OBIEKT prosty (element) prosty (element) złożony (system)

Transkrypt

II. Niezawodność elementów i systemów (J. Paska)
Pojęcia podstawowe
OBIEKT – traktuje się jako pojęcie pierwotne, określające w zależności od potrzeb:
• niepodzielny element (bez uwzględnienia jego struktury wewnętrznej),
• zbiór elementów tworzących system.
OBIEKT
złożony (system)
prosty
prosty (element)
(element)
S(t)
S4
S3
S2
S1
t
Rys. 2.1. Przykładowy wykres zmian stanu elementu
Rozpatrywany
element
Czy element podlega odnowie?
N
T
Element nieodnawialny
Element odnawialny
T
Czy odnowa
polega na naprawie?
N
Element odnawialny
nieremontowalny
Element
remontowalny
1
Rys. 2.2. Klasyfikacja elementów
Element nieodnawialny jest w pełni scharakteryzowany przez rozkład czasu funkcjonowania
τ (bezawaryjnej pracy).
F (t ) = P{τ < t} = Q (t ) - funkcja zawodności (dystrybuanta rozkładu),
R(t) = P{τ ≥ t} = 1 - F(t) – funkcja niezawodności,
dF (t )
f (t ) =
- gęstość prawdopodobieństwa.
dt
gdzie: F(t) – dystrybuanta zmiennej losowej, R(t) – prawdopodobieństwo funkcjonowania
elementu (niezawodność elementu), f(t) – gęstość prawdopodobieństwa rozkładu.
Względną gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej τ nazywa się intensywnością
niesprawności awaryjnych (uszkodzeń) – zwana jest ona również funkcją ryzyka:
f (t )
F ' (t )
1 dR (t )
λ (t ) =
=
=
⋅
(2.4)
R (t ) 1 − F (t ) R (t ) dt
λ (t )
I
II
0
III
t
Rys. 2.3. Typowy przebieg funkcji intensywności uszkodzeń
Poza
powyższymi
charakterystykami
(wskaźnikami)
niezawodności
elementu
nieodnawialnego (R(t), λ(t)) są podawane:
• Skumulowana intensywność niesprawności awaryjnych (uszkodzeń), zwana też skumulowaną
funkcją ryzyka
t
Λ(t ) = ∫ λ (t )dt
(2.5)
0
Zachodzi związek
 t

(2.6)
R (t ) = R (0) exp  − ∫ λ (t )dt  = R (0) exp[− Λ(t )]
 0

Najczęściej zakłada się, że w chwili rozpoczęcia eksploatacji t = 0 element jest w stanie
zdatności, czyli że R(0) = 1. Wtedy
R (t ) = exp[− Λ(t )]
(2.7)
Λ(t ) = − ln R(t )
• Średnia wartość funkcji ryzyka (intensywności uszkodzeń) w przedziale [0, t]
Λ(t )
λ (t ) =
(2.8)
t
• Pozostały oczekiwany czas poprawnej pracy (do uszkodzenia)
2
t
∞
1
r (t ) =
R(t )dt =
R(t ) ∫t
E[τ ] − ∫ R(t )dt
0
(2.9)
R(t )
gdzie E[τ] jest oczekiwanym czasem funkcjonowania (poprawnej pracy) do uszkodzenia.
Pozostały oczekiwany czas poprawnej pracy lepiej charakteryzuje niezawodność elementu od
oczekiwanego czasu funkcjonowania E[τ]. Dla t = 0: r(t) = r(0) = E[τ], zaś dla
t > 0: r(t) ma zwykle przebieg malejący, gdyż w rzeczywistych urządzeniach zachodzą procesy
starzeniowe.
Element odnawialny ma w ogólnym przypadku cztery stany podstawowe: funkcjonowania,
remontu awaryjnego, remontu profilaktycznego, rezerwy.
Jeśli pominie się stany remontu profilaktycznego i rezerwy to modelem procesu eksploatacji
elementu odnawialnego jest proces odnowy o skończonym nie zerowym czasie odnowy. Przykład
takiego procesu przedstawiono na rys. 2.4.
T1
t0
T3
T2
t2
t1
t3
Θ1
t4
t5
t
Θ2
Rys. 2.4. Przykład procesu odnowy z niezerowym czasem odnowy
Ciąg t1, t3, ... , t2k+1, ... tworzą chwile kolejnych uszkodzeń, natomiast ciąg t2, t4, ... , t2k, ...
chwile odnowień.
Są tu również dwa ciągi zmiennych losowych T1, T2, ... , Tk, ... oraz Θ1, Θ2, ... , Θk, ...
określające czasy funkcjonowania (pracy) i czasy odnowy. Ciągi te tworzą dwa strumienie zdarzeń:
strumień niesprawności (uszkodzeń) i strumień odnów.
Rzeczywisty proces odnowy można zatem analizować za pomocą dwóch procesów losowych:
{N (t ), t ≥ 0}, wyrażającego liczbę uszkodzeń w przedziale czasowym [0, t];
o
{m(t ), t ≥ 0} , wyrażającego liczbę odnowień w przedziale czasowym [0, t].
o
W związku z tym można rozpatrywać dwie funkcje:
H(t) = E[N(t)]
(2.10)
wyrażającą oczekiwana liczbę uszkodzeń w przedziale [0, t] i zwaną funkcją odnowy, oraz
I(t) = E[m(t)]
(2.11)
określającą oczekiwaną w danym przedziale czasowym liczbę odnów i mającą analogiczne jak
funkcja odnowy właściwości.
Gdy zmienne losowe Tk mają ten sam rozkład o parametrach E[T] i σ T oraz zmienne losowe
Θk o parametrach E[Θ] i σΘ (strumienie rekurentne), wówczas przy oszacowaniu funkcji można
wykorzystać tzw. elementarne twierdzenie odnowy:
H (t )
1
lim
=
(2.12)
t →∞
t
E[T ]
zaś zmienna losowa H(t) ma rozkład asymptotycznie normalny o wartości oczekiwanej:
1
lim E[m(t )] =
(2.13)
t →∞
E[T ] + E[Θ ]
i wariancji
(σ T2 + σ Θ2 )t
lim Var [m(t )] =
(2.14)
t →∞
( E[T ] + E[Θ ]) 3
Wskaźnikiem niezawodności elementu, którego modelem niezawodnościowym procesu
eksploatacji jest rzeczywisty proces odnowy z niezerowym czasem odnowy jest współczynnik
gotowości.
3
Definiuje się go jako prawdopodobieństwo, że w chwili t obiekt znajduje się w stanie
funkcjonowania (zdatności)
∞
i
 i
K (t ) = ∑ P ∑ (Tk + Θk ) < t < ∑ (Tk + Θk ) +Ti +1 }
(2.15)
i =1  k = 0
k =0
Gdy wartość t jest dostatecznie duża można posługiwać się asymptotycznym współczynnikiem
gotowości
E[T ]
(2.16)
K = lim K (t ) =
t →∞
E[T ] + E[Θ]
Dla przypadku, gdy czas funkcjonowania i czas odnowy mają rozkłady wykładnicze, mamy:
µ + λ exp[−( µ + λ )t ]
µ
K = lim
=
(2.17)
t →∞
µ +λ
µ +λ
gdzie: µ - intensywność odnowy, λ - intensywność uszkodzeń.
Rozkłady zmiennych losowych stosowane w modelach niezawodnościowych elementów i systemów
2
1,8
1,6
1,4
1,2
r(t)
lambda
1
Lambda
0,8
R(t)
0,6
0,4
0,2
t
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
Rys. 2.5. Przebiegi funkcji R(t), λ(t), Λ(t) i r(t) w przypadku rozkładu EXP(b)
2
1,8
1,6
lambda, n = 2,5
1,4
Lambda, n = 2,5
1,2
R(t), n = 2,5
lambda, n = 0,5
1
Lambda, n = 0,5
0,8
R(t), n = 0,5
0,6
0,4
0,2
0
t /b
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
Rys. 2.6. Przebiegi funkcji R(t), Λ(t) i λ(t) w przypadku rozkładu WEI(b, v), przy b = 1
i parametrze kształtu v > 1 (v = 2,5) i v < 1 (v = 0,5)
4
Tablica 2.1. Charakterystyki najczęściej stosowanych rozkładów
Rozkład
Wykładniczy EXP(b)
T ∈ 〈0, +∞), b > 0
R (t)
exp(− t / b )
λ (t)
Λ (t)
r (t)
1/ b
t /b
b
Weibulla WEI(b, ν)
T ∈ 〈0, +∞), b > 0, ν > 0
exp(-(t/b)ν )
ν
(t / b )ν −1
b
Wartości najmniejszych
MIV(b0, t0)
b0 > 0, t0 ≥ 0
exp[- exp((t - t 0 )/b0 )]
1
exp((t − t 0 ) / b0 )
b0
Potęgowy POW (b, δ)
T ∈ 〈0, b), b > 0, δ > 0
1−
Γ ( p, t / b )
Γ( p )
(t / b )
t −µ 
0,5 − Φ

 σ 
Logarytmo – normalny
LNOR(µ1, σ1)
T ∈ 〈0, +∞),µ1 ≥ 0, σ1 >
0
 ln(t ) − µ1 

0,5 − Φ
 σ1

Γ(p) – funkcja gamma Eulera:
Γ( p ) = ∫ x
p −1
1
2Π
exp(−
[
exp(− (t / b )){ b [Γ( p ) − Γ( p, t / b )]}
−1
t −µ  
 t − µ  
ϕ
 σ 0,5 − Φ
 
 σ  
 σ  
 ln(t ) − µ1  
 σ1t
ϕ
 σ1
 
−1

 ln(t ) − µ1  
 
0,5 − Φ
σ
1

 

iν +1
∞


ν (t / b)
(
1
1
/
)
b
(
1
)
Γ
+
ν
−
−
∑


i!(iν + 1) 
i =0

δ
]
− ln (1 − Γ( p, t / b ) / Γ( p ))
b [1 − (t / b)δ ]−1

1
 δ
+
(t / b)δ +1 − (t / b) 

δ + 1 δ + 1

b [ p − (t / b ) +
∞
∑ Γ( p + i + 1, t / b) / Γ( p + i + 1)] ×
i =0

 t − µ 
− ln 0,5 − Φ

 σ 

−1

 ln (t ) − µ 1 

− ln 0,5 − Φ
 σ1


x
exp(− x)dx ; Γ(p, x) – niekompletna (niepełna) funkcja gamma Eulera: Γ( p, x) = ∫ t p −1 exp(−t )dt ;
0
ϕ ( x) =
exp((t − t 0 ) / b0 )
]
[1 − Γ( p, t / b) / Γ( p )]−1
Normalny NOR(µ, σ)
µ ≥ 0, σ > 0
∞
p −1
(t / b )ν
− ln 1 − (t / b )
δ
(t / b) δ −1 [1 − (t / b) δ ] −1
b
1 - (t/b) δ
Gamma GAM(b, p)
T ∈ 〈0, +∞), b > 0, p > 0
ϕ(⋅) – funkcja Gaussa:
[
b exp − (t / b) ν
0
2
x
x
) , Φ(⋅) – całka Laplace’a: Φ ( x) = ∫ ϕ ( z )dz
2
0
5
Procesy losowe i strumienie zdarzeń jako modele niezawodnościowe
Proces losowy jest to rodzina zmiennych losowych określonych na wspólnej przestrzeni
probabilistycznej (V, F, P), przyporządkowanych poszczególnym elementom pewnego zbioru T.
Zbiór T może być interpretowany jako zbiór chwil i wówczas używa się także dla procesu losowego
określenia proces stochastyczny.
Można zatem proces losowy określić jako mierzalną ze względu na ciało F – funkcję:
X :V ×T → S ⊂ R
(2.36)
Zbiór S wartości przyjmowanych przez proces nazywa się zbiorem stanów procesu, sam zaś proces
zapisuje się zwykle w postaci: {X (t ), t ∈ T }
Tablica 2.2. Klasyfikacja procesów losowych
Zbiór stanów S
Co najwyżej przeliczalny (dyskretny)
Przedział (ciągły)
Łańcuch losowy
Ciąg (szereg) losowy
Co najwyżej przeliczalny (dyskretny)
Punktowy proces losowy
Proces losowy z czasem ciągłym
Przedział (ciągły)
(o dyskretnej przestrzeni stanów)
Zbiór T
Opis procesu losowego może polegać na podaniu dystrybuant:
Ft ( x) = P[ X (t ) < x], x ∈ R, t ∈ T
(2.37)
charakteryzujących rozkład prawdopodobieństwa w poszczególnych chwilach zbioru T.
Dystrybuanty te nie zawierają jednak wyczerpującej informacji o procesie. Ważne, chociaż
również niekompletne informacje o procesie zawierają tzw. funkcje momentów, z których
podstawową jest funkcja wartości oczekiwanej:
m(t ) = E[ X (t )], t ∈ T
(2.38)
Drugą podstawową charakterystyką procesu losowego jest jego funkcja korelacyjna
(autokoleracyjna):
K (t1 , t 2 ) = µ (t1 , t 2 ) = E[{ X (t1 ) − m(t )}{ X (t 2 ) − m(t )}]
(2.39)
przy czym µ(t1, t2) jest drugim momentem centralnym mieszanym procesu.
Procesy stacjonarne (w węższym sensie lub ściśle stacjonarne) są to takie procesy, których
charakterystyki probabilistyczne nie zmieniają się przy zmianie punktu odniesienia na osi czasu.
Inaczej mówiąc, (bezwarunkowe) prawdopodobieństwo, że X(t) < y, jest takie samo jak
prawdopodobieństwo, że X(t + τ) < y dla każdego τ
P{X (t ) < y} = P{X (t + τ ) < y}
(2.40)
Proces jest stacjonarny w szerszym sensie lub słabo stacjonarny, gdy ma stałą wartość
oczekiwaną, a jego funkcja korelacyjna zależy wyłącznie od różnicy argumentów:
m(t ) = m = const.
(2.41)
K (t1 , t2 ) = k (t2 − t1 ) = k (τ ),τ = t2 − t1
(2.42)
Proces stochastyczny nazywamy ergodycznym, jeżeli wszystkie jego realizacje są „typowe”
w tym sensie, że znajomość pojedynczej realizacji X*(t) na nieskończonym (w praktyce
dostatecznie długim) odcinku czasowym pozwala wyznaczać rozkład prawdopodobieństwa w
innym, hipotetycznie identycznym procesie X(t) w myśl zależności:
1
P{X (τ ) < y} = lim {µ{τ i } : X ∗ (t ) < y}
(2.43)
T →∞ T
gdzie: µ{τi} - łączna długość odcinków czasowych z przedziału [0, T], kiedy było X*(t) < y.
Wyobraźmy sobie, że informacja I, jaką mamy o przebiegu procesu X(t), składa się z
informacji I*, że w chwili t0 było X(t0) = x, oraz z informacji I** dotyczącej tego, co się działo w
chwilach wcześniejszych od t0. Jeżeli przy posiadaniu informacji I* informacje I** są zbędne dla
wyznaczenia rozkładu zmiennej losowej X(t0 + τ) dla chwil późniejszych (τ > 0), to proces
nazywamy procesem Markowa.
Tak więc mamy:
6
P{X (t0 + τ ) < y}I * i I * *} = P{X (t 0 + τ ) < y I *}= P{X (t0 + τ ) < y X (t 0 ) = x}
(2.45)
Bardziej sformalizowana definicja procesu Markowa jest następująca. Proces losowy
{X (t0 + τ ), t ∈ T } nazywa się procesem Markowa, gdy dla dowolnego skończonego ciągu chwil
t1 < t2 < ... < tn (t1, t2, ... , tn∈T) i dowolnych liczb rzeczywistych x1, x2, ..., x n zachodzi równość:
P[ X (t n ) < t n X (t n −1 ) = x n −1 , X (t n − 2 ) = x n − 2 ,..., X (t1 ) = x1 ] =
(2.46)
= P[ X (t n ) = x n X (t n −1 ) = x n −1 ]
Zależność powyższa oznacza, że warunkowy rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej
X(tn) zależy wyłącznie od rozkładu prawdopodobieństwa jednej ze zmiennych losowych X(tn-1).
Właściwości procesu Markowa w chwili tn nie zależą od wartości, jakie proces przyjmował w
chwilach t1, t2, ..., tn-2. Proces Markowa jest więc w pełni scharakteryzowany przez dystrybuantę
warunkową:
F(s, t, x, y) = P[X(t) < xX(s) = y], s < t
(2.47)
albo też łączną dystrybuantę wektora losowego (X(s), X(t)) wraz z dystrybuantą „początkową”
F(s, y) = P[X(s) < y].
W analizie procesów Markowa zasadniczą rolę odgrywa funkcja zwana
prawdopodobieństwem przejścia, która jest określona dla dowolnych chwil s i t (s < t; s, t ∈T) oraz
dla dowolnej liczby rzeczywistej y i dowolnego zbioru borelowskiego B, w następujący sposób:
P(s, t, B, y) = P[X(t)∈BX(s) = y]
(2.48)
Proces Markowa {X (t ), t ∈ T } jest jednorodny, gdy dla dowolnych s, t ∈ T (s < t)
prawdopodobieństwa przejścia zależą tylko od różnicy t – s = τ, tzn.:
P(s, t, B, y) = P(τ, B, y)
(2.49)
W zastosowaniach praktycznych, w szczególności w zagadnieniach niezawodnościowych,
najistotniejszą rolę odgrywają punktowe procesy Markowa określone na przedziale T = [t0, ∞] z
przestrzenią stanów S = {0, 1, 2, ...}. Realizacje punktowego procesu Markowa są funkcjami
przedziałami stałymi, a ich wykresy są liniami schodkowymi.
Dla punktowego procesu Markowa, prawdopodobieństwa przejścia
pij(s, t) = P[X(t) = jX(s) = i], t ≥ s, i,j = 0, 1, 2, ...
(2.50)
spełniają związki:
pij ( s, t ) =
∞
∑ pik ( s, t1 ) p kj (t1 , t 2 ), ( s < t1 < t )
(2.51)
k =0
zwane równaniami Smoluchowskiego – Chapmana – Kołmogorowa.
Ponadto dla każdego i(i = 0, 1, 2, ...) zachodzi równość:
∞
∑ p ( s, t ) = 1
j =0
(2.52)
ij
Wprowadzając funkcje λij (t ) zwane intensywnościami przejścia procesu
1
pij (t , t + ∆t ), i, j = 0, 1, 2, ..., i ≠ j
∆t
uzyskuje się układ równań różniczkowych o zmiennych współczynnikach:
dPi
∧
= λii (t ) Pi (t ) + ∑ λ ji (t ) Pj (t )
i∈S dt
j∈S
λ ij (t ) = lim
∆t →0
(2.53)
(2.54)
i≠ j
przy czym: λii (t ) = −∑ λij (t ) .
j ∈S
i≠ j
gdzie: Pi(t) – prawdopodobieństwo bezwarunkowe przebywania procesu w chwili t w stanie i,
λij(t) - intensywność przejścia procesu w chwili t ze stanu i do stanu j.
Gdy proces Markowa jest jednorodny, to intensywności przejścia procesu są niezależne od
czasu
λij(t) = λij = const., i ≠ j
7
i uzyskuje się układ równań różniczkowych o stałych współczynnikach:
dPi (t )
∧
= λ ii Pi (t ) + ∑ λ ji Pj (t )
i∈S
dt
j∈S
(2.55)
i≠ j
dla rozwiązania którego jest potrzebna znajomość prawdopodobieństw początkowych Pi(0), i∈S.
Układ powyższy można zapisać w postaci wektorowej, jako:
d
P (t ) = ΛP (t )
(2.56)
dt
przy czym: P(t) = [P1(t), P2(t), ..., Pm(t)]m ×1
 m

...
λ12
λ1m 
 − ∑ λ j1
 j =2

m
 λ
− ∑ λ j 2 ...
λ2 m 
21

Λ=
j =1


j≠2
 .

.
.
.
m −1


λm 2
... − ∑ λ jm 
 λ m1
j =1


gdzie: P(t) - wektor kolumnowy prawdopodobieństw przebywania procesu w poszczególnych
stanach, Λ - macierz intensywności przejść, m = card S – liczność zbioru S (liczba stanów
procesu).
Macierz intensywności przejść jest macierzą kwadratową. Nosi ona nazwę macierzy guasi –
stochastycznej. Dla jej każdej kolumny jest spełniona zależność:
(2.57)
∧ ∑ λ ji = 0
j∈S j =1
Układ równań Kołmogorowa ma rozwiązanie postaci
P (t ) = P (0) exp( Λt )
(2.58)
gdzie P(0) jest wektorem kolumnowym prawdopodobieństw początkowych stanów procesu, a
t2
exp( Λt ) = 0 + Λt + Λ2 + ... .
2
Jeśli obliczenie wartości powyższego rozwinięcia macierzowego jest złożone można
posłużyć się przekształceniem Laplace’a. Wyjściowe równanie macierzowe przyjmuje postać
sP(s) - P(0) = ΛP(s)
(2.59)
lub
P(s) = [s1 - Λ]-1P(0)
(2.60)
gdzie: 1 - macierz jedynkowa o wymiarach m×m.
Poszukiwany wektor prawdopodobieństw oblicza się za pomocą odwrotnego przekształcenia
Laplace’a.
P(t) = L-1[s1 - Λ]-1P(0)
(2.61)
gdzie: L-1- operator przekształcenia odwrotnego.
W wielu zastosowaniach praktycznych mają znaczenie tylko wartości asymptotyczne
prawdopodobieństw, tj. wartości P(t) przy t → ∞. Jeśli przyjąć, że wartości te w ogóle istnieją
(proces jest ergodyczny) to równania różniczkowe przekształcają się w równania algebraiczne.
Zatem dla procesów o skończonej liczbie stanów i niezerowej macierzy intensywności przejść
istnieją graniczne (stacjonarne) prawdopodobieństwa stanów i mogą być one obliczone jako
rozwiązania układu równań liniowych:
0 = ΠΛ
(2.62)
gdzie: Π - wektor kolumnowy granicznych (stacjonarnych) prawdopodobieństw stanów procesu.
Dla wykluczenia nieoznaczności układu należy wziąć pod uwagę m - 1 równań i uzupełnić je
równaniem:
8
m
∑ Pi
i =1
=1
(2.63)
Na podstawie grafu stanów i przejść tworzy się układ równań różniczkowych korzystając z
następującej reguły mnemotechnicznej:
dPi (t )
„pochodna
dla stanu „i” jest równa sumie algebraicznej członów tworzonych przez
dt
iloczyn prawdopodobieństwa tego stanu, z którego gałąź (łuk) wychodzi oraz intensywności
przejścia odpowiadającej danej gałęzi. Liczba członów sumy jest równa liczbie gałęzi
skierowanych łączących stan „i” z innymi węzłami grafu. Jeżeli gałąź (łuk) jest skierowana do
stanu „i” to człon ma znak plus, zaś w przypadku odwrotnym znak minus”.
Zastosowanie reguły najlepiej zilustruje przykład. Niech S = {1, 2, 3, 4} a graf stanów i
przejść przedstawia rys. 2.9.
λ41
λ14
4
λ34
1
λ21
λ24
λ42
λ43
3
2
λ32
Rys. 2.9. Graf stanów i przejść obiektu 4-stanowego
Układ równań Kołmogorowa przyjmie wówczas postać:
dP1 (t )
= −λ14 P1 (t ) + λ 21 P2 (t ) + λ 41 P4 (t )
dt
dP2 (t )
= −(λ 21 + λ 24 ) P2 (t ) + λ32 P3 (t ) + λ 42 P4 (t )
dt
dP3 (t )
= −( λ34 + λ32 ) P3 (t ) + λ43 P4 (t )
dt
dP4 (t )
= λ14 P1 (t ) + λ 24 P2 (t ) + λ34 P3 (t ) − (λ 41 + λ 42 + λ 43 ) P4 (t )
dt
zaś zapis macierzowy jest następujący:
d
P (t ) = ΛP (t )
dt
λ 21
0
λ 41
− λ 14

 P1 (t ) 
 P (t )
 0

− (λ 21 + λ 24 )
λ 32
λ 42
2




P (t ) =
,Λ=
 P3 (t ) 
 0

0
− (λ 34 + λ 32 )
λ 43




λ 24
λ 34
− (λ 41 + λ 42 + λ 43 )
 P4 (t )
 λ 14
Coraz szersze zastosowanie w badaniach niezawodności znajdują procesy półmarkowskie
(semi – Markowa). Stanowią one uogólnienie łańcuchów i jednorodnych procesów Markowa. W
procesach półmarkowskich nie jest wymagane założenie co do postaci rozkładów
prawdopodobieństw czasów przebywania w poszczególnych stanach. Jeżeli założyć, że w danym
momencie czasu proces znajdował się w jednym ze stanów, np. Si, to dalsza ewolucja procesu jest
9
następująca: w losowej chwili Θ0 układ przechodzi skokowo do nowego stanu, np. Sj. Czas Θ0
przebywania w stanie Si do przejścia w stan Sj jest zmienną losową o dowolnym rozkładzie
opisanym przez dystrybuantę Gij(t); przejście ze stanu i do stanu j zachodzi z
prawdopodobieństwem pij > 0 (przy czym ∑ pij = 1 ), jeżeli ze stanu j nastąpi przejście do stanu k
j
to czas przebywania w stanie j, Θ1 jest zmienną losową o dowolnym rozkładzie opisanym
dystrybuantą Gjk(t), itd. Przejście ze stanu i do stanu j w procesie semi – Markowa następuje zatem
jakby w dwóch etapach: w pierwszym zostaje określony losowy moment przejścia a w drugim
skokowe przejście z jednego stanu w drugi (jak w łańcuchu Markowa).
Prawdopodobieństwo przejścia ze stanu Si do stanu Sj (i ≠ j) w przedziale ∆t jest dla procesu
semi – Markowa określone zależnością:
pij (t , t + ∆t ) = Fij (t + ∆t ) Π ij
(2.64)
gdzie: Fij = P{Θij < t}- dystrybuanta czasu przebywania procesu w stanie Si pod warunkiem, że
następnym stanem będzie Sj, Πij - warunkowe prawdopodobieństwo przejścia skokowego do
stanu Sj przy wyjściu procesu ze stanu Si.
Stosując zapis macierzowy można określić proces półmarkowski za pomocą:
• macierzy stochastycznej prawdopodobieństw przejść:
Π = [ Π ij ] ∧
(2.65)
i , j∉S
• macierzy dystrybuant warunkowych F(t)
F (t ) = [ Fij (t )] ∧
(2.66)
i , j∉S
• wektora prawdopodobieństw początkowych P(0).
Macierz Π jest nazywana macierzą wewnętrznego łańcucha Markowa.
Jeśli wszystkie dystrybuanty warunkowe mają postać Fij(x) = 0 dla x < 1 oraz Fij(x) = 1 dla
x > 1 to proces staje się łańcuchem Markowa.
Jeżeli zaś wszystkie dystrybuanty warunkowe mają postać wykładniczą Fij(t) = 1 - exp(-λit) to
proces staje się jednorodnym łańcuchem Markowa.
Pojęciem, na które dość często napotyka się w teorii niezawodności jest pojęcie strumienia
zdarzeń. Strumień zdarzeń jest szczególnym punktowym procesem losowym {N(t)}, t∈T}, którego
przestrzeń stanów stanowi zbiór liczb naturalnych i liczba zero. Jest on określony przez chwile ti,
w których obserwuje się zdarzenia, i liczby ni wspólnie pojawiających się zdarzeń.
Zdarzenia tworzące strumień zdarzeń mogą być, w ogólnym przypadku, różne. Najczęściej
jednak rozpatruje się strumienie jednorodnych zdarzeń. W teorii niezawodności rozpatruje się
zatem strumienie niesprawności i strumienie odnów.
Struktury niezawodnościowe systemów
Jeżeli niezawodność elementów wyznacza jednoznacznie niezawodność systemu, można
mówić, że określona jest struktura niezawodnościowa systemu. Struktura niezawodnościowa
systemu przedstawia zatem sposób wzajemnych powiązań elementów określających zależność
uszkodzeń systemu od uszkodzeń jego elementów.
Strukturę niezawodnościową danego systemu (obiektu złożonego) opisuje się tzw. funkcją
strukturalną systemu. W odniesieniu do systemów dwustanowych w sensie niezawodności,
składających się z n elementów, funkcję strukturalną określa się jako funkcję Φ[ X (t )] wektora
zerojedynkowego X(t) stanu systemu przy założeniu, że stan systemu jest w pełni określony przez
stany jego elementów xi(t), tj.:
Φ[ X (t )] = Φ[x1 (t ), x 2 (t ), K , x n (t )]
(2.73)
gdzie:
[xi (t )], i = 1, 2, ..., n - funkcja binarna określająca stan i-tego elementu; przyjmuje wartość l,
gdy element jest zdatny, oraz 0, gdy element jest niezdatny.
Z kolei funkcja Φ[ X (t )] przyjmuje wartość l, gdy system jest zdatny i 0, gdy system jest niezdatny.
10
Struktury niezawodnościowe spotykane w praktyce można podzielić na:
a) podstawowe, tj. szeregowe, równoległe i progowe;
szeregowe
Mówimy, że system ma szeregową strukturę niezawodnościową, jeżeli niesprawność
dowolnego elementu powoduje niesprawność całego systemu. Z definicji struktury szeregowej
wynika, że obiekt jest sprawny wtedy i tylko wtedy, kiedy wszystkie jego elementy są sprawne.
1
n
2
Rys. 2.10. Szeregowa struktura niezawodnościowa
Jeżeli uszkodzenia poszczególnych elementów systemu są zdarzeniami niezależnymi, to
prawdopodobieństwo, że wszystkie elementy będą nieuszkodzone (czyli, że system jest zdatny) –
funkcja niezawodności systemu, jest równe iloczynowi współczynników (prawdopodobieństw)
zdatności wszystkich elementów:
Rs (t ) = P(T ≥ t ) = P(T1 ≥ t , T2 ≥ t , ..., Tn ≥ t ) =
n
n
(2.74)
= P(T1 ≥ t )P(T2 ≥ t )...P(Tn ≥ t ) = ∏ Ri (t ) = ∏ [1 − Fi (t )]
i =1
i =1
gdzie: Ri(t) – funkcja niezawodności i-tego elementu systemu, Fi(t) – dystrybuanta czasu
poprawnej pracy (Ti) i-tego elementu.
Z kolei, dystrybuanta czasu poprawnej pracy (funkcja zawodności) systemu o szeregowej
strukturze niezawodnościowej) - współczynnik zawodności – jest określona wzorem:
n
n
i =1
i =1
Q s (t ) = Fs (t ) = P(T < t ) = 1 − Rs (t ) = 1 − ∏ Ri (t ) = 1 − ∏ [1 − Fi (t )]
(2.75)
Z zależności (2.74) oraz (2.6) wynika, że:
 t

 n t

(2.76)
exp − ∫ Λs (τ )dτ  = exp − ∑ ∫ λi (τ )dτ 
 0

 i =1 0

gdzie: Λs(t) – funkcja intensywności uszkodzeń systemu, λi(t) – funkcja intensywności uszkodzeń
i-tego elementu systemu.
I dalej, że:
n
Λs (t ) = λ1 (t ) + λ2 (t ) + ... + λn (t ) = ∑ λi (t )
(2.77)
i =1
co oznacza, że intensywność uszkodzeń o strukturze szeregowej jest równa sumie intensywności
uszkodzeń wszystkich elementów systemu.
równoległe i progowe
W przypadku struktury równoległej w sensie niezawodności cały obiekt jest zdatny, gdy
przynajmniej jeden jego element jest zdatny. Natomiast w wypadku struktury progowej obiekt jest
zdatny, jeżeli przynajmniej kilka jego elementów jest zdatnych.
System ma równoległą strukturę niezawodnościową, jeżeli zdatność dowolnego elementu
tego systemu powoduje zdatność całego systemu. Z równoległą strukturą połączenia elementów w
systemie mamy do czynienia wtedy, gdy wszystkie elementy wykonują to samo zadanie. Z definicji
struktury równoległej wynika, że system jest sprawny wtedy i tylko wtedy, kiedy co najmniej jeden
z jego elementów jest sprawny.
W systemie o równoległej strukturze niezawodnościowej dla prawidłowej pracy tego systemu
wymagane jest prawidłowe działanie tylko jednego elementu. Zatem zależności na Rs i Qs będą
następujące (dla elementów niezależnych):
11
n
n

R
(
t
)
=
1
−
F
(
t
)
=
1
−
Qi ( t ) = 1 − Q s ( t )
∏
∏
i
 s

i =1
i =1

n
n
Q (t ) = F (t ) =
F
(
t
)
=
Qi ( t )
∏
∏
s
i
 s
i =1
i =1
a)
b)
1
(2.78)
1
2
2
k-1
n
k
k+1
n
Rys. 2.11. Równoległa struktura niezawodnościowa (a) i progowa struktura niezawodnościowa (b)
System ma progową strukturę niezawodnościową oznaczoną jako „k z n”, jeżeli w celu
zapewnienia jego zdatności musi być zdatnych co najmniej k spośród n jego elementów.
W przypadku, gdy w n–elementowym systemie o strukturze progowej występują elementy o
różnych charakterystykach niezawodnościowych trudno jest przedstawić jednoznaczne i proste
formuły na Rs i Qs systemu.
Ogólna zależność na prawdopodobieństwo poprawnej pracy systemu o strukturze progowej,
przy założeniu że czasy poprawnej pracy jego elementów są niezależnymi zmiennymi losowymi,
jest następująca:
m
m
j =1
j =1
Rs (t ) = P(T ≥ t ) = ∑ R j (t ) =∑ P j (T ≥ t )
(2.79)
gdzie: Rj(t) – prawdopodobieństwo poprawnej pracy odniesione do j-tej kombinacji zdatnych
elementów dającej zdatność systemu, m – liczba kombinacji zdatnych elementów dających
zdatność systemu (liczba stanów zdatności systemu).
Prawdopodobieństwo poprawnej pracy dowolnej j-tej kombinacji zdatnych elementów dającej
zdatność systemu można wyznaczyć jako:
R j (t ) = ∏ [Ri (t )] i [1 − Ri (t )]
n
e
(1− ei )
(2.80)
i =1
gdzie: ei – wskaźnik przyjmujący wartość 1, gdy element występujący w j-tej kombinacji
elementów jest zdatny lub 0, gdy jest niezdatny.
W przypadku gdy wszystkie elementy systemu o strukturze progowej mają identyczne
charakterystyki niezawodnościowe, Ri(t) = R(t), to wykorzystując wzór dwumianowy Bernoulliego
uzyskuje się następujące zależności:
12
n

n
i
n −i
=
R
(
t
)
  [R(t )] [1 − R(t )]
∑
 s
i
i =k  

(2.81)

n
Q = 1 − R = 1 −  n  [R(t )]i [1 − R (t )]n −i
∑
s
 
 s
i =k  i 

gdzie: k – minimalna wymagana liczba zdatnych elementów systemu,
 n
n!
  =
- liczba kombinacji po i elementów.
 i  i!(n − i )!
b) Struktury mieszane otrzymane przez szeregowe, równoległe lub progowe połączenie
podsystemów o strukturach podstawowych.
Najczęściej spotykanymi strukturami mieszanymi są: struktura równoległo-szeregowa (rys.
2.12) i struktura szeregowo-równoległa (rys. 2.13).
Dystrybuanta czasu poprawnej pracy systemu o równoległo-szeregowej strukturze
niezawodnościowej ma postać:
nu
k


Q s (t ) = Fs (t ) = ∏ 1 − ∏ Ru ,i (t )
(2.82)
u =1 
i =1

gdzie: Ru,i(t) – funkcja niezawodności i-tego elementu w u-tym podsystemie szeregowym,
k – liczba podsystemów szeregowych, nu – liczba elementów w u-tym podsystemie
szeregowym.
1
2
n1
1
2
n2
1
2
nk
Rys. 2.12. Równoległo–szeregowa struktura niezawodnościowa
1
1
1
2
2
2
n1
n2
nk
Rys. 2.13. Szeregowo–równoległa struktura niezawodnościowa
Dla systemu o szeregowo-równoległej strukturze niezawodnościowej zachodzi zależność:
nr
k


Rs (t ) = ∏ 1 − ∏ Fr ,i (t )
(2.83)
r =1 
i =1

gdzie: Fr,i(t) – dystrybuanta czasu poprawnej pracy i-tego elementu w r-tym podsystemie
równoległym, k – liczba podsystemów równoległych, nr – liczba elementów w r-tym
podsystemie równoległym.
c) Struktury złożone, których nie można utworzyć przez szeregowe, równoległe lub
progowe połączenie schematów struktur podstawowych, np. struktura mostkowa.
Różne struktury niezawodnościowe systemu, o tej samej liczbie identycznych, niezależnych
elementów, skutkują różnym poziomem niezawodności systemu.
Wykorzystanie liczb rozmytych w modelach niezawodności elementów i systemów
W przypadku zbioru zwykłego A element x albo do niego należy (funkcja charakterystyczna
µA(x) równa 1), albo nie należy (µA(x) = 0). W systemach rozmytych element może należeć do
13
~
zbioru częściowo. Stopień przynależności do zbioru rozmytego A , będący uogólnieniem funkcji
charakterystycznej, jest nazywany funkcją przynależności, przy czym µ A~ ( x) ∈ [0, 1]. Wartości
funkcji przynależności są liczbami rzeczywistymi z przedziału [0, 1] i noszą nazwę stopnia
przynależności. Zwykły zbiór A zawierający wszystkie elementy przestrzeni U, które mają stopień
~
przynależności do A większy lub równy α jest α-przekrojem (zbiór na poziomie α) rozmytego
~
zbioru A :
Aα = {x ∈ U µ A~ ( x ) ≥ α, α ∈ [0, 1]}
(2.84)
Na zbiorach rozmytych można zdefiniować szereg operacji matematycznych, będących
uogólnieniem operacji obowiązujących dla zbiorów nierozmytych. Zbiory rozmyte zdefiniowane w
zbiorze ℜ, czyli na osi liczb rzeczywistych, nazywa się liczbami rozmytymi.
Niech (*) będzie operacją matematyczną na liczbach rozmytych: dodawanie (+),
odejmowanie (-), mnożenie (•), dzielenie (/). Wykorzystując zasadę rozszerzania,
~
~
A (*) B można otrzymać następująco:
µ A~ (∗) B~ ( z ) = sup min{µ A~ ( x), µ B~ ( y )}
(2.85)
z = x∗ y
Wykorzystując definicję α-przekroju i stosując zapis Aα ≡ [ a 1α , a α2 ] do reprezentacji
~
zamkniętego przedziału A na poziomie α, zależność (2.85) staje się:
( A(∗) B )α = Aα (∗) Bα , ∀α ∈ [0, 1]
(2.86)
~
~
Prawa strona równania (2.86) oznacza operację arytmetyczną na α-przekrojach A i B
wykorzystującą arytmetykę przedziałów:
Aα (+ ) Bα = [a 1α + b1α , a α2 + b α2 ], Aα (−) Bα = [a 1α − b1α , a α2 − b α2 ],
Aα (⋅) Bα = [min(a iα ⋅ b αj ), max(a iα ⋅ b αj )],
(2.87)
Aα ( / ) Bα = [min(a αi / b αj ), max(a iα / b αj )]; 0 ∉ Bα
gdzie i, j = 1, 2.
Łącznikiem między informacją dokładną (zbiór nierozmyty) a rozmytą (zbiór rozmyty) są
procedury fuzyfikacji (fuzyfikator, układ rozmywania), pozwalajace na przekształcenie
nierozmytego zbioru danych wejściowych w zbiór rozmyty, zdefiniowany za pomocą wartości
funkcji przynależności; oraz procedury defuzyfikacji (defuzyfikator, układ wyostrzania), o
działaniu odwrotnym.
Mianem - rozmyta niezawodność (fuzzy reliability - FR) określono analizy
niezawodnościowe w przypadku, gdy przynajmniej jedna wielkość ze zbioru danych jest opisana
modelem rozmytym. Jeśli jest to tylko rozmyty opis zapotrzebowania (obciążenia) (ani
deterministyczny ani probabilistyczny), to mamy do czynienia z rozmytą niezawodnością rodzaju I
(FR I). Przy FR rodzaju II mamy do czynienia z rozmytymi wartościami wskaźników
niezawodnościowych elementów, zamiast dokładnych. Możemy również mówić o FR rodzaju III,
w przypadku modeli które zajmują się niezawodnością rozmytą w środowisku decyzyjnym, tj. gdy
rozmyte wielkości (w tym niezawodnościowe) muszą być porównywane ażeby wyciągnąć jakieś
wnioski lub podjąć decyzje.
Jeśli dana jest niepewna krzywa obciążenia Z = f(τ), to rozmyta krzywa obciążenia na
poziomie α może być zdefiniowana jako:
Z α = (1 − ∆−α ) ⋅ f (τ); (1 − ∆+α ) ⋅ f (τ)
(2.88)
[
]
z ∆+α i ∆-α będącymi niezupełnie monotonicznie malejącymi funkcjami α; możemy również
otrzymać rozmyty opis czasu względnego τ poprzez f-1 (rys. 2.15). Taka reprezentacja liczb
rozmytych (FN) zwana jest „przedziałem ufności” (opartym na α ∈ [0, 1]).
14
Przykład 2.4: Dane niezawodnościowe
dla elementów to najczęściej częstość
1
MW
(intensywność) zakłóceń λ i średni czas
1
α
Z
naprawy
r. Zamiast wartości λ równej
α
„ostrej” liczbie np. 0,1 zakłóceń na rok,
mamy opis rozmyty, taki jak: najlepsze
oszacowanie 0,1 z przedziałem ufności
[0,08; 0,12] zakłóceń na rok. Stąd λα =
[0,1 – (0,02(1 - α)), 0,1 + (0,02(1 - α))]
będzie reprezentowało trójkątną rozmytą
częstość zakłóceń, z λα = λα− , λα+
będącym przedziałem ufności na
poziomie α ∈ [0, 1].
Rozważmy dla przykładu rozmytą
1
0
Dystrybuanta obciążenia uporządkowanego τ
funkcję niezawodności R(t) elementu o
wykładniczym rozkładzie czasu pracy
Rys. 2.15. Rozmyty opis uporządkowanej krzywej obciążenia
bezawaryjnej.
Dla
każdego
t
ograniczenia dla λ określają:
+
-λ
t
-λ − t
Rα (t ) =  Rα+ = e α ; Rα− = e α 


Dla każdego α mamy więc przedział ufności ograniczony przez niższe wartości funkcji
bezawaryjnej pracy Rα+ i wyższe wartości funkcji Rα− . Definiuje to rozmytą funkcję niezawodności
Rα(t), tak jak to pokazano na rys. 2.16.
[
1
0
α
]
1
Funkcja niezawodności
0,9
0,8
0,7
R α−
0,6
0,5
R α+
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Czas, lata
Rys. 2.16. Rozmyta funkcja niezawodności elementu i ilustracja jej funkcji przynależności dla ustalonego t
Ogólne zasady budowy modelu niezawodnościowego
Rodzaj struktury niezawodnościowej systemu (obiektu złożonego) zależy od:
a) struktury funkcjonalnej obiektu, tzn. od sposobu konstrukcyjnego połączenia elementów
i od wzajemnego oddziaływania tych elementów na siebie;
b) zadania, jakie ma dany obiekt wykonać.
W związku z powyższym podstawą tworzenia struktur niezawodnościowych są odpowiednie
schematy technologiczne obiektów złożonych. Ze względu na specyfikę problemu oraz różnice w
rozwiązaniach projektowych różnych obiektów należy określać strukturę niezawodnościową
indywidualnie dla każdego analizowanego obiektu.
Strukturę niezawodnościową analizowanego obiektu można przedstawić między innymi w
postaci stabelaryzowanej lub analitycznej, np. przez funkcję strukturalną systemu. Jednak
najprostszym i najbardziej obrazowym sposobem przedstawienia struktury niezawodnościowej
15
obiektu jest sposób graficzny. W tym wypadku struktura niezawodnościowa jest pokazana jako graf
lub też jako schemat blokowy niezawodności lub po prostu schemat niezawodnościowy obiektu.
Ze względu na specyfikę problemu oraz różnice w rozwiązaniach projektowych różnych
systemów (np. zasilania obiektów) należy określać strukturę niezawodnościową indywidualnie dla
każdego analizowanego systemu. Tworzenie schematu niezawodnościowego powinno zawierać:
analizę schematu topologicznego funkcjonowania systemu;
wyróżnienie w systemie elementów, których niezawodność ma wpływ na niezawodność
systemu;
odwzorowanie wyróżnionych elementów w postaci bloków;
graficzne odwzorowanie zależności między stanami niezawodnościowymi elementów, a
stanem niezawodnościowym systemu.
W celu ułatwienia graficznego odwzorowania struktury niezawodnościowej systemu można
wykorzystać następujące wskazówki:
1) elementy niepowtarzalne przedstawia się w postaci oddzielnych i różnych bloków,
2) elementy powtarzalne przedstawia się w postaci jednego typu bloku;
3) jeżeli niesprawność danego elementu powoduje niezdatność całego systemu, to element
ten wchodzi w skład podsystemu o szeregowej strukturze niezawodnościowej;
4) jeżeli niesprawność systemu jest spowodowana jednoczesną niezdatnością kilku
elementów, to elementy te wchodzą w skład podsystemu o równoległej strukturze
niezawodnościowej.
Wyróżnienia elementów w badanym systemie dokonuje się w procesie dekompozycji.
Dekompozycja systemu polega na stopniowym podziale obiektu na mniejsze części (podsystemy),
które z kolei dzieli się na podsystemy prostsze. Na danym stopniu podziału wyróżnione podsystemy
traktuje się jako niepodzielne elementy. Podział jest wykonywany ze względu na funkcje (wg
kryteriów technologicznych), jakie pełni dany podsystem podczas realizacji zadania obiektu.
Dekompozycji dokonuje się do takiego stopnia szczegółowości, jaki narzuca cel i zakres oceny
niezawodności analizowanego systemu. Oznacza to, iż z punktu widzenia potrzeb oceny
niezawodności dalszy podział na elementy nie jest celowy.
W niektórych wypadkach struktura funkcjonalna obiektu złożonego odpowiada wprost jego
strukturze niezawodnościowej. W większości wypadków jednak tak nie jest. Związane jest to z
wpływem postawionego zadania, które ma wykonać obiekt, na jego strukturę niezawodnościową.
Model procesu eksploatacji systemu jako podstawa modelu niezawodnościowego
Obiekty elektroenergetyczne typu „układy (systemy)” są rozpatrywane jako systemy,
w których wyodrębnia się zbiory urządzeń oraz relacji topologicznych i eksploatacyjnych między
nimi.
Relacje eksploatacyjne są określone jako oddziaływania stanów eksploatacyjnych jednego
urządzenia na stany innych urządzeń.
Relacje topologiczne między urządzeniami rzeczywistymi są określone jako bezpośrednie
połączenia geometryczne (elektryczne) elementów.
Układ (system) będziemy więc dalej rozumieć jako zbiór elementów obliczeniowych (dalej
elementów) oraz relacji eksploatacyjnych między nimi. Proces eksploatacji systemu zaś będzie
opisany przez zbiór stanów jego eksploatacji oraz relacji eksploatacyjnych między nimi. Zależy on
od procesów eksploatacyjnych elementów składowych oraz relacji eksploatacyjnych między
elementami.
Należy tu rozróżnić relacje eksploatacyjne między stanami określone jako bezpośrednie
przejście między dwoma stanami eksploatacyjnymi oraz relacje eksploatacyjne między elementami,
określone jako oddziaływanie stanów jednego elementu na stany innych.
Zbiory relacji eksploatacyjnych między elementami w systemie mogą być określone przez
uogólnione pojęcia konfiguracji lub struktury.
Konfigurację relacji w systemie stanowi konkretny zbiór relacji eksploatacyjnych nie
zmieniających się w rozpatrywanym okresie czasu.
16
Strukturę relacji w systemie stanowi uogólniony (zagregowany) uporządkowany zbiór
relacji. Struktura relacji zawiera zbiory wszystkich możliwych konfiguracji. Wielorakość
konfiguracji jest cechą obiektów złożonych (systemów).
Współzależność stanów eksploatacji elementów wynika ze współzależności ich
odpowiedników fizycznych, relacji topologicznych między elementami, wyposażenia układu w
urządzenia komutacyjne, SPZ, SZR oraz przyjętej strategii remontowej.
Stany eksploatacyjne systemu otrzymuje się przez agregację możliwych stanów elementów.
Określa to operator przekształcający przestrzeń stanów elementów w stany podstawowe systemu:
HS : SEM → SU
(2.92)
gdzie: SEM – zbiór możliwych stanów elementów, SU – zbiór stanów systemu (układu),
HS – operator przekształcający, określony przez poziom oddziaływania elementu na
wielkości charakteryzujące system (moc generowana przez elektrownię, moc przesyłana za
pośrednictwem układu sieciowego itp.).
SEM = S 1 × S 2 × K × S i × K × S n
(2.93)
gdzie: Si – zbiór stanów i – tego elementu, n – liczba elementów w systemie.
Model procesu eksploatacji systemu, traktowanego jako zbiór elementów, jest określony
przez zbiór procesów eksploatacyjnych {Pfi(t)} elementów ze zbioru U oraz zbiór relacji
eksploatacyjnych EU między elementami:
U = {U i , i = 1, n}
(2.94)
EU : SEM → SEM
(2.95)
Proces eksploatacji systemu można zilustrować za pomocą poniższego ciągu kołowego:
〈Ut0, SEMt0〉
〈Rt(3k+1) 〉
EU
〈Ut(3k+3), SEMt(3k+3)〉
〈Ut(3k+1), SEMt(3k+1) 〉
RU
〈Ut(3k+2), SEMt(3k+2) 〉
EU
k = 0, 1, 2, 3 …
W chwili t0 należy znać zbiór elementów Ut0 oraz zbiory ich stanów eksploatacyjnych SEMt0.
Dla elementów z Ut0 określa się za pomocą EU konfigurację relacji eksploatacyjnych między
elementami. W wyniku otrzymuje się zbiory Ut(3k+1) oraz SEMt(3k+1). Najczęściej różnią się one od
zbiorów określonych w momencie t0 (np. stany awarii elementów do remontów awaryjnych).
RU określa odwzorowanie remontowe (stanowiące podzbiór EU), które przy strategii
remontów profilaktycznych Rt(3k+1) powoduje przejście do podzbiorów Ut(3k+2) oraz SEMt(3k+2).
Odwzorowanie EU przekształca te zbiory w zbiory Ut(3k+3) oraz SEMt(3k+3). Dalej proces powtarza
się przy zmiennym k.
Każdy element ze zbioru U, w danej chwili, może znajdować się w jednym ze stanów
należących do zbioru Si. Część ze stanów eksploatacyjnych elementu może oddziaływać na stany
pozostałych elementów.
Oznaczając przez relację eksploatacyjną j-tego stanu i-tego elementu oddziaływującego na
stany k-tego elementu, otrzymuje się:
eu ik ( j ) : S j → S k
(2.96)
Zatem odwzorowanie EU jest zbiorem funkcji eksploatacyjnych:
k
(2.97)
∧ EU = eu i ( j )
i , k∈1, n
k ≠i
j∈SEM
{
}
Strategia remontów profilaktycznych Rt(3k+1) jest określona przez rodzaj remontów planowych
oraz momenty rozpoczęcia i zakończenia każdego remontu planowego dla elementów. Rodzaj
remontów wynika z ustaleń praktyki eksploatacyjnej. Ogólnie mogą to być remonty kapitalne i
bieżące. Momenty rozpoczęcia i zakończenia remontów zaś mogą być losowe albo zdeterminowane
(losowa bądź deterministyczna strategia remontowa).
17

OBIEKT prosty (element) prosty (element) złożony (system)

Transkrypt

Podobne dokumenty

wykład II: Niezawodność elementów i systemów

Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa

b - Politechnika Warszawska

OBIEKT prosty (element) prosty (element) złoŜony (system)

niezawodność

Service-Info

Jak zrobic paskek do spodni

Informacje na temat zmienionej konstrukcji urządzenia - Moto