerowe wartości przewodności Halla mogą wynikać zatem jedynie z nietrywialnej struktury koneksji Berry’ego A, tj. z obecności punktów osobliwych w obrębie strefy Brillouina. Zatem nie możemy wybrać globalnego cechowania, które jest ciągłe i jednoznaczne w całej strefie Brillouina. W wyniku transformacji cechowania U (1) funkcja falowa j-tego poziomu nabywa czynnik fazowy: |j, ki′ = eif (k) |j, ki, (4.1.15) gdzie f (k) jest gładką funkcją w obrębie strefy Brillouina. Koneksja Berry’ego zatem transformuje się jako: Aj (k)′ = Aj (k) + ∇f (k). (4.1.16) Przewodność Halla jest obserwablą, a więc nie zależy od wyboru cechowania. Korzystając z transformacji cechowania można by zatem sądzić, że wybór całkowitej fazy funkcji falowej jest dowolny. Jednak jeśli jesteśmy w stanie zawsze znaleźć gładkie cechowanie, to przewodność Halla zawsze zanika na mocy argumentu związanego z twierdzeniem Stokesa. 87 4.1. Wprowadzenie A zatem muszą istnieć takie przypadki, w których nie możemy zastosować gładkiego cechowania do naszej funkcji falowej. Dzieje się tak np. kiedy pierwsza składowa funkcji Blocha |j, ki znika w pewnych punktach strefy Brillouina (każda składowa odpowiada kolejnym oczkom sieci). Oznaczmy te miejsca zerowe jako ks , dla s = 1, ..., N oraz zdefiniujmy małe obszary wokół nich jako: 2 Rsǫ = {k ∈ TBZ ||k − ks | < ǫ, |a, ks i1 = 0}, (4.1.17) 2 gdzie TBZ jest dwuwymiarowym torusem pierwszej strefy Brillouina, a indeks 1 wektora |j, ks i1 oznacza jego pierwszą składową. Wtedy możemy nadać funkcji falowej gładkie cechowanie w każdym z obszarów osobno, tj. wewnątrz Rsǫ cechowanie A1 i na zewnątrz A2 . Na granicy między nimi dwie funkcje falowe są ze sobą związane przez transformację cechowania: ψ2 (k) = ei(g(k)−f (k)) ψ1 (k) = eiχ(k) ψ1 (k), (4.1.18) A2 (k) = ψ2 ∂k ψ2 = ψ1 ∂k ψ1 + i∇χ(k) = A1 (k) + i∇χ(k). (4.1.19) a koneksje Berry’ego: Wtedy przewodność Halla możemy zapisać jako: σxy e2 1 = h 2πi Z 2 −Rǫ TBZ s ∇ × A1 (k) + Z Rsǫ ! (4.1.20) ∇ × A2 (k) . Stosując twierdzenie Stokesa mamy: σxy e2 1 = h 2πi Z 2 −Rǫ ) ∂(TBZ s dk · A1 (k) + Z ∂(Rsǫ ) ! (4.1.21) dk · A2 (k) . 2 − Rǫ ) = −∂(Rǫ ), a wtedy: Skoro torus nie ma brzegu, to brzeg ∂(TBZ s s σxy e2 1 = h 2πi Z e2 1 dk · (A2 (k) − A1 (k)) = h 2πi ∂(Rsǫ ) Z ∂(Rsǫ ) dk · i∇χ(k) = e2 ν, h (4.1.22) gdzie 1 ν= 2π I ∂(Rsǫ ) dk · ∇χ(k) (4.1.23) jest liczbą nawinięć transformacji cechowania na granicy ∂(Rsǫ ) [119, 120]. Podobnie jak w przypadku wirów w 2D opisanych w punkcie 1.2.3 ν musi być liczbą całkowitą ze względu na jednowartościowość funkcji falowej po zakreśleniu zamkniętej drogi wokół każdego z obszarów Rsǫ . Niezmiennik topologiczny ν nosi nazwę pierwszej liczby Cherna. 88 4.1. Wprowadzenie 4.1.4 Uogólnienie kwantowego efektu Halla na wyższe wymiary W podpunkcie 4.1.2 pokazaliśmy, że spektrum cząstki umieszczonej w dwuwymiarowej sieci kwadratowej w prostopadłym silnym polu magnetycznym podzielone jest na pasma oddzielone przerwą energetyczną. Liczba pasm oraz wielkość przerw zależy od strumienia pola przepływającego przez komórkę elementarną sieci, a każdemu z pasm można przypisać pewną charakterystyczną wielkość, zwaną pierwszą liczbą Cherna. Tego typu układ stanowi realizację dwuwymiarowego kwantowego efektu Halla, ponieważ zmieniając warunki brzegowe z periodycznych na otwarte, otrzymujemy stany brzegowe, a więc niezerowe przewodnictwo poprzeczne, którego wartość jest skwantowana i zależy od pola magnetycznego. Okazuje się, że kwantowy efekt Halla można uogólnić na wyższe parzyste wymiary [106], a najprostszym przykładem realizującym czterowymiarową fizykę Halla są dwa niezależne dwuwymiarowe modele Hofstadtera, opisane równaniem (4.1.9) - jeden w płaszczyźnie XZ, drugi natomiast w płaszczyźnie Y W . Odpowiada to wyborowi potencjału wektorowego w postaci Ax (r) = Ay (r) = 0, Az (r) = 2πφz x oraz Aw (r) = 2πφw y, gdzie φz oraz φw oznaczają strumienie pola przez komórkę elementarną w płaszczyźnie XZ i Y W odpowiednio. Równanie własne przyjmuje zatem postać podwójnego równania Harpera (4.1.9), tj. −J eikx um+1,n (k) + e−ikx um−1,n (k) − J eiky um,n+1 + e−iky um,n−1 − 2Jum,n (k)(cos(2πφz m + kz ) + cos(2πφw n + kw )) = E(k)um,n (k), (4.1.24) gdzie x = ma oraz y = na. Ponieważ w takim przypadku hamiltonian układu jest sumą dwóch niezależnych dwuwymiarowych modeli, to spektrum czterowymiarowego układu jest tzw sumą Minkowskiego obu komponentów Hofstadtera, tj. [108]): E(k) = {E1 + E2 | E1 ∈ EXZ , E2 ∈ EY W }, (4.1.25) a więc pasma w 4D powstają poprzez sumę „każdy z każdym” pasm modeli 2D. Na Rys. 4.4 pokazane są dwa przykładowe spektra układu 4D oraz odpowiadające im spektra układów 2D. Jeśli najniższe pasmo modelu 2D jest dobrze odseparowane od reszty pasm, wkład do najniższego pasma modelu 4D pochodzi tylko od sumy najniższych pasm 2D, zob. górny panel, który przedstawia pasma energetyczne dla φz = φw = 1/4. Sytuacja może być jednak bardziej skomplikowana i najniższe efektywne pasmo 4D może być złożeniem większej ilości podpasm 2D, tak jak na dolnym panelu dla φz = φw = 3/5. Oba czterowymiarowe spektra pokazują, że pasma pogrupowane są w większe struktury, pomiędzy którymi istnieje przerwa energetyczna. Od tej pory nazywać je będziemy efektywnymi pasmami. Dla φz = φw = 1/4 istnieją trzy efektywne pasma, natomiast dla φz = φw = 3/5 jest ich pięć, zob. Rys. 4.4. 89 4.1. Wprowadzenie Podobnie jak w przypadku dwuwymiarowym pasma energetyczne czterowymiarowego układu posiadają nietrywialną topologię i są scharakteryzowane niezmiennikiem topologicznym zwanym drugą liczbą Cherna. Zawiera ona wkłady od dwuwymiarowych krzywizn Berry’ego F zdefiniowanych równaniem (4.1.11). c2 4D 2D 3 -1 c1 -1 2 1 2 E 2 0 - - -1 - -1 ky 3 -1 4 -6 2 -3 2 1 2 0 4 -1 -3 2 ky Rysunek 4.4: Przykładowe spektra czterowymiarowego układu (wykresy po lewej stronie) dla φz = φw = 1/4 (górny panel) oraz φz = φw = 3/5 (dolny panel), będące sumą Minkowskiego pasm odpowiadających im dwuwymiarowych modeli, których spektra przedstawione są po prawej stronie ilustracji. Obok każdego z pasm zostały podane odpowiadające im liczby Cherna, pierwsza c1 dla układów dwuwymiarowych i druga c2 dla układów czterowymiarowych. Szczegółowo omówimy je w dalszej części pracy, tj. w sekcji 4.2.3. W przypadku najbardziej ogólnym wyrażenie na drugą liczbę Cherna przyjmuje postać [122]: (n) c2 1 = 32π 2 Z d4 kǫijkl Tr[Fij Fkl ], 90 (4.1.26) 4.2. Efektywne algorytmy wyznaczania liczb Cherna gdzie Aαβ ki (k) = −ihα(k)|∂ki |β(k)i αβ αβ Fijαβ = ∂ki Aαβ kj − ∂kj Aki + i[Aki , Akj ] (4.1.27) (4.1.28) są teraz macierzami, i, j, k, l = x, y, z, w, a α, β oznaczają stany obsadzone. Wzór ten znajduje zastosowanie w przypadku pól nieabelowych oraz w sytuacji, kiedy pasma się stykają bądź przecinają. W przypadku pól abelowych wyrażenie (4.1.26) ulega znacznemu uproszczeniu i dla n-tego pasma możemy je przepisać jako: Z Z 1 1 (n) F ∧F = 2 d4 k (Fxy Fzw + Fwx Fzy + Fzx Fyw ) , c2 = 2 8π T 4 4π T 4 (4.1.29) gdzie czterowymiarowa strefa Brillouina zdefiniowana jest na czterowymiarowym torusie T 4 . W czterech wymiarach przestrzennych druga liczba Cherna nie posiada prostej interpretacji geometrycznej, w przeciwieństwie do pierwszej liczby Cherna w dwóch wymiarach, która jest liczbą nawinięć fazy wokół osobliwości w strefie Brillouina, zob. sekcja 4.1.3. Niemniej jednak jej znaczenie w czterech wymiarach przestrzennych jest równie ważne jak w przypadku pierwszej liczby Cherna w dwóch wymiarach, ponieważ jej niezerowa wartość świadczy o nietrywialnej topologii układu. Podobnie jak wcześniej dla skończonych układów druga liczba Cherna determinuje pojawienie się przewodzących stanów powierzchniowych na granicy topologiczny izolator-próżnia. 4.2 Efektywne algorytmy wyznaczania liczb Cherna W niniejszej sekcji przedstawimy efektywny algorytm wprowadzony przez T. Fukui, Y. Hatsugai oraz H. Suzuki (FHS) [123], pozwalający na wyznaczenie pierwszej liczby Cherna w dwóch wymiarach przestrzennych w oparciu o teorię cechowania na sieci [124–128]. W niektórych sytuacjach liczby Cherna mogą być wyznaczone analitycznie, np. na podstawie liczby stanów brzegowych, jednak w ogólności do tego celu potrzebne są metody numeryczne. Pokażemy następnie w jaki sposób można uogólnić tę ideę na cztery wymiary przestrzenne, aby wyznaczyć drugą liczbę Cherna, charakteryzującą pasma energetyczne czterowymiarowego układu. Okazuje się, że opracowany przez nas algorytm sprawdza się bardzo dobrze dla różnych układów. Aby to pokazać, najpierw porównamy dokładne wartości drugiej liczby Cherna otrzymane analitycznie dla modelu Diraca na sieci oraz dwóch niezależnych dwuwymiarowych modeli Hofstadtera z wynikami numerycznych obliczeń. Następnie rozważymy bardziej skomplikowany układ, dla którego analityczne rozwiązania nie istnieją i zaprezentujemy działanie naszego uogólnionego algorytmu. 91 4.2. Efektywne algorytmy wyznaczania liczb Cherna 4.2.1 Efektywny algorytm wyznaczania pierwszej liczby Cherna w opaciu o teorię cechowania na sieci Problem dyskretyzacji ciągłych teorii cechowania pojawił się poprzednio w sekcji 3.4.2, kiedy potrzebowaliśmy numerycznie wyznaczyć stan podstawowy kondensatu Bosego-Einsteina w obecności sztucznego pola magnetycznego. Bezpośrednia dyskretyzacja układu poprzez skończone sumy prowadzi do wyników zależnych od cechowania oraz jest nieefektywna z obliczeniowego punktu widzenia, ponieważ koneksję i krzywiznę Berry’ego należałoby wyznaczyć w każdym punkcie przestrzeni odwrotnej. Zamiast tego wygodnie jest zdefiniować linki „łączące” sąsiadujące punkty strefy Brillouina, w postaci: Uµ (k) ≡ hn(k)|n(k + µ̂)i , Nµ (k) (4.2.1) gdzie µ = x, y oraz Nµ (k) ≡ |hn(k)|n(k + µ̂)i| jest czynnikiem normalizacyjnym. Punkty strefy Brillouina dobrze jest wybrać tak, aby odległości między nimi w każdym kierunku przestrzennym były takie same, tj. dkµ = 2π , qµ N µ (4.2.2) gdzie 0 < kµ < 2π/qµ . Wtedy krzywizna Berry’ego przyjmuje postać: F̃xy (k) ≡ lnUx (k)Uy (k + x̂)Ux (k + ŷ)−1 Uy (k)−1 , −π < −iF̃xy (k) ≤ π, (4.2.3) która jest jawnie niezmiennicza ze względu na cechowanie, ponieważ pozwala wyznaczyć krzywiznę w podstawowej komórce strefy Brillouina (linki zakreślają pętlę w dyskretnej strefie Brillouina) zamiast wyliczania krzywizny w każdym punkcie. Wartość F̃xy zawiera się w przedziale charakteryzującym gałąź główną logarytmu zespolonego. W efekcie pierwsza liczba Cherna n-tego pasma może być wyrażona jako suma wszystkich plakietek krzywizny Berry’ego, tj. c̃(n) ≡ 1 X F̃xy (k). 2πi (4.2.4) k Przybliżenie jest tym lepsze, im dokładniej spełniony jest warunek: |F̃xy (k)| ≈ |Fxy (k)|dkx dky . (4.2.5) Oznacza to, że w granicy dkx (dky )→ 0 rozwiązanie na sieci odtwarza wartość krzywizny Berry’ego dla ciągłej przestrzeni. Warto podkreślić, że otrzymana w ten sposób pierwsza 92 4.2. Efektywne algorytmy wyznaczania liczb Cherna liczba Cherna c̃(n) przyjmuje dokładnie całkowite wartości. Aby to lepiej zobrazować, wprowadźmy potencjał wektorowy: õ (k) = lnUµ (k), −π < −iõ (k) ≤ π, (4.2.6) periodyczny na sieci. Podstawiając do równania Eq. (4.2.3) otrzymujemy: F̃xy (k) = ∆x Ãy (k) − ∆y Ãx (k) + 2πinxy (k), (4.2.7) gdzie ∆µ oznacza skończoną różnicę, tj. ∆µ Ãν = Ãν (k + µ̂) − Ãν (k), natomiast nxy jest liczbą całkowitą wybraną w ten sposób, aby krzywizna przyjmowała wartość główną logarytmu, tj. −π < −iF̃xy (k) ≤ π. Biorąc pod uwagę periodyczność potencjału wektorowego, otrzymujemy: c̃(n) = X nxy (k), (4.2.8) k co pokazuje, że c̃(n) jest liczbą całkowitą. Powyższe rozważania dotyczą przypadku bez degeneracji pasm, a więc pasma nie mogą się stykać ani przecinać. Okazuje się jednak, że metoda ta może być uogólniona [129], a linki powinny uwzględniać macierzową naturę koneksji i krzywizny Berry’ego, a więc: Uµ (k) ≡ |detUµ (k)|−1 detUµ (k), (4.2.9) (Uµ )αβ = hα(k)|β(k + µ̂)i. (4.2.10) gdzie Stany |αi oraz |βi są stanami zapełnionych pasm. Krzywizna Berry’ego wokół plakietki dyskretnej strefy Brillouina może być wyrażona podobnie jak wcześniej: F̃xy (k) ≡ lnUx (k)Uy (k + x̂)Ux (k + ŷ)−1 Uy (k)−1 (4.2.11) a pierwsza liczba Cherna n-tego pasma: c(n) ≡ 1 X F̃xy (k). 2πi (4.2.12) k Powyższe sformułowanie oparte jest na dobrze znanej równości pomiędzy śladem logarytmu a logarytmem wyznacznika, tj. w tej sytuacji TrFxy = Tr[ln(Ux Uy Ux−1 Uy−1 )] = ... = ln(detUx detUy detUx−1 detUy−1 ). Okazuje się jednak, że chcąc uogólnić to podejście do wyższych wymiarów, nie można skorzystać z triku między śladem, logarytmem i wyznacznikiem, a ponadto rozszerzenie na cztery wymiary nie jest tak oczywiste ze względu na skomplikowaną formę drugiej liczby Cherna, tj. c2 ∼ T r[F ∧ F ]. Niemniej jednak opra- cowana przez nas metoda pozwala efektywnie wyznaczyć drugą liczbę Cherna dowolnego układu czterowymiarowego, ponieważ szybko zbiega do prawidłowej, całkowitej wartości c2 , podczas gdy bezpośrednie wyznaczenie c2 ze wzoru (4.1.26) jest żmudne i nieefektywne. 93 4.2. Efektywne algorytmy wyznaczania liczb Cherna 4.2.2 Efektywny algorytm wyznaczania drugiej liczby Cherna Okazuje się, że w przypadku niezdegenerowanych pasm bezpośrednia generalizacja algorytmu FHS jest poprawna, tj. można zdefiniować linki podobnie jak w równaniu (4.2.1) z indeksami uwzględniającymi wszystkie wymiary: x, y, z, w, a więc mamy cztery podstawowe linki Ux , Uy , Uz oraz Uw . Na tej podstawie możliwe jest wyznaczenie odpowiednich krzywizn Berry’ego, a podstawienie do równania (4.1.29) sprowadza się do prostego mnożenia pierwszych liczb Cherna (zob. [107, 108]). Okazuje się, że istnieje metoda analityczna, opisana dokładniej w punkcie 4.2.3, która pozwala znaleźć drugie liczby Cherna pod warunkiem, że dwuwymiarowe podukłady tworzące efektywnie czterowymiarową przestrzeń są od siebie niezależne [45], zob. sekcję 4.1.4. Niemniej jednak sytuacja zmienia się, gdy mamy do czynienia z bardziej skomplikowanymi układami, w których wszystkie kierunki są od siebie zależne, a pasma energetyczne wielokrotnie stykają się lub przecinają. W ogólności koneksja A oraz krzywizna F Berry’ego stają się macierzami, których nie można uprościć jak w przypadku dwuwymiarowym, tj. zastosowanie uproszczenia poprzez wyznacznik prowadzi do pominięcia ważnych informacji o układzie. Potrzebne jest natomiast zachowanie macierzowej struktury, ponieważ zgodnie z równaniem (4.1.26) należy na końcu wyznaczyć ślad z mnożenia macierzy będących krzywiznami Berry’ego. Okazuje się, że jest możliwe zachowanie postaci macierzowej koneksji i krzywizny Berry’ego poprzez zdefiniowanie linków zgodnie z równaniem (4.1.27), tj. przepisując koneksję w postaci dyskretnej pochodnej: Aαβ µ (k)δkµ = −i (hα(k)|β(k + µ̂)i − hα(k)|β(k)i) , (4.2.13) która w zapisie macierzowym przyjmuje prostą formę: Aµ (k)δkµ ≡ −i(Aµ − I), (4.2.14) gdzie Aα,β µ (k) = hα(k)|β(k + µ̂)i oraz I jest macierzą jednostkową, ponieważ wszystkie wektory własne są ortogonalne względem siebie. |αi oraz |βi oznaczają stany obsadzone. Zdefiniujmy następnie eksponentę koneksji Berry’ego, tj.: Uµ = eiAµ (k) ≈ I + iAµ (k) = Aµ , (4.2.15) a więc elementy macierzowe macierzy Uµ są równe Uµαβ = hα(k)|β(k + µ̂)i. (4.2.16) Podobnie jak wcześniej możemy zdefiniować krzywiznę Berry’ego wokół jednej plakietki jako: F̃µν (k) ≡ −iln Uµ (k)Uν (k + µ̂)Uµ (k + ν̂)−1 Uν (k)−1 , 94 (4.2.17) 4.2. Efektywne algorytmy wyznaczania liczb Cherna gdzie tym razem F̃µν jest macierzą, a logarytm odnosi się do logarytmu macierzowego. W tym przypadku otrzymujemy podobny warunek na ziarnistość strefy Brillouina, tj. |F̃µν (k)| ≈ |Fµν (k)|dkµ dkν . (4.2.18) Okazuje się, że wyrażenie na drugą liczbę Cherna (4.1.26) można uprościć do postaci podobnej jak w równaniu (4.1.29), tj. 1 X (n) Tr F̃xy F̃zw + F̃wx F̃zy + F̃zx F̃yw , c̃2 = 2 4π (4.2.19) k Macierze linków Uµ są unitarne biorąc pod uwagę całą przestrzeń Hilberta, a poprzez zawężenie ich jedynie do stanów obsadzonych łamiemy ich unitarność. Aby być w pełni poprawnym należałoby rozpatrywać pełny układ, a uwzględnić stany obsadzone biorąc ślad w ostatnim kroku. Oznacza to, że w pierwszej kolejności powinniśmy obliczyć iloczyn unitarnych macierzy, tj. Uµ Uν Uµ−1 Uν−1 w pełnej przestrzeni Hilberta, który posiada tylko elementy diagonalne w postaci ei2πmj , gdzie j = 1, 2, ..., q1 · q2 , a mj są liczbami całkowitymi z racji tego, że wyznaczamy krzywiznę Berry’ego wzdłuż zamkniętej pętli (innymi słowy jest to liczba pełnych nawinięć fazy). Chcąc wyznaczyć druga liczbę Cherna powinniśmy zatem wyznaczyć iloczyn pętli Wilsona, a następnie wyliczyć ślad tylko po pasmach obsadzonych. W tym miejscu pojawia się jednak problem, ponieważ z punktu widzenia obliczeń numerycznych nie ma różnicy pomiędzy ei2π·m a liczbą 1, gdzie m oznacza liczbę całkowitą, a więc istnieje potrzeba znalezienia innej metody, aby wyciągnąć wszystkie informacje o układzie. Z tego powodu pomocnym okazuje się zredukowanie już na samym początku naszej przestrzeni do podprzestrzeni stanów obsadzonych, które delikatnie łamie unitarność linków Uµ , ale w efekcie otrzymujemy wartości drugiej liczby Cherna, które są szybko zbieżne do właściwej całkowitej wartości. Własności skalowania można uzyskać z warunku (4.2.18), który pokazuje, że F̃µν zdefiniowane jest z dokładnością do drugiego rzędu w dk. Oznacza to, że F̃µν skaluje się jak dk 2 ∼ 1/N 2 , gdzie N oznacza liczbę punk- tów w strefie Brillouina w danym kierunku. W ogólności wynika stąd, że im większa liczba punktów w strefie Brillouina, tym numeryczna wartość drugiej liczby Cherna jest bliższa właściwemu, całkowitemu rozwiązaniu. 4.2.3 Przykłady zastosowania efektywnego algorytmu do wyznaczania drugiej liczby Cherna 4.2.3.1 Porównanie z modelem Diraca w (4+1) wymiarach W niniejszej sekcji chcielibyśmy pokazać, że nasza metoda działa prawidłowo dla modelu Diraca na sieci w (4 + 1) wymiarach. Model ten posiada rozwiązania analityczne, 95 4.2. Efektywne algorytmy wyznaczania liczb Cherna a więc tym bardziej warto przetestować wyniki numeryczne z dokładnymi wartościami drugiej liczby Cherna w tym przypadku [122]. Zacznijmy od wprowadzenia hamiltonianu Diraca w (4 + 1) wymiarach w przestrzeni ciągłej: HDirac = Z d4 x[ψ † (x)Γj (−i∂j )ψ(x) + mψ † Γ0 ψ], (4.2.20) gdzie j = 1, 2, 3, 4 są wymiarami przestrzennymi, a Γµ są pięcioma macierzami Diraca dla µ = 0, 1, 2, 3, 4, które spełniają algebrę Clifforda, tj. Γµ , Γν = 2δµν I. Model Diraca może być przepisany w formie dyskretnej w przybliżeniu ciasnego wiązania: Hlatt = X [ψn† n,j cΓ0 − iΓj 2 ψn+ĵ + h.c.] + m X ψn† Γ0 ψn , (4.2.21) n gdzie Γ = (σx ⊗I, σy ⊗I, σy ⊗σx , σy ⊗σy , σz ⊗σz ) oraz σµ są macierzami Pauliego [122,130]. Okazuje się, że w przestrzeni pędów hamiltonian ten może być przepisany w prostej formie: Hlatt = X ψk† da (k)Γa ψk , (4.2.22) k gdzie da (k) = m + c X j coskj , sinkx , sinky , sinkz , sinkw . (4.2.23) Indeks a oznacza a-tą składową pięciowymiarowego wektora d. Zaprezentowany model posiada dwie wartości własne E+ oraz E− , które są podwójnie zdegenerowane, w wyniku czego efektywnie mamy do czynienia z modelem dwupasmowym, w którym najniższe tylko pasmo jest obsadzone. Na Rys. 4.5 zaprezentowane jest spektrum energii dla różnych wartości parametru m. W pobliżu przejść fazowych, które mają miejsce dla m = −4 i m = −2, por. Rys.4.6, wyraźnie widać, że przerwa energetyczna ulega znacznemu zmniejszeniu, aby ostatecznie domknąć się dla krytycznych wartości parametru m (lewy i prawy panel). Z daleka od przejścia fazowego, przerwa energetyczna jest duża, a pasma płaskie (środkowy panel). W tym wypadku drugą liczbę Cherna można wyznaczyć z całki, która ma formę niezmienniczą ze względu na cechowanie: Z 3 c2 = 2 d4 kǫabcde dˆa ∂x dˆb ∂y dˆc ∂z dˆd ∂w dˆe , 8π (4.2.24) gdzie dˆa (k) ≡ da (k)/|d(k)| oraz a, b, c, d, e = 0, 1, 2, 3, 4. W ogólności jednak znalezienie formy całkowej niezmienniczej ze względu na cechowanie jest trudne lub wręcz niemożliwe. 96 4.2. Efektywne algorytmy wyznaczania liczb Cherna m = -3 m = -3.9 2 m = -2.1 E 1 0 -1 -2 0 π/2 π 3π/2 2π 0 π/2 kx π 3π/2 2π 0 π/2 kx π 3π/2 2π kx Rysunek 4.5: Spektrum energii czterowymiarowego modelu Diraca na sieci dla trzech różnych wartości parametru m. Najbliższe punkty krytyczne są dla m = −4 i m = −2. Na wykresach widać wyraźnie zmniejszanie się przerwy energetycznej w pobliżu punktów przejścia fazowego (prawy i lewy wykres). Dlatego też w większości przypadków wyznaczanie wartości drugiej liczby Cherna na podstawie całki jest nieefektywne. Biorąc pod uwagę tylko niezerowe wyrazy hamiltonianu opisanego równaniem (4.2.23), całkę (4.2.24) można uprościć do sumy pięciu wyrazów: + dˆ0 ∂x dˆ1 ∂y dˆ2 ∂z dˆ3 ∂w dˆ4 − dˆ1 ∂x dˆ0 ∂y dˆ2 ∂z dˆ3 ∂w dˆ4 − − dˆ2 ∂x dˆ1 ∂y dˆ0 ∂z dˆ3 ∂w dˆ4 (4.2.25) dˆ3 ∂x dˆ1 ∂y dˆ2 ∂z dˆ0 ∂w dˆ4 − dˆ4 ∂x dˆ1 ∂y dˆ2 ∂z dˆ3 ∂w dˆ0 . Okazuje się, że powyższa całka posiada rozwiązanie analityczne, zaprezentowane na Rys. 4.6, które zależy od parametrów m i c. We wszystkich wykresach tej sekcji przyjęliśmy parametr c = 1. Warto jednak podkreślić, że w większości przypadków trudno znaleźć formę całkową niezmienniczą ze względu na cechowanie, dlatego w ogólności obliczenia drugiej liczby Cherna poprzez całkowanie są nieefektywne i trudne. Na Rys. 4.7 pokazane są wartości drugiej liczby Cherna wyznaczone naszą metodą (czerwone punkty) dla m = −3 (górny panel) i blisko przejścia fazowego, tj. dla m = −3.9 (dolny panel). Liczba punktów w każdy kierunku w strefie Brillouina została wybrana tak, aby dkx = dky = dkz = dkw ≡ dk, gdzie dk = 2π/N . To samo zrobiliśmy dla postaci 97 4.2. Efektywne algorytmy wyznaczania liczb Cherna 3 2 c2 1 0 0 2 4 6 m Rysunek 4.6: Diagram fazowy dla (4 + 1)-wymiarowego modelu Diraca dla parametru c = 1. Na diagramie wyraźnie widać krytyczne wartości parametru m, dla których przerwa energetyczna zostaje zamknięta i następuje przejście do fazy scharakteryzowanej inną wartością drugiej liczby Cherna. Kolorami zaznaczone są niezerowe jej wartości. całkowej drugiej liczby Cherna (niebieskie punkty) opartej na równaniu (4.2.24), gdzie całkowanie zastąpiliśmy sumowaniem, aby porównać wyniki otrzymane za pomocą obu metod. Wielkość ∆c2 jest różnicą pomiędzy dokładną całkowitą wartością drugiej liczby Cherna oraz wynikami numerycznych obliczeń, tj. ∆c2 = c2 − c̃2 . Rysując wykres zależności ln(∆c2 ) od ln(N ) widać, że zależność ta jest wykładnicza. Niemniej w skali logarytmicznej otrzymujemy prostą, a parametry dopasowania funkcji liniowej ln(∆c2 ) = a · ln(N ) + b określają skalowanie naszego algorytmu. W tym przypadku otrzymane skalowanie jest w postaci eb · N a . Wyniki dopasowania znajdują się w poniższych tabelach: m = -3, c = 1 algorytm postać całkowa a -1.973±0.019 -1.077±0.021 b 2.819±0.072 3.289±0.097 0.9999 0.9996 R2 m = -3.9, c = 1 algorytm postać całkowa a -1.882±0.063 -1.104±0.016 b 5.14±0.29 4.811±0.097 0.9994 0.9998 R2 98 4.2. Efektywne algorytmy wyznaczania liczb Cherna m = -3 0.2 2 3 algorytm fit fit 0.1 0 2 -2 ln(∆ c2) ∆ c2 ∆ c2 0.15 2.5 1.5 -4 1 0.05 -6 0.5 0 0 50 N 100 -8 150 50 150 250 2 N 4 ln(N) m = -3.9 14 0.5 algorytm fit 4 fit 12 0.4 2 ∆ c2 ∆ c2 0.3 0.2 ln(∆ c2) 10 8 6 0 -2 4 0.1 -4 2 0 0 50 100 150 200 0 200 N 400 N 600 2 4 6 ln(N) Rysunek 4.7: Wykresy pokazują ∆c2 , a więc różnicę pomiędzy dokładną wartością drugiej liczby Cherna a wynikiem numerycznym, jako funkcję liczby punktów N w strefie Brillouina. Czerwonymi punktami oznaczone są numeryczne wyniki otrzymane naszym algorytmem, natomiast niebieskie kółka oznaczają wyniki całkowania. Górny panel odpowiada parametrowi m = −3, a więc daleko od przejścia fazowego, dzięki czemu reżim zbieżności osiągnięty jest nawet dla niewielkiej liczby punktów. Sytuacja zmienia się dla m = −3.9 (dolny panel) blisko przejścia fazowego ze względu na znaczne zmniejszenie się przerwy energetycznej w układzie. Dla naszej metody reżim zbieżności jest osiągnięty dla około N ≈ 60, podczas gdy w przypadku postaci całkowej potrzebnych jest około N ≈ 250. Do każdego dopasowania podana jest również wartość współczynnika determinacji R2 . Jak widać w każdym przypadku jest on bliski jedności, a więc wszystkie dopasowania są wiarygodne. W niektórych przypadkach w fitowaniu pominięte zostały początkowe punkty zdecydowanie odbiegające od właściwych wartości. Otrzymane wyniki pokazują, 99 4.2. Efektywne algorytmy wyznaczania liczb Cherna że zbieżność naszej metody jest jak dk 2 ∼ 1/N 2 , natomiast całka zbiega do prawidłowej wartości c2 liniowo, tj. proporcjonalnie do dk ∼ 1/N . Warto zauważyć, że w przypadku, gdy układ znajduje się blisko przejścia fazowego, tj. przerwa energetyczna jest bardzo mała (dolne panele), to reżim zbieżności osiągany jest dla gęstszej siatki punktów w strefie Brillouina, tj. Nmin ≈ 60 w przypadku naszego algorytmu, podczas gdy postać całkowa wymaga co najmniej Nmin ≈ 250 punktów, zob. prawy wykres w dolnym panelu Rys. 4.7. Daleko od przejścia fazowego reżim zbieżności osiągany jest bardzo szybko, tak jak widać to na wykresie po prawej stronie górnego panelu. 4.2.3.2 Przypadek dwóch niezależnych dwuwymiarowych modeli Hofstadtera Wprowadzenie do układu dwóch niezależnych dwuwymiarowych modeli Hofstadtera opisaliśmy już w punkcie 4.1.4. Teraz natomiast chcielibyśmy w praktyce pokazać działanie naszego algorytmu oraz porównać je ze ścisłymi rozwiązaniami analitycznymi. Okazuje się bowiem, że w sytuacji, gdy dwa dwuwymiarowe układy są niezależne, istnieje analityczna formuła wyznaczenia drugiej liczby Cherna. Aby to pokazać zauważmy najpierw, że druga liczba Cherna ze wzoru (4.1.29) jest iloczynem pierwszych liczb Cherna odpowiednich podpasm układów dwuwymiarowych. Wychodząc od równoważnego sformułowania drugiej liczby Cherna wykorzystującego operatory rzutowania P (kµ ) na podprzestrzeń stanów obsadzonych [122]: X −ǫαβγδ ∂P ∂ ∂P ∂ , Tr P P c̃2 = 8π 2 ∂kα ∂kβ ∂kγ ∂kδ (4.2.26) αβγδ możemy je uprościć i efektywnie otrzymać prostą postać: c̃2 = X (nxz ) c1 E1 +E2 <EF (nxz ) gdzie c1 (nyw ) i c1 (nyw ) · c1 , (4.2.27) są pierwszymi liczbami Cherna dwuwymiarowych modeli Hofstadtera w płaszczyznach XZ oraz Y W odpowiednio, natomiast E1 ∈ EXZ oraz E2 ∈ EY W . Aby zaprezentować zasadę działania analitycznej metody opisanej wzorem (4.2.27), rozważmy przykład strumieni magnetycznych φz = φw = 1/4. Ponieważ każdy z dwuwymiarowych modeli posiada 4 pasma, otrzymujemy 16 możliwych kombinacji sum (4.1.25), a więc w efekcie pasm energetycznych czterowymiarowego modelu. Na Rys. 4.4 przedstawione są struktury pasmowe układu czterowymiarowego (lewy górny panel) oraz odpowiadającego mu podukładu dwuwymiarowego (prawy górny panel). Najniższe pasmo czterowymiarowego efektu Halla jest utworzone przez sumę najniższych pasm podukładów dwuwymiaro(1) yw wych, a więc c2 = czx 1 · c1 = −1. Warto zwrócić uwagę, że znak jednej z liczb Cherna 100 4.2. Efektywne algorytmy wyznaczania liczb Cherna zx uległ zmianie ze względu na zmianę definicji przewodności Halla, tj. cxz 1 = −1, ale c1 = 1. Pasma, które tworzą środkową część spektrum 4D są kombinacjami wszystkich pasm, z wy- jątkiem sum najniższego z najniższym i najwyższego z najwyższym. W rezultacie środkowa część spektrum lewego górnego panelu Rys. 4.4 składa się tak naprawdę z 14 pasm, które się stykają lub przecinają, a więc nie ma przerwy energetycznej pomiędzy nimi i niemożliwe jest wyznaczenie niezmiennika topologicznego dla każdego z nich. Niemniej jednak wyliczenie wszystkich możliwych kombinacji iloczynów odpowiednich pierwszych liczb Cherna (2) daje c2 = 2, która stanowi charakterystykę topologiczną środkowego efektywnego pasma. Natomiast najwyższe pasmo 4D pochodzi od najwyższych pasm obu podukładów, a więc (3) otrzymujemy c2 = −1. Metoda analityczna opisana powyżej działa zarówno dla pojedynczych pasm, jak i prze- cinających lub stykających się, dla których można wyznaczyć łączną drugą liczbę Cherna. Niemniej jednak warunkiem koniecznym jest czterowymiarowy układ zbudowany z dwóch niezależnych dwuwymiarowych podukładów. Tak jak wspominaliśmy wcześniej, najniższe pasmo układu czterowymiarowego dla strumienia pola φz = φw = 1/4 (lewy górny panel) stanowi sumę energii najniższych pasm modeli dwuwymiarowych o liczbach Cherna c1 = −1, dlatego też w tym przypadku użycie naszego algorytmu nie jest potrzebne. Niemniej jednak kolejne pasmo jest mieszaniną 14 pasm, które się stykają bądź przecinają. W tym przypadku wygodnie jest użyć metody numerycznej, ponieważ rozpisywanie kombinacji iloczynów pierwszych liczb Cherna może być uciążliwe. Wyniki obliczeń numerycznych drugiej liczby Cherna środkowego efektywnego pasma dla różnych wartości N , gdzie dk = 2π/q · N , pokazane są na Rys. 4.8. W prawym panelu znajduje się wykres ln(∆c2 ) w zależności od liczby punktów N , do którego następnie dopasowaliśmy regresję liniową o parametrach a = −1.973 ± 0.018, b = 1.303 ± 0.056 oraz R2 = 0.9999. Jak widać, zgodnie z oczekiwaniami skalowanie w tym przypadku również zachowuje się jak ∼ dk 2 . Odmienną nieco sytuację prezentuje dolny panel Rys. 4.4 dla φz = φw = 3/5. Całko- wita liczba pasm w tym przypadku wynosi q1 · q2 = 25, jednak przerwami energetycznymi rozdzielone są tylko niektóre z nich, w wyniku czego układ posiada 5 efektywnych pasm. Interesujące w tym przypadku jest to, że rozłożenie pasm w efektywnych pasmach jest bardziej jednorodne, tzn dolne efektywne pasmo składa się tak naprawdę z 4 stykających się pasm, a idąc dalej mamy ich odpowiednio 4, 9, 4, 4, co sumarycznie daje 25 pasm. W tym przypadku zbieżność naszego algorytmu następuje przy minimalnej liczbie punktów w strefie Brillouina, tj. N = 5 i natychmiastowo prowadzi do całkowitych wyników. 101 4.2. Efektywne algorytmy wyznaczania liczb Cherna 0.25 -1 -2 0.2 -3 ∆c2 ln(∆c2) 0.15 0.1 -4 -5 0.05 -6 0 -7 10 20 30 40 50 N 2 3 4 ln(N) Rysunek 4.8: Wykresy pokazują ∆c2 , tj. różnicę pomiędzy dokładną wartością drugiej liczby Cherna a wynikiem numerycznym, jako funkcja liczby punktów w strefie Brillouina wybranych tak, aby dkx = dky = dkz = dkw ≡ dk, gdzie dk = 2π/q1 · N . Czerwone punkty odpowiadają wynikom numerycznym otrzymanym za pomocą naszego algorytmu. Parametry dopasowania funkcji liniowej ln(∆c2 ) = a·ln(N )+b wynoszą a = −1.973±0.018, b = 1.303 ± 0.056 ze współczynnikiem determinacji R2 = 0.9999. 4.2.3.3 Analiza układu ze sprzężeniem wszystkich kierunków W ostatniej części pokażemy, że numeryczny algorytm pozwala wyznaczyć drugą liczbę Cherna układu, dla którego nie istnieje analityczne rozwiązanie. Rozważmy zatem układ, w którym wszystkie kierunki są od siebie zależne, tj. wprowadźmy sprzężenie pomiędzy dwuwymiarowymi modelami Hofstadtera poprzez potencjał wektorowy w postaci: Az (r) = 2πφz x oraz Aw (r) = 2πφw (y + x), gdzie φz = p1 /q1 i φw = p2 /q2 , a więc oba modele są sprzężone poprzez współrzędną x. W takiej sytuacji nie możemy zastosować formuły (4.2.27) dla faktoryzacji pierwszych liczb Cherna dwuwymiarowych podukładów, a więc wyliczenie drugiej liczby Cherna dla każdego pasma w czterech wymiarach wymaga uniwersalnego algorytmu. Zacznijmy od równania typu Harpera, które ma postać podobną jak we wzorze (4.1.24), tj. −J eikx um+1,n (k) + e−ikx um−1,n (k) − J ei(ky +kx ) um,n+1 + e−i(ky +kx ) um,n−1 − 2Jum,n (k)(cos(2πφz m + kz ) + cos(2πφw (n + m) + kw )) = E(k)um,n (k), (4.2.28) a więc różnica występuje w argumencie drugiego cosinusa, gdzie występuje suma x + y, a x = ma oraz y = na. Z powodu istnienia dodatkowego strumienia przepływającego 102 4.2. Efektywne algorytmy wyznaczania liczb Cherna przez płaszczyznę Y W , a zależnego od x, magnetyczna komórka w kierunku x powinna zostać powiększona ze względu na strumień φw , tj. periodyczność w x jest równa q1 · q2 (a nie q1 jak wcześniej). W konsekwencji strefa Brillouina w kx jest zredukowana do 0 ≤ kx ≤ 2π/(q1 · q2 ). Przykładem tego typu układu, który posiada przerwę energetyczną w swoim spektrum, jest sieć, przez którą przepływają dwa strumienie: φz = 1/3 i φw = 1/8. W tym przypadku komórka magnetyczna w kierunku x zawiera 24 oczka, a więc 192 stany własne tworzą 3 efektywne pasma, których wielkość jest rzędu 0.5 w jednostkach E/J, zob. Rys. 4.9. Podobnie jak wcześniej wybraliśmy dyskretyzację strefy Brillouina taką, że dk jest identyczne we wszystkich kierunkach. ϕz = 1/3 ϕw = 1/8 -1 2 -1 Rysunek 4.9: Spektrum zmodyfikowanego modelu czterowymiarowego, zob. (4.2.28), w kórym wszystkie współrzędne są sprzężone przez strumienie pola magnetycznego φz = 1/3 oraz φw = 1/8. Układ posiada dwie duże przerwy energetyczne, które przejawiają fizykę Halla. Po prawej stronie wykresu podane są wyliczone wartości drugiej liczby Cherna dla każdego pasma. Na Rys. 4.10 zaprezentowane są wykresy zbieżności naszego algorytmu dla najniższego pasma (górny panel) oraz środkowego (dolny panel) modelu opisanego równaniem (4.2.28). Parametry dopasowania są następujące: 103 4.2. Efektywne algorytmy wyznaczania liczb Cherna 1. pasmo 2. pasmo a -1.942±0.023 -1.974±0.012 b -5.305±0.037 -1.691±0.018 0.9999 0.9999 1.4 1.2 1 0.8 ln(∆ c2) ∆ c2·103 R2 0.6 0.4 0.2 0 -10 2 4 6 8 10 1 N 1.5 2 ln(N) 0.05 -3 -3.5 0.04 -4 ∆ c2 ln(∆ c2) 0.03 0.02 -4.5 -5 0.01 -5.5 0 -6 2 4 6 8 1 1.5 l 2 Rysunek 4.10: Wykresy przedstawiają ∆c2 , tj. różnicę pomiędzy całkowitą wartością drugiej liczby Cherna, do której zbiega algorytm, a wartością numeryczną, jako funkcja liczby punktów w strefie Brillouina N . Czerwone punkty odpowiadają wartościom numerycznym otrzymanym za pomocą naszego algorytmu. Parametry funkcji liniowej ln(∆c2 ) = a · ln(N ) + b są następujące: a = −1.942 ± 0.023, b = −5.305 ± 0.037 oraz R2 = 0.9999. 104 4.3. Realizacja doświadczalna W tym przypadku dokładna wartość drugiej liczby Cherna nie jest znana. Niemniej jednak bazując na poprawności naszego algorytmu w przypadkach analitycznych, możemy rozszerzyć naszą analizę również na nieanalityczne układy. Wyznaczając bowiem wartość numeryczną za pomocą naszego algorytmu widać, że zbiega ona do pewnej liczby całkowitej dla każdego efektywnego pasma, a suma wszystkich liczb Cherna efektywnych pasm w danym układzie daje wartość 0, co jest zgodne z naszymi przewidywaniami. 4.3 Realizacja doświadczalna W niniejszej sekcji przedstawimy zarys propozycji doświadczalnej realizacji czterowymiarowego efektu Halla w zimnych gazach atomowych opisanego równaniem (4.1.24), a więc składającego się z niezależnych dwuwymiarowych modeli Hofstadtera. Zaletą naszego podejścia jest to, że dodatkowy wymiar zostaje wygenerowany w trójwymiarowej przestrzeni bez zastosowania spinowych stopni swobody, które mogą zostać wykorzystane w dalszym etapie badań. Okazuje się bowiem, że odpowiedź układu na słabe zewnętrzne pole elektryczne zawiera wyraz liniowy, pochodzący od dwuwymiarowego efektu Halla, oraz nieliniowy, charakterystyczny dla czterowymiarowej fizyki Halla. W przypadku cząstek bezspinowych równania transportu zawierają wkłady od obu zjawisk, natomiast wykorzystując cząstki o spinie σ = ± można wyeliminować efekty dwuwymiarowe, ponieważ pierwsze liczby Cherna dla każdego ze spinów mają przeciwne znaki. Dzięki temu możliwe jest wyeliminowanie liniowej odpowiedzi z równań transportu i obserwowanie czysto czterowymiarowego efektu Halla. 4.3.1 4.3.1.1 Wprowadzenie Sieci optyczne W punktach 3.1.1 oraz 3.1.3 opisaliśmy oddziaływanie atomów ze światłem, które prowadzi do powstania potencjału dipolowego odczuwanego przez atomy. Potencjał ten leży u podstaw wielu typów pułapek dla zimnych gazów atomowych, a w szczególności sieci optycznych, które naśladują strukturę ciał stałych [12, 13]. Potencjał ten może być przyciągający lub odpychający, w zależności od odstrojenia wiązki, które zwykle jest dość duże, aby zredukować spontaniczną emisję. Pułapki optyczne polegają na przestrzennie zmiennym przesunięciu Starka poziomów energetycznych. Interferujące wiązki laserowe powodują powstawanie periodycznych struktur natężenia światła, a tym samym periodycznych 105 4.3. Realizacja doświadczalna potencjałów dla zimnych atomów w postaci: V (r) = − X ij Ei · Ej cos((ki − kj ) · r + ϕi − ϕj ), (4.3.1) gdzie ki oznaczają wektory falowe wiązek, natomiast ϕi ich fazy. W zależności od liczby użytych wiązek i ich konfiguracji, można w ten sposób generować sieci jedno-, dwu- i trójwymiarowe o strukturze kubicznej, trójkątnej [131] czy typu sieci Kagome [132, 133]. Ogromną korzyścią stosowania tego typu potencjałów jest dowolność w wyborze geometrii, głębokości sieci, ponieważ wszystkie parametry są pod kontrolą. 4.3.1.2 Tunelowanie wspomagane laserowo W niniejszym punkcie przedstawimy schemat działania tunelowania wspomaganego laserowo na przykładzie sieci w płaszczyźnie XY . Załóżmy, że w dwuwymiarowej sieci optycznej w jednym kierunku, na przykład x wprowadzamy liniowy gradient potencjału, który powoduje przesunięcie poziomów energetycznych kolejnych oczek o ~∆B , gdzie ∆B oznacza częstość oscylacji Blocha, tak jak na Rys. 4.11. Tego typu działanie prowadzi do zaniku tunelowania wzdłuż pochylenia sieci, a więc w kierunku x, natomiast w dalszym ciągu możliwe są przeskoki w kierunku prostopadłym, a więc y [26]. k2,ω2 k1,ω1 Egap ħδω ħΔB Rysunek 4.11: Schemat zasady działania tunelowania wspomaganego laserem w najniższym paśmie nachylonej sieci. Pomiędzy oczkami sieci poziomy energetyczne przesunięte są o ~∆B , a przejście pomiędzy nimi determinują dwie wiązki laserowe scharakteryzowane wektorami falowymi k1 , k2 oraz częstościami ω1 i ω2 odpowiednio. Aby przywrócić ruch atomów w kierunku x potrzebne są dwie odstrojone od rezonansu wiązki laserowe, których różnica częstości δω = ω1 − ω2 odpowiada dokładnie różnicy energii wywołanej liniowym gradientem potencjału, tj. δω = ∆B . Dzięki temu obie wiązki są w stanie wywołać przejście Ramana pomiędzy stanem zlokalizowanym na jednym oczku sieci a najbliższym sąsiadem, a więc kolejnym oczkiem w kierunku x, nie zmieniając przy 106 4.3. Realizacja doświadczalna n 2 ... k2, 3 φy k1, 2 φy 2φx+3φy φx+2φy 2φx+2φy φx+φy 2φx+φy φy 1 J φx+3φy φy y 1 Je ±φm,n Je ±φm+1,n 1 2 3 ... m x Rysunek 4.12: Schemat eksperymentalnej realizacji jednorodnego strumienia pola magnetycznego poprzez użycie pary odstrojonych od rezonansu wiązek laserowych oraz jednorodnego gradientu energii potencjalnej (lewy panel). Poprzez zastosowanie pochylenia sieci w kierunku x następuje zanik tunelowania, które następnie zostaje odzyskane dzięki dwóm wiązkom laserowym. Tunelowanie w kierunku x nabywa przez to dodatkowy czynnik fazowy φm,n jako że następuje transfer pędu w kierunku y. Na prawym panelu pokazane są zależne od położenia fazy, które cząstka nabywa tunelując pomiędzy oczkami sieci. tym stanu wewnętrznego atomu. Efektywnie wiązki Ramana pojawiają się w hamiltonianie jako dodatkowa sieć, oscylująca z częstością rezonansową, tj. δω = ∆B , tj. dodatkowy potencjał ma postać Vosc = ~Ωcos(δk · r − δωt) i jako wyraz diagonalny hamiltonianu pełni rolę chwilowej modulacji energii na oczku. Zależność od czasu może jednak zostać usunięta poprzez transformację unitarną, która efektywnie uśrednia po czasie szybko oscylujące wyrazy i prowadzi do niezależnego od czasu hamiltonianu efektywnego [134–137]. W rezultacie nachylenie sieci zanika, ponieważ stosując opis atomu ubranego (zob. punkt 3.1.3) oczko (m, n) z j oraz l fotonami w obu wiązkach laserowych jest zdegenerowane z oczkiem (m + 1, n) i j + 1, l − 1 fotonami. Rozumowanie to jest poprawne zakładając, że ~∆B jest większa niż energia związana z amplitudą tunelowania J, ale jednocześnie mniej- sza niż przerwa energetyczna Egap między pasmami. Otrzymany w ten sposób hamiltonian ma taką samą formę jak hamiltonian dla naładowanej cząstki na sieci w efektywnym polu magnetycznym, tj [35, 138]. H=− X hm,ni ˜ iφm,n |m + 1, nihm, n| + J|m, n + 1ihm, n| + h.c. , Je (4.3.2) gdzie |m, ni jest stanem własnym hamiltonianu w oczku (m, n), φm,n = δk · Rm,n , a 107 4.3. Realizacja doświadczalna δk = k1 − k2 oraz Rm,n oznacza wektor położenia w oczku (m, n). Ponadto J˜ oznacza efektywną amplitudę tunelowania w kierunku x. W ten sposób możliwe jest otrzymanie dowolnego strumienia sztucznego pola magnetycznego przez plakietkę poprzez odpowiednie dobranie δk. Schemat eksperymentalnej realizacji jednorodnego strumienia pola magnetycznego poprzez użycie pary odstrojonych od rezonansu wiązek laserowych oraz jednorodnego gradientu energii potencjalnej przedstawia Rys. 4.12. Warto podkreślić, że z eksperymentalnego punktu widzenia liniowy gradient potencjału może być osiągnięty w stosunkowo łatwy sposób, tj. na przykład wykorzystując grawitację czy gradienty pola magnetycznego. 4.3.2 Opis układu Główną ideą w proponowanej przez nas realizacji doświadczalnej czterowymiarowego efektu Halla jest stworzenie struktury trójwymiarowej, tj. trójwymiarowej sieci Bravais, oraz bazy składającej się z kilku oczek w każdym punkcie sieci Bravais, tak jak na Rys. 4.13. Warto podkreślić, że tego typu układ posiada jeden wymiar skończony, a więc w nietrywialnym topologicznie modelu spodziewamy się otrzymać przewodzące stany brzegowe, będące w tym przypadku stanami powierzchniowymi. w z 45 y x Rysunek 4.13: Struktura sieciowa złożona z trójwymiarowej sieci Bravais (duże zielone kółka) oraz pięciopunktowej bazy w każdym z oczek sieci Bravais (mniejsze zielone kółka). Punkty bazy znajdują się na prostej, przecinającej układ pod kątem 45◦ do każdego z kierunków. Obecnie realizacja kubicznej sieci optycznej wymaga trzech par prostopadłych monochromatycznych wiązek laserowych i jest powszechnie stosowana w laboratoriach zimnych 108 4.3. Realizacja doświadczalna gazów atomowych. Konstrukcja sieci z bazą (w obrębie tego samego układu eksperymentalnego) wymaga użycia wiązek laserowych o wyższych harmonicznych, aby „nadrukować” na sieć kubiczną dodatkową strukturę, tj. suma dwóch wiązek laserowych typu ∼ cos(k · r) pozwala otrzymać sieć o kształcie funkcji cosinus, natomiast stosując wyższe harmoniczne, możemy otrzymać nowe „supersieci” o zmodyfikowanej formie. Niemniej jednak taki układ potrzebuje pewnych zmian, aby był odpowiedni dla naszych celów, ponieważ czterowymiarowa geometria hamiltonianu (4.1.24) wymaga dodatkowych warunków. W szczególności, tunelowania atomów pomiędzy oczkami sieci mogą odbywać się tylko między najbliższymi sąsiadami, tj. dla przykładu dozwolone jest przejście z punktu (l, m, n, w) do (l, m, n, w+1), natomiast z (l, m, n, w) do (l + 1, m, n, w + 1) nie, a więc w danej chwili możliwa jest zmiana tylko jednej współrzędnej w danym kierunku. Aby wyeliminować możliwość tego typu niedozwolonych przeskoków chcielibyśmy ukształtować potencjał sieci w taki sposób, aby połączyć minimami potencjału odpowiednie oczka sieci. Wtedy tunelowania w każdym kierunku mogą odbywać się zgodnie ze strukturą minimów potencjału. Ponadto aby uniemożliwić krzyżowanie się dozwolonych przeskoków na sieci, proponujemy, aby punkty bazy znajdowały się pod kątem 45◦ w stosunku do wszystkich kierunków. W konsekwencji taka geometria pozwala na umieszczenie czwartego wymiaru w trójwymiarowej przestrzeni oraz zapobiega niechcianym tunelowaniom do dalszych sąsiadów. Konstrukcję sieci potrzebnej do symulacji czterowymiarowego efektu Halla rozpoczniemy od teoretycznego modelowania potencjału w pojedynczym oczku sieci. Okazuje się, że potrzebną strukturę można osiągnąć poprzez iloczyn funkcji Gaussa, tj. potencjał przyjmuje postać V (x, y, z) = −W (x)W (y) − W (x)W (z) − W (y)W (z), gdzie W (j) = exp[−(j − j0 )2 /2d2 ] dla j = x, y, z. W taki sposób minima w środku każdej komórki skła- dowej, tj. oczka sieci, są połączone przez „tuby” minimów potencjału, tak jak przedstawia to lewy panel Rys. 4.14. Tego typu konstrukcję, tj. V (x, y, z) nazywać będziemy dalej komórką elementarną potencjału. Ponadto, jeśli przesuniemy centrum gaussianu i dodamy do siebie przesunięte komórki, tj. V (x, y, z) + V ′ (x, y, z) + V ′′ (x, y, z) + ..., gdzie V ′ (x, y, z) = V (x + aw /2, y + √ √ aw /2, z + aw / 2), itd., oraz ŵ = (aw /2, aw /2, aw / 2), to jesteśmy w stanie stworzyć niewielkie przesunięcie minimum potencjału, które prowadzi do powstania kolejnego oczka bazy, tak jak na prawym panelu Rys. 4.14. Łacząc ze sobą kolejne komórki elementarne otrzymujemy trójwymiarową sieć kubiczną z bazą, w której wszystkie oczka sieci są połączone z najbliższymi sąsiadami obniżoną wartością potencjału, aby wymusić odpowiednie tunelowania. W celu znalezienia konfiguracji wiązek laserowych realizujących tego typu potencjał, należy rozwinąć jego komórkę elementarną V (x, y, z) w bazie Fouriera. Zgod- 109 4.3. Realizacja doświadczalna Rysunek 4.14: Lewy panel przedtawia komórkę elementarną potencjału V (x, y, z), tj. wykres konturu V (x, y, z) = const. W centralnej części komórki znajduje się minimum potencjału odpowiadające oczku sieci. Kolejne oczka połączone są ze sobą minimami potencjału, przyjmującymi formę „tub”. Na ich przecięciach powstają kolejne oczka sieci, dzięki czemu powstaje tradycyjna trójwymiarowa sieć Bravais. Przesuwając centra gaussianów zmieniamy położenia minimów potencjału, a tym samym jesteśmy w stanie stworzyć oczka bazy w każdym punkcie sieci Bravais (prawy panel). Dzięki ustawieniu oczek bazy pod kątem 45◦ do każdego z kierunków x, y, oraz z, unikamy niechcianego przecięcia „tub” poza wyznaczonymi oczkami sieci. nie z naszymi obliczeniami do tego celu potrzeba około dwudziestu wiązek laserowych, świecących pod różnymi kątami oraz z wyższymi harmonicznymi (do około ósmej). Drugą metodą wytworzenia tego typu egzotycznej sieci są maski holograficzne, które pozwalają stworzyć niemal dowolny wzór sieci optycznej. W eksperymencie przeprowadzonym przez grupę prof. Marcusa Greinera w 2009 roku [139] wytworzona została sieć optyczna o stałej sieci 600nm poprzez bezpośrednie rzutowanie przygotowanej litograficznie maski holograficznej zawierającej strukturę sieci jako hologram fazowy. Wynika stąd, że możliwe jest otrzymanie w ten sposób sieci optycznej w reżimie Hubbarda, dzięki czemu metoda ta wygląda obiecująco w kontekście stworzenia naszej egzotycznej czterowymiarowej sieci. 110 4.3. Realizacja doświadczalna 4.3.3 Wstępne wyniki Czterowymiarowy efek Halla wymaga obecności pola magnetycznego, w naszym przypadku strumienie pola obecne są w płaszczyźnie XY oraz ZW . W przypadku dyskretnym obecność pola magnetycznego w hamiltonianie objawia się w postaci dodatkowego czynnika fazowego przy amplitudzie tunelowania, tzw fazy Peierlsa, zob. punkt 4.1.2. Zespolone amplitudy tunelowania zależne od położenia można osiągnąć za pomocą tunelowania wspomaganego laserem (opisanego w sekcji 4.3.1) w kierunku y oraz z, ponieważ potrzebny potencjał wektorowy ma postać Ax (r) = Aw (r) = 0, Ay (r) = 2πφy x oraz Az (r) = 2πφz w, gdzie φy oraz φz oznaczają strumienie pola przez komórkę elementarną w płaszczyźnie XY i ZW odpowiednio. W takiej sytuacji potrzebne są dwie pary wiązek laserowych aby przywrócić tunelowania w tych kierunkach, zob. punkt 4.3.1. Pierwszą parę oznaczymy indeksem górnym (1), natomiast drugą (2). Różnice wektorów falowych każdej pary oznaczmy jako δk (1) oraz δk (2) odpowiednio. W konsekwencji w hamiltonianie układu pojawiają się dwa nowe wyrazy diagonalne związane z pochyleniem sieci oraz z jej modulacją, która efektywnie powoduje przejścia Ramana: ~δω (1) y + ~Ω(1) cos(δk (1) · r − δω (1) t) (4.3.3) ~δω (2) z + ~Ω(2) cos(δk (2) · r − δω (2) t), (4.3.4) gdzie Ω(1) i Ω(2) są dwufotonowymi częstościami Rabiego każdej pary wiązek laserowych. Dla uproszczenia obliczeń zakładamy, że stosunek częstości jest liczbą całkowitą, tj. δω (1) /δω (2) = s, δω (1) jest różnicą częstości wiązek pierwszej pary (dla tunelowania wspomaganego laserem w kierunku y), natomiast δω (2) opisuje drugą parę (tunelowanie w kierunku z). Całkowity hamiltonian układu może być zapisany jako: H = − Jx − Jz + X hl,m,n,wi X hl,m,n,wi X hl,m,n,wi + |l + 1, m, n, wihl, m, n, w| − Jy |l, m, n + 1, wihl, m, n, w| − Jw X hl,m,n,wi X hl,m,n,wi |l, m + 1, n, wihl, m, n, w| |l, m, n, w + 1ihl, m, n, w| ~δω (1) may + ~Ω(1) cos(δk (1) · Rl,m,n,w − δω (1) t) (4.3.5) ~δω (2) naz + ~Ω(2) cos(δk (2) · Rl,m,n,w − δω (2) t) |l, m, n, wihl, m, n, w|, gdzie Rl,m,n,w jest wektorem położenia oczka (l, m, n, w), natomiast |l, m, n, wi oznaczają odpowiadające mu stany Wanniera hamiltonianu. Hamiltonian (4.3.5) jest periodyczny w czasie, a więc do wyznaczenia stanów własnych możemy zastosować twierdzenie Floquet opisane w punkcie 3.1.2, a więc szukamy stanów własnych hamiltonianu Floquet H = 111 4.3. Realizacja doświadczalna H − i~∂t . Zależność od czasu obecna w wyrazach diagonalnych może zostać usunięta poprzez unitarną transformację U , tj. H ′ = U † HU − i~U † ∂U/∂t, gdzie: U= X e (1) (2) −i Λl,m,n,w +Λl,m,n,w l,m,n,w (4.3.6) |l, m, n, wihl, m, n, w|, oraz (1) (1) Λl,m,n,w = may δω (1) t + Ω(1) /δω (1) sin(δω (1) t − φl,m,n,w ), (2) (4.3.7) (2) Λl,m,n,w = naz δω (2) t + Ω(2) /δω (2) sin(δω (2) t − φl,m,n,w ). (4.3.8) (j) W powyższych wzorach φl,m,n,w = δk (j) · Rl,m,n,w , gdzie j = 1, 2. W przypadku rezonan- sowej modulacji sieci z częstością δω (j) , która odpowiada różnicy energii między oczkami pochylonej sieci, wyrazy diagonalne znikają. Aby wyznaczyć zatem hamiltonian niezależny od czasu należy wyznaczyć wszystkie wyrazy związane z tunelowaniem do najbliższych są(j) (j) (j) (j) siadów, tj. exp[i(Λl+1,m,n,w − Λl,m,n,w )], exp[i(Λl,m+1,n,w − Λl,m,n,w )], itd. Okazuje się, że wszystkie tego typu wyrazy można sprowadzić do prostej postaci korzystając z rozwinięcia Jacobi-Angera, tj. eixcosθ = X r ir Jr (x)eirθ , (4.3.9) gdzie Jr oznacza funkcję Bessela rzędu r. Dla przykładu rozważmy amplitudę tunelowania w kierunku x. Otrzymujemy wtedy wyraz pozadiagonalny hamiltonianu w postaci: e i(Λl+1,m,n,w −Λl,m,n,w ) =e −i(ps+r)δω (2) t ∞ X (1) r,p=−∞ gdzie wykorzystaliśmy fakt, że (n) 2Ω(n) /δω (n) sin(δkj /2), (2) (2) −i(pφl,m,n,w +rφl,m,n,w ) i(p+r) Jp (Γ(1) , x )Jr (Γz )e (4.3.10) δω (1) /δω (2) = s oraz Λ = Λ(1) + Λ(2) . (n) Ponadto Γj = gdzie j = x, y, z, w oraz n = 1, 2. Następnie wyraz ten może być uśredniony po czasie τ ∼ 1/δω (2) , tj. z wyznaczenia całki: δω (2) 2π Z 2π/δω (2) dtei(ps+r)δω (2) t (4.3.11) 0 otrzymujemy warunek wiążący współczynniki p i r, tj. ps + r = 0, aby powyższa całka była niezerowa. Ostatecznie współczynnik tunelowania w kierunku x przyjmuje postać: Jxef f = Jx X p (1) (2) (2) −ip(φl,m,n,w −sφl,m,n,w ) ip(1−s) Jp (Γ(1) . x )J−sp (Γz )e (4.3.12) Dobierając odpowiednio parametry, np. zerując jeden z argumentów funkcji Bessela po(n) przez wybór δkj , możemy efektywnie wyeliminować wkłady od wyższych rzędów funkcji 112 4.3. Realizacja doświadczalna Bessela, zapewniając tym samym największy wkład do amplitudy tunelowania od wyrazów z p = 0. Okazuje się, że najprostszym wyborem przekazu pędu potrzebnym do otrzymania od(1) (1) (2) powiedniego pola cechowania jest δk (1) = (δkx , δky , 0) oraz δk (2) = (0, 0, δkz ). Wtedy uśrednione po czasie amplitudy tunelowania mają formę: Jxef f = Jx J0 (Γ(1) x ), (1) iφl,m,n,w Jyef f = Jy J1 (Γ(1) , y )e (2) isφl,m,n,w Jzef f = Jz Js (Γ(2) , z )e (2) Jwef f = Jw J0 (Γ(1) w )J0 (Γw ), (n) (4.3.13) (n) (1) (1) = 2Ω(n) /δω (n) sin(δkj /2), j = x, y, z, w oraz n = 1, 2, φl,m,n,w = δkx (lax + √ (1) (2) (2) waw /2)+δky (may +waw /2), φl,m,n,w = δkz (naz +waw / 2). Ponadto wyrażamy długość gdzie Γj w jednostkach stałej sieci ax , co oznacza, że ax = ay = az = 1, natomiast aw jest pewnym (1) (1) ułamkiem pozostałych stałych sieci. Poprzez odpowiednie dobranie δkx , δky (2) oraz δkz możliwe jest wyindukowanie w układzie odpowiednich strumieni pola przez plakietkę, tj. w płaszczyźnie XY oraz ZW . Konstrukcja sieci połączonej minimami potencjału, zob. Rys. 4.14, pozwala nam na pochylenie sieci w kierunkach y i z, natomiast dwie pary wiązek (n) Ramana zawierają wkład od czwartej współrzędnej w postaci δkj p (n) (2)δkz ). (n) (n) = 1/2(δkx + δky + (1) W tym przypadku dla aw = 1/5 oraz s = 1 powinniśmy wybrać δkx = 2π · 3/5, √ (1) (2) δky = π oraz δkz = 3 2π aby otrzymać analogiczny hamiltonian jak z równania (4.1.24). (1) Przekaz pędu w kierunku y, tj. δky amplitudy Jyef f , = π pozostawiliśmy niezerowy aby uniknąć zaniku która zależy od funkcji Bessela pierwszego rzędu. Niemniej jednak taki wybór nie zmienia jakościowo naszych rozważań. 4.3.4 Perspektywy Niniejszy zarys projektu realizacji eksperymentalnej może zostać rozszerzony o nowe schematy realizacji trójwymiarowej sieci Bravais z bazą, które byłyby prostsze z eksperymentalnego punktu widzenia. W tym celu należałoby zbadać zachowanie układu uwzględniając możliwość tunelowania między kolejnymi najbliższymi sąsiadami w kierunku w, ponieważ geometria układu zapewnia taką możliwość, o ile nie zastosujemy sieci z wyrzeźbionymi odpowiednio minimami potencjału, opisanymi w punkcie 4.3.2. Kolejną kwestią, którą należałoby dokładnie zbadać są amplitudy współczynników tunelowań. Przyjęliśmy bowiem, że δω (2) jest całkowitą wielokrotnością δω (1) dla ułatwienia obliczeń. Nie- 113 4.4. Podsumowanie mniej jednak możliwe jest wykonanie obliczeń numerycznych dla niecałkowitych krotności i sprawdzenie, czy taka konfiguracja zapewnia otrzymanie odpowiednich strumieni pola magnetycznego. Całkowite wielokrotności bowiem mogą prowadzić do innych sprzężeń w układzie i generacji niechcianych strumieni. 4.4 Podsumowanie Niniejszy rozdział dotyczy kwantowego efektu Halla w czterech wymiarach przestrzennych, w którym pasma energetyczne układu przejawiają topologiczne własności, w szczególności scharakteryzowane są niezmiennikiem topologicznym tzw drugą liczbą Cherna. Okazuje się jednak, że do tej pory brakowało w literaturze efektywnej metody jej wyliczania. W przypadku gdy model czterowymiarowy powstaje z dwóch niezależnych modeli dwuwymiarowych, istnieje analityczna metoda wyznaczania wartości tego niezmiennika. W ogólności jednak wyznaczenie drugiej liczby Cherna w ten sposób jest niemożliwe i pojawia się potrzeba zastosowania efektywnego algorytmu, dzięki któremu można byłoby scharakteryzować pasma dowolnego układu typu kwantowego efektu Halla. W pracy przedstawiliśmy schemat działania takiego algorytmu oraz przykłady jego zastosowania. Sama konstrukcja oparta jest na znanej w teorii cechowania na sieciach metodzie linków, która pozwala na zbudowanie wielkości niezmienniczych ze względu na cechowanie. W ten sposób możliwe jest wyznaczenie takich wielkości jak krzywizna Berry’ego w komórce podstawowej strefy Brillouina. W niniejszej pracy pokazaliśmy, że opracowany przez nas algorytm jest zbieżny do właściwej całkowitej wartości drugiej liczby Cherna jak dk 2 , gdzie dk określa dyskretyzację strefy Brillouina. Następnie przedstawiamy szkic propozycji realizacji eksperymentalnej czterowymiarowego efektu Halla w trójwymiarowej sieci Bravais z bazą. Idea polega na skonstruowaniu trójwymiarowej sieci, w której sąsiadujące oczka są połączone lokalnymi minimami potencjału, dzięki czemu tunelowania redukują się do najbliższych sąsiadów. Jest to o tyle ważne, że oczka bazy są umieszczone pod kątem 45◦ , co może powodować niechciane przeskoki między oczkami bazy. Niemniej jednak projekt ten wymaga dodatkowych badań, a przedstawione wyniki potrzebują ulepszenia i weryfikacji. 114 Podsumowanie W niniejszej rozprawie doktorskiej zaprezentowane zostały efekty topologiczne, do których należą jednowymiarowe ciemne solitony, dwuwymiarowe wiry, a także kwantowy efekt Halla, oraz sztuczne pola cechowania generowane przez falę zanikającą, które można efektywnie badać w zimnych gazach atomowych. Rozważania otwiera najniżej wymiarowy topologiczny defekt - ciemny soliton umieszczony w słabym zewnętrznym potencjale przypadkowym. Rozważania zostały podzielone na dwie części: opis klasyczny oraz kwantowy. Opis klasyczny dotyczy analizy stacjonarnego rozwiązania równania Grossa-Pitajewskiego oraz wpływu potencjału przypadkowego na kształt solitonu. Zastosowaliśmy w tym celu dwie metody: podejście Bogoliubova oraz rozwinięcie perturbacji funkcji falowej w stany własne potencjału Pöschl-Tellera. Obie metody prowadzą do takich samych wyników, jednak rozwinięcie w mody Pöschl-Tellera okazuje się być wygodniejsze i pozwala otrzymać prostą formę zaburzenia solitonu w postaci jądra całkowego. Porównanie metod perturbacyjnych z wynikami numerycznymi pokazuje zadziwiająco dobrą zgodność nawet dla potencjałów o amplitudzie rzędu potencjału chemicznego. Jeśli natomiast rozpatrujemy słaby zewnętrzny potencjał, to deformacja solitonu okazuje się być zaniedbywalnie mała. Z kolei podejście Bogoliubova jest nieocenionym narzędziem w opisie kwantowym, w którym interesują nas wielociałowe stany własne układu. Wyniki otrzymane w opisie klasycznym dotyczące deformacji solitonu w zewnętrznym potencjale przypadkowym, pozwoliły nam wysunąć wniosek, że słaby zewnętrzny potencjał wpływa nieznacznie na kształt ciemnego solitonu. Wynik ten okazuje się pomocny przy kwantowym opisie, w którym można pominąć sprzężenie położenia ciemnego solitonu z rezerwuarem fononów, a położenie ciemnego solitonu może być opisane efektywnym hamiltonianem. Ze względu jednak na sprzężenie pomiędzy stopniem swobody związanym z położeniem solitonu z podukładem kwazicząstek, zlokalizowane stany mogą rozpadać się poprzez emisję fononu. Wyznaczyliśmy czasy życia stanów zlokalizowanych andersonowsko i okazuje się, że dla typowych eksperymentalnych warunków są one dłuższe niż typowy czas życia kondensatu. Dzięki temu możliwa jest eksperymentalna realizacja lokalizacji 115 Podsumowanie ciemnego solitonu. Kolejny rozdział pracy został poświęcony generacji sztucznego pola magnetycznego w chmurze zimnych atomów, a w konsekwencji zahaczał o tematykę wirów pojawiających się w kondensacie w wyniku obecności sztucznego pola magnetycznego. Przeszliśmy w tym przypadku do dwóch wymiarów przestrzennych i rozważaliśmy atomy, które poruszały się wolno w obecności fali zanikającej. W celu teoretycznego opisu zachowania ultrazimnej chmury atomowej skorzystaliśmy z formalizmu przybliżenia adiabatycznego, które pozwoliło nam wyznaczyć geometryczne potencjały odczuwane przez atomy, tj. potencjał wektorowy A i skalarny W . Dzięki temu byliśmy w stanie stworzyć warunki, w których neutralne atomy zachowywały się jak cząstki naładowane w polu magnetycznym. Fala zanikająca okazała się być odpowiednia do tych celów, ponieważ posiada duży gradient amplitudy i fazy, które są kluczowe dla osiągnięcia silnych pól magnetycznych. Przedstawione zostały trzy konfiguracje prowadzące do powstania sztucznych pól magnetycznych. Pierwsza z nich bazuje na fali zanikającej wytworzonej przez pojedynczą falę płaską, dostrojoną do atomowego rezonansu. Zatem metoda ta może być zastosowana w atomach o długo żyjących stanach. Ponadto pokazaliśmy, że kondensat Bosego-Einsteina umieszczony w zakresie takiego pola, wykazuje niezerową cyrkulację, a więc obecność sztucznego pola magnetycznego przejawia się powstaniem sieci wirów w ultrazimnej chmurze atomowej, będących dwuwymiarowymi defektami topologicznymi. Okazuje się, że największą liczbę wirów generują fale zanikające o kącie padania bardzo bliskim kątowi granicznemu dla całkowitego wewnętrznego odbicia. W takim wypadku jednak należy wziąć pod uwagę realistyczny gaussowski profil wiązki, który dla odpowiednio dobranych parametrów odtwarza przybliżenie fali płaskiej. Dla realistycznych parametrów eksperymentalnych wyznaczyliśmy liczbę wirów, a następnie przeprowadziliśmy symulacje numeryczne, które potwierdziły nasze szacowania. Trzecia konfiguracja dotyczyła atomu trójpoziomowego typu Λ, gdzie do wytworzenia sztucznego pola magnetycznego użyte zostały dwie wiązki - jedna tworząca falę zanikającą, a druga propagująca się w próżni równolegle do pryzmatu. Atomy przygotowane w ciemnym stanie ubranym, który rozsprzęga się ze stanem wzbudzonym, nie ulegają procesowi emisji spontanicznej, a więc w eksperymencie mogą brać udział atomy metali alkalicznych takich jak np. rubid 87 Rb. Metodę generacji sztucznego pola dla tej konfiguracji zastosowaliśmy w zimnych gazach atomowych o temperaturze wyższej niż krytyczna dla kwantowej degeneracji, a więc 1µK i 10µK. Obecność pola magnetycznego wpływa na ruch chmury atomów, która zostaje uwolniona z pułapki magnetooptycznej i spada na powierzchnię pryzmatu. Ponadto pokazaliśmy, że efekt ten może być obserwowany doświadczalnie w zakresie parametrów osiągalnych we współczesnych laboratoriach. 116 Podsumowanie Ostatnia część pracy dotyczy kwantowego efektu Halla w czterech wymiarach przestrzennych, w którym pasma energetyczne układu przejawiają topologiczne własności, w szczególności scharakteryzowane są niezmiennikiem topologicznym tzw drugą liczbą Cherna. Okazuje się jednak, że do tej pory brakowało w literaturze efektywnej metody jej wyliczania. W przypadku gdy model czterowymiarowy powstaje z dwóch prostopadłych i niezależnych do siebie modeli dwuwymiarowych, istnieje analityczna metoda wyznaczania wartości tego niezmiennika. W ogólności jednak wyznaczenie drugiej liczby Cherna w ten sposób jest niemożliwe i pojawia się potrzeba zastosowania efektywnego algorytmu, dzięki któremu można byłoby scharakteryzować pasma dowolnego układu typu kwantowego efektu Halla. W rozprawie doktorskiej przedstawiliśmy schemat działania takiego algorytmu oraz przykłady jego zastosowania. Sama konstrukcja oparta jest na znanej w teorii cechowania na sieciach metodzie linków, która pozwala na zbudowanie wielkości niezmienniczych ze względu na cechowanie. W ten sposób możliwe jest wyznaczenie takich wielkości jak krzywizna Berry’ego w komórce podstawowej strefy Brillouina. W niniejszej pracy pokazaliśmy, że opracowany przez nas algorytm jest zbieżny do właściwej całkowitej wartości drugiej liczby Cherna jak dk 2 , gdzie dk określa dyskretyzację strefy Brillouina. Następnie przedstawiamy szkic propozycji realizacji eksperymentalnej czterowymiarowego efektu Halla w trójwymiarowej sieci Bravais z bazą. Idea polega na skonstruowaniu trójwymiarowej sieci, w której sąsiadujące oczka są połączone lokalnymi minimami potencjału, dzięki czemu tunelowania redukują się do najbliższych sąsiadów. Jest to o tyle ważne, że oczka bazy są umieszczone pod kątem 45◦ , co może powodować niechciane przeskoki między oczkami bazy. Niemniej jednak projekt ten wymaga dodatkowych badań, a przedstawione wyniki potrzebują ulepszenia i weryfikacji. 117 Bibliografia [1] M. H. Anderson, J. R. Ensher, M. R. Matthews, C. E. Wieman, E. A. Cornell, Science 269, 198–201 (1995) [2] K. B. Davis, M. O. Mewes, M. R. Andrews, N. J. van Druten, D. S. Durfee, D. M. Kurn, W. Ketterle. Phys. Rev. Lett. 75, 3969 (1995) [3] C. C. Bradley, C. A. Sackett, J. J. Tollett, R. G. Hulet, Phys. Rev. Lett. 75, 1687 (1995) [4] L. de Broglie, Recherches sur la théorie des quanta (Researches on the quantum theory), Thesis, Paris, 1924, Ann. de Physique (10) 3, 22 (1925) [5] A. Imamoglu, R. J. Ram, S. Pau, Y. Yamamoto, Phys. Rev. A 53, 4250–4253 (1996) [6] H. Deng, H. Haug, Y. Yamamoto, Rev. Mod. Phys. 82, 1489 (2010) [7] T. Byrnes, N. Y. Kim, Y. Yamamoto, Nature Physics 10, 803 (2014) [8] J. Kasprzak, et al., Nature 443, 409-414 (2006) [9] Cheng Chin, R. Grimm, P. Julienne, E. Tiesinga, Rev. Mod. Phys. 82, 1225–1286 (2010) [10] S. Inouye, M. R. Andrews, J. Stenger, H.-J. Miesner, D. M. Stamper-Kurn, W. Ketterle, Nature 392, 151–154 (1998) [11] H. J. Metcalf, P. van der Straten, JOSA B 20, 887-908 (2003) [12] M. Lewenstein, A. Sanpera, V. Ahufinger, B. Damski, A. Sen De, U. Sen, Adv. Phys 56, 243 (2007) [13] I. Bloch, J, Dalibard, M. Zwerger, Rev. Mod. Phys. 80, 885 (2008) [14] G. Roati, et al., Nature 453, 895-898 (2008) 119 BIBLIOGRAFIA BIBLIOGRAFIA [15] R. Gommers, S. Denisov, F. Renzoni, Phys. Rev. Lett. 96, 240604 (2006) [16] T. Schulte, S. Drenkelforth, J. Kruse, R. Tiemeyer, K. Sacha, J. Zakrzewski, M. Lewenstein, W. Ertmer, J. J. Arlt, New J. Phys. 8, 230 (2005) [17] D. Clément, et al., Phys. Rev. Lett. 95, 170409 (2005) [18] A. Görlitz, et al., Phys. Rev. Lett. 87, 130402 (2001) [19] R. P. Feynman, International Journal of Theoretical Physics 21, 467 (1982) [20] I. Buluta, F. Nori, Science 326, 108 (2009). [21] I. Bloch, J. Dalibard, S. Nascimbene, Nature Physics 8, 267–276 (2012) [22] V. Bretin, S. Stock, Y. Seurin J. Dalibard, Phys. Rev. Lett. 92, 050403 (2004) [23] V. Schweikhard, I. Coddington, P. Engels, V. P. Mogendorff, E. A. Cornell, Phys. Rev. Lett. 92, 040404 (2004) [24] M. A. Baranov, K. Osterloh, M. Lewenstein, Phys. Rev. Lett. 94, 070404 (2005) [25] J. Ruostekoski, G. V. Dunne, J. Javanainen, Phys. Rev. Lett. 88, 180401 (2002) [26] D. Jaksch, P. Zoller, New J. Phys. 5, 56 (2003) [27] G. Juzeliunas, P. Öhberg, Optical Manipulation of Ultracold Atoms w: Structured Light and its Applications, ed. D.L. Andrews (Elevier, Amsterdam), pp. 295-333 (2008) [28] J. Dalibard, F. Gerbier, G.Juzeliunas, P. Öhberg , Rev. Mod. Phys. 83, 1523 (2011) [29] K. J. Gönter, M. Cheneau, T. Yefsah, S. P. Rath, J. Dalibard , Phys. Rev. A 79, 011604(R) (2009) [30] N. Goldman, G. Juzeliunas, P. Ohberg, I. B. Spielman, Rep. Prog. Phys. 77 126401 (2014) [31] N. Barberan, D. Dagnino, M. A. García-March, A. Trombettoni, J. Taron, M. Lewenstein, New J. Phys. 17, 125009 (2015) [32] Fuxiang Li, L. B. Shao, L. Sheng, D. Y. Xing, Phys. Rev. A 78, 053617 (2008); [33] D. R. Hofstadter, Phys. Rev. B 14, 2239 (1976) 120 BIBLIOGRAFIA BIBLIOGRAFIA [34] M. Aidelsburger, M. Atala, M. Lohse, J. T. Barreiro, B. Paredes, I. Bloch, Phys. Rev. Lett. 111, 185301 (2013) [35] H. Miyake, G. A. Siviloglou, C. J. Kennedy, W. C. Burton, W. Ketterle, Phys. Rev. Lett. 111, 185302 (2013) [36] W. Hofstetter, J. I. Cirac, P. Zoller, E. Demler, M. D. Lukin, Phys. Rev. Lett. 89, 220407 (2002) [37] A. Klein, D. Jaksch, Phys. Rev. A bf 73, 053613 (2006) [38] M. Z. Hasan, C. L. Kane, Rev. Mod. Phys. 82, 3045 (2010) [39] X.-L. Qi, S.-Ch. Zhang, Rev. Mod. Phys. 83, 1057 (2011) [40] B. A. Bernevig, T. L. Hughes, Topological Insulators and Topological Superconductors, Princeton University Press (2013) [41] A, J. Leggett, Rev. Mod. Phys. 73, 307 (2001). [42] C. J. Pethick, H. Smith, Bose-Einstein Condensation in Dilute Gases, Cambridge University Press 2002 [43] L.P. Pitaevskii, Sov. Phys. JETP 13, 451 (1961); E.P. Gross, Nuovo Cimento 20, 454 (1961). [44] Y. Castin, Coherent atomic matter waves, Les Houches Session LXXII, Springer, Berlin Heidelberg New York 2001 [45] N. Manton, P. Sutcliffe, Topological solitons, Cambridge University Press 2007 [46] A. del Campo, W. H. Zurek, Int. J. Mod. Phys. A 29, 1430018 (2014) [47] N. D. Mermin, Rev. Mod. Phys. 51, 591 (1979) [48] A. Vilenkin, E. P. S. Shellard, Cosmic Strings and Other Topological Defects, Cambridge University Press 2000 [49] P. G. Drazin, R. S. Johnson, Soliton: an introduction, Cambridge University Press 1989 [50] S. Ryu, A. Schnyder, A. Furusaki, A. Ludwig, New J. Phys. 12, 065010 (2010) 121 BIBLIOGRAFIA BIBLIOGRAFIA [51] A. P. Schnyder, S. Ryu, A. Furusaki, A. W. W. Ludwig, Phys. Rev. B 78, 195125 (2008) [52] Ch.-K. Chiu, H. Yao, S. Ryu, Phys. Rev. B 88, 075142 (2013) [53] R.-J. Slager, A. Mesaros, V. Juričić, J. Zaanen, Nature Physics 9, 98–102 (2013) [54] K. Klitzing, G. Dorda, M. Pepper, Phys. Rev. Lett. 45, 494–497 (1980) [55] E. Hall, American Journal of Mathematics 2, 287–92 (1879) [56] R. B. Laughlin, Phys. Rev. B. 23, 5632–5633 (1981) [57] B. I. Halperin, Phys. Rev. B 25, 2185 (1982) [58] N. Byers, C. N. Yang, Phys. Rev. Lett. 7, 46 (1961) [59] Nieopublikowana tonu w Praca kondensacie Magisterska Bosego-Einsteina”, pt. „Deformacja którą można ciemnego znaleźć na solistronie http://chaos.if.uj.edu.pl/AOD/theses/m.mochol.m.pdf [60] M. Mochol, M. Płodzień, K. Sacha, Physical Review A 85, 023627 (2012) [61] J. Dziarmaga, Phys. Rev. A 70, 063616 (2004) [62] M. Lewenstein, L. You, Phys. Rev. Lett. 77, 3489 (1996) [63] Y. Castin, R. Dum, Phys. Rev. A 57, 2008 (1998) [64] K. Sacha, C. A. Müller, D. Delande, J. Zakrzewski, Phys. Rev. Lett. 103, 210402 (2009) [65] F. Dalfovo, S. Giorgini, L. P. Pitaevskii, S. Stringari, Rev. Mod. Phys. 71, 463 (1999) [66] G. Pöschl, E. Teller, Z. Phys. 83, 143 (1933) [67] C. Müller, Appl. Phys. B 102, 459 (2011) [68] J. Lekner, Am. J. Phys. 75, 1151 (2007) [69] P. W. Anderson, Phys. Rev. 109, 1492–1505 (1958) [70] Y. Lai, H. A. Haus, Phys. Rev. A 40, 844 (1989) [71] Y. Lai, H. A. Haus, Phys. Rev. A 40, 854 (1989) 122 BIBLIOGRAFIA BIBLIOGRAFIA [72] D. Delande1, K. Sacha, M. Płodzień, S. K. Avazbaev,4 J. Zakrzewski, New J. Phys. 15 045021 (2013) [73] K. Sacha, D. Delande, J. Zakrzewski, Acta Physica Polonica A 116, 772 (2009) [74] J. Dziarmaga and K. Sacha, J. Phys. B, 39, 43 (2006) [75] R. V. Mishmash, I. Danshita, C. W. Clark, and L. D. Carr, Phys. Rev. A 80, 053612 (2009) [76] J. Dziarmaga, P. Deuar, and K. Sacha, Phys. Rev. Lett. 105, 018903 (2010) [77] R. V. Mishmash, and L. D. Carr, Phys. Rev. Lett. 105, 018904 (2010) [78] I.M. Lifshitz, S.A. Gredeskul, L.A. Pastur, Introduction to the Theory of Disordered Systems (Wiley, New York, 1988) [79] B. van Tiggelen, in Diffuse Waves in Complex Media, edited by J.-P. Fouque, NATO Advanced Study Institutes, Ser. C, Vol. 531 (Kluwer, Dordrecht, 1999) [80] S. Burger, K. Bongs, S. Dettmer, W. Ertmer, K. Sengstock, A. Sanpera, G. V. Shlyapnikov, M. Lewenstein, Phys. Rev. Lett. 83, 5198 (1999) [81] B. P. Anderson1, P. C. Haljan, C. A. Regal, D. L. Feder, L. A. Collins, C. W. Clark, E. A. Cornell, Phys. Rev. Lett. 86, 2926 (2001) [82] C. Becker, S. Stellmer, P. Soltan-Panahi, S. Dörscher, M. Baumert, E.-M. Richter, J. Kronjäger, K. Bongs, aK. Sengstock, Nature Physics 4, 496 (2008) [83] S. Stellmer, C. Becker, P. Soltan-Panahi, E.-M. Richter, S. Dörscher, M. Baumert, J. Kronjäger, K. Bongs, K. Sengstock, Phys. Rev. Lett. 101, 120406 (2008) [84] A. Weller, J. P. Ronzheimer, C. Gross, J. Esteve, and M. K. Oberthaler, D. J. Frantzeskakis, G. Theocharis, P. G. Kevrekidis, Phys. Rev. Lett. 101, 130401 (2008) [85] I. Shomroni, E. Lahoud, S. Levy, J. Steinhauer, Nature Physics 5, 193 (2009) [86] M. Mochol, K. Sacha, Sci. Rep. 5, 7672 (2015) [87] G. Floquet, Ann. École Norm. Sup. 12, 47 (1883) [88] J. H. Shirley, Phys. Rev. 138, B979 (1965) 123 BIBLIOGRAFIA BIBLIOGRAFIA [89] Y. B. Zel’dovich, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 51, 1492 (1966) [Sov. Phys. JETP 24, 1006 (1967)] [90] R. Grimm, M. Weidemüller, Y. B. Ovchinnikov, Adv. At. Mol. Opt. Phy 42, 95-170 (2000) [91] E. Arimondo, W.D. Phillips, F. Strumia, Laser Manipulation of Atoms and Ions, Elsevier 1993 [92] T. Kato, Journal of the Physical Society of Japan 5, 435–439 (1950) [93] D. Chruściński, A. Jemiołkowski, Geometric phases in classical and quantum mechanics, Springer Science and Business Media 2012 [94] M. V. Berry, Proc. R. Soc. A 392, 45 (1984) [95] N. Hinkley, et al., Science 341, 1215 (2013) [96] M. Cheneau, et al., Europhys. Lett. 83, 60001 (2008) [97] R. A. Cornelussen, A. H. van Amerongen, B. T. Wolschrijn, R. J. C. Spreeuwa, H. B. van Linden van den Heuvell, Eur. Phys. J. D 21, 347-351 (2002) [98] H. J. Rothe, Lattice Gauge Theories: An Introduction, World Scientific Lecture Notes in Physics - Vol. 74 (1992) [99] M. Fleischhauer, A. Imamoglu, J. P. Marangos, Rev. Mod. Phys. 77, 633 (2005) [100] J. Fiutowski, D. Bartoszek-Bober, T. Dohnalik, T. Kawalec, Opt. Commun. 297, 59 (2013) [101] N. Westbrook, et al., Phys. Scr. T78, 7 (1998) [102] H. Bender, P. W. Courteille, C. Zimmermann, S. Slama, Appl. Phys. B 96, 275-279 (2009) [103] J. I. Gillen, et al., Phys. Rev. A 80, 021602(R) (2009) [104] R. A. Cornelussen, A. H. van Amerongen, B. T. Wolschrijn, R. J. C. Spreeuwa, H. B. van Linden van den Heuvell, Eur. Phys. J. D 21, 347-351 (2002) [105] A. Sidorov, P. Hannaford, From Magnetic Mirrors to Atom Chips w J. Reichel, V. Vuletić (eds.), Atom Chips, Wiley 2011 (ISBN 978-3-527-40755-2). 124 BIBLIOGRAFIA BIBLIOGRAFIA [106] S.-Ch. Zhang, J.-P. Hu, Science 294, 823 (2001) [107] Y. E. Kraus, Z. Ringel, O. Zilberberg, Phys. Rev. Lett. 111, 226401 (2013) [108] H. M. Price, O. Zilberberg, T. Ozawa, I. Carusotto, N. Goldman, Phys. Rev. Lett. 115, 195303 (2015) [109] M. Mochol-Grzelak, A. Dauphin, A. Celi, M. Lewenstein, w przygotowaniu [110] F. Bloch, Z. Phys. 52, 555–600 (1928) [111] G. H. Wannier, Phys. Rev. 52, 191 (1937) [112] G. H. Wannier, Rev. Mod. Phys. 34, 645 (1962) [113] R. Peierls, Z. Phys 80, pp. 763–791 (1933) [114] J. M. Luttinger, Phys. Rev. 84, 814 (1951) [115] W. Kohn, Phys. Rev. 115, 1460 (1959) [116] E. I. Blount, Phys. Rev. 126, 1636 (1962) [117] G. H. Wannier, Rev. Mod. Phys. 34, 645 (1962) [118] D. Hofstadter, Phys. Rev. B 14, 2239 (1976) [119] Y. Hatsugai, Phys. Rev. Lett. 71, 3697 (1993) [120] Y. Hatsugai, Phys. Rev. B 48, 11851 (1993) [121] D. J. Thouless, M. Kohmoto, M. P. Nightingale, M. den Nijs, Phys. Rev. Lett. 49, 405 (1982) [122] X.-L. Qi, T. Hughes, S.-Ch. Zhang, Phys. Rev. B 78, 195424 (2008) [123] T. Fukui, Y. Hatsugai, H. Suzuki, J. Phys. Soc. Jpn. 74, 1674-1677 (2005) [124] M. Lüscher, Commun. Math. Phys. 85, 39 (1982) [125] A. Phillips, Ann. Phys. 161, 399 (1985) [126] A. Phillips, D. Stone, Commun. Math. Phys. 103, 599 (1986) [127] A. Phillips, D. Stone, Commun. Math. Phys. 131, 255 (1990) 125 BIBLIOGRAFIA BIBLIOGRAFIA [128] T. Fujiwara, H. Suzuki, K. Wu, Prog. Theor. Phys. 105, 789 (2001) [129] Y. Hatsugai, T. Fukui, H. Aoki, Phys. Rev. B 74, 205414 (2006) [130] J. M. Edge, J. Tworzydło, C. W. J. Beenakker, Phys. Rev. Lett. 109, 135701 (2012) [131] C. Becker, P. Soltan-Panahi, J. Kronjager, S. Dorscher, K. Bongs, K. Sengstock, New J. Phys. 12, 065025 (2010) [132] G.-B. Jo, J. Guzman, C. K. Thomas, P. Hosur, A. Vishwanath, D. M. Stamper-Kurn, Phys. Rev. Lett. 108, 045305 (2012) [133] L. Santos, M. A. Baranov, J. I. Cirac, H.-U. Everts, H. Fehrmann, M. Lewenstein, Phys. Rev. Lett. 93, 030601 (2004) [134] A. Eckardt, C. Weiss, M. Holthaus, Phys. Rev. Lett. 95, 260404 (2005) [135] K. Sacha, K. Targońska, J. Zakrzewski, Phys. Rev. A 85, 053613 (2012) [136] J. Struck, Ch. Ölschläger, R. Le Targat, P. Soltan-Panahi, A. Eckardt, M. Lewenstein, P. Windpassinger, K. Sengstock, Science 333, 996 (2011) [137] J. Struck, Ch. Ölschläger, M. Weinberg, P. Hauke, J. Simonet, A. Eckardt, M. Lewenstein, K. Sengstock, P. Windpassinger, Phys. Rev. Lett. 108, 225304 (2012) [138] A. R. Kolovsky, Europhys. Lett. 93, 20003 (2011) [139] W. S. Bakr, J. I. Gillen, A. Peng, S. Fölling, M. Greiner, Nature 462, 74-77 (2009) 126 Podziękowania Prawdopodobnie słowa nie będą w stanie wyrazić ogromu wdzięczności, jaki odczuwam w stosunku do wielu osób, które odegrały dla mnie bardzo ważną rolę podczas studiów doktoranckich i pisania niniejszej pracy. Chciałabym w szczególności bardzo podziękować prof. dr hab. Krzysztofowi Sacha. Tak naprawdę za wszystko, co dla mnie zrobił podczas tych sześciu lat naszej współpracy. Będąc promotorem oraz opiekunem naukowym dwóch bardzo ważnych etapów mojej edukacji, tj. magisterium i doktoratu stanowił dla mnie zawsze podporę w chwilach zwątpienia i słabości, a jednocześnie potrafił inspirować i motywować do działania. Jestem ogromnie wdzięczna za poświęcony czas, za wyrozumiałość, zaangażowanie w nasze badania, za bezcenne rady, mądrość i doświadczenie, którymi zawsze chętnie się dzielił, za bycie moim „dobrym duchem”, który czujnym okiem spoglądał na moje działania i kierował na właściwe ścieżki, ale również za miłą, koleżeńską atmosferę podczas wspólnej pracy. I am also very grateful to my coworkers and colleagues at ICFO, especially dr. Alexandre Dauphin, dr. Alessio Celi and prof. Maciej Lewenstein for stimulating discussions and fruitful cooperation. It was a great pleasure and honour for me to work with you. Chciałabym również serdecznie podziękować pracownikom i doktorantom z Zakładu Optyki Atomowej UJ, z którym byłam związana przez ostatnie kilka lat, za niepowtarzalną atmosferę w pracy będącą mieszanką śmiechu, koleżeństwa i bezinteresownej pomocy. W szczególności ogromne wyrazy uznania należą się kierownikowi naszego zakładu, prof. Jakubowi Zakrzewskiemu, którego uśmiech i cięty dowcip potrafiły niejednokrotnie rozproszyć wszystkie ciemne chmury, które zbierały się nade mną od czasu do czasu. Dziękuję serdecznie pani Danusi Myrek za administracyjną opiekę nad grantami, ciągłe dążenie do tego, aby wszystko było jak najlepsze, ale przede wszystkim za życzliwość i ciepło, które promieniuje z jej usposobienia. Wyrazy wdzięczności składam również dr Romanowi Marcinkowi, który zawsze był dla mnie niedoścignionym mistrzem w sprawach komputerowych, wielokrotnie ratującym mnie z informatycznych opresji i zawsze cierpliwie odpowiadającym na moje pytania. Dziękuję również moim zakładowym koleżankom Podziękowania i kolegom doktorantom, w szczególności Andrzejowi, Arkowi, Jankowi, Marcinowi oraz Mateuszowi za wiele wspólnie spędzonych godzin na uczelni i poza nią. Zdecydowanie dodawaliście kolorów mojej krakowskiej rzeczywistości! Pobyt w Krakowie podczas doktoratu z pewnością byłby dla mnie dużo trudniejszy, gdyby nie obecność moich koleżanek i kolegów ze studiów, w szczególności Ady i Moniki, które zawsze dodawały mi otuchy i rozśmieszały do łez. Nie sposób również pominąć: Dawida, Grzesia, Izę i Rafała, Karola, Marcinów, Mariusza aka Mariana, Pawła i Pitera. Dziękuję Wam za wiele lat stymulującej znajomości, przegadanych godzin i niezapomnianych chwil! W sposób wyjątkowy dziękuję mojej Rodzinie, w szczególności moim Rodzicom za wsparcie i doping, których zawsze doświadczałam we wszystkim, co robiłam. Wasza wiara we mnie i moje możliwości dodaje skrzydeł. Równie mocno dziękuję mojej Siostrze Iwonie za natchnienie, inspirację do podejmowania wyzwań, zrozumienie bez słów oraz nieustanne poszerzanie moich horyzontów. Serdecznie dziękuję również Babci Janie za aktywną obecność w moim życiu i entuzjazm podczas naszych rozmów oraz Cioci Marysi i Wujkowi Gienkowi za życzliwość, dobroć i ciche bycie przy mnie pomimo odległości. Dziękuję z całego serca mojej nowej Rodzinie, w szczególności mojemu Mężowi Filipowi przede wszystkim za bezwarunkową miłość, która wszystko zwycięża, ale także za pełną akceptację dla mojej decyzji oraz ogromną wyrozumiałość okazaną podczas mojego doktoratu. Jestem ogromnie wdzięczna Mamie Bożence i Tacie Józefowi za stworzenie mi prawdziwie rodzinnej atmosfery w Poznaniu, Asi za wyjątkowe chwile w Zamysłowie, a także Tosi i Bartkowi z dzieciakami za elementy szaleństwa podczas niedzielnych obiadków. Dziękuję również moim znajomym m. in. z Bielska-Białej i Poznania: Jadzi, Marysi i Sebie, Magdzie, Agnieszce i Marcinowi, Mery i Stahowi, Gosi oraz znajomym z V LO za wiele wspólnych lat i niezapomnianych przygód oraz miłą odskocznię od pracy, Beatce, Margeni, Asi i Dominikowi, Julce i Angsarowi, Dorotce i Łukaszowi, a także Dagmarze i Łukaszowi za serdeczną atmosferę i udział w naszym poznańskim życiu oraz Ani za kwiaty we włosach i California dreamin’(!). 128