funkcja indywidualnej użyteczności podatnika z - e

FUNKCJA INDYWIDUALNEJ UŻYTECZNOŚCI
PODATNIKA Z UWZGLĘDNIENIEM
OPTYMALIZACJI I OSZUSTW
PODATKOWYCH
Paweł Pankiewicz1
Streszczenie
W niniejszej pracy analizuję indywidualną funkcję użyteczności podatnika zdefiniowaną dla rozszerzonego
zbioru zmiennych – tj. konsumpcji, pracy oraz skłonności do uchylania się od opodatkowania. Funkcja ta
stanowi podstawę do badania procesu decyzyjnego podatnika przy założeniu, że w gospodarce występują dwie
metody redukcji zobowiązań podatkowych: a) dostęp do technik optymalizacji podatkowej, które mogą istotnie
obniżyć efektywny ciężar opodatkowania przy zachowaniu pełnej legalności działania, lecz jednocześnie
generują koszty transakcyjne, oraz b) możliwości popełnienia czynu zabronionego – w szczególności celowego
uchylania się od opodatkowania jako alternatywnej metody obniżania wysokości podatku do zapłaty, które nie
wymaga ponoszenia bezpośrednio kosztów transakcyjnych, naraża jednak podatnika na ryzyko sankcji
karnoskarbowych.
Klasyfikacja JEL: H21, H26
Słowa kluczowe: teoria opodatkowania, użyteczność podatnika, uchylanie się od opodatkowania
Nadesłany: 21.05.2011
Zaakceptowany: 29.09.2011
Wprowadzenie
Jednym z najważniejszych problemów współczesnej ekonomii sektora publicznego, jak
i polityki ekonomicznej jest kwestia optymalnego opodatkowania dochodu, majątku oraz
wydatków konsumpcyjnych. Tematyka ta obejmuje różnorodne kierunki badań, w tym m.in.
problem optymalnych skali w podatku dochodowym, tworzenie efektywnych systemów ulg i
zwolnień, definiowanie otoczenia instytucjonalnego dla ochrony źródeł dochodów
budżetowych przed działaniami sprzecznymi z prawem czy też modele ekonomiczne
procesów decyzyjnych podatnika w interakcji z organami podatkowymi.
J. A. Mirrlees uważany jest za jednego z twórców współczesnej teorii optymalnego
opodatkowania. W swojej pionierskiej pracy (Mirrlees, 1971, s. 176) przedstawił on ogólny
model matematyczny opisujący problem maksymalizacji dobrobytu społecznego dla
abstrakcyjnego społeczeństwa składającego się z jednostek maksymalizujących poziom
indywidualnej użyteczności, która determinowana była ilością czasu poświęcaną na pracę
(która generowała przychód z pracy podlegający opodatkowaniu) oraz poziomem
realizowanej konsumpcji.
1
Mgr Paweł Pankiewicz jest doktorantem na Wydziale Finansów Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie,
pracuje również jako specjalista ds. podatków w firmie Tele-Fonika Kable Sp. z o.o. S.K.A., ul. Wielicka 114,
30-663 Kraków, adres email: [email protected].
57
Finansowy Kwartalnik Internetowy „e-Finanse” 2011, vol. 7, nr 3
www.e-finanse.com
Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania w Rzeszowie
Ul. Sucharskiego 2
35-225 Rzeszów
NUMER DOFINANSOWANY PRZEZ MINISTERSTWO NAUKI I SZKOLNICTWA WYŻSZEGO
Model Mirrleesa doczekał się licznych rozszerzeń i modyfikacji w kolejnych pracach. Wśród
autorów rozwijających te koncepcje Sadka (1976) udowodnił, że warunkiem koniecznym
wystąpienia optimum funkcji dobrobytu społecznego przy uwzględnieniu indywidualnych
funkcji użyteczności z ograniczeniem w postaci celu fiskalnego (tj. osiągnięcia odpowiedniej
wysokości dochodów budżetu centralnego) jest krańcowa stawka podatku dochodowego na
poziomie wyższym niż 0%, ale niższym niż 100%.
Cremer, Pestieau i Rochet (2001) analizowali efektywność podatków bezpośrednich
w porównaniu z pośrednimi przy uwzględnieniu heterogenicznej struktury indywidualnych
zdolności zarobkowych. W jednym z nowszych opracowań (Simula and Trannoy, 2010,
s. 172) założenie modelu Mirrleesa o występowaniu zamkniętej gospodarki zostało uchylone,
a wpływ efektów migracji najwyżej zarabiających jednostek na optymalne strategie
opodatkowania poddane zostały gruntownej analizie.
Optymalne, nieliniowe modele opodatkowania były również analizowane w świetle
występowania zjawiska uchylania się od opodatkowania2, z których najciekawsze
uwzględniają psychologiczne i socjologiczne determinanty zachowań sprzecznych z prawem
w relacji z organami podatkowymi (Dell’Anno, 2009, s. 989-990).
Pomimo występowania w literaturze wielu znakomitych prac dotyczących wpływu oszustw
podatkowych na systemy opodatkowania (zarówno w ujęciu globalnym, jak i dla
pojedynczych podatników) względnie niewiele uwagi poświęconoformalnej konstrukcji
indywidualnej funkcji podatnika, która uwzględniałaby (przy zachowaniu nadal wysokiego
poziomu ogólności) nie tylko standardowe zmienne, tj. konsumpcję, pracę czy stawkę
wynagrodzenia, lecz również otoczenie instytucjonalne, w którym działa podatnik, w
szczególności dostęp do usług doradczych (i tym samym dostęp do nowych rozwiązań
finansowych jak optymalizacja podatkowa) oraz występowanie oszustw podatkowych (które
podobnie jak optymalizacja obniżają wysokość uiszczanych zobowiązań publicznoprawnych,
narażają jednak podatnika na ryzyko sankcji karnoskarbowych).
Niniejszy artykuł składa się z czterech części. Po pierwsze, przedstawiam niezbędne
założenia, które są później wykorzystywane przy definiowaniu dalszych elementów modelu.
W drugiej części artykułu znajduje się zarys problemu decyzyjnego podatnika, w
szczególności kwestia rozstrzygnięcia, czy racjonalne jest wykorzystanie usług doradztwa
podatkowego i/lub metod uchylania się od opodatkowania w celu optymalizacji efektywnej
stawki podatku dochodowego? Jeśli tak, do jakiego stopnia metody te powinny być
stosowane. W trzeciej części indywidualna skłonność podatnika do uchylania się od
opodatkowania poddana jest dokładniejszej analizie z podaniem niektórych jej własności.
Ostatni rozdział zawiera krótkie podsumowanie, konkluzje i wskazówki dla dalszych badań.
2
Należy rozgraniczyć pojęcia „uchylanie się od opodatkowania” i „unikanie opodatkowania”. Pierwsze pojęcie
odnosi się do sprzecznych z prawem i nieetycznych działań, które mają na celu zredukowanie efektywnego
obciążenia podatkowego (przykładowo, przez ukrywanie części przychodów podlegających opodatkowaniu
przez organami). Drugie pojęcie dotyczy działań, które niekoniecznie są nielegalne; obejmuje ono wszelkie
strategie (w tym m.in. – osiągane dzięki optymalizacji podatkowej), które służą obniżeniu wysokości należnych
podatków przy zachowaniu wszelkich ograniczeń wynikających z przepisów obowiązującego prawa oraz
powszechnie uznawanych zasad postępowania.
58
Finansowy Kwartalnik Internetowy „e-Finanse” 2011, vol. 7, nr 3
www.e-finanse.com
Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania w Rzeszowie
Ul. Sucharskiego 2
35-225 Rzeszów
NUMER DOFINANSOWANY PRZEZ MINISTERSTWO NAUKI I SZKOLNICTWA WYŻSZEGO
Model
Maksymalizacja indywidualnej użyteczności podatnika rozpatrywana jest zwykle w oparciu
o standardową funkcję dwóch zmiennych – pracy i konsumpcji, która była wielokrotnie
przedmiotem szczegółowych analiz (Ebert, 1992, s. 50). W tej części pracy funkcja
użyteczności podatnika zostanie rozszerzona o dodatkową zmienną i w takim ujęciu będzie
wykorzystywana w dalszej analizie.
Niech:
i
w całej .
y  u (c, l ,  ) , gdzie
gdzie: c = poziom realizowanej konsumpcji przez podatnika
l
= Czaspoświęconynapracę
= indywidualna skłonność do uchylania się od opodatkowania,
(1)

Powyższy zapis tworzy podstawę indywidualnej funkcji użyteczności podatnika z uchylaniem
się od opodatkowania jako zmienną niezależną. Załóżmy, że całkowity czas do wykorzystania
przez podatnika wynosi t. Czas ten musi być dzielony między pracę (l) oraz odpoczynek (r).
Dalej w tekście zakłada się, że każda jednostka czasu poświęcona na pracę generuje pewien
nominalny dochód na poziomie . Oprócz tego podatnik osiąga dodatkowe przychody z
wielorakich źródeł (np. z systemu zabezpieczenia społecznego, darowizn itd.), które łącznie
wynoszą m. Dla zapewnienia uproszczenia obliczeń dodatkowe założenie nakłada na m taki
sam reżim opodatkowania jak na przychody z pracy.
Założenie, że
umożliwia nam analizę funkcji w oparciu o pochodne cząstkowe.
Przedtem zakładamy jednak następujące trzy aksjomaty, które wynikają z teorii ekonomii:
1) przy innych zmiennych na stałym poziomie wzrost konsumpcji powoduje wzrost
całkowitej użyteczności podatnika; ciągłe przyrosty realizowanej konsumpcji dają
coraz mniejsze przyrosty całkowitej użyteczności, przy czym krańcowa użyteczność
względem konsumpcji jest dodatnia w całej dziedzinie funkcji,
2) przy innych zmiennych na stałym poziomie wzrost wartości czasu poświęconego na
pracę generuje wzrost poziomu osiąganej użyteczności,
3) przy innych zmiennych na stałym poziomie wzrost skłonności do uchylania się od
opodatkowania generuje wzrost całkowitej użyteczności podatnika, nie mniej jednak
krańcowa użyteczność podatnika wraz ze wzrostem tej zmiennej maleje i może
potencjalnie osiągać wartości ujemne (co prowadzi per saldo do spadku całkowitej
użyteczności podatnika po przekroczeniu pewnej krytycznej wartości ).
Dodatkowo, w dalszej analizie zakłada się, że :
1) cały dochód po opodatkowaniu przeznaczany jest przez podatnika na konsumpcję
(nabycie towarów i usług), która w ujęciu agregatowym wyrażona jest w wysokości
bieżącej konsumpcji dobra doskonałego (c), które nabywane jest po pewnej stałej
cenie jednostkowej p. Powyższe założenie może wydawać się skrajnie nierealistyczne,
nie mniej jednak z formalnego punktu widzenia możliwa jest transformacja koszyka
dóbr nabywanych po różnych cenach rynkowych w homogeniczny koszyk wyceniany
według średniej ważonej.
2) każdy podatnik cechuje się pewną indywidualną skłonnością do uchylania się od
opodatkowania. To założenie może wywoływać kontrowersje, jednak występowanie
59
Finansowy Kwartalnik Internetowy „e-Finanse” 2011, vol. 7, nr 3
www.e-finanse.com
Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania w Rzeszowie
Ul. Sucharskiego 2
35-225 Rzeszów
NUMER DOFINANSOWANY PRZEZ MINISTERSTWO NAUKI I SZKOLNICTWA WYŻSZEGO
zjawiska oszustw podatkowych w celu zmniejszenia lub całkowitego wyeliminowania
ciężaru zobowiązań podatkowych nie może być zakwestionowane. W niniejszym
modelu podatnik wybiera wartość , która oznacza jego indywidualne nastawienie do
uchylania się od podatku. Ściślej, wartość ta informuje o tym, jaką część dochodu
podlegającego opodatkowaniu podatnik ukrywa przed fiskusem. Takie postępowanie
oczywiście zwiększa wartość bieżącego, rozporządzalnego dochodu, jednakże
jednocześnie wiąże się z ryzykiem wszczęcia postępowania podatkowego i nałożenia
sankcji fiskalnych3,
3) przyjmujemy, że wszystkie dochody opodatkowane są jedną stawką podatku w
wysokości ,
4) każdy podatnik ma dostęp do usług doradztwa podatkowego, dzięki którym może on
wdrożyć korzystną dla siebie i w pełni legalną strategię optymalizacyjną. Strategia
taka może obniżyć efektywną stawkę podatku od dochodu do poziomu
, jednak
korzystanie z tych usług generuje pewne koszty dla podatnika w wysokości cT,
5) ryzyko nałożenia sankcji na podatnika i innych negatywnych konsekwencji oznaczane
jest w modelu jako zmniejszenie wartości dochodu zależnego od przyjętej zmiennej  i
dla pewnego parametru > 04.
Problem optymalizacyjny
Racjonalnie działający podatnik dąży do maksymalizacji swojej indywidualnej funkcji
użyteczności przy zadanym ograniczeniu budżetowym. Formalnie można to zapisać
następująco:
{
.
(2)
Dla zbadania rozwiązalności problemu (2) wygodnie jest użyć mnożnika Lagrange’a.
W pierwszym kroku definiujemy funkcję:
(3)
gdzie :
= mnożnikLagrange’a
= funkcjaLagrange’a
Dla spełnienia warunków koniecznych istnienia maksimum dla funkcji L wszystkie pierwsze
pochodne cząstkowe tej funkcji względem wszystkich zmiennych – l, c, i muszą równać
się zero. Mamy zatem:
3
Sankcyjna stawka podatku dochodowego od dochodów nieujawnionych wynosi w Polsce 75%. Pomijamy w
analizie inne sankcje – odsetki za zwłokę czy kary i środki karne wymierzane w postępowaniu karnoskarbowym.
Dla uproszczenia można przyjąć, że wartość „sankcyjnego podatku” do zapłacenia odpowiada ogólnemu
ciężarowi sankcji, jakie spadają na podatnika uchylającego się od opodatkowania dochodu.
4
Symbol ten oznacza uśrednioną stopę sankcji podatkowych w badanym okresie.
60
Finansowy Kwartalnik Internetowy „e-Finanse” 2011, vol. 7, nr 3
www.e-finanse.com
Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania w Rzeszowie
Ul. Sucharskiego 2
35-225 Rzeszów
NUMER DOFINANSOWANY PRZEZ MINISTERSTWO NAUKI I SZKOLNICTWA WYŻSZEGO
(4)
.
Po obliczeniu właściwych pochodnych mamy:
(5)
{
Warunki wystarczające dla maksimum są spełnione, jeśli wszystkie nierówności według
formuły poniżej są spełnione (Tokarski 2011, s. 36):
(6)
⋀
{
}
gdzie: mi
= i-ty minor główny H(L)
H(L) = obrzeżony Hesjan dla funkcji Lagrange’a L
H(L) przedstawić można jako:
(7)
[
]
Indywidualna skłonność do uchylania się od opodatkowania
Co determinuje wysokość ? Czy występują warunki, przy spełnieniu których uchylanie się
od opodatkowania byłoby racjonalne niezależnie od obiekcji natury etycznej i moralnej? w
celu odpowiedzi na te pytania można przeanalizować formułę na wartość
w punkcie
stacjonarnym funkcji L.
61
Finansowy Kwartalnik Internetowy „e-Finanse” 2011, vol. 7, nr 3
www.e-finanse.com
Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania w Rzeszowie
Ul. Sucharskiego 2
35-225 Rzeszów
NUMER DOFINANSOWANY PRZEZ MINISTERSTWO NAUKI I SZKOLNICTWA WYŻSZEGO
W tym celu należy wykorzystać równania z warunków koniecznych:
(8)
{
Twierdzenie 1.
W punkcie stacjonarnym funkcji L optymalna wartość  zadana jest tożsamością:
(9)
Dowód.
Po dokonaniu niezbędnych przekształceń w oparciu o (8) mamy:
(10)
Zatem:
(
)
(11)
co ostatecznie prowadzi do (9), co kończy dowód.
Dysponując wzorem na indywidualną skłonność do uchylania się od opodatkowania, można
zapytać o warunki, przy których osiąga wartości dodatnie5.
Twierdzenie 2.
|
|
|
|
(12)
gdzie: MRS = krańcowa stopa substytucji konsumpcji względem pracy
5
Przypadki, dla których
dają wgląd w zjawisko, które może być określone jako racjonalizację oszustwa.
Działania podatnika zakładające pewne niezerowe wartości skłonności do uchylania się od opodatkowania mogą
być ekonomicznie istotne i racjonalne niezależnie od wątpliwości natury etyczno-moralnej, niemniej jednak
dwutorowa redukcja kosztów i ryzyka związana z oszustwami podatkowymi (po stronie rządu przez
zmniejszanie kosztów finansowania administracji podatkowej w celu zapewnienia maksymalnej wydajności
fiskalnej po stronie podatników – przez zapewnienie stabilności, budowania relacji zaufania i pewności w
obrocie gospodarczym) zwiększa dobrobyt społeczny w sensie Pareta (Bayer i Sutter 2009, s. 527).
62
Finansowy Kwartalnik Internetowy „e-Finanse” 2011, vol. 7, nr 3
www.e-finanse.com
Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania w Rzeszowie
Ul. Sucharskiego 2
35-225 Rzeszów
NUMER DOFINANSOWANY PRZEZ MINISTERSTWO NAUKI I SZKOLNICTWA WYŻSZEGO
Dowód.
Dla
wystarcza, by zarówno licznik, jak i mianownik ułamka były jednocześnie dodatnie
lub ujemne (z dodatkowym zastrzeżeniem, że mianownik jest różny od zera). Na bazie
wcześniejszych założeń mamy
i
, a pozostałe parametry są z definicji dodatnie,
zatem jedynym warunkiem do spełnienia pozostaje licznik większy od zera. Innymi słowy:
(13)
Ponieważ
, możemy wykorzystać w notacji wartość bezwzględną (moduł):
|
Po podzieleniu przez
|
|
|
(14)
mamy:
(15)
| |
|
| |
|
Z ekonomicznej definicji MRS otrzymujemy ostatecznie:
|
|
|
|
(15)
co kończy dowód.
Otrzymane wyniki mogą być interpretowane w następujący sposób:
1) uchylanie się od opodatkowania staje się racjonalne z punktu widzenia podatnika we
wszystkich tych przypadkach, gdy krańcowa stopa substytucji konsumpcji względem
pracy jest mniejsza (w ujęciu bezwzględnym) od realnej stawki płacy za jednostkę
czasu poświęconą na pracę po opodatkowaniu,
2) wykorzystanie efektywnej optymalizacji podatkowej (za pomocą doradztwa
podatkowego) staje się czynnikiem hamującym indywidualną skłonność do uchylania
się do opodatkowania w tak dużym stopniu, w jakim obniża się efektywna stawka
opodatkowania po optymalizacji, tj.
.
Konkluzje
Zaprezentowany model stanowi prosty przykład problemu optymalizacyjnego dla
indywidualnego podatnika szukającego możliwości obniżenia efektywnego ciężaru
zobowiązania podatkowego. Zasygnalizowany problem konieczności ujmowania w analizach
tego rodzaju czynników takich jak oszustw podatkowych czy dostępu do doradztwa
podatkowego powinien być dalej rozwijany i zbadany bardziej szczegółowo w kolejnych
pracach. W szczególności poniższe problemy wydają się być ciekawym obiektem analiz:
63
Finansowy Kwartalnik Internetowy „e-Finanse” 2011, vol. 7, nr 3
www.e-finanse.com
Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania w Rzeszowie
Ul. Sucharskiego 2
35-225 Rzeszów
NUMER DOFINANSOWANY PRZEZ MINISTERSTWO NAUKI I SZKOLNICTWA WYŻSZEGO
1) zachowanie podatnika w otoczeniu różnych poziomów doradztwa podatkowego
dostępnych po zróżnicowanych cenach,
2) problem maksymalizacji użyteczności podatnika z dostępem do transferów
pieniężnych z rajów podatkowych,
3) rozszerzenie modelu o analizę decyzji organów państwa w odpowiedzi na zachowania
podatników; tego typu analiza może wykorzystać aparat matematyczny
niekooperacyjnych gier o sumie zerowej.
Literatura
Bayer, R., Sutter, M. (2009). The Excess of Tax Evasion – An Experimental Detection –
Concealment Contest. European Economic Review, Vol. 53, p. 527-543.
Cremer, H., Pestieau, P., Rochet, J. (2001). Direct Versus Indirect Taxation: The Design of
the Tax Structure Revisited. International Economic Review, Vol. 42, Nr. 3, p. 781-799.
Dell’Anno, R. (2009). Tax Evasion, Tax Morale and Policy Maker’s Effectiveness. Journal of
Socio-Economics, Vol. 38, p. 988-997.
Ebert, U. (1992). A Reexamination of The Optimal Nonlinear Income Tax. Journal of Public
Economics, Vol. 49, p. 47-73.
Mirrlees, J. A. (1971). An Exploration in The Theory of Optimum Taxation. The Review of
Economic Studies, Vol. 38, Nr. 2, p. 175-208.
Sadka, E. (1976). On Income Distribution, Incentive Effects and Optimal Income Taxation.
The Review of Economic Studies, Vol. 43, Nr. 2, p. 261-267.
Simula, L., Trannoy, A. (2010). Optimal Income Tax Under The Threat of Migration by Topincome Earners. Journal of Public Economics, Vol. 94, p. 163-173.
Tokarski, T. (2010). Ekonomia matematyczna. Modele mikroekonomiczne. Warszawa: Polskie
Wydawnictwo Ekonomiczne.
Abstract
The Individual Taxpayer Utility Function with Tax Optimization and Fiscal Fraud Environment
In this paper I examine a taxpayer utility function determined by the extended set of variables – i.e. consumption,
labor and tax-evasion propensity. This constitutes the main framework for the analysis of taxpayer’s decision
making process under assumption that in the economy there exist two main reduction methods: a) access to tax
optimization techniques, which may decrease effective tax burden and are fully compliant with binding laws, but
generate transactional costs and 2) possibility of fiscal fraud – in particular tax evasion, as the alternative
method of reducing tax due, which has no direct transactional costs, but involves tax litigation risk.
JEL Classification: H21, H26
Keywords: taxation theory, taxpayer utility, tax evasion
64
Finansowy Kwartalnik Internetowy „e-Finanse” 2011, vol. 7, nr 3
www.e-finanse.com
Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania w Rzeszowie
Ul. Sucharskiego 2
35-225 Rzeszów
NUMER DOFINANSOWANY PRZEZ MINISTERSTWO NAUKI I SZKOLNICTWA WYŻSZEGO