Kinematyka: opis ruchu

Kinematyka: opis ruchu
Pojęcia podstawowe
Punkt materialny
Ciało, którego rozmiary można w danym zagadnieniu zaniedbać.
Zazwyczaj przyjmujemy, że punkt materialny powinien być dostatecznie mały. Nie jest to jednak
konieczne! Przykłady: wagon kolejowy na torach albo "wózek" na torze powietrznym. Ważne jest,
żeby ciało nie miało dodatkowych "stopni swobody" (np. obroty, drgania własne, stany wzbudzone).
Położenie punktu materialnego całkowicie określa jego "stan".
pojęcie punktu materialnego umożliwia prosty opis wielu sytuacji fizycznych.
Naogół przyjmujemy, że punkt materialny obdarzony jest masą.
Ruch
Zmiana położenia ciała względem wybranego układu odniesienia.
Z punktu widzenia fizyki nie możemy nic powiedzieć o ruchu obserwowanego ciała póki nie
odniesiemy go do jakiegoś innego obiektu. Oczywiście sami możemy uznać się za właściwy układ
odniesienia, ale jest to wybór, który może istotnie wpłynąć na opisywany ruch…
Układ odniesienia
Musimy wybrać ciało, które potraktujemy jako "punkt odniesienia". Najczęściej jest nim Ziemia…
Układ odniesienia można też zdefiniować określając jego położenie (lub ruch) względem wybranego
ciała lub grupy ciał.
Przykład:
układ środka masy zderzających się cząstek
układ związany ze środkiem Galaktyki
Układ współrzędnych
Układ współrzędnych
Służy do określenia położenia ciała w danym układzie odniesienia.
Położenie możemy zapisać na wiele różnych sposobów:
układ współrzędnych kartezjańskich:
układ współrzędnych biegunowych:
układ współrzędnych walcowych:
Tor ruchu
Tor ruchu
Opisuje zmianę położenia ciała w czasie. W ogólnym przypadku tor zapisujemy w tzw. postaci
parametrycznej:
Wektor położenia ciała
(wszystkie jego współrzędne) wyrażamy jako funkcje czasu.
W szczególnych przypadkach możliwe jest odwrócenie jednej z zależności, na przykład:
Gdy czas wyrazimy jako funkcję współrzędnej możemy uzyskać postać uwikłaną toru:
Funkcje
W fizyce bardzo często staramy się opisać zależności pomiędzy różnymi wielkościami w postaci
funkcyjnej. Na ogół do oznaczania funkcji używamy symbolu odpowiadającego danej wielkości
fizycznej, np.:
droga — s,
wysokość — h,
prędkość — v
Postać funkcyjna zależy jednak od wyboru argumentu funkcji! W przypadku opisu toru należy
zauważyć, że
i
to dwie różne funkcje(!) choć opisują tą samą wielkość fizyczną.
Prędkość średnia
Prędkość średnia
W odstępie czasu:
punkt materialny przemieścił się o:
Prędkość średnią definiujemy jako
Prędkość chwilowa
Praktycznie każdy pomiar prędkości musi trwać skończony okres czasu. Prawie zawsze mierzymy
więc prędkość średnią.
Prędkość chwilowa
Pojęcie prędkości chwilowej wprowadzamy jako graniczną wartość prędkości średniej dla
nieskończenie krótkiego czasu pomiaru,
:
Matematycznie odpowiada to definicji pochodnej:
Pochodna wektora
wektor pochodnych składowych tego wektora
Wartość prędkości:
Wektor prędkości chwilowej jest zawsze styczny do toru!
Przyspieszenie średnie
Przyspieszenie średnie
W odstępie czasu
prędkość zmienia się o:
Przyspieszenie średnie definiujemy (podobnie jak prędkość średnią) jako stosunek przyrostu
prędkości do odstępu czasu:
Przyspieszenie chwilowe
Przyspieszenie chwilowe
Podobnie jak w przypadku prędkości, przyspieszenie chwilowe definiujemy jako graniczną wartość
przyspieszenia średniego dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu:
Przyspieszenie chwilowe jest pochodną po czasie prędkości chwilowej:
Przyspieszenie opisuje "tempo" zmian prędkości…
Klasyfikacja ruchów
Ze względu na tor
Tor ruchu ciała może zakreślać dowolną krzywą w przestrzeni. W wielu zagadnieniach mamy jednak
do czynienia z torem, który jest dodatkowo ograniczony przez symetrię zagadnienia lub warunki
początkowe. Najchętniej zajmujemy się właśnie takimi przypadkami. W szczególności tor może być:
prostoliniowy, odbywający się wzdłuż lini prostej Zawsze możemy tak wybrać układ
współrzędnych aby
płaski, odbywający się w ustalonej płaszczyźnie Możemy tak wybrać układ współrzędnych aby
po okręgu
Ze względu na przyspieszenie
jednostajny
⇒ wartość prędkości pozostaje stała:
= const
jednostajnie przyspieszony
⇒ przyspieszenie jest stałe:
= const
Ruch jednostajny prostoliniowy
Najprostszy możliwy przypadek ruchu:
* Jednostajny:
* Prostoliniowy:
= const
= const
Prędkość w ruchu
jednostajnym
prostoliniowym
Wektor prędkości jest stały (nie zmienia wartości ani kierunku) czyli nie ma przyspieszenia.
Przyjmując, że ruch odbywa się wzdłuż osi X:
Położenie (przebyta droga) jest liniową funkcją czasu.
Drogi przebyte w równych odcinkach czasu są sobie równe.
Ruch prostoliniowy
Zależność drogi od prędkości
Wyznaczanie drogi z
zależności prędkości od
czasu
Przypadek ogólny ruchu prostoliniowego:
znamy prędkość
czy możemy wyznaczyć zależność położenia od czasu ?
Możemy sumować przesunięcia
Przesunięcie ciała w czasie
Przechodząc do granicy
po krótkich przedziałach czasu
.
:
:
Zależność położenia od czasu wyraża się przez całkę oznaczoną. Pojęcie całki oznaczonej ma bardzo
prostą interpretację graficzną: jest to pole pod krzywą zależności prędkości od czasu.
Ruch jednostajnie przyspieszony
Jednostajnie przyspieszony zdefiniowany jest poprzez warunek:
= const
Przyspieszenie opisuje zależność prędkości od czasu. Jeśli przyspieszenie jest stałe to prędkość musi
rosnąć liniowo z czasem:
Ruch jednostajnie przyspieszony prostoliniowy
Jaki warunek musi być spełniony, żeby ruch jednostajnie przyspieszony był prostoliniowy?
Ruch jest prostoliniowy wtedy gdy kierunek prędkości jest stały:
= const
= const
Aby ruch był prostoliniowy przyspieszenie musi mieć kierunek zgodny z kierunkiem prędkości.
Ruch prostoliniowy można opisać jako ruch jednowymiarowy wybierając oś układu odniesienia
wzdłuż kierunku ruchu
Przyspieszenie w ruchu
jednostajnie
przyspieszonym
Prędkość jest liniową funkcją czasu:
Prędkość w ruchu
jednostajnie
przyspieszonym
Położenie jest kwadratową funkcją czasu:
Przyjmijmy, że w chwili
ciało spoczywa:
.
Mierzymy drogę jaką ciało przebywa w równych przedziałach czasu:
Przebyta droga:
Uzyskujemy uniwersalną relację opisującą ruch jednostajnie przyspieszony prostoliniowy:
Drogi w kolejnych odcinkach czasu mają się do siebie jak kolejne liczby nieparzyste:
Przypadek ogólny
W ogólnym przypadku ruch jednostajnie przyspieszony nie jest prostoliniowy.
Ruch będzie się odbywał w płaszczyźnie przechodzącej przez
wektorów
i .
i wyznaczonej przez kierunki
Możemy wybrać układ współrzędnych tak aby:
Ruch w przestrzeni można wtedy opisać jako złożenie:
ruch jednostajnego (w kierunku osi X)
ruchu jednostajnie przyspieszonego (Y)
spoczynku (Z):
Formalnie możemy zapisać zależności współrzędnych przyspieszenia, prędkości i położenia od czasu
jako:
Ruch w polu grawitacyjnym
Rzut w polu
grawitacyjnym
Ruch ciała poruszającego się swobodnie w jednorodnym polu grawitacyjnym odbywa się ze stałym
przyspieszeniem:
gdzie dokonaliśmy wyboru układu współrzędnych jak na rysunku (oś X poziomo, oś Y pionowo).
Pole grawitacyjne Ziemi możemy przyjąć za jednorodne, jeśli badamy ruch na odległościach
W zależności od warunków początkowych wyróżniamy następujące rodzaje ruchu:
spadek swobodny:
rzut pionowy:
rzut poziomy:
rzut ukośny:
(ruch prostoliniowy)
(ruch prostoliniowy)
Spadek swobodny
Zdjęcie złożone z kolejnych klatek filmu, pokazujące spadek swobodny małej piłki na tle miarki:
Wyniki "domowych" pomiarów (odczytane ze zdjęcia):
Położenie zależy kwadratowo od czasu:
zakładając:
Rzut ukośny
Rzut ukośny
Zakładamy, ze w chwili
pod kątem do poziomu.
ciało wyrzucono z punktu
,
z prędkością
Niezależność ruchów:
ruch w poziomie jest ruchem jednostajnym, zależy tylko od
ruch w pionie jest ruchem jednostajnie przyspieszonym, zależy tylko od
Konsekwencje niezależności ruchów w X i Y:
rzut poziomy
⇒
⇒ czas spadania nie zależy od
:
skierowaną
dwa ciała o tym samym
⇒ taki sam ruch w poziomie:
Tor ruchu strugi wody
Tor w rzucie ukośnym:
torem ruchu jest parabola
Zasięg dla h=0:
największy zasięg dla
Ruch harmoniczny
(czyli
)
Zależność położenia od czasu w ruchu harmonicznym
Szczególny przykład ruchu drgającego. W ruchu harmonicznym zależność położenia od czasu jest
postaci:
Parametry
amplituda A
częstość kołowa
okres drgań
faza początkowa
Prędkość:
Przyspieszenie:
W ruchu harmonicznym spełniona jest zależność, którą nazywamy równaniem oscylatora
harmonicznego
ruch w jednym wymiarze
postać ogólna
Równanie oscylatora dobrze opisuje zachowanie bardzo wielu układów fizycznych:
ciężarek na sprężynie
wahadło matematyczne (dla małych wychyleń)
kamerton, struna, itp…
Równanie oscylatora harmonicznego jest przykładem równania różniczkowego.
Nasza wiedza nt. ruchu ciała przedstawiana jest często w postaci równan różniczkowych (równań
ruchu). Aby znaleźć opis ruchu ciała trzeba te równania rozwiązać.
Najczęsciej są to równania typu:
Ruch po okręgu
Położenie ciała może być opisane jedną zmienną:
kąt w płaszczyźnie XY —
długość łuku okręgu — s =
Wartość prędkości:
gdzie prędkość kątowa jest zdefiniowana jako pochodna kąta
po czasie:
Przyspieszenie kątowe definiujemy jako:
Ruch jednostajny po okręgu to ruch w którym przyspieszenie kątowe znika:
= const
V = const
ale
const
0 (!!!)
Prędkość w ruchu po okręgu w zapisie wektorowym:
Przyspieszenie liczymy jako pochodną (iloczynu):
Oprócz przyspieszenia stycznego
jest też przyspieszenie normalne
, opisującego zmianę
,
, odpowiedzialne za zmianę kierunku
w czasie.
przyspieszenie dośrodkowe
skorzystaliśmy z tożsamości:
gdzie
Ruch jednostajny po okręgu
Ruch jednostajny po okręgu to ruch w którym przyspieszenie styczne znika:
Ruch jednostajny po okręgu jest złożeniem dwóch niezależnych ruchów harmionicznych:
Ruch po okręgu
różnica faz
Ciekawostka:
Ruch harmoniczny można przedstawić jako złożenie dwóch ruchów po okręgu…
Efekt Dopplera
W przypadku fal dźwiękowych znamy z codziennego doświadczenia…
Jeśli źródło dźwięku jest nieruchome względem obserwatora, obserwator słyszy dźwięk o
niezmienionej częstości.
Jeśli źródło dźwięku porusza się względem obserwatora, obserwator słyszy dźwięk o wyższej lub
niższej częstości
Ruchome źródło
Przyjmijmy, że źródło dżwięku o częstości poruszające się z prędkością
względem ośrodka w którym prędkość dźwięku wynosi .
Dla uproszczenia: krótkie impulsy wysyłane co
:
— wysłanie pierwszego impulsu
— wysłanie drugiego impulsu
odległość między impulsami mierzona przez obserwatora jest sumą wkładów wynikających z
propagacji impulsu (z prędkością c) i ruchu źródła (z prędkością v):
Częstość dźwięku i długość fali
mierzona przez obserwatora nieruchomego względem ośrodka:
Ruchomy obserwator
Rozważmy teraz sytuacje, w której obserwator porusza się z prędkością
dżwięku
względem ośrodka i źródła
aby dogonić obserwatora kolejny impuls musi pokonać odległość równą sumie początkowej
odległości między impulsami i drogi jaką w tym czasie pokona obserwator
Mierzona częstość:
W klasycznym efekcie Dopplera zmiana częstości zależy nie tylko od względnej
prędkości źródła i obserwatora ale i ruchu względem ośrodka.
Ruch ośrodka
Przyjmijmy, że źródło dźwięku i obserwator są względem siebie w spoczynku. Niech ich prędkość
względem ośrodka wynosi
Częstość mierzona przez obserwatora jest wynikiem złożenia dwóch efektów Dopplera:
Częstość się nie zmienia, ale zmienia się czas miedzy wysłaniem a rejestrają impulsu:
Ruch ośrodka powoduje przesunięcie w fazie rejestrowanego dźwięku.
Przypadek ogólny
Zarówno źródło jak i obserwator poruszają się względem ośrodka.
Przypadek ogólny efektu
Dopplera
Jeśli znamy ruch źródła i obserwatora w układzie związanym z ośrodkiem:
To możemy wyznaczyć czas w jakim sygnał wyemitowany w chwili dotrze do obserwatora.
Zadany jest on przez warunek:
Jeśli równanie to można jednoznacznie rozwiązać to efekt Dopplera daje się wyrazić bardzo prostą
zależnością:
Przykład
Głośnik wirujący po okręgu, w płaszczyźnie obserwatora
Wirujący głośnik
Droga sygnału wyemitowanego w czasie :
Dla
:
Oczekiwana zależność od czasu amplitudy dźwięku rejestrowanego przez źródło i obserwatora
Głośnik nieruchomy
Głośnik wirujący
Choć średnia częstość mierzona przez obserwatora jest równa częstości źródła widoczna
jest wyraźna modulacja częstości…