SUM zaoczny

1-2. Formułowanie zadań decyzyjnych. Metoda geometryczna
Zagadnienie wyznaczania optymalnego asortymentu produkcji
Firma zamierza uruchomić produkcję dwóch wyrobów A i B. Cenę zbytu oszacowano na 2 zł/kg dla
każdego z wyrobów. Możliwości przerobu dwóch surowców które limitują możliwości produkcyjne
wynoszą odpowiednio 18 i 24 t w okresie planistycznym. Pozostałe środki produkcji nie ograniczają
wielkości produkcji. Nakłady surowców (kg) niezbędne do wytworzenia jednostki wyrobów podaje
tabela.
⎡6 4 ⎤
A=⎢
⎥
⎣3 4 ⎦
a) Wyznaczyć plan produkcji maksymalizujący przychód,
b) Powiedzmy, że wielkość produkcji wyrobu A nie może przekroczyć 1000 sztuk. W jaki sposób
wpłynie to na rozwiązanie z pkt. a) i wielkość przychodu?
c) Wielkość produkcji wyrobu A nie może przekroczyć wielkości produkcji wyrobu B. W jaki
sposób wpłynie to na rozwiązanie z pkt. a) i wielkość przychodu?
d) W jakim przedziale musi zawierać się cena wyrobu A, aby zmiana ceny nie wpłynęła na
rozwiązanie z pkt. a)? Czy zmiany ceny wpłyną na wartość przychodu?
e) Jakie założenia ekonomiczne trzeba było przyjąć aby problem wyznaczania optymalnego
asortymentu produkcji można było sprowadzić do zadania PL ?
f) O popełnieniu jakich błędów modelowania świadczy brak skończonego optimum oraz pustość
zbioru rozwiązań dopuszczalnych?
Zagadnienie rozkroju
Tartak otrzymał zamówienie na 100 desek o długości 2m, 150 desek o długości 2,5m i 200 desek o
długości 3,5m. Deski otrzymuje się dokonując cięcia kłód o długości 10m.
a) Wyznaczyć kombinację sposobów rozkroju kłód minimalizującą wielkość odpadu. W jaki
sposób można zagwarantować niesprzeczność zadania?
b) W jaki sposób liczba rozkrojów wpływa na rozwiązanie? Czy jest celowe generowanie dużej
liczby rozkrojów?
c) Podać uzasadnienie ekonomiczne wykorzystywania funkcji postulującej minimalizację odpadu.
Zagadnienie diety
Racjonalna hodowla trzody chlewnej wymaga dostarczenia co najmniej 24 kg składnika odżywczego
S1 i 49 kg S2 oraz nie więcej niż 70 kg S3 dziennie. Składniki te dostarcza się skarmiając trzodę
dwoma paszami : P1 i P2.
Zawartość składników odżywczych w paszach (kg/kg) oraz ceny ich zakupu (zł/kg) podaje tabela.
Składnik
odżywczy
S1
S2
S3
Cena zbytu
Pasza
P1
0,04
0,14
0,1
3
P2
0,12
0,07
0,1
1,5
Ilość dziennie dostarczanych pasz wynosi 500 kg.
a) Ustalić dzienne zapotrzebowanie na pasze P1 i P2 minimalizujące koszty zakupu, zapewniające
dostarczenie składników odżywczych w wymaganych ilościach.
b) Przy jakiej cenie paszy P1 nastąpi zmiana rozwiązania z pkt. a)?
c) Powiedzmy, że dziennie możemy dostarczać 400 kg pasz. W jaki sposób wpłynie to na
rozwiązanie z pkt. a)?
1
J. Marcinkowski
Badania operacyjne
Problem wyboru optymalnego składu mieszanki
Dwa gatunki węgla A i B zawierają zanieczyszczenia w postaci fosforu i popiołu. W pewnym procesie
przemysłowym potrzeba co najmniej 90 t paliwa zawierającego nie więcej niż 0,03% fosforu i nie
więcej niż 4% popiołu. Stopień zanieczyszczenia obu gatunków węgla oraz ceny zakupu podaje
tabela.
Gatunek
węgla
A
B
Zanieczyszczenia (%)
Fosfor
Popiół
0,02
3
0.05
5
Cena zbytu
(zł/t)
500
400
a) W jakiej proporcji należy zmieszać gatunki węgla, aby uzyskać paliwo o minimalnym koszcie
spełniające normy ekologiczne?
b) Powiedzmy że cena węgla gatunku B wzrosła do 500 zł/t. W jaki sposób wpłynie to na
rozwiązanie optymalne z pkt. a) i koszt zakupu?
c) Dokonano złagodzenia norm ekologicznych dopuszczając maksymalną zawartość fosforu w
paliwie w wysokości 0,04%. W jaki sposób wpłynie to na rozwiązanie z pkt. a)?
Metoda geometryczna : przykłady zadań
Rozwiązać następujące zadania programowania liniowego. Przeprowadzić analizę wrażliwości
dla wag przy zmiennych decyzyjnych i prawych stron. Przeprowadzić analizę wrażliwości dla wag i
prawych stron.
2 x1 + 2 x 2 → max
2 x1 + 3 x 2 → min
4 x1 + 2 x 2 → max
6 x1 + 4 x 2 ≤ 24
4 x1 + 3 x 2 ≥ 12
2 x1 − x 2 ≤ 2
3 x1 + 4 x 2 ≤ 18
x1 , x 2 ≥ 0
3 x1 + 6 x 2 ≥ 18
x1 − x 2 ≤ 2
x1 + x 2 ≤ 4
2x2 ≤ 6
x1 , x 2 ≥ 0
x1 , x 2 ≥ 0
2
J. Marcinkowski
Badania operacyjne
3. Programowanie wielokryterialne
Zagadnienie wyznaczania optymalnej strategii marketingowej
W tabeli podano zyski (mln zł) i udział w rynku (%), jaki firma spodziewa się osiągnąć stosując
wybrane strategie marketingowe.
Strategie marketingowe
Kryteria
Zysk (mln zł)
( f1 )
Udział w rynku (%) ( f 2 )
A
B
C
D
E
4
3
5
2
3.5
20
30
30
25
50
a) Wyznaczyć strategie Pareto – optymalne w przestrzeni kryterialnej.
b) Wyznaczyć strategie Pareto – optymalne konstruując diagram Hassego.
c) Powiedzmy, że wyniku powtórnej ewaluacji strategii przyjęto, że zysk w przypadku strategii D
będzie wynosić 3 mln zł. Czy zbiór strategii Pareto - optymalnych ulegnie zmianie?
d) Zakładając, że osiągniecie dużego udziału w rynku jest dwa razy ważniejsze od realizacji
zysku, wyznaczyć strategię optymalną wykorzystując właściwe metakryterium.
Zagadnienie oceny efektywności funkcjonowania kopalni
W tabeli podano trzy podstawowe parametry: zysk (w zł/ton), wydajność (w tonach na osobę),
wypadkowość (liczba zabitych/ 1 mln ton) dla 5 kopalń należących do holdingu węglowego.
Kryteria
Zysk
Wydajność
Wypadkowość
A
40
150
3
B
50
300
4
C
-40
140
5
D
-30
250
4
E
-50
100
2
a) Utworzyć macierz stopni realizacji celów cząstkowych.
b) Uporządkować kopalnie kierując się maksymalizacją minimalnych stopni realizacji celów
cząstkowych.
c) Na podstawie macierzy stopni realizacji, stosując właściwe metakryterium z wagami 1/2, 1/4,
1/4, uporządkować kopalnie od najlepszej do najgorszej.
d) Które kopalnie należy zamknąć, jeżeli wiadomo, że wydajność w każdej z kopalń musi być nie
mniejsza niż 40% wydajności w kopalni najlepszej? Czy po zmodyfikowaniu zbioru kopalń, w
powtórnie sporządzonym rankingu, relacje między kopalniami będą takie same jak w rankingu
wyjściowym?
3
J. Marcinkowski
Badania operacyjne
4. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności
Zagadnienie wyboru struktury zasiewów
Rolnik na polu o powierzchni 10 ha może uprawiać pszenicę, żyto, lub na połowie areału pszenicę a
na połowie żyto. Przychody jakie przynosi uprawa zbóż zależą od warunków pogodowych
wywierających wpływ na wielkość plonów oraz koniunktury na płody rolne decydującej o cenie
zbytu. W tab. 1 podano wielkość spodziewanych zbiorów (q/ha) dla uprawianych zbóż w zależności
od stanu pogody, a w tab. 2 ceny zbytu zbóż w zależności od koniunktury gospodarczej (zł/t).
Wielkość plonów
Stan pogody
P1
P2
Żyto
20
25
Pszenica
40
20
Tabela 1
Żyto
Pszenica
Ceny zbytu
Koniunktura
K1
K2
300
400
400
450
Tabela 2
Wyznaczyć optymalną decyzje dot. struktury zasiewów stosując regułę Walda, Hurvicza (dla
współczynnika optymizmu równego 0,5), Savage'a i Bayesa. Wyznaczając stany natury przyjąć, że
koniunktura na płody rolne praktycznie nie zależy od stanu pogody.
4
J. Marcinkowski
Badania operacyjne
5. Teoria gier
Problem opanowania rynku na jednorodny produkt
Macierz wypłat opisuje szacowane zyski dwóch firm pragnących opanować rynek na pewien produkt. Zakłada
się, że potencjalny popyt jest mniejszy od sumy zdolności produkcyjnych obu firm. Każda z firm dysponuje
dwiema strategiami : W - wejść na rynek, N - zrezygnować.
I
II
W
N
W ⎡(−2, − 2) (7, 0)⎤
⎢
(0, 0) ⎥⎦
N ⎣(0, 5)
.
a) Uzasadnić strukturę wypłat.
b) Wyznaczyć równowagę w sensie Nasha. Jeżeli istnieje więcej równowag, która z nich zostanie
wybrana z większym prawdopodobieństwem?
c) Czy można oczekiwać współpracy firm?
d) Powiedzmy, że wypłatę (-2,-2) zastępuje wypłata (1,1). Czy odpowiedź na pytanie z pkt. c)
ulegnie zmianie?
5
J. Marcinkowski
Badania operacyjne
6. Drzewa decyzyjne
Zagadnienie wyboru strategii prowadzenia prac badawczo - rozwojowych
W tabeli podano wielkość nakładów, zysków oraz prawdopodobieństwa ich osiągnięcia związanych z
wyborem jednej z konkurencyjnych metod prowadzenia prac badawczo-rozwojowych.
Metoda
Nakłady (mln dol.)
Wynik
Biochemiczna
10
Biogenetyczna
20
Sukces
Porażka
Sukces
Porażka
Prawdopodobieństwo
wyniku
0,7
0,3
0,2
0,8
Zysk (mln dol.) bez
wydatków na B+R
90
50
200
0
Skonstruować drzewa decyzyjne pozwalające na wyznaczenie oczekiwanego zysku w przypadku, gdy
prace nad metodą biochemiczną i biogenetyczną mogą być prowadzone równolegle.
6