Topologia i geometria różniczkowa
Transkrypt
Topologia i geometria różniczkowa
Topologia i geometria różniczkowa Andrzej Nowicki Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, ul. Chopina 12–18, 87–100 Toruń (e-mail: [email protected]) Marzec 1995 Spis treści 1 Wstępne informacje topologiczne 1.1 Topologia ilorazowa . . . . . . . 1.2 Przestrzenie lokalnie zwarte . . . 1.3 Przestrzenie parazwarte . . . . . 1.4 Rozkład jedności . . . . . . . . . 1.5 Rozmaitości topologiczne . . . . 1.6 Rzeczywista przestrzeń rzutowa . 1.7 Wstęga Möbiusa . . . . . . . . . 1.8 Powierzchnie . . . . . . . . . . . 1.9 Nakrycia . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Uwagi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 1 1 2 2 3 4 5 6 2 Grupa podstawowa 2.1 Drogi . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Drogi homotopijnie równoważne . 2.3 Definicja grupy podstawowej . . 2.4 Homotopia odwzorowań . . . . . 2.5 Przykłady . . . . . . . . . . . . . 2.6 Wyższe grupy homotopii . . . . . 2.7 Hipoteza Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 9 11 12 13 13 14 3 Działanie grupy na przestrzeń topologiczną 3.1 Działanie grupy na zbiór . . . . . . . . . . . . 3.2 Przestrzeń orbit . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Produkty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Zwartość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Działania wspólnie rozłączne . . . . . . . . . 3.6 Działania wolne . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Grupa podstawowa przestrzeni orbit . . . . . 3.8 Uwagi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15 15 16 17 17 17 18 19 4 Snopy i algebry funkcji ciągłych 4.1 Presnopy . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Snopy . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Algebra funkcji ciągłych . . . . . . Ideały maksymalne . . . . . Derywacje . . . . . . . . . . 4.4 Lokalny pierścień ciągłych kiełków . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 20 20 21 22 23 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i . . . . . . . . . . . . ii Andrzej Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa 5 Wiązki wektorowe nad przestrzenią topologiczną 5.1 Topologia rzeczywistej przestrzeni wektorowej . . . 5.2 Rodziny wektorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Przekroje rodziny wektorowej . . . . . . . . . . . . 5.4 Wiązki wektorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Funkcje przejścia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Uwagi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 26 27 28 29 29 30 6 Podstawowe pojęcia geometrii różniczkowej 6.1 Różniczka funkcji rzeczywistej . . . . . . . . . 6.2 Rozmaitości różniczkowe . . . . . . . . . . . . 6.3 Odwzorowania rozmaitości . . . . . . . . . . . 6.4 Algebra funkcji gładkich . . . . . . . . . . . . 6.5 Lokalny pierścień gładkich kiełków . . . . . . 6.6 Uwagi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 31 33 34 34 37 39 7 Derywacje lokalne 7.1 Izomorfizm przestrzeni derywacji lokalnych 7.2 Przestrzenie liniowe postaci M/M2 . . . . . 7.3 Bazy przestrzeni derywacji lokalnych . . . . 7.4 Krzywe i przestrzeń styczna . . . . . . . . . 7.5 Przestrzeń styczna i derywacje lokalne . . . 7.6 Morfizmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 40 41 43 44 47 49 8 Wiązka styczna 8.1 Wiązka styczna i funkcje przejścia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Wiązka styczna i krzywe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Wiązka styczna i derywacje lokalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 51 51 53 9 Pola wektorowe i derywacje 9.1 Gładkie wiązki wektorowe . . . . . . . . . . 9.2 Przekroje gładkich wiązek wektorowych . . 9.3 Pola wektorowe . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Derywacje pieścienia funkcji gładkich . . . . 9.5 Pierwszy dowód twierdzenia o izomorfizmie 9.6 Drugi dowód twierdzenia o izomorfizmie . . 9.7 Nawias Liego pól wektorowych . . . . . . . 9.8 Uwagi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 55 55 56 56 57 59 59 60 10 Działanie*funktora na wiązkę 10.1 Definicja przy pomocy funkcji 10.2 Definicja poglądowa . . . . . 10.3 Wiązka kostyczna . . . . . . . 10.4 Potęga zewnętrzna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 61 61 62 62 11 Formy różniczkowe 11.1 Moduł form różniczkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Forma df . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Kompleks de Rhama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 63 63 64 12 Rozmaitość Rn 12.1 Krzywe i przestrzeń styczna 12.2 Derywacje lokalne . . . . . 12.3 Derywacje . . . . . . . . . . 12.4 Wiązka styczna . . . . . . . 65 65 66 66 67 . . . . przejścia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Andrzej Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa 12.5 Pola wektorowe . . . . . . . . . 12.6 Nawias Liego pól wektorowych 12.7 Forma df . . . . . . . . . . . . 12.8 Formy różniczkowe 1-go rzędu . 12.9 Formy wyższych rzędów . . . . 12.10Kompleks de Rhama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 68 68 69 70 71 13 Całkowanie pól wektorowych 13.1 Krzywa całkowa pola wektorowego . . . . . . 13.2 Krzywa całkowa dla pola wektorowego w R1 . 13.3 Krzywa całkowa dla pola wektorowego w Rn 13.4 Twierdzenia o istnieniu krzywych całkowych . 13.5 Formalne systemy równań różniczkowych . . 13.6 Jednoparametrowe grupy dyfeomorfizmów . . 13.7 Informacja o twierdzeniu Frobeniusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 73 73 74 74 75 76 77 14 Grupy Liego i ich algebry Liego 14.1 Grupy Liego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2 Niezmiennicze pola wektorowe . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3 Moduł pól wektorowych grupy Liego . . . . . . . . . . . . 14.4 Algebra Liego grupy Liego . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.5 Algebra Liego addytywnej grupy przestrzeni Rn . . . . . . 14.6 Algebra Liego grupy GLn (R) . . . . . . . . . . . . . . . . 14.7 Algebry Liego pewnych podgrup grupy GLn . . . . . . . . Grupa specjalna SLn . . . . . . . . . . . . . . . . . Grupa ortogonalna On . . . . . . . . . . . . . . . . Specjalna grupa ortogonalna SOn . . . . . . . . . . Grupa unitarna Un . . . . . . . . . . . . . . . . . . Specjalna grupa unitarna SUn . . . . . . . . . . . Grupy symplektyczne Spn . . . . . . . . . . . . . . Grupy zwarte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wymiary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.8 Informacje o lokalnych grupach Liego . . . . . . . . . . . . 14.9 Jednoparametrowe podgrupy i odwzorowanie wykładnicze 14.10Związek między grupami Liego i algebrami Liego . . . . . Twierdzenia Liego . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.11Grupy formalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.12Uwagi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 78 79 81 81 82 83 85 85 86 86 86 86 87 87 87 87 88 90 91 91 92 15 Algebry Liego 15.1 Podstawowe definicje . . . . . . . . . . . 15.2 Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3 Małe wymiary . . . . . . . . . . . . . . 15.4 Derywacje . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5 Reprezentacje . . . . . . . . . . . . . . . 15.6 Rozwiązalne i nilpotentne algebry Liego 16 Systemy pierwiastków i diagramy 16.1 Systemy pierwiastków . . . . . . 16.2 Grupa Weyla . . . . . . . . . . . 16.3 Pierwiastki proste . . . . . . . . 16.4 Macierz Cartana i V-graf . . . . 16.5 Diagramy Dynkina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 93 94 95 96 96 98 Dynkina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 100 101 102 102 104 . . . . . . iv Andrzej Nowicki - Marzec 1995. 17 Półproste algebry Liego 17.1 Proste i półproste algebry Liego . . . . . . . . . . . . 17.2 Specjalna algebra Liego sl2 (k) . . . . . . . . . . . . . 17.3 Rozkład Cartana-Levi-Malceva . . . . . . . . . . . . 17.4 Podalgebry Cartana i torusy . . . . . . . . . . . . . . 17.5 Podprzestrzenie stowarzyszone z podalgebrą Cartana 17.6 Zredukowany system pierwiastków półprostej algebry 17.7 Klasyfikacja prostych i półprostych algebr Liego . . . Topologia i geometria różniczkowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Liego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 105 106 108 108 109 109 111 Spis cytowanej literatury 113 Indeks 114 1. Wstępne informacje topologiczne 1 1 Wstępne informacje topologiczne 1.1 Topologia ilorazowa Niech X będzie przestrzenią topologiczną, Y zbiorem i f : X −→ Y funkcją. Wprowadzamy na zbiorze Y topologię przy pomocy rodziny Uf = {U ⊆ Y ; f −1 (U ) otwarte w X}. Rodzina Uf spełnia wszystkie aksjomaty rodziny zbiorów otwartych. Jest to tzw. topologia ilorazowa na Y (zadana przy pomocy odwzorowania f ). Wtedy f jest odwzorowaniem ciągłym. 1.2 Przestrzenie lokalnie zwarte Definicja 1.2.1. Toplogiczną przestrzeń X nazywamy lokalnie zwartą jeśli, dla każdego punktu x ∈ X, istnieje zbiór otwarty U 3 x taki, że zbiór U jest zwarty. Każda przestrzeń lokalnie zwarta jest przestrzenią Hausdorffa, a nawet przestrzenią T3 12 (Tichonowa). Podzbiory otwarte lub domknięte przestrzeni lokalnie zwartej są przestrzeniami lokalnie zwartymi. 1.3 Przestrzenie parazwarte Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Definicja 1.3.1. Rodzinę {As }s∈S podzbiorów przestrzeni X nazywamy lokalnie skończoną jeśli każdy punkt x ∈ X ma otoczenie (otwarte) U , które przecina się tylko ze skończoną liczbą elementów tej rodziny, tzn., gdy zbiór {s ∈ S; As ∩ U 6= ∅} jest skończony. S S Jeżeli {As }s∈S jest rodziną lokalnie skończoną, to s∈S As = s∈S As . Definicja 1.3.2. Niech A = {As }s∈S , B = {Bt }t∈T będą pokryciami przestrzeni X. Mówimy, że pokrycie A jest wpisane w pokrycie B jeśli istnieje funkcja λ : S −→ T taka, że As ⊆ Bλ(s) dla wszystkich s ∈ S. Definicja 1.3.3. Mówimy, że X jest przestrzenią parazwartą jeśli jest przestrzenią Hausdorffa oraz w każde otwarte pokrycie tej przestrzeni można wpisać otwarte pokrycie lokalnie skończone. Dowody poniższych faktów można znaleźć np. w [7]. Stwierdzenie 1.3.4. (1) Przestrzeń zwarta jest parazwarta. (2) Przestrzeń metryczna jest parazwarta. (3) Przestrzeń lokalnie zwarta i ośrodkowa jest parazwarta. (4) Przestrzeń parazwarta jest normalna (tzn. T4 ). (5) Jeśli X jest przestrzenią parazwartą, a Y zwartą, to X × Y jest parazwarte. 1.4 Rozkład jedności Niech X będzie przestrzenią topologiczną i f : X −→ R funkcją ciągłą. Definicja 1.4.1. Nośnikiem funkcji f nazywamy zbiór Supp(f ) = f −1 (R r 0). Załóżmy, że U = {Ui }i∈I jest otwartym pokryciem przestrzeni X. Definicja 1.4.2. Rozkładem jedności względem pokrycia U nazywamy rodzinę {es }s∈S , funkcji ciągłych z X do R takich, że: (1) ∀s∈S ∀x∈X es (x) > 0, (2) ∀s∈S ∃i∈I Supp(es ) ⊆ Ui , (3) rodzina {Supp(es )}s∈S jest lokalnie skończona, P (4) ∀x∈X s∈S es (x) = 1. 2 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa Zauważmy, że (4) ma sens dzięki (3). Zauważmy również, że rodzina {Supp(es )}s∈S jest pokryciem (domkniętym) przestrzeni X. Istotnie, niech x ∈ X. Wtedy, z (4), istnieje s ∈ S takie, że es (x) 6= 0, a zatem x ∈ Supp(es ). Twierdzenie 1.4.3. Niech X będzie przestrzenią parazwartą i U jej otwartym pokryciem. Istnieje wtedy rozkład jedności względem U. Dowód znajdziemy w [7]. Prosty dowód (dla X ⊆ Rn ) jest w [25]. 1.5 Rozmaitości topologiczne Niech M będzie przestrzenią topologiczną. Definicja 1.5.1. Mapą n-wymiarową punktu p ∈ M nazywamy każdą parę (U, ϕ), w której U jest zbiorem otwartym w M zawierającym p, a ϕ : U −→ Rn jest homeomorfizmem na pewien otwarty podzbiór w Rn . S Definicja 1.5.2. Każdy zbiór n-wymiarowych map {(Uα , ϕα )} takich, że α Uα = M nazywamy n-wymiarowym atlasem przestrzeni M . Definicja 1.5.3. Każdą przestrzeń topologiczną M posiadającą n-wymiarowy atlas nazywamy nwymiarową rozmaitością topologiczną. 1.6 Rzeczywista przestrzeń rzutowa Przez Sn oznaczamy sferę n-wymiarową, tzn. Sn = {(x1 , . . . , xn+1 ) ∈ Rn+1 ; x21 + · · · + x2n+1 = 1}. W szczególności: S0 = {−1, 1}, S1 = {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 = 1}. Topologia na Sn jest indukowana z Rn+1 . Niech Pn (R) będzie rodziną wszystkich dwuelementowych zbiorów postaci {x, −x}, gdzie x ∈ Sn i niech p : Sn −→ Pn (R) będzie funkcją określoną wzorem p(x) = {x, −x}, dla x ∈ Sn . Funkcja p jest surjekcją. Definicja 1.6.1. Zbiór Pn (R) z topologią ilorazową wyznaczoną przez p nazywamy n-wymiarową przestrzenią rzutową rzeczywistą. Istnieją różne (równoważne) sposoby definiowania n-wymiarowej przestrzeni rzutowej rzeczywistej. Można na przykład tę przestrzeń wprowadzić w następujący sposób. Niech ∼ będzie relacją w Sn zdefiniowaną wzorem: x ∼ y ⇐⇒ x = ±y. Jest to relacja typu równoważności. Klasa abstrakcji elementu x ∈ Sn jest dwuelementowym zbiorem {x, −x}. Zatem Pn (R) = Sn /∼, gdzie topologia na Sn /∼ jest ilorazowa (wyznaczona przez kanoniczną surjekcję). To samo można wypowiedzieć w języku działań grup na przestrzeń topologiczną. Dokładniej zajmiemy się tym w Rozdziale 3. Niech Z2 = {−1, 1}. Sfera Sn jest Z2 -przestrzenią z działaniem Z2 × Sn , (a, x) 7→ ax. Przestrzeń rzutowa Pn (R), to nic innego, jak przestrzeń orbit Sn /Z2 . Dzięki temu otrzymujemy (patrz odpowiednie fakty w Rozdziale 3): 1. Wstępne informacje topologiczne 3 Stwierdzenie 1.6.2. (1) Odwzorowanie p : Sn −→ Pn (R), x 7→ {x, −x}, jest otwarte i domknięte. (2) Przestrzeń Pn (R) jest zwarta. (3) Przestrzeń Pn (R) jest n-wymiarową rozmaitością topologiczną. Inne uzasadnienie własności (3) znajdziemy w PH2 3. Ponieważ ciągły obraz przestrzeni spójnej jest przestrzenią spójną, więc: Stwierdzenie 1.6.3. Przestrzeń Pn (R) jest spójna. Nieco inaczej wprowadza się przestrzeń rzutową w geometrii algebraicznej (patrz np. [20] Rozdział 5). W zbiorze Rn+1 r {0} wprowadzamy relację (typu równoważnoći) ∼ następująco: (x1 , . . . , xn+1 ) ∼ (y1 , . . . , yn+1 ) ⇐⇒ ∃06=a∈R ∀i∈{1,...,n+1} yi = axi . Klasę abstrakcji każdego elementu (x1 , . . . , xn+1 ) ∈ Rn+1 r{0} (względem tej relacji) oznaczamy przez (x1 : · · · : xn+1 ). Rzeczywista przestrzeń rzutowa (n-wymiarowa), to zbiór wszystkich takich klas abstrakcji. Oznaczmy (chwilowo) tak zdefiniowaną przestrzeń rzutową przez P i rozważmy odwzorowanie ϕ : P −→ Pn (R) określone jako x x , − ||x|| }, (x1 : · · · : xn+1 ) 7−→ { ||x|| q gdzie x = (x1 , . . . , xn+1 ), ||x|| = x21 + · · · + x2n+1 . Z łatwością stwierdzamy, że ϕ jest dobrze określoną bijekcją. Topologię na zbiorze P określamy przy pomocy funkcji ϕ. Podzbiór U ⊆ P jest otwarty w P dokładnie wtedy, gdy zbiór ϕ(U ) jest otwarty w Pn (R). Odwzorowanie ϕ ma wiele interesujących własności. Polecamy Rozdział 3 w [2], gdzie znajdziemy dokładniejsze wyjaśnienie omawianego zagadnienia. Uwaga 1.6.4 ([16] 44). Przestrzeń P2 (R) można otrzymać jako przestrzeń ilorazową D2 /∼, gdzie D2 jest dyskiem {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 6 1} z topologią indukowaną z R2 oraz x ∼ y ⇐⇒ (x = y) ∨ (x, y ∈ S1 ⊂ D2 ∧ x = −y). Uwaga 1.6.5 ([16]). Przestrzeń P2 (R) można otrzymać jako przestrzeń ilorazową K 2 / ∼, gdzie K 2 jest 2 kwadratem {(x, y) ∈ R ; 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1} z topologią indukowaną z R2 oraz (x, y) ∼ (x0 , y 0 ) ⇐⇒ (x, y) = (x0 , y 0 ) ∨ {x, x0 } = {1, 0} ∧ y = 1 − y 0 ∨ {y, y 0 } = {1, 0} ∧ x = 1 − x0 . Uwaga 1.6.6 ([16]). Odwzorowanie F : P2 (R) −→ R4 , {x, −x} −→ (x21 −x22 , x1 x2 , x1 x3 , x2 x3 ), jest ciągłe i różnowartościowe. Uwaga 1.6.7 ([16] 45). Jeśli wytniemy z P2 (R) mały dysk, to otrzymamy wstęgę Möbiusa. Zatem P2 (R) można interpretować jako wstęgę Möbiusa z doklejonym dyskiem. Uwaga 1.6.8 ([16] 95). Jedyną (z dokładnością do homeomorfizmu) rozmaitością zwartą i spójną wymiaru 1 jest sfera S1 . Ponieważ P1 (R) jest właśnie taką rozmaitością, więc stąd wynika, że przestrzenie S1 i P1 (R) są homeomorficzne. 1.7 Wstęga Möbiusa Rozpatrzmy cylinder C = {(x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y 2 = 1, −1 6 z 6 1} z topologią indukowaną z R3 . Niech M będzie rodziną wszystkich dwuelementowych zbiorów postaci {x, −x}, gdzie x ∈ C. Niech p : C −→ M będzie surjekcją x 7→ {x, −x}. 4 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa Definicja 1.7.1. Zbiór M, z topologią ilorazową, wyznaczoną przez p, nazywamy wstęgą Möbiusa. Definicję tę można trochę inaczej sformułować w następujący sposób. W zbiorze C wprowadzamy relację równoważności: a ∼ b ⇐⇒ a = −b. Wtedy zbór C/∼, wszystkich klas abstrakcji z topologią ilorazową, jest właśnie wstęgą Möbiusa. Sam cylinder C jest również pewną przestrzenią ilorazową. Mianowicie, C = K 2 /∼, gdzie K 2 jest kwadratem {(x, y) ∈ R2 ; 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1}, a ∼ jest relacją równoważności w K 2 zdefiniowaną jako: (x, y) ∼ (x0 , y 0 ) ⇐⇒ (x, y) = (x0 , y 0 ) ∨ {x, x0 } = {0, 1}, y = y 0 . Wstęgę Möbiusa można zdefiniować inaczej; jako przestrzeń ilorazową kwadratu K 2 względem relacji równoważności ∼ określonej jako: (x, y) ∼ (x0 , y 0 ) ⇐⇒ (x, y) = (x0 , y 0 ) ∨ {x, x0 } = {0, 1}, y = 1 − y 0 . Oto jeszcze inne spojrzenie na wstęgę Möbiusa. Można ją zdefiniować przy pomocy działania grupy Z, liczb całkowitych. Dokładniej zajmiemy się tym w Rozdziale 3. Niech X będzie nieskończonym paskiem X = {(x, y) ∈ R2 ; − 21 6 y 6 12 } z topologią indukowaną z R2 . Rozpatrzmy działanie Z × X −→ X, m(x, y) = (m + x, (−1)m y). Przestrzeń orbit X/Z jest homeomorficzna ze wstęgą Möbiusa M. Ponieważ ciągły obraz przestrzeni spójnej jest przestrzenią spójną, więc: Stwierdzenie 1.7.2. Wstęga Möbiusa M jest przestrzenią spójną. Wstęgę Möbiusa można zanurzyć w R3 . Odwzorowanie f : M −→ R3 , określone wzorem {a, −a} 7−→ ((x2 − y 2 )(2 + xz), 2xy(2 + xz), yz), gdzie a = (x, y, z), jest ciągłym odwzorowaniem różnowartościowym. W dalszych częściach tego opracowania będziemy mówić o przestrzeniach topologicznych homotopijnie równoważnych. Zanotujmy teraz, że wstęga Möbiusa M i cylinder C, to dwie przestrzenie homotopijnie równoważne ([16] 138). 1.8 Powierzchnie Powierzchnią nazywamy każdą 2-wymiarową rozmaitość zwartą i spójną. Niech X1 , X2 będą dwiemia rozłącznymi powierzchniami. Sumą spójną tych powierzchni nazywamy powierzchnię, oznaczaną przez X1 #X2 , która powstaje przez wycięcie z każdej z tych powierzchni małego dysku i sklejenie brzegów. Pokazuje się, że definicja zbioru X1 #X2 nie zależy od wyboru dysków oraz, że X1 #X2 jest istotnie powierzchnią. Twierdzenie 1.8.1 ([16] 99). Każda powierzchnia X jest homeomorficzna z dokładnie jedną z następujących powierzchni: (a) S2 # T # . . . #T , gdzie m > 0 i T = S1 × S1 (torus), | {z } m (b) S2 # P2 (R)# . . . #P2 (R), gdzie m > 1. | {z } m Uwaga 1.8.2 ([16]). (a) Suma spójna dwóch płaszczyzn rzutowych, to butelka Kleina. (b) T #P2 (R) ≈ P2 (R)#P2 (R)#P2 (R). 1. Wstępne informacje topologiczne 1.9 5 Nakrycia Niech p : E −→ X będzie ciągłym odwzorowaniem przestrzeni topologicznych. Definicja 1.9.1. Mówimy, że odwzorowanie p : E −→ X jest nakryciem, jeśli dla każdego punktu x ∈ X istnieje otoczenie otwarte U 3 x takie, że S p−1 (U ) = j∈J Vj , gdzie zbiory postaci Vj są: (a) otwarte, (b) parami rozłączne oraz takie, że (c) odwzorowania p|Vj : Vj −→ U są homeomorfizmami. Jeśli p : E −→ X jest nakryciem, to E nazywamy przestrzenią nakrywającą przestrzeń X. Z tej definicji wynika: Stwierdzenie 1.9.2 ([12] 26). Jeśli p : E −→ X jest nakryciem, to: (1) przestrzenie postaci p−1 (x), x ∈ X, są dyskretne; (2) odwzorowanie p jest lokalnym homeomorfizmem, tzn. dla każdego e ∈ E istnieje zbiór otwarty V 3 e taki, że p(V ) jest zbiorem otwartym w X oraz odwzorowanie p|V : V −→ p(V ) jest homeomorfizmem; (3) odwzorowanie p jest surjekcją; (4) odwzorowanie p jest otwarte; (5) X jest przestrzenią ilorazową przestrzeni E. Dowód. (1). Niech x ∈ X. Niech U 3 x będzie zbiorem otwartym w X takim, jak w definicji nakrycia. Wtedy S p−1 (x) = j∈J (Vj ∩ p−1 (x)). Zbiory postaci Vj ∩p−1 (x) są oczywiście otwarte w p−1 (x). Są to zbiory jednoelementowe. Istotnie, jeśli a, b ∈ Vj ∩ p−1 (x), to a, b ∈ Vj oraz p(a) = p(b) = x. Ale p|Vj jest odwzorowaniem różnowartościowym, zatem a = b. Niech a ∈ p−1 (x). Istnieje wtedy j ∈ J takie, że a ∈ Vj ∩ p−1 (x). Wtedy Vj ∩ p−1 (x) = {a}. To implikuje, że {a} jest zbiorem otwartym. Każdy więc jednoelementowy podzbiór w p−1 (x) jest zbiorem otwartym. (2). Niech e ∈ E. Wtedy x = p(e) ∈ X. Istnieje więc zbiór otwarty V 3 x taki, jak w definicji nakrycia. Wtedy e ∈ p−1 (U ), więc e ∈ Vj , dla pewnego j ∈ J. Zbiór p(Vj ) = U jest otwarty w X oraz p|Vj : Vj −→ p(Vj ) = U jest homeomorfizmem. (3). Niech x ∈ X i niech U 3 x będzie zbiorem otwartym takim, jak w definicji nakrycia. Ponieważ p|Vj : Vj −→ U jest surjekcją oraz x ∈ U , więc istnieje e ∈ Vj takie, że p(e) = x. (4). Wynika to z (2), gdyż jest oczywiste, że każdy lokalny homeomorfizm jest odwzorowaniem otwartym. (5). Jest to konsekwencja (3) i (4). Zanotujmy kilka przykładów nakryć. Przykład 1.9.3. (0) Odwzorowanie tożsamościowe X −→ X jest nakryciem. (1) Odwzorowanie p : R1 −→ S1 , p(t) = e2πit , jest nakryciem. Jeśli x ∈ S1 , to zbiór otwarty U 3 x (występujący w definicji nakrycia) jest przedziałem otwartym okręgu S1 , zawierającym x. (2) p : S1 −→ S1 , p(z) = z n . (3) Niech p : Sn −→ Pn (R) (gdzie Pn (R) jest rzeczywistą przestrzenią rzutową) będzie odwzorowaniem sklejającym punkty antypodyczne. Odwzorowanie to jest nakryciem. (4) Niech G będzie grupą topologiczną i H jest jej dyskretną podgrupą. Wtedy rzutowanie G −→ G/H (gdzie G/H jest zbiorem warstw z topologią ilorazową) jest nakryciem. (5) C r {0} −→ C r {0}, z 7→ z n . P∞ n (6) C −→ C r {0}, z 7→ ez = n=0 zn! . 6 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa Stwierdzenie 1.9.4. Jeśli p1 : E1 −→ X1 , p2 : E2 −→ X2 są nakryciami, to odwzorowanie p : E1 × E2 −→ X1 × X2 , (e1 , e2 ) 7→ (p1 (e1 ), p2 (e2 )), jest nakryciem. 1.10 1.1 Uwagi Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Niech d0 : X × X −→ R będzie funkcją określoną wzorem d0 (x, y) = d(x,y) . 1+d(x,y) Stwierdzenie 1.10.1. Funkcja d0 jest metryką w X. Dowód. Trudność może sprawić jedynie nierówność trójkąta. Niech x, y, z ∈ X. Oznaczmy: a = d(x, y), b = d(y, z), c = d(x, z). Wtedy a, b, c > 0 oraz a + b > c. Należy pokazać, że a 1+a + b 1+b − c 1+c = a(1+b)(1+c)+b(1+a)(1+c)−c(1+a)(1+b) (1+a)(1+b)(1+c) > 0. Sprawdzamy: a(1 + b)(1 + c) + b(1 + a)(1 + c) − c(1 + a)(1 + b) = a + ab + ac + abc + b + ab + bc + abc − c − ac − bc − abc = (a + b − c) + 2ab + abc > 0. Stwierdzenie 1.10.2. Metryki d i d0 są równoważne, tzn. przestrzenie metryczne (X, d) i (X, d0 ) są homeomorficzne. 1.2 Jeśli X, Y są przestrzeniami topologicznymi i h : X −→ Y jest homeomorfizmem, to (dla każdego x ∈ X) przestrzenie X r {x} i Y r {h(x)} są homeomorficzne ([16] 34). Przykład 1.10.3. Przestrzenie [0, 1] i (0, 1), z topologiami indukowanymi z R, nie są homeomorficzne. Dowód. Przypuśćmy, że są homeomorficzne. Wtedy są homeomorficzne, po wyrzuceniu punktu. Wyrzućmy z [0, 1] punkt 0. Wtedy (0, 1] = [0, 1] r {0} jest spójne, a (0, 1) r {h(0)} nie jest spójne. Stwierdzenie 1.10.4 ([16] 146). Niech f : (0, 1) −→ (0, 1) będzie homeomorfizmem. Istnieje wtedy dokładnie jeden homeomorfizm h : [0, 1] −→ [0, 1] taki, że H | (0, 1) = f . 1.3 Przestrzenie Sn−1 × R i Rn r {0} są homeomorficzne ([16] 55). Homeomorfizmem jest np. przyporządkowanie (x, t) 7→ 2t x. W szczególności S × R ≈ R2 r {0} ≈ C r {0}. 1.4 Wiemy, że jeśli f : [0, 1] −→ R jest funkcją ciągłą i f (0)f (1) 6 0, to istnieje t ∈ [0, 1] takie, że f (t) = 0. Stosując ten fakt łatwo dowodzi się, że każda funkcja ciągła f : I −→ I ma punkt stały. Oto inna konsekwencja tego faktu. Stwierdzenie 1.10.5 ([16] 80). Każda funkcja ciągła f : S1 −→ R przeprowadza pewną parę punktów antypodycznych w ten sam punkt, tzn. istnieje t ∈ S1 takie, że f (t) = f (−t). Dowód. Niech f : S1 −→ R będzie daną funkcją ciągłą. Rozpatrzmy dwie funkcje ciągłe h : S −→ R, e : I −→ S1 określone wzorami: h(t) = f (t) − f (−t), e(x) = cos(πx) + i sin(πx). Wtedy funkcja he : I −→ R przyjmuje na końcach przedziału I = [0, 1] przeciwne wartości: he(0) = h(1) = f (1) − f (−1), he(1) = h(−1) = f (−1) − f (1). Istnieje zatem a ∈ I takie, że he(a) = 0. Niech t = e(a). Wtedy 0 = h(t) = f (t) = f (−1). Z tego stwierdzenia wynika: 1. Wstępne informacje topologiczne 7 Wniosek 1.10.6. W danym momencie czasu istnieją na Równiku (kuli ziemskiej) dwa antypodyczne punkty o tej samej temperaturze. Można udowodnić: Twierdzenie 1.10.7 ([16] 80). Niech A, B będą ograniczonymi zbiorami na płaszczyźnie, posiadającymi pole. Istnieje wtedy prosta (leżąca na tej płaszczyźnie), która dzieli każdy ze zbiorów A i B na dwie części o równych polach. W sformułowaniu poglądowym twierdzenie to można wysłowić następująco. Na talerzu leżą dwa naleśniki. Jednym cięciem noża można podzielić każdy z tych naleśników na dwie równe części. (Naleśniki nie muszą być rozłączne; jeden może nakładać się na drugi. Nie muszą też być spójne, tzn. nie muszą składać się z jednego kawałka). Twierdzenie 1.10.8 ([16] 82). Niech A będzie ograniczonym zbiorem na płaszczyźnie, posiadającym pole. Istnieje wtedy dwie przecinające się proste (leżące na tej płaszczyźnie), które dzielą zbiór A na cztery części o równych polach. 1.5 Niech I = [0, 1] i niech X będzie przestrzenią topologiczną. Każdą funkcję ciągłą σ : I −→ X nazywamy drogą w X. Istnieją drogi σ : I −→ I 2 będące surjekcjami, tzn. drogi zapełniające cały kwadrat I 2 . Takie drogi skonstruował Peano (ok. 1890 roku). 1.6 Każdą funkcję ciągłą τ : S1 −→ R2 nazywa się krzywą Jordana. Twierdzenie 1.10.9 (Jordana, [16] 120). Niech τ : S1 −→ R2 będzie krzywą Jordana. Wtedy zbiór R2 r τ (S1 ) nie jest spójny i zawiera dokładnie dwie składowe spójności. Wspólnym brzegiem tych składowych jest zbiór τ (S1 ). Dokładnie jedna z tych składowych jest ograniczona. Twierdzenie to pochodzi z 1890 roku. W tym czasie Jordan zwrócił uwagę, że coś takiego (wydawałoby się oczywistego) wymaga dowodu. Dowód podano na początku dwudziestego wieku. Zastąpmy okrąg S1 odcinkiem I = [0, 1]. Mamy wtedy: Stwierdzenie 1.10.10 ([16] 131). spójny. 1.7 Niech σ : I −→ R2 będzie funkcją ciągłą. Wtedy zbiór R2 r σ(I) jest Zanotujmy kilka uwag o twierdzeniu Borsuka i Ulama z 1930 roku. Twierdzenie 1.10.11 (Borsuka - Ulama). Nie istnieje funkcja ciągła f : Sn −→ Sn−1 taka, że f (−x) = −f (x), n dla wszystkich x ∈ S . Dla n = 1 twierdzenie to jest oczywiste. Dla n = 2 dowód znajdziemy w [16]. Jeśli n > 2, to podobno dowód jest trudny. Wniosek 1.10.12 ([16] 183). Jeśli f : S2 −→ R2 jest funkcją ciągłą spełniającą związek f (−x) = −f (x), dla x ∈ S2 , to istnieje x0 ∈ S2 takie, że f (x0 ) = 0. Dowód. Przypuśćmy, że f (x) 6= 0, dla wszystkich x ∈ S2 . Definiujemy funkcję ciągłą g : S2 −→ S1 , przyjmując g(x) = ||f (x)||−1 f (x). Wtedy g(−x) = −g(x) i mamy sprzeczność z twierdzeniem powyższym. Wniosek 1.10.13 ([16] 183). f (x) = f (−x). Jeśli f : S2 −→ R2 będzie funkcją ciągłą. Istnieje wtedy x ∈ S2 takie, że Dowód. Przypuśćmy, że f (x) 6= f (−x), dla wszystkich x ∈ S2 . Definiujemy funkcję ciągłą g : S2 −→ R2 , przyjmując g(x) = f (x) − f (−x). Wtedy g(−x) = −g(x) (dla wszystkich x), a zatem - na mocy powyższego wniosku - g(x0 ) = 0, dla pewnego x0 ∈ S2 . Stąd f (x0 ) = f (−x0 ) wbrew naszemu przypuszczeniu. Z tego wniosku wynika, że w dowolnym momencie czasu istnieją na kuli ziemskiej dwa antypodyczne punkty, w których jednocześnie zgadza się temperatura i ciśnienie. Powyższe dwa wnioski (z tymi samymi dowodami) są prawdziwe dla dowolnego n. Z ostatniego wniosku (sformułowanego dla n) wynika, że nie istnieje ciągłe różnowartościowe odwzorowanie z Sn do Rn . Stąd daje się udowodnić: 8 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa Wniosek 1.10.14 ([16] 183). Żaden podzbiór w Rn nie jest homeomorficzny z Sn . Wniosek 1.10.15 ([16] 185, PH1 21). Nie istnieje odwzorowanie ciągłe f : Sn −→ S1 (n > 1), spełniające związek f (−x) = −f (x), dla wszystkich x ∈ Sn . Twierdzenie 1.10.16 (o kanapce, [16]). Niech A, B, C będą ograniczonymi podzbiorami w R3 , posiadającymi objętość. Istnieje wtedy płaszczyzna dzieląca każdy z tych zbiorów na dwie części równej objętości. 2. Grupa podstawowa 2 9 Grupa podstawowa Pojęcie grupy podstawowej przestrzeni topologicznej zdefiniował H. Poincare w 1904 roku, kiedy przekonał sią, że odkryte przez niego wcześniej funktory homologii, które dały klasyfikację powierzchni, nie wystarczają już do scharakteryzowania 3-wymiarowej sfery S 3 . Pytanie, czy funktory homologii wespół z grupą podstawową wystarczają, jest do dziś otwartym zagadnieniem Poincarégo ([6]8). Wprowadzenie do teorii homotopii i grupy podstawowej znajdziemy w [6]8, [9]49, [12]14, [16]175. W tym rozdziale zakładamy, że X jest przestrzenią topologiczną. Przez I oznaczamy domknięty odcinek [0, 1] ⊂ R. 2.1 Drogi Każde przekształcenie ciągłe σ : I −→ X nazywamy drogą w X. Punkt σ(0) nazywamy początkiem drogi σ, a punkt σ(1) jej końcem. Mówimy, że droga σ : I −→ X jest zamknięta jeśli początek pokrywa się z końcem, tzn. jeśli σ(0) = σ(1). W tym przypadku mówi się również, że droga σ jest pętlą w punkcie σ(0) = σ(1). Mówimy, że droga jest stała, jeśli jej obraz jest zbiorem jednopunktowym. Niech p, q ∈ X. Przez D(p, q) oznaczać będziemy (chwilowo) zbiór wszystkich dróg w X o początku w punkcie p i końcu w punkcie q. Drogi, z których jedna kończy się w początku drugiej, można składać. Załóżmy, że σ, τ : I −→ X są drogami w X takimi, że σ ∈ D(p, q), τ ∈ D(q, r), gdzie p, q, r ∈ X. Definiujemy wtedy drogę στ ∈ D(p, r), przyjmując: ( σ(2t), gdy 0 6 t 6 12 , στ (t) = τ (2t − 1), gdy 12 6 t 6 1. Z każdą drogą σ ∈ D(p, q) stowarzyszona jest droga odwrotna σ 0 ∈ D(q, p), którą określa się wzorem σ 0 (t) = σ(1 − t). 2.2 Drogi homotopijnie równoważne Niech p, q ∈ X będą ustalonymi punktami w X. Załóżmy, że σ, τ ∈ D(p, q). Mówimy, że drogi σ i τ są homotopijnie równoważne, co zapisujemy jako σ ∼ τ , jeśli istnieje odwzorowanie ciągłe F : I × I −→ X takie, że: F (s, 0) = σ(s) dla s ∈ I, F (s, 1) = τ (s) dla s ∈ I, F (0, t) = p dla t ∈ I, F (1, t) = q dla t ∈ I. Powyższe odwzorowanie F : I × I −→ X nazywa się homotopią od σ do τ . Jeśli F : I × I −→ X jest homotopią, od σ do τ , to (dla każdego t ∈ I) przez Ft : I −→ X oznaczamy odwzorowanie określone wzorem Ft (s) = F (s, t), dla s ∈ I. Każde odwzorowanie postaci Ft jest drogą należącą do D(p, q). W szczególności F0 = σ, F1 = τ . Stwierdzenie 2.2.1. Homotopijność ∼ jest relacją typu równoważności w zbiorze D(p, q). Dowód. Niech σ, τ, µ ∈ D(p, q). Zwrotność. Odwzorowanie F : I × I −→ X, (s, t) 7→ σ(s), jest homotopią od σ do σ. 10 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa Symetryczność. Niech F : I × I −→ X będzie homotopią od σ do τ . Definiujemy odwzorowanie G : I × I −→ X, przyjmując: G(s, t) = F (s, 1 − t), dla s, t ∈ I. Wtedy G jest homotopią od τ do σ. Przechodniość. Niech F, G : I × I −→ X będą homotopiami odpowiednio od σ do τ i od τ do µ. Definiujemy odwzorowanie H : I × I −→ X następująco: ( F (s, 2t), dla s ∈ I, 0 6 t 6 21 , H(s, t) = G(s, 2t − 1), dla s ∈ I, 21 6 t 6 1. Odwzorowanie H jest homotopią od σ do µ. Wykażemy teraz, że relacja homotopijności zachowuje działania określone na zbiorach dróg. Stwierdzenie 2.2.2. Niech σ, σ 0 ∈ D(p, q), τ, τ 0 ∈ D(q, r). Jeśli σ ∼ σ 0 i τ ∼ τ 0 , to στ ∼ σ 0 τ 0 . Dowód. Niech F : I × I −→ X będzie homotopią od σ do σ 0 i niech G : I × I −→ X będzie homotopią od τ do τ 0 . Wówczas, dla każdego t ∈ I mamy drogi Ft ∈ D(p, q) i Gt ∈ D(q, r). Drogi te możemy składać. Definiujemy więc odwzorowanie H : I × H −→ X przyjmując H(s, t) = Ft Gt (s), dla s, t ∈ I, tzn. ( F (s, t), dla 0 6 s 6 21 , H(s, t) = G(2s − 1, t), dla 12 6 s 6 1. Łatwo sprawdzić, że H jest homotopią od στ do σ 0 τ 0 . Stwierdzenie 2.2.3. Załóżmy, że σ ∈ D(p, q), τ ∈ D(q, r), µ ∈ D(r, s), gdzie p, q, r, s ∈ X. Wtedy (στ )µ ∼ σ(τ µ). Dowód. σ(4t), gdy 0 6 t 6 41 , τ (4t − 1), gdy 14 6 t 6 21 , (στ )µ(t) = µ(2t − 1), gdy 12 6 t 6 1. σ(2t), gdy τ (4t − 2), gdy σ(τ µ)(t) = µ(4t − 3), gdy 0 6 t 6 21 , 1 2 6 t 6 43 , 3 4 6 t 6 1. Homotopię od (στ )µ do σ(τ µ) zadaje odwzorowanie 4s gdy 0 6 s 6 t+1 4 , σ( t+1 ), t+1 t+2 τ (4s − t − 1), gdy F (s, t) = 4 6s6 4 , µ( 4s−t−2 gdy t+2 2−t ), 4 6 s 6 1. Stwierdzenie 2.2.4. Niech σ, τ ∈ D(p, q) i niech σ 0 , τ 0 ∈ D(q, p) będą drogami odwrotnymi odpowiednio do σ i τ . Jeśli σ ∼ τ , to σ 0 ∼ τ 0 . Dowód. Niech F : I × I −→ X będzie homotopią od σ do σ 0 . Wtedy G : I × I −→ X, G(s, t) = F (1 − s, t), jest homotopią od σ 0 do τ 0 . Stwierdzenie 2.2.5. Niech σ ∈ D(p, q) i niech σ 0 ∈ D(q, p) będzie drogą odwrotną do σ. Wtedy σσ 0 ∼ ep , σ 0 σ ∼ eq , gdzie ep ∈ D(p, p), eq ∈ D(q, q) są drogami stałymi przyjmującymi stałe wartości odpowiednio p i q. Dowód. Homotopię od σσ 0 do ep zadaje odwzorowanie σ(2s), gdy 0 6 s 6 1−t 2 , 1−t σ(2 − 2t − 2s), gdy F (s, t) = 2 6 s 6 1 − t, p, gdy 1 − t 6 s 6 1. Podobnie określa się homotopię od σ 0 σ do eq . 2. Grupa podstawowa 2.3 11 Definicja grupy podstawowej Jeśli σ ∈ D(p, q), to przez [σ] oznaczamy klasę abstrakcji pętli σ względem relacji ∼. Niech p ∈ X będzie ustalonym punktem. Nazwijmy go punktem bazowym. Rozpatrzmy zbiór D(p, p), wszystkich dróg o początku i końcu w punkcie p, tzn. zbiór wszystkich pętli w punkcie p. Definicja 2.3.1. Zbiór wszystkich klas abstrakcji postaci [σ], gdzie σ ∈ D(p, p), oznaczamy przez π1 (X, p) i nazywamy grupą podstawową (lub grupą homotopii) przestrzeni X w punkcie p. Mnożenie w π1 (X, p) jest określone wzorem [σ][τ ] = [στ ], dla σ, τ ∈ D(p, p). Z faktów podanych w poprzednim podrozdziale wynika, że mnożenie to jest dobrze określone oraz, że zbiór π1 (X, p) wraz z tym mnożeniem jest grupą. Elementem neutralnym jest klasa abstrakcji pętli stałej. Elementem odwrotnym do [σ] jest [σ 0 ], gdzie σ 0 jest pętlą w punkcie p, odwrotną do pętli σ, tzn. [σ]−1 = [σ 0 ]. Łatwo udowodnić: Stwierdzenie 2.3.2. Niech p, q ∈ X i niech τ ∈ D(p, q). Odwzorowanie π1 (X, q) −→ π1 (X, p), [σ] 7−→ [τ ][σ][τ ]−1 , jest izomorfizmem grup. Mówimy, że przestrzeń topologiczna X jest łukowo spójna, jeśli dla dowolnych punktów p, q ∈ X istnieje droga τ należąca do D(p, q). Z powyższego stwierdzenia wynika: Wniosek 2.3.3. Jeśli przestrzeń X jest łukowo spójna i p ∈ X, to grupa podstawowa π1 (X, p) nie zależy od wyboru punktu p, tzn. dla dowolnych punktów p, q ∈ X, grupy π1 (X, p) i π1 (X, q) są izomorficzne. Jeśli X jest przestrzenią łukowo spójną, to jej grupę podstawową π1 (X, p) (gdzie p ∈ X) oznacza się krótko przez π1 (X). Zanotujmy kilka własności przestrzeni łukowo spójnych. Stwierdzenie 2.3.4. (1) Obraz ciągły przestrzeni łukowo spójnej jest przestrzenią łukowo spójną. (2) Przestrzeń łukowo spójna jest spójna (stwierdzenie odwrotne na ogół nie zachodzi). (3) Każdy niepusty spójny zbiór otwarty w Rn jest łukowo spójny. Grupa podstawowa ma charakter funktorialny. Przez kategorię przestrzeni topologicznych z wyróżnionym punktem rozumiemy kategorię, której obiektami są pary (X, p) (gdzie X jest przestrzenią topologiczną i p ∈ X), a morfizmami z (X, p) do (Y, q) są odwzorowania ciągłe f : X −→ Y takie, że f (p) = q. Jeśli f : X −→ Y jest odwzorowaniem ciągłym, to definiujemy homomorfizm indukowany: f∗ : π1 (X, p) −→ π1 (Y, f (p)), [σ] 7−→ [f ◦ σ]. Łatwo sprawdza się, że f∗ jest homomorfizmem grup. Ponadto, (f ◦ g)∗ = f∗ ◦ g∗ , (1X )∗ = id. Mamy zatem: Wniosek 2.3.5. π1 jest funktorem kowariantnym z kategorii przestrzeni topologicznych z wyróżnionym punktem do kategorii grup. 12 2.4 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa Homotopia odwzorowań Wiemy już co to znaczy, że dwie drogi σ, τ : I −→ X (należące do D(p, q)) są homotopijnie równoważne. W podobny sposób można zdefiniować równoważność homotopijną, gdy odcinek I zastąpimy dowolną przestrzenią topologiczną Y . W przypadku odcinka istotną rolę odgrywał dwuelementowy podzbiór A = {0, 1} ⊂ I. Rozpatrywaliśmy tylko drogi σ, τ : I −→ X takie, że σ|A = τ |A. Niech teraz Y będzie dowolną przestrzenią topologiczną i niech A ⊂ Y będzie ustalonym podzbiorem. Definicja 2.4.1. Niech f, g : Y −→ X będą odwzorowaniami ciągłymi takimi, że f |A = g|A. Mówimy, że odwzorowania f i g są homotopijnie równoważne względem A, co zapisujemy jako f ∼A g, jeśli istnieje odwzorowanie ciągłe F : Y × I −→ X takie, że: F (y, 0) = f (y), dla y ∈ Y, F (y, 1) = g(y), dla y ∈ Y, F (y, t) = f (y) = g(y), dla y ∈ A, t ∈ I. Odwzorowanie F nazywamy homotopią względem A od f do g. Powyższa homotopijność względem A jest relacją typu równoważności w zbiorze wszystkich funkcji ciągłych z X do Y identycznych na zbiorze A. Definicja 2.4.2. W przypadku, gdy A = ∅, piszemy f ∼ g (zamiast f ∼A g) i mówimy, że funkcje f i g są homotopijne. Zatem funkcje f, g : Y −→ X są homotopijne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje odwzorowanie ciągłe F : Y × I −→ X takie, że: ( F (y, 0) = f (y), dla y ∈ Y, F (y, 1) = g(y), dla y ∈ Y, Przykład 2.4.3. Niech X = Y = Rn . Niech f, g : Rn −→ Rn będą funkcjami takimi, że f jest identycznością, a g jest odwzorowaniem stałym przyjmującym stałą wartość 0. Wtedy odwzorowanie F : Rn × I −→ Rn , (x, t) 7−→ tx, jest homotopią od f do g. Definicja 2.4.4. Jeśli X jest taką przestrzenią topologiczną, że odwzorowanie identycznościowe jest homotopijne z odwzorowaniem stałym, to mówimy, że przestrzeń X jest ściągalna. Definicja 2.4.5. Mówimy, że przestrzeń topologiczna jest jednospójna, gdy jest łukowo spójna i ma trywialną grupę podstawową. Twierdzenie 2.4.6 ([12]19). (1) Przestrzeń X jest ściągalna ⇐⇒ dla dowolnej przestrzeni topologicznej Y każde dwie funkcje ciągłe z Y do X są homotopijne. (2) Przestrzeń ściągalna jest łukowo spójna. (3) Każdy wypukły podzbiór w Rn jest ściągalny. (4) Przestrzeń ściągalna jest jednospójna. Definicja 2.4.7. Niech X, Y będą przestrzeniami topologicznymi. Odwzorowanie ciągłe ϕ : X −→ Y nazywa się homotopijną równoważnością, gdy istnieje odwzorowanie ciągłe ψY −→ X takie, że ϕψ ∼ 1X i ψϕ ∼ 1Y . Jeśli takie odwzorowanie ϕ istnieje, to mówimy, że przestrzenie X i Y mają ten sam typ homotopii. 2. Grupa podstawowa 13 W szczególnści, przestrzeń X jest ściągalna wtedy i tylko wtedy, gdy ma ten sam typ homotopii, co przestrzeń jednopunktowa. Wiemy, że π1 jest funktorem. Jeśli więc f : X −→ Y jest homeomorfizmem, to grupy π1 (X, p), π1 (Y, f (p)) są izomorficzne. Założenie ”f jest homeomorfizmem” można osłabić: Stwierdzenie 2.4.8. Jeśli ϕ : X −→ Y jest homotopijną równoważnością, to grupy π1 (X, p), π1 (Y, ϕ(p)) są izomorficzne. Grupa podstawowa przestrzeni łukowo spójnych jest więc niezmiennikiem typu homotopii (i tym bardziej niezmiennikiem topologicznym). Niech X będzie przestrzenią spójną. Jeśli Y jest przestrzenią homotopijnie równoważną z X, to Y również jest przestrzenią spójną ([16] 138). 2.5 Przykłady Stwierdzenie 2.5.1 ([12]24, [6]22). π1 (X × Y, (p, q)) ≈ π1 (X, p) × π1 (Y, q). Stwierdzenie 2.5.2 ([12]23, [6]31). ( π1 (S n ) = Z, gdy n = 1, 0, gdy n > 1. Grupa Z, liczb całkowitych, jest więc grupą podstawową każdej przestrzeni topologicznej mającej typ homotopii okręgu, w szczególności pierścienia kołowego, pełnego torusa i ogólniej, produktu S 1 × I n dla każdego n = 1, 2, . . . , a także na przykład dla wstęgi Möbiusa. Grupa podstawowa torusa S 1 × · · · × S 1 (n razy) jest natomiast suą prostą n grup cyklicznych: π1 (S 1 × · · · × S 1 ) = Z × · · · × Z . {z } | {z } | n n Znając powyższe fakty można łatwo udowodnić, że okrąg S 1 nie jest retraktem koła domkniętego. Stąd natomiast otrzymuje się łatwo szczególny przypadek twierdzenia Brouwera o punkcie stałym: każde ciągłe odwzorowanie koła domkniętego w siebie ma punkt stały (patrz [12]25). Przestrzeń rzutową Pn = Pn (R) można zdefiniować jako przestrzeń ilorazową sfery S n , otrzymaną przez utożsamienie punktów antypodycznych. Stwierdzenie 2.5.3 ([12] 31). ( n π1 (P ) = Z, gdy n = 1, Z2 , gdy n > 1. Stwierdzenie 2.5.4 ([12] 23). Jeśli G jest jednospójną grupą topologiczną, a H jest jej dyskretnym dzielnikiem normalnym, to π1 (G/H, 1) ≈ H. Stwierdzenie 2.5.5 ([16] 155). Jeśli G jest grupą topologiczną i e jest jej elementem neutralnym, to grupa π1 (G, e) jest abelowa. 2.6 Wyższe grupy homotopii Na podstawie [16] 155. Grupę π1 (X, p) nazywa sią często pierwszą grupą homotopii przestrzeni X w punkcie p. Indeks ”1” przypomina o tym, że grupa ta jest zbiorem klas abstrakcji dróg, czyli ciągłych odwzorowań z I 1 do X. W ogólnym przypadku można określić πn (X, p), n-tą grupę homotopii, zastępując drogi przez odwzorowania ciągłe σ : I n −→ X. Przedstawiamy szkic konstrukcji. Niech p ∈ X będzie wyróżnionym punktem. 14 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa Definicja 2.6.1. Brzegiem kostki I n nazywamy zbiór ∂I n = {(a1 , . . . , an ) ∈ I n ; ai = 0 lub ai = 1, dla pewnego i}. Definicja 2.6.2. Przez Pn (X, p) oznaczamy zbiór wszystkich ciągłych odwzorowań σ : I n −→ X takich, że σ(∂I n ) = {p}. Definicja 2.6.3. Mówimy, że odwzorowania σ, τ : I n nie równoważne jeśli są homotopijne względem brzegu F : I n × I −→ X takie, że F (y, 0) = σ(y), dla F (y, 1) = τ (y), dla dla F (y, t) = p, −→ X, należące do Pn (X, p) są homotopij∂I n , tzn., jeśli istnieje ciągłe odwzorowanie y ∈ I n, y ∈ I n, y ∈ ∂I n , t ∈ I. Powyższa relacja homotopijności jest relacją typu równoważności w zbiorze Pn (X, p). Klasy abstrakcji oznaczamy przez [σ]. Zbiór wszystkich klas abstrakcji oznaczamy przez πn (X, p). Mnożenie w πn (X, p) definiuje się jako [σ][τ ] = [σ ∗ τ ], gdzie ( σ ∗ τ (t1 , . . . , tn ) = σ(2t1 , t2 , . . . , tn ), gdy 0 6 t1 6 21 , τ (2t1 − 1, t2 , . . . , tn ), gdy 1 2 6 t1 6 1. Mnożenie to jest poprawnie zdefiniowane. Zbiór πn (X, p), z takim mnożeniem jest grupą. Stwierdzenie 2.6.4 ([16] 156). (1) Jeśli istnieje droga σ ∈ D(p, q), to grupy πn (X, p) i πn (X, q) są izomorficzne. (2) Jeśli przestrzenie X i Y mają ten sam typ homotopii, to ich n-te grupy homotopii są izomorficzne. (3) Jeśli n > 2, to grupa πn (X, p) jest abelowa. (4) Niech X, Y będą przestrzeniami topologicznymi i niech f : X −→ Y będzie funkcją ciągłą. Określa się wtedy, w sposób funktorialny, homomorfizm grup f∗ : πn (X, p) −→ πn (Y, f (p)). Jeśli wszystkie homomorfizmy f∗ (dla każdego n > 1) są izomorfizmami, to f jest homotopijną równoważnością. 2.7 Hipoteza Poincaré Hipoteza 2.7.1 (Poincar’e, 1895). Jeżeli X jest zwartą, spójną i jednospójną rozmaitością (topologiczną) wymiaru 3, to X jest homeomorficzne z trójwymiarową sferą S3 . Hipoteza ma naturalne uogólnienie na wszystkie wymiary n > 2. Dla n = 2 problem rozstrzygnął pozytywnie sam Poincaré. W 1961 roku S. Smale podał dowód dla n > 5, a w 1981 roku M. Friedman dla n = 4 (patrz [5]). Pozostała do rozstrzygnięcia tylko klasyczna wersja tej hipotezy. 3. Działanie grupy na przestrzeń topologiczną 3 15 Działanie grupy na przestrzeń topologiczną 3.1 Działanie grupy na zbiór Niech X będzie zbiorem, a G grupą. Definicja 3.1.1. Mówimy, że G działa na X lub, że X jest G-zbiorem, jeśli zadane jest odwzorowanie (zwane działaniem grupy G na X) · : G × X −→ X, (g, x) 7−→ gx, spełniające warunki: (1) ex = x, gdzie e jest elementem neutralnym grupy G, (2) g(hx) = (gh)x, dla g, h ∈ G, x ∈ X. Działanie grupy G na X, to nic innego, jak homomorfizm grup G −→ S(X), gdzie S(X) jest grupą wszystkich permutacji zbioru X. Przykład 3.1.2. (1) Niech G będzie grupą Top(X), wszystkich homeomorfizmów przestrzeni topologicznej X. Działanie G × X −→ X określamy jako (g, x) 7→ g(x), tzn. gx = g(x). (2) G = Z2 = {−1, 1}, X = Sn . Z2 × Sn −→ Sn , (a, x) 7→ ax, tzn. (±)x = ±x. (3) G = Z, X = R, ax = x + a. (4) G = Z × Z, X = R2 , (a, b)(x, y) = (x + a, y + a). (5) G = Z, X = {(x, y) ∈ R2 ; − 21 6 y 6 12 }, Działanie Z × X −→ X określamy wzorem (a, (x, y)) 7→ (x + a, (−1)a y). (6) Niech H będzie podgrupą grupy G. Rozpatrzmy działanie H × G −→ G, (h, g) 7→ hg. Grupa G jest więc H-zbiorem. (7) Niech G będzie grupą i X = 2G rodziną wszystkich podzbiorów zbioru G. Definiujemy G × 2G −→ 2G , przyjmując (g, U ) 7−→ gU = {gu; u ∈ U }. Zbiór 2G jest więc G-zbiorem. Z definicji G-zbioru wynika, że każde odwzorowanie X −→ X postaci x 7→ gx, jest bijekcją. 3.2 Przestrzeń orbit Załóżmy, że X jest G-zbiorem. Określamy relację ∼ w X, przyjmując: x ∼ y ⇐⇒ ∃g∈G y = gx. Jest to oczywiście relacja typu równoważności. Klasy abstrakcji nazywamy orbitami. Jeśli x ∈ X, to orbitą elementu x, czyli klasą abstrakcji wyznaczoną przez x, jest zbiór Gx = {gx; g ∈ G}. Zbiór wszystkich klas abstrakcji oznaczamy przez X/G. Zatem X/G jest zbiorem wszystkich orbit G-zbioru X. Załóżmy teraz, że X jest przestrzenią topologiczną, będącą G-zbiorem. Definicja 3.2.1. Zbiór X/G z topologią ilorazową nazywamy przestrzenią orbit działania G na X. Przykład 3.2.2. (1) G = Z2 = {−1, 1}, X = Sn , Z2 × Sn −→ Sn , (a, x) 7→ ax. Wtedy Sn /Z2 = Pn (R) jest przestrzenią rzutową rzeczywistą. (2) G = Z, X = R, Z × R −→ R, ax = x + a. Wtedy R/Z = S1 . (3) G = Z, X = {(x, y) ∈ R2 ; − 21 6 y 6 21 }, Z × X −→ X, (a, (x, y)) 7→ (x + a, (−1)a y). Wtedy X/Z jest wstęgą Möbiusa. 16 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa Załóżmy, że grupa G działa na przestrzeń topologiczną X. Jeśli x ∈ X, to oznaczamy: Gx = {g ∈ G; gx = x}. Zbiór Gx jest podgrupą grupy G, zwaną stabilizatorem w punkcie x. Można zatem rozważać zbiory orbit postaci G/Gx . Zbiór G/Gx pokrywa się oczywiście ze zbiorem warstw grupy G, względem podgrupy Gx . Jeśli wszystkie odwzorowania postaci x 7→ gx są ciągłe, to mówimy, że działanie G × X −→ X jest ciągłe oraz, że X jest G-przestrzenią. Ciągłe działanie G × X −→ X, to nic innego, jak homomorfizm grup G −→Top(X), gdzie Top(X) jest grupą wszystkich homeomorfizmów z X do X. Stwierdzenie 3.2.3. Jeśli X jest G-przestrzenią, to odwzorowanie naturalne η : X −→ X/G, x 7→ Gx, jest ciągłym odwzorowaniem otwartym. Dowód. Odwzorowanie η : X −→ X/G jest oczywiście ciągłe (gdyż X/G ma topologię ilorazową). Niech U ⊆ X będzie zbiorem otwartym w X. Należy pokazać, że η(U ) jest zbiorem otwartym w X/G, tzn., że zbiór η −1 η(U ) jest otwarty w X. Wynika to z równości: S η −1 η(U ) = g∈G gU. Zbiory postaci gU są otwarte w X, gdyż x 7→ gx jest homeomorfizmem. Stwierdzenie 3.2.4. Załóżmy, że grupa G jest skończona. Jeśli X jest G-przestrzenią, to odwzorowanie naturalne η : X −→ X/G, x 7→ Gx, jest domknięte. Dowód. Niech F ⊆ X będzie zbiorem domkniętym w X. Należy pokazać, że η(F ) jest zbiorem domkniętym w X/G, tzn., że zbiór η −1 η(F ) jest domknięty w X. Wynika to z równości: S η −1 η(F ) = g∈G gF. Zbiory postaci gF są domknięte w X, gdyż x 7→ gx jest homeomorfizmem. Zbiór η −1 η(F ) jest więc skończoną sumą zbiorów domkniętych, a zatem jest zbiorem domkniętym. 3.3 Produkty Niech G1 , G2 będą grupami. Załóżmy, że X1 jest G1 -przestrzenią, a X2 jest G2 -przestrzenią. Mamy wówczas ciągłe działanie (G1 × G2 ) × (X1 × X2 ) −→ X1 × X2 , (a, b)(x1 , x2 ) = (ax1 , bx2 ). Przestrzeń X1 × X2 jest więc G1 × G2 -przestrzenią. Mamy zatem przestrzeń orbit X1 × X2 /G1 × G2 . Stwierdzenie 3.3.1 (PH1 5). Przestrzenie topologiczne X1 × X2 /G1 × G2 i (X1 /G1 ) × (X2 /G2 ) są homeomorficzne. Homeomorfizmem jest odwzorowanie [a, b] 7→ ([a], [b]). Przykład 3.3.2. (1) Niech Z × Z działa na R2 jako: (a, b)(x, y) = (a + x, b + y). Wtedy R2 /(Z × Z) ≈ (R/Z) × (R/Z) ≈ S1 × S1 (torus). (2) Niech G = Z, X = C r {0}. Rozpatrzmy działanie Z × X −→ X, ax = 2a x. Zbiór C r {0} jest więc Z-przestrzenią. Można pokazać, że przestrzeń orbit (C r {0})/Z jest homeomorficzna z torusem S1 × S1 . (3) ([16] 55). Niech T : Rn r {0} −→ Rn r {0} będzie homeomorfizmem określonym wzorem T (x) = 2x. Rozpatrzmy grupę G = {T i ; i ∈ Z}. Grupa ta działa na Rn r {0} (T i x = T i (x)). Można pokazać, że (Rn r {0})/G ≈ Sn−1 × S1 . 3. Działanie grupy na przestrzeń topologiczną 3.4 17 Zwartość Jest oczywiste, że jeśli f : X −→ Y jest ciągłą surjekcją przestrzeni topologicznych, gdzie X jest przestrzenią quasi-zwartą (tzn. spełniającą warunek zwartości ale bez założenia o hausdorffowości), to Y jest również przestrzenią quasi-zwartą. Stąd wynika w szczególności: Stwierdzenie 3.4.1. Jeśli X jest quasi-zwartą G-przestrzenią, to przestrzeń orbit X/G jest quasizwarta. Dla przestrzeni orbit X/G może być kłopot z hausdorffowością. Jeśli X jest przestrzenią Hausdorffa, to X/G nie musi być taką (Stwierdzenie 3.8.1). Jednakże dla grup skończonych własność ta przechodzi. Stąd mamy: Stwierdzenie 3.4.2. Niech X będzie G-przestrzenią, gdzie G jest grupą skończoną. Jeśli przestrzeń X jest zwarta, to X/G jest również przestrzenią zwartą. Wiemy już, że rzeczywista przestrzeń rzutowa Pn (R) jest homeomorficzna z przestrzenią orbit S /Z2 . Mamy zatem: n Wniosek 3.4.3. Rzeczywista przestrzeń rzutowa Pn (R) jest zwarta. 3.5 Działania wspólnie rozłączne Niech X będzie G-przestrzenią. Definicja 3.5.1 ([16] 167). Mówimy, że działanie grupy G na X jest rozłączne (lub wspólnie rozłączne), jeśli dla każdego x ∈ X, istnieje otwarte otoczenie V 3 x takie, że gV ∩g 0 V = ∅, dla wszystkich g, g 0 ∈ G, g 6= g 0 . Twierdzenie 3.5.2 ([16] 167, PH1 13). Niech X będzie G-przestrzenią. Jeśli działanie G na X jest wspólnie rozłączne, to odwzorowanie naturalne η : X −→ X/G jest nakryciem. Definicja nakrycia jest w Podrozdziale 1.9. Dowód. Niech Gx = {gx; g ∈ G} będzie dowolnym elementem w X/G. Ponieważ działanie jest wspólnie rozłączne, więc istnieje zbiór otwarty V w X, zawierający x taki, że gV ∩ g 0 V = ∅, dla wszystkich g, g 0 ∈ G, g 6= g 0 . Oznaczmy U = η(V ). Zbiór U jest otwarty w X/G (Stwierdzenie 3.2.3) i Gx ∈ U . Zauważmy, że S η −1 (U ) = η −1 η(V ) = g∈G gV. Zbiory postaci gV są otwarte w X (bo odwzorowanie x 7→ gx jest homeomorfizmem) i parami rozłączne. Należy jeszcze pokazać, że odwzorowanie η|gV jest homeomorfizmem pomiędzy przestrzeniami gV i U . Odwzorowanie η|gV jest oczywiście ciągłe i otwarte oraz η(gV ) = η(V ) = U . Wystarczy zatem tylko pokazać, że η|gV jest odwzorowaniem różnowartościowym. Niech a, b ∈ gV , η(a) = η(b). Wtedy Ga = Gb, więc a = g 0 b, dla pewnego g 0 ∈ G. Zatem a ∈ gV ∩ g 0 gV . Jeśli g 0 6= e, to gV ∩ g 0 gV = ∅. Stą wynika, że g 0 = e, czyli a = g 0 b = eb = b. 3.6 Działania wolne Niech X będzie G-przestrzenią. Przez e oznaczamy element neutralny grupy G. Definicja 3.6.1 ([16] 88). Mówimy, że działanie grupy G na X jest wolne (lub, że grupa G działa na X w sposób wolny) jeśli gx 6= x, dla wszystkich g ∈ G r {e}, x ∈ X. Stwierdzenie 3.6.2. Działanie grupy G na X jest wolne wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x ∈ X, stabilizator Gx = {g ∈ G; gx = x} jest trywialny (tzn. równy {e}). Stwierdzenie 3.6.3 ([16] 168, PH1 10). Niech G będzie skończoną grupą działającą w sposób wolny na przestrzeń Hausdorffa X. Wówczas działanie G × X −→ X jest wspólnie rozłączne. 18 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa Korzystając z tego stwierdzenia można udowodnić: Twierdzenie 3.6.4 (PH1 11). Niech X będzie n-wymiarową rozmaitością topologiczną zwartą, będącą G-przestrzenią, gdzie G jest grupą skończoną działającą w sposób wolny. Wtedy przestrzeń orbit X/G jest również n-wymiarową rozmaitością topologiczną. Przy założeniach tych samych co w powyższym twierdzeniu można udowodnić, że prawdziwa jest także implikacja odwrotna, tzn. jeśli X/G jest n-wymiarową rozmaitością, to X również ([16] 94 zad. d). Niech M będzie powierzchnią (tzn. zwartą i spójną rozmaitością 2-wymiarową). Załóżmy, że M jest G-przestrzenią, gdzie G jest skończoną grupą cykliczną nieparzystego rzędu. Wtedy M/G jest również powierzchnią. Nie musimy tu zakładać, że działanie jest wolne ([16] 107). 3.7 Grupa podstawowa przestrzeni orbit Niech X będzie łukowo spójną G-przestrzenią. Załóżmy, że działanie grupy G na X jest wspólnie rozłączne. Wiemy, że wtedy odwzorowanie kanoniczne η : X −→ X/G jest nakryciem. Jaki jest związek grupy podstawowej π1 (X/G) z grupą π1 (X)? Niech η∗ : π1 (X) −→ π1 (X/G) będzie homomorfizmem grup indukowanym przez η. Można udowodnić: Twierdzenie 3.7.1 ([16] 179). Przy powyższych założeniach, grupy G i π1 (X/G)/η∗ (π1 (X) są izomorficzne. Przypomnijmy, że przestrzeń topologiczna X jest jednospójna, jeśli jest łukowo spójna oraz jej grupa podstawowa jest zerowa. Z powyższego twierdzenia otrzymujemy: Wniosek 3.7.2. Jeśli X jest przestrzenią jednospójną oraz działanie grupy G na X jest wspólnie rozłączne, to grupy π1 (X/G) i G są izomorficzne. Przykład 3.7.3. π1 (S1 ) = Z. Dowód. Grupa Z działa na R następująco: ar 7→ a + r. Wiemy, że S1 ≈ R/Z. Oczywiście R jest przestrzenią jednospójną. Pokażemy, że działanie Z na R jest wspólnie rozłączne. Niech r ∈ R. Niech U = (r − 31 , r + 13 ). Wtedy U jest zbiorem otwartym w R, zawierającym r i takim, że dla a, b ∈ Z, a 6= b, zbiór aU ∩ bU jest pusty. Teza wynika zatem z powyższego wniosku. Przykład 3.7.4. Niech X = S3 ⊂ C2 . S2 = {(z0 , z1 ) ∈ C2 ; |z0 |2 + |z1 |2 = 1}. Niech p > 1 będzie liczbą naturalną. Rozpatrzmy odwzorowanie h : S3 −→ S3 określone wzorem h(z0 , z1 ) = (z0 e 2πi p , z1 e 2πi p )=e 2πi p (z0 , z1 ). Odwzorowanie to jest homeomorfizmem sfery S3 takim, że hp = id. Niech G = Zp będzie grupą cykliczną rzędu p i rozpatrzmy działanie G na S3 , określone jako: n(z0 , z1 ) = hn (z0 , z1 ). Grupa Zp działa w sposób wolny na S3 . Działanie to jest więc wspólnie rozłączne. Mamy zatem nakrycie S3 −→ S3 /Zp . Z powyższego wniosku wynika, że π1 (S3 /Zp ) = Zp . Na mocy tych przykładów mamy: Wniosek 3.7.5. Każda grupa cykliczna jest grupą podstawową pewnej przestrzeni topologicznej (łukowo spójnej). Łącząc ten wniosek z twierdzeniem o grupie podstawowej produktu otrzymujemy: Wniosek 3.7.6. Każda skończenie generowana grupa abelowa jest grupą podstawową pewnej przestrzeni topologicznej (łukowo spójnej). 3. Działanie grupy na przestrzeń topologiczną 3.8 19 Uwagi 3.1 Grupa (Q, +), addytywna grupa liczb wymiernych, działa na przestrzeń R. Działanie określone jest wzorem qr = r + q. Odwzorowania postaci r 7→ qr są oczywiście ciągłe. R jest więc Q-przestrzenią. Stwierdzenie 3.8.1 (PH1 9). i cała przestrzeń. Przestrzeń R/Q jest trywialna, tzn. zbiorami otwartymi są tylko: zbiór pusty Dowód. Niech η : R −→ R/Q będzie naturalną surjekcją. Załóżmy, że A jest niepustym zbiorem otwartym w R/Q i niech r + Q ∈ A. Wtedy η(r) = r + Q ∈ A, więc r ∈ η −1 (A). Zbiór η −1 (A) jest otwarty w R (bo R/Q ma topologię ilorazową), jest więc sumą mnogościową otwartych odcinków. Do jednego z tych otwartych odcinków należy oczywiście element r. Istnieją zatem liczby rzeczywiste u < v takie, że r ∈ (u, v) ⊆ η −1 (A). Rozpatrzmy teraz dowolną orbitę s + Q należącą do R/Q. Pokażemy (i to wystarczy), że s + Q ∈ A. Niech t będzie taką liczbą wymierną, że −s + u < t < −s + v. Wtedy t + s ∈ (u, v) ⊆ η −1 (A), czyli s + Q = s + t + Q = η(s + t) ∈ A. Zatem A = R/Q. Ze stwierdzenia tego wynika, że jeśli X jest G-przestrzenią Hausdorffa, to X/G nie musi być przestrzenią Hausdorffa. 20 A. Nowicki - Marzec 1995. 4 Topologia i geometria różniczkowa Snopy i algebry funkcji ciągłych 4.1 Presnopy Definicja 4.1.1. Jeśli X jest przestrzenią topologiczną, to przez X̃ oznaczamy kategorię, której obiektami są wszystkie zbiory otwarte w X, a morfizmami włożenia, tzn. jeżeli U, V są otwartymi podzbiorami w X (czyli obiektami w X̃), to ( ∅, gdy U 6⊆ V, Morf (U, V ) = {U ,→ V }, gdy U ⊆ V. Zbiór morfizmów w kategorii X̃ jest co najwyżej jednoelementowy. Niech A będzie kategorią. Definicja 4.1.2. Każdy funktor kontrawariantny F : X̃ −→ A nazywamy presnopem przestrzeni topologicznej X o wartościach w A. Zakładać będziemy, że obiekty kategorii A ”żyją” na kategorii zbiorów, a morfizmy są przede wszystkim funkcjami. Definicja 4.1.3. Jeżeli F : X̃ −→ A jest presnopem i U ⊆ V , to jedyny morfizm F (U ,→ V ) : F (V ) −→ F (U ) oznaczamy przez FUV i nazywamy ograniczeniem V do U . Zatem FUV : F (V ) −→ F (U ). Z definicji funktora kontrawariantnego wynika: Stwierdzenie 4.1.4. (1) FUU = 1F (U ) . (2) Jeśli U ⊆ V ⊆ W , to FUW = FUV ◦ FVW . 4.2 Snopy Pewne presnopy nazywać będziemy snopami. Przed ich zdefiniowaniem wprowadźmy następujące nowe pojęcie. S Definicja 4.2.1. Niech F : X̃ −→ A będzie presnopem i U = α Uα otwartym pokryciem w X. Zgodną rodziną (tego pokrycia względem F ) nazywamy każdą rodzinę {fα } taką, że: (a) ∀α (b) ∀α,β fα ∈ F (Uα ), U FUUαα∩Uβ (fα ) = FUαβ∩Uβ (fβ ) (równość w F (Ua ∩ Uβ )). Przykład 4.2.2. Niech F : X̃ −→ A będzie presnopem i U = f ∈ F (U ). Dla każdego α definiujemy element fα jako S α Uα otwartym pokryciem w X. Niech fα = FUUα (f ). Wtedy {fα } jest zgodną rodziną rozpatrywanego pokrycia względem F . Dowód. Ponieważ FUUα : F (U ) −→ F (Uα ) więc fα = FUUα (f ) ∈ F (Uα ). Mamy ponadto (na mocy Stwierdzenia 4.1.4): U U FUUαα∩Uβ (fα ) = FUUαα∩Uβ FUUα (f ) = FUUα ∩Uβ (f ) = FUαβ∩Uβ FUUβ (f ) = FUαβ∩Uβ (fβ ). S Definicja 4.2.3. Mówimy, że zgodna rodzina {fα } (pokrycia U = α Uα względem presnopa F ) ma własność sklejania jeśli istnieje dokładnie jeden element f ∈ F (U ) taki,że {fα } jest rodziną z powyższego przykładu, tzn. ∀α fα = FUUα (f ). 4. Snopy i algebry funkcji ciągłych 21 Definicja 4.2.4. Presnop F : X̃ −→ A nazywamy snopem jśli dla każdego otwartego pokrycia w X każda zgodna rodzina, tego pokrycia względem F , ma własność sklejania. Z encyklopedii: ”Teoria snopów” to specjalny matematyczny aparat, służący do ustalenia związków między lokalnymi i globalnymi własnościami przestrzeni topologicznych. Aparat ten stosowany jest we współczesnej algebrze, geometrii, topologii i analizie. Przykład 4.2.5. Niech X będzie dyskretną przestrzenią topologiczną (każdy podzbiór jest otwarty) i niech Y będzie ustalonym zbiorem. Określamy funktor F : X̃ −→ Set przyjmując za F (U ) (gdzie U jest podzbiorem w X) zbiór wszystkich zwykłych funkcji z U do Y . Jeśli U ⊆ V , to FUV : F (V ) −→ F (U ) określamy jako FUV (f ) = f | U , dla każdego f ∈ F (V ). Funktor F jest snopem. S Dowód. Jest oczywiste, że F jest presnopem. Niech {fα } będzie zgodną rodziną pokrycia U = α Uα względem F . Definiujemy f : U −→ Y przyjmując (dla każdego u ∈ U ) f (u) = fα (u), gdzie α jest takie, że u ∈ Uα . Zauważmy, że definicja tej funkcji jest poprawna. Jeśli bowiem u należy też do Uβ , to u ∈ Uα ∩ Uβ i wtedy fα (u) = fβ (u), gdyż fα | Uα ∩ Uβ = fβ | Uα ∩ Uβ . Jedyność funkcji f jest oczywista. Oto uogólnienie tego przykładu. Przykład 4.2.6. Niech X i Y będą przestrzeniami topologicznymi. Określamy funktor F : X̃ −→ Set przyjmując za F (U ) (gdzie U jest otwartym podzbiorem w X) zbiór wszystkich funkcji ciągłych z U do Y . Jeśli U ⊆ V , to FUV : F (V ) −→ F (U ) określamy jako FUV (f ) = f | U , dla każdego f ∈ F (V ). Funktor F jest snopem. Dowód. Sprawdzamy to dokładnie tak samo jak w poprzednim przykładzie. Musimy jedynie wykazać, że funkcja f : U −→ Y (patrz dowód poprzedniego przykładu) jest ciągła. Wynika to z następującego lematu S Lemat 4.2.7. Niech X, Y będą przestrzeniami topologicznymi i niech U = α Uα będzie otwartym pokryciem w X. Załóżmy, że f : U −→ Y jest zwykłą funkcją taką, że wszystkie funkcje fα = f | Uα są ciągłe. Wtedy f jest funkcją ciągłą. S Dowód. Wynika to z równości f −1 (V ) = α fα−1 (V ), gdzie V ⊆ Y . Przykład 4.2.8 (Presnop, który nie jest snopem). Niech X = {a, b} będzie dwuelementową przestrzenią dyskretną i niech Y = {p, q} będzie ustalonym dwuelementowym zbiorem. Określamy funktor F : X̃ −→ Set przyjmując: F (∅) = {p}, F (X) = F ({a}) = F ({b}) = Y. Morfizmy określamy następująco. Jeśli U ⊆ V , to ( 1Y , gdy FUV = funkcja stała = p, gdy U 6= ∅, U = ∅. Jest oczywiste, że F jest presnopem. Nie jest to jednak snop, gdyż zgodna rodzina {p, q} (pokrycia X = {a} ∪ {b} względem F ) nie ma własności sklejania. 4.3 Algebra funkcji ciągłych Jeśli X jest przestrzenią topologiczną, to przez C[X] oznaczać będziemy R-algebrę wszystkich funkcji ciągłych z X do R. O pewnych snopowych własnościach tej algebry wspomnieliśmy w Przykładzie 4.2.6. Teraz podamy informacje o ideałach maksymalnych i derywacjach tej algebry. Zanotujmy najpierw kilka drobnych spostrzeżeń. 22 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa Lemat 4.3.1. Niech f : X −→ R będzie funkcją ciągłą taką,że f (x) 6= 0 dla wszystkich x ∈ X. Wtedy g : X −→ R, x 7→ 1/f (x), też jest funkcją ciągłą. Dowód. Wiemy, że funkcja ϕ : R r {0}, x 7→ 1/x jest ciągła. Zatem funkcja g = ϕf też jest ciągła, gdyż jest złożeniem dwóch funkcji ciągłych. Stąd wynika: Stwierdzenie 4.3.2. Funkcja f ∈ C[X] jest odwracalna w C[X] ⇐⇒ ∀x∈X f (x) 6= 0. Ideały maksymalne. Jeśli p ∈ X, to przez mp [X] oznaczamy zbiór wszystkich funkcji f ∈ C[X], zerujących się w punkcie p. Zbiór ten jest ideałem maksymalnym w C[X] oraz C[X]/mp [X] ≈ R (gdyż mp [X] jest jądrem surjekcji C[X] −→ R, f 7→ f (p)). Stwierdzenie 4.3.3. Jeśli X jest przestrzenią zwartą, to każdy ideał maksymalny w C[X] jest postaci mp [X], dla pewnego p ∈ X. Dowód. Niech M będzie ideałem maksymalnym w C[X]. Jeśli f ∈ M , to przez Af oznaczać będziemy domknięty zbiór f −1 (0). Z poprzedniego stwierdzenia wynika, że Af 6= ∅. Rozpatrzmy rodzinę {Af ; f ∈ M }. Rodzina ta jest scentrowana (tzn. każdy skończony przekrój zbiorów z tej rodziny jest niepusty). Istotnie, przypuśćmy, że Af1 ∩ · · · ∩ Afs = ∅, dla pewnych f1 , . . . , fs ∈ M . Wtedy funkcja f12 + · · · + fs2 należy do M i w każdym punkcie jest różna od zera. Funkcja ta jest więc T odwracalna w C[X] wbrew temu, że należy ona do M . Niech A = f ∈M Af . Ponieważ przestrzeń X jest zwarta, więc A 6= ∅. Niech p ∈ A. Wtedy f (p) = 0, dla wszystkich f ∈ M . Zatem M ⊆ mp [X]. Ale M jest ideałem maksymalnym, więc M = mp [X]. W powyższym dowodzie nie korzystaliśmy z tego, że X jest przestrzenią Hausdorffa. Podobny fakt zachodzi więc dla przestrzeni quasi-zwartych. Jeśli przestrzeń X nie jest zwarta, to w pieścieniu C[X] mogą istnieć ideały maksymalne, które nie są postaci mp [X]. Przykład 4.3.4 (AP3 84). Niech X = {1, 2, . . . } będzie przestrzenią dyskretną. Istnieje wtedy maksymalny ideał w C[X], który nie jest postaci mp [X]. Dowód. Niech A będzie zbiorem wszystkich funkcji f : X −→ R takich, że f (x) = 0 dla prawie wszystkich x ∈ X. Jest jasne, że A jest właściwym ideałem w C[X]. Przypuśćmy, że A ⊆ mp [X], dla pewnego p ∈ X. Niech g : X −→ R będzie funkcją zdefiniowaną następująco: ( 1, dla x = p, g(x) = 0, dla x 6= p. Wtedy g ∈ A r mp [X], a zatem mamy sprzeczność. Ideał A nie jest więc zawarty w żadnym ideale postaci mp [X]. Istnieje więc ideał maksymalny M , nie będący postaci mp [X], zawierający A. Ideał A, rozpatrywany w tym dowodzie, nie jest pierwszy. Niech f, g : X −→ R będą funkcjami takimi, że f (n) = 0 i g(n) = 1 dla nieparzystych n oraz f (m) = 1 i g(m) = 0 dla parzystych m. Wtedy f g = 0 ∈ A, f 6∈ A, g 6∈ A. Przykład 4.3.5. Niech X = R. Istnieje ideał maksymalny w C[X], który nie jest postaci mp [X]. Dowód (St. Balcerzyk). Przypomnijmy, że jeśli f : X −→ R jest funkcją ciągłą, to jej nośnikiem Supp(f ) nazywamy domknięcie zbioru f −1 (Rr0). Niech A będzie zbiorem wszystkich funkcji ciągłych f : X −→ R takich, że zbór Supp(f ) jest ograniczony. Łatwo sprawdzić, że A jest ideałem w C[X], różnym od C[X]. Istnieje więc ideał maksymalny M , zawierający A. Przypuśćmy, że A = mp [X], dla pewnego p ∈ X. Niech g : X −→ R będzie funkcją zdefiniowaną następująco: 0, dla x > p + 1 lub x 6 p − 1, x + 1 − p, dla p − 1 6 x 6 p, g(x) = −x + 1 + p, dla p 6 x 6 p + 1. 4. Snopy i algebry funkcji ciągłych 23 Wtedy g ∈ A r mp [X], co jest sprzecznością. Twierdzenie 4.3.6 ([8]294). Jeśli X jest przestrzenią Tichonowa (tzn. T3 12 ), to X jest przestrzenią zwartą ⇐⇒ każdy ideał maksymalny w C[X] jest postaci mp [X]. To samo dotyczy pierścienia C ∗ [X], wszystkich funkcji ciągłych i ograniczonych z X do R. Dodatkowe informacje o ideałach maksymalnych (a także o ideałach pierwszych) w C[X] są w AP3 78-96. Patrz też ZadAlg3 97-104. Derywacje. Jeśli f : X −→ R jest zwykłą funkcją, to oznaczmy: f + = max(f, 0), f − = − min(f, 0). Wtedy f = f + − f − oraz f + > 0, f − > 0. Ponieważ f + = f ∈ C[X], to f + , f − ∈ C[X]. 1 2 (|f | + f ), f − = 1 2 (|f | − f ) więc, jeśli Stwierdzenie 4.3.7. Niech X będzie dowolną przestrzenią topologiczną. Jeśli d : C[X] −→ C[X] jest R-derywacją, to d = 0. Dowód. Niech h ∈ C[X]. Pokażemy, że d(h) = 0. W tym celu musimy wykazać, że d(h)(p) = 0, dla wszystkich p ∈ X. Niech więc p ∈ X. Niech r = h(p) i rozpatrzmy funkcję f = h − r. Ponieważ f (p)p = 0, więcpf + (p) = 0, f − (p) = 0. Wiemy, że f + > 0 i f − > 0. Istnieją zatem ciągłe funkcje a = f + , b = f − : X −→ R i przy tym a(p) = b(p) = 0. Mamy wtedy: d(h)(p) = d(h − r)(p) = d(f )(p) = d(f + − f − )(p) = d(a2 − b2 )(p) = (2ad(a) − 2bd(b))(p) = 2a(p)d(a)(p) − 2b(p)d(b)(p) = 0d(a)(p) − 0d(b)(p) = 0. Zatem d(h) = 0. Następne stwierdzenie ma dokładnie taki sam dowód. Stwierdzenie 4.3.8. Niech X będzie dowolną przestrzenią topologiczną i niech A = C ∗ [X] (R-algebra wszystkich funkcji ciągl ych i ograniczonych x X do R) lub A = F [X] (R-algebra wszystkich funkcji z X do R). Jeśli d : A −→ A jest R-derywacją, to d = 0. Ustalmy teraz jeden punkt p ∈ X i niech σp : C[X] −→ R będzie R-algebrowym homomorfizmem f 7→ f (p). Dzięki temu homomorfizmowi R staje się C[X]-modułem z mnożeniem ∗ : C[X] × R −→ R, f ∗ r = σp (f )r = f (p)r. Można zatem badać R-derywacje δ : C[X] −→ R (patrz [19]), czyli R-liniowe odwzorowania takie, że δ(f g) = f (p)δ(g) + g(p)δ(f ), dla f, g ∈ C[X]. Nazywamy je derywacjami p-lokalnymi. Przepisując poprzedni dowód otrzymujemy: Stwierdzenie 4.3.9. Jeśli δ : C[X] −→ R jest derywacją p-lokalną, to δ = 0. To samo zachodzi, gdy zamiast algebry C[X] rozpatrzymy R-algebry ograniczonych funkcji ciągłych lub wszystkich funkcji z X do R. Pytanie 4.3.10. Czy ΩR (C[X]) (modułem różniczek algebry C[X], patrz [19]) jest modułem zerowym? 24 A. Nowicki - Marzec 1995. 4.4 Topologia i geometria różniczkowa Lokalny pierścień ciągłych kiełków Niech X będzie przestrzenią topologiczną i niech p ∈ X. Przez Ap [X] oznaczać będziemy zbiór wszystkich par postaci (U, f ), w których U jest otwartym podzbiorem w X zawierającym p oraz f : U −→ R jest funkcją ciągłą. W zbiorze Ap [X] wprowadzamy relację typu równoważności ∼ zdefiniowaną następująco: (U, f ) ∼ (V, g) ⇐⇒ istnieje zbiór otwarty W ⊆ X taki, że: (1) p ∈ W ⊆ U ∩ V, (2) f | W = g | W. Klasę abstrakcji elementu (U, f ) względem tej relacji oznaczmy przez [U, f ] i nazywamy kiełkiem punktu p. Zbiór wszystkich klas abstrakcji oznaczamy przez Op [X]. W zbiorze Op [X] definiujemy dodawanie i mnożenie w następujący sposób: [U, f ] + [V, g] = [U ∩ V, (f + g) | (U ∩ V )], [U, f ] · = [U ∩ V, (f · g) | (U ∩ V )]. [V, g] Jest oczywiste, że powyższe działania są dobrze określone oraz, że zbiór Op [X] z takimi działaniami jest przemienną R-algebrą z jedynką [X, 1] i zerem [X, 0]. Algebrę tę nazywamy lokalnym pierścieniem punktu p przestrzeni X lub pierścieniem ciągłych kiełków w punkcie p przestrzeni X. Z taką algebrą stowarzyszony jest R-algebrowy homomorfizm νp : Op [X] −→ R zdefiniowany wzorem νp ([U, f ]) = f (p) (dla wszystkich [U, F ] ∈ Op [X]), którego jądrem jest ideał Mp [X] = {[U, f ]; f (p) = 0}. Homomorfizm ten jest surjekcją (gdyż dla każdego elementu a ∈ R zachodzi równość νp ([X, ã]) = a, gdzie ã : X −→ R jest funkcją przyjmującą stałą wartość a). Mamy zatem: Stwierdzenie 4.4.1. Mp [X] jest ideałem maksymalnym w Op [X] oraz Op [X]/Mp [X] = R. Stwierdzenie 4.4.2 (ZadAlg3 98). Pierścień Op [X] jest lokalny z jedynym ideałem maksymalnym Mp [X]. Dowód. Niech [U, f ] ∈ Op [X] r Mp [X]. Wystarczy pokazać, że [U, f ] jest elementem odwracalnym w Op [X]. Niech V = f −1 (Rr0). Wtedy V jest zbiorem otwartym w X zawartym w U i zawierającym p (gdyż f (p) 6= 0 ponieważ [U, f ] 6∈ Mp [X]). Ponadto, [V, f |V ] = [U, f ] oraz (f |V )(v) 6= 0 dla wszystkich v ∈ V . Niech g : V −→ R będzie funkcją określoną wzorem g(v) = 1/f (v), dla v ∈ V . Jest to funkcja ciągła (Lemat 4.3.1) i mamy [U, f ][V, g] = 1. Stwierdzenie 4.4.3. Jeśli U jest otwartym podzbiorem w X zawierającym punkt p, to R-algebry Op [X] i Op (U ) są izomorficzne. Dowód. Odwzorowanie Op [X] −→ Op (U ), [V, f ] 7→ [V ∩U, f | (V ∩U )] jest izomorfizmem R-algebr. Niech ϕ : X −→ Y będzie odwzorowaniem ciągłym przestrzeni topologicznych i niech p ∈ X. Mamy wówczas odwzorowanie O(ϕ) : Oϕ(p) [Y ] −→ Op [X], [V, g] 7→ [ϕ−1 (V ), gϕ]. Bez trudu wykazujemy następujące stwierdzenie. Stwierdzenie 4.4.4. O(ϕ) jest homomorfizmem R-algebr oraz O(ϕ)(Mϕ(p) [Y ]) ⊆ Mp [X]. 4. Snopy i algebry funkcji ciągłych 25 Z powyższych faktów wynika, że O jest funktorem kontrawariantnym z kategorii przestrzeni topologicznych z wyróżnionym punktem do kategorii lokalnych R-algebr. W szczególności lokalny pierścień punktu jest niezmiennikiem homeomorfizmów. Następne fakty dotyczą związku pierścienia Op [X] z pierścieniem C[X]mp [X] , gdzie C[X] jest R-algebrą wszystkich funkcji ciągłych z X do R (patrz poprzedni podrozdział), a mp [X] = {f ∈ C[X]; f (p) = 0}. Stwierdzenie 4.4.5 (ZadAlg3 101). Odwzorowanie α : C[X]mp [X] −→ Op [X], f /g 7→ [X, f ][X, g]−1 , jest dobrze określonym homomorfizmem R-algebr. Dowód. Rozpatrzmy homomorfizm β : C[X] −→ Op [X], f 7→ [X, f ]. Jeśli g ∈ C[X] r mp [X], to g(p) 6= 0 i wtedy [X, g] = β(g) jest odwracalne w Op [X] (czyli [X, g] 6∈ Mp [X]). Zatem β można rozszerzyć do homomorfizmu α : C[X]mp [X] −→ Op [X], f /g 7→ β(f )/β(g) = [X, f ][X, g]−1 . Stwierdzenie 4.4.6 (ZadAlg3 102). Jeśli X jest T4 -przestrzenią (w szczególności metryczną lub zwartą), to R-algebry C[X]mp [X] i Op [X] są izomorficzne. Dokładniej, homomorfizm α z poprzedniego stwierdzenia jest izomorfizmem R-algebr. Dowód. (1) α jest surjekcją. Niech [V, f ] ∈ Op [X]. Rozpatrzmy domknięty zbiór F = X r V . Ponieważ p 6∈ F więc istnieją rozłączne zbiory otwarte U1 , U2 takie, ze p ∈ U1 i F ⊆ U2 (ponieważ X jest T4 , a więc T3 21 ). Mamy więc p ∈ U1 ⊆ X r U2 i zbiór X r U2 jest domknięty. Stąd p ∈ U1 ⊆ U1 ⊆ X r U1 ⊆ X r F = V. Rozpatrzmy funkcję f | U1 . Ponieważ X jest T4 , więc funkcję tę można przedłużyć do ciągłej funkcji f1 : X −→ R. Zatem [V, f ] = [X, f1 ] = α(f1 /1). (2) α jest różnowartościowe. Niech α(f /g) = 0, f, g ∈ C[X], g(p) 6= 0. Wtedy [X, f ][X, g]−1 = 0 w Op [X], więc [X, f ] = 0 w Op [X]. Istnieje zatem zbiór otwarty U 3 p taki, że f | U = 0. Niech h : X −→ R będzie funkcją ciągłą taką, że h(p) = 1 oraz h(x) = 0 dla x ∈ X r U (funkcja h istnieje ponieważ X jest T4 ). Teraz h 6∈ mp [X] (bo h(p) = 1) oraz h · f = 0. Zatem f /g = (hf )/(hg) = 0/(hg) = 0. Uwaga. Porównaj [20] (rozdział ”Lokalny pierścień punktu”). 26 A. Nowicki - Marzec 1995. 5 Rozmaitości różniczkowe Wiązki wektorowe nad przestrzenią topologiczną 5.1 Topologia rzeczywistej przestrzeni wektorowej Niech V będzie przestrzenią wektorową wymiaru n nad ciałem R. Istnieje wtedy przekształcenie liniowe α : V −→ Rn będące izomorfizmem. Przy pomocy tego przekształcenia można przetrzeni V zadać strukturę przestrzeni topologicznej. Zbiory otwarte w V definiuje się następująco: Definicja 5.1.1. Podzbiór U ⊆ V jest otwarty w V jeśli obraz α(U ) jest otwarty w Rn . Dzięki tej topologii izomorfizm α staje się homeomorfizmem. Wyjaśnimy teraz, że powyższa topologia na V nie zależy od wyboru izomorfizmu α : V −→ Rn . W tym celu przypomnijmy dwa następujące lematy. Lemat 5.1.2. Każdy automorfizm liniowy σ : Rn −→ Rn jest homeomorfizmem, a nawet dyfeomorfizmem klasy C ∞ . Dowód. Wynika to np. z faktu, że automorfizm σ ma postać: σ(x1 , . . . , xn ) = ( P j a1j xj , . . . , P j anj xj ), gdzie wszystkie elementy aij należą do R. Odwzorowanie σ jest więc ciągłe, a nawet klasy C ∞ . To samo dotyczy odwzorowania σ −1 . Lemat 5.1.3. Jeśli α, β : V −→ Rn są izomorfizmami przestrzeni liniowych, to istnieje automorfizm liniowy σ : Rn −→ Rn taki, że α = σ −1 β, β = σα. Dowód. σ = α−1 β. Teraz możemy wykazać, ze topologia przestrzeni wektorowej V nie zależy od wyboru izomorfizmu α : V −→ Rn . Stwierdzenie 5.1.4. Niech α : V −→ Rn będzie izomorfizmem przestrzeni liniowych. Załóżmy, że topologia na V jest taka, jak w Definicji 5.1.1. Niech β : V −→ Rn będzie drugim izomorfizmem przestrzeni liniowych i niech U będzie podzbiorem w V . Wtedy zbiór U jest otwarty w V ⇐⇒ obraz β(U ) jest otwarty w Rn . Dowód. Z poprzednich lematów wiemy, że α = σ −1 β, β = σα, gdzie σ : Rn −→ Rn jest pewnym homeomorfizmem. Jeśli więc U jest otwarte w V , to α(U ) jest otwarte w Rn , a zatem β(U ) = σα(U ) jest otwarte w Rn . Jeśli β(U ) jest otwarte w Rn , to α(U ) = σβ(U ) jest otwarte w Rn i stąd U jest otwarte w V . Wniosek 5.1.5. Niech V będzie przestrzenią wektorową wymiaru n nad Rn . Istnieje dokładnie jedna topologia na V taka, że każdy izomorfizm liniowy β : V −→ Rn jest homeomorfizmem. Powyższą jedyną topologię na V nazywa się topologią przestrzeni wektorowej. Stwierdzenie 5.1.6. Jeśli f : V −→ W jest przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych nad R, to f jest odwzorowaniem ciągłym. Dowód. Niech α : V −→ Rn , β : W −→ Rm będą izomorfizmami przestrzeni liniowych. Wiemy, że α i β są homeomorfizmami. Rozpatrzmy odwzorowanie h = βf α−1 : Rn −→ Rm . Jest to oczywiście odwzorowanie ciągłe (bo jest liniowe). Widzimy więc, że f = β −1 hα jest złożeniem trzech odwzorowań ciągłych. 5. Wiązki wektorowe 5.2 27 Rodziny wektorowe Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Definicja 5.2.1. Rodziną wektorową nad X nazywamy każdą trójkę E = (E, p, X) taką, że: (1) E jest przestrzenią topologiczną, (2) p : E −→ X jest odwzorowaniem ciągłym, (3) dla każdego x ∈ X zbiór Ex = p−1 (x), zwany włóknem nad x, jest skończenie wymiarową przestrzenią liniową nad R, przy czym topologia na Ex , indukowana z E, jest zgodna z topologią przestrzeni wektorowej. Z tej definicji wynika: Stwierdzenie 5.2.2. Niech (E, p, X) będzie rodziną wektorową nad X. Wtedy: (a) Ex ∩S Ey = ∅, dla x 6= y ∈ X. (b) E = x∈X Ex , (c) p : E −→ X jest surjekcją. Każda rodzina wektorowa nad X jest więc przestrzenią topologiczną będącą rozłączną sumą mnogościową przestrzeni wektorowych nad R. Definicja 5.2.3. Jeśli E = (E, p, X), E0 = (E 0 , p0 , X) są rodzinami wektorowymi nad X, to ich morfizmem (lub odwzorowaniem) nazywamy każde odwzorowanie ciągłe f : E −→ E 0 takie, że: (a) p0 f = p, (b) dla każdego x ∈ X odwzorowanie fx = f |: Ex −→ Ex0 jest przekształceniem liniowym. Z warunku (a) wynika, że f (Ex ) ⊆ Ex0 . Istotnie, niech e ∈ f (Ex ). Wtedy e = f (u), gdzie u ∈ Ex = p−1 (x), czyli p(u) = x. Stąd p0 (e) = p0 f (u) = p(u) = x, czyli e ∈ Ex0 . Przykład 5.2.4. Niech V będzie przestrzenią wektorową na R. Rozpatrzmy trójkę (E, p, X) określoną następująco: E = X × V, p : E −→ X, (x, v) 7→ x. Trójka ta jest rodziną wektorową nad X (patrz PH1 143). Definicja 5.2.5. Rodzinę wektorową (X × V, p, X) z Przykładu 5.2.4 nazywamy trywialną. Niech E = (E, p, X) będzie rodziną wektorową na X i niech Y ⊆ X będzie dowolnym podzbiorem. Rozpatrzmy trójkę (p−1 (Y ), q, Y ), w której q = p| : p−1 (Y ) −→ Y. Zauważmy, że jeśli x ∈ Y , to q −1 (x) = p−1 (x). Każdy zbiór postaci q −1 (x), gdzie x ∈ Y , jest więc przestrzenią wektorową nad R. Trójka (p−1 (Y ), q, Y ) jest zatem rodziną wektorową nad Y . Definicja 5.2.6. Rodzinę wektorową (p−1 (Y ), q, Y ) oznaczamy przez E | Y i nazywamy ograniczeniem rodziny E do Y . Stwierdzenie 5.2.7. Jeśli E jest trywialną rodziną wektorową nad X, to każde jej ograniczenie E | Y jest trywialną rodziną wektorową nad Y . Dowód. E = (X × V, p, X), gdzie V jest przestrzenią liniową i p : X × V −→ X jest rzutowaniem (x, v) 7→ x. Wtedy p−1 (Y ) = Y × V i q : Y × V −→ Y jest rzutowaniem na Y . 28 A. Nowicki - Marzec 1995. 5.3 Rozmaitości różniczkowe Przekroje rodziny wektorowej Niech E = (E, p, X) będzie rodziną wektorową nad przestrzenią topologiczną X. Definicja 5.3.1. Przekrojem rodziny E (ang. section) nazywamy każde odwzorowanie ciągłe s : X −→ E takie, że ps = 1X . Zbiór wszystkich przekrojów rodziny wektorowej E oznaczmy przez Γ(E). Niech s : X −→ E będzie przekrojem rodziny E. Jeśli x ∈ X to ps(x) = x, a zatem s(x) jest elementem przestrzeni liniowej Ex = p−1 (x). Załóżmy, że f : X −→ R jest funkcją ciągłą. Mamy wówczas, dla każdego x ∈ X, wektor f (x)s(x) należący do przestrzeni Ex . Mamy zatem przekrój f s : X −→ E określony wzorem (f s)(x) = f (x)s(x), x ∈ X. Jeśli s1 , s2 : X −→ E są przekrojami rodziny E, to definiujemy dodawanie s1 + s2 : X −→ E, przyjmując: (s1 + s2 )(x) = s1 (x) + s2 (x), x ∈ X, gdzie s1 (x) + s2 (x) jest sumą wektorów s1 (x) i s2 (x) w przestrzeni liniowej Ex . Jest oczywiste, że s1 + s2 jest przekrojem rodziny E. Widzimy więc, że w zbiorze Γ(E) określone jest dodawanie oraz mnożenie przez elementy pierścienia C[X], funkcji ciągłych z X do R. Stwierdzenie 5.3.2. Zbiór Γ(E), wraz z powyższymi działaniami, jest C[X]-modułem. Niech E = (E, p, X) i E0 = (E 0 , p0 , X) będą rodzinami wektorowymi nad X i niech ϕ : E −→ E0 będzie morfizmem tych rodzin. Definiujemy wówczas odwzorowanie Γ(ϕ) : Γ(E) −→ Γ(E0 ), przyjmując Γ(ϕ)(s) = ϕs, s ∈ Γ(E). Zauważmy, że Γ(f )(s) jest istotnie przekrojem rodziny E0 . Mamy bowiem (dla x ∈ X): p0 (Γ(ϕ)(s)) = p0 ϕs = ps = 1X . Stwierdzenie 5.3.3. Funkcja Γ(ϕ) : Γ(E) −→ Γ(E0 ) jest homomorfizmem C[X]-modułów. Dowód. Przypomnijmy najpierw (patrz Definicja 5.2.3), że jeśli x ∈ X, to funkcja ϕx = ϕ |: Ex −→ Ex0 jest przekształceniem liniowym. Niech s ∈ Γ(E), f ∈ C[X] oraz x ∈ X. Wtedy: (Γ(ϕ)(f s))(x) = (ϕ ◦ (f s))(x) = ϕx (f (x)s(x)) = f (x)ϕx (s(x)) = f (x)(ϕs)(x) = f (x)(Γ(ϕ)(s))(x) = (f Γ(ϕ)(s))(x). Zatem Γ(ϕ)(f s) = f Γ(ϕ)(s). W podobny sposób sprawdzamy addytywność. Wniosek 5.3.4. Γ jest funktorem kowariantnym z kategorii rodzin wektorowych nad X do kategorii C[X]-modułów. Stwierdzenie 5.3.5. Jeśli E = (X × V, p, X) jest trywialną rodziną wektorową, to Γ(E) jest C[X]modułem wolnym rangi dimR V . Dowód. Niech {e1 , . . . , en } będzie bazą przestrzeni V nad R. Niech ε1 , . . . , εn : X −→ X × V będą funkcjami zdefiniowanymi następująco: εi (x) = (x, ei ), x ∈ X, i = 1, . . . , n. Funkcje te są oczywiście przekrojami rodziny E i tworzą bazę C[X]-modułu Γ(E). 5. Wiązki wektorowe 5.4 29 Wiązki wektorowe Definicja 5.4.1. Wiązką wektorową (lub krótko wiązką) nad przestrzenią topologiczną X nazywamy każdą rodzinę wektorową E nad X, która jest lokalnie trywialna, tzn., dla każdego x ∈ X istnieje zbiór otwarty U ⊆ X, zawierający x taki, że rodzina wektorowa E | U jest trywialna. Każda trywialna rodzina wektorowa nad X jest oczywiście wiązką nad X. Stwierdzenie 5.4.2. Jeśli E jest wiązką wektorową nad X oraz U ⊆ X jest otwartym podzbiorem, to rodzina wektorowa E | U jest wiązką wektorową nad U . Dowód. Niech x ∈ U . Ponieważ x ∈ X więc istnieje zbiór otwarty U 0 ⊆ X taki, że E | U 0 jest trywialną rodziną wektorową. Wtedy (na mocy Stwierdzenia 5.2.7) rodzina wektorowa (E | U ) | (U ∩ U 0 ) = (E | U 0 ) | (U ∩ U 0 ) jest trywialna. S Z definicji wiązki wektorowej E = (E, p, X) wynika, że X = i Ui , gdzie każde Ui jest zbiorem otwartym S w X takim, że rodzina wektorowa E | Ui jest trywialna. Mówić będziemy w tym przypadku, że X = i Ui jest pokryciem trywializującym wiązki E. Stwierdzenie 5.4.3. Jeśli E = (E, p, X) jest wiązką wektorową nad spójną przestrzenią topologiczną X, to wszystkie włókna Ex mają ten sam wymiar. S Dowód. Niech X = i∈I Ui będzie pokryciem trywializującym. Ustalmy jeden punkt x ∈ X i jeden zbiór otwarty Ui 3 x. Niech n = dimR Ex . Wtedy, dla wszystkich y ∈ Ui , dimR Ey = n. Rozpatrzmy dwa następujące podzbiory zbioru I. I1 = {i ∈ I; ∀y∈Ui dimR Ey = n}, I2 = {i ∈ I; ∀y∈Ui dimR Ey 6= n}. Podzbiory te spełniają związki: I1 ∩ I2 = ∅, I = I1 ∪ I2 oraz I1 6= ∅. Przyjmijmy: S S A = i∈I1 Ui , B = i∈I2 Ui . Wtedy A i B są otwartymi zbiorami w X takimi, że X = A ∪ B, A ∩ B = ∅, A 6= ∅. Stąd wynika, że B = ∅, gdyż X jest przestrzenią spójną. Definicja 5.4.4. Morfizmem wiązek wektorowych E i E0 nad X nazywamy każdy morfizm rodzin wektorowych E i E0 (w sensie Definicji 5.2.3). 5.5 Funkcje przejścia Niech E = (E, p, X) będzie wiązką wektorową nad przestrzenią topologiczną X. Załóżmy, że wszystkie włókna S Ex mają stały wymiar. Tak jest np. gdy X jest przestrzenią spójną (Stwierdzenie 5.4.3). Niech X = i∈I Ui będzie pokryciem trywializującym rozważanej wiązki. Ponieważ włókna mają stały wymiar nad R, więc wszystkie przestrzenie postaci Ex , x ∈ X, są izomorficzne z tą samą przestrzenią wektorową V . Dla każdego x ∈ X oraz dla każdego i ∈ I takiego, że x ∈ Ui , istnieje więc izomorfizm przestrzeni wektorowych ϕi,x : Ex −→ V . Niech teraz X ∈ Ui ∩ Uj . Mamy wtedy dwa izomorfizmy ϕi,x , ϕj,x : Ex −→ V . Oznaczmy przez gij (x) automorfizm przestrzeni V określony wzorem gij (x) = ϕj,x ◦ ϕ−1 i,x : V −→ V. Automorfizmy tej postaci nazywamy funkcjami przejścia wiązki E (ang. coordinate transformations). Bez trudu wykazujemy: Stwierdzenie 5.5.1. (1) gij (x) ◦ gj k(x) = gik (x), dla x ∈ Ui ∩ Uj ∩ Uk ; (2) gii (x) = 1V , dla x ∈ Ui . 30 A. Nowicki - Marzec 1995. Rozmaitości różniczkowe Można udowodnić następujące twierdzenie. Twierdzenie 5.5.2 (PH1 152). Niech X będzie przestrzenią topologiczną i {Ui }i∈I jej otwartym pokryciem. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad R oraz niech gij (x) : V −→ V , dla x ∈ Ui ∩ Uj , będą automorfizmami liniowymi, spełniającymi związki (1), (2) poprzedniego stwierdzenia. Istnieje wtedy jedyna wiązka wektorowa (E, p, X) taka, że funkcje postaci gij (x) są jej funkcjami przejścia. 5.6 Uwagi 5.1 Niech E = (E, p, X) będzie wiązką wektorową nad przestrzenią topologiczną X. Podprzestrzeń topologiczną E0 ⊆ E wraz z odwzorowaniem p0 = p|E0 : E0 −→ X nazywamy podwiązką wiązki E jeśli (E0 , p0 , X) jest wiązką nad X (patrz PH1 182). 5.2 Jeśli E1 = (E1 , p1 , X), E2 = (E2 , p2 , X) są wiązkami nad X, to ich sumą prostą nazywamy wiązkę nad X, którą oznaczamy przez E1 ⊕ E2 . Definiujemy ją następująco: E = {(e1 , e2 ) ∈ E1 × E2 ; p1 (e1 ) = p2 (e2 )}, p : E −→ X, (e1 , e2 ) 7−→ p1(e1 ) = p2 (e2 ). Jest to tzw. suma Whithey’a. Nie istnieją sumy proste dowolnej (nieskończonej) ilości wiązek. Twierdzenie 5.6.1. Jeśli przestrzeń topologiczna X jest parazwarta i E0 jest podwiązką wiązki E nad X, to istnieje podwiązka E1 wiązki E taka, że E = E0 ⊕ E1 . Twierdzenie 5.6.2. Dla każdej wiązki E nad przestrzenią zwartą istnieje wiązka E1 taka, że E ⊕ E1 jest wiązką trywialną. Twierdzenie 5.6.3 (PH1 188). Γ(E1 ⊕ E2 ) = Γ(E1 ) ⊕ Γ(E2 ). 5.3 Iloczynem skalarnym w wiązce E nazywamy każde odwzorowanie ciągłe w : E ⊕ E −→ R takie, że dla każdego x ∈ X, obcięcie w| : Ex × Ex −→ R jest iloczynem skalarnym przestrzeni wektorowej Ex . Twierdzenie 5.6.4 (Milnor). Każda wiązka nad przestrzenią parazwartą posiada iloczyn skalarny. 5.4 Wiemy, że jeśli wiązka E (nad X) jest trywialna, to Γ(E) jest wolnym C[X]-modułem. Jeśli X jest przestrzenią zwartą, to zachodzi również stwierdzenie odwrotne. Wiązki nad przestrzeniami zwartymi mają specjalne własności. Twierdzenie 5.6.5 (PH1 186). Niech E będzie wiązką nad przestrzenią zwartą. (1) Γ(E) jest skończenie generowanym C[X]-modułem projektywnym. (2) Każdy skończenie generowany C[X]-moduł projektywny jest postaci Γ(E). (3) Wiązki E i E0 są izomorficzne ⇐⇒ C[X]-moduły Γ(E) i Γ(E0 ) są izomorficzne. (4) Wiązka E jest trywialna ⇐⇒ moduł Γ(E) jest wolny (nad C[X]). 5.5 W tym rozdziale (i w dalszych rozdziałach) wykorzystano zeszyty A. Prószyńskiego [23] i [22]. 6. Podstawowe pojęcia geometrii różniczkowej 6 31 Podstawowe pojęcia geometrii różniczkowej 6.1 Różniczka funkcji rzeczywistej Przypominamy podstawowe definicje i fakty (których dowody są np. w [25]) o różniczce funkcji rzeczywistej. m Niech U ⊆ Rn będzie zbiorem otwartym, niech a ∈ U i niech f : U −→ Rp będzie funkcją. Jeśli n x = (x1 , . . . , xn ) ∈ R , to przez ||x|| oznaczamy normę punktu x, tzn., ||x|| = x21 + · · · + x2n . Definicja 6.1.1. Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie a jeśli istnieje przekształcenie R-liniowe T : Rn −→ Rm takie, że lim h→0 ||f (a + h) − f (a) − T (h)|| = 0. ||h|| Łatwo się pokazuje, że jeśli powyższe przekształcenie liniowe T Rn −→ Rm istnieje, to dokładnie jedno. Definicja 6.1.2. Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p, to jedyne przekształcenie liniowe T : Rn −→ Rm (istniejące na mocy poprzedniej definicji) ozanaczamy przez Df (a) lub D(f )(a) i nazywamy różniczką (lub pochodną) funkcji f w punkcie a. Różniczka Df (a) jest więc przekształceniem R-liniowym Df (a) : Rn −→ Rm . Łatwo pokazać, że jeśli różniczka Df (a) istnieje, to f jest ciągłe w a. Oto podstawowe własności różniczki: Twierdzenie 6.1.3. (1) Jeśli f jest funkcją stałą, to Df (a) = 0. (2) Jeśli f : Rn −→ Rm jest przekształceniem R-liniowym, to Df (a) = f . (3) Niech f, g : U −→ Rm będą funkcjami i niech a ∈ U . Jeśli różniczki Df (a), Dg(a) istnieją, to istnieje różniczka D(f + g)(a) i zachodzi równość D(f + g)(a) = Df (a) + Dg(a). (4) Niech r ∈ R. Jeśli Df (a) istnieje, to D(rf )(a) istnieje i D(rf )(a) = rDf (a). (5) Jeśli funkcja f : U −→ Rm (gdzie a ∈ U ⊆ Rn ) jest różniczkowalna w punkcie a, a funkcja g : Rm −→ Rp jest różniczkowalna w punkcie f (a), to funkcja gf : U −→ Rp jest różniczkowalna w punkcie a i zachodzi równość D(gf )(a) = Dg(f (a)) ◦ Df (a). Twierdzenie 6.1.4. Niech a ∈ U ⊆ Rn . Niech f = (f1 , . . . , fm ) : U −→ Rm , gdzie f1 , . . . , fm : U −→ R. Wtedy funkcja f jest różniczkowalna w punkcie a ⇐⇒ funkcje f1 , . . . , fm są różniczkowalne w punkcie a. Dla funkcji rzeczywistych z Rn do R mamy dodatkowe własności: Twierdzenie 6.1.5. Niech f, g : U −→ R będą funkcjami, gdzie a ∈ U ⊆ Rn . (1) Jeśli różniczki Df (a), Dg(a) istnieją, to istnieje różniczka funkcji f · g : U −→ R (określonej jako (f · g)(u) = f (u)g(u) dla u ∈ U ) w punkcie a i zachodzi równość: D(f · g)(a) = f (a)Dg(a) + g(a)Df (a). (2) Jeśli funkcja D( fg )(a) f g : U −→ R ma sens i różniczki Df (a), Dg(a) istnieją, to istnieje różniczka i zachodzi równość: D( fg )(a) = g(a)−2 (g(a)Df (a) − f (a)Dg(a)). Różniczki wygodnie jest przedstawiać przy pomocy pochodnych cząstkowych. Przypomnijmy co to są pochodne cząstkowe. Definiuje się je tylko dla funkcji z Rn do R 32 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa Definicja 6.1.6. Niech f : U −→ R, gdzie a = (a1 , . . . , an ) ∈ U ⊆ Rn . Niech i ∈ {1, . . . , n}. Jeśli istnieje granica f (a1 , . . . , ai + h, . . . , an ) − f (a1 , . . . , an ) lim , h→0 h to granicę tę oznaczamy przez Pochodna cząstkowa ∂f ∂xi (a) ∂f ∂xi (a) i nazywamy pochodną cząstkową funkcji f w punkcie a. jest więc liczbą należącą do R. Twierdzenie 6.1.7. Niech f = (f1 , . . . , fm ) : U −→ Rm , gdzie f1 , . . . , fm : U −→ R, przy czym a ∈ U ⊆ Rn . Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie a, to istnieją wszystkie pochodne cząstkowe ∂fj n ∂xi (a), i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m i, dla h = (h1 , . . . , hn ) ∈ R , zachodzi równość Df (a)(h1 , . . . , hn ) = (r1 , . . . , rm ), gdzie ∂f1 ∂f1 r1 = ∂x1 (a)h1 + · · · + ∂xn (a)hn .. . ∂fm m rm = ∂f ∂x1 (a)h1 + · · · + ∂xn (a)hn . ∂f Definicja 6.1.8. Macierz [ ∂xji ], występującą w powyższym twierdzeniu oznacza się przez f 0 (a) i nazywa macierzą Jacobiego funkcji f w punkcie a. Zapamiętajmy więc, że jeśli f = (f1 , . . . , fm ) : U −→ Rm , gdzie U ⊆ Rn , to f 0 (a) jest m × n (najpierw kodziedzina, a potem dziedzina) macierzą: f 0 (a) = ∂f1 ∂x1 (a), .. . ∂fm ∂x1 (a), ..., ∂f1 ∂xn (a) .. . ..., ∂fm ∂xn (a) . W szczególności dla m = 1 mamy: Wniosek 6.1.9. Jeśli f : U −→ R, gdzie U ⊆ Rn , jest różniczkowalne w punkcie a ∈ U , to istnieją ∂f ∂f pochodne cząstkowe ∂x (a), . . . , ∂x (a) i zachodzi równość: 1 n Df (a)(h1 , . . . , hn ) = ∂f ∂x1 (a)h1 + ··· + ∂f ∂xn (a)hn , ∂f ∂f dla wszystkich (h1 , . . . , hn ) ∈ Rn . Ponadto, f 0 (a) = [ ∂x (a), . . . , ∂x (a)]. 1 n Z istnienia wszystkich pochodnych cząstkowych w punkcie a nie wynika istnienie różniczki w tym punkcie. Zachodzi to jednak przy pewnym dodatkowym założeniu: Twierdzenie 6.1.10. Niech f = (f1 , . . . , fm ) : U −→ Rm , gdzie f1 , . . . , fm : U −→ R, przy czym ∂f a ∈ U ⊆ Rn . Jeśli istnieją wszystkie pochodne cząstkowe ∂xji (a), i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m i w otoczeniu punktu a pochodne te są ciągłe, to funkcja f jest różniczkowalna w punkcie a. ∂f Niech f : U −→ R, gdzie U ⊆ Rn . Jeśli pochodna cząstkowa ∂x (u) istnieje dla wszystkich punktów i ∂f u ∈ U , to mamy funkcję U −→ R, u 7→ ∂xi (a). Można zatem rozpatrywać pochodne cząstkowe tej funkcji. W ten sposób pojawiają nam się pochodne mieszane postaci się pochodne mieszane wyższych rzędów. ∂2f ∂xj ∂xi (a) i analogicznie pojawiają Twierdzenie 6.1.11. Niech f : U −→ R, U ⊆ Rn , a ∈ U . Jeśli pochodne mieszane ∂2f ∂xi ∂xj (a) ∂2f ∂xj ∂xi (a) i istnieją i są w otoczeniu punktu a ciągłe, to są one równe. Bez założenia o ciągłości pochodne mieszane nie muszą być równe. Spivak [25] (strona 38) podaje następujący przykład. 6. Podstawowe pojęcia geometrii różniczkowej 33 Przykład 6.1.12. Niech f : R2 −→ R będzie funkcją określoną wzorami: xy x22 −y22 , gdy (x, y) 6= (0, 0), x +y f (x, y) = 0 gdy (x, y) = (0, 0). Wtedy pochodne mieszane 6.2 ∂2f ∂2f ∂x∂y (0, 0), ∂y∂x (0, 0) istnieją, ale są różne. Rozmaitości różniczkowe Przypomnijmy (patrz Podrozdział 1.5), że każdą przestrzeń topologiczną M posiadającą n-wymiarowy atlas, nazywamy n-wymiarową rozmaitością topologiczną. Niech {(Uα , ϕα )} będzie n-wymiarowym atlasem przestrzeni topologicznej M . Niech (Uα , ϕα ), (Uβ , ϕβ ) będą dwiema mapami z tego atlasu takimi, że Uα ∩Uβ 6= ∅. Wtedy ϕα (Uα ∩Uβ ) i ϕβ (Uα ∩Uβ ) są niepustymi podzbiorami otwartymi w Rn i mamy homeomorfizm ϕα ϕ−1 β : ϕβ (Uα ∩ Uβ ) −→ ϕα (Uα ∩ Uβ ). Definicja 6.2.1. Homeomorfizm ϕα ϕ−1 β oznaczać będziemy przez ϕαβ . Definicja 6.2.2. Mówimy, że atlas {(Uα , ϕα )} jest klasy C r (gdzie r = 0, 1, . . . ∞, ω), jeśli wszystkie homeomorfizmy postaci ϕαβ są klasy C r . Przez funkcje klasy C ω rozumiemy funkcje analityczne. Definicja 6.2.3. Mówimy, że dwa n-wymiarowe atlasy {(Uα , ϕα )}, {(Vi , ψi )} klasy C r rozmaitości M są równoważne jeśli rodzina {(Uα , ϕα ), (Vi , ψi )} również jest atlasem klasy C r tej rozmaitości. Dana rozmaitość topologiczna M może posiadać atlasy tej samej klasy, które nie są równoważne. Przykład 6.2.4. Przestrzeń M = R1 ma co najmniej dwa nierównoważne atlasy klasy C r , gdzie r > 1. Jednoelementowe atlasy {(R1 , ϕ)} i {(R1 , ψ)}, gdzie ϕ(t) = t, ψ(t) = t3 , są √ klasy C r . Natomiast 1 1 r −1 1 1 atlas {(R , ϕ), (R , ψ), } nie jest klasy C . Funkcja ϕψ : R −→ R , t 7→ 3 t, nie jest bowiem różniczkowalna w zerze. Równoważność atlasów jest relacją typu równoważności w zbiorze wszystkich atlasów klasy C r rozmaitości M . Klasę abstrakcji tej relacji nazywamy n-wymiarową strukturą różniczkową (klasy C r ) na M (patrz [24] 16). Łatwo pokazać, że każdy n-wymiarowy atlas klasy C r zawarty jest w dokładnie jednym, równoważnym z nim, atlasie maksymalnym. Struktury różniczkowe na M możemy więc utożsamiać z atlasami maksymalnymi. Warto zanotować następującą prostą charakteryzację maksymalnych atlasów. Stwierdzenie 6.2.5. Atlas A jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego p ∈ M i każdego zbioru otwartego V ⊆ M istnieje mapa (U, ϕ) ∈ A taka, że x ∈ U ⊆ V . Definicja 6.2.6. Rozmaitością różniczkową klasy C r (gdzie r = 0, 1, . . . ∞, ω), nazywamy każdą przestrzeń topologiczną M wraz z wyróżnioną n-wymiarową strukturą różniczkową klasy C r . Liczne przykłady rozmaitości różniczkowych znajdziemy np. w [4], [24], [25], [26]. Przykład 6.2.7 (Produkt rozmaitości różniczkowych). Załóżmy, że (M, A), (N, B) są rozmaitościami klasy C r wymiarów odpowiednio m i n. Niech A = {(Uα , ϕα )}α i B = {(Vi , ψi )}i . Wtedy M × N (jako przestrzeń topologiczna z topologią produktową) ma strukturę rozmaitości klasy C r wymiaru m + n. Atlas na M × N definiujemy jako {(Uα × Vi , ϕα × ψi )}α,i , gdzie ϕα × ψi : Uα × Vi −→ Rm × Rn , (a, b) 7→ (ϕα (a), ψi (b)). Każda rozmaitość różniczkowa klacy C ∞ jest T1 -przestrzenią. Istnieją takie rozmaitości, które nie są T2 (Hausdorffa), patrz np. [4]. Można wykazać, że rozmaitość różniczkowa klasy C ∞ jest T2 wtedy i tylko wtedy, gdy jest lokalnie zwarta. W dalszym ciągu zajmować się będziemy rozmaitościami gładkimi, tzn. rozmaitościami różniczkowymi klasy C ∞ , będącymi przestrzeniami Hausdorffa. Przez słowo ”rozmaitość” rozumieć będziemy ”rozmaitość gładką”. Zapamiętajmy zatem: 34 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa Stwierdzenie 6.2.8. Każda rozmaitość jest przestrzenią lokalnie zwartą. Ponieważ (jak już wiemy) lokalnie zwarta przestrzeń ośrodkowa jest przestrzenią parazwartą, więc: Stwierdzenie 6.2.9. Każda rozmaitość ośrodkowa jest przestrzenią parazwartą. Można też wykazać, że rozmaitość jest przestrzenią spójną ⇐⇒ jest łukowo spójną. 6.3 Odwzorowania rozmaitości Niech (M, A), (N, B) będą rozmaitościami odpowiednio wymiarów m i n. Definicja 6.3.1. Mówimy, że zwykła funkcja f : M −→ N jest gładka w punkcie p ∈ M jeśli istnieją mapy (U, ϕ) ∈ A, (V, ψ) ∈ B takie, że: (1) p ∈ U , (2) f (p) ∈ V , (3) f (U ) ⊆ V , (4) odwzorowanie rzeczywiste ψf ϕ−1 : ϕ(U ) −→ ψ(V ) jest klasy C ∞ w punkcie ϕ(p) (jest to odwzorowanie z otwartego podzbioru w Rm do otwartego podzbioru w Rn ). Odwzorowanie ψf ϕ−1 występujące w tej definicji jest funkcją z otwartego podzbioru w Rm do otwartego podzbioru w Rn . Czasem podaje się inną definicję gładkości odwzorowania w punkcie. Słowo ”istnieją” zamienia się na ”dla każdych”. Łatwo wykazać, że to jest to samo. Z definicji rozmaitości wynika bowiem: Stwierdzenie 6.3.2. Jeśli f : M −→ N jest funkcją gładką w punkcie p ∈ M , to dla każdych map (U, ϕ) ∈ A, (V, ψ) ∈ B spełniających warunki (1), (2), (3) spełniony jest warunek (4). Definicja 6.3.3. Mówimy, że funkcja f : M −→ N jest gładka jeśli jest gładka w każdym punkcie p ∈ M. W przypadku M = Rm , N = Rn odwzorowania gładkie pokrywają się z odwzorowaniami klasy C ∞ . W ogólnym przypadku odwzorowanie f : M −→ N jest gładkie ⇐⇒ wszystkie funkcje postaci ψf ϕ−1 (dla wszystkich odwzorowań ϕ, ψ występujących w odpowiednich atlasach takich, że ψf ϕ−1 ma sens) są klasy C ∞ Każde odwzorowanie gładkie jest ciągłe. Złożenie odwzorowań gładkich jest gładkie. Rzutowania M × N −→ M , M × N −→ N są gładkie. Włożenie sfery S n w Rn+1 jest odwzorowaniem gładkim. Definicja 6.3.4. Odwzorowanie f : M −→ N nazywamy dyfeomorfizmem jeśli jest bijekcją i odwzorowania f, f −1 są gładkie. Jeśli A i B są dwoma atlasami klasy C ∞ wymiaru n tej samej rozmaitości M , to atlasy te są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy identyczność (M, A) −→ (M, B) jest dyfeomorfizmem. 6.4 Algebra funkcji gładkich Przestrzeń R = R1 jest rozmaitością (gładką) z jednoelementowym atlasem (R, 1R ). Jeśli (M, A) jest dowolną rozmaitością (rozumie się, że gładką), to wiemy już co to znaczy, że dana funkcja f : M −→ R jest gładka. Przypomnijmy: Wniosek 6.4.1. Funkcja f : M −→ R jest gładka ⇐⇒ dla każdej mapy (U, ϕ) ∈ A odwzorowanie f ϕ−1 : ϕ(U ) −→ R jest klasy C ∞ . Definicja 6.4.2. Zbiór wszystkich funkcji gładkich z M do R oznaczamy przez C ∞ (M ) lub C(M ) i nazywamy algebrą funkcji gładkich na M . Jest jasne, że C(M ) jest przemienną R-algebrą z jedynką. Dodawanie, mnożenie i mnożenie przez skalar definiuje się w naturalny sposób. 6. Podstawowe pojęcia geometrii różniczkowej 35 Definicja 6.4.3. Jeśli f : M −→ N jest odwzorowaniem (gładkim) rozmaitości, to przez C(f ) (lub C ∞ (f )) oznaczamy R-algebrowy homomorfizm C(f ) : C(N ) −→ C(M ), g 7→ gf . Mamy zatem funktor kontrawariantny z kategorii gładkich rozmaitości do kategorii przemiennych R-algebr. Twierdzenie 6.4.4 (PH1 166). Niech M będzie rozmaitością (gładką). Niech A, B będą rozłącznymi podzbiorami domkniętymi w M . Załóżmy, że A jest zwarte. Istnieje wtedy funkcja f ∈ C(M ) taka, że: (1) f (M ) ⊆ [0, 1], (2) f (a) = 1 dla a ∈ A, (3) f (b) = 0 dla b ∈ B. Twierdzenie to jest konsekwencją następujących pięciu lematów. Lemat 6.4.5. Funkcja f : R −→ R, określona wzorem ( −1 dla t > 0, e t, f (t) = 0 dla t 6 0, jest klasy C ∞ . Lemat 6.4.6. Jeśli a < b, to funkcja g : R −→ R, określona wzorem g(t) = f (t − a)f (b − t) (gdzie f : R −→ R jest funkcją z poprzedniego lematu), jest klasy C ∞ , znika poza przedziałem (a, b) i jest dodatnia w przedziale (a, b). Lemat 6.4.7. Jeśli a < b, to funkcja h : R −→ R, określona wzorem Rb h(t) = Rtb a g(u)du g(u)du (gdzie g : R −→ R jest funkcją z poprzedniego lematu), jest klasy C ∞ . Jest to funkcja nierosnąca oraz ( 1, dla t 6 a, h(t) = 0, dla t > b. Ponadto h0 (t) = cg(t), dla pewnego c ∈ R. Lemat 6.4.8. Jeśli r < s, to funkcja ψ : Rn −→ R, określona wzorem ψ(x) = h(||x||2 ) = h(x21 + · · · + x2n ), dla a = r2 , b = s2 (gdzie h : R −→ R jest funkcją z poprzedniego lematu), jest klasy C ∞ . Ponadto, 0 6 ψ(x) 6 1 oraz ( 1, dla ||x|| 6 r, ψ(x) = 0, dla ||x|| > s. Lemat 6.4.9 (PH1 165). Niech A, B będą rozłącznymi podzbiorami domkniętymi w Rn , przy czym niech A będzie zbiorem zwartym. Istnieje wtedy funkcja ϕ : Rn −→ R, klasy C ∞ taka, że: (1) ϕ(Rn ) ⊆ [0, 1], (2) ϕ(a) = 1 dla a ∈ A, (3) ϕ(b) = 0 dla b ∈ B. 36 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa Dowód. Dla każdego a ∈ A istnieje kula K(a, ra ) ⊂ Rn , rozłączna ze zbiorem B. Ponieważ zbiór A jest zwarty, więc istnieje skończona ilość punktów a1 , . . . , am ∈ A oraz promieni r1 , . . . , rm takich, Sm że A ⊂ i=1 K(ai , ri ) i każda kula postaci K(ai , ri ) jest rozłączna z B. Na mocy poprzedniego lematu istnieją funkcje ψ1 , . . . , ψm : Rn −→ R, klasy C ∞ takie, że ( 1, dla ||x − ai || 6 ri , ψi (x) = i = 1, . . . , m. 0, dla ||x − ai || > 2ri , Definiujemy funkcję ϕ : Rn −→ R przyjmując ϕ = 1 − (1 − ψ1 ) · · · (1 − ψm ). Teraz już nie jest trudno udowodnić Twierdzenie 6.4.4. Ponieważ każda rozmaitość gładka jest przestrzenią lokalnie zwartą, więc z Twierdzenia 6.4.4 wynika: Wniosek 6.4.10. Niech M będzie rozmaitością gładką, niech p ∈ M i niech V 3 x będzie zbiorem otwartym w M . Istnieje wtedy funkcja f ∈ C(M ) taka,że f | U = 1, dla pewnego zbioru otwartego U 3 p zawartego w V oraz f | M r V = 0. Twierdzenie 6.4.11 (PH1 166). Niech U będzie otwartym podzbiorem rozmaitości (gładkiej) M . Niech f ∈ C(U ) i niech W będzie zbiorem otwartym takim, że W ⊆ W ⊆ U . Istnieje wtedy funkcja g ∈ C(M ) taka, że g | W = f | W . Twierdzenie 6.4.12 (PH1 164). Niech M, N będą rozmaitościami gładkimi i niech f : M −→ N będzie zwykłą funkcją. Następujące dwa warunki są równoważne: (1) f jest odwzorowaniem gładkim; (2) f jest funkcją ciągłą oraz, dla każdego zbioru otwartego V ⊆ N i dla każdej funkcji α ∈ C(V ), funkcja α ◦ f | f −1 (V ) jest elementem algebry C(f −1 (V )). Niech M będzie rozmaitością (gładką). Przypomnijmy, że przez M̃ oznaczamy kategorię, której obiektami są wszystkie zbiory otwarte w M , a morfizmami włożenia. Oznaczmy przez R-Alg kategorię przemiennych R-algebr z jedynką. Rozważmy funktor kontrawariantny F : M̃ −→ R-Alg określony następująco: Definicja 6.4.13. (a) Jeśli U jest zbiorem otwartym w M , to F (U ) = C(U ) = C ∞ (U ). (2) Jeśli U ⊆ V są zbiorami otwartymi w M , to FUV : F (V ) −→ F (U ) jet R-algebrowym homomorfizmem określonym wzorem FUV (f ) = f | U , dla wszystkich f ∈ F (V ) = C(V ). Stwierdzenie 6.4.14 (PH3 59). F jest snopem rozmaitości M o wartościach w R-Alg. O pewnych własnościach snopa F (pozwalających odtworzyć rozmaitość M ) mamy w PH1 163. Zanotujmy jeszcze informację dotyczącą rozkładu jedności (patrz Rozdział 1). Wiemy, że każda topologiczna przestrzeń parazwarta ma, dla każdego otwartego pokrycia, rozkład jedności względem tego pokrycia. W szczególności każda ośrodkowa rozmaitość (gładka) ma taki rozkład jedności. Można udowodnić więcej: Twierdzenie 6.4.15. Niech M będzie ośrodkową rozmaitością gładką. Wówczas dla każdego otwartego pokrycia rozmaitości M istnieje rozkład jedności względem tego pokrycia, składający się z funkcji gładkich (czyli należących do C(M )). Jeśli p ∈ M , to przez mp (M ) oznaczamy zbiór wszystkich funkcji gładkich f : M −→ R zerujących się w punkcie p, tzn. mp (M ) = {f ∈ C(M ); f (p) = 0}. Jest jasne, że zbiór ten jest ideałem maksymalnym w C(M ), będącym jądrem R-algebrowej surjekcji C(M ) −→ R, f 7→ f (p). W szczególności C(M )/mp (M ) ≈ R. 6. Podstawowe pojęcia geometrii różniczkowej 37 Stwierdzenie 6.4.16. Jeśli M jest gładką rozmaitością zwartą, to każdy ideał maksymalny w C(M ) jest postaci mp (M ), dla pewnego p ∈ M . Dowód jest dokładnie taki sam, jak dowód Twierdzenia 4.3.3, opisującego wszystkie ideały maksymalne w algebrze C[X], funkcji ciągłych z X do R, gdzie X jest zwartą przestrzenią topologiczną. Stwierdzenie 6.4.17. Niech M będzie gładką rozmaitością zwartą. Niech F : C(M ) −→ R będzie R-algebrowym homomorfizmem. Istnieje wtedy dokładnie jeden punkt p ∈ M taki, że F (f ) = f (p), dla wszystkich f ∈ C(M ). Dowód. Wykażemy najpierw, że jeśli punkt p istnieje, to dokładnie jeden. Przypuśćmy, że takie punkty są dwa. Oznaczmy je przez p i q. Wtedy p, q ∈ M , p 6= q. Z Twierdzenia 6.4.4 wynika, że istnieje funkcja f ∈ C(M ) taka, że f (p) = 0 i f (q) = 1. Mamy zatem sprzeczność: 0 = f (p) = F (f ) = f (q) = 1. Udowodnimy teraz istnienie punktu p. W tym celu zauważmy najpierw, że F jest surjekcją (bo F (1) = 1 i F (r) = r, dla r ∈ R). Jądro homomorfizmu F jest więc ideałem maksymalnym w C(M ). Istnieje zatem, na mocy poprzedniego stwierdzenia, punkt p ∈ M taki, że KerF = mp (M ). Niech f ∈ C(M ). Wtedy f − f (p) ∈ mp (M ), a zatem 0 = F (f − f (p)) = F (f ) − F (f (p)) = F (f ) − f (p), czyli F (f ) = f (p). Stwierdzenie 6.4.18. Niech M będzie gładką rozmaitością zwartą. Niech Φ : C(M ) −→ C(M ) będzie R-algebrowym endomorfizmem. Istnieje wtedy dokładnie jedna funkcja gładka ϕ : M −→ M taka, że Φ(f ) = f ◦ ϕ, dla wszystkich f ∈ C(M ). Dowód. Niech p ∈ M . Rozważmy R-algebrowy homomorfizm Fp : C(M ) −→ R, f 7→ Φ(f )(p). Z poprzedniego stwierdzenia wynika, że istnieje (jedyny) punkt ϕ(p) ∈ M taki, że Fp (f ) = f (ϕ(p)), dla wszystkich f ∈ C(M ). W ten sposób pojawia nam się funkcja ϕ : M −→ M , spełniająca warunek Φ(f )(p) = Fp (f ) = f (ϕ(p)) (dla f ∈ C(M ), p ∈ M ), czyli Φ(f ) = f ◦ ϕ. Gładkość funkcji ϕ wynika z tego, że gładkie są wszystkie funkcje postaci f ◦ ϕ, dla f ∈ C(M ). Wykażemy teraz, że taka funkcja ϕ jest jedyna. Przypuśćmy, że ϕ1 : M −→ M jest drugą funkcją, różną od ϕ taką, że Φ(f ) = f ◦ ϕ1 . Istnieje wtedy punkt p ∈ M taki, że ϕ(p) 6= ϕ1 (p). Istnieje zatem (na mocy Twierdzenia 6.4.4) funkcja f ∈ C(M ) o własności f (ϕ(p)) = 1, f (ϕ1 (p)) = 0. Mamy wtedy sprzeczność: 1 = f (ϕ(p)) = f ◦ ϕ(p) = Φ(f )(p) = f ◦ ϕ1 (p) = f (ϕ1 (p)) = 0. Stwierdzenie 6.4.19. Niech M będzie gładką rozmaitością zwartą. Niech Φ : C(M ) −→ C(M ) będzie R-algebrowym automorfizmem. Istnieje wtedy dokładnie jeden dyfeomorfizm ϕ : M −→ M taki, że Φ(f ) = f ◦ ϕ, dla wszystkich f ∈ C(M ). Dowód. Powtarzamy dowód poprzedniego stwierdzenia dla endomorfizmów Φ i Φ−1 i z łatwością stwierdzamy, że ϕ jest bijekcją oraz funkcje ϕ i ϕ−1 są gładkie. Powyższe trzy stwierdzenia zachodzą również dla rozmaitości parazwartych ([1] 231). Zwróćmy uwagę, że podobne stwierdzenia istnieją w geometrii algebraicznej, gdzie rolę algebry C(M ) odgrywa algebra funkcji regularnych danej rozmaitości afinicznej (patrz [20], rozdział o odwzorowaniach regularnych i uwagi do tego rozdziału). 6.5 Lokalny pierścień gładkich kiełków W Podrozdziale 4.4 opisaliḿy lokalny pierścień Op [X], ciągłych kiełków przestrzeni topologicznej X w punkcie p ∈ X. W tym podrozdziale opiszemy podobny pierścień dla punktu p gładkiej rozmaitości M . Pierścień ten oznaczać będziemy przez Op (M ). Przedstawione tu definicje i konstrukcje będą podobne do odpowiednich definicji i konstrukcji z Podrozdziału 4.4. Słowa ”przestrzeń topologiczna” i ”funkcja ciągła” zamienimy odpowiednio na ”rozmaitość gładka” i ”funkcja gładka”. Zaznaczmy 38 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa jeszcze, że w podobny sposób wprowadza się, w geometrii algebraicznej, lokalny pieścień kiłków regularnych (patrz [20]). Niech M będzie rozmaitością gładką i niech p ∈ M . Przez Ap (M ) oznaczać będziemy zbiór wszystkich par postaci (U, f ), w których U jest otwartym podzbiorem w X zawierającym p oraz f : U −→ R jest funkcją gładką. W zbiorze Ap (M ) wprowadzamy relację typu równoważności ∼ zdefiniowaną następująco: (U, f ) ∼ (V, g) ⇐⇒ istnieje zbiór otwarty W ⊆ X taki, że: (1) p ∈ W ⊆ U ∩ V, (2) f | W = g | W. Klasę abstrakcji elementu (U, f ) względem tej relacji oznaczmy przez [U, f ] i nazywamy kiełkiem punktu p. Zbiór wszystkich klas abstrakcji oznaczamy przez Op (M ). W zbiorze Op (M ) definiujemy dodawanie i mnożenie w następujący sposób: [U, f ] + [V, g] = [U ∩ V, (f + g) | (U ∩ V )], [U, f ] · = [U ∩ V, (f · g) | (U ∩ V )]. [V, g] Jest oczywiste, że powyższe działania są dobrze określone oraz, że zbiór Op (M ) z takimi działaniami jest przemienną R-algebrą z jedynką [M, 1] i zerem [M, 0]. Algebrę tę nazywamy lokalnym pierścieniem punktu p rozmaitości M lub pierścieniem gładkich kiełków w punkcie p rozmaitości M . Z taką algebrą stowarzyszony jest R-algebrowy homomorfizm νp : Op (M ) −→ R zdefiniowany wzorem νp ([U, f ]) = f (p) (dla wszystkich [U, F ] ∈ Op (M )), którego jądrem jest ideał Mp (M ) = {[U, f ]; f (p) = 0}. Homomorfizm ten jest surjekcją (gdyż dla każdego elementu a ∈ R zachodzi równość νp ([M, ã]) = a, gdzie ã : M −→ R jest funkcją przyjmującą stałą wartość a). Mamy zatem: Stwierdzenie 6.5.1. Mp (M ) jest ideałem maksymalnym w Op (M ) oraz Op (M )/Mp (M ) = R. Stwierdzenie 6.5.2 (ZadAlg3 98). Pierścień Op (M ) jest lokalny z jedynym ideałem maksymalnym Mp (M ). Dowód. Niech [U, f ] ∈ Op (M ) r Mp (M ). Wystarczy pokazać, że [U, f ] jest elementem odwracalnym w Op (M ). Niech V = f −1 (R r 0). Wtedy V jest zbiorem otwartym w M zawartym w U i zawierającym p (gdyż f (p) 6= 0 ponieważ [U, f ] 6∈ Mp (M )). Ponadto, [V, f |V ] = [U, f ] oraz (f |V )(v) 6= 0 dla wszystkich v ∈ V . Niech g : V −→ R będzie funkcją określoną wzorem g(v) = 1/f (v), dla v ∈ V . Jest to oczywiście funkcja gładka i mamy [U, f ][V, g] = 1. Stwierdzenie 6.5.3. Jeśli U jest otwartym podzbiorem w M zawierającym punkt p, to R-algebry Op (M ) i Op (U ) są izomorficzne. Dowód. Odwzorowanie Op (M ) −→ Op (U ), [V, f ] 7→ [V ∩ U, f | (V ∩ U )] jest izomorfizmem R-algebr. Niech ϕ : M −→ N będzie odwzorowaniem gładkim rozmaitości gładkich i niech p ∈ M . Mamy wówczas odwzorowanie O(ϕ) : Oϕ(p) (N ) −→ Op (M ), [V, g] 7→ [ϕ−1 (V ), gϕ]. Bez trudu wykazujemy następujące stwierdzenie. Stwierdzenie 6.5.4. O(ϕ) jest homomorfizmem R-algebr oraz O(ϕ)(Mϕ(p) (N )) ⊆ Mp (M ). 6. Podstawowe pojęcia geometrii różniczkowej 39 Z powyższych faktów wynika, że O jest funktorem kontrawariantnym z kategorii rozmaitości gładkich z wyróżnionym punktem do kategorii lokalnych R-algebr. W szczególności lokalny pierścień punktu jest niezmiennikiem gładkich dyfeomorfizmów. Zanotujmy następującą konsekwencję Twierdzenia 6.4.11. Stwierdzenie 6.5.5. Jeśli [U, f ] ∈ Op (M ), to istnieje g ∈ C(M ) takie, że [U, f ] = [M, g]. Dowód. Niech [U, f ] ∈ Op (M ). Wtedy U 3 p jest zbiorem otwartym w M oraz f : U −→ R jest funkcją gładką. Rozmaitość M jest lokalnie zwartą przestrzenią topologiczną. Istnieje zatem zbiór otwarty W ⊆ M taki, że p ∈ W ⊆ W ⊆ U . Stąd, na mocy Twierdzenia 6.4.11, istnieje funkcja gładka g : M −→ R taka, że g|W = f |W . Zatem [U, f ] = [M, g]. Następne fakty dotyczą związku pierścienia Op (M ) z pierścieniem C(M )mp (M ) , gdzie C(M ) jest R-algebrą wszystkich funkcji gładkich z M do R (patrz poprzedni podrozdział), a mp (M ) = {f ∈ C(M ); f (p) = 0}. Stwierdzenie 6.5.6 (PH3 62). Jeśli M jest rozmaitością gładką i p ∈ M , to R-algebry Op (M ) i C(M )mp (M ) są izomorficzne. Dowód. Rozpatrzmy homomorfizm β : C(M ) −→ Op (M ), f 7→ [M, f ]. Jeśli g ∈ C(M ) r mp (X), to g(p) 6= 0 i wtedy [M, g] = β(g) jest odwracalne w Op (M ) (czyli [M, g] 6∈ Mp (X)). Zatem β można rozszerzyć do homomorfizmu α : C(M )mp (M ) −→ Op (X), f /g 7→ β(f )/β(g) = [M, f ][M, g]−1 . Pokażemy, że α jest bijekcją. (1) α jest surjekcją. Niech [U, f ] ∈ Op (M ). Wiemy, ze Stwierdzenia 6.5.5, że [U, f ] = [M, g], dla pewnego g ∈ C(M ). Zatem [U, f ] = [M, g] = α(g/1). (2) α jest różnowartościowe. Niech α(f /g) = 0 = [M, 0], f, g ∈ C(M ), g(p) 6= 0. Wtedy [M, f ][M, g]−1 = 0 w Op (M ), więc [M, f ] = 0 = [M, 0] w Op (M ). Istnieje zatem zbiór otwarty U 3 p taki, że f | U = 0. Niech h : M −→ R będzie funkcją gładką taką, że h(p) = 1 oraz h(m) = 0 dla m ∈ M r U (funkcja h istnieje na mocy Twierdzenia 6.4.4). Teraz h 6∈ mp (M ) (bo h(p) = 1) oraz h · f = 0. Zatem f /g = (hf )/(hg) = 0/(hg) = 0. 6.6 Uwagi 6.1 Niech V będzie n-wymiarową przestrzenią wektorową nad R. Jeśli 1 < r < n, to przez Gr (V ) oznaczamy zbiór wszystkich r-wymiarowych podprzestrzeni przestrzeni V . Można udowodnić, że na zbiorze Gr (V ) istnieje naturalna (jedyna) struktura rozmaitości gładkiej wymiaru r(n − r). Rozmaitość tę nazywamy rozmaitością Grassmanna. Jest to rozmaitość zwarta. Szczegóły znajdziemy np. w [10]76, [27]151 (patrz też PH4 6, 23). 6.2 Można udowodnić: Twierdzenie 6.6.1 (Whitney’a). Jeśli M jest rozmaitością gładką wymiaru n, to istnieje dyfeomorfizm τ : M −→ R2n+1 taki, że zbiór τ (M ) jest domknięty w R2n+1 . Dowód można znaleźć np. w książce [2] (strony 144 - 158 w tł. polskim). Poniższe zdania są przepisane z tej książki. ”Z twierdzenia tego wynika, że każdą rozmaitość gładką można potraktować jako podrozmaitość przestrzeni Rn dostatecznie wysokiego wymiaru. Wydawać by się mogło, że wobec tego badania abstrakcyjnych rozmaitości gładkich mają tylko charakter ćwiczeniowy i że równie dobrze moglibyśmy nigdy nie wyjść poza ramy przestrzeni euklidesowych. Wszelako takie ograniczenie nie byłoby zgodne z naturalnym podejściem do większości rozmaitości różniczkowalnych i rozwojem intuicyjnego poglądu na ich własności”. 40 A. Nowicki - Marzec 1995. 7 Topologia i geometria różniczkowa Derywacje lokalne Niech M będzie rozmaitością gładką i niech p ∈ M . Stosujemy następujące oznaczenia: C(M ) = R-algebra funkcji gładkich z M do R; mp (M ) = {f ∈ C(M ); f (p) = 0} (ideał maksymalny w C(M )); Dp (C(M )) = przestrzeń derywacji p-lokalnych z C(M ) do R Op (M ) = R-algebra kiełków gładkich rozmaitości M w punkcie p; Mp (M ) = {[U, f ] ∈ Op (M ); f (p) = 0} (jedyny ideał maksymalny w Op (M )); Dp (Op (M )) = przestrzeń derywacji p-lokalnych z Op (M ) do R. Mówimy, że R-liniowe odwzorowanie d : C(M ) −→ R jest derywacją p-lokalną pierścienia C(M ), jeśli d(f g) = f (p)d(g) + g(p)d(f ), dla f, g ∈ C(M ). Mówimy, że R-liniowe odwzorowanie δ : Op (M ) −→ R jest derywacją p-lokalną pierścienia Op (M ), jeśli δ([U, f ][V, g]) = f (p)δ([V, g]) + g(p)δ([U, f ]), dla [U, f ], [V, g] ∈ Op (M ). Jest oczywiste, że zbiory Dp (C(M )) i Dp (Op (M )), wszystkich derywacji p-lokalnych, są przestrzeniami liniowymi nad R. Derywacje p-lokalne są zwykłymi derywacjami (takimi, jak w [19]) z pierścienia do modułu. O derywacjach p-lokalnych, ale dla pierścienia C[X], funkcji ciągłych z przestrzeni topologicznej X do R, wspominaliśmy w Rozdziale 1. Wykazaliśmy tam, że jedynymi takimi derywacjami są odwzorowania zerowe. Tak jednak już nie będzie, gdy pierścień C[X] zastąpimy pierścieniem C(M ) lub Op (M ). Przekonamy się o tym w tym rozdziale. Przestrzenie liniowe Dp (C(M )) i Dp (Op (M )) (które, jak wykażemy, są izomorficzne) odgrywają ważną rolę w geometrii (topologii, analizie) różniczkowej. Są to przestrzenie styczne do M w punkcie p. Wyjaśnimy to też w tym rozdziałe. 7.1 Izomorfizm przestrzeni derywacji lokalnych Rozpatrzmy R-algebrowy homomorfizm β : C(M ) −→ Op (M ), f 7→ [M, f ]. Homomorfizm ten wykorzystaliśmy już w dowodzie Stwierdzenia 6.5.6. Lemat 7.1.1. Jeśli δ ∈ Dp (Op (M )), to δβ ∈ Dp (C(M )). Dowód. Niech d = δβ, f, g ∈ C(M ). Wtedy: d(f g) Stwierdzenie 7.1.2 (PH3 65). Dokładniej: odwzorowanie = = = = δβ(f g) = δ([M, f ][M, g]) f (p)δ([M, g]) + g(p)δ([M, f ]) f (p)δβ(g) + g(p)δβ(f ) f (p)d(g) + g(p)d(f ). Przestrzenie liniowe Dp (Op (M )) H : Dp (Op (M )) −→ Dp (C(M )), jest izomorfizmem przestrzeni liniowych nad R. i δ 7→ δβ Dp (C(M )) są izomorficzne. 7. Derywacje lokalne 41 Dowód. Jest jasne, że odwzorowanie H jest R-liniowe. Wykażemy, że H jest bijekcją. (1) Różnowartościowość. Niech H(δ) = 0, gdzie δ ∈ Dp (Op (M )). Wtedy, dla każdego f ∈ C(M ), δ([M, f ]) = δβ(f ) = H(δ)(f ) = 0. Niech [U, h] będzie dowolnym elementem pierścienia Op (M ). Na mocy Stwierdzenia 6.5.5, [U, h] = [M, g] dla pewnego g ∈ C(M ). Mamy zatem δ([U, h]) = δ([M, g]) = 0, tzn. δ = 0. (2) Surjektywność. Niech d : C(M ) −→ R będzie derywacją p-lokalną. Wiemy (patrz dowód Stwierdzenia 6.5.6), że każdy element z Op (M ) jest postaci [M, f ][M, g]−1 , gdzie f, g ∈ C(M ), g(p) 6= 0. Definiujemy odwzorowanie δ : Op (M ) −→ R, przyjmując δ([M, f ][M, g]−1 ) = g(p)−2 (g(p)d(f ) − f (p)d(g)). Standardowym rachunkiem sprawdzamy, że δ jest dobrze określone oraz, że δ jest derywacją p-lokalną. Jeśli f ∈ C(M ), to H(δ)(f ) = δβ(f ) = δ([M, f ]) = δ([M, f ][M, 1]−1 ) = 1(p)−2 (1(p)d(f ) − f (p)d(1)) = d(f ). Zatem H(δ) = d. Wniosek 7.1.3. Niech d : C(M ) −→ R będzie derywacją p-lokalną. Jeśli f : M −→ R jest funkcją gładką taką, że f | U = 0 dla pewnego zbioru otwartego U , zawierającego p, to d(f ) = 0. Dowód (Pierwszy). Istnieje (na mocy Twierdzenia 7.1.2) derywacja p-lokalna δ : Op (M ) −→ R taka, że d = δβ. Zauważmy, że [M, f ] = [U, f |U ] = [U, 0] = [M, 0] = 0. Zatem d(f ) = δβ(f ) = δ([M, f ]) = δ(0) = 0. Dowód (Drugi). Niech W będzie zbiorem otwartym w M takim, że p ∈ W ⊆ W ⊆ U oraz W jest zbiorem zwartym (W istnieje ponieważ M jest lokalnie zwarte). Wtedy (Twierdzenie 6.4.4) istnieje funkcja gładka h ∈ C(M ) taka, że H|W = 1 i h|(X r U ) = 0. Niech g = (1 − h)f . Oczywiście g ∈ C(M ). Zauważmy, że g = f . Istotnie, jeśli a ∈ U , to g(a) = (1−h(a))f (a) = (1−h(a))0 = 0 = f (a). Jeśli a 6∈ U , to g(a) = (1 − h(a))f (a) = (1 − 0)f (a) = f (a). Mamy zatem d(f ) = d(g) = d((1 − h)f ) = (1 − h(p))d(f ) + f (p)d(1 − h) = (1 − 1)d(f ) + 0d(1 − h) = 0. Wniosek 7.1.4. Niech d : C(M ) −→ R będzie derywacją p-lokalną. Jeśli f, g : M −→ R są funkcjąmi gładkimi takimi, że f | U = g | U dla pewnego zbioru otwartego U , zawierającego p, to d(f ) = d(g). 7.2 Przestrzenie liniowe postaci M/M2 Przypomnijmy najpierw kilka ogólnych faktów z [20] (rozdział o lokalnym pierścieniu punktu). Niech R będzie pierścieniem (przemiennym z jedynką) i M jego ideałem maksymalnym. Niech s będzie liczbą naturalną. Mamy wówczas dwa ideały M s ⊇ M s+1 , a więc dwa R-moduły (moduł i podmoduł). Mamy zatem R-moduł ilorazowy M s /M s+1 . Moduł ten ma strukturę R/M -modułu z mnożeniem R/M × M s /M s+1 −→ M s /M s+1 określonym wzorem (r + M )(a + M s+1 ) = ra + M s+1 , dla r ∈ R, a ∈ M s . Zauważmy, że mnożenie to jest dobrze określone. Jeśli r, r0 ∈ R, a, a0 ∈ M s są takie, że r +M = r0 +M , a + M s+1 = a0 + M s+1 , to r − r0 ∈ M , a − a0 ∈ M s+1 , a zatem (r − r0 )a ∈ M s+1 , r0 (a − a0 ) ∈ M s+1 , czyli ra − r0 a0 = (r − r0 )a + r0 (a − a0 ) ∈ M s+1 . Zatem M s /M s+1 jest przestrzenią liniową nad ciałem R/M . Rozpatrzmy teraz pierścień ułamków RM (lokalizację pierścienia R względem ideału maksymalnego M ) i jego jedyny ideał maksymalny M RM . Mamy w tym przypadku izomorfizm ciał RM /M RM ≈ (R/M )(0) = R/M, f /g + M RM 7→ f g −1 + M (patrz [20]). Mamy zatem dwie przestrzenie liniowe M s /M s+1 samym ciałem R/M . i (M RM )s /(M RM )s+1 nad tym 42 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa Stwierdzenie 7.2.1 ([20]). Jeśli M jest ideałem maksymalnym w pierścieniu R i s > 0, to przestrzenie M s /M s+1 i (M RM )s /(M RM )s+1 są izomorficzne. Niech M będzie rozmaitością gładką i niech p ∈ M . Zastosujmy powyższe fakty dla pierścieni Op (M ), C(M ) i ich ideałów maksymalnych Mp (M ), mp (M ). Ponieważ pierścienie Op (M ) i C(M )mp (M ) są izmorficzne (Stwierdzenie 6.5.6), więc ze Stwierdzenia 7.2.1 wynika: Stwierdzenie 7.2.2. Jeśli M jest rozmaitością gładką oraz s > 0, to przestrzenie R-liniowe Mp (M )s /Mp (M )s+1 i mp (M )s /mp (M )s+1 są izomorficzne. Niech m = mp (M ). Zajmiemy się teraz przestrzenią liniową m/m2 i jej przestrzenią dualną (m/m2 )∗ = HomR (m/m2 , R). Twierdzenie 7.2.3 (PH3 70). Niech M będzie rozmaitością gładką, p ∈ M i m = mp (M ). Przestrzeń Dp (C(M )), derywacji p-lokalnych z C(M ) do R, jest R-izomorficzna z przestrzenią (m/m2 )∗ . Dowód. Jeśli δ ∈ Dp (C(M ), to δ(f ) = 0 dla wszystkich f ∈ m2 . Definiujemy odwzorowanie δp : m/m2 −→ R przyjmując δp (f + m2 ) = δ(f ), dla f ∈ mp . Mamy wtedy R-liniowe przekształcenie γ : Dp (C(M )) −→ (m/m2 )∗ , δ 7→ δp . Pokażemy, że γ jest bijekcją. (1) Różnowartościowość. Jeśli γ(δ) = 0, to δp = 0 czyli δ(f ) = 0 dla wszystkich f ∈ m. Niech f ∈ C(M ). Wtedy f − f (p) ∈ C(M ) i mamy δ(f ) = δ(f − f (p)) = 0. Zatem δ = 0. (2) Surjektywność. Niech h : m/m2 −→ R będzie przekształceniem R-liniowym. Definiujemy δ : C(M ) −→ R wzorem: δ(f ) = h(f − f (p) + m2 ), dla f ∈ C(M ). Ponieważ f g − f (p)g − g(p)f + f (p)g(p) = (f − f (p))(g − g(p)) ∈ m2 , więc: δ(f g) = h(f g − f (p)g(p) + m2 ) = h(f g − f (p)g − g(p)f + f (p)g(p) + f (p)g + g(p)f − 2f (p)g(p) + m2 ) = h(f (p)g + g(p)f − 2f (p)g(p) + m2 ) = f (p)h(g − g(p) + m2 ) + g(p)h(f − f (p) + m2 ) = f (p)δ(g) + g(p)δ(f ). Zatem δ jest derywacją p-lokalną. Ponadto, γ(δ) = h. Istotnie, jeśli f ∈ m, to γ(δ)(f + m2 ) = δ(f ) = h(f − f (p) + m2 ) = h(f − 0 + m2 ) = h(f + m2 ). W ten sam sposób można udowodnić następne twierdzenie. Nie musimy dowodu przedstawiać, gdyż twierdzenie to jest natychmiastową konsekwencją poprzednich faktów. Twierdzenie 7.2.4 (PH3 69). Niech M będzie rozmaitością gładką, p ∈ M i M = Mp (M ). Przestrzeń Dp (Op (M )), derywacji p-lokalnych z Op (M ) do R, jest R-izomorficzna z przestrzenią (M/M2 )∗ . 7. Derywacje lokalne 7.3 43 Bazy przestrzeni derywacji lokalnych Lemat 7.3.1 (PH3 71, [25]44). Niech f ∈ C(Rn ) i p = (p1 , . . . , pn ) ∈ Rn . Istnieją wtedy funkcje f1 , . . . , fn ∈ C(Rn ) takie, że Pn f (x) = f (p) + i=1 (xi − pi )fi (x), dla wszystkich x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn . Ponadto, fi (p) = ∂f ∂xi (p) dla i = 1, . . . , n. Dowód. Niech : R −→ R będzie funkcją określoną wzorem h(t) = f (p + (x − p)t), dla t ∈ R. Pn h ∂f Wtedy h0 (t) = i=1 ∂x (p + (x − p)t)(xi − pi ). Niech i R 1 ∂f fi (x) = 0 ∂x (p + (x − p)t)dt, i = 1, . . . , n. i Mamy wówczas R1 = f (p) + h(1) − h(0) = f (p) + 0 h0 (t)dt R 1 Pn ∂f (p + (x − p)t)(xi − pi )dt = f (p) + 0 i=1 ∂x i Pn = f (p) + i=1 (xi − pi )fi (x). R 1 ∂f R1 ∂f ∂f Ponadto fi (p) = 0 ∂xi (p)dt = ∂x (p) 0 dt = ∂x (p). i i f (x) Niech M będzie rozmaitością gładką wymiaru n, niech p ∈ M i niech (U, ϕ) będzie mapą taką, że p ∈ U . Jeśli f ∈ C(M ), to (na mocy definicji odwzorowania gładkiego) f ϕ−1 ∈ C(Rn ). Oznaczmy ∆ϕ i (f ) = ∂f ϕ−1 ∂xi (ϕ(p)), dla f ∈ C(M ), i = 1, . . . , n. ϕ Stwierdzenie 7.3.2 (PH3 72). Odwzorowania ∆ϕ 1 , . . . , ∆n : C(M ) −→ R są derywacjami p-lokalnymi. Dowód. R-liniowość jest oczywista. Niech f, g ∈ C(M ). Wtedy: ∆ϕ i (f g) ◦ ϕ−1 )(ϕ(p)) = ∂ ∂xi (f g = ∂ −1 ∂xi (f ϕ = ∂ ∂ (f ϕ−1 ∂x gϕ−1 + gϕ−1 ∂x f ϕ−1 )(ϕ(p)) i i · gϕ−1 )(ϕ(p)) ϕ = f (p)∆ϕ i (g) + g(p)∆i (f ). Odwzorowanie ϕ : U −→ Rn jest postaci ϕ = (ϕ(1) . . . , ϕ(n) ), gdzie ϕ(1) , . . . , ϕ(n) ∈ C(U ). Z Twierdzenia 6.4.11 wiemy, że istnieją funkcje ψ (1) , . . . , ψ (n) ∈ C(M ), takie, że ψ (i) | U = ϕ(i) , dla wszystkich i = 1, . . . , n. Definicja 7.3.3. ϕ[1] , . . . , ϕ[n] . Powyższe funkcje ψ (1) , . . . , ψ (n) ∈ C(M ) oznaczać będziemy odpowiednio przez Zatem każde ϕ[i] jest funkcją gładką z M do R taką, że ϕ[i] | U = ϕ(i) . Funkcje ϕ[1] , . . . , ϕ[n] nie muszą być wyznaczone jednoznacznie. Z Wniosku 7.1.4 wiemy jednak, że jeśli d : C(M ) −→ R jest derywacją p-lokalną, to liczby rzeczywiste d(ϕ[1] ), . . . , d(ϕ[n] ) są jednoznacznie wyznaczone; zależą tylko od mapy (U, ϕ) (i oczywiście od derywacji d). [j] Stwierdzenie 7.3.4. ∆ϕ i (ϕ ) = δij , gdzie δij jest deltą Kroneckera. Dowód. [j] ∆ϕ i (ϕ ) n ∂ [j] ∂xi (ϕ = ∂ ∂xi (ϕj ◦ ϕ−1 )(ϕ(p)) = ∂ ∂xi (πj ◦ ϕ ◦ ϕ−1 )(ϕ(p)) = ∂ ∂xi (πj )(ϕ(p)) gdzie πj : R −→ R jest rzutowaniem. Z tego stwierdzenia otrzymujemy: ◦ ϕ−1 )(ϕ(p)) = = δij (ϕ(p)) = δij , 44 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa ϕ Stwierdzenie 7.3.5 (PH3 72). Derywacje ∆ϕ 1 , . . . , ∆n są liniowo niezależne nad R. Udowodnimy teraz następne stwierdzenie. ϕ Stwierdzenie 7.3.6 (PH3 72). Derywacje ∆ϕ 1 , . . . , ∆n generują przestrzeń Dp (C(M )) nad R. Dowód. Niech d ∈ Dp (C(M )). Niech f ∈ C(M )). Wtedy f ϕ−1 : Rn −→ R jest rzeczywistą funkcją klasy C ∞ (czyli należy do C(Rn )). Z Lematu 7.3.1 wiemy, że Pn f ϕ−1 (x) = f ϕ−1 (ϕ(p)) + i=1 (xi − ai )αi (x), gdzie (a1 , . . . , an ) = ϕ(p) oraz α1 , . . . , αn ∈ C(Rn ). Wiemy ponadto, że αi (ϕ(p)) = wszystkich u ∈ U mamy więc Pn f (u) = f ϕ−1 (ϕ(u)) = f ϕ−1 (ϕ(p)) + i=1 (ϕi (u) − ai )αi (ϕ(u)), ∂f ϕ−1 ∂xi (ϕ(p)). Dla gdzie (ϕ1 , . . . , ϕn ) = ϕ. Stąd dalej wynika, że na zbiorze U zachodzi równość: Pn f = f ϕ−1 (ϕ(p)) + i=1 (ϕ[i] − ai )αi (ϕ[1] , . . . , ϕ[n] ). Stąd otrzymujemy (na mocy Wniosku 7.1.4),że d(f ) = d(g), gdzie g jest funkcją występującą po prawej stronie powyższej równości. Mamy zatem: Pn d(f ) = d(f ϕ−1 (ϕ(p))) + i=1 d((ϕ[i] − ai )αi (ϕ[1] , . . . , ϕ[n] )) Pn Pn = 0 + i=1 (ϕ[i] (p) − ai )d(αi (ϕ[1] , . . . , ϕ[n] )) + i+1 αi (ϕ(p))d(ϕ[i] − ai ) Pn Pn [1] [n] [i] = i=1 0d(αi (ϕ , . . . , ϕ )) + i=1 αi ϕ(p)d(ϕ − ai ) Pn ∂f ϕ−1 [i] = i=1 ∂xi (ϕ(p))d(ϕ ) Pn ϕ [i] = i=1 d(ϕ )∆i (f ). [n] ϕ Zatem d = d(ϕ[1] )∆ϕ 1 + · · · + d(ϕ )∆n . Ostatnie zdanie tego dowodu warto zapamiętać. Zapiszmy to jeszcze raz: Wniosek 7.3.7. Jeśli d : C(M ) −→ R jest derywacją p-lokalną, to [n] ϕ d = d(ϕ[1] )∆ϕ 1 + · · · + d(ϕ )∆n . Udowodniliśmy zatem: Twierdzenie 7.3.8. Jeśli M jest rozmaitością gładką wymiaru n i p ∈ M , to dimR Dp (C(M )) = n. ϕ Derywacje ∆ϕ 1 , . . . , ∆n tworzą bazę przestrzeni Dp (C(M )) nad R. Korzystając z udowodnionych wcześniej izomorfizmów otrzymujemy: Wniosek 7.3.9. Niech M będzie rozmaitością gładką wymiaru n, p ∈ M , m = mp (M ) oraz M = Mp (M ). Wtedy wszystkie przestrzenie Dp (C(M )), Dp (Op (M )), m/m2 , M/M2 , (m/m2 )∗ , (M/M2 )∗ mają wymiar n nad R. 7.4 Krzywe i przestrzeń styczna Niech M będzie rozmaitością gładką wymiaru n i niech J = (−1, 1) będzie odcinkiem otwartym w R1 , traktowanym jako rozmaitość gładka z jednoelementowym atlasem. Definicja 7.4.1. Krzywą na M nazywamy każde odwzorowanie gładkie σ : J −→ M . Środkiem krzywej σ nazywamy punkt σ(0). 7. Derywacje lokalne 45 Z tej definicji wynika, że jeśli A jest atlasem rozmaitości M , to σ : J −→ M jest krzywą na M jeśli σ jest odwzorowaniem ciągłym oraz każde odwzorowanie postaci ϕσ| : σ −1 (U ) −→ Rn , gdzie (U, ϕ) ∈ A, jest klasy C ∞ (zwróćmy uwagę, że σ −1 (U ) ⊆ J ⊆ R1 ). W dalszym ciągu odwzorowanie postaci ϕσ| : σ −1 (U ) −→ Rn oznaczać będziemy przez ϕσ : J −→ n R , rozumiejąc przez to funkcję częściową określoną w otoczeniu punktu σ(0). Dla każdej mapy (U, ϕ) punktu σ(0) (tzn. U 3 σ(0)), istnieje różniczka odwzorowania ϕσ w punkcie 0, czyli przekształcenie R-liniowe D(ϕσ)(0) : R1 −→ Rn . Różniczka ta zależy od wyboru atlasu (U, ϕ). Przekonuje nas o tym następujący lemat. Lemat 7.4.2. Niech σ : J −→ M będzie krzywą i niech (Ui , ϕi ), (Uj , ϕj ) będą mapami punktu σ(0). Wtedy D(ϕj σ)(0) = D(ϕji )(ϕi σ(0)) ◦ D(ϕi σ)(0). ∞ Dowód. Przypomnijmy, że ϕji = ϕj ϕ−1 i | : ϕi (Ui ∩ Uj ) −→ ϕj (Ui ∩ Uj ), są bijekcjami klasy C , n n przy czym ϕi (Ui ∩ Uj ) ⊆ R , ϕj (Ui ∩ Uj ) ⊆ R . Z własności różniczki funkcji złożonej otrzymujemy: D(ϕj σ)(0) = D(ϕj ϕ−1 i ϕi σ)(0) = D(ϕji ◦ ϕi σ)(0) = D(ϕji )(ϕi σ(0)) ◦ D(ϕi σ)(0). Definicja 7.4.3. Mówimy, że krzywe σ, τ : J −→ M są równoważne jeśli: (a) σ(0) = τ (0), (b) istnieje mapa (U, ϕ) punktu σ(0) = τ (0) taka, że D(ϕσ)(0) = D(ϕτ )(0). W tej definicji ”istnieje mapa” można zastąpić ”dla każdej mapy”: Stwierdzenie 7.4.4. Jeśli krzywe σ, τ : J −→ M są równoważne, to dla każdej mapy (U, ϕ) punktu σ(0) = τ (0), zachodzi równość D(ϕσ)(0) = D(ϕτ )(0). Dowód. Niech (Ui , ϕi ) będzie mapą punktu σ(0) = τ (0) (istniejącą na mocy definicji) taką, że D(ϕi σ)(0) = D(ϕi τ )(0). Niech (Uj , ϕj ) będzie drugą mapą punktu σ(0) = τ (0). Pokażemy, że D(ϕj σ)(0) = D(ϕj τ )(0). Wynika to z Lematu 7.4.2: D(ϕj σ)(0) = D(ϕji )(ϕi σ(0)) ◦ D(ϕi σ)(0) = D(ϕji )(ϕi τ (0)) ◦ D(ϕi τ )(0) = D(ϕj τ )(0). Z tego stwierdzenia wynika w szczególności: Stwierdzenie 7.4.5. Równoważność krzywych na M jest relacją typu równoważności w zbiorze wszystkich krzywych na M . Niech p ∈ M będzie ustalonym punktem. Definicja 7.4.6. Klasę abstrakcji krzywej σ : J −→ M oznaczamy przez [σ]. Zbiór wszystkich klas abstrakcji postaci [σ], gdzie σ(0) = p, oznaczamy przez Tp M i nazywamy przestrzenią styczną do M w punkcie p. Wykażemy teraz, że Tp M ma strukturę przestrzeni liniowej nad R. W tym celu udowodnimy najpierw następujący lemat. Lemat 7.4.7. Niech σ1 , . . . , σs : J −→ M będą krzywymi o środkach w punkcie p i niech r1 , . . . , rs będą liczbami rzeczywistymi takimi, że r1 + · · · + rs = 1. Niech (Ui , ϕi ), (Uj , ϕj ) będą mapami punktu p. Rozważmy krzywe λi , λj : J −→ M zdefiniowane wzorami: λi = ϕ−1 i (r1 ϕi σ1 + · · · + rs ϕi σs ), λj = ϕ−1 j (r1 ϕj σ1 + · · · + rs ϕj σs ). Krzywe λi , λj są równoważne. Ponadto λi (0) = λj (0) = p. 46 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa Dowód. Sprawdzamy najpierw, że λi (0) = λj (0) = p: Ps −1 Ps −1 −1 λi (0) = ϕ−1 i ( m=1 rm ϕi σm (0)) = fi ( m=1 rm ϕi (p)) = ϕi (1 · ϕi (p)) = ϕi ϕi (p) = p. Podobnie λj (0) = p. Teraz wykażemy, że D(ϕji )(ϕi (p)) ◦ D(ϕi λi )(0) = D(ϕj λj )(0). (7.1) Sprawdzamy: D(ϕj λj )(0) = Ps D( m=1 rm ϕj σm )(0) Ps m=1 rm D(ϕj σm )(0) Ps m=1 rm D(ϕji )(ϕi (p)) ◦ D(ϕi σm )(0) Ps D(ϕji )(ϕi (p)) ◦ m=1 rm D(ϕi σm )(0) Ps D(ϕji )(ϕi (p)) ◦ D( m=1 rm ϕi σm )(0) = D(ϕji )(ϕi (p)) ◦ D(ϕi λi )(0). = = 7.4.2 = = Chcąc pokazać, że krzywe λi , λj : J −→ M są równoważne, musimy udowodnić, że dla każdej mapy (Uk , ϕk ) punktu p zachodzi równość: D(ϕk λi )(0) = D(ϕk λj )(0). (7.2) W tym celu rozpatrzmy jeszcze trzecią krzywą λk = ϕ−1 k (r1 ϕk σ1 + · · · + rm ϕk σm ). Mamy wówczas: D(ϕk λi )(0) 7.4.2 = D(ϕki )(ϕi λi (0)) ◦ D(ϕi λi )(0) = D(ϕki )(ϕi (p)) ◦ D(ϕi λi )(0) (7.1) = D(ϕk λk )(0) i analogicznie: D(ϕk λj )(0) 7.4.2 = D(ϕkj )(ϕj λj (0)) ◦ D(ϕj λj )(0) = D(ϕkj )(ϕj (p)) ◦ D(ϕj λj )(0) (7.1) = D(ϕk λk )(0). Wykazaliśmy równość (7.2), a zatem krzywe λi , λj są równoważne. Niech [σ], [τ ] ∈ Tp M , r ∈ R i niech (U, ϕ) będzie mapą punktu p. Definiujemy krzywe ρ, ω : ϕ−1 (U ) −→ M , przyjmując: ρ = ϕ−1 (ϕσ + ϕτ − ϕ(p)), ω = ϕ−1 (rϕσ + (1 − r)ϕ(p)). (ϕ(p) traktujemy jako odwzorowanie stałe, przyporządkowujące każdemu t ∈ J punkt ϕ(p)). Zauważmy, że ρ(0) = ω(0) = p. Określamy teraz dodawanie [σ] + [τ ] oraz mnożenie r[σ]. Definicja 7.4.8. [σ] + [τ ] = [ρ], r[σ] = [ω]. Z Lematu 7.4.7 wynika, że powyższa definicja jest poprawna, tzn., nie zależy od wyboru mapy (U, ϕ) punktu p. Łatwo udowodnić: Stwierdzenie 7.4.9. Zbiór Tp M , wraz z powyższymi działaniami, jest przestrzenią liniową nad R. 7. Derywacje lokalne 47 Zerem w Tp M jest klasa abstrakcji krzywej stałej, przyjmującej dla każdego t ∈ J stałą wartość p. Z definicji dodawania i mnożenia przez skalar w Tp M wynika: Stwierdzenie 7.4.10. Jeśli σ1 , . . . , σs : J −→ M są krzywymi o środku w punkcie p ∈ M oraz r1 , . . . , rs ∈ R, to dla każdej mapy (U, ϕ) punktu p, zachodzi równość Ps Ps Ps −1 ( j=1 rj ϕσj + (1 − j=1 rj )ϕ(p))], j=1 rj [σj ] = [ϕ w szczególności Ps j=1 [σj ] Ps = [ϕ−1 ( j=1 ϕσj + (1 − s)ϕ(p))]. Ustalmy mapę (U, ϕ) punktu p. Niech a ∈ Rn . Wprowadzamy następujące dwie funkcje: Definicja 7.4.11. a : J −→ Rn , aϕ : J −→ M, t 7−→ ta, t 7−→ ϕ−1 (ta + ϕ(p)). Funkcja aϕ jest krzywą na M o środku w p. Ponadto, D(ϕaϕ )(0)(e) = ea, gdzie e jest ustalonym wektorem bazowym w R1 . Lemat 7.4.12. Niech a, b ∈ Rn , r ∈ R. (1) [aϕ ] + [bϕ ] = [(a + b)ϕ ], (2) r[aϕ ] = [(ra)ϕ ], (3) [aϕ ] = 0 ⇐⇒ a = 0, (4) dla każdej krzywej σ : J −→ M o środku w p istnieje dokładnie jeden wektor a ∈ Rn taki, że [σ] = [aϕ ]. Dowód. Własności (1), (2) i (3) są oczywiste. Dla dowodu (4) przyjmujemy a = D(ϕσ)(0)(e). Wtedy [σ] = [aϕ ]. Jedyność wynika z (3). Z lematu tego wynika: Stwierdzenie 7.4.13. Przestrzeń Tp M jest izomorficzna z przestrzenią Rn . Dokładniej, odwzorowanie Rn −→ Tp M , a 7−→ [aϕ ] jest izomorfizmem przestrzeni liniowych nad R. 7.5 Przestrzeń styczna i derywacje lokalne Niech M będzie rozmaitością gładką i p ∈ M . Zmierzamy do wykazania, że przestrzeń Tp M jest izomorficzna z przestrzenią Dp (C(M )), derywacji p-lokalnych z C(M ) do R. Lemat 7.5.1. Jeśli krzywe σ, τ : J −→ M są równoważne i f ∈ C(M ), to D(f σ)(0) = D(f τ )(0). Dowód. Niech (U, ϕ) będzie mapą punktu p = σ(0) = τ (0). Wtedy D(ϕσ)(0) = D(ϕτ )(0) (Stwierdzenie 7.4.4), a zatem D(f σ)(0) = D(f ϕ−1 ϕσ)(0) = D(f ϕ−1 )(ϕ(p)) ◦ D(ϕσ)(0) = D(f ϕ−1 )(ϕ(p)) ◦ D(ϕτ )(0) = D(f ϕ−1 ϕτ )(0) = D(f τ )(0). Ustalmy wektor bazowy e przestrzeni R1 . Niech [σ] ∈ Tp M . Definiujemy odwzorowanie d[σ] : C(M ) −→ R przyjmując, dla każdego f ∈ C(M ), d[σ] (f ) = D(f σ)(0)(e). Zauważmy, że D(f σ)(0) jest przekształceniem liniowym z R1 do R1 . Zatem D(f σ)(0)(e) ∈ R. 48 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa Stwierdzenie 7.5.2. Odwzorowanie d[σ] jest derywacją p-lokalną. Dowód. R-liniowość jest oczywista. Mamy ponadto, dla f, g ∈ C(M ), d[σ] (f g) = D((f g)σ)(0)(e) = D((f σ)(gσ))(0)(e) = f σ(0)D(gσ)(0)(e) + gσ(0)D(f σ)(0)(e) = f (p)d[σ] (g) + g(p)d[σ] (f ). Stwierdzenie 7.5.3. Jeśli [σ], [τ ] ∈ Tp M , r ∈ R, to d[σ]+[τ ] = d[σ] + d[τ ] oraz dr[σ] = rd[σ] . Dowód. Niech (U, ϕ) będzie mapą punktu p i niech f ∈ C(M ). Niech ρ = ϕ−1 (ϕσ + ϕτ − ϕ(p)). Wtedy d[σ]+[τ ] (f ) = d[ρ] (f ) = D(f ρ)(0)(e) = D(f ϕ−1 (ϕσ + ϕτ − ϕ(p))(0)(e) = (D(f ϕ−1 )(ϕσ(0) + ϕτ (0) − ϕ(p)) ◦ D(ϕσ + ϕτ − ϕ(p))(0))(e) = (D(f ϕ−1 )(ϕ(p))(D(ϕσ)(0) + D(ϕτ )(0)))(e) = (D(f ϕ−1 )(ϕ(p))D(ϕσ)(0))(e) + (D(f ϕ−1 )(ϕ(p))D(ϕτ )(0))(e) = D(f σ)(0)(e) + D(f τ )(0)(e) = d[σ] (f ) + d[τ ] (f ) = (d[σ] + d[τ ] )(f ). Wykorzystaliśmy tu równość D(ϕ(p))(0) = 0, która wynika z faktu, że różniczka odwzorowania stałego jest zerowa. W podobny sposób wykazujemy drugą równość. Niech ω = ϕ−1 (rϕσ + (1 − r)ϕ(p)). Wtedy dr[σ] (f ) = d[ω] (f ) = D(f ω)(0)(e) = D(f ϕ−1 (rϕσ + (1 − r)ϕ(p))(0)(e) = (D(f ϕ−1 )(rϕσ(0) + (1 − r)ϕ(p)) ◦ D(rϕσ + (1 − r)ϕ(p))(0))(e) = D(f ϕ−1 )(ϕ(p))(rD(ϕσ)(0))(e) = rD(f ϕ−1 )(ϕ(p))D(ϕσ)(0)(e) = rD(f σ)(0)(e) = rd[σ] (f ) = (rd[σ] )(f ). Zatem dr[σ] = rd[σ] . Niech (U, ϕ) będzie w dalszym ciągu ustaloną mapą punktu p ∈ M i niech e1 = (1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 1) będzie standardową bazą przestrzeni Rn . Oznaczmy bi : J −→ Rn , t 7→ tei , dla i = 1, . . . , n. Funkcje b1 , . . . , bn są oczywiście odwzorowaniami klasy C ∞ . Przy pomocy tych funkcji definiujemy krzywe λ1 , . . . , λn : J −→ M , przyjmując: λi = ϕ−1 (bi + ϕ(p)), dla i = 1, . . . , n. Zauważmy, że λ1 (0) = · · · = λn (0) = p. ϕ Przypomnijmy jeszcze, że przez ∆ϕ 1 , . . . , ∆n oznaczamy derywacje p-lokalne z C(M ) do R określone wzorami: ∂f ϕ−1 ∆ϕ dla f ∈ C(M ), i = 1, . . . , n. i (f ) = ∂xi (ϕ(p)), Wiemy (Twierdzenie 7.3.8), że derywacje te tworzą bazę przestrzeni Dp (C(M )). 7. Derywacje lokalne 49 Stwierdzenie 7.5.4. d[λi ] = ∆ϕ i , dla i = 1, . . . , n. Dowód. Jest oczywiste, że D(bi )(0)(e) = ei . Zatem, dla f ∈ C(M ), d[λi ] (f ) = D(f λi )(0)(e) = D(f ϕ−1 (bi + ϕ(p))(0)(e) = D(f ϕ−1 )(ϕ(p))(D(bi + ϕ(p))(0)(e)) = D(f ϕ−1 )(ϕ(p))(D(bi )(0)(e)) Pn ϕ−1 = D(f ϕ−1 )(ϕ(p))(ei ) = j=1 ∂f∂x (ϕ(p))(ei ) j = ∂f ϕ−1 ∂xi (ϕ(p)) = ∆ϕ i (f ). Twierdzenie 7.5.5. Odwzorowanie Φ : Tp M −→ Dp (C(M )), [σ] 7−→ d[σ] , jest izomorfizmem przestrzeni liniowych nad R. Dowód. R-liniowość odwzorowania Φ wynika ze Stwierdzenia 7.5.3. Z poprzedniego stwierdzenia wnioskujemy, że Φ jest surjekcją (ponieważ derywacje postaci ∆ϕ i tworzą bazę przestrzeni Dp (C(M ))). Wystarczy zatem pokazać, że Φ jest różnowartościowe. Niech więc σ : J −→ M będzie krzywą o środku w p taką, że d[σ] = 0. Wówczas, dla każdego f ∈ C(M ), przekształcenie liniowe D(f σ)(0) jest zerowe. Ale D(f σ)(0) = D(f ϕ−1 ϕσ)(0) = D(f ϕ−1 )(ϕ(p)) ◦ D(ϕσ)(0), zatem dla każdego f ∈ C(M )) mamy równość D(f ϕ−1 )(ϕ(p)) ◦ D(ϕσ)(0) = 0. Przyjmując za f kolejno funkcje ϕ[1] , . . . , ϕ[n] ∈ C(M ) takie, jak w Podrozdziale 7.3, stwierdzamy, że D(ϕσ)(0) = 0. Oznacza to (patrz definicja równoważności krzywych), że [σ] = 0. 7.6 Morfizmy Niech M, N będą rozmaitościami gładkimi, wymiarów odpowiednio m i n. Niech p ∈ M i niech f : M −→ N będzie odwzorowaniem gładkim. Lemat 7.6.1. Jeśli krzywe σ, τ : J −→ M są równoważne, to krzywe f σ, f τ : J −→ N też są równoważne. Dowód. Niech σ(0) = τ (0) = p. Wtedy f σ(0) = f τ (0) = f (p). Istnieją mapy (U, ϕ) punktu p i (V, ψ) punktu f (p) takie, że odwzorowanie ψf ϕ−1 | : ϕ(U ) −→ ψ(V ) jest gładkie. Wiemy, że D(ϕσ)(0) = D(ϕτ )(0). Zatem D(ψf σ)(0) = D(ψf ϕ−1 ϕσ)(0) = D(ψf ϕ−1 )(f (p)) ◦ D(ϕσ)(0) = D(ψf ϕ−1 )(f (p)) ◦ D(ϕτ )(0) = D(ψf ϕ−1 ϕτ )(0) = D(ψf τ )(0). Definiujemy odwzorowanie Tp f : Tp M −→ Tf (p) N przyjmując: (Tp f )([σ]) = [f σ], dla wszystkich [σ] ∈ Tp M . Z powyższego lematu wynika, że odwzorowanie to jest dobrze określone. Odwzorowanie to nazywa się różniczką odwzorowania f w punkcie p. Stwierdzenie 7.6.2. Odwzorowanie Tp f : Tp M −→ Tf (p) N jest przekształceniem R-liniowym. Dowód. Niech [σ], [τ ] ∈ Tp M . Istnieją mapy (U, ϕ) punktu p i (V, ψ) punktu f (p) takie, że odwzorowanie ψf ϕ−1 | : ϕ(U ) −→ ψ(V ) jest gładkie. Niech ρ = ϕ−1 (ϕσ + ϕτ − ϕ(p)) i rozpatrzmy krzywe f ρ, ρ : J −→ N określone wzorami f ρ = f ϕ−1 (ϕσ + ϕτ − ϕ(p)), ρ = ψ −1 (ψf σ + ψf τ − ψf (p)). Są to dwie równoważne krzywe o środkach w punkcie f (p). Zachodzi bowiem równość: D(ψρ)(0) = D(ψf ρ)(0). 50 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa Sprawdzamy: D(ψρ)(0) = D(ψf σ + ψf τ − ψf (p))(0) = D(ψf σ)(0) + D(ψf τ )(0) = D(ψf ϕ−1 ϕσ)(0) + D(ψf ϕ−1 ϕτ )(0) = D(ψf ϕ−1 )(ϕ(p)) ◦ D(ϕσ)(0) + D(ψf ϕ−1 )(ϕ(p)) ◦ D(ϕτ )(0). D(ψf ρ)(0) = D(ψf ϕ−1 (ϕσ + ϕτ − ϕ(p)))(0) = +D(ψf ϕ−1 )(ϕ(p)) ◦ D(ϕσ + ϕτ − ϕ(p))(0) = D(ψf ϕ−1 )(ϕ(p)) ◦ D(ϕσ)(0) + D(ψf ϕ−1 )(ϕ(p)) ◦ D(ϕτ )(0). Zatem [ρ] = [f ρ] i stąd otrzymujemy: Tp f ([σ] + [τ ]) = Tp f ([ρ]) = [f ρ] = [ρ] = [f σ] + [f τ ] = Tp f ([σ]) + Tp f ([τ ]). Analogicznie sprawdzamy, że Tp f (r[σ]) = rTp f ([σ]), dla r ∈ R. Łatwo udowodnić: Stwierdzenie 7.6.3. (1) Tp (1M ) = 1Tp M . (2) Tp (g ◦ f ) = Tf (p) g ◦ Tp f . Wniosek 7.6.4. Jeśli f : M −→ N jest dyfeomorfizmem, to Tp f : Tp M −→ Tf (p) N jest izomorfizmem przestrzeni liniowych. Przedstawimy teraz wszystkie powyższe fakty w języku derywacji lokalnych. Załóżmy, że f : M −→ N jest odwzorowaniem gładkim. Mamy wtedy R-algebrowy homomorfizm C(f ) : C(N ) −→ C(M ), α 7→ αf . Jeśli δ : C(M ) −→ R jest derywacją p-lokalną, to odwzorowanie d = δ ◦ C(f ) : C(N ) −→ R jest derywacją f (p)-lokalną. Istotnie, niech α, β ∈ C(N ). Wtedy: d(αβ) = δC(f )(αβ) = δ(αβf ) = δ((αf )(βf )) = αf (p)δ(βf ) + βf (p)δ(αf ) = α(f (p))d(β) + β(f (p))d(α). Mamy zatem odwzorowanie R-liniowe Dp f : Dp (C(M )) −→ Df (p) (C(N )), δ 7−→ δ ◦ C(f ). Łatwo sprawdzić: Stwierdzenie 7.6.5. (1) Dp (1M ) = 1Dp (C(M )) . (2) Dp (g ◦ f ) = Dϕ(p) g ◦ Dp f . Wniosek 7.6.6. Jeśli f : M −→ N jest dyfeomorfizmem, to Dp f : Dp M −→ Dϕ(p) N jest izomorfizmem przestrzeni R-liniowych. Niech Φ(M ) : Tp M −→ Dp (C(M )), [σ] 7−→ d[σ] , będzie izomorfizmem rozpatrywanym w Twierdzeniu 7.5.5. Niech Φ(N ) : Tf (p) N −→ Df (p) (C(N )), [τ ] 7−→ d[τ ] , będzie też takim izomorfizmem. Stwierdzenie 7.6.7. Jeśli f : M −→ N jest odwzorowaniem gładkim i p ∈ M , to Φ(N ) ◦ Tp f = Dp f ◦ Φ(M ). 8. Wiązka styczna 8 51 Wiązka styczna Podamy trzy równoważne definicje wiązki stycznej. W pierwszej definicji wykorzystamy funkcje przejścia, a w następnych krzywe i derywacje lokalne. Zakładamy w tym rozdziale, że M jest rozmaitością gładką wymiaru n i A = {(Ui , ϕi )}i∈I jest jej ustalonym atlasem. 8.1 Wiązka styczna i funkcje przejścia Wiemy (patrz Podrozdział 5.5), że wiązkę wektorową można definiować przy pomocy funkcji przejścia. Jeśli x ∈ Ui ∩ Uj , to definiujemy automorfizm R-liniowy gij (x) : Rn −→ Rn , przyjmując: gij (x) = D(ϕij )(ϕj (x)). Sprawdza się łatwo, że odwzorowania gij : Ui ∩ Uj −→ AutR (Rn ) spełniają warunki (1) i (2) definicji funkcji przejścia (patrz Podrozdział 5.5). Definiują nam zatem wiązkę wektorową, którą nazywamy wiązką styczną do M . 8.2 Wiązka styczna i krzywe Przypomnijmy, że przez Tp M oznaczamy przestrzeń styczną do M w punkcie p. Pamiętamy, że [σ] oznaczamy klasę abstrakcji krzywej σ : J −→ M . Tp M jest zbiorem wszystkich klas abstrakcji krzywych na M o środku w punkcie p, tzn., Tp M = {[σ]; σ(0) = p}. Definicja 8.2.1. Zbiór wszystkich klas abstrakcji krzywych na M oznaczamy przez TM i nazywamy wiązką styczną do rozmaitości M . Przez π oznaczamy odwzorowanie z TM do M określone wzorem π([σ]) = σ(0). Odwzorowanie π jest dobrze określone. Jeśli bowiem [σ] = [σ 0 ], to oczywiście σ(0) = σ 0 (0). Zauważmy, że π −1 (p) = Tp M jest przestrzenią wektorową nad R. Stwierdzenie 8.2.2. Odwzorowanie π : TM −→ M jest surjekcją. Dowód. Niech p ∈ M . Rozpatrzmy funkcją stałą σp : J −→ M , t 7→ p. Funkcja ta jest krzywą na M i π([σp ]) = σp (0) = p. Wykażemy, że trójka (TM, π, M ) jest wiązką wektorową (w sensie topologicznym) oraz, że TM jest rozmaitością gładką i π jest odwzorowaniem gładkim. Przez e oznaczamy ustalony wektor bazowy przestrzeni R1 . Niech (Ui , ϕi ) będzie mapą z atlasu A. Wtedy π −1 (Ui ) = {[σ] ∈ TM ; σ(0) ∈ Ui }. Definiujemy odwzorowanie Φi : π −1 (Ui ) −→ Ui × Rn , przyjmując: Φi ([σ]) = (σ(0), D(ϕi σ)(0)(e)). Z definicji równoważności krzywych wynika, że odwzorowanie to jest dobrze określone. Stwierdzenie 8.2.3. Odwzorowanie Φi : π −1 (Ui ) −→ Ui × Rn jest bijekcją. 52 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa Dowód. Różnowartościowość wynika z definicji równoważności krzywych. Pokażemy, że Φi jest surjekcją. Niech (x, v) ∈ Ui ×Rn . Rozpatrzmy krzywą τ : J −→ Rn określoną wzorem τ (t) = tv+ϕi (x). Niech σ = ϕ−1 i τ : J −→ M . Wtedy Φi ([σ]) = (x, v). Stwierdzenie 8.2.4. Niech x ∈ Ui ∩ Uj , v ∈ Rn . Wtedy Φi Φ−1 j (x, v) = (x, D(ϕij )(ϕj (x))(v)). Dowód. Niech (x, v) = Φj ([σ]), gdzie [σ] ∈ π −1 (Ui ), σ(0) = x. Wtedy: Φi Φ−1 j (x, v) = Φi Φ−1 j Φj ([σ]) = Φi ([σ]) = (σ(0), D(ϕi σ)(0)(e)) = (σ(0), D(ϕi ϕ−1 j ϕj σ)(0)(e)) = (σ(0), D(ϕij )(ϕj (x)) ◦ D(ϕj σ)(0)(e) = (x, D(ϕij )(ϕj (x))(v)). Stwierdzenie 8.2.5. Niech (Ui , ϕi ) będzie mapą punktu x ∈ M . Niech [σ], [τ ] ∈ Tx M , r ∈ R. (a) Jeśli Φi ([σ]) = (x, a), Φ([τ ]) = (x, b), gdzie a, b ∈ Rn , to Φi ([σ] + [τ ]) = (x, a + b). (b) Jeśli Φi ([σ]) = (x, a), gdzie a ∈ Rn , to Φi (r[σ]) = (x, ra). Dowód. Dowodzimy tak samo jak Stwierdzenie 7.5.3. W zbiorze TM wprowadzamy minimalną topologię, w której wszystkie funkcje postaci Φi oraz funkcja π są ciągłe. Zbiory otwarte w TM są sumami przekrojów skończonej liczby zbiorów Wj ⊆ π −1 (Ui ) takich, że zbiór Φj (Wj ) jest otwarty. Wtedy wszystkie odwzorowania Φi : π −1 (Ui ) −→ Ui ×Rn są homeomorfizmami. Mamy zatem następujące stwierdzenie. Stwierdzenie 8.2.6. Trójka (TM, π, M ) jest wiązką wektorową nad M . Wyjaśnijmy jeszcze, że przestrzeń TM ma strukturę rozmaitości gładkiej taką, że surjekcja π : TM −→ M jest odwzorowaniem gładkim. Atlas dla TM konstruuje się w następujący sposób. Niech Ψi : π −1 (Ui ) −→ R2n będzie złożeniem Φ i π −1 (Ui ) −→ Ui × Rn ϕi ×1 −→ Rn × R n , czyli Ψi ([σ]) = (ϕi (σ(0)), D(ϕi σ)(0)(e)). Oczywiście Ψi jest homeomorfizmem. Ze Stwierdzenia 8.2.4 wynika: Stwierdzenie 8.2.7. Ψi Ψ−1 j (a, v) = (ϕij (a), D(ϕij )(a)(v)). Stąd otrzymujemy: Wniosek 8.2.8. Odwzorowania Ψij = Ψi Ψ−1 są klasy C ∞ . j Mamy zatem Wniosek 8.2.9. Jeśli M jest rozmaitością gładką wymiaru n, to TM jest też rozmaitością gładką i jej wymiar jest równy 2n. Atlasem rozmaitości TM jest rodzina {(π −1 (Ui ), Ψi )}i∈I . Z powyższych konstrukcji wynika, że jeśli M jest rozmaitością klasy C r , to T M jest rozmaitością klasy C r−1 . Zauważmy jeszcze, że rozważana tu wiązka styczna (TM, π, M ) pokrywa się z wiązką styczną wprowadzoną w poprzednim podrozdziale (przy pomocy funkcji przejścia). Jeśli x ∈ Ui ∩ Uj oraz gij (x) : Rn −→ Rn jest określone wzorem gij (x)(v) = D(ϕij )(ϕj (x))(v), to (na mocy Stwierdzenia 8.2.4) (x, gij (x)(v)) = Φi Φ−1 j (x, v). 8. Wiązka styczna 8.3 53 Wiązka styczna i derywacje lokalne Zdefiniujemy wiązkę styczną do M przy pomocy derywacji x-lokalnych z C(M ) do R, gdzie x ∈ M . Wiązkę tę oznaczać będziemy (chwilowo) przez WM , a jej włókna przez Wx M . Zachowujemy poprzednie oznaczenia TM i Tx M dla, dobrze nam znanych, zbiorów klas abstrakcji krzywych na M . Przypomnijmy jeszcze, że przez Dx (C(M )) oznaczamy przestrzeń wektorową nad R, wszystkich derywacji x-lokalnych z C(M ) do R. Definicja 8.3.1. Wx M = {x} × Dx (C(M )), [ WM = Wx M, x∈M p : WM −→ M, (x, d) 7−→ x. Zbiór WM nazywamy wiązką styczną do M . Odwzorowanie p jest oczywiście surjekcją oraz p−1 (x) = Wx M . Podamy szkic dowodu następującego twierdzenia. Twierdzenie 8.3.2. (a) Na zbiorze WM można wprowadzić topologię taką, że trójka (WM, p, M ) stanie się wiązką wektorową nad M (w sensie topologicznym). (b) Przestrzeń topologiczna WM , z topologią wprowadzoną w (a), ma naturalną strukturę rozmaitości gładkiej taką, że odwzorowanie p jest gładkie. (c) Wiązka styczna (TM, π, M ), wprowadzona w poprzednim podrozdziale, jest izomorficzna z wiązką (WM, p, M ). Szkic dowodu. Niech (Ui , ϕi ) będzie mapą rozmaitości M . Mamy wtedy równość [ p−1 (Ui ) = Wx M. x∈Ui Przypomnijmy (patrz Podrozdział 7.3), że jeśli x ∈ Ui oraz d ∈ Dx (C(M )), to [n] [1] ϕi i d = d(ϕi )∆ϕ 1 + · · · + d(ϕi )∆n , i ϕi gdzie ∆ϕ 1 , . . . , ∆n są derywacjami x-lokalnymi tworzącymi bazę przestrzeni Dx (C(M )) nad R, nato[1] [n] [j] (j) miast ϕi , . . . , ϕi : M −→ R są funkcjami gładkimi takimi, że ϕi | Ui = ϕi , dla j = 1, . . . , n, przy (1) (n) czym (ϕi , . . . , ϕi ) = ϕi . Przypomnijmy również, że i ∆ϕ j (f ) = ∂f ϕ−1 i ∂xj (ϕi (x)), dla f ∈ C(M ), j = 1, . . . , n. Widzimy więc, że z każdą derywacją d ∈ Dx (C(M )) stowarzyszony jest wektor [1] [n] (d(ϕi ), . . . , d(ϕi )) ∈ Rn . Wektor ten zależy oczywiście od wybranej mapy (Ui , ϕi ) punktu x. Definiujemy teraz odwzorowanie Φi : p−1 (Ui ) −→ Ui × Rn , przyjmując, dla (x, d) ∈ Wx M , [1] [n] Φi (x, d) = (x, (d(ϕi ), . . . , d(ϕi )). Jest jasne, że odwzorowania postaci Φi są bijekcjami. 54 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa W zbiorze WM wprowadzamy minimalną topologię, w której wszystkie funkcje postaci Φi oraz funkcja p są ciągłe. Zbiory otwarte w WM są sumami przekrojów skończonej liczby zbiorów Wj ⊆ p−1 (Ui ) takich, że zbiór Φj (Wj ) jest otwarty. Wtedy wszystkie odwzorowania Φi : π −1 (Ui ) −→ Ui ×Rn są homeomorfizmami. Zatem trójka (WM, p, M ) jest wiązką wektorową nad M . Wprowadzimy teraz na WM strukturę różniczkową. Atlas dla WM konstruujemy dokładnie tak samo, jak atlas dla wiązki stycznej TM , z poprzedniego podrozdziału. Powtórzmy to jeszcze raz. Niech Ψi : p−1 (Ui ) −→ R2n będzie złożeniem Φ i p−1 (Ui ) −→ Ui × Rn ϕi ×1 −→ Rn × R n . Oczywiście Ψi jest homeomorfizmem. Teraz wykazuje się następujące dwa stwierdzenia, które są dokładnie takie same, jak odpowiednie stwierdzenia z poprzedniego podrozdziału. Stwierdzenie 8.3.3. Niech x ∈ Ui ∩ Uj , v ∈ Rn . Wtedy Φi Φ−1 j (x, v) = (x, D(ϕij )(ϕj (x))(v)). Stwierdzenie 8.3.4. Ψi Ψ−1 j (a, v) = (ϕij (a), D(ϕij )(a)(v)). Stąd widzimy, że wszystkie odwzorowania postaci Ψij = Ψi Ψ−1 są klasy C ∞ . Jeśli więc M jest j rozmaitością gładką wymiaru n, to WM jest też rozmaitością gładką i jej wymiar jest równy 2n. Atlasem rozmaitości WM jest rodzina {(p−1 (Ui ), Ψi )}i∈I . Teraz jest oczywiste, że wiązka (WM, p, M ) jest izomorficzna z wiązką (TM, π, M ). Dowód naszego twierdzenia został więc zakończony. 9. Pola wektorowe i derywacje 9 55 Pola wektorowe i derywacje 9.1 Gładkie wiązki wektorowe W Rozdziale 5 przedstawiliśmy ogólne pojęcia dotyczące wiązek wektorowych nad przestrzeniami topologicznymi. W poprzednim rozdziale podaliśmy równoważne opisy wiązki stycznej do rozmitości gładkiej M . Wiązka styczna jest oczywiście wiązką wektorową w sensie Rozdziału 5. Ma ona jednak dodatkowe własności. Przestrzenie topologiczne, występujące w wiązce stycznej, są rozmaitościami gładkimi, a rzutowanie jest odwzorowaniem gładkim. Spełnione są jeszcze inne własności. Każda wiązka styczna jest tzw. wiązką gładką, którą definiuje się następująco. Definicja 9.1.1 ([4]48). Niech M będzie rozmaitością gładką wymiaru n. Gładką wiązką wektorową nad M nazywamy trójkę (E, p, M ) taką, że: (1) E jest rozmaitością gładką; (2) p : E −→ M jest gładką surjekcją; (3) dla każdego x ∈ M , zbiór p−1 (x) jest przestrzenią wektorową nad R i topologia tej przestrzeni jest zgodna z topologią indukowaną z topologii na E; (4) E jest loklanie trywialne, tzn., dla dowlnego x ∈ M istnieje zbiór otwarty U ⊆ M , zawierający x taki, że zbiór p−1 (U ) jest izomorficzny z U × Rn w następującym sensie: istnieje dyfeomorfizm Φ : U × Rn −→ p−1 (U ) taki, że (a) pΦ(u, a) = u, dla (u, a) ∈ U × Rn , (b) jeśli u ∈ U , to odwzorowanie Φ(u, ) : Rn −→ p−1 (u) jest liniowym izomorfizmem. Łatwo wykazać: Stwierdzenie 9.1.2 ([4]48). Jeśli (E, p, M ) jest gładką wiązką wektorową nad M i U ⊆ M jest zbiorem otwartym, to trójka (p−1 (U ), p|U, U ) jest gładką wiązką wektorową nad U . Definicja 9.1.3. Wiązkę (p−1 (U ), p|U, U ) (z powyższego stwierdzenia) oznaczamy przez E|U i nazywamy ograniczeniem wiązki E do U . Stwierdzenie 9.1.4. Wiązka styczna do rozmaitości gładkiej M jest gładką wiązką wektorową nad M. 9.2 Przekroje gładkich wiązek wektorowych O przekrojach dla rodzin wektorowych nad przestrzenią topologiczną mówiliśmy w Rozdziale 5. Teraz przedstawimy pewne ogólne własności przekrojów gładkich dla gładkiej wiązki wektorowej. Niech E = (E, p, M ) będzie gładką wiązką wektorową (w sensie definicji z poprzedniego podrozdziału). Definicja 9.2.1. Przekrojem (gładkim) wiązki E nazywamy każde odwzorowanie gładkie s : M −→ E takie, że ps = 1M . Odwzorowanie gładkie s : M −→ E jest więc przekrojem (gładkim) wiązki E, jeśli s(x) ∈ Ex = p−1 (x), dla x ∈ M. Zbiór wszystkich przekrojów gładkich wiązki E oznaczamy przez Γ(E). Przekroje można dodawać i mnożyć przez funkcje gładkie z M do R. Jeśli s1 , s2 , s ∈ Γ(E) oraz f ∈ C(M ), to przekroje s1 + s2 oraz f · s definiujemy nastąpująco. Jeśli x ∈ M , to (s1 + s2 )(x) (f · s)(x) = s1 (x) + s2 (x) dodawanie w przestrzeni p−1 (x), = f (x)s(s) mnożenie przez skalar w przestrzeni p−1 (x). Stwierdzenie 9.2.2. Zbiór Γ(E) jest C(M )-modułem. 56 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa Łatwo udowodnić: Stwierdzenie 9.2.3 ([4]50). Niech s1 , . . . , sn ∈ Γ(E) będą takimi przekrojami, że dla każdego punktu x ∈ M , wektory s1 (x), . . . , sn (x) tworzą bazę przestrzeni wektorowej p−1 (x). Wtedy, dla dowolnego przekroju s ∈ Γ(E) istnieją jednoznacznie wyznaczone funkcje gładkie α1 , . . . , αn ∈ C(M ) takie, że s = α1 s1 + · · · + αn sn . Stwierdzenie to możemy wysłowić również w następujący sposób. Stwierdzenie 9.2.4. Załóżmy, że istnieją przekroje s1 , . . . , sn ∈ Γ(E) takie, że dla każdego punktu x ∈ M , wektory s1 (x), . . . , sn (x) tworzą bazę przestrzeni wektorowej p−1 (x). Wtedy Γ(E) jest modułem wolnym nad C(M ) i przekroje s1 , . . . , sn tworzą jego bazę. Przykład 9.2.5. Niech E = M × Rn , p(x, a) = x, gdzie M jest rozmaitością gładką. Trójka E = (M × Rn , p, M ) jest gładką wizązką wektorową, zwaną wiązką trywialną. Jeśli e1 , . . . , en jest bazą przestrzeni Rn nad R, to odwzorowania si : M −→ M × Rn , si (x) = (x, ei ), i = 1, . . . , n tworzą bazę modułu Γ(E) nad C(M ). Ponieważ każda gładka wiązka wektorowa jest lokalnie trywialna, więc (na mocy powyższego przykładu) każda gładka wiązka wektorowa posiada lokalną bazę, tzn.: Stwierdzenie 9.2.6 ([4]51). Niech s ∈ Γ(E). Wtedy, dla każdego x ∈ M , istnieje zbiór otwarty U ⊆ M , zwierający x, istnieją przekroje s1 , . . . , sn ∈ Γ(E|U ) i istnieją jednoznacznie wyznaczone funkcje gładkie α1 , . . . , αn ∈ C(U ) takie, że dla wszystkich u ∈ U zachodzi równość: s(u) = α1 (u)s1 (u) + · · · + αn (u)sn (u). 9.3 Pola wektorowe Niech M będzie rozmaitością gładką wymiaru n. Mamy wtedy wiązkę styczną TM = (TM, π, M ), która jest gładką wiązką wektorową nad M w sensie Definicji 9.1.1. Mamy zatem C(M )-moduł Γ(TM ), wszystkich przekrojów tej wiązki. Definicja 9.3.1. Każdy element modułu Γ(TM ) nazywamy polem wektorowym na M . Polem wektorowym na M jest więc każde odwzorowanie gładkie s : M −→ TM takie, że s(x) ∈ Tx M , dla wszystkich x ∈ M . Niech Der(C(M )) będzie C(M )-modułem wszystkich R-derywacji pierścienia C(M )) (tzn. Rliniowych odwzorowań z C(M ) do C(M ), spełniających warunek Leibniza). Udowodnimy następujące twierdzenie. Twierdzenie 9.3.2. C(M )-moduły Der(C(M )) i Γ(TM ) są izomorficzne. Podamy dwa dowody tego faktu. Najpierw jednak przedstawimy pewne uwagi o derywacjach pierścienia C(M ). 9.4 Derywacje pieścienia funkcji gładkich Niech, tak jak poprzednio, M będzie rozmaitością gładką wymiaru n. Rozpoczynamy od następującego oczywistego stwierdzenia. Stwierdzenie 9.4.1. Jeśli d : C(M ) −→ C(M ) jest R-derywacją i x ∈ M , to odwzorowanie dx : C(M ) −→ R, f 7−→ d(f )(x), jest derywacją x-lokalną. Z tego stwierdzenia oraz Wniosku 7.3.7 otrzymujemy: 9. Pola wektorowe i derywacje 57 Stwierdzenie 9.4.2. Niech d : C(M ) −→ C(M ) będzie R-derywacją. Niech x ∈ M i niech (U, ϕ) będzie mapą punktu x. Wtedy, dla wszystkich f ∈ C(M ), zachodzi równość: Pn ϕ−1 d(f )(x) = i=1 ∂f∂x (ϕ(x))d(ϕ[i] )(x). i W szczególności, dla M = Rn (z jednoelementowym atlasem), mamy: Stwierdzenie 9.4.3. Niech π1 , . . . , πn : Rn −→ R będą rzutowaniami. Jeśli d : C(Rn ) −→ C(Rn ) jest R-derywacją, to ∂ + · · · + d(πn ) ∂x∂n . d = d(π1 ) ∂x 1 9.5 Pierwszy dowód twierdzenia o izomorfizmie Zakładamy, że wiązka styczna TM jest zdefiniowana przy pomocy krzywych. Podamy izomorfizm F : Γ(TM ) −→ Der(C(M )). Istotną rolę odgrywać będzie Lemat 7.5.1 mówiący o tym, że jeśli krzywe σ, τ : J −→ M są równoważne i f ∈ C(M ), to D(f σ)(0) = D(f τ )(0). Niech s : M −→ TM będzie polem wektorowym na M . Definiujemy wtedy odwzorowanie δs : C(M ) −→ C(M ), przyjmując δs (f )(x) = D(f σ)(0)(e) = d(f σ) dt (0), dla f ∈ C(M ), x ∈ M , gdzie σ : J −→ M jest krzywą taką, że s(x) = [σ] ∈ Tx M . Element e jest, tak jak zwykle, ustalonym wektorem bazowym z R1 . Definicja ta jest poprawna. Wiemy bowiem, na mocy Lematu 7.5.1, że δs (f )(x) nie zależy od wyboru reprezentanta σ. Lemat 9.5.1. Odwzorowanie δs : C(M ) −→ C(M ) jest R-derywacją. Dowód. R-liniowość jest oczywista. Niech f, g ∈ C(M ), x ∈ M . Wtedy ds (f g)(x) = D((f g)σ)(0)(e) = D((f σ)(gσ))(0)(e) = f σ(0)D(gσ)(0)(e) + gσ(0)D(f σ)(0)(e) = f (x)ds (g)(x) + g(x)ds (f )(x) = (f ds (g) + gds (f ))(x). Zatem ds (f g) = f ds (g) + gds (f ). Lemat 9.5.2. Niech s1 , s2 , s ∈ Γ(TM ), h ∈ C(M ). Wtedy: (1) δs1 +s2 = δs1 + δs2 , (2) δhs = hδs . Dowód. Niech f ∈ C(M ), x ∈ M . Niech s1 (x) = [σ1 ], s2 (x) = [σ2 ], s(x) = [σ]. Załóżmy jeszcze, że (U, ϕ) jest mapą punktu x i niech ρ = ϕ−1 (ϕσ1 + ϕσ2 − ϕ(x)), ω = ϕ−1 (h(x)ϕσ + (1 − h(x))ϕ(x)). Wtedy (s1 + s2 )(x) = ([σ1 ] + [σ2 ] = [ρ], (hs)(x) = h(x)[σ] = [ω]. Mamy zatem: (δs1 + δs2 )(f )(x) = δs1 (f )(x) + δs2 (f )(x) = D(f σ1 )(0)(e) + D(f σ2 )(0)(e) = D(f ϕ−1 ϕσ1 )(0)(e) + D(f ϕ−1 ϕσ2 )(0)(e) = D(f ϕ−1 )(ϕ(x)) ◦ D(ϕσ1 )(0) + D(f ϕ−1 )(ϕ(x) ◦ D(ϕσ2 )(0) (e) = D(f ϕ−1 )(ϕ(x)) ◦ (D(ϕσ1 )(0) + D(ϕσ2 )(0)) (e) = D(f ϕ−1 )(ϕ(x)) ◦ (D(ϕσ1 + ϕσ2 − ϕ(x))(0)) (e) = D(f ϕ−1 (ϕσ1 + ϕσ2 − ϕ(x))(0)(e) = D(f ρ)(0)(e) = δs1 +s2 (f )(x). 58 A. Nowicki - Marzec 1995. (hδs )(f )(x) Topologia i geometria różniczkowa = f (x)δs (f )(x) = h(x)D(f σ)(0)(e) = h(x)D(f ϕ−1 ϕσ)(0)(e) = h(x)D(f ϕ−1 )(ϕ(x)) ◦ D(ϕσ)(0)(e) = D(f ϕ−1 )(ϕ(x)) ◦ D(h(x)ϕσ + (1 − h(x)ϕ(x))(0)(e) = D(f ω)(0)(e) = δhs (f )(x). Zatem δs1 +s2 = δs1 + δs2 oraz δhs = hδs . Przypomnijmy, że zerem 0x w Tx M jest klasa abstrakcji krzywej stałej J −→ M , t 7→ x. Jeśli σ : J −→ M jest krzywą o środku w x, to [σ] = 0x ⇐⇒ D(ϕσ)(0) = 0, gdzie (U, ϕ) jest mapą punktu x (wynika to z definicji równoważności krzywych). Zerowym polem wektorowym na M jest więc odwzorowanie s :−→ TM takie, że s(x) = 0x , dla wszystkich x ∈ M . Lemat 9.5.3. Jeśli δs = 0, to s = 0. Dowód. Niech x ∈ M , s(x) = [σ] i niech (U, ϕ) będzie mapą punktu x. Musimy pokazać, że D(ϕσ)(0)(e) = 0. Niech ϕ[1] , . . . , ϕ[n] : M −→ R będą funkcjami gładkimi wprowadzonymi w podrozdziale 7.3. Ponieważ δs = 0, więc δs (ϕ[j] )(x) = 0, czyli D(ϕ[j] σ)(0)(e) = 0, dla j = 1, . . . , n. W otoczeniu 0 ∈ J zachodzi oczywiście równość ϕσ = (ϕ[1] σ, . . . , ϕ[n] σ). Zatem: D(ϕ[1] σ)(0)(e) 0 .. .. D(ϕσ)(0)(e) = = . = 0. . D(ϕ[1] σ)(0)(e) 0 Lemat 9.5.4. Jeśli d : C(M ) −→ C(M ) jest R-derywacją, to istnieje doładnie jedno pole wektorowe s na M takie, że d = δs . Dowód. Jedyność wynika z poprzednich lematów. Niech x ∈ M . Zdefiniujemy element s(x) ∈ Tx M . W tym celu niech (U, ϕ) będzie mapą punktu x i niech ϕ[1] , . . . , ϕ[n] : M −→ R będą funkcjami gładkimi wprowadzonymi w Podrozdziale 7.3. Niech a1 = d(ϕ[1] )(x), ..., an = d(ϕ[n] )(x). Wtedy a = (a1 , . . . , an ) ∈ Rn . Rozpatrzmy krzywą σx : J −→ M określoną wzorem (dla t bliskich zera): σx (t) = ϕ−1 (at + ϕ(x)). Wtedy σx (0) = x. Przyjmujemy: s(x) = [σx ]. Nie jest trudno pokazać, że w ten sposób mamy zdefiniowane odwzorowanie gładkie s : M −→ TM (patrz w jaki sposób określa się strukturę różniczkową na wiązce stycznej TM , zadanej przy pomocy krzywych) i odwzorowanie to spełnia warunek s(x) ∈ Tx M , dla wszystkich x ∈ M . Zatem s jest polem wektorowym na M . Należy jeszcze wykazać, że d = δs . W tym celu wystarczy pokazać, że (przy ustalonym x ∈ M ) dla każdego f ∈ C(M ) zachodzi równość d(f )(x) = D(f σx )(0)(e). Jest to konsekwencja Stwierdzenia 9.4.2. Mamy bowiem: Pn ∂f ϕ−1 [i] d(f )(x) = i=1 ∂xi (ϕ(x))d(ϕ )(x) Pn ∂f ϕ−1 = i=1 ∂xi (ϕ(x))ai = D(f ϕ−1 )(ϕ(x))(a1 , . . . , an ) = D(f ϕ−1 )(ϕ(x))D(ϕσx )(0)(e) = D(f σx )(0)(e). Z powyższych czterech lematów otrzymujemy: 9. Pola wektorowe i derywacje 59 Wniosek 9.5.5. Odwzorowanie F : Γ(TM ) −→ Der(C(M )), modułów. 9.6 s 7−→ δs , jest izomorfizmem C(M )- Drugi dowód twierdzenia o izomorfizmie Zakładamy, że wiązka styczna TM jest zdefiniowana przy pomocy derywacji lokalnych. Podamy izomorfizm G : Der(C(M )) −→ Γ(WM ). Wiemy, że jeśli d : C(M ) −→ C(M ) jest R-derywacją, to dla każdego punktu x ∈ M , odwzorowanie dx : C(M ) −→ R, f 7−→ d(f )(x), jest derywacją x-lokalną. Z każdą więc derywacją d ∈ Der(C(M )) stowarzyszone jest odwzorowanie sd : M −→ WM, sd (x) = (x, dx ), dla x ∈ M. Spełniony jest wtedy warunek sd (x) ∈ Wx M (dla wszystkich x ∈ M ) i można udowodnić, że s jest odwzorowaniem gładkim. Mamy zatem: Lemat 9.6.1. sd ∈ Γ(WM ). Dalej z łatwością dowodzimy: Lemat 9.6.2. Jeśli d1 , d2 , d ∈ Der(C(M )), h ∈ C(M ), to sd1 +d2 = sd1 + sd2 oraz shd = hsd . Lemat 9.6.3. Jeśli sd = 0, to d = 0. Teraz wykażemy: Lemat 9.6.4. Dla każdego pola wektorowego s : M −→ WM istnieje dokładnie jedna R-derywacja d ∈ Der(C(M )) taka, że s = sd . Dowód. Jedyność wynika z poprzedniego lematu. Ponieważ s jest polem wektorowym więc, dla każdego x ∈ M , istnieje derywacja x-lokalna δx : C(M ) −→ R taka, że s(x) = (x, δx ). Definiujemy d : C(M ) −→ C(M ) przyjmując d(f )(x) = δx (f ), dla f ∈ C(M ), x ∈ M. Jest jasne, że d jest R-derywacją oraz s = sd . Z powyższych czterech lematów otrzymujemy: Wniosek 9.6.5. Odwzorowanie G : Der(C(M )) −→ Γ(TM ), modułów. 9.7 d 7−→ sd , jest izomorfizmem C(M )- Nawias Liego pól wektorowych Definicja 9.7.1. Algebrą Liego (nad ciałem k) nazywamy przestrzeń liniową L wraz z dwuliniowym działaniem [ , ] : L × L −→ L spełniającym warunki: (1) [a, a] = 0, dla a ∈ A, (2) [[a, b], c] + [[b, c], a] + [[c, a], b] = 0, dla a, b, c ∈ A (tożsamość Jacobiego). Niech M będzie rozmaitością gładką. Wtedy Der(C(M )) jest algebrą Liego nad R z nawiasem [d1 , d2 ] = d1 d2 − d2 d1 . Wiemy, że C(M )-moduły Γ(TM ) i Der(C(M )) są izomorficzne. Są więc to izomorficzne przestrzenie liniowe nad R. Ponieważ druga przestrzeń jest algebrą Liego, więc przestrzeń Γ(TM ) też ma strukturę algebry Liego. Wniosek 9.7.2. Moduł Γ(TM ) jest algebrą Liego nad R z nawiasem: [s1 , s2 ] = s ⇐⇒ [δs1 , δs2 ] = δs , Dodatkowe informacje na ten temat są w PH4 31. 60 A. Nowicki - Marzec 1995. 9.8 9.1 Topologia i geometria różniczkowa Uwagi Dowody następujących dwóch stwierdzeń są w PH1 191. Stwierdzenie 9.8.1. Niech s ∈ Γ(E), gdzie E = (E, p, M ) jest wiązką nad rozmaitością gładką M . Jeśli s(x) 6= 0 dla wszystkich s ∈ M , to C(M )-moduł C(M )s jest wolny i s jest jego wolnym generatorem. Stwierdzenie 9.8.2. Niech s ∈ Γ(E), gdzie E = (E, p, M ) jest wiązką nad rozmaitością gładką M . Jeśli M jest przestrzenią parazwartą, to następujące dwa warunki są równoważne. (1) s(x) 6= 0 dla wszystkich x ∈ M ; (2) C(M )-moduł C(M )s jest modułem wolnym będącym składnikiem prostym modułu Γ(E). 9.2 Rozważmy sferę S n = {a ∈ Rn+1 ; ||a|| = 1}. Jest to oczywiście rozmaitość gładka. Korzystając z teorii homotopii (np. z faktu, że H2 (S 2 ) = Z), można udowodnić: Twierdzenie 9.8.3 (o zaczesaniu). Jeśli s ∈ Γ(TS 2n ), to istnieje x ∈ S 2n takie, że s(x) = 0. Z tego twierdzenia oraz ze Stwierdzenia 9.8.2 wynika: Wniosek 9.8.4. Jeżeli n jest liczbą parzystą, to Γ(TS n ) nie jest modułem wolnym, a nawet nie posiada wolnego składnika prostego. 10. Działanie funktora na wiązkę 10 61 Działanie*funktora na wiązkę Przez V oznaczamy kategorię skończenie wymiarowych przestrzeni liniowych nad R. Będziemy rozważali ciągłe funktory z V do V, tzn. takie funktory F : V −→ V, dla których ciągłe są wszystkie odwzorowania postaci F | Hom(V, V 0 ) : Hom(V, V 0 ) −→ Hom(F (V ), F (V 0 )) w przypadku, gdy funktor F jest kowariantny i postaci F | Hom(V, V 0 ) : Hom(V, V 0 ) −→ Hom(F (V 0 ), F (V )), gdy funktor F jest kontrawariantny. Zbiory postaci Hom(V, V 0 ) oraz Hom(F (V ), F (V 0 )) lub Hom(F (V 0 ), F (V )) są przestrzeniami wektorowymi nad R. Są to więc przestrzenie topologiczne z naturalnymi topologiami przestrzeni wektorowych. Nie jest trudno pokazać, że każdy addytywny funktor F : V −→ V jest ciągły. Przedstawimy w skrócie dwa sposoby definiowania działania funktora F na wiązkę. Wspomnimy o przekrojach pewnych wiązek i przypomnimy definicje i własności pewnych znanych funktorów. 10.1 Definicja przy pomocy funkcji przejścia Niech M będzie rozmaitością gładką. Definicja 10.1.1 (PH4 2). Niech E = (E, p, M ) będzie wiązką (gładką) wyznaczoną przez funkcje przejścia gij : Ui ∩ Uj −→ AutR (V ), gdzie {Ui } jest pokryciem trywializującym. Jeśli F : V −→ V jest funktorem ciągłym, to przyjmujemy F (E) = (F (E), F (p), M ), gdzie (F (E), F (p), M ) jest wiązką o tym samym pokryciu trywializującym {Ui } i funkcjach przejścia gij : Ui ∩ Uj −→ AutR (F (V ), zdefiniowanych (dla każdego x ∈ Ui ∩ Uj ) wzorem ( F (gij (x)), gdy F jest funktorem kowariantnym, gij (x) = F (gji (x)), gdy F jest funktorem kontrawariantnym. 10.2 Definicja poglądowa Niech E = (E, p, M ) będzie wiązką i niech F : V −→ V będzie funktorem ciągłym. Definiujemy wiązkę F (E) = (F (E), F (p), M ) przyjmując: S F (E) = x∈M F (Ex ). Odwzorowanie F (p) : F (U ) −→ M określamy tak by F (p)−1 (x) = F (Ex ): jeśli u ∈ F (Ex ), to przyjmujemy F (p)(u) = x. Należy jeszcze wprowadzić topologię w zbiorze F (E). Topologię tę wprowadza się stopniowo w następujący sposób. Przypadek 1. E = M × V . Topologię przenosi się poprzez kanoniczne bijekcje: S S S F (E) = x∈M F (Ex ) = x∈M F ({x} × V ) ≈ x∈M F (V ) ≈ M × F (V ). Przypadek 2. E ≈ M × V . Wykorzystujemy bijekcję F (E) ≈ M × F (V ) i stosujemy Przypadek 1. Przypadek 3. E jest dowolne. Jeśli U ⊆ M jest zbiorem otwartym oraz E|U ≈ U × V , to mamy indukowany izomorfizm F (E) | U = F (E|U ) ≈ U × F (V ). Podzbiór W ⊆ F (E) jest otwarty o ile, dla każdego zbioru otwartego U ⊆ M takiego, że wiązka E|U jest trywialna, zbiór W ∩ F (E|U ) jest otwarty. 62 A. Nowicki - Marzec 1995. 10.3 Topologia i geometria różniczkowa Wiązka kostyczna Zastosujemy poprzednie definicje dla wiązki stycznej TM i funktora kontrawariantnego ∗ : V −→ V. Jeśli V jest przestrzenią wektorową nad R, to V ∗ = HomR (V, R). Jeśli f : V −→ W jest przekształceniem liniowym, to przekształcenie liniowe f ∗ : W ∗ −→ V ∗ jest określone wzorem f ∗ (α) = α ◦ f, dla α ∈ W ∗ . Niech M będzie rozmaitością gładką. Zadziałajmy funktorem ∗ na wiązkę styczną TM . Otrzymujemy wtedy wiązkę, którą oznaczamy przez (TM )∗ lub TM ∗ i nazywamy wiązką kostyczną do rozmaitości M . Mamy wtedy: S TM ∗ = x∈M (Tx M )∗ (suma rozłączna). Rzutowanie p : TM ∗ −→ M jest takie, że p−1 (x) = (Tx M )∗ , tzn. jeśli u ∈ (Tx M )∗ , to p(u) = x. Strukturę różniczkową na TM ∗ zadajemy podobnie jak strukturę różniczkową na TM . Wiązka kostyczna TM ∗ jest wiązką gładką. C(M )-moduł przekrojów wiązki TM ∗ oznaczamy, tak jak zwykle, przez Γ(TM ∗ ). Moduł ten odgrywać będzie w dalszym ciągu ważną rolę. Nazywa się go modułem form różniczkowych pierwszego rzędu. Tym zajmiemy się później. Przypomnijmy tylko, że przekrojem wiązki TM ∗ jest każde odwzorowanie gładkie s : M −→ TM ∗ takie, że s(x) ∈ (Tx M )∗ , dla wszystkich x ∈ M . 10.4 Potęga zewnętrzna Vp Niech p będzie nieujemną liczbą całkowitą. Rozważmy kowariantny funktor : V −→ V, p-tej potęgi zewnętrznej. Zadziałajmy tym funktorem na wiązkę styczną lub wiązkę kostyczną do rozmaitości Vp Vp ∗ gładkiej M . Otrzymujemy wtedy wiązki gładkie TM lub TM . Dla nas szczególnie interesująca Vp będzie wiązka TM ∗ . Mamy tu: Vp S Vp TM ∗ = x∈M (Tx M )∗ (suma rozłączna). Vp Vp Vp Rzutowanie p : TM ∗ −→ M jest takie, że p−1 (x) = (Tx M )∗ , tzn. jeśli u ∈ (Tx M )∗ , to p(u) = x. V C(M )-moduł Γ(TM ∗ ), przekrojów wiązki TM ∗ odgrywać będzie w dalszym ciągu ważną rolę. Nazywa się go modułem formVróżniczkowych p-tego rzędu. Tym zajmiemy się później. Vp Przypomnijmy p ∗ tylko, że przekrojem wiązki TM jest każde odwzorowanie gładkie s : M −→ TM ∗ takie, że Vp s(x) ∈ (Tx M )∗ , dla wszystkich x ∈ M . Nie jest trudno wykazać następujące stwierdzenie. Stwierdzenie 10.4.1. Istnieje naturalny izomorfizm C(M )-modułów: Vp Vp Γ( (TM ∗ )) ≈ (Γ(TM ∗ )). 11. Formy różniczkowe 11 11.1 63 Formy różniczkowe Moduł form różniczkowych Niech M będzie rozmaitością gładką i niech p będzie nieujemną liczbą całkowitą. Definicja V 11.1.1 (PH4 2). p ki) wiązki (TM ∗ ). Formą różniczkową p-tego rzędu na M nazywamy każdy przekrój (gład- O takich formach wspomnieliśmy już w podrozdziale 10.4. Vp Formy różniczkowe p-tego rzędu na M to nic innego, jak elementy C(M )-modułu Γ( (TM ∗ )). Moduł ten w dalszym ciągu oznaczać będziemy przez Ωp (M ) i nazywać modułem form różniczkowych p-tego rzędu na M . Zatem: Vp Ωp (M ) = Γ( (TM ∗ )). W szczególności: Ω0 (M ) = C(M ), Ω1 (M ) = Γ(TM ∗ ). Nie jest trudno wykazać: Vp Vp Vp Stwierdzenie 11.1.2. Ωp (M ) = Γ( (TM ∗ )) ≈ (Γ(TM )∗ ) ≈ (Γ( (TM )))∗ ≈ · · · Z własności p-tej potęgi zewnętrznej wynika: Stwierdzenie 11.1.3. Jeśli p > dim M , to Ωp (M ) = 0. Jeśli M , N są rozmaitościami gładkimi oraz f : M −→ N jest odwzorowaniem gładkim, to w naturalny sposób określa się homomorfizm Ωp (f ) : Ωp (N ) −→ Ωp (M ). Jest to homomorfizm C(N )-modułów. Moduł Ωp (M ) ma strukturę C(N )-modułu, zadaną poprzez R-algebrowy homomorfizm C(f ) : C(N ) −→ C(M ), α 7→ αf . Przez Ω(M ) oznacza się algebrę z gradacją, zwaną algebrą form różniczkowych na M , zdefiniowaną jako: L L Vp Ω(M ) = p>0 Ωp (M ) = p>0 (Γ(TM )∗ ). Jest to oczywiście algebra zewnętrzna modułu Γ(TM )∗ = Γ(TM ∗ ). Mnożenie w Ω(M ), oznaczane przez ∧, określa się tak jak w algebrze zewnętrznej. Jeśli ωp ∈ Ωp (M ), ωq ∈ Ωq (M ), to ωp ∧ ωq jest elementem w Ωp+q (M ) takim, że dla każdego x ∈ M , (ωp ∧ ωq )(x) = ωp (x) ∧ ωq (x). 11.2 Forma df Niech M będzie rozmaitością gładką. Jeśli f ∈ C(M ), to definiujemy odwzorowanie df : M −→ TM ∗ takie, że dla każdego x ∈ M , (df )(x) : Tx M −→ R jest przekształceniem liniowym. Przyjmujemy: (df )(x)([σ]) = D(f σ)(0)(1) = d(f σ) dt (0), gdzie [σ] ∈ Tx M . Sprawdzaliśmy już (patrz Lemat 7.5.1), że powyższe określenie jest poprawne; nie zależy od wyboru krzywej σ : J −→ M , reprezentującej element [σ]. Wykazuje się prosto, że df : M −→ TM ∗ jest odwzorowaniem gładkim. Mamy więc: 64 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa Stwierdzenie 11.2.1. Jeśli f ∈ C(M ), to df ∈ Ω1 (M ). Przypomnijmy, że Ω0 (M ) = C(M ). Mamy zatem odwzorowanie d : Ω0 (M ) −→ Ω1 (M ), f 7−→ df. Łatwo sprawdzić: Stwierdzenie 11.2.2. Jeśli f, g ∈ C(M ), r ∈ R, to: (1) d(f + g) = df + dg, (2) d(rf ) = r(df ), (3) d(f g) = f dg + gdf . Następny fakt ma również prosty dowód. Twierdzenie 11.2.3. Niech ω ∈ Ωp (M ). Dla każdego punktu x ∈ M istnieje otoczenie otwarte U 3 x i istnieje forma ω 0 ∈ Ωp (U ) postaci P ω 0 = k f0k (df1k ) ∧ · · · ∧ (dfpk ) takie, że wszystkie elementy postaci fik należą do C(U ) oraz ω | U = ω 0 . 11.3 Kompleks de Rhama Niech M będzie rozmaitością gładką. Twierdzenie 11.3.1. Istnieje dokładnie jeden ciąg odwzorowań liniowych (nad R) dp : Ωp (M ) −→ Ωp+1 (M ), (p = 0, 1, . . . ) taki, że: (1) d0 = d, (2) d1 d0 = 0, (3) dp+q (ωp ∧ ωq ) = dp (ωp ) ∧ ωq + (−1)p ωp ∧ dq (ωq ). Odwzorowania dp spełniają ponadto własności: (4) dp+1 dp = 0, (5) jeśli f : M −→ N jest odwzorowaniem gładkim rozmaitości gładkich, to dpM Ωp (f ) = Ωp+1 (f )dpN . Mamy zatem kompleks 0 −→ d0 Ω0 (M ) −→ d1 Ω1 (M ) −→ Ω2 (M ) −→ ... Jest to tzw. kompleks de Rhama. Oznacza się go (tak jak algebrę form różniczkowych) przez Ω(M ). Moduły Hp (Ω(M )) nazywa się p-wymiarowymi grupami (przestrzeniami) kohomologii rozmaitości M o współczynnikach w R i oznacza się je zwykle przez Hp (M, R). 12. Rozmaitość Rn 12 65 Rozmaitość Rn Przestrzeń Rn jest n-wymiarową rozmaitością gładką z jednoelementowym atlasem {(Rn , id)}. Dla tej rozmaitości opiszemy wszystkie wprowadzone wcześniej pojęcia. Podamy też pewne specjalne własności tej rozmaitości. 12.1 Krzywe i przestrzeń styczna Niech J = (−1, 1). Każde odwzorowanie gładkie σ : J −→ Rn jest krzywą w Rn , o środku w punkcie σ(0). Jeśli σ : J −→ Rn jest krzywą w Rn , to σ = (σ1 , . . . , σn ), gdzie σ1 , . . . , σn : J −→ R są funkcjami gładkimi. Wówczas różniczka odwzorowania σ w punkcie 0 jest przekształceniem liniowym (nad R) i D(σ)(0) : R1 −→ Rn , o n × 1 macierzy [ dσ dt (0)]. Jeśli więc e ∈ R, to dσn dσ1 dσn 1 D(σ)(0)(e) = ( dσ dt (0)e, . . . , dt (0)e) = e( dt (0), . . . , dt (0)). Dwie krzywe σ = (σ1 , . . . , σn ), τ = (τ1 , . . . , τn ) : J −→ Rn są równoważne ⇐⇒ σ(0) = τ (0) dτi i oraz D(σ)(0) = D(τ )(0), a zatem ⇐⇒ σi (0) = τi (0) (dla i = 1, . . . , n) oraz dσ dt (0) = dt (0) (dla i = 1, . . . , n). Niech p ∈ Rn będzie ustalonym punktem. Wiemy, że przestrzeń styczna Tp Rn jest zbiorem wszystkich klas abstrakcji zbioru krzywych o środku w p, względem powyższej relacji równoważności. Dodawanie i mnożenie przez skalar w Tp Rn definiuje się następująco. Jeśli σ, τ : J −→ Rn są krzywymi o środku w p oraz r ∈ R, to [σ] + [τ ] = [σ + τ − p], r[σ] = [rσ + (1 − r)p]. Zerem w Tp Rn jest klasa abstrakcji krzywej stałej p : J −→ Rn . Jeśli a = (a1 , . . . , an ) ∈ Rn , to definiujemy krzywą a(p) : J −→ Rn przyjmując: a(p) (t) = ta + p, dla t ∈ J. Krzywe tego rodzaju wprowadziliśmy w podrozdziale 7.4. Oznaczaliśmy je przez aϕ . Przypomnijmy zatem (co łatwo sprawdzić bezpośrednio), że jeśli a, b ∈ Rn i r ∈ R, to [a(p) ] + [b(p) ] = [(a + b)(p) ], r[a(p) ] = [(ra)(p) ]. Zauważmy, że [0(p) ] jest zerem w Tp Rn . Dla każdej krzywej σ : J −→ Rn , o środku w p, istnieje dokładnie jeden wektor a ∈ Rn taki, że [σ] = [a(p) ]. Wektorem tym jest a = D(σ)(0)(1). Widzimy zatem, że przyporządkowanie a 7→ [a(p )] jest izomorfizmem przestrzeni liniowych Rn i Tp Rn . W dalszym ciągu możemy więc utożsamiać: Tp Rn = {p} × Rn . Przy takim utożsamieniu stuktura przestrzeni liniowej na Tp Rn przedstawia się następująco: (p, a) + (p, b) = (p, a + b), r(p, a) = (p, ra), (12.1) dla wszystkich a, b ∈ Rn , r ∈ R. Chcąc zrozumieć strukturę różniczkową przestrzeni Rn nie musimy znać wszystkich ogólnych definicji i konstrukcji, wprowadzonych wcześniej. Przestrzeń styczną Tp Rn możemy zdefiniować tak, jak powyżej, tzn. Tp Rn = {p} × Rn i działania w Tp Rn są zdefiniowane wzorami (12.1). Taką definicję znajdziemy np. w [25]. 66 A. Nowicki - Marzec 1995. 12.2 Topologia i geometria różniczkowa Derywacje lokalne Niech p ∈ Rn . Rozważmy przestrzeń liniową Dp (C(Rn )), wszystkich derywacji p-lokalnych z C(Rn ) do (p) (p) R. Elementami tej przestrzeni są w szczególności derywacje p-lokalne ∆1 , . . . , ∆n : C(Rn ) −→ R, określone wzorem: (p) ∂f (p), dla f ∈ C(Rn ), i = 1, . . . , n. ∆i (f ) = ∂x i (Derywacje te oznaczaliśmy wcześniej odpowiednio przez ∆ϕ i ). Oznaczmy przez π1 , . . . , πn : Rn −→ R rzutowania. Z faktów udowodnionych Rozdziale 7 otrzymujemy: (p) (p) Twierdzenie 12.2.1. Derywacje ∆1 , . . . , ∆n tworzą bazę przestrzeni Dp (C(Rn )) nad R. Twierdzenie 12.2.2. Jeśli d : C(Rn ) −→ R jest derywacją p-lokalną, to (p) d = d(π1 )∆1 + · · · + d(πn )∆n(p) . Wniosek 12.2.3. Jeśli d : C(Rn ) −→ R jest derywacją p-lokalną, to ∂f ∂f (p) + · · · + d(πn ) ∂x (p), d(f ) = d(π1 ) ∂x 1 n dla f ∈ C(Rn ). Twierdzenie 12.2.4. Przestrzeń styczna Tp Rn = {p} × Rn jest izomorficzna z przestrzenią Dp (C(Rn )). Izomorfizm zadaje przyporządkowanie (p) (p, (a1 , . . . , an )) 7−→ a1 ∆1 + · · · + an ∆(p) m . 12.3 Derywacje W Podrozdziale 9.4 wykazaliśmy: Stwierdzenie 12.3.1. Jeśli d : C(Rn ) −→ C(Rn ) jest R-derywacją, to ∂ d = d(π1 ) ∂x + · · · + d(πn ) ∂x∂n . 1 Z faktu tego wynika: Twierdzenie 12.3.2. Der(C(Rn )) jest C(Rn )-modułem wolnym rangi n. Jego bazę tworzą pochodne ∂ cząstkowe ∂x , . . . , ∂x∂n . 1 Zajmujemy się funkcjami gładkimi, tzn. funkcjami klasy C ∞ . Rozważmy teraz przez moment funkcje klasy C r , gdzie r < ∞. Jeśli M jest rozmaitością odpowiedniej klasy (np. rozmaitością gładką), to przez C r (M ) oznaczamy R-algebrę wszystkich funkcji z M do R klasy C r . W szczególności C 0 (M ) = C[M ] jest R-algebrą wszystkich funkcji ciągłych. Udowodniliśmy, że jedyną R-derywacją R-algebry C 0 (M ) jest derywacja zerowa (Stwierdzenie 4.3.7). Opiszemy teraz drogę, która może doprowadzić do dowodu, że tę samą własność mają Ralgebry postaci C r (M ), gdzie r < ∞. Wyjaśnimy to w przypadku M = Rn . Uzasadnienie dla dowolnej rozmaitości M jest w [1] 235-237. Wszystkie derywacje rozpatrywane do tej pory były odwzorowaniami z pierścienia do tego samego pierścienia. Można badać derywacje w nieco szerszym sensie. Załóżmy, że A ⊂ B są R-algebrami (np. przemiennymi z jedynkami). Derywacją z A do B nazywamy każde R-liniowe odwzorowanie d : A −→ B takie, że d(xy) = xd(y) + d(x)y, dla wszystkich x, y ∈ A. Rozpatrzmy w szczególności R-algebry A = C r+1 (Rn ) i B = C r (Rn ). Jest oczywiste, że C r+1 (Rn ) ⊂ C r (Rn ). Pochodne cząstkowe ∂ ∂ r+1 (Rn ) do C r (Rn ). Powtarzając dowody faktów, które doprowadziły ∂x1 , . . . , ∂xn są derywacjami z C do Stwierdzenia 12.3.1 (rozpoczynając od Lematu 7.3.1) i zamieniając przy tym odwzorowania gładkie na odwzorowania odpowiedniej klasy, otrzymujemy: 12. Rozmaitość Rn 67 Lemat 12.3.3. Jeśli d : C r+1 (Rn ) −→ C r (Rn ) jest derywacją, to ∂ d = f1 ∂x + · · · + fn ∂x∂n , 1 gdzie f1 , . . . , fn ∈ C r (Rn ). Stwierdzenie 12.3.4. Jedyną derywacją R-algebry C r+1 (Rn ), gdzie r < ∞, jest derywacja zerowa. Dowód (szkic wymagający wyszlifowania). Niech d : C r+1 (Rn ) −→ C r+1 (Rn ) będzie Rderywacją. Ponieważ C r+1 (Rn ) ⊂ C r (Rn ), więc derywacja d jest, na mocy poprzedniego lematu, ∂ postaci d = f1 ∂x + · · · + fn ∂x∂n , gdzie f1 , . . . , fn ∈ C r (Rn ). Jeśli d 6= 0, to istnieje (o czym zapewniają 1 autorzy pracy [1] 237, nie podając jednak dowodu) funkcja g ∈ C r+1 (Rn ) taka, że d(g) ∈ C r (Rn ) r C r+1 (Rn ). 12.4 Wiązka styczna Wiązką styczną do Rn jest trójka (TRn = R2n , p, Rn ), gdzie p : Rn × Rn −→ Rn jest rzutowaniem (a, b) 7→ a. Jeśli x ∈ Rn , to włókno p−1 (x) jest przestrzenią styczną Tx Rn = {x} × Rn . Wiązka styczna TRn jest oczywiście wiązką trywialną. 12.5 Pola wektorowe Polem wektorowym na Rn jest każde odwzorowanie gładkie s : Rn −→ TRn = R2n takie, że dla każdego x ∈ Rn , s(x) ∈ Tx Rn = {x} × Rn . Zbiór wszystkich pól wektorowych na Rn jest C(Rn )modułem, oznaczanym przez Γ(TRn ). Niech s : Rn −→ R2n będzie polem wektorowym na Rn . Wtedy, dla każdego x ∈ Rn , mamy równość: s(x) = (x, (s1 (x), . . . , sn (x))), (12.2) gdzie s1 (x), . . . , sn (x) są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Z polem s stowarzyszone są więc jednoznacznie wyznaczone funkcje s1 , . . . , sn : Rn −→ R. Ponieważ s, jako pole wektorowe, jest odwzorowaniem gładkim, więc funkcje s1 , . . . , sn również są gładkie. Zachodzi też oczywiście odwrotnie; każdy ciąg s1 , . . . , sn , funkcji gładkich z Rn do R, wyznacza dokładnie jedno pole wektorowe na Rn , określone wzorem (12.2). Oznaczmy s = (s1 , . . . , sn ). Wtedy s : Rn −→ Rn . Z tego co powiedzieliśmy powyżej wynika, że s : Rn −→ R2n jest polem wektorowym na Rn dokładnie wtedy, gdy odwzorowanie s jest gładkie. Zapamiętajmy zatem: Stwierdzenie 12.5.1. Odwzorowanie s : Rn −→ R2n jest polem wektorowym na Rn wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje (dokładnie jedno) odwzorowanie gładkie s : Rn −→ Rn takie, że s(x) = (x, s(x)), dla wszystkich x ∈ Rn , tzn. s = (id, s). Wiemy, że C(Rn )-moduł Γ(TRn ) jest izomorficzny z C(Rn )-modułem Der(C(Rn )), wszystkich R-derywacji pierścienia C(Rn ). Tak jest dla każdej rozmaitości gładkiej. W naszym przypadku mamy: Stwierdzenie 12.5.2. Odwzorowanie Γ(TRn ) −→ Der(C(Rn )), określone wzorem ∂ s = (id, (s1 , . . . , sn )) 7−→ s1 ∂x + · · · + sn ∂x∂n , 1 jest izomorfizmem C(Rn )-modułów. Przypomnijmy jeszcze raz, że Γ(TRn ) jest C(Rn )-modułem wolnym rangi n. Wynika to na przykład z powyższego stwierdzenia, gdyż wiemy już, że Der(C(Rn )) jest C(Rn )-modułem wolnym rangi n. Wynika to również z (prostego w dowodzie) ogólnego faktu: moduł przekrojów wiązki trywialnej jest wolny. 68 A. Nowicki - Marzec 1995. 12.6 Topologia i geometria różniczkowa Nawias Liego pól wektorowych Wiemy (patrz Podrozdział 9.7), że jeśli M jest rozmaitością gładką, to moduł Γ(TM ), pól wektorowych na M , jest algebrą Liego nad R z nawiasem: [s1 , s2 ] = s ⇐⇒ [δs1 , δs2 ] = δs . Poniższe stwierdzenie opisuje ten nawias w przypadku, gdy M = Rn . Stwierdzenie 12.6.1 (PH4 33). Niech s = (id, (s1 , . . . , sn )), t = (id, (t1 , . . . , tn )) będą polami wektorowymi na Rn . Wtedy [s, t] = (id, (u1 , . . . , un )), gdzie Pn ∂t ∂s uj = i=1 ∂xji si − ∂xji ti , j = 1, . . . , n. Dowód. Rozpatrzmy derywacje δs , δt oraz δ = δ[s,t] = [δs , δt ]. Wiemy, że: Pn Pn Pn ∂ ∂ ∂ δs = i=1 si ∂x , δt = i=1 ti ∂x , δ = i=1 ui ∂x . i i i Niech f ∈ C(Rn ). Mamy wtedy: Pn ∂f = δ(f ) = [δs , δt ](f ) = δs (δt (f )) − δt (δs (f )) j=1 uj ∂xj P P n n ∂f ∂f = δs t s − δ j j t j=1 ∂xj j=1 ∂xj i Pn h ∂f ∂f ∂f ∂f = δ (t ) + t δ ( ) − δ (s ) − s δ ( ) s j j s t j j t j=1 ∂xj ∂xj ∂xj ∂xj i Pn Pn h ∂f ∂tj 2 ∂f ∂sj ∂ f ∂2f s + t s − t − s t = i j i i j i j=1 i=1 ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi Pn Pn ∂tj ∂sj ∂f = j=1 i=1 ∂xi si − ∂xi ti ∂xj i stąd wynika teza. 12.7 Forma df Niech f : Rn −→ R będzie funkcją gładką. W Podrozdziale 11.2 zdefiniowaliśmy odwzorowanie gładkie df : Rn −→ (TRn )∗ takie, że dla każdego x ∈ Rn , (df )(x) : Tx Rn −→ R jest przekształceniem liniowym. Odwzorowanie to określiliśmy wzorem (df )(x)([σ]) = D(f σ)(0)(1) = d(f σ) dt (0), gdzie [σ] ∈ Tx Rn . Wiemy, że Tx Rn = {x} × Rn . Wiemy też, że każdy element postaci (x, a) ∈ Tx Rn , to nic innego, jak klasa abstrakcji krzywej a(x) : J −→ Rn , t 7→ ta + x. Mamy zatem: (df )(x)(x, a) = df (at+x) (0) dt = ∂f ∂x1 (x)a1 + ··· + ∂f ∂xn (x)an . W przypadku rozmaitości Rn nie musimy znać wcześniejszych ogólnych pojęć, by zrozumieć co to jest df . Odwzorowanie to można zdefiniować następująco. Definicja 12.7.1. Jeśli f ∈ C(Rn ), to przez df oznaczamy odwzorowanie z Rn do (TRn )∗ takie, że dla każdego x ∈ Rn , (df )(x) jest elementem przestrzeni (Tx M )∗ (czyli jest przekształceniem liniowym z {x} × Rn do R) określonym wzorem (df )(x)(x, a) = dla wszystkich (x, a) ∈ Tx Rn . ∂f ∂x1 (x)a1 + ··· + ∂f ∂xn (x)an , (12.3) 12. Rozmaitość Rn 69 W szczególności dla rzutowań π1 , . . . , πn : Rn −→ R mamy: (dπi )(x)(x, a) = ai , i = 1, . . . , n. Niech e1 , . . . , en będzie standardową bazą przestrzeni Rn nad R. Wtedy, dla każdego x ∈ Rn , wektory (x, e1 ), . . . , (x, en ) stanowią bazę przestrzeni Tx Rn = {x} × Rn . Przez εx1 , . . . , εxn oznaczać będziemy bazę dualną w Tx Rn , tzn. εx1 , . . . , εxn : Tx Rn −→ R są przekształceniami liniowymi (nad R) takimi, że εxi (x, ej ) = δij , gdzie δij jest deltą Kroneckera. Lemat 12.7.2. εxi = (dπi )(x), dla i = 1, . . . , n. Dowód. εxi (x, ej ) = δij = (dπi )(x)(x, ej ). Z równości (12.3) wynika, że dla każdego x ∈ Rn i dla każdego (x, a) ∈ Tx Rn zachodzi równość: (df )(x)(x, a) = ∂f ∂x1 (x)(dπ1 )(x)(x, a) n + ··· + ∂f ∂xn (x)(dπn )(x)(x, a). Stąd dalej wynika, że dla każdego x ∈ R , zachodzi następująca równość elementów z (Tx Rn )∗ : (df )(x) = ∂f ∂x1 (x)(dπ1 )(x) + ··· + ∂f ∂xn (x)(dπn )(x). Elementy postaci df należą oczywiście do C(Rn )-modułu Ω1 (Rn ). Widzimy zatem, że w Ω1 (Rn ) mamy równość: Stwierdzenie 12.7.3. df = ∂f ∂x1 dπ1 + ··· + ∂f ∂xn dπn . W analizie matematycznej powyższą równość zapisuje się często w postaci df = ∂f ∂x1 dx1 + ··· + ∂f ∂xn dxn , rozumiejąc przez to formalną sumę ze współczynnikami. Elementy dx1 , . . . , dxn są w takim zapisie tylko pewnymi symbolami. Widzimy zatem, że symbole te mają swoje znaczenie, są to po prostu odwzorowania dπ1 , . . . , dπn . 12.8 Formy różniczkowe 1-go rzędu W tym podrozdziale opiszemy C(Rn )-moduł Ω(Rn ) = Γ((TRn )∗ , form różniczkowych 1-go rzędu na Rn . Przypomnijmy, że formą różniczkową 1-go rzędu na Rn nazywamy każde odwzorowanie gładkie ω : Rn −→ (TRn )∗ takie, że ω(x) ∈ (Tx Rn )∗ , dla wszystkich x ∈ Rn . Każde odwzorowanie postaci df , gdzie f ∈ C(Rn ) (którym zajmowaliśmy się w poprzednim podrozdziale) jest przykładem takiej formy różniczkowej. Powiemy więc, że df ∈ Ω1 (Rn ). Co więcej, ponieważ Ω1 (Rn ) jest C(Rn )-modułem, więc każde odwzorowanie postaci g1 df1 + · · · + gk dfk , f1 , g1 , . . . , fk , gk ∈ C(Rn ) jest formą różniczkową 1-go rzędu na Rn . Czy są inne przykłady? Pokażemy, że nie ma. Niech ω ∈ Ω1 (Rn ). Niech x ∈ Rn . Wtedy ω(x) ∈ (Tx Rn )∗ . Przypomnijmy (patrz poprzedni podrozdział), że przekształcenia εx1 , . . . , εxn tworzą bazę przestrzeni (Tx Rn )∗ nad R. Zatem ω(x) = w1 (x)εx1 + · · · + wn (x)εxn , (12.4) gdzie w1 (x), . . . , wn (x) są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Tak jest dla każdego x ∈ Rn . Pojawiły nam się zatem funkcje w1 , . . . , wn : Rn −→ R. Pamiętajmy jednak, że ω : Rn −→ (TRn )∗ jest odwzorowaniem gładkim. Wnikając w struktuę (TRn )∗ , jako rozmaitości gładkiej, stwierdzamy, że odwzorowania w1 , . . . , wn są gładkie. Zatem w1 , . . . , wn ∈ C(Rn ). Wiemy jednak, że εxi = dπi (x), dla i = 1, . . . , n. Zatem ω = w1 dπ1 + · · · + wn dπn , gdzie w1 , π1 , . . . , wn , πn ∈ C(Rn ). W ten sposób wykazaliśmy: 70 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa Stwierdzenie 12.8.1. Moduł Ω1 (Rn ) jest generowany nad C(Rn ) przez formy postaci df , gdzie f ∈ C(Rn ). Pokazaliśmy nawet więcej: Stwierdzenie 12.8.2. Formy dπ1 , . . . , dπn generują C(Rn )-moduł Ω1 (Rn ). Jest oczywiste, że formy dπ1 , . . . , dπn są liniowo niezależne nad C(Rn ). Mamy zatem: Twierdzenie 12.8.3. Ω1 (Rn ) jest C(Rn )-modułem wolnym rangi n. Formy dπ1 , . . . , dπn tworzą jego bazę. Uwaga 12.8.4. Formy różniczkowe (gładkie) 1-go stopnia na Rn można zdefiniować inaczej, nie powołując się przy tym na wcześniejsze ogólne pojęcia. Potraktujmy wiązkę (T Rn )∗ jako zwykłą mnogościową sumę (rozłączną) wszystkich przestrzeni liniowych postaci (Tx Rn )∗ = ({x} × Rn )∗ . Niech ω : Rn −→ (T Rn )∗ będzie zwykłą funkcją spełniającą warunek: ω(x) ∈ (T Rn )∗ , dla x ∈ Rn . Wówczas, dla każdego x ∈ Rn istnieją jednoznacznie wyznaczone liczby rzeczywiste w1 (x), . . . , wn (x) takie, że zachodzi równość (12.4). Mówimy, że ω jest formą różniczkową 1-go rzędu na Rn , jeśli wszystkie funkcje w1 , . . . , wn : Rn −→ R są gładkie. Taką definicję spotykamy np. w [25]. Wiemy, że odwzorowanie d : C(Rn ) −→ Ω1 (Rn ), f 7→ df jest R-derywacją C(Rn )-modułu Ω1 (Rn ). Twierdzenie 12.8.5. Para (Ω1 (Rn ), d) jest modułem różniczek R-algebry C(Rn ), w sensie definicji podanej w [19]. Dowód. Niech M będzie C(Rn )-modułem i niech ∆ : C(Rn ) −→ M będzie jego R-derywacją. Oznaczmy m1 = ∆(π1 ), . . . , mn = ∆(πn ). Ponieważ (jak wykazaliśmy) Ω1 (Rn ) jest modułem wolnym nad C(Rn ) z bazą {dπ1 , . . . , dπn }, więc istnieje dokładnie jeden C(Rn )-homomorfizm F : Ω1 (Rn ) −→ M taki, że F (dπi ) = mi , dla i = 1, . . . , n. Zatem (F ◦ d)(πi ) = ∆(πi ) dla i = 1, . . . , n, czyli F ◦ d = ∆. Pytanie 12.8.6. Czy powyższe twierdzenie prawdziwe jest dla dowolnej rozmaitości gładkiej? 12.9 Formy wyższych rzędów Niech p będzie nieujemną liczbą całkowitą. Pamiętamy, że formą różniczkową rzędu p na Rn nazywamy każdy element C(Rn )-modułu Ωp (Rn ) = Vp (Γ((TRn )∗ )) = Vp Ω1 (Rn ). Ponieważ moduł Ω1 (Rn ) jest wolny i jego bazą jest {dπ1 , . . . , dπn }, więc struktura C(Rn )-modułu Ω1 (Rn ) jest dość oczywista. Stwierdzenie 12.9.1. Każda forma różniczkowa ω rzędu p na Rn ma jednoznaczne przedstawienie w postaci P ω = 16i1 <···<ip 6n wi1 ...ip dπi1 ∧ · · · ∧ dπip , (12.5) gdzie wszystkie elementy postaci wi1 ...ip są gładkimi funkcjami z Rn do R, czyli są elementami algebry C(Rn ). Stwierdzenie powyższe można przyjąć za definicję różniczkowej formy (gładkiej) rzędu p na Rn . Z taką definicją spotykamy się np. w [25]. Wniosek 12.9.2. Ωp (Rn ) jest C(Rn )-modułem wolnym rangi n p . 12. Rozmaitość Rn 12.10 71 Kompleks de Rhama Spójrzmy na Twierdzenie 11.3.1. Wiemy, na mocy tego twierdzenia, że istnieje dokładnie jeden ciąg odwzorowań liniowych (nad R) dp : Ωp (Rn ) −→ Ωp+1 (Rn ), (p = 0, 1, . . . ) taki, że: (1) d0 = d, (2) d1 d0 = 0, (3) dp+q (ωp ∧ ωq ) = dp (ωp ) ∧ ωq + (−1)p ωp ∧ dq (ωq ), dla ωp ∈ Ωp (Rn ), ωq ∈ Ωq (Rn ). Odwzorowania dp spełniają ponadto własność: (4) dp+1 dp = 0. Odwzorowania postaci dp można zdefiniować następująco. Definicja 12.10.1. Niech ω ∈ Ωp (Rn ). Załóżmy, że forma ω ma przedstawienie P ω = 16i1 <···<ip 6n wi1 ...ip dπi1 ∧ · · · ∧ dπip , gdzie wi1 ...ip ∈ C(Rn ). Wtedy dp (ω) ∈ Ωp+1 (Rn ) określamy wzorem P dp (ω) = 16i1 <···<ip 6n dwi1 ...ip ∧ dπi1 ∧ · · · ∧ dπip . W standardowy sposób sprawdza się (patrz np. [25]), że tak zdefiniowane odwzorowania d0 , d1 , . . . spełniają warunki Twierdzenia 11.3.1. W dalszym ciągu wszystkie odwzorowania d0 , d1 , . . . (o ile nie doprowadzi to do nieporozumień) oznaczać będziemy przez d. W szczególności własność (4) zapisywać będziemy jako dd = 0. Definicja 12.10.2 ([25]). Mówimy, że forma ω ∈ Ωp (Rn ) jest zamknięta, jeśli dω = 0. Mówimy, że forma ω ∈ Ωp (Rn ) jest dokładna, jeśli istnieje forma η ∈ Ωp−1 (Rn ) taka, że ω = dη. Stwierdzenie 12.10.3. Każda forma dokładna jest zamknięta. Dowód. ddω = 0. Można się spytać czy zachodzi stwierdzenie odwrotne, tzn.: Pytanie 12.10.4. Czy każda forma zamknięta jest dokładna? Podamy odpowiedź na to pytanie. Przykład 12.10.5. Rozpatrzmy R2 . Rzutowania π1 , π2 : R1 −→ R oznaczmy odpowiednio przez x i y. Niech ω ∈ Ω1 (R2 ). Wiemy, że ω = P dx + Qdy, gdzie P, Q : R2 −→ R są jednoznacznie wyznaczonymi funkcjami gładkimi. Mamy zatem dω = dP ∧ dx + dQ ∧ dy dy) ∧ dx + ( ∂Q ∂x dx + = ( ∂P ∂x dx + ∂P ∂y = ( ∂Q ∂x )dx ∧ dy. − ∂P ∂y ∂Q ∂y dy) ∧ dy Stąd wynika, że dω = 0 ⇐⇒ ∂P ∂y = ∂Q ∂x . Korzystając z tego można łatwo wykazać (patrz [25]), że forma ω jest zamknięta wtedy i tylko wtedy, gdy jest dokładna. 72 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa W przypadku, gdy ω ∈ Ω1 (R2 ), to (jak pokazuje powyższy przykład) odpowiedź na Pytanie 12.10.4 jest pozytywna. Wszystkie rozważane w tym rozdziale pojęcia mają podobne interpretacje, gdy zamiast rozmaitości Rn rozpatrzymy otwarty podzbiór U w Rn . Wówczas odpowiedź na pytanie 12.10.4 może być negatywna. Przykład 12.10.6 ([25]102). Niech U = R2 r {(0, 0)}. Forma ω= −y x2 +y 2 dx + x x2 +y 2 dy jest zamknięta ale nie jest dokładna. Definicja 12.10.7 ([25]). Mówimy, że podzbiór U ⊆ Rn jest gwiaździsty, jeśli z tego, że x ∈ U wynika, że odcinek łączący punkty 0 i x jest zawarty w U . Twierdzenie 12.10.8 (Lemat Poincarégo). Jeśli U ⊆ Rn jest otwartym zbiorem gwiaździstym, to każda forma różniczkowa zamknięta na U jest dokładna. Dowód. Patrz Spivak [25] 103. Cała rozmaitość Rn jest oczywiście zbiorem gwiaździstym. Mamy zatem odpowiedź na Pytanie 12.10.4. Wniosek 12.10.9. Jeśli ω ∈ Ωp (Rn ), to ω jest formą zamkniętą wtedy i tylko wtedy, gdy jest formą dokładną. Stąd dalej wynika: Wniosek 12.10.10. Kompleks de Rhama ... jest dokładny. −→ Ωp (Rn ) dp −→ Ωp+1 (Rn ) dp+1 −→ Ωp+2 (Rn ) −→ ... 13. Całkowanie pól wektorowych 13 13.1 73 Całkowanie pól wektorowych Krzywa całkowa pola wektorowego Niech J = (−1, 1) ⊂ R będzie otwartym odcinkiem. Odcinek ten jest jednowymiarową rozmaitością gładką (z jednoelementowym atlasem). Wiązka styczna TJ jest zbiorem wszystkich klas abstrakcji krzywych (gładkich) na J, tzn. odwzorowań gładkich z J do J. Jeżeli a ∈ R1 , to przez εa : J −→ R1 oznaczmy krzywą określoną wzorem εa (t) = a + t, dla t ∈ J. Jest to krzywa o środku w punkcie a = εa (0). Przez ε oznaczamy przekrój ε : J −→ TJ, a 7−→ [εa ]. Załóżmy, że M jest rozmaitością gładką. Definicja 13.1.1. Jeśli σ : J −→ M jest krzywą na M to przez σ 0 oznaczamy odwzorowanie J ε −→ TJ T(σ) −→ TM, tzn. σ 0 (a) = [σεa ], dla a ∈ J. Jeśli s : M −→ TM jest polem wektorowym na M oraz σ : J −→ M jest krzywą na M , to mamy odwzorowanie σ s J −→ M −→ TM. Mamy więc wtedy dwa odwzorowania gładkie σ 0 , sσ : J −→ TM . Definicja 13.1.2. Krzywą całkową pola wektorowego s : M −→ TM nazywamy każdą krzywą σ : J −→ M taką, że σ 0 = sσ. 13.2 Krzywa całkowa dla pola wektorowego w R1 Wyjaśnimy, co to są krzywe całkowe w przypadku, gdy M = R1 . Wiązka styczna TR1 jest (na mocy definicji) zbiorem klas abstrakcji krzywych na R1 . Wiemy jednak, że wiązka ta jest izomorficzna z wiązką trywialną R1 × R1 . Izomorfizm zadaje odwzorowanie F : TR1 −→ R1 × R1 , [σ] 7−→ (σ(0), dσ dt (0)). Niech s : R1 −→ TR1 będzie polem wektorowym na R1 . Wiemy, że F s : R1 −→ R1 × R1 jest odwzorowaniem gładkim, jednoznacznie wyznaczonym przez odwzorowanie gładkie s : R1 −→ R1 takie, że F s(x) = (x, s(x)), dla wszystkich x ∈ R1 . Rozważmy krzywą σ : J −→ R1 . Niech ξ ∈ J. Wtedy: (σ(ξ), s(σ(ξ))), F sσ(ξ) = F σ 0 (ξ) = F ([σεξ ]) = (σεξ (0), dσεξ dt (0)) = (σ(ξ), dσ dt (ξ)) Stąd wynika: Stwierdzenie 13.2.1. Odwzorowanie σ : J −→ R1 jest krzywą całkową pola s : R1 −→ TR1 wtedy i tylko wtedy, gdy dσ(t) dt = s(σ(t)). 74 A. Nowicki - Marzec 1995. 13.3 Topologia i geometria różniczkowa Krzywa całkowa dla pola wektorowego w Rn Wiązka styczna TRn jest zbiorem klas abstrakcji krzywych na Rn . Wiązka ta jest izomorficzna z wiązką trywialną Rn × Rn . Izomorfizm zadaje odwzorowanie dσn 1 F : TRn −→ Rn × Rn , [σ] 7−→ σ(0), ( dσ dt (0), . . . , dt (0)) , gdzie σ1 , . . . , σn : J −→ R1 są funkcjami gładkimi takimi, że (σ1 , . . . , σn ) = σ. Niech s : Rn −→ TRn będzie polem wektorowym na Rn . Wtedy F s : Rn −→ Rn × Rn jest odwzorowaniem gładkim, jednoznacznie wyznaczonym przez odwzorowanie gładkie s = (s1 , . . . , sn ) : Rn −→ Rn takie, że F s(x) = (x, s(x)), dla wszystkich x ∈ Rn . Rozważmy krzywą σ = (σ1 , . . . , σn ) : J −→ Rn . Niech ξ ∈ J. Wtedy: F sσ(ξ) = F σ 0 (ξ) dσ1 εξ dσn εξ = F ([σεξ ]) = σεξ (0), ( dt (0), . . . , dt (0)) dσn 1 = σ(ξ), ( dσ dt (ξ), . . . , dt (ξ)) . (σ(ξ), s(σ(ξ))) = (σ(ξ), (s1 (σ(ξ)), . . . , sn (σ(ξ))) , Stąd wynika: Stwierdzenie 13.3.1. Odwzorowanie σ = (σ1 , . . . , σn ) : J −→ Rn jest krzywą całkową pola s = (id, (s1 , . . . , sn )) : Rn −→ TRn wtedy i tylko wtedy, gdy dσ1 (t) = s1 (σ1 (t), . . . , σn (t)), dt .. (13.1) . dσn (t) = s (σ (t), . . . , σ (t)). dt n 1 n Powyższy układ równań różniczkowych (13.1) nazywa się dynamicznym układem stacjonarnym lub układem autonomicznym. Wniosek 13.3.2. Niech s = (id, (s1 , . . . , sn )) : Rn −→ TRn będzie polem wektorowym na Rn . Pole to posiada krzywą całkową wtedy i tylko wtedy, gdy układ (13.1) posiada rozwiązanie. 13.4 Twierdzenia o istnieniu krzywych całkowych Zanotujmy twierdzenie, które dowodzi się teorii równań różniczkowych. Twierdzenie 13.4.1. Niech s = (s1 , . . . , sn ) : Rn −→ Rn będzie odwzorowaniem gładkim w pewnym otoczeniu otwartym punktu a ∈ Rn . Istnieją wówczas zbiory otwarte a ∈ U ⊆ Rn , 0 ∈ J ⊆ R takie, że dla każdego b ∈ U , istnieje dokładnie jedna krzywa gładka σ = (σ1 , . . . , σn ) : J −→ Rn spełniająca następujące dwa warunki: (1) σ(0) = b, (2) σ jest rozwiązaniem układu (13.1). Ponadto, jeśli tę krzywą oznaczymy przez σb , to odwzorowanie ψ : J × U −→ Rn , ψ(t, b) = σb (t), dla (t, b) ∈ J × U, jest gładkie. Istnieje następujące uogólnienie tego twierdzenia dla dowolnych rozmaitości gładkich. Twierdzenie 13.4.2. Niech M będzie rozmaitością gładką. Niech S : M −→ TM będzie polem wektorowym i niech a ∈ M . Istnieją wówczas zbiory otwarte a ∈ U ⊆ M , 0 ∈ J ⊆ R takie, że dla każdego b ∈ U , istnieje dokładnie jedna krzywa σb : J −→ Rn , o środku w punkcie b, będąca krzywą całkową pola s. Ponadto, odwzorowanie ψ : J × U −→ M, jest gładkie. ψ(t, b) = σb (t), dla (t, b) ∈ J × U, 13. Całkowanie pól wektorowych 75 Podobne twierdzenia zachodzą dla odwzorowań i rozmaitości ustalonej klasy C r . Do tej pory przez krzywą na rozmaitości M rozumieliśmy odwzorowanie gładkie σ : J −→ M , gdzie J był ustalonym odcinkiem otwartym J = (−1, 1) ⊂ R. Jest jasne, że ustalenie tego odcinka jest zbyteczne. Wystarczy zamiast (−1, 1) przyjąć dowolny zbiór otwarty w R zawierający 0. Wszystkie fakty podane wcześniej funkcjonują dla takich właśnie krzywych. Takie krzywe występują w powyższych twierdzeniach. Mając daną krzywą σ : J −→ M , np. krzywą całkową jakiegoś pola wektorowego na M , gdzie 0 ∈ J 6= R, można się spytać czy krzywą tę można przedłużyć do gładkiej krzywej określonej na całym zbiorze R. Na ogół tego zrobić nie można. Przykład 13.4.3. Rozważmy pole wektorowe (gładkie) s : R1 −→ TR1 określone wzorem s(x) = (x, 1 + x2 ), x ∈ R1 . Wówczas krzywa σ : (−π/2, π/2) −→ R1 , σ(t) = tg(t), jest jedyną krzywą całkową pola s, o środku w 0. Istotnie, σ(0) = 0 oraz dσ(t) dt = 1 + σ(t)2 . Krzywej tej nie można przedłużyć na cały zbiór R. Sytuacja taka, jak w powyższym przykładzie, nie zachodzi dla rozmaitości zwartych. Twierdzenie 13.4.4. Niech s : M −→ TM będzie polem wektorowym na gładkiej rozmaitości zwartej M . Wówczas, dla każdego punktu a ∈ M , istnieje dokładnie jedna krzywa całkowa pola s, o środku w punkcie a, której dziedziną jest cały zbiór R. 13.5 Formalne systemy równań różniczkowych Twierdzenia podane w poprzednim podrozdziale mają swoje odpowiedniki dla układów równań różniczkowych w pierścieniu szeregów formalnych. Wykazaliśmy to w pracy [18]. Przypomnijmy z tej pracy najważniejsze fakty dotyczące omawianego zagadnienia. Zakładamy, że k jest pierścieniem przemiennym zawierającym ciało Q liczb wymiernych, k[X] = k[x1 , . . . , xn ] jest pierścieniem wielomianów n-zmiennych nad k oraz k[X][[t]] = k[x1 , . . . , xn ][[t]] jest pierścieniem szeregów jednej zmiennej t nad pierścieniem k[X]. Niech s1 , . . . , sn będą szeregami należącymi do k[X][[t]]. Twierdzenie 13.5.1 ([18] 14). Dla każdego punktu a = (a1 , . . . , an ) ∈ k n istnieją jednoznacznie wyznaczone szeregi σ1 , . . . , σn ∈ k[[t]] takie, że: (1) wyrazy stałe szeregów σ1 , . . . , σn są równe odpowiednio elementom a1 , . . . , an ; (2) szeregi σ1 , . . . , σn spełniają następujący układ równości: dσ1 (t) = s1 (σ1 (t), . . . , σn (t)), dt .. (13.2) . dσn (t) = sn (σ1 (t), . . . , σn (t)). dt Jeśli a ∈ k n , to szeregi σ1 , . . . , σn ∈ k[[t]], istniejące na mocy powyższego twierdzenia, oznaczamy odpowiednio przez σ1 (t, a), . . . , σn (t, a). Ciąg tych szeregów oznaczać będziemy przez σ(t, a), tzn. σ(t, a) = (σ1 (t, a), . . . , σn (t, a)). Ciąg σ(t, a) nazywamy formalnym rozwiązaniem lub formalną krzywą całkową układu (13.2) w punkcie a. Rozpatrywany układ równań różniczkowych zapisywać będziemy w skrócie przez dX dt = s(X), X[0] = a. (13.3) 76 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa Twierdzenie 13.5.2 ([18] 17). Istnieją jednoznacznie wyznaczone wielomiany wij ∈ k[X] (dla i = 1, . . . , n, j = 0, 1, . . . ) takie, że P∞ σi (t, a) = j=0 wij (a)tn , dla wszystkich a ∈ k n oraz wszystkich i = 1, . . . , n. Sytuacja się znacznie upraszcza, gdy dane szeregi s1 , . . . , sn nie zależą od t, tzn., gdy są tylko wielomianami należącymi do k[X] = k[x1 , . . . , xn ]. W takim przypadku, formalna krzywa całkowa σ(t, a) nazywa się potokiem lub formalnym potokiem, natomiast (13.3) nazywa się układem stacjonarnym lub autonomicznym. W tym przypadku można podać proste wzory wyznaczające σ(t, a). Twierdzenie 13.5.3 ([18]). Niech s1 , . . . , sn ∈ k[X] = k[x1 , . . . , xn ], niech a ∈ k n i niech d : k[X] −→ k[X] będzie k-derywacją wyznaczoną przez wielomiany s1 , . . . , sn , tzn., ∂ d = s1 ∂x + · · · + sn ∂x∂n . 1 Wtedy σi (t, a) = P∞ 1 j j j=0 j! d (xi )(a)t , dla i = 1, . . . , n. Jest godne uwagi, że szeregi Ed (x1 ), . . . , Ed (xn ) ∈ k[X][[t]], zdefiniowane jako Ed (x1 ) = ∞ X 1 j d (x1 )tj , j! j=0 ,..., Ed (xn ) = ∞ X 1 j d (xn )tj , j! j=0 (pojawiające się w powyższym twierdzeniu), wyznaczają k[[t]]-automorfizm Ed pierścienia k[X][[t]]. Przez cały czas k jest dowolnym pierścieniem przemiennym zawierającym Q. Można więc w szczególności przyjąc zamiast k pierścień szeregów k[[u]], gdzie u jest analitycznie niezależne od t, wtedy łatwo się pokazuje (patrz wcześniejsza wersja pracy [18]), że σ(t + u, a) i σ(t, σ(u, a)), to rozwiązania układu dX X[0] = σ(u, a). dt = s(X), Ponieważ takie rozwiązanie jest jedyne, więc stąd otrzymujemy: Stwierdzenie 13.5.4. σ(t + u, a) = σ(t, σ(u, a)). 13.6 Jednoparametrowe grupy dyfeomorfizmów Niech M będzie rozmaitością gładką. Przez DYF(M ) oznaczać będziemy grupę wszystkich dyfeomorfizmów (gładkich) z M do M . Definicja 13.6.1. Każdy homomorfizm grup T : (R, +) −→ DYF(M ) nazywamy jednoparametrową grupą dyfeomorfizmów rozmaitości M . Definicja 13.6.2. Mówimy, że pole wektorowe s : M −→ TM jest specjalne jeśli, dla każdego a ∈ M , istnieje dokładnie jedna krzywa całkowa tego pola, o środku w a i określona na całym zbiorze R, liczb rzeczywistych. Z twierdzenia 13.4.4 wynika: Wniosek 13.6.3. Jeśli rozmaitość M jest zwarta, to każde jej pole wektorowe jest specjalne. Załóżmy, że s : M −→ TM jest specjalnym polem wektorowym. Jeśli a ∈ M , to przez σa : R −→ M oznaczamy jedyną krzywą całkową tego pola, o środku w a. Istnienie takiej krzywej wynika z definicji pola specjalnego. Ustalmy a ∈ M oraz r ∈ R. Rozpatrzmy krzywą η : R −→ M, η(t) = σa (t + r), dla t ∈ R, oraz krzywą σσa (r) : R −→ M . Są to dwie krzywe (gładkie) o środku w punkcie σa (r). Bez trudu stwierdzamy, że są to krzywe całkowe pola s. Z jednoznaczności istnienia krzywych całkowych o danym środku wynika zatem następujący analog Stwierdzenia 13.5.4. 13. Całkowanie pól wektorowych 77 Stwierdzenie 13.6.4. Jeśli s : M −→ TM jest polem specjalnym, to dla dowolnych r, t ∈ R, zachodzi równość: σa (r + t) = σσa (r) (t). Niech w dalszym ciągu s : M −→ TM będzie polem specjalnym. Jeśli t ∈ R, to oznaczmy przez T t : M −→ M odwzorowanie określone wzorem T t (a) = σa (t), dla a ∈ M. t Można udowodnić, że odwzorowanie T jest gładkie. Mamy ponadto: Lemat 13.6.5. (1) T 0 =id, (2) T t+r = T t ◦ T r . Dowód. T 0 (a) = σa (0) = a, T (a) = σa (r + t) = σσa (r) (t) = T t (σa (r)) = T t T r (a). r+t Z lematu tego wynika w szczególności, że id = T t ◦ T −t = T −t T t . Zatem T t jest dyfeomorfizmem oraz (T t )−1 = T −1 . Z każdym więc polem specjalnym s stowarzyszona jest rodzina {T t }t∈R dyfeomorfizmów rozmaitości M . Mamy zatem odwzorowanie R −→DYF(M ), t 7→ T t . Z powyższego lematu wynika, że odwzorowanie to jest homomorfizmem grup, działającym z grupy (R, +) do grupy DYF(M ). Zanotujmy: Stwierdzenie 13.6.6. Jeśli s : M −→ TM jest specjalnym polem wektorowym, to odwzorowanie T : (R, +) −→ DYF(M ), T t (a) = σa (t), dla t ∈ R, a ∈ M, jest jednoparametrową grupą dyfeomorfizmów rozmaitości M . Teraz z Twierdzenia 13.4.4 wynika: Twierdzenie 13.6.7. Jeśli rozmaitość M jest zwarta, to każde pole wektorowe na M wyznacza jednoparametrową grupę dyfeomorfizmów tej rozmaitości. Założenie o zwartości rozmaitości M potrzebne było do tego, by odpowiednie krzywe całkowe były globalne (tzn. określone na całym zbiorze R). Bez założenia o zwartości, otrzymujemy podobne wyniki z tym, że krzywe całkowe określone są na pewnych otwartych podzbiorach w R, zawierających 0. Wówczas otrzymujemy tzw. lokalną jednoparametrową grupę dyfeomorfizmów rozmaitości M . Powyższe fakty zachodzą również dla rozmaitości i odwzorowań klasy C r , r > 1. 13.7 Informacja o twierdzeniu Frobeniusa Istnieje pewne uogólnienie Twierdzenia 13.4.4, o istnieniu krzywych całkowych dla zwartej rozmaitości M . Do wysłowienia tego uogólnienia potrzebne są pewne nowe pojęcia, których nie będziemy tu wprowadzać. Zamiast jednego przekroju s : M −→ TM rozważa się p przekrojów s1 , . . . , sp : M −→ TM takich, że wektory s1 (x), . . . , sp (x) ∈ Tx M są liniowo niezależne nad R. Przekroje te tworzą tzw. p-wymiarowy układ różniczkowy. Oznaczmy ten układ przez D. Definiuje się całkę układu D. Nie jest to krzywa, ale pewne odwzorowanie gładkie f : N −→ M , gdzie N jest pewną rozmaitością gładką. Następnie wprowadza się przestrzeń R-liniową A(D), zależną od D, która jest podprzestrzenią R-przestrzeni Γ(TM ), wszystkich L∞pól wektorowych na rozmaitości M . Wprowadza się również pewien ideał I(D) algebry Ω(M ) = j=0 Ωj (M ). Wspomniane uogólnienie Twierdzenia 13.4.4 brzmi następująco: Twierdzenie 13.7.1 (Frobeniusa). Niech D będzie p-wymiarowym układem różniczkowym na rozmaitości M . Następujące warunki są równoważne. (1) Układ D jest całkowalny. (2) ∀s,t∈A(D) [s, t] ∈ A(D), tzn., A(D) jest podalgebrą Liego algebry Liego Γ(TM ). (3) ∀w∈I(D) dp w ∈ I(D) (gdzie dp jest p-tą różniczką z kompleksu de Rhama). 78 A. Nowicki - Marzec 1995. 14 14.1 Topologia i geometria różniczkowa Grupy Liego i ich algebry Liego Grupy Liego Definicja 14.1.1. Grupą Liego nazywamy rozmaitość gładką G wraz z odwzorowaniami gładkimi · : G × G −→ G i −1 : G −→ G, spełniającymi zwykłe aksjomaty grupy. Grupą Liego jest więc każda grupa topologiczna G, która jest jednocześnie rozmaitością gładką, przy czym struktury algebraiczna i różniczkowa są zgodne, tzn. odwzorowanie G × G −→ G, (g, h) 7−→ gh−1 , jest gładkie. Wymiarem grupy Liego G nazywamy wymiar rozmaitości G. Jeśli G1 , G2 są grupami Liego, to ich homomorfizmem nazywamy każdy homomorfizm grup ϕ : G1 −→ G2 , będący odwzorowaniem gładkim. Przykład 14.1.2. Każda przestrzeń wektorowa V na R z dodawaniem wektorów, jako działaniem grupowym, jest grupą Liego. W szczególności (Rn , +) jest grupą Liego. Przykład 14.1.3. Grupy GLn (R), GLn (C) są grupami Liego. Grupy te są rozmaitościami gładkimi, 2 2 gdyż są otwartymi podzbiorami rozmaitości odpowiednio Rn i R2n . Odwzorowanie (A, B) 7→ AB −1 jest oczywiście gładkie. Przykład 14.1.4. Niech G = {(a, b) ∈ R2 ; a 6= 0} = R2 r (0 × R). Zbiór ten jest otwarty w R2 . Ma zatem strukturę rozmaitości gładkiej (z jednoelementowym atlasem). Wprowadzamy w zbiorze G mnożenie G × G −→ G przyjmując (a, b)(c, d) = (ac, ad + b). Łatwo sprawdzić, że G wraz z tym mnożeniem jest zwykłą grupą. Elementem neutralnym jest para (1, 0). Ponadto, (a, b)−1 = (a−1 , −a−1 b). Widzimy zatem, że odwzorowania · : G × G −→ G oraz −1 : G −→ G są gładkie. Rozmaitość G jest zatem grupą Liego. Grupa ta jest izomorficzna z grupą odwracalnych 2 × 2 macierzy postaci a b , a, b ∈ R, a 6= 0. 0 1 Ta z kolei grupa jest izomorficzna z grupą wszystkich przekształceń afinicznych z R do R, tzn. odwzorowań f : R −→ R postaci f (x) = ax + b, gdzie a 6= 0. Przykład 14.1.5. Okrąg S1 = {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 = 1} = {z ∈ C; |z| = 1} (z mnożeniem) jest 1-wymiarową grupą Liego. Są tylko dwie 1-wymiarowe grupy Liego: (R1 , +) i (S1 , ·). Na sferze S2 nie ma struktury grupy Liego. Istnieje natomiast struktura grupy Liego na S3 . Jeśli H jest ciałem kwaternionów, to (H r {0}, ·) jest grupą Liego (patrz [15]). Zachodzi fakt ogólniejszy: Stwierdzenie 14.1.6 ([15]). Niech A będzie skończenie wymiarową R-algebrą z 1 i niech µ(A) będzie jej grupą multyplikatywną. Wtedy µ(A) jest grupą Liego. Zanotujmy także: Stwierdzenie 14.1.7 ([15]). (1) Jeśli G jest grupą Liego i H ⊆ G jest jej domkniętą podgrupą i podrozmaitością, to H jest grupą Liego. (2) Jeśli H jest domkniętym dzielnikiem normalnym grupy Liego G, to G/H jest grupą Liego. (3) Produkt grup Liego jest grupą Liego. 14. Grupy Liego i ich algebry Liego 79 Inne przykłady grup Liego podamy później. Niech G będzie grupą Liego. Jeśli g ∈ G, to przez lg : G −→ G oznaczamy odwzorowanie, zwane lewym przesunięciem, określone wzorem dla x ∈ G. lg (x) = gx, Analogicznie definiujemy prawe przesunięcie rg : G −→ G, x 7→ xg. Przesunięcia (lewe i prawe) są oczywiście dyfeomorfizmami rozmaitości G. 14.2 Niezmiennicze pola wektorowe Niech G będzie grupą Liego. Każde lewe przesunięcie lg indukuje odwzorowanie T(lg ) : TG −→ TG, wiązki stycznej do G. Dla każdego h ∈ G mamy wówczas odwzorowanie R-liniowe Th (lg ) : Th G −→ Tlg (h) G = Tgh G, określone wzorem Th (lg )[σ] = [lg ◦ σ] = [gσ], dla [σ] ∈ Th G. Ponieważ lg jest dyfeomorfizmem, więc Th (lg ) : Th G −→ Tgh G jest izomorfizmem przestrzeni Rliniowych. Niech s : G −→ TG będzie polem wektorowym. Wówczas, dla każdego g ∈ G mamy diagram G s −→ TG lg ↓ G ↓ T(lg ) s −→ (14.1) TG Diagramy tej postaci nie muszą być, na ogół, przemienne. Definicja 14.2.1. Mówimy, że pole wektorowe s : G −→ TG jest niezmiennicze (lewostronnie) jeśli, dla każdego g ∈ G, powyższy diagram jest przemienny. Przez e oznaczamy element neutralny grupy G. Stwierdzenie 14.2.2 (PH4 35). Niech s : G −→ TG będzie polem wektorowym. Następujące warunki są równoważne. (1) Pole s jest niezmiennicze. (2) s(g) = Te (lg )(s(e)), dla wszystkich g ∈ G. Dowód. Niech g ∈ G. Wtedy Te (lg ) jest przekształceniem R-liniowym z Te G do Tlg (e) G = Tg G. Ponadto, s(e) ∈ Te G, s(g) ∈ Tg G. Zatem elementy Te (lg )(s(e) i s(g) należą do tej samej przestrzeni Tg G. (1) ⇒ (2). Załóżmy, że wszystkie diagramy postaci (14.1) są przemienne i niech g ∈ G. Wtedy T(lg )s = slg . Zatem, dla dowolnego h ∈ G, mamy slg (h) = T(lg )s(h) = Th (lg )s(h). W szczególności, dla h = e, otrzymujemy: s(g) = slg (e) = Te (lg )s(e). (2) ⇒ (1). Załóżmy, że zachodzi warunek (2). Należy pokazać, że slg (h) = Th (lg )s(h), dla wszystkich h ∈ G. 80 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa Sprawdzamy: slg (h) = = = = s(gh) = Te (lgh )s(e) Te (lg ◦ lh )s(e) = (Th (lg ) ◦ Te (lh )) s(e) Th (lg ) (Te (lh )s(e)) Th (lg )s(h). Powyższe stwierdzenie mówi, że niezmiennicze pola wektorowe są jednoznacznie wyznaczone przez swoją wartość w punkcie e. Jeśli znamy s(e), to znamy s(g), dla dowolnego g ∈ G, bowiem s(g) = Te (lg )(s(e)). Przypomnijmy, że przez Γ(TG) oznaczamy zbiór wszystkich przekrojów z G do TG, czyli zbiór wszystkich pól wektorowych rozmaitości G. Zbiór ten jest C(G)-modułem, zatem jest przestrzenią liniową nad R. Lemat 14.2.3. Zbiór A, wszystkich niezmienniczych pól wektorowych grupy G, jest podprzestrzenią przestrzeni Γ(TG). Dowód. Niech s ∈ A, r ∈ R. Ponieważ, dla każdego g ∈ G, odwzorowanie Te (lg ) : Te G −→ Tg G jest przekształceniem liniowym, więc (rs)(g) = r · s(g) = r · Te (lg )(s(e)) = Te (lg )(r · s(e)) = Te (lg )(rs(e)). Zatem, na mocy poprzedniego stwierdzenia, pole rs należy do A. Niech s1 , s2 ∈ A. Wówczas, dla każdego g ∈ G, mamy: (s1 + s2 )(g) = = = = s1 (g) + s2 (g) Te (lg )(s1 (e)) + Te (lg )(s2 (e)) Te (lg )(s1 (e) + s2 (e)) Te (lg )((s1 + s2 )(e)). Z poprzedniego stwierdzenia wynika zatem, że s1 + s2 ∈ A. Niech v będzie ustalonym wektorem przestrzeni Te G. Definiujemy odwzorowanie sv : G −→ TG, przyjmując: sv (g) = Te (lg )(v), dla g ∈ G. (14.2) Lemat 14.2.4. Odwzorowanie sv jest niezmienniczym polem wektorowym grupy Liego G. Dowód. Przypomnijmy, że p : TG −→ G jest odwzorowaniem gładkim, zdefiniowanym wzorem p([σ]) = σ(0), gdzie [σ] ∈ TG. Sprawdzenie, że odwzorowanie sv jest gładkie zostawiamy czytelnikowi. Sprawdźmy, że psv = id. Niech v = [σ], gdzie σ(0) = e. Niech g ∈ G. Wtedy: psv (g) = pTe (lg )(v) = pTe (lg )([σ]) = p([lg σ]) = p([gσ]) = gσ(0) = ge = g. Zatem sv jest polem wektorowym. Zauważmy teraz, że sv (e) = v. Istotnie, sv (e) = Te (le )(v) = Te (id)(v) = v. Stąd wynika, że sv (g) = Te (lg )(sv (e)), a zatem (na mocy poprzedniego stwierdzenia) pole sv jest niezmiennicze. Stwierdzenie 14.2.5 (PH4 35). Zbiór A, wszystkich niezmienniczych pól wektorowych grupy Liego G, jest przestrzenią liniową nad R izomorficzną z przestrzenią Te G. Dokładniej, odwzorowanie α : Te G −→ A, v 7→ sv , jest izomorfizmem przestrzeni liniowych. Dowód. Jest oczywiste, że α jest przekształceniem liniowym. Jeśli sv = sv0 , to v = sv (e) = sv0 (e) = v 0 , a zatem α jest różnowartościowe. Jeśli s : G −→ TG jest dowolnym niezmienniczym polem wektorowym, to s = sv , gdzie v = s(e). Istotnie, z poprzedniego stwierdzenia wynika, że: sv (g) = Te (lg )(v) = Te (lg )(s(e)) = s(g). Zatem α jest surjekcją. 14. Grupy Liego i ich algebry Liego 14.3 81 Moduł pól wektorowych grupy Liego Niech G będzie n-wymiarową grupą Liego. Wykażemy, że niezmiennicze pola wektorowe grupy G generują (nad C(G)) moduł Γ(TG), wszystkich pól wektorowych grupy G. Wykażemy nawet więcej; udowodnimy, że moduł ten jest wolny rangi n oraz, że ma bazę składającą się z niezmienniczych pól wektorowych. Stwierdzenie 14.3.1. Jeśli wektory v1 , . . . , vn ∈ Te G są liniowo niezależne na R, to niezmiennicze pola wektorowe s1 = sv1 , . . . , sn = svn , zdefiniowane wzorami (14.2), są liniowo niezależne nad C(G). Dowód. Niech Pn i=1 fi si = 0, gdzie f1 , . . . , fn ∈ C(G). Niech g ∈ G. Wtedy Pn i=1 a zatem 0 fi (g)si (g) = 0, Pn = Tg (lg−1 ) ( i=1 fi (g)si (g)) Pn = i=1 fi (g)Tg (lg −1 )(si (g)) Pn = i=1 fi (g)Tg (lg −1 )Te (lg )(vi ) Pn = i=1 fi (g)Te (le )(vi ) Pn = i=1 fi (g)(vi ). Z liniowej niezależności wektorów v1 , . . . , vn wynika, że f1 (g) = · · · = fn (g) = 0. Stwierdzenie 14.3.2. Jeśli wektory v1 , . . . , vn ∈ Te G generują (nad R) przestrzeń Te G, to niezmiennicze pola wektorowe s1 = sv1 , . . . , sn = svn , zdefiniowane wzorami (14.2), generują moduł Γ(TG) nad C(G). Dowód (szkic). Niech s : G −→ TG będzie dowolnym polem wektorowym. Ponieważ przekształcenie liniowe Te (lg ) : Te G −→ Tg G jest izomorfizmem oraz si (g) = Te (lg )(vi ), i = 1, . . . , n, więc wektory s1 (g), . . . , sn (g) generują przestrzeń Tg G nad R, dla dowolnego g ∈ G. Zatem s(g) = f1 (g)s1 (g) + · · · + fn (g)sn (g), gdzie f1 (g), . . . , fn (g) są pewnymi elementami z R. Stąd s = f1 , . . . , fn są gładkie. dla γ ∈ G, Pn i=1 fi si i można wykazać, że funkcje Z powyższych dwóch stwierdzeń wynika: Twierdzenie 14.3.3 (PH4 36). Jeśli G jest n-wymiarową grupą Liego, to C(G)-moduł Γ(TG) jest wolny rangi n (tzn. wiązka TG jest trywialna). 14.4 Algebra Liego grupy Liego indexalgebra*Liego*grupy Liego Wiemy, że przekrojom wiązki stycznej TG odpowiadają (w sposób wzajemnie jednoznaczny) R-derywacje pierścienia C(G). Jeśli s : G −→ TG jest przekrojem (czyli polem wektorowym na G), to odpowiadająca derywacja δs : C(G) −→ C(G) określona jest wzorem δs (f )(g) = d(f σ) dt (0), gdzie [σ] = s(g). Niech δ : C(G) −→ C(G) będzie dowolną R-derywacją. 82 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa Definicja 14.4.1. Mówimy, że derywacja δ : C(G) −→ C(G) jest niezmiennicza (lewostronnie) jeśli, dla każdego g ∈ G, przemienny jest diagram δ C(G) −→ C(G) C(lg ) ↓ ↓ C(lg ) , δ C(G) −→ (14.3) C(G) gdzie C(lg )(f ) = f ◦ lg , dla f ∈ C(G). Łatwo udowodnić następujące dwa lematy. Lemat 14.4.2. Jeśli δ1 , δ2 : C(G) −→ C(G) są derywacjami niezmienniczymi, to derywacja [δ1 , δ2 ] = δ1 δ2 − δ2 δ1 też jest niezmiennicza. Lemat 14.4.3. Pole wektorowe s ∈ Γ(TG) jest niezmiennicze ⇐⇒ derywacja δs jest niezmiennicza. Stąd wynika: Wniosek 14.4.4. Jeśli pola s, t ∈ Γ(TG) są niezmiennicze, to przekrój [s, t] również jest niezmienniczy. Wszystkie niezmiennicze pola wektorowe grupy G tworzą więc algebrę Liego nad R. Definicja 14.4.5. Algebrę Liego wszystkich niezmienniczych pól wektorowych grupy Liego G oznaczamy przez L(G) i nazywamy algebrą Liego grupy G. Z faktów wykazanych w tym i poprzednim podrozdziale wynika: Twierdzenie 14.4.6. Algebrą Liego grupy Liego G jest przestrzeń R-liniowa Te G, w której iloczyn Liego określony jest wzorem [u, v] = [su , sv ](e), dla u, v ∈ Te G. 14.5 Algebra Liego addytywnej grupy przestrzeni Rn Wiemy (patrz Podrozdział 12.3), że każda R-derywacja δ pierścienia C(Rn ) ma jednoznaczne przedstawienie w postaci ∂ δ = f1 ∂x + · · · + fn ∂x∂n , 1 gdzie f1 , . . . , fn są funkcjami należącymi do C(Rn ). Wtedy fi = δ(πi ), dla i = 1, . . . , n, gdzie πi : Rn −→ R jest i-tym rzutowaniem. Stwierdzenie 14.5.1. R-derywacja δ : C(Rn ) −→ C(Rn ) jest niezmiennicza ⇐⇒ ∂ δ = v1 ∂x + · · · + vn ∂x∂n , 1 gdzie v1 , . . . , vn ∈ R. (14.4) Dowód. Załóżmy, że derywacja δ jest niezmiennicza. Wtedy, dla wszystkich a ∈ Rn oraz g ∈ C(Rn ), zachodzi równość C(la )δ(g) = δC(la )(g), czyli δ(g) ◦ la = δ(g ◦ la ), gdzie la : Rn −→ Rn jest przesunięciem określonym wzorem la (x) = x+a, dla x ∈ Rn . W szczególności, jeśli g = πi : Rn −→ R jest i-tym rzutowaniem oraz δ(πi ) = vi ∈ C(Rn ), to vi (x + a) = vi (x), 14. Grupy Liego i ich algebry Liego 83 dla wszystkich a, x ∈ Rn . To implikuje, że vi jest funkcją stałą, tzn. vi ∈ R. Zatem Pn Pn ∂ ∂ δ = i=1 δ(πi ) ∂x = i=1 vi ∂x , i i gdzie v1 , . . . , vn ∈ R. Wykazaliśmy więc, że jeśli derywacja δ jest niezmiennicza, to jest postaci (14.4). Implikacja w przeciwnym kierunku jest oczywista. Inny dowód powyższego stwierdzenia jest w PH4 47. Stwierdzenie 14.5.2. Jeśli R-derywacje δ1 , δ2 ∈ Der(C(Rn )) są niezmiennicze, to [δ1 , δ2 ] = 0. Pn Pn ∂ ∂ Dowód. Z poprzedniego stwierdzenia wiemy, że δ1 = i=1 vi ∂x , δ2 = i=1 ui ∂x , gdzie v1 , . . . , vn , u1 , . . . , un ∈ i i R. Zatem: i P h i hP Pn n Pn n ∂ ∂ ∂ ∂ [δ1 , δ2 ] = j=1 uj ∂xj = i=1 j=1 vi uj ∂xi , ∂xj i=1 vi ∂xi , Pn Pn = i=1 j=1 vi uj 0 = 0. Z powyższych dwóch stwierdzeń otrzymujemy: Twierdzenie 14.5.3 (PH4 47). Algebrą Liego grupy Liego (Rn , +) jest przestrzeń Rn z zerowym nawiasem Liego. 14.6 Algebra Liego grupy GLn (R) Przez Mn (R) oznaczamy R-liniową przestrzeń wszystkich (n × n)-macierzy o współczynnikach w R. Przez GLn = GLn (R) oznaczamy podzbiór w Mn (R), składający się z wszystkich macierzy odwracalnych. Podzbiór ten jest grupą ze względu na mnożenie macierzy. Wyjaśniliśmy już wcześniej (patrz Podrozdział 14.1), że GLn jest n2 -wymiarową grupą Liego. Opiszemy algebrę Liego tej grupy Liego. Przez E oznaczać będziemy (n × n)-macierz jednostkową. Jeśli A ∈ Mn (R), to przez τA oznaczamy częściowe odwzorowanie τA : J −→ GLn , t 7−→ E + tA. Jest jasne, że dla małych t ∈ J, macierz E + tA jest odwracalna. Ponadto, τA (0) = E. Funkcja τA jest więc określona w pewnym otoczeniu otwartym liczby 0. Mamy zatem krzywą na GLn o środku w punkcie E. Wiemy, że algebrą Liego dowolnej grupy Liego G jest przestrzeń R-liniowa Te G, czyli zbiór klas abstrakcji wszystkich krzywych na G o środku w punkcie e. W naszym przypadku należy zatem zbadać R-przestrzeń liniową TE (GLn ). Lemat 14.6.1. Dla każdej krzywej σ : J −→ GLn , o środku w E, istnieje dokładnie jedna macierz A ∈ Mn (R) taka, że [σ] = [τA ]. Dowód. Zauważmy najpierw, że dτA dt (0) = d(E+tA) (0) dt = A. Jeśli więc [τA ] = [τB ], to A = B. Stąd wynika jedyność macierzy A. Niech σ : J −→ GLn będzie dowolną krzywą taką, że σ(0) = E. Niech A = dσ dt (0). Wtedy [σ] = [τA ]. Stąd z łatwością otrzymujemy: Stwierdzenie 14.6.2. Przyporządkowanie Mn (R) −→ TE (GLn ), jest izomorfizmem przestrzeni R-liniowych. A 7−→ [τA ], 84 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa Spójrzmy na niezmiennicze pola wektorowe s : GLn −→ T(GLn ). Jeśli G jest dowolną grupą Liego, to wiemy (Stwierdzenie 14.2.5), że każde niezmiennicze pole wektorowe s : G −→ TG określone jest wzorem s(g) = Te (lg )(v), dla g ∈ G, gdzie v jest wektorem należącym do Te G. Każdemu wektorowi v ∈ Te G odpowiada dokładnie jedno takie pole. W naszym przypadku wektory v ∈ TE (GLn ) są jednoznacznie wyznaczone przez macierze A ∈ Mn (Rn ). Dokładniej, każdy wektor z TE (GLn ) jest postaci [τA ], gdzie A jest jednoznacznie wyznaczoną macierzą należącą do Mn (R). Każde zatem niezmiennicze pole wektorowe z GLn do T(GLn ) ma dokładnie jedną postać SA , gdzie SA (X) = TE (lX )([τA ]) = [lX ◦ τA ] = [XτA ], dla X ∈ GLn . Wniosek 14.6.3. Jeśli s : GLn −→ T(GLn ) jest niezmienniczym polem wektorowym, to istnieje dokładnie jedna macierz A ∈ Mn (R) taka, że s = SA , tzn. s(X) = SA (X) = [X(E + tA)], dla wszystkich X ∈ GLn . Przechodzimy teraz do opisu wszystkich R-derywacji pierścienia C(GLn ), odpowiadających przekrojom postaci SA . Przechodzimy więc do opisu derywacji niezmienniczych. W tym celu wprowadźmy najpierw nowe oznaczenie. Jeśli A ∈ Mn (R) oraz i, j ∈ {1, . . . , n}, to przez Aij oznaczać będziemy funkcję z GLn do R, określoną wzorem Aij (X) = (XA)ij , dla X ∈ GLn , gdzie (XA)ij jest wspólczynnikiem macierzy XA, stojącym w i-tym wierszu i j-tej kolumnie, tzn. Pn Aij (X) = r=1 Xir Arj . Z łatwością sprawdzamy: Lemat 14.6.4. ( ∂Aij ∂xpq (X) 0, gdy i 6= p, aqj , gdy i = p. = Przypomnijmy, że jeśli M jest dowolną rozmaitością gładką oraz s : M −→ TM jest dowolnym polem wektorowym, to z polem tym stowarzyszona jest jednoznacznie wyznaczona derywacja δs : C(M ) −→ C(M ), określona wzorem (dla f ∈ C(M ), x ∈ M ): δs (f )(x) = d(f σ) dt (0), gdzie [σ] = s(x). Definicja 14.6.5. Jeśli A ∈ Mn (R), to przez DA : C(GLn ) −→ C(GLn ) oznaczamy derywację δSA , tzn. derywację stowarzyszoną z polem SA . Ponieważ pole wektorowe SA jest niezmiennicze, więc derywacja DA też jest niezmiennicza. Pn Pn Stwierdzenie 14.6.6. DA = i=1 j=1 Aij ∂x∂ij . Dowód. Wiemy, że jeśli X ∈ GLn , to SA (X) = [X(E + tA)]. Niech f ∈ C(GLn ), X ∈ GLn . Wtedy: DA (f )(X) = df (X(E+tA)) (0) dt hP i d(X(E+tA))ij ∂f = (0) i,j ∂xij (X(E + tA)) dt P ∂f = i,j (XA)ij ∂xij (X) Pn Pn ∂f = i=1 j=1 Aij (X) ∂xij (X). 14. Grupy Liego i ich algebry Liego 85 Stwierdzenie 14.6.7. Jeśli A, B ∈ Mn (R), to [DA , DB ] = D[A,B] , gdzie [A, B] = AB − BA. Dowód. Niech X ∈ GLn oraz f ∈ C(GLn ). Wykażemy najpierw, że prawdziwe są następujące dwie równości: DA (B ij ) − DB (Aij ) = [A, B]ij , (14.5) P ∂f ∂f (14.6) ij B ij DA ( ∂xij ) − Aij DB ( ∂xij ) = 0. Wykazujemy równość (14.5): DA (B ij ) − DB (Aij ) (X) = ∂B ij ∂Aij Ast (X) ∂xst (X) − B st (X) ∂xst (X) Pn ∂B ij ∂Aij t=1 Ait (X) ∂xit (X) − B it (X) ∂xit (X) Pn t=1 ((XA)it Btj − (XB)it Atj ) = ((XA)B − (XB)A)ij = (X(AB − BA))ij = [A, B]ij (X). = 14.6.4 = Wykazujemy równość (14.6): P ∂f ∂f B D ( ) − A D ( ) ij A ij B ij ∂xij ∂xij P s,t = P = P P = 0. ij ij B ij pq 2 ∂ f p,q Apq ∂xpq xij − Aij P 2 B ij Apq ∂x∂pqfxij − ∂2f ) ( p,q ∂xpq xij P P P ij pq 2 Aij B pq ∂x∂pqfxij Z powyższych równości wynika: = [DA , DB ](f )(X) = (DA DB (f ) − DB DA (f ))(X) P P ∂f ∂f A DA ( i,j B ij ∂x − D ( ij B i,j ∂xij (X) ij P ∂f ∂f ∂f ∂f D (B ) + B D ( ) − D (A ) − A D ( ) (X) A ij ij A B ij ij B i,j ∂xij ∂xij ∂xij ∂xij P ∂f i,j DA (B ij ) − DB (Aij ) ∂xij (X) P ∂f ij [A, B]ij ∂xij (X) = D[A,B] (f )(X). = = (14.6) = (14.5) Zatem [DA , DB ] = D[A,B] . Udowodniliśmy więc: Twierdzenie 14.6.8 (PH4 40). Algebrą Liego grupy Liego GLn (R) jest przestrzeń liniowa Mn (R), wszystkich (n × n)-macierzy nad R, z nawiasem Liego [A, B] = AB − BA. 14.7 Algebry Liego pewnych podgrup grupy GLn Przez K oznaczamy ciało R lub C. Grupa GLn (K) (dla n > 1) nie jest zwarta ([27] 44). Algebrą Liego grupy Liego GLn (K) jest przestrzeń Mn (K), wszystkich (n × n)-macierzy nad K, z nawiasem Liego [A, B] = AB − BA. Grupa specjalna SLn . SLn (K) = {A ∈ GLn (K); det A = 1}. 86 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa SLn (R) nazywamy specjalną grupą rzeczywistą, a SLn (C) specjalną grupą zespoloną. Grupy te (dla n > 1) nie są zwarte ([27] 44). Algebry Liego tych grup oznacza się odpowiednio przez sln (R) i sln (C). Twierdzenie 14.7.1 ([27] 125). sln (K) = L(SLn (K)) = {A ∈ Mn (K); trA = 0}. Grupa ortogonalna On . Mówimy, że macierz A ∈ GLn (K) jest ortogonalna jeśli AT A = E. Zbiór wszystkich macierzy ortogonalnych, należących do GLn (K), jest podgrupą (Liego) grupy GLn (K), którą oznaczamy przez On (K). Zatem: On (K) = {A ∈ GLn (K); AT A = E}. On (R) nazywamy ortogonalną grupą rzeczywistą, a On (C) ortogonalną grupą zespoloną. Rzeczywista grupa ortogonalna jest zwarta, natomiast zespolona (dla n > 1) nie jest zwarta ([27] 45). Algebry Liego tych grup oznacza się odpowiednio przez on (R) i on (C). indexgrupa*Liego*ortogonalna Twierdzenie 14.7.2 ([27] 125). on (K) = L(On (K)) = {A ∈ Mn (K); AT = −A}. Mówimy, że macierz A ∈ Mn (K) jest antysymetryczna, jeśli AT = −A. Algebra on (K) jest więc zbiorem wszystkich (n×n)-macierzy antysymetrycznych (o współczynnikach należących do K). Pewne informacje o on (K) znajdziemy w PH4 42. Specjalna grupa ortogonalna SOn . SOn (K) = SLn (K) ∩ On (K) = {A ∈ GLn (K); det = 1, AT A = E}. SOn (R) nazywamy specjalną grupą ortogonalną rzeczywistą, a SOn (C) specjalną grupą ortogonalną zespoloną. Specjalna grupa ortogonalna rzeczywista jest zwarta, natomiast zespolona (dla n > 1) nie jest zwarta ([27] 45). Algebry Liego tych grup oznacza się odpowiednio przez son (R) i son (C). Twierdzenie 14.7.3 ([27] 125). son (K) = L(SOn (K)) = sln (K) ∩ on (K) = {A ∈ Mn (K); AT = −A, trA = 0}. Pewne informacje o son (K) znajdziemy w PH4 41. Grupa unitarna Un . Mówimy, że macierz A ∈ GLn (C) jest unitarna jeśli A = (AT )−1 , gdzie A jest macierzą sprzężoną do macierzy A. Zbiór wszystkich macierzy unitarnych, należących do GLn (C), jest podgrupą (Liego) grupy GLn (C), którą oznaczamy przez Un i nazywamy grupą unitarną. Zatem: Un = {A ∈ GLn (C); A = (AT )−1 }. Grupa unitarna jest zwarta ([27] 45). Algebrę Liego grupy unitarnej Un oznaczamy przez un . Twierdzenie 14.7.4 ([27] 125). un = L(Un ) = {A ∈ Mn (C); A = −A}. Specjalna grupa unitarna SUn . SUn = SLn (C) ∩ Un = {A ∈ GLn (C); det = 1, A = (AT )−1 }. SUn nazywamy specjalną grupą unitarną. Specjalna grupa unitarna jest zwarta ([27] 45). Algebrę Liego tej grupy oznacza się przez sun . Twierdzenie 14.7.5 ([27] 125). sun = L(SUn ) = sln (C) ∩ un = {A ∈ Mn (C); A = −A, trA = 0}. 14. Grupy Liego i ich algebry Liego 87 Grupy symplektyczne Spn . Opiszemy teraz trzy grupy: Spn , Spn (R) i Spn (C). Niech En będzie (n × n)-macierzą jednostkową i niech Ω będzie (2n × 2n)-macierzą zdefiniowaną wzorem " # 0 En Ω= . −En 0 Definiujemy następujące trzy grupy macierzy zachowujących macierz Ω. Spn = {A ∈ U2n ; AT ΩA = Ω}, Spn (R) = {A ∈ GL2n (R); AT ΩA = Ω}, Spn (C) = {A ∈ GL2n (C); AT ΩA = Ω}. Grupy te nazywamy odpowiednio: symplektyczną, liniową symplektyczną rzeczywistą, liniową symplektyczną zespoloną. Grupa symplektyczna Spn jest zwarta. Pozostałe dwie grupy nie są zwarte ([27] 45). Algebry Liego tych grup oznaczamy odpowiednio przez spn , spn (R), spn (C). Twierdzenie 14.7.6 ([27] 125). spn (R) = L(Spn (R)) = {A ∈ M2n (R); AT Ω = −ΩA}, spn (C) = L(Spn (C)) = {A ∈ M2n (C); AT Ω = −ΩA}, spn = L(Spn ) = {A ∈ M2n (C); AT Ω = −ΩA, A = −A} = spn (C) ∩ u2n . Grupy zwarte. Wszystkie powyższe grupy są lokalnie zwarte (bo są rozmaitościami gładkimi). Każda z nich jest domkniętą podgrupą pewnej grupy postaci GLn (K). Podczas przedstawiania tych grup zaznaczaliśmy, które z nich są zwarte, a które nie. Stwierdzenie 14.7.7 ([27] 44). Grupy On (R), SOn (R), Un , SUn , Spn są zwarte. Pozostałe grupy, tzn. GLn (R), GLn (C), SLn (R), SLn (C), On (C), SOn (C), Spn (R), Spn (C) nie są zwarte. Wymiary. (Patrz [27] 44). GLn (C) GLn (R) SLn (C) SLn (R) On (C) On (R) 14.8 2n2 n2 2n2 − 2 n2 − 1 n2 − n (n2 − n)/2 SOn (C) SOn (R) Un SUn Spn (C) Spn (R) Spn n2 − n − 1 (n2 − n)/2 n2 n2 − 1 4n2 + 2n n2 + n2 2n2 + n Informacje o lokalnych grupach Liego Wiemy już, że z każdą grupą Liego G stowarzyszona jest algebra Liego L(G). Może się tak zdarzyć, że dwie grupy Liego nie są izomorficzne, natomiast odpowiadające im algebry Liego są izomorficzne. Takimi nieizomorficznymi grupami Liego są np. (R1 , +) i (S1 , ·). Grupy te mają wspólną algebrę Liego, którą jest R1 z zerowym nawiasem. Podobna niejednoznaczność już nie zachodzi, gdy zamiast grup Liego rozpatrzymy lokalne grupy Liego. W Encyklopedii [17] lokalna grupa Liego zdefiniowana jest następująco. Definicja 14.8.1 ([17]). Lokalną grupą Liego nazywamy rozmaitość gładką G wraz z elementem e ∈ G (zwanym jedynką) i parą gładkich odwzorowań · : U × U −→ U , −1 : U −→ U , gdzie U 3 e jest otwartym podzbiorem w G, przy czym spełnione są warunki: (1) Istnieje otoczenie otwarte V takie, że e ∈ V ⊆ U oraz xe = ex = x, dla x ∈ V . (2) Istnieje otoczenie otwarte V 0 takie, że e ∈ V 0 ⊆ U oraz xx−1 = x−1 x = e, dla x ∈ V 0 . (3) Istnieje otoczenie otwarte W takie, że e ∈ W ⊆ U oraz x(yz) = (xy)z, dla x, y, z ∈ W . 88 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa Kiriłow [15], lokalną grupę Liego definiuje tak: Definicja 14.8.2 ([15]). Lokalną grupą Liego nazywamy parę (V, ϕ), w której V jest otwartym podzbiorem w Rn zawierającym 0, a ϕ : V × V −→ Rn jest odwzorowaniem gładkim. Zakładamy ponadto, że: (1) ϕ(x, ϕ(y, z)) = ϕ(ϕ(x, y), z), (2) ϕ(0, x) = ϕ(x, 0) = x, (3) istnieje odwzorowanie gładkie η : V −→ Rn takie, że ϕ(x, η(x)) = ϕ(η(x), x) = 0; przy czym warunki te są spełnione o ile mają sens. Przyjmijmy pierwszą z tych definicji. Odcinek (−1, 1) z dodawaniem jest oczywiście lokalną grupą Liego. Każdy przedział otwarty w R1 , zawierający 0 jest też taką grupą. Każdy zbiór otwarty w R zawierający 1 jest lokalną grupą Liego, ze względu na mnożenie. Definicja 14.8.3. Homomorfizmem lokalnych grup Liego (G1 , e1 ) i (G2 , e2 ) nazywamy każde odwzorowanie gładkie f : U1 −→ G2 , gdzie U1 3 e1 jest otwartym podzbiorem w G1 , takie, że: (1) f (e1 ) = e2 , (2) f (ab) = f (a)f (b), dla a, b ∈ U10 ⊆ U1 (o ile to ma sens). Homomorfizm taki oznaczamy jako f : G1 −→ G2 . Złożenie homomorfizmów lokalnych jest homomorfizmem lokalnym. Można więc zdefiniować izomorfizm lokalnych grup Liego. Z każdej grupy Liego można otrzymać nieskończenie wiele lokalnych grup Liego. Są one wszystkie izomorficzne. Załóżmy, że dane są dwie grupy Liego G1 i G2 i rozpatrzmy dwie lokalne grupy Liego G01 i G02 , otrzymane odpowiednio z G1 i G2 . Może się tak zdarzyć, że grupy lokalne G01 , G02 są izomorficzne, natomiast grupy G1 , G2 nie są izomorficzne. Przykład 14.8.4 (PH4 68). G1 = R1 , G2 = S1 , G01 = (−π, π), G02 = S1 r {−1}. Lokalne grupy G01 , G02 są izomorficzne, gdyż np. odwzorowanie α(x) = eix jest dyfeomorfizmem. Grupy Liego G1 , G2 nie są izomorficzne (bo np. π1 (R) = 0, π1 (S1 ) = Z). Z każdą lokalną grupą Liego można stowarzyszyć algebrę Liego. Konstruuje się ją dokładnie tak samo, jak algebrę Liego grupy Liego. Twierdzenie 14.8.5 ([15]). (1) Każda skończenie wymiarowa R-algebra Liego jest algebrą Liego pewnej lokalnej grupy Liego. (2) Dwie lokalne grupy Liego są izomorficzne ⇐⇒ odpowiadające im algebry Liego są izomorficzne. Twierdzenie 14.8.6 (o monodromii, [15]). Niech G będzie spójną, jednospójną grupą Liego i niech H będzie dowolną grupą Liego. Wtedy każdy lokalny homomorfizm z G do H przedłuża się jednoznacznie do globalnego homomorfizmu z G do H. Twierdzenie 14.8.7 ([15]). Niech G będzie grupą Liego. Każda jednowymiarowa lokalna podgrupa Liego w G przedłuża się do podgrupy Liego (już nie lokalnej). 14.9 Jednoparametrowe podgrupy i odwzorowanie wykładnicze Niech G będzie grupą Liego. Przypomnijmy najpierw pewne fakty z Podrozdziałów 13.4 i 13.6. Jeśli s : G −→ TG jest polem wektorowym i a ∈ G, to istnieje (dokładnie jedna) krzywa całkowa σa : J −→ G, o środku w a, określona w pewnym otoczeniu liczby 0. Można udowodnić następujące stwierdzenie. Stwierdzenie 14.9.1 ([27] 116). Jeśli s : G −→ TG jest niezmienniczym polem wektorowym grupy Liego G i a ∈ G, to krzywa σa (jedyna krzywa całkowa pola s, o środku w a) jest określona na całym zbiorze liczb rzeczywistych. 14. Grupy Liego i ich algebry Liego 89 Mówimy, że dane pole wektorowe jest specjalne (patrz Podrozdział 13.6), jeśli jego jedyne krzywe całkowe są określone na całym zbiorze liczb rzeczywistych. Z powyższego stwierdzenia wynika zatem, że jeśli G jest grupą Liego, to każde jej niezmiennicze pole wektorowe jest specjalne, a zatem wyznacza (na mocy Stwierdzenia 13.6.6) jednoparametrową grupę dyfeomorfizmów rozmaitości G. Wiemy ponadto, że niezmiennicze pola wektorowe na G są jednoznacznie wyznaczone przez wektory należące do przestrzeni Te G, czyli do algebry Liego L(G). Mamy zatem: Stwierdzenie 14.9.2. Jeśli G jest grupą Liego, to dla każdego wektora v ∈ L(G) istnieje dokładnie jedna krzywa σv : R −→ G, o środku w e taka, że [σv ] = v oraz σv (t1 )σv (t2 ) = σv (t1 + t2 ), dla wszystkich t1 , t2 ∈ R. Niech v ∈ L(G) i niech σv będzie krzywą taką, jak w powyższym stwierdzeniu. Można pokazać, że w otoczeniu liczby 0 krzywa ta jest różnowartościowa. Ponieważ σv (t1 )σv (t2 ) = σv (t1 + t2 ), (oraz σv (0) = e), więc: Wniosek 14.9.3. Krzywa σv : (R, +) −→ G jest homomorfizmem grup Liego. W szczególności, obraz σv (R) jest 1-wymiarową podgrupą Liego grupy Liego G. Teraz możmy zdefiniować odwzorowanie wykładnicze. Definicja 14.9.4. Niech G będzie grupą Liego i L = L(G) jej algebrą Liego. Odwzorowaniem wykładniczym grupy G nazywamy odwzorowanie exp : L −→ G określone wzorem exp(v) = σv (1), dla wszystkich v ∈ L. Odwzorowanie wykładnicze ma własności funktorialne. Stwierdzenie 14.9.5 (PH4 70). Jeśli ϕ : G1 −→ G2 jest homomorfizmem grup Liego, to następujący diagram L(G1 ) L(ϕ) −→ exp ↓ G1 L(G2 ) ↓ exp ϕ −→ G2 jest przemienny. (Odwzorowanie L(ϕ) : L(G1 ) −→ L(G2 ) jest przekształceniem liniowym Te ϕ : Te1 G1 −→ Te2 G2 , gdzie e1 , e2 są elementami neutralnymi odpowiednio grup G1 , G2 ). Załóżmy teraz, że G = GLn = GLn (R) jest grupą Liego wszystkich odwracalnych (n × n)-macierzy nad R. Wiemy, że algebra Liego L(GLn ) jest n2 -wymiarową przestrzenią liniową Mn (R), wszystkich (n × n)-macierzy nad R, z nawiasem Liego [A, B] = AB − BA. Jeśli A ∈ Mn (R), to macierz exp(A) ∈ GLn oznacza się często przez eA . Nie jest trudno wykazać: P∞ 1 p A . Stwierdzenie 14.9.6 ([27] 116). eA = exp(A) = p=0 p! P∞ 1 p Przez p=0 p! A rozumiemy, tak jak zwykle, granicę odpowiednich sum cząstkowych, przy czym zbieżność jest względem normy: qP 2 ||A|| = ij Aij , a zatem po współrzędnych (patrz [27] 40). Mamy w szczególności: Stwierdzenie 14.9.7. Niech A, B ∈ Mn (R). (1) Jeśli AB = BA, to eA eB = eA+B , (2) e0 = E, (3) (eA )−1 = e−A , (4) Odwzorowanie σA : (R, +) −→ GLn , t 7→ etA jest homomorfizmem grup Liego. 90 A. Nowicki - Marzec 1995. 14.10 Topologia i geometria różniczkowa Związek między grupami Liego i algebrami Liego Przypomnijmy jeszcze raz, że każdej grupie Liego G można przyporządkować jej algebrę Liego L(G). Przyporządkowanie to nie jest jednak jednoznaczne. Istnieją nieizomorficzne grupy Liego posiadające te same algebry Liego (np. (R1 , +) i (S1 , ·)). Przy pewnych dodatkowych założeniach można jednak tę niejednoznaczność ominąć. Wyjaśnijmy to dokładniej. W Podrozdziale 1.9 zdefiniowaliśmy nakrycia. Nakryciem jest każda ciągła (otwarta) surjekcja p : E −→ X (gdzie E, X są przestrzeniami topologicznymi) spełniająca pewne warunki. Przestrzeń E nazywa się wtedy przestrzenią nakrywającą. Jeśli przestrzeń nakrywająca jest jednospójna (tzn. jeśli jej grupa podstawowa jest trywialna), to mówi się, że dane nakrycie jest uniwersalne. Można udowodnić, że każda spójna grupa Liego posiada uniwersalne nakrycie. Dokładniej: Twierdzenie 14.10.1 (PH4 49). Dla każdej spójnej grupy Liego G istnieją grupa Liego G̃ oraz gładka surjekcja p : G̃ −→ G takie, że: (1) p jest lokalnym homeomorfizmem, (2) p jest homomorfizmem grup Liego, (3) grupa G̃ jest spójna i jednospójna. Stąd w szczególności wynika, że algebry Liego L(G) i L(G̃) są izomorficzne. Można udowodnić również: Twierdzenie 14.10.2. Jeśli G1 , G2 są spójnymi i jednospójnymi grupami Liego, to grupy te są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy algebry Liego L(G1 ), L(G2 ) są izomorficzne. Wspominaliśmy w poprzednim podrozdziale, że każda (skończenie wymiarowa) R-algebra Liego jest algebrą Liego pewnej lokalnej grupy Liego. Można udowodnić więcej: Twierdzenie 14.10.3 (Cartan). Każda skończenie wymiarowa R-algebra Liego jest algebrą Liego pewnej grupy Liego. Dokładniejsze sformułowanie tego twierdzenia przedstawia się następująco: Twierdzenie 14.10.4. Niech L będzie skończenie wymiarową R-algebrą Liego. (1) Istnieje dokładnie jedna (z dokładnością do izomorfizmu) spójna i jednospójna grupa Liego G taka, że L = L(G). (2) Wszystkie spójne grupy Liego G0 takie, że L(G0 ) = L, są postaci G/D, gdzie G jest taką grupą Liego, jak w (1), a D jest dyskretnym dzielnikiem normalnym grupy G, leżącym w jej centrum. Funktor L ustala więc równoważność kategorii spójnych i jednospójnych grup Liego z kategorią skończenie wymiarowych R-algebr Liego. Zanotujmy pewne dodatkowe własności funktora L. Twierdzenie 14.10.5 ([17]III 247). (1) L(G1 × G2 ) ≈ L(G1 ) ⊕ L(G2 ). (2) Jeśli H jest podgrupą Liego grupy Liego G, to L(H) jest podalgebrą Liego w L(G). Jeśli podgrupa H jest normalna, to L(H) Liego w L(G) oraz L(G/H) ≈ L(G)/L(H). T jest ideałem T (3) (char = 0). L( i Gi ) ≈ i L(Gi ). (4) Jeśli f : G1 −→ G2 jest homomorfizmem grup Liego, to L(Kerf ) ≈ KerL(f ). (5) Jeśli L0 jest podalgebrą Liego w L(G), to istnieje jedyna podgrupa Liego H ⊆ G taka. że L(H) = L0 . Podgrupa H nie musi być domknięta. (5) Algebra Liego L(G) jest rozwiązalna (odpowiednio: nilpotentna, półprosta) ⇐⇒ grup Liego G jest taka. Fakty przedstawione w powyższym twierdzeniu zapisaliśmy na podstawie Encyklopedii [17]III 247. W innym miejscu tej encyklopedii (patrz III 255) czytamy: Grupa Liego jest dość trudnym obiektem do badania. Pewne problemy można zredukować do problemów czysto algebraicznych. Grupie Liego przyporządkowuje się algebrę Liego. Algebry Liego to obiekty bardziej uchwytne i mniej złożone. 14. Grupy Liego i ich algebry Liego 91 Twierdzenie 14.10.6 ([17]III). Niech H będzie podgrupą Liego spójnej grupy Liego H. Wtedy podgrupa H jest normalna ⇐⇒ L(H) jest ideałem w L(G). Jeśli przy tym H jest domknięte, to L(G/H) ≈ L(G)/L(H). Twierdzenie 14.10.7 ([17]III). Grupa Aut(G), automorfizmów spójnej grupy Liego G, jest grupą Liego, którą utożsamia się z podgrupą grupy Aut(L(G)). W szczególności, jeśli grupa G jest jednospójna, to Aut(G) ≈ Aut(L(G) oraz L(Aut(G)) ≈ Der(L(G)). Twierdzenia Liego. W Encyklopedii [17] (III 282) czytamy: Twierdzenia Liego, to trzy klasyczne twierdzenia teorii grup Liego, opisujące związek lokalnej grupy Liego z jej algebrą Liego. Są to podstawowe twierdzenia pochodzące z dziewiętnastego wieku, udowodnione przez Liego i jego uczniów. Wysłowienie tych twierdzeń w takiej formie, jak to przedstawiono we wspomnianej encyklopedii, wymaga skomplikowanych zapisów. Dzisiaj te twierdzenia można przedstawić (mniej więcej) w następuącej postaci (o wszystkich faktach wspominaliśmy już wcześniej). Twierdzenie 14.10.8 (Liego). (1) Niech H będzie podzbiorem spójnej grupy Liego G. Wtedy (a) H jest spójną podgrupą Liego ⇐⇒ L(H) jest podalgebrą Liego w L(G). (b) H jest spójnym dzielnikiem normalnym w G ⇐⇒ L(H) jest ideałem Liego w L(G). Ponadto, L(G)/L(H) ≈ L(G/H). (2) Algebra Liego wyznacza jednoznacznie (z dokładnością do lokalnego izomorfizmu) lokalną grupę Liego. (3) Dla każdej (skończenie wymiarowej) R-algebry Liego L istnieje grupa Liego G taka, że L(G) ≈ L. 14.11 Grupy formalne Na podstawie zeszytu A. Prószyńskiego [21]. Przedstawimy pewien związek pomiędzy grupami Liego, algebrami Liego i grupami formalnymi. b struktury Hopfa na algebrach Niech k będzie ciałem. Grupy formalne to ciągłe (względem ⊗) szeregów k[[X]] = k[[x1 , . . . , xn ]]. Definicja 14.11.1. Grupą formalną nad ciałem k nazywamy każdą trójkę (k[[X]], ∆, ε), w której b ∆ : k[[X]] −→ k[[X]]⊗k[[X]] = k[[X, Y ]], ε : k[[X]] −→ k, (gdzie X = {x1 , . . . , xn }, Y = {y1 , . . . , yn }), są k-algebrowymi homomorfizmami spełniającymi warunki: (1) ε(xi ) = 0, dla i = 1, . . . , n, (2) (1 ⊗ ∆)∆ = (∆ ⊗ 1)∆, (3) (1 ⊗ ε)∆ = 1 = (ε ⊗ 1)∆. Liczbę n (ilość zmiennych) nazywamy wymiarem grupy formalnej. Zauważmy, że warunki (2), (3) występują w definicji koalgebry. Przyjmując ∆(xi ) = Fi (X, Y ) otrzymujemy: Stwierdzenie 14.11.2. n-Wymiarową grupą formalną nad ciałem k jest każdy ciąg szeregów F = (F1 , . . . , Fn ), spełniający następujące trzy warunki: (a) Fi = Fi (X, Y ) ∈ k[[x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ]], i = 1, . . . , n; (b) F (X, Fi (Y, Z)) = F (Fi (X, Y ), Z), i = 1, . . . , n; (c) F (X, 0) = X, F (0, Y ) = Y . Oto dwa przykłady 1-wymiarowych grup formalnych: Przykład 14.11.3. (n = 1), F (x, y) = x + y. 92 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa Przykład 14.11.4. (n = 1), F (x, y) = x + y + xy. W naturalny sposób definiuje się homomorfizm grup formalnych. Wszystkie grupy formalne tworzą więc pewną kategorię. Oznaczmy ją przez GF. Oznaczmy ponadto przez GL i AL kategorie odpowiednio grup Liego (analitycznych) i skończenie wymiarowych algebr Liego. Wprowadzimy teraz dwa funktory H : GF −→ AL oraz M : GL −→ GF. Niech F = (F1 , . . . , Fn ) będzie grupą formalną. Wtedy F (X, Y ) = X + Y + B(X, Y ) + C(X, Y ), gdzie B(X, Y ) jest ciągiem wielomianów jednorodnych stopnia 2, a C(X, Y ) jest ciągiem szeregów bez składowych jednorodnych stopni 6 2. W tej sytuacji definiujemy k-algebrę Liego H(F ) = (k n , [ , ]F ), gdzie [u, v]F = B(u, v) − B(v, u), dla u, v ∈ k n . Chcąc wykazać, że H(F ) jest istotnie algebrą Liego, pokazuje się najpierw, że B(X, B(Y, Z)) = B(B(X, Y ), Z) co oznacza, że działanie ∗ : k n × k n −→ k n , a ∗ b = B(a, b), jest łączne. Wtedy [a, b] = a ∗ b − b ∗ a i dalej następują standardowe przeliczenia. Określa się też H na morfizmach. Mamy więc kowariantny funktor H : GF −→ AL. Można udowodnić: Twierdzenie 14.11.5. Jeśli char(k) = 0, to funktor H ustala równowaṅość kategorii GF, grup formalnych, z kategorią AL, skończenie wymiarowych k-algebr Liego. Na grupy formalne (w przypadku zerowej charakterystyki) można więc patrzeć jak na kategorię skończenie wymiarowych algebr Liego. Przejdźmy do zdefiniowania funktora M : GL −→ GF. Załóżmy, że G jest grupą Liego. Niech (U, ϕ) będzie mapą w G taką, że U 3 e, ϕ(e) = 0, U · U ⊆ U . Określamy odwzorowania analityczne Ψi : U ×U · −→ U ϕ −→ kn π i −→ k, dla i = 1, . . . , n. W pewnym otoczeniu punktu (e, e) każde odwzorowanie postaci Ψi jest jednoznacznie wyznaczone przez szereg formalny Fi (X, Y ). Przyjmujemy wtedy: M (G) = (F1 , . . . , Fn ). Sprawdza się teraz, że M (G) jest grupą formalną. Łączność mnożenia w G implikuje kołączność w M (F ). Ponadto, Fi (X, 0) = X, F (0, Y ) = Y . Dalej określa się M na morfizmach i w ten sposób otrzymuje się kowariantny funktor M : GL −→ GF. Można udowodnić (dla k = R): Twierdzenie 14.11.6. Funktor L : GL −→ AL, przyporządkowujący każdej grupie Liego jej algebrę Liego, jest złożeniem funktorów M : GL −→ GF i H : GF −→ AL. 14.12 Uwagi 14.1 Ponieważ grupy Liego są szczególnymi grupami topologicznymi, powstaje naturalne pytanie czy istnieje ich charakteryzacja jedynie w terminach algebraiczno-topologicznych. Problem ten (zwany piątym problemem Hilberta) był przez wiele lat jednym z centralnych zagadnień teorii grup Liego. Jego całkowite (pozytywne) rozwiązanie podali Gleason, D. Montgomery i Zippin w latach pięćdziesiątych (patrz [27] 110). Pokazano wtedy (patrz [15]), że każda grupa topologiczna, będąca rozmitością klasy C 0 , ma strukturę grupy Liego. 14.2 Grupę Liego zdefiniowaliśmy jako zwykłą grupę, będącą rozmaitośćią gładką z gładkimi działaniami. Co się stanie, gdy ”gładkość” zamienimy na ”analityczność”? Można pokazać ([27]), że każda grupa topologiczna ma co najwyżej jedną strukturę rozmaitości gładkiej, w której działania grupowe są odwzorowaniami gładkimi. Innymi słowy: każda grupa topologiczna ma co najwyżej jedną strukturę (gładkiej) grupy Liego. Z faktu tego można wywnioskować, że (gładkie) grupy Liego i analityczne grupy Liego, to dokładnie te same obiekty. 15. Algebry Liego 15 93 Algebry Liego Niniejszy rozdzial (jak również następny) został opracowany na podstawie książek [3], [13], [14], [15], [11] oraz zeszytów [21], AL, PH1 , PH4 i PN2 . Przedstawiamy w nim podstawowe pojęcia i fakty dotczące k-algebr Liego, gdzie k jest ciałem. Zajmujemy się głównie skończenie wymiarowymi algebrami Liego. 15.1 Podstawowe definicje Definicję algebry Liego podaliśmy w Podrozdziale 9.7. Przepiszmy ją jeszcze raz. Definicja 15.1.1. Algebrą Liego nad ciałem k (lub k-algebrą Liego) nazywamy przestrzeń liniową L wraz z dwuliniowym odwzorowaniem [ , ] : L × L −→ L (zwanym nawiasem Liego w L) spełniającym warunki: (1) [a, a] = 0, dla a ∈ A, (2) [[a, b], c] + [[b, c], a] + [[c, a], b] = 0, dla a, b, c ∈ A (tożsamość Jacobiego). Z warunku (1) wynika, że [a, b] = −[b, a], dla a, b ∈ L. Mówimy, że algebra Liego L jest przemienna, jeśli [ , ] = 0. Stwierdzenie 15.1.2. Niech L będzie przestrzenią liniową nad ciałem k i niech [ , ] : L × L −→ L będzie k-dwuliniowym odwzorowaniem. Niech {ei ; i ∈ I} będzie bazą przestrzeni L nad k. Para (L, [ , ]) jest k-algebrą Liego wtedy i tylko wtedy, gdy: (a) [ei , ei ] = 0, dla i ∈ I, (b) [ei , ej ] = −[ej , ei ], dla i, j ∈ I, (c) [[ei , ej ], ep ] + [[ej , ep ], ei ] + [[ep , ei ], ej ] = 0, dla i, j, p ∈ I. Dla małych wymiarów można założyć mniej: Przykład 15.1.3. Niech L = ke1 ⊕ke2 oraz [e1 , e1 ] = [e2 , e2 ] = 0, [e1 , e2 ] = −[e2 , e1 ]. Wtedy (L, [ , ]) jest k-algebrą Liego. Przykład 15.1.4. Niech L = ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3 , [ei , ei ] = 0, [ei , ej ] = −[ej , ei ], dla i, j = 1, 2, 3, oraz [[e1 , e2 ], e3 ] + [[e2 , e3 ], e1 ] + [[e3 , e1 ], e2 ] = 0. Wtedy (L, [ , ]) jest k-algebrą Liego. Stwierdzenie 15.1.5 (AL 41). Niech L będzie przestrzenią liniową nad ciałem k i niech [ , ] : L × L −→ L będzie k-dwuliniowym odwzorowaniem. Niech {ei ; i ∈ I} będzie bazą przestrzeni L nad k. Jeśli i, j ∈ I, to niech P [ei , ej ] = p∈I cijp ep , gdzie cijp ∈ k. Para (L, [ , ]) jest k-algebrą Liego wtedy i tylko wtedy, gdy: (a) ciip = 0, (b) cP ijp = −cjip , (c) r∈I (cijr crpq + cjpr criq + cpir crjq ) = 0, dla wszystkich i, j, p, q ∈ I. Definicja 15.1.6. Jeśli L1 , L2 są k-algebrami Liego, to ich homomorfizmem nazywamy każde przekształcenie k-liniowe f : L1 −→ L2 spełniające warunek: f ([a, b]) = [f (a), f (b)], dla wszystkich a, b ∈ L1 . Niech L będzie k-algebrą Liego. Jeśli A, B ⊆ L są podzbiorami, to przez [A, B] oznaczamy podprzestrzeń k-liniową w L generowaną przez zbiór {[a, b]; a ∈ A, b ∈ B}. Definicja 15.1.7. Podprzestrzeń k-liniową M ⊆ L nazywamy: (a) podalgebrą Liego w L, jeśli [M, M ] ⊆ M ; (b) ideałem Liego w L, jeśli [M, L] ⊆ M . 94 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa Jeśli M ⊆ L jest ideałem Liego w L, to k-przestrzeń liniowa L/M jest k-algebrą Liego zwaną ilorazową algebrą Liego. Nawias Liego w L/M określony jest wzorem [a + M, b + M ] = [a, b] + M, dla a, b ∈ L. Jeżeli podzbiory A, B ⊆ L są ideałami Liego w L, to [A, B] również jest ideałem Liego. Jeżeli L1 , L2 są k-algebrami Liego, to ich produktem nazywamy k-przestrzeń L = L1 × L2 = {(a, b); a ∈ L1 , b ∈ L2 } z nawiasem Liego [(a1 , b1 ), (a2 , b2 )] = ([a1 , a2 ], [b1 , b2 ]), a1 , a2 ∈ L1 , b1 , b2 ∈ L2 . Rzutowania L1 × L2 −→ L1 , L2 są homomorfizmami algebr Liego. Centrum k-algebry Liego L, to zbiór Z(L) = {x ∈ L; [x, y] = 0 dla y ∈ L}. Centrum Z(L) jest ideałem Liego w L. Mówimy, że k-algebra Liego L jest łączna jeśli [[a, b], c] = [a, [b, c]], dla wszystkich a, b, c ∈ L. Stwierdzenie 15.1.8 (AL 49). Algebra Liego L jest łączna ⇐⇒ [L, L] ⊆ Z(L). Dowód. Jeśli [L, L] ⊆ Z(L), to [[a, b], c] = [a, [b, c]], gdyż wtedy [[a, b], c] = 0 oraz [a, [b, c]] = 0. Załóżmy teraz, że algebra L jest łączna i niech a, b, c ∈ L. Wtedy 0 = [a, [b, c]] + [b, [c, a]] + [c, [a, b]] = [[a, b], c] + [c, [a, b]] + [b, [c, a]] = [b, [c, a]], a zatem [L, L] ⊆ Z(L). 15.2 Przykłady Przykład 15.2.1. Jeśli A jest łączną k-algebrą, to A jest k-algebrą Liego z nawiasem [a, b] = ab − ba, a, b ∈ A. Szczególnym przypadkiem tego przykładu jest: Przykład 15.2.2. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem k i niech A = Endk (V ) będzie algebrą wszystkich k-endomorfizmów przestrzeni V . Wtedy A, z nawiasem [f, g] − f ◦ g − g ◦ f , jest k-algebrą Liego. W szczególności, jeśli V jest przestrzenią skończenie wymiarową, to otrzymujemy, dobrze nam znany przykład k-algebry Liego Mn (k), wszystkich (n × n)-macierzy nad k, z nawiasem Liego [A, B] = AB − BA. Tę k-algebrę Liego oznacza się zwykle przez gln (k). W Podrozdziale 14.7 opisaliśmy pewne algebry Liego nad R, pochodzące od grup Liego. Godnym zapamiętania jest fakt (Twierdzenie Cartana), że każda skończenie wymiarowa R-algebra Liego jest algebrą Liego pewnej grupy Liego. Algebry Liego przedstawione w Podrozdziale 14.7 są podalgebrami Liego w gln (k), gdzie k jest ciałem R, liczb rzeczywistych. Takie same algebry Liego istnieją dla dowolnego ciała k. Mamy zatem następujące przykłady k-algebr Liego: sln (k) = {A ∈ gl(k); trA = 0} T on (k) = {A ∈ gln (k); A = −A} son (k) = spn (k) = {A ∈ gl2n (k); AT Ω = −ΩA}, specjalna, ortogonalna {A ∈ gln (k); AT = −A, trA = 0} specjalna ortogonalna symplektyczna. 15. Algebry Liego 95 Macierz Ω, występująca w symplektycznej algebrze Liego jest (2n×2n)-macierzą zdefiniowaną wzorem " Ω= 0 En −En 0 # . Istnieją jeszcze co najmniej dwie ważne algebry Liego: 15.3 tn (k) = {A ∈ gl(k); Aij = 0, dla i > j} trójkątna, tn (k) = {A ∈ gl(k); Aij = 0, dla i > j} trójkątna z zerami. Małe wymiary Przedstawiamy opis (pochodzący z [15]102) wszystkich k-algebr Liego L wymiaru 6 3, gdzie k jest ciałem charakterystyki zero. dim L = 1. [ , ] = 0 (tylko przemienna). dim L = 2. Są tylko dwie algebry Liego dwuwymiarowe: 1. przemienna, 2. L = ke1 ⊕ ke2 , [e1 , e2 ] = e1 (patrz ZAlg3 89). dim L = 3. Niech L1 = [L, L]. Wtedy 0 6 dim L1 6 3. 1. dim L1 = 0. Wtedy [ , ] = 0 (algebra przemienna). 2. dim L1 = 1. Niech {x, y, z} będzie bazą przestrzeni L nad k. Istnieją wtedy dwie nieizomorficzne algebry Liego: (a) [x, y] = z, [x, z] = [y, z] = 0, (b) [x, z] = z, [x, y] = [y, z] = 0. 3. dim L1 = 2. Niech {x, y} będzie bazą przestrzeni L1 i niech z będzie wektorem dopełniającym do bazy przestrzeni L. Wtedy musi zachodzić równość [x, y] = 0. Ponadto, [x, z] = ax + by, [y, z] = cx + dy, gdzie macierz A = a b c d jest nieosobliwa. Każda nieosobliwa macierz A zadaje strukturę k-algebry Liego na L. Dwie macierze nieosobliwe A i B zadają izomorficzne struktury Liego wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją α ∈ k r {0} oraz nieosobliwa (2 × 2)-macierz C takie, że αA = CBC −1 . W szczególności, macierze postaci 1 0 0 2n wyznaczają serię parami nieizomorficznych k-algebr Liego (char(k)=0). 4. dim L1 = 3. Wtedy L1 = [L, L] = L. W tym przypadku istnieją dwie nieizomorficzne k-algebry Liego: (a) [x, y] = z, [y, z] = x, [z, x] = y (iloczyn wektorowy); (b) [x, y] = 2y, [y, z] = x, [z, x] = 2z. Istnieje również opis (patrz [15] 103) wszystkich k-algebr Liego wymiaru 4. 96 A. Nowicki - Marzec 1995. 15.4 Topologia i geometria różniczkowa Derywacje Dobrze wiadomo, że jeśli A jest łączną k-algebrą, to zbiór Derk (A), wszystkich k-derywacji z A do A, wraz z nawiasem [d1 , d2 ] = d1 d2 − d2 d1 , jest k-algebrą Liego. Tę samą własność ma zbiór Der(L), wszystkich derywacji algebry Liego L. Derywacją k-algebry Liego L nazywamy każde k-liniowe przekształcenie d : L −→ L takie, że d([a, b]) = [d(a), b] + [a, d(b)], dla a, b ∈ L. Stwierdzenie 15.4.1. Zbiór Der(L), z nawiasem [d1 , d2 ] = d1 d2 − d2 d1 , jest k-algebrą Liego. Jest to podalgebra Liego w Endk (L). Dowód. (d1 d2 − d2 d1 )([a, b]) = d1 ([d2 (a), b] + [a, d2 (b)]) − d2 ([d1 (a), b] + [a, d1 (b)]) = [d1 d2 (a), b] + [d2 (a), d1 (b)] + [d1 (a), d2 (b)] + [a, d1 d2 (b)] −[d2 d1 (a), b] − [d1 (a), d2 (b)] − [d2 (a), d1 (b)] − [a, d2 d1 (b)] = [d1 d2 (a), b] + [a, d1 d2 (b)] − [d2 d1 (a), b] − [a, d2 d1 (b)] = [(d1 d2 − d2 d1 )(a), b] + [a, (d1 d2 − d2 d1 )(b)]. Niech L będzie k-algebrą Liego. Jeśli x ∈ L, to przez adx oznaczamy odwzorowanie adx : L −→ L, y 7−→ [x, y]. Stwierdzenie 15.4.2 (AL 11). (1) Odwzorowanie adx jest derywacją algebry Liego L. (2) Odwzorowanie ad : L −→ Der(L), x 7−→ adx , jest homomorfizmem k-algebr Liego. Jądrem tego homomorfizmu jest centrum Z(L). (3) Jeśli δ ∈ Der(L), x ∈ L, to [δ, adx ] = adδ(x) . Z tego stwierdzenia wynika: Wniosek 15.4.3 (AL 56). Jeśli L jest k-algebrą Liego z zerowym centrum Z(L), to L można utożsamiać z ideałem Liego w Der(L). Dowód. Ponieważ Z(L) = 0, więc z (2) wynika, że homomorfizm ad: L −→ Der(L) jest injekcją. Jego obraz ad(L) jest, na mocy (3), ideałem w Der(L). Definicja 15.4.4. Każdą derywację postaci adx nazywamy wewnętrzną. Stwierdzenie 15.4.5 ([3] 92, AL 57). Jeśli L jest k-algebrą Liego taką, że Z(L) = 0 i [L, L] = L, to każda derywacja algebry Liego Der(L) jest wewnętrzna. 15.5 Reprezentacje Definicja 15.5.1. Reprezentacją k-algebry Liego L nazywamy każdy homomorfizm k-algebr Liego ϕ : L −→ Endk (V ), gdzie V jest przestrzenią liniową nad k. Mówimy, że reprezentacja ϕ : L −→ Endk (V ) jest: (a) skończenie wymiarowa, jeśli przestrzeń V jest skończenie wymiarowa nad k; (b) wierna, jeśli ϕ jest injekcją. Ze Stwierdzenia 15.4.2 wynika: 15. Algebry Liego 97 Wniosek 15.5.2. Jeśli L jest k-algebrą Liego, to odwzorowanie ad : L −→ Der(L) ,→ Endk (L) jest jej reprezentacją. Przykład 15.5.3 (PH4 51). Rozpatrzmy R-algebrę Liego R3 z nawiasem [u, v] = u × v, gdzie × jest iloczynem wektorowym w R3 . Niech {x, y, z} będzie ortonormalną bazą przestrzeni R3 nad R. Wtedy [x, y] = z, [y, z] = x oraz [z, x] = y. Reprezentacja ad : R3 −→ EndR (R3 ) ≈ gl3 (R) jest wtedy określona wzorem: 0 c −b a . ad((a, b, c)) = −c 0 b −a 0 Reprezentacja ta jest oczywiście wierna. Widzimy zatem, że algebra Liego (R3 , [ , ]) jest izomorficzna z ortogonalną algebrą Liego o3 (R). Można udowodnić: Twierdzenie 15.5.4 (Ado). Każda skończenie wymiarowa k-algebra Liego posiada wierną, skończenie wymiarową reprezentację. Stąd wynika: Wniosek 15.5.5. Każda skończenie wymiarowa k-algebra Liego jest podalgebrą Liego algebry Liego gln (k), dla pewnego n. Definicja 15.5.6. Niech ϕ : L −→ Endk (V ), ϕ0 : L −→ Endk (V 0 ) będą reprezentacjami k-algebry Liego L. Homomorfizmem tych reprezentacji nazywamy każde przekształcenie k-liniowe f : V −→ V 0 takie, że dla każdego x ∈ L, przemienny jest diagram V f −→ ↓ ϕ0x . ϕx ↓ V V0 f −→ V0 Definicja 15.5.7. Jeśli L jest k-algebrą Liego, to L-modułem nazywamy każdą przestrzeń k-liniową M , wraz z odwzorowaniem · : L × M −→ M , spełniającym warunki: (a) (αx + βy)m = α(xm) + β(ym), (b) [x, y]m = x(ym) − y(xm), dla wszystkich α, β ∈ k, x, y ∈ L, m ∈ M . Definicja 15.5.8. Jeśli M, M 0 są L-modułami, to ich homomorfizmem nazywamy każde przekształcenie k-liniowe f : M −→ M 0 taki, że f (xm) = xf (m), dla x ∈ L, m ∈ M. Jeśli ϕ : L −→ Endk (V ) jest reprezentacją k-algebry Liego L, to przestrzeń V jest L-modułem, z mnożeniem (x, v) 7−→ ϕ(x)(v). Zachodzi również odwrotnie. Jeśli V jest L-modułem, to odwzorowanie ϕ : L −→ Endk (V ), ϕ(x)(v) = xv, jest reprezentacją k-algebry Liego L. Podobna wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość istnieje dla homomorfizmów reprezentacji i homomorfizmów L-modułów. Zdefiniowaliśmy dwie kategorie: kategorię R(L), wszystkich reprezentacji k-algebry Liego L oraz kategorię L-Mod, wszystkich L-modułów. Kategorie te są równoważne. Kategorię L-Mod nazywa się kategorią Grothendiecka. 98 A. Nowicki - Marzec 1995. 15.6 Topologia i geometria różniczkowa Rozwiązalne i nilpotentne algebry Liego Niech L będzie k-algebrą Liego. Definiujemy dwa zstępujące ciągi ideałów Liego w L: L0 = L ⊇ L1 ⊇ L2 ⊇ . . . oraz L1 ⊇ L2 ⊇ L3 ⊇ . . . , przyjmując: L1 = [L, L], L2 = [L, L1 ], L3 = [L, L2 ], . . . , 1 L = L1 = [L, L], L2 = [L1 , L1 ], L3 = [L2 , L2 ], . . . . Wtedy Ln ⊆ Ln , dla wszystkich n. Ponadto, ilorazowe algebry Liego Ln /Ln+1 oraz Ln /Ln+1 są przemienne. Definicja 15.6.1. Mówimy, że k-algebra Liego L jest: (1) rozwiązalna, jeśli istnieje n takie, że Ln = 0, (2) nilpotentna, jeśli istnieje n takie, że Ln = 0. Każda przemienna algebra Liego jest nilpotentna. Każda nilpotentna k-algebra Liego jest oczywiście rozwiązalna. Przykładem rozwiązalnej k-algebry Liego, nie będącej algebrą nilpotentną, jest algebra trójkątna tn (k) = {A ∈ gln (k); Aij = 0, dla i > j}. Przykład 15.6.2 (PH4 76). (1) Każda k-algebra Liego wymiaru 2, jest rozwiązalna. Niech L = kx ⊕ ky. Jeśli [x, y] = x, to algebra L nie jest nilpotentna. (2) Niech L = kx ⊕ ky ⊕ kz. (a) Jeśli [y, z] = x, [x, z] = [x, y] = 0, to algebra L jest nilpotentna. (b) Jeśli [x, y] = x, [z, y] = az, [x, z] = 0, gdzie a ∈ k r 0, to algebra L jest rozwiązalna, ale nie jest nilpotentna. (c) Niech [x, y] = z, [y, z] = x, [z, x] = y, (iloczyn wektorowy). Wtedy algebra L nie jest rozwiązalna. Nazwa ”rozwiązalna algebra Liego” pochodzi od rozwiązalnych grup Liego. Te zaś zostały tak nazwane w związku z równaniami różniczkowymi, rozwiązalnymi w kwadraturach (podobnie, jak zwykłe grupy rozwiązalne w związku z rozwiązalnością w pierwiastnikach). Nazwa ”nilpotentna algebra Liego” ma swoje uzasadnienie dzięki następującemu twierdzeniu. Twierdzenie 15.6.3 (Engel). Skończenie wymiarowa k-algebra Liego L jest nilpotentna ⇐⇒ dla każdego x ∈ L istnieje n takie, że adnx = 0. Zanotujmy kilka własności rozwiązalnych i nilpotentnych algebr Liego. Zakładamy, że k-algebra Liego L ma skończony wymiar. Stwierdzenie 15.6.4. (1) Podalgebra Liego i obraz homomorficzny rozwiązalnej (odp. nilpotentnej) algebry Liego są rozwiązalnymi (odp. nilpotentnymi) algebrami Liego. (2) Niech A będzie ideałem Liego w L. Wówczas algebra Liego L jest rozwiązalna ⇐⇒ algebry Liego A i L/A są rozwiązalne. (3) Własność (2) nie zachodzi, na ogół , dla nilpotentnych algebr Liego. (4) Niezerowa algebra Liego nilpotentna ma niezerowe centrum. (5) Jeśli algebra Liego L/Z(L) jest nilpotentna, to L jest nilpotentną algebrą Liego. Twierdzenie 15.6.5. Niech L będzie skończenie wymiarową k-algebrą Liego, gdzie k jest ciałem charakterystyki zero. Wówczas L jest rozwiązalne ⇐⇒ [L, L] jest nilpotentne. 15. Algebry Liego 99 Następne twierdzenie jest pewnym wzmocnieniem twierdzenia Ado (patrz Twierdzenie 15.5.4) o reprezentacjch. Twierdzenie 15.6.6 (Lie, Kolchin). Niech L będzie rozwiązalną (skończenie wymiarową) algebrą Liego nad algebraicznie domkniętym ciałem k, charakterystyki zero. Niech ϕ : L −→ Endk (V ) będzie skończenie wymiarową reprezentacją. Wtedy reprezentacja ta jest równoważna z pewną reprezentacją trójkątną, tzn. jest równoważna z reprezentacją postaci ϕ0 : L −→ Endk (k n ), dla pewnego n, gdzie wszystkie macierze ϕ0 (x) (dla x ∈ L) należą do tn (k). Równoważność reprezentacji rozumie się tak jak zwykle. Reprezentacje ϕ : L −→ Endk (V ), ϕ0 : L −→ Endk (V 0 ) są równoważne jeśli istnieje izomorfizm k-liniowy f : V −→ V 0 taki, że dla każdego x ∈ L, przemienny jest diagram f V −→ V 0 ↓ ϕ0x . ϕx ↓ V f −→ V0 Istotną rolę w dowodzie powyższego twierdzenia odgrywa następujący lemat (który oczywiście wynika z tego twierdzenia). Lemat 15.6.7. Niech L będzie rozwiązalną (skończenie wymiarową) algebrą Liego nad algebraicznie domkniętym ciałem k, charakterystyki zero. Niech ϕ : L −→ Endk (V ) będzie skończenie wymiarową reprezentacją. Istnieje wtedy niezerowy wektor v ∈ V , będący wspólnym wektorem własnym dla wszystkich endomorfizmów ϕx : V −→ V , x ∈ L. Z powyższego twierdzenia Lie-Kolchina wynika: Wniosek 15.6.8 (Lie, Kolchin). Niech L będzie skończenie wymiarową algebrą Liego nad algebraicznie domkniętym ciałem charakterystyki zero. Jeśli L jest rozwiązalne, to L jest podalgebrą Liego trójkątnej algebry tn (k), dla pewnego n. Wniosek ten nie zachodzi, na ogół, dla ciał char p > 0. Niech p = 3, L = kx ⊕ ky 0 0 0 0 1 x = 0 1 0 , y = 0 0 0 0 2 1 0 Przykład 15.6.9 (PH4 80). ⊂ gl3 (k), gdzie 0 1 , [x, y] = −y. 0 Łatwo zauważyć, że x, y nie mają wspólnego wektora własnego w k 3 , a zatem k 3 nie ma L-podmodułu wymiaru 1. Zanotujmy jeszcze odpowiednik Wniosku 15.6.8 dla nilpotentnych algebr Liego. Twierdzenie 15.6.10. Niech L będzie skończenie wymiarową algebrą Liego nad algebraicznie domkniętym ciałem charakterystyki zero. Jeśli L jest nilpotentne, to L jest podalgebrą Liego trójkątnej algebry z zerami tn (k), dla pewnego n. Definicja 15.6.11. Jeśli L jest skończenie wymiarową k-algebrą Liego, to przez BL : L × L −→ k oznaczamy dwuliniową formę symetryczną, zwaną formą Killinga algebry L, określoną wzorem BL (x, y) = tr(adx ◦ ady ), dla x, y ∈ L. Twierdzenie 15.6.12 (Cartan). Niech L będzie skończenie wymiarową k-algebrą Liego. (1) L jest rozwiązalne ⇐⇒ BL (x, y) = 0, dla x ∈ L, y ∈ [L, L]. (2) L jest nilpotentne ⇐⇒ BL (x, y) = 0, dla x, y ∈ L. 100 16 16.1 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa Systemy pierwiastków i diagramy Dynkina Systemy pierwiastków Przez E oznaczamy skończenie wymiarową przestrzeń euklidesową nad ciałem Q liczb wymiernych, z iloczynem skalarnym ( , ). Definicja 16.1.1. Jeśli α 6= 0, β ∈ E, to przez n(α, β) oznaczamy liczbę rzeczywistą, zwaną współczynnikiem Cartana, określoną wzorem: (β,α) . n(α, β) = 2 (α,α) Jak zwykle w przestrzeni euklidesowej, kąt ϕ pomiędzy niezerowymi wektorami α, β ∈ E, określony jest przez warunek: p p (α,β) cos ϕ = ||α||·||β|| , gdzie ||α|| = (α, α), ||β|| = (β, β). Lemat 16.1.2. Jeśli ϕ jest kątem pomiędzy niezerowymi wektorami α, β ∈ E, to 0 6 n(α, β)n(β, α) = 4 cos2 ϕ 6 4. Dowód. (β,α) · 2 (α,β) n(α, β)n(β, α) = 2 (α,α) (β,β) = 4 (α,β) ||α||·||β|| 2 = 4 cos2 ϕ 6 4. Definicja 16.1.3. Systemem pierwiastków w E nazywamy każdy niepusty podzbiór ∆ w E spełniający następujące warunki. (1) ∆ generuje przestrzeń E nad Q oraz 0 6∈ ∆. (2) α ∈ ∆ =⇒ −α ∈ ∆. (3) α, β ∈ ∆ =⇒ n(α, β) ∈ Z. (4) α, β ∈ ∆ =⇒ β − n(α, β)α ∈ ∆. Mówimy, że system pierwiastków ∆ jest zredukowany jeśli spełniony jest dodatkowo warunek: (20 ) α ∈ ∆, c ∈ Z =⇒ (cα ∈ ∆ ⇐⇒ c = ∓1). Uwaga 16.1.4. Warunek (2) wynika z warunku (4). Jeśli bowiem α ∈ ∆, to −α = α − 2α = α − 2 (α,α) (α,α) α = α − n(α, α)α ∈ Z. Z Lematu 16.1.2 wynika: Stwierdzenie 16.1.5. Jeśli ∆ jest systemem pierwiastków w E, to: (a) wszystkie liczby postaci n(α, β), gdzie α, β ∈ ∆, należą do zbioru {0, ∓1, ∓2, ∓3, ∓4}; (b) kąt pomiędzy dwoma elementami z ∆ należy do zbioru 3π 5π {0, π6 , π4 , π3 , π2 , 2π 3 , 4 , 6 , π}; (c) jeśli α, β ∈ ∆ i n(α, β)n(β, α) = 4, to wektory α, β są współliniowe. Stwierdzenie 16.1.6. Niech ∆ będzie zredukowanym systemem pierwiastków w E. Niech α, β ∈ ∆. Jeśli wektory α, β są współliniowe, to α = ∓β. Dowód. Niech α = qβ, gdzie q ∈ Q. Wtedy n(α, β) = 2q ∈ Z oraz n(β, α) = 2/q ∈ Z. Stąd łatwo wynika, że β = ∓α, β = 2 ∓ α lub α = 2 ∓ β. Dwa ostatnie przypadki są wykluczone, gdyż system ∆ jest zredukowany. 16. Systemy pierwiastków i diagramy Dynkina 101 Stwierdzenie 16.1.7 (PH4 101). Każdy system pierwiastków E jest zbiorem skończonym. Dowód. Niech ∆ będzie systemem pierwiastków w E. Wtedy na każdej prostej przechodzącej przez 0 leży co najwyżej 6 pierwiastków należących do ∆. Jeśli bowiem α, β ∈ ∆ i α = qβ, gdzie q ∈ Q, to q = ∓1, ∓2, ∓1/2 (pokazaliśmy to w dowodzie poprzedniego stwierdzenia). Niech {α1 , . . . , αn } ⊆ ∆ będzie bazą przestrzeni E nad Q (baza jest skończona, bo dimQ E < ∞). Każda prosta w E przechodząca przez 0, na której leżą pierwiastki z ∆, jest wyznaczona przez kąty, jakie tworzy z wektorami α1 , . . . , αn . Wiemy (na mocy Stwierdzenia 16.1.5(2)), że kątów takich jest tylko skończona ilość. Stąd wynika, że ∆ jest zbiorem skończonym. Niech α, β będą niezerowymi wektorami z E. Jeśli n(α, β) = 0, to (α, β) = 0, więc n(β, α) = 0 i wtedy wektory α, β są prostopadłe. Jeśli (α, β) 6= 0, to 2 ||β|| n(α,β) = . n(β,α) ||α|| Stwierdzenie 16.1.8 (PH4 66, 99). Niech ∆ będzie systemem pierwiastków w E. Załóżmy, że wektory α, β ∈ ∆ nie są równoległe i nie są prostopadłe. Oznaczmy przez ϕ kąt pomiędzy α i β. Zachodzić wtedy może dokładnie jeden (z dokładnością do permutacji) z natępujących przypadków: (1) n(α, β) = 1, n(β, α) = 1, ϕ= π 3, ||α|| = ||β||; (2) n(α, β) = −1, n(β, α) = −1, ϕ= 2π 3 , ||α|| = ||β||; √ ||α|| = 2 · ||β||; √ ||α|| = 2 · ||β||; √ ||α|| = 3 · ||β||; √ ||α|| = 3 · ||β||. (3) n(α, β) = 1, n(β, α) = 2, ϕ= π 4, (4) n(α, β) = −1, n(β, α) = −2, ϕ= 3π 4 , (5) n(α, β) = 1, n(β, α) = 3, ϕ= π 6, (6) n(α, β) = −1, n(β, α) = −3, ϕ= 5π 6 , Przykład 16.1.9 (PH4 99). jest postaci Jeśli dimQ E = 2, to każdy zredukowany sytem pierwiastków ∆ w E ∆ = U ∪ −U, gdzie U jest jednym z następujących czterech zbiorów (przez ϕ oznaczamy kąt pomiędzy α i β): (A1 × A1 ) U = {α, β}, ϕ= π 2; (A2 ) U = {α, α + β, β}, ϕ= 2π 3 ; (B2 ) U = {α, 2α + β, α + β, β}, ϕ= 3π 4 ; (G2 ) U = {α, 3α + β, 2α + β, 3α + 2β, α + β, β}, ϕ= 5π 6 ; 16.2 ||α|| = ||β||; √ ||α|| = 2 · ||β||; √ ||α|| = 3 · ||β||. Grupa Weyla Niech ∆ będzie systemem pierwiastków w E. Definicja 16.2.1. Jeśli α ∈ ∆, to przez Sα : E −→ E oznaczamy odwzorowanie określone wzorem (α,x) α, Sα (x) = x − n(α, x)α = x − 2 (α,α) Łatwo sprawdzić: Lemat 16.2.2 (PH4 100). (1) Sα (α) = −α, (2) (x, α) = 0 =⇒ Sα (x) = x, (3) Sα = S−α , (4) Sα2 = idE , (5) (Sα (x), Sα (y)) = (x, y), (6) Sα (∆) = ∆. dla x ∈ E. 102 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa Stwierdzenie 16.2.3 (PH4 100). Odwzorowanie Sα jest automorfizmem Q-przestrzeni E. Definicja 16.2.4. Grupą Weyla systemu pierwiastków ∆ nazywamy podgrupę W = W (∆) grupy AutQ (E), wszystkich automorfizmów Q-przestrzeni E, generowaną przez wszystkie automorfizmy postaci Sα , α ∈ ∆. Przykład 16.2.5. Niech ∆ = A1 × A1 będzie systemem pierwiastków z Przykładu 16.1.9. Wtedy W (A1 × A1 ) = Z2 ⊕ Z2 . Stwierdzenie 16.2.6. Grupa Weyla W (∆) jest skończona. Dowód. Niech Sym(∆) będzie grupą permutacji zbioru ∆. Grupa ta jest skończona, gdyż wiemy (Stwierdzenie 16.1.7), że ∆ jest zbiorem skończonym. Rozważmy odwzorowanie W (∆) −→ Sym(∆), σ 7−→ σ | ∆. Jeśli σ ∈ W (∆), to σ(∆) = ∆ (patrz Lemat 16.2.2(6)). Powyższe odwzorowanie jest więc dobrze określone. Jest ono ponadto różnowartościowe (ponieważ zbiór ∆ generuje przestrzeń E nad Q). Zatem grupa W (∆) ma co najwyżej tyle elementów ile ma grupa Sym(∆). 16.3 Pierwiastki proste Niech E, tak jak poprzednio, będzie skończenie wymiarową przestrzenią euklidesową nad Q. W przestrzeni E można wprowadzić liniowy porządek > w taki sposób, że E będzie przestrzenią uporządkowaną, tzn.: (1) x > y ⇐⇒ x − y > 0, (2) x > 0, y > 0 =⇒ x + y > 0, (3) x > 0, q ∈ Q, q > 0 =⇒ qx > 0. Można to zrobić np. w następujący sposób. Niech {e1 , . . . , en } będzie bazą przestrzeni E nad Q. Wprowadzamy w E porządek leksykograficzny: a1 e1 +· · ·+an en > b1 +· · ·+bn en ⇐⇒ istnieje i ∈ {1, . . . , n} takie, że a1 = b1 , · · · , ai1 = bi−1 oraz ai > bi (lub a1 > b1 ). Jest oczywiste, że porządek ten spełnia wszystkie powyższe warunki. Załóżmy więc, że ustalony jest porządek liniowy na E i niech ∆ będzie zredukowanym systemem pierwiastków w E. Definicja 16.3.1. Mówimy, że pierwiastek α ∈ ∆ jest dodatni, jeśli α > 0. Zbiór wszystkich pierwiastków dodatnich w ∆ oznaczamy przez ∆+ . . Oczywiście ∆ = ∆+ ∪ − ∆+ . Definicja 16.3.2. Mówimy, że pierwiastek α ∈ ∆ jest prosty, jeśli α ∈ ∆+ oraz α nie jest sumą dwóch pierwiastków z ∆+ . Stwierdzenie 16.3.3 (PH4 102). Niech r = dimQ E. (1) W systemie ∆ istnieje dokładnie r pierwiastków prostych. (2) Niech α1 , . . . , αr będą wszystkimi, parami różnymi, pierwiastkami prostymi w ∆. Wtedy: (a) zbiór {α1 , . . . , αr } jest bazą przestrzeni E nad Q; (b) jeśli β ∈ ∆+ , to β = c1 α1 + · · · + cr αr , gdzie c1 , . . . , cr > 0. 16.4 Macierz Cartana i V-graf Niech ∆ będzie zredukowanym systemem pierwiastków w E. Niech r = dimQ E i niech {α1 , . . . , αr } będzie zbiorem wszystkich parami różnych pierwiastków prostych w ∆. Wprowadzamy nowe oznaczenie: (α ,α ) dij = −n(αj , αi ) = −2 (αji ,αjj ) , dla i, j = 1, . . . , r. 16. Systemy pierwiastków i diagramy Dynkina 103 Definicja 16.4.1. Macierz [dij ] nazywamy macierzą Cartana systemu ∆. Stwierdzenie 16.4.2 (PH4 103). (1) dii = −2; (2) dij > 0, dla i 6= j; (3) dij dji 6 3, dla i 6= j; (4) (αj , αj )dij = (αi , αi )dji . Stwierdzenie 16.4.3 (PH4 104). (1) Niech x ∈ E. Jeśli x = x1 α1 + · · · xr αr , gdzie x1 , . . . , xr ∈ Q, to P Sαi (x) = x1 α1 + · · · + xi−1 αi−1 + −xi + j6=i dji xj αi + xi+1 αi+1 + · · · + xr αr . (2) Niech x ∈ E. Wtedy x ∈ ∆ ⇐⇒ x = σ(αi ), dla pewnego i ∈ {1, . . . , r} oraz pewnego automorfizmu σ należącego do grupy Weyla W (∆). (3) Grupa Weyla W (∆) jest generowana przez automorfizmy Sα1 , . . . , Sαr . Definicja 16.4.4. V -grafem systemu ∆ nazywamy graf, o wierzchołkach 1, . . . , r i krawędziach: • i (dij , dji ) −−− −−−−− • j W podobny sposób definiuje się grafy Coxetera systemu ∆ (patrz PH4 103). Tym nie będziemy się tu zajmować. Definicja 16.4.5. Mówimy, że zredukowany system pierwiastków ∆ ⊂ E jest sumą prostą swoich podzbiorów ∆1 i ∆2 , jeśli: (1) ∆ = ∆1 ∪ ∆2 , (2) ∆1 ∩ ∆2 = ∅, (3) (∆1 , ∆2 ) = 0, tzn. (α, β) = 0, dla wszystkich α ∈ ∆1 , β ∈ ∆2 . Stwierdzenie 16.4.6 (PH4 104). Jeśli zredukowany system ∆ ⊂ E jest sumą prostą podzbiorów ∆1 i ∆2 , to przestrzeń E jest sumą prostą podprzestrzeni E1 i E2 , gdzie E1 = Q∆1 oraz E2 = Q∆2 . Wtedy ∆1 jest zredukowanym systemem pierwiastków w E1 , a ∆2 jest zredukowanym systemem pierwiastków w E2 . Stwierdzenie 16.4.7 (PH4 104). Załóżmy, że zredukowany system pierwiastków ∆ ⊂ E jest sumą prostą podzbiorów ∆1 i ∆2 . Niech (Γ, d) będzie V -grafem systemu ∆ i niech (Γ0 , d0 ), (Γ00 , d00 ) będą . V -grafami odpowiednio systemów ∆1 i ∆2 . Wtedy (Γ, d) = (Γ0 , d0 ) ∪ (Γ00 , d00 ). Stwierdzenie 16.4.8 (PH4 104). (1) Każdy zredukowany system pierwiastków jest sumą prostą nierozkładalnych systemów pierwiastków. (2) System ∆ jest nierozkładalny ⇐⇒ V -graf systemu ∆ jest spójny. 104 16.5 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa Diagramy Dynkina Twierdzenie 16.5.1 (PH4 104). Niech ∆ ⊂ E będzie zredukowanym systemem pierwiastków i niech (1, 1) (Γ, d) będzie V -grafem dla ∆. Załóżmy, że graf ten jest spójny. Niech • −−−−− • oznacza • − −−−− • . Wtedy graf (Γ, d) jest izomorficzny z dokładnie jednym grafem następującej listy: An • 1 Bn • 1 Cn • 1 Dn • 1 −−−−− (1, 2) −−−−− (2, 1) −−−−− −−−−− • 2 −−−−− • 3 −−−−− • 4 ··· • n−1 −−−−− • n (n > 1) • 2 −−−−− • 3 −−−−− • 4 ··· • n−1 −−−−− • n (n > 2) • 2 −−−−− • 3 −−−−− • 4 ··· • n−1 −−−−− • n (n > 3) −−−−− • 4 −−−−− • 5 ··· • n−1 −−−−− • n −−−−− • | • −−−−− • −−−−− • −−−−− • | • −−−−− • −−−−− • −−−−− • −−−−− • −−−−− • −−−−− • −−−−− • 2 • | • 3 E6 • −−−−− • E7 • −−−−− • • −−−−− • −−−−− • | • F4 • −−−−− • (1, 2) −−−−− • G2 • (1, 3) −−−−− • E8 −−−−− (n > 4) • Uwaga 16.5.2. C2 ≈ B2 , D3 ≈ A3 . Definicja 16.5.3. Wszystkie grafy występujące w powyższym twierdzeniu nazywamy diagramami Dynkina. Istnieją również tzw. rozszerzone diagramy Dynkina (patrz PH4 105). 17. Półproste algebry Liego 17 105 Półproste algebry Liego Zakładamy, że k jest algebraicznie domkniętym ciałem charakterystyki zero oraz, że L jest skończenie wymiarową k-algebrą Liego. 17.1 Proste i półproste algebry Liego Każdy ideał Liego w L jest oczywiście podalgebrą Liego w L. Mówimy, że ideał Liego jest rozwiązalny, jeśli jest rozwiązalny jako algebra Liego. Rozpoczynamy od następującego lematu. Lemat 17.1.1 (PH4 84). również jest rozwiązalny. Jeśli A, B są rozwiązalnymi ideałami Liego w L, to ideał Liego A + B Dowód. Wynika to ze Stwierdzenia 15.6.4 oraz z izomorfizmu (A + B)/A ≈ B/(A ∩ B). Rozwiązalność ideału B implikuje bowiem rozwiązalność algebry Liego B/(A ∩ B) (jako algebry ilorazowej), czyli rozwiązalność algebry (A + B)/A. Ponieważ A jest też rozwiązalne, więc (Stwierdzenie 15.6.4) A + B jest rozwiązalne. Korzystając z tego lematu można wykazać: Wniosek 17.1.2. Istnieje jedyny maksymalny rozwiązalny ideał Liego w L. Ideał ten jest sumą (algebraiczną) wszystkich rozwiązalnych ideałów Liego w L. Definicja 17.1.3. Jedyny maksymalny ideał rozwiązalny w L oznaczamy przez rad(L) i nazywamy radykałem algebry Liego L. Definicja 17.1.4. Mówimy, że k-algebra Liego L jest prosta, jeśli [L, L] 6= 0 i jedynymi ideałami Liego w L są 0 i L. Definicja 17.1.5. Mówimy, że k-algebra Liego L jest półprosta, jeśli rad(L) = 0. Jeśli algebra Liego L jest prosta, to Z(L) = 0 i [L, L] = L. Każda prosta algebra Liego jest oczywiście półprosta. Jeśli L jest dowolną (skończenie wymiarową) k-algebrą Liego, to ilorazowa kalgebra Liego L/Rad(L) jest półprosta. Twierdzenie 17.1.6. Jeśli L jest skończenie wymiarową k-algebrą Liego (gdzie k jest algebraicznie domkniętym ciałem charakterystyki zero), to następujące warunki są równoważne. (1) Algebra L jest półprosta. (2) Każdy przemienny ideał Liego w L jest zerowy, tzn. jeśli I jest ideałem Liego w L, to [I, I] = 0 =⇒ I = 0. (3) L jest skończoną sumą prostą pewnych prostych nieprzemiennych ideałów Liego w L. (4) (Cartan). Forma Killinga BL jest nieosobliwa. (5) (Weyl). Każdy skończenie generowany L-moduł jest półprosty. Wyjaśnijmy pewne pojęcia potrzebne do zrozumienia treści powyższego twierdzenia. Punkt (3) mówi, że L = I1 ⊕ · · · ⊕ Is , gdzie I1 , . . . , Is są prostymi ideałami Liego (czyli prostymi jako podalgebry Liego) w L. Stąd wynika, że algebra Liego L jest izomorficzna z produktem postaci I1 × · · · × Is , gdzie I1 , . . . , Is są prostymi k-algebrami Liego. W punkcie (4) mówi się o formie Killinga BL : L × L −→ k. Wprowadziliśmy ją w Podrozdziale 15.6. Nieosobliwość tej formy oznacza, że ideał {x ∈ L; B(x, L) = 0} jest zerowy. Nie mówiliśmy jeszcze co to znaczy, że L-moduł jest półprosty. Pojęcie takie występuje w (5). L-moduł M nazywamy prostym, jeśli M 6= 0 oraz M nie posiada istotnych L-podmodułów. Mówimy, że dany L-moduł M jest półprosty, jeśli jest sumą prostą prostych L-modułów lub równoważnie, jeśli każdy L-podmoduł w M wydziela się jako składnik prosty. Charakteryzacja L-modułów półprostych jest dokładnie taka sama, jak dobrze znana charakteryzacja zwykłych modułów półprostych (nad dowolnym pierścieniem). Dodadkowe informacje o półprostych L-modułach znajdziemy w PH4 86. Wspomnijmy jeszcze, że dla prostych L-modułów zachodzi Lemat Schura. W tym przypadku oznacza to, że jeśli f : M −→ M jest endomorfizmem prostego L-modułu M , to istnieje a ∈ k takie, że f = a · 1M , (czyli EndL (M ) ≈ k). Zanotujmy kilka własności półprostych algebr Liego. 106 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa Stwierdzenie 17.1.7 (PH4 85). Załóżmy, że k-algebra Liego L jest półprosta. Wtedy: (1) Z(L) = 0; (2) [L, L] = L; (3) Podalgebry Liego w L i ilorazowe algebry Liego postaci L/A, są półproste. Stwierdzenie 17.1.8 (PH4 85). Jeśli k-algebra Liego L jest półprosta, to homomorfizm Liego ad : L −→ Der(L) jest izomorfizmem. Stąd wynika: Wniosek 17.1.9. Jeśli L jest półprostą k-algebrą Liego, to każda derywacja d : L −→ L jest wewnętrzna. W następnym stwierdzeniu spotykamy sią z ważnym przykładem półprostej algebry Liego. Stwierdzenie 17.1.10. Specjalna algebra Liego sln (k) = {A ∈ gln (k); tr(A) = 0} jest półprosta. Dowód dla n = 2 przedstawimy w następnym podrozdziale. Można udowodnić: Twierdzenie 17.1.11. Niech L będzie półprostą, skończenie wymiarową, k-algebrą Liego. Jeśli ϕ : L −→ Endk (k n ) jest reprezentacją, to ϕ(L) ⊆ sln (k). Stąd w szczególności otrzymujemy: Wniosek 17.1.12. Każda skończenie wymiarowa półprosta k-algebra Liego jest podalgebrą Liego w sln (k), dla pewnego n. 17.2 Specjalna algebra Liego sl2 (k) W poprzednim podrozdziale wspomnieliśmy, że algebra sln (k), jest ważnym przykładem półprostej k-algebry Liego. Każda skończenie wymiarowa i półprosta k-algebra Liego jest podalgebrą Liego tej algebry. W tym podrozdziale zajmiemy się przypadkiem n = 2. Wykażemy, że algebra sl2 (k), jest istotnie półprosta. Podamy również pewne informacje dotyczące prostych sl2 (k)-modułów. Przypomnijmy, że sl2 (k) jest zbiorem wszystkich (2 × 2)-macierzy a b , przy czym a + d = 0. c d Rozpatrzmy następujące trzy macierze, należące do sl2 (k): 0 1 0 0 1 0 A= , B= , C= . 0 0 1 0 0 −1 Lemat 17.2.1. Macierze A, B, C tworzą bazę przestrzeni sl2 (k) nad k Dowód. Liniowa niezależność jest oczywista. Generowanie wynika z równości: a b a b = = aC + bA + cB. c d c −a Bez trudu sprawdzamy następne dwa lematy. Lemat 17.2.2. [C, A] = 2A, [C, B] = −2B, [A, B] = C. 17. Półproste algebry Liego 107 Lemat 17.2.3. Macierze przekształceń liniowych adA , adB , adC , są 0 0 −2 0 0 0 2 0 0 0 0 , 0 0 2 , 0 −2 0 1 0 −1 0 0 0 0 odpowiednio następujące: 0 0 . 0 Wykażemy teraz następny lemat. Lemat 17.2.4. Forma Killinga algebry sl2 (k) ma macierz: 0 4 0 4 0 0 , 0 0 8 której wyznacznik jest równy −128. Dowód. Niech B będzie formą Killinga algebry sl2 (k). Wiemy, że B(X, Y ) =tr(adX ◦ adY ), dla wszystkich macierzy X, Y ∈ sl2 (k). Mamy zatem: 0 0 −2 0 0 −2 0 −2 0 B(A, A) = tr( 0 0 0 · 0 0 0 ) = tr 0 0 0 = 0, 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 B(A, B) = tr( 0 0 0 −2 0 0 0 · 0 1 0 −1 0 0 2 0 2 ) = tr 0 0 0 0 0 0 = 4, 2 0 0 0 itd. Z ostatniego lematu i Twierdzenia 17.1.6(4) otrzymujemy: Wniosek 17.2.5 (PH4 91). Algebra sl2 (k) jest półprostą k-algebrą Liego. W następnym twierdzeniu zawarta jest klasyfikacja wszystkich prostych i skończenie wymiarowych sl2 (k)-modułów. Twierdzenie 17.2.6. Dla dowolnej liczby całkowitej n > 0 istnieje dokładnie jeden (z dokładnością do izomorfizmu) sl2 (k)-moduł prosty Vn , wymiaru n + 1. Każdy skończenie wymiarowy sl2 (k)-moduł prosty jest izomorficzny z pewnym sl2 (k)-modułem postaci Vn . Struktura sl2 (k)-modułu na przestrzeni liniowej Vn (występującej w powyższym twierdzeniu) zadana je poprzez reprezentację ϕ(n) : sl2 (k) −→ gln+1 (k), określoną na bazie {A, B, C} wzorami: ϕ(n) (A) = n 0 0 .. . 0 0 0 n−2 0 0 n−4 .. .. . . 0 0 0 0 0 .. . 1 0 0 .. . 0 ... 2 ... 0 ... .. . 0 0 0 ... 0 ... ϕ(n) (C) = 0 0 0 0 0 .. . ... ... ... 0 0 0 .. . ... −n , ϕ(n) (B) = 0 1 0 .. . 0 0 2 .. . 0 ... 0 ... 0 ... .. . 0 0 0 .. . 0 0 0 .. . 0 0 0 ... n 0 , . n 0 Uwaga 17.2.7. Istnieją sl2 (k)-moduły proste nieskończonego wymiaru. Istnieje również nieskończenie wymiarowy sl2 (k)-moduł, który nie jest półprosty. 108 17.3 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa Rozkład Cartana-Levi-Malceva Twierdzenie 17.3.1 (Cartan, Levi, Malcev). Jeśli L jest skończenie wymiarową k-algebrą Liego, to istnieje półprosta podalgebra Liego S w L taka, że L = Rad(L) ⊕ S (suma prosta przestrzeni liniowych). Jeśli S 0 jest drugą półprostą podalgebrą Liego w L taką, że L = Rad(L) ⊕ S 0 , to istnieje k-automorfizm Liego ϕ : L −→ L taki, że ϕ | Rad(L) jest tożsamością oraz ϕ(S) = S 0 . Z powyższego twierdzenia wynika, że problem klasyfikacji skończenie wymiarowych algebr Liego sprowadza się do opisu wszystkich rozwiązalnych i półprostych algebr Liego. Algebry rozwiązalne do tej pory nie zostały sklasyfikowane. Istnieje natomiast pełna klasyfikacja wszystkich skończenie wymiarowych półprostych algebr Liego nad algebraicznie domkniętym ciałem k, charakterystyki zero. Wszystkie następne podrozdziały tego rozdziału zmierzają do przedstawienia tej klasyfikacji. 17.4 Podalgebry Cartana i torusy Niech L będzie skończenie wymiarową k-algebrą Liego. Definicja 17.4.1. Jeśli P jest zbiorem zawartym w L, to centralizatorem zbioru P w L nazywamy ideał Liego T CP (L) = {x ∈ L; [x, P ] = 0} = p∈P Ker adp . W szczególności centralizator CL (L) pokrywa się z centrum Z(L). Definicja 17.4.2. Podalgebrą Cartana w L nazywamy każdą nilpotentną podalgebrę Liego H w L taką, że CL (H) = H. Stwierdzenie 17.4.3. Podalgebra Cartana jest przemienną algebrą Liego (tzn. [H, H] = 0). Przykład 17.4.4. Podalgebrą Cartana w gln (k) jest k-algebra Liego wszystkich (n × n)-macierzy diagonalnych. Podalgebrą Cartana w sln (k) jest k-algebra Liego wszystkich (n × n)-macierzy diagonalnych z zerowym śladem. W przypadku skończenie wymiarowych półprostych k-algebr Liego (char(k) = 0) podalgebry Cartana pokrywają się z maksymalnymi torusami. Co to jest torus w L? Wiemy, że jeśli L jest półproste (i skończenie wymiarowe), to odwzorowanie ad: L −→ Der(L) jest izomorfizmem algebr Liego. Każdy element x ∈ L możemy więc utożsamiać z przekształceniem k-liniowym adx : L −→ L. Wiemy ponadto, że każdy k-endomorfizm ϕ : L −→ L (ciało k jest algebraicznie domknięte!) ma jednoznaczny rozkład Jordana-Chevalley (patrz [13] lub [18]) ϕ = ϕn + ϕs . W szczególności więc każdy element x ∈ L ma (dzięki wspomnianemu utożsamieniu) rozkład x = xn + xs . Rozkład ten nazywamy abstrakcyjnym rozkładem Jordana-Chevalley. Definicja 17.4.5. Torusem w L (ang. toral subalgebra) nazywamy każdą podalgebrę Liego H w L taką, że: x ∈ H =⇒ xn = 0. Mówimy, że dany torus w L jest maksymalny, jeśli jest maksymalny w sensie inkluzji. Zanotujmy zatem: Stwierdzenie 17.4.6. Dla skończenie wymiarowych półprostych k-algebr Liego pojęcia maksymalny torus i podalgebra Cartana pokrywają się. Wykażemy teraz: Stwierdzenie 17.4.7 (PH4 92). Każda skończenie wymiarowa półprosta k-algebra Liego L posiada torus. 17. Półproste algebry Liego 109 Dowód. Ponieważ [L, L] = L, więc L nie jest nilpotentne. Istnieje więc (na mocy twierdzenia Engela) x ∈ L takie, że endomorfizm adx nie jest nilpotentny. Zatem, jeśli x = xn +xs jest abstrakcyjnym rozkładem Jordana-Chevalley, to xs 6= 0. Wówczas K = kxs jest torusem w L. Stąd wynika: Wniosek 17.4.8. Każda skończenie wymiarowa półprosta k-algebra Liego posiada podalgebrę Cartana. Można, ponadto udowodnić: Stwierdzenie 17.4.9 (PH4 109). Jeśli H i H 0 są podalgebrami Cartana w L, to istnieje automorfizm Liego σ : L −→ L taki, że σ(H) = H 0 . Podalgebra Cartana w L jest więc wyznaczona jednoznacznie, z dokładnością do izomorfizmu. 17.5 Podprzestrzenie stowarzyszone z podalgebrą Cartana Niech L będzie skończenie wymiarową półprostą k-algebrą Liego i niech H będzie jej podalgebrą Cartana (tzn. maksymalnym torusem). Przez H ∗ oznaczamy przestrzeń Homk (H, k), wszystkich przekształceń k-liniowych z H do k. Definicja 17.5.1. Jeśli α ∈ H ∗ , to przez Lα oznaczamy podzbiór w L, określony następująco: Lα = {x ∈ L; [u, x] = α(u)x, dla wszystkich u ∈ H}. Stwierdzenie 17.5.2. (1) Lα jest podprzestrzenią liniową w L. (2) Lα nie jest, na ogół, podalgebrą Liego w L. (3) L0 = CL (H) = H. Dowód. (1). Wynika to z równości: [u, ax + by] = a[u, x] + b[u, y] = aα(u)x + bα(u)y = α(u)(ax + by), dla u =∈ H, a, b ∈ k, x, y ∈ L. (2). Łatwo sprawdzić, że jeśli x, y ∈ Lα i u ∈ H, to [u, [x, y]] = 2α(u)[x, y]. (3). Podalgebra Cartana spełnia, na mocy definicji, warunek CL (H) = H. Stwierdzenie 17.5.3 (PH4 93). (1) Jeśli α, β ∈ H ∗ , to [Lα , Lβ ] ⊆ Lα+β . (2) Jeśli x ∈ Lα i α 6= 0, to odwzorowanie adx jest nilpotentne. (3) Niech BL : L×L −→ k będzie formą Killinga algebry Liego L. Niech α, β ∈ H ∗ . Jeśli α+β 6= 0, to BL (x, y) = 0 dla wszystkich x ∈ Lα , y ∈ Lβ . (4) Forma Killinga BL , obcięta do podalgebry L0 , jest niezdegenerowana. 17.6 Zredukowany system pierwiastków półprostej algebry Liego Zakładamy, tak jak poprzednio: L jest skończenie wymiarową półprostą k-algebrą Liego, H jest podalgebrą Cartana w L. W poprzednim podrozdziale wprowadziliśmy podprzestrzenie liniowe w L, postaci Lα , gdzie α ∈ H ∗ = Homk (H, k). Definicja 17.6.1. Przez Φ oznaczamy zbiór wszystkich niezerowych przekształceń α ∈ H ∗ takich, że Lα 6= 0. Można wykazać: 110 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa Stwierdzenie 17.6.2. (1) Φ jest zbiorem skończonym. (2) Φ generuje przestrzeń H ∗ = Homk (H, k). (3) Jeśli α ∈ Φ, to −α ∈ Φ. (4) Jeśli α ∈ Φ, to dimk Lα = 1. Twierdzenie 17.6.3 (Cartan). L=H⊕ M Lα . α∈Φ Jest to tzw. rozkład Cartana półprostej k-algebry Liego L względem maksymalnego torusa H (ang. root space decomposition). Przypomnijmy, że przez BL : L × L −→ k oznaczamy formę Killinga algebry L. Stwierdzenie 17.6.4. Odwzorowanie H −→ H ∗ , u 7−→ BL (u, ), jest izomorfizmem przestrzeni k-liniowych. Definicja 17.6.5. Jeśli α ∈ Φ ⊂ H ∗ , to przez tα oznaczamy jedyny element z H (istniejący na mocy powyższego stwierdzenia) taki, że α = BL (tα , ). Stwierdzenie 17.6.6 (PH4 94). Jeśli α ∈ Φ, to: (1) [x, y] = BL (x, y)tα , dla wszystkich x ∈ Lα , y ∈ L−α ; (2) [Lα , L−α ] = k · tα ; (3) α(tα ) = BL (tα , tα ). Definicja 17.6.7. Jeśli α ∈ Φ, 0 6= x ∈ Lα , 0 6= y ∈ L−α , to przez Aα (x, y) oznaczamy liniową podprzestrzeń w L określoną wzorem: Aα (x, y) = k · x + k · y + k · [x, y]. Podprzestrzeń Aα (x, y) ma szczególne własności: Stwierdzenie 17.6.8 (PH4 95). (1) Podprzestrzeń Aα (x, y) nie zależy od wyboru punktów x, y. Dokładniej, jeśli 0 6= x ∈ Lα , 0 6= y ∈ L−α , to Aα (x, y) = Lα + L−α + [Lα , L−α ]. (2) Podprzestrzeń Aα (x, y) jest podalgebrą Liego w L. (3) Algebra Liego Aα (x, y) jest izomorficzna z sl2 (k). Izomorfizm zadaje przyporządkowanie: 0 1 0 0 1 0 x 7−→ , y 7−→ , [x, y] 7−→ . 0 0 1 0 0 −1 Dzięki powyższym faktom można udowodnić następujące dwa stwierdzenia. Stwierdzenie 17.6.9 (PH4 96). Jeśli α, β ∈ Φ, to BL (tα , tβ ) ∈ Q. Stwierdzenie 17.6.10 (PH4 95). Jeśli u, v ∈ H, to X BL (u, v) = α(u)α(v). α∈Φ Definicja 17.6.11. Przez EH oznaczamy Q-podprzestrzeń w H ∗ generowaną przez zbiór Φ. Można udowodnć (korzystając z powyższych stwierdzeń): 17. Półproste algebry Liego 111 Stwierdzenie 17.6.12. EH jest przestrzenią euklidesową z iloczynem skalarnym ( , ) : EH × Eφ −→ Q, określonym (na generatorach α, β ∈ Φ) wzorem: (α, β) = BL (tα , tβ ) = α(tβ ). Teraz już nie jest trudno udowodnić następujące twierdzenie. Twierdzenie 17.6.13 (PH4 96). Zbiór Φ jest zredukowanym systemem pierwiastków w EH , tzn.: (1) Φ generuje przestrzeń EH nad Q; (2) α ∈ Φ, c ∈ Z =⇒ (cα ∈ Φ ⇐⇒ c = ∓1); (β,α) (3) α, β ∈ Φ =⇒ 2 (α,α) ∈ Z; (β,α) (3) α, β ∈ Φ =⇒ β − 2 (α,α) α ∈ Φ. Można ponadto udowodnić: Stwierdzenie 17.6.14 (PH4 96). Jeśli elementy α1 , . . . , αs ∈ Φ tworzą bazę przestrzeni H ∗ = Homk (H, k), to dowolny element α ∈ Φ ma postać α = c1 α1 + · · · + cs αs , gdzie c1 , . . . , cs ∈ Q. Stąd można otrzymać: Wniosek 17.6.15. dimQ EH = dimk H ∗ , 17.7 H ∗ ≈ EH ⊗Q k. Klasyfikacja prostych i półprostych algebr Liego Niech L będzie skończenie wymiarową półprostą algebrą Liego nad algebraicznie domkniętym ciałem k charakterystyki zero. Niech H będzie podalgebrą Cartana w L. Wiemy, że z algebrą H stowarzyszony jest zredukowany system pierwiastków ΦH = Φ. Z systemem ΦH stowarzyszony jest natomiast V -graf ΓH . Obiekty te są wyznaczone jednoznacznie, z dokładnością do izomorfizmu. Jeśli H i H 0 są podalgebrami Cartana w L, to istnieje automorfizm Liego ϕ : L −→ L taki, że ϕ(H) = H 0 i wtedy mamy indukowane izomorfizmy: ΦH ≈ ΦH 0 , ΓH ≈ ΓH 0 . Ta jednoznaczność jest jeszcze w głębszym sensie: Stwierdzenie 17.7.1. Załóżmy, że L i L0 są izomorficznymi, półprostymi k-algebrami Liego (skończenie wymiarowymi). Istnieje wtedy k-izomorfizm Liego ϕ : L −→ L0 ustalający izomorfizm odpowiednich algebr Cartana H, H 0 oraz zredukowanych systemów pierwiastków ΦH , ΦH 0 , jak również V -grafów ΓH , ΓH 0 . Istnieje więc wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy rozważanymi obiektami. Co więcej, jeśli V -grafy odpowiednich półprostych algebr Liego L i L0 są izomorficzne, to istnieje izomorfizm kalgebr Liego L −→ L0 indukujący izomorfizmy odpowiednich zredukowanych systemów pierwiastków, podalgebr Cartana, itd. Przy tej odpowiedniości prostym algebrom Liego odpowiadają nierozkładalne systemy pierwiastków i konsekwentnie, spójne V -grafy czyli (na mocy Twierdzenia 16.5.1) diagramy Dynkina. Istnieje zatem pełna klasyfikacja prostych, skończenie wymiarowych, algebr Liego na algebraicznie domkniętym ciałem charakterystyki zero (np. nad ciałem C liczb zespolonych). Każda półprosta, skończenie wymiarowa, k-algebra Liego jest sumą prostą prostych algebr Liego. Rozkład jest jednoznaczny. Mamy zatem pełną klasyfikację wszystkich półprostych (skończenie wymiarowych) algebr Liego na algebraicznie domkniętym ciałem charakterystyki zero. Spójrzmy jeszcze raz na diagramy Dynkina (Twierdzenie 16.5.1). Z powyższych rozważań wynika, że istnieje nieskończenie wiele, parami nieizomorficznych, prostych k-algebr Liego (skończenie 112 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa wymiarowych). Są cztery nieskończone serie, odpowiadające diagramom An , Bn , Cn , Dn oraz pięc ”sporadycznych” algebr, odpowiadających diagramom E6 , E7 , E8 , F4 i G2 . Wymiary (nad k) algebr sporadycznych wynoszą odpowiednio: 84, 133, 248, 52 i 14. Algebry Liego (wraz z ich wymiarami d i nazwami) odpowiadające nieskończonym seriom przedstawiają się następująco: An : {X ∈ gln+1 (k); trX = 0} d = n2 + 2n (specjalna), Bn : {X ∈ gl2n+1 (k); XB + B T X = 0} d = 2n2 + n (ortogonalna), Cn : {X ∈ gl2n (k); XC + C T X = 0} d = 2n2 + n (symplektyczna), Dn : T {X ∈ gl2n (k); XD + D X = 0} 2 d = 2n − n (ortogonalna). Macierze B, C, D, występujące powyżej, są odpowiednio (2n + 1 × 2n + 1), (2n × 2n), (2n × 2n) macierzami zdefiniowanymi następująco: 1 0 0 0 En 0 En 0 En , C = B= 0 , D= , −En 0 En 0 0 −En 0 gdzie En jest (n × n)-macierzą jednostkową. Tak jest dla ciała algebraicznie domkniętego, charakterystyki zero (w szczególności dla C). Istnieje również klasyfikacja prostych, skończenie wymiarowych, algebr Liego nad ciałem R, liczb rzeczywistych. W tym przypadku mamy 12 nieskończonych serii (wśród których są cztery powyższe serie) oraz 23 algebry sporadyczne (patrz np. [15] 106). Literatura 113 Literatura [1] R. Abraham, J. E. Marsden, T. Ratiu, Manifolds, Tensor Analysis and Applications, AddisonWesley Publ. Comp., 1983. [2] L. Auslander, R. E. Mac Kenzie, Introduction to differentiable manifolds, McGraw-Hill Book Company, 1963 (Przekład polski: Rozmaitości różniczkowalne, PWN, Warszawa 1969). [3] N. Bourbaki, Groupes et Algebras de Lie, I, II, III, Herman Paris, 1972 (tł. ros. Moskwa 1976). [4] K. Cegiełka, Geometria różniczkowa, Skrypt UW, Warszawa, 1981. [5] L. M. Drużkowski, Henri Poincaré - matematyk, fizyk, astronom i filozof, Wiadomości Matematyczne 30(1993), 73 - 84. [6] R. Duda, Wprowadzenie do topologii, Część II, Topologia algebraiczna. Topologia rozmaitości, PWN, Warszawa, 1986. [7] R. Engelking, Zarys topologii ogólnej, PWN, Warszawa, 1965. [8] R. Engelking, Topologia ogólna, PWN, Warszawa, 1975. [9] R. Engelking, K. Sieklucki, Geometria i topologia, PWN, Warszawa, 1980. [10] J. Gancarzewicz, Geometria różniczkowa, PWN, Warszawa, 1987. [11] M. Goto, F. D. Grosshans, Semisimple Lie Algebras, Marcel Deker, Inc., 1978 (tł. ros., MIR, Moskwa, 1981). [12] M. J. Greenberg, Lectures on Algebraic Topology, W. A. Benjamin, Inc., 1967 (tł. polskie PWN, Warszawa, 1980). [13] J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer-Verlag, New York Heidelberg Berlin, 1972. [14] J. E. Humphreys, Linear Algebraic Groups, Springer-Verlag, New York Heidelberg Berlin, 1981. [15] A. A. Kirillow, Elementy teorii predstawlenij, Nauka, Moskwa 1972. [16] Cz. Kosniowski, A first course in algebraic topology, Cambridge University Press, 1980 (tł. rosyjskie Moskwa MIR, 1983). [17] Matematyczna Encyklopedia, Tomy 1 - 5, Moskwa, 1977 - 1985. [18] A. Nowicki, Polynomial derivations and their rings of constants, UMK, Toruń, 1994. [19] A. Nowicki, Moduł różniczek, Preprint 1995. [20] A. Nowicki, Elementy geometrii algebraicznej, Preprint 1995. [21] A. Prószyński, Algebry Liego, Wykład D. Simsona, Zeszyt 1977 - 1978. [22] A. Prószyński, Topologia różniczkowa, Wykład S. Balcerzyka, Zeszyt 1971 - 1972. [23] A. Prószyński, Wiązki wektorowe, Zeszyt. [24] M. Skwarczyński, Geometria rozmaitości Riemanna, PWN, Warszawa, 1993. [25] M. Spivak, Analiza na rozmaitościach, Warszawa, 1977. [26] F. W. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer-Verlag, 1983 (tł. rosyjskie: Moskwa 1987). [27] W. Wojtyński, Grupy i algebry Liego, PWN, Warszawa, 1986. Skorowidz algebra form różniczkowych 65 funkcji ciągłych 22 gładkich 35 ograniczonych 23 Liego 62, 97 grupy Liego 85, 93 ilorazowa 98, 110 łączna 98 małego wymiaru 99 nilpotentna 102 ortogonalna 89, 99, 117 półprosta 110, 117 prosta 110 przemienna 97, 113 rozwiązalna 102, 110 specjalna 89, 99, 111, 117 specjalna ortogonalna 89, 99 specjalna unitarna 90 symplektyczna 90, 99, 117 trójkątna 99, 102-103 trójkątna z zerami 99 unitarna 90 atlas 2, 33 maksymalny 33 automorfizm 38 liniowy 26, 29 Balcerzyk St. 23 baza derywacji lokalnych 44, 68 lokalna 58 modułu przekrojów 58 brzeg kostki 14 butelka Kleina 5 całkowanie pól wektorowych 75 centralizator 113 centrum algebry Liego 98, 100 algebry Liego 113 ciało kwaternionów 81 coordinate transformations 29 cylinder 4 derywacja 23, 41, 57, 68 algebry Liego 100 wewnętrzna 100, 111 lokalna 23, 41, 48, 55, 68 modułu 41 niezmiennicza 85, 87 pierścienia funkcji gładkich 58, 68, 85 diagram Dynkina 109, 117 droga 7, 9 odwrotna 9 stała 9 zamknięta 9 dyfeomorfizm 34, 78, 91 działanie funktora na wiązkę 63 grupy na przestrzeń topologiczną 3-4, 15 na zbiór 15 wolne 18 wspólnie rozłączne 17-18 exp 92 forma df 65, 70 dokładna 73 Killinga 104, 110, 112, 115 różniczkowa 65, 71 wyższego rzędu 72 zamknięta 73 formalne rozwiązanie 78 Friedman M. 14 funkcja analityczna 33 gładka 34-35 odwracalna 22 przejścia 29, 53, 63 różniczkowalna 31 funktor addytywny 63 ciągły 63 grupy podstawowej 11 homologii 9 kontrawariantny 20, 25, 35-36, 39, 63 kowariantny 28, 63, 95 G-przestrzeń 16-17, 19 G-zbiór 15 Gleason 96 graf-Coxetera 108 grupa abelowa 13, 19 addytywna liczb wymiernych 19 cykliczna 13, 19 dyfeomorfizmów 78, 92 formalna 94 homotopii 11 wyższa 14 ilorazowa 13 kohomologii 66 Liego 81, 93 analityczna 96 GLn(C) 81 GLn(R) 81, 86 jednospójna 93 lokalna 91, 93 przekształceń afinicznych 81 Rn 85 114 Indeks 115 rozwiązalna 102 specjalna 89 specjalna ortogonalna 89 specjalna unitarna 90 spójna 93 symplektyczna 90 symplektyczna liniowa 90 unitarna 89 zwarta 90 multyplikatywna 81 podstawowa 9, 11, 18 skończona 16-17 topologiczna 6, 13, 81, 96 Weyla 106 gwiaździsty zbiór 74 unitarna 89 maksymalny torus 114-115 mapa 2 moduł form różniczkowych 64-65, 72 pól wektorowych grupy Liego 84 projektywny 30 przekrojów 28, 58, 83 różniczek 24, 72 wolny 30, 68, 84 Montgomery D. 96 morfizm przestrzeni stycznych 50 rodzin wektorowych 27 wiązek wektorowych 29 hipoteza Poincar’e 14 homomorfizm ad 100, 111 algebr Liego 97 grup Liego 81 lokalnych grup Liego 91 reprezentacji algebr Liego 101 homotopia 9 odwzorowań 12 homotopijna równoważność 4, 13 dróg 9 nakrycie 5-6, 17-18, 93 uniwersalne 93 naleśniki 7 nawias Liego 62, 70 Liego 97 niezmiennik typu homotopii 13 gładkich dyfeomorfizmów 39 homeomorfizmów 25 nośnik 1, 23 ideał Liego 98, 110 rozwiązalny 110 maksymalny 22, 24, 37-38 iloczyn skalarny 30, 116 iloczyn wektorowy 101-102 jednoparametrowa grupa dyfeomorfizmów 78, 92 Jordan 7 kategoria Grothendiecka 102 kąt między wektorami 105 kiełek 24, 38 kompleks de Rhama 66, 73, 80 koniec drogi 9 krzywa 46, 53, 67 całkowa 75-76, 92 formalna 78 Jordana 7 równoważność 46 L-moduł 102, 110 lemat Schura 111 lokalny homeomorfizm 5 macierz Cartana 108 Jacobiego 32 ortogonalna 89 odwzorowanie wykładnicze 92 ograniczenie 20 rodziny wektorowej 27 wiązki 57 okrąg 81 orbita 15 Peano 7 pętla 9 pierścień kiełków ciągłych 24 gładkich 38 kołowy 13 lokalny 24, 38 ułamków 42 pierwiastek dodatni 107 prosty 107 pochodna 31 cząstkowa 32 mieszana 32 początek drogi 9 podalgebra Cartana 113-114 Liego 98 podwiązka 30 Poincaré H. 9, 14 pokrycie 2, 20 lokalnie skończone 1-2 trywializujące 29 wpisane 1 pole wektorowe 57-58, 69, 75 nawias Liego 62, 70 116 niezmiennicze 82 specjalne 79, 92 potęga zewnętrzna 64-65 potok 78 formalny 78 powierzchnia 5, 18 presnop 20-21 produkt algebr Liego 98 G-przestrzeni 16 grup Liego 82 przestrzeni topologicznych 1 rozmaitości różniczkowych 34 Prószyński 94 Prószyński A. 30 przekrój rodziny wektorowej 28 wiązki 57 przestrzeń derywacji lokalnych 41, 68 liniowa M(s)/M(s+1) 42 nakrywająca 93 orbit 3-4, 15, 17-18 rzutowa 2, 5, 13, 16-17 styczna 46, 48, 67 topologiczna dyskretna 5, 22 Hausdorffa 1, 17-19, 34 ilorazowa 1-5, 15 jednospójna 12-13, 18 lokalnie zwarta 1, 34 łukowo spójna 11-12, 34 metryczna 1, 6 nakrywająca 5 normalna 1 ośrodkowa 1, 34, 37 parazwarta 1-2, 30, 34, 37-38 quasi-zwarta 17 spójna 3-4, 18, 29, 34 ściągalna 12 Tichonowa 1, 23 wektorowa 26 zwarta 1, 3, 17-18, 22, 30, 37, 77, 79, 90 przesunięcie 82 punkt bazowy 11 radykał algebry Liego 110, 113 reprezentacja algebry Liego 101, 111 skończenie wymiarowa 101 wierna 101 retrakt 13 rodzina lokalnie skończona 1 wektorowa 27 trywialna 27 zgodna 20 root space decomposition 115 rozkład Cartana 115 Indeks rozkład Cartana-Levi-Malceva 113 rozkład jedności 1, 37 rozmaitość gładka 34 Grassmanna 40 R1 75 Rn 67, 76, 85 różniczkowa 33 topologiczna 2-3, 18, 33 spójna 5 zwarta 5 równoważność krzywych 46 metryk 6 różniczka 31 odwzorowania 50 sfera 7-9, 13, 62, 81 sklejanie 21 Smale S. 14 snop 20-21 rozmaitości 37 stabilizator 16, 18 struktura różniczkowa 33 suma powierzchni 5 systemów pierwiastków 108 Whithey’a 30 wiązek 30 system pierwiastków nierozkładalny 108 zredukowany 105, 115 pierwiastków 105 teoria homotopii 62 równań różniczkowych 76 snopów 21 topologia przestrzeni wektorowej 26 toral subalgebra 114 torus 5, 13, 17, 113 tożsamość Jacobiego 62, 97 twierdzenie Ado 101, 103 Borsuka i Ulama 8 Brouwera 13 Cartana 93, 98, 104, 110, 115 Cartana-Levi-Malceva 113 de Rhama 66, 73 Dynkina 109 Engela 103 Frobeniusa 80 Jordana 7 Lie-Kolchina 103 Liego 94 Milnora 30 o istnieniu krzywych całkowych 76 o kanapce 8 o monodromii 92 Indeks o zaczesaniu 62 Poincaré 14, 74 Weyla 110 Whitney’a 40 typ homotopii 13 układ równań różniczkowych 76 autonomiczny 76, 78 formalny 77 p-wymiarowy 80 stacjonarny 76, 78 V-graf 108 wiązka wektorowa 29 gładka 57 kostyczna 64 styczna 53, 55, 69, 75 trywialna 30, 84 włókno 27 współczynnik Cartana 105 wstęga Möbiusa 3-4, 13, 16 wymiar grupy Liego 81, 90 rozmaitości 33 Zippin 96 117