Pierwotne 6 matematyka

1. Teoria mnogości, zbiory i operacje na zbiorach,
relacje i odwzorowania, moc zbiorów.
Teoria mnogości inaczej nazywana teorią zbiorów jest to
teoria matematyczna badająca własności zbiorów (mnogość
— dawna nazwa zbioru).
Teoria mnogości powstała w drugiej połowie XIX wieku,
głównie dzięki pracom Georga Cantora; na początku
XX wieku została przedstawiona w postaci aksjomatycznej
(E. Zermelo, A. Fraenkel, W. Sierpiński i in.).
Na gruncie teorii mnogości można zdefiniować wszystkie
podstawowe pojęcia matematyczne, jak liczby (całkowite,
wymierne, rzeczywiste) wraz z działaniami arytmetycznymi
i naturalnym uporządkowaniem, relacje, funkcje itp.;
dzięki temu każda teoria matematyczna może być
potraktowana jako fragment teorii mnogości.
Terminy pierwotne teorii mnogości
Zbiór (mnogość) – pojęcie pierwotne, jest jednoznacznie określany przez
swoje elementy (indywidua).
Stwierdzenie - „należy do” oznaczane jest symbolem „Δ;
wyrażenie „x jest elementem zbioru A” zapisujemy w skrócie „xÎA”.
Oznaczenia
A, B, C, … - zbiory; a, b, c, x, y, z,… - elementy zbioru;
Stałe logiczne :
- spójniki
~ Ø
nieprawda, że (negacja)
Þ ®
Ù
Ú
Û º
jeśli … to … (implikacja)
oraz (koniunkcja)
lub (alternatywa)
wtedy i tylko wtedy;
- kwantyfikatory ogólny: "
egzystencjalny: $
- identyczność
„dla dowolnego”
„istnieje … takie, że”
„=” „jest identyczne” („jest równe”)
Wyrażenie, że „~ (xÎA)” „nieprawda, że x należy do A”, zapisujemy
„xÏA”, symbol Ï oznacza „nie należy”.
Wyrażenie, że „~ (x=y)” „nieprawda, że x jest równe y” zapisujemy
„x¹y”, symbol ¹ oznacza „jest różne”.
Dwa sposoby określania zbioru
1. Przez wyliczenie wszystkich elementów zbioru, elementy te zapisujemy
w nawiasie klamrowym:
A={x ,y, z} A={1,2,…,10} zbiory skończone lub
A={1,3,5,…} zbiór nieskończony.
2. Przez podanie własności jaką posiadają wyłącznie elementy zbioru,
inaczej przez wyróżnienie:
A={x| x jest liczbą nieparzystą}.
Zbiory liczbowe
N={0,1,2,…} zbiór liczb naturalnych;
N+={1,2,3,…} zbiór liczb naturalnych dodatnich;
Z={0,1,-1,2,-2,…}
zbiór liczb całkowitych;
p
Q={ q | p,qÎZ Ù q¹0} zbiór liczb wymiernych;
R zbiór liczb rzeczywistych;
C zbiór liczb zespolonych.
Zasada ekstensjonalności
Dwa zbiory A i B są równe (uważamy je za identyczne) wtedy i tylko
wtedy, gdy zawierają te same elementy, tzn.
A=B Û "x (xÎA Û xÎB).
Zasada dystrybutywności
Żaden zbiór nie jest identyczny z żadnym ze swych elementów, tzn.
~ ( $A $x (xÎA Ù x=A) ),
oznacza to, że {a}¹a.
Zbiór pusty
Celowe i użyteczne jest wprowadzenie pojęcia zbioru pustego, który
oznaczamy przez symbol
Æ.
Zbiór pusty jest to zbiór, który nie posiada żadnego elementu.
Symbolicznie:
$A "x (xÏA).
Z zasady ekstensjonalności wynika, że istnieje tylko jeden taki zbiór.
Z zasady dystrybutywności wynika, że {Æ}≠Æ, czyli zbiór {Æ} nie jest
zbiorem pustym.
Podzbiór
Jeśli A i B są zbiorami oraz każdy element zbioru A jest też elementem
zbioru B to zbiór A nazywamy podzbiorem zbioru B i oznaczamy AÌB.
Mówimy wtedy, że A „zawiera się” w B.
Symbolicznie:
AÌB Û "x (xÎA Þ xÎB).
Zawieranie się zbiorów nazywane jest również inkluzją.
Własności inkluzji:
1. "A AÌA (każdy zbiór jest swoim podzbiorem),
2. "A ÆÌA (zbiór pusty jest podzbiorem dowolnego zbioru),
3. AÌB Ù BÌC Þ AÌC (przechodniość),
4. AÌB Ù BÌA Û A=B.
Jeżeli AÌB Ù A¹B Ù A¹Æ, to A nazywamy podzbiorem właściwym
zbioru B.
Zbiór pusty Æ i zbiór A są podzbiorami niewłaściwymi zbioru A.
Zbiór potęgowy
Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru A nazywamy zbiorem potęgowym
zbioru A i oznaczamy przez P(A), tzn.
P(A)={M| MÌA}.
Elementarne wnioski:
1. Dla każdego zbioru A zachodzi ÆÎP(A), tzn. zbiór pusty jest
elementem każdego zbioru potęgowego.
2. Jeżeli zbiór A ma n elementów, to zbiór P(A) ma 2n elementów.
Dopełnienie zbioru
Rozpatrując podzbiory wyłącznie ustalonego zbioru U (zwanego
uniwersum), np. podzbiór AÌU, możemy określić dopełnienie zbioru A
oznaczane przez A’ jako zbiór tych elementów zbioru U, które nie należą
do A.
A’ = {x| xÎU Ù xÏA}.
Diagramy Venna
Do zobrazowania zbiorów i operacji na nich wykorzystuje się diagramy
Venna.
Zbiory w tym ujęciu reprezentowane są przez figury płaskie.
Dla zbiorów A i B są to najczęściej koła, natomiast uniwersum U
rysowane jest jako prostokąt, obejmujący koła przedstawiające zbiory A
oraz B.
U
A
B
Operacje (działania) na zbiorach
Za pomocą operacji teoriomnogościowych z danych zbiorów można
utworzyć na wiele różnych sposobów nowe zbiory.
Niech A i B będą zbiorami, określmy działania na tych zbiorach:
1. Suma zbiorów A i B (symbolicznie AB) określana jest następująco:
AB={x| xÎA Ú xÎB}.
2. Część wspólna (iloczyn, przekrój, przecięcie) zbiorów A i B
(symbolicznie AB) określana jest następująco:
AB={x| xÎA Ù xÎB}.
Działania te można uogólnić na rodzinę zbiorów – D, czyli zbiór którego
elementami są zbiory:
3. Suma rodziny zbiorów D (symbolicznie  D ) określana jest
następująco:
 D ={x  $AÎD x ÎA}.
4. Część wspólna (iloczyn, przekrój, przecięcie) rodziny zbiorów D
(symbolicznie  D ) określana jest następująco:
 D ={x  "AÎD x ÎA}.
Zbiory rozłączne
Dwa dowolne zbiory A i B nie mające ani jednego elementu wspólnego
nazywamy rozłącznymi. Oznacza to, że zbiory A i B są rozłączne gdy
zachodzi równość:
AB=Æ.
5. Różnica zbiorów A i B (symbolicznie A\B) określana jest
następująco:
A\B={x| xÎA Ù xÏB}.
Dopełnienie zbioru
Dopełnienie zbioru A można zapisać również w postaci:
A’=U\A.
6. Różnica symetryczna zbiorów A i B (symbolicznie AB lub AB lub
AB) określana jest następująco:
AB={x| (xÎA Ù xÏB) Ú (xÎB Ù xÏA)}.
Podstawowe prawa rachunku zbiorów
Prawa łączności
(AB)C = A(BC)
Prawa przemienności
(AB)C = A(BC)
AB = BA
Prawa rozdzielności
AB = BA
(AB)C = (AC)(BC)
Prawa de Morgana
(AB)C = (AC)(BC)
(AB)’ = A’ B’
Prawa absorpcji
(AB)’ = A’ B’
A(AB) = A
Prawa idempotentności
A(AB) = A
AA = A
Inne własności
AA = A
AA’ = U
AA’ = Æ
AU = U
AU = A
AÆ = A
AÆ = Æ
U’ = Æ
Æ’ = U
AB = (AB)\(AB)
A\B = A\(AB)
A(B\C) = (AB)\C
 {A}=A
 P(A)=A
(AB)\C = B(A\C)
 {A}=A
 P(A)=Æ
Iloczyn (produkt) kartezjański
Iloczynem (produktem) kartezjańskim zbiorów A1, A2,…, An nazywamy
zbiór oznaczany A1A2…An postaci:
A1A2…An={(a1, a2,…, an)a1Î A1 Ù a2Î A2 Ù … Ù anÎ An}.
Mówimy także, że iloczyn kartezjański n zbiorów jest zbiorem wszystkich
n-tek uporządkowanych, czyli ciągów (a1, a2,…, an), gdzie aiÎAi dla
i=1,2,…n.
Przykład
Jeżeli A1 = {1,2,3}, A2 = {2,4}, A3 = {x,y}, to
A1A2A3={(1,2,x),(1,2,y),(1,4,x),(1,4,y),(2,2,x),(2,2,y),(2,4,x),(2,4,y),
(3,2,x),(3,2,y),(3,4,x),(3,4,y)}.
Jeżeli A1=A2=…=An=A, to A1A2…An nazywamy n-tą potęgą
kartezjańską zbioru A i oznaczamy An.
Przykładem takiego zbioru jest
RRR=R3={(x1,x2,x3)x1ÎRÙx2ÎRÙx3ÎR},
zbiór wszystkich punktów w przestrzeni trójwymiarowej.
Szczególnym przypadkiem iloczynu kartezjańskiego jest iloczyn
kartezjański dwóch zbiorów AB = {(a,b)aÎA Ù bÎB}. Elementy (a,b)
zbioru AB nazywamy parami uporządkowanymi. Charakteryzują się one
następującą równoważnością:
(a,b) = (c,d) Û a=c Ù b=d.
Własności iloczynu kartezjańskiego
Jeżeli A¹B¹C, to:
1. AB¹BA
2. A(BC)=(AB)C
Jeżeli A¹ÆÙB¹ÆÙC¹ÆÙD¹Æ, to:
3. (AÌBÙCÌD) Û (AC)Ì(BD)
4. (A=BÙC=D)Û (AC)Ì(BD)
Dla dowolnych A, B, C, D i U zachodzi:
5. (AB)(CD)=(AC)(BD)
6. (AB)(CD)Ì(AC)(BD)
7. (AB)C=(AC)(BC)
8. A(BC)=(AB)(AC)
9. (AB)C=(AC)(BC)
10.A(BC)=(AB)(AC)
11.(A\B)C=(AC)\(BC)
12.A(B\C)=(AB)\(AC)
13.(AB)(CD)=(AC)(BC)(AD)(BD)
14.AB=(AD)(CB), gdzie AÌCÙBÌD
15.U2\(AB)=[(U\A)U][U(U\B)]
Aksjomaty teorii mnogości
Pojęcia pierwotne – „zbiór”, „element zbioru”.
Aksjomaty Zermelo – Frenkla (ZF):
I. Aksjomat ekstensjonalności
Dwa zbiory są równe, gdy mają te same elementy.
II. Aksjomat zbioru pustego
Istnieje zbiór, który nie zawiera żadnego elementu.
III. Aksjomat sumy
Dla dowolnej rodziny zbiorów istnieje zbiór składający się ze wszystkich
tych elementów, które są elementami przynajmniej jednego ze zbiorów tej
rodziny.
IV. Aksjomat zbioru potęgowego
Dla każdego zbioru istnieje zbiór składający się ze wszystkich podzbiorów
danego zbioru.
V. Aksjomat nieskończoności
Istnieje zbiór nieskończony.
VI. Aksjomat zastępowania
Jeżeli każdy element zbioru zastąpimy dowolnym obiektem, to otrzymamy
znów pewien zbiór.
Relacje
Relacją  n-argumentową na zbiorach A1, A2,…, An nazywamy podzbiór
iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów, tzn. ÌA1A2…An.
Jeżeli ÌAn to relację nazywamy n-argumentową relacją w zbiorze A.
Relacje opisują zależności między elementami jednego lub wielu różnych
zbiorów.
Przykład
Niech A1={1,2,3,4}, A2={2,4,6,8}, A3={2,3,4}
={(a1, a2, a3) a1ÎA1Ùa2ÎA2Ùa3ÎA3Ùa1=a2=a3}, czyli
={(2,2,2), (4,4,4)}.
i-tą dziedziną relacji ÌA1A2…An nazywamy zbiór postaci:
Di()={xÎAi$a1,…, $ai-1, $ai+1,…, $an (a1,…,ai-1,x,ai+1,…,an)Î}.
Zamiast pisać (a1, a2,…, an)Î piszemy także (a1, a2,…,an).
Ponieważ relacje są szczególnego rodzaju zbiorami określa się dla nich
wszystkie operacje teoriomnogościowe.
Relacje binarne (dwuargumentowe)
Relacją binarną (dwuargumentową) między elementami zbiorów A i B
nazywamy dowolny podzbiór  zbioru AB. Jeżeli A=B to relację ÌA2
nazywamy relacją binarną określoną na A.
Zamiast pisać, że (a,b)Î stosujemy zapis (a,b) lub częściej ab.
Dziedziną relacji binarnej nazywamy zbiór postaci:
D()={aÎA $bÎB ab },
natomiast przeciwdziedziną relacji binarnej nazywamy zbiór postaci:
D-1()={bÎB $aÎA ab }.
Zbiór D()D-1() nazywamy polem relacji .
Dopełnieniem ’ relacji binarnej  pomiędzy elementami zbiorów AB
nazywamy zbiór postaci:
’=(AB)\.
Relacją odwrotną oznaczaną -1 do relacji binarnej  nazywamy zbiór:
-1={(a,b) ba}.
Niech 1ÌAB oraz 2ÌBC będą relacjami binarnymi. Złożeniem
(superpozycją, iloczynem) 12 relacji 1 i 2 nazywamy zbiór
określony następująco:
12={(a,c)$b (bÎB Ù a1b Ù b2c}.
Przez IA oznaczamy następującą relację binarną:
IA={(a,b)ÎA2a=b}={(a,a)aÎA}.
Dla relacji binarnych 1, 2, 3 określonych na zbiorze A zachodzi:
1.
(12)-1=1-12-1
2.
(12)-1=1-12-1
3.
(12)3=(13)(23)
4.
(12)3Ì(13)(23)
5.
(12)-1=2-11-1
Relację binarną ÌA2 można przedstawić za pomocą:
1. Diagramu strzałkowego
Elementy zbioru A oznaczamy na płaszczyźnie punktami a,b,… i następnie
przeprowadzamy od a do b linie zakończoną strzałką wtedy i tylko wtedy
gdy ab.
2. Macierzy relacji M
Elementy zbioru A wpisujemy do pierwszego wiersza i pierwszej kolumny
macierzy. Na przecięciu wiersza wyznaczonego przez aÎA i kolumny
bÎA w przypadku gdy ab wpisujemy 1, w przeciwnym wypadku
wpisujemy 0.
Przykład
Niech A={1,2,3,4} relację  określmy jako zbiór:
={(a,b)aÎA Ù bÎA Ù a dzieli b},
wtedy
={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,4),(3,3),(4,4)},
a na diagramie strzałkowym przedstawiamy to następująco:
1
2
3
4
Natomiast macierz M relacji  przedstawia się następująco:
M
1
2
3
4
1
1
0
0
0
2
1
1
0
0
3
1
0
1
0
4
1
1
0
1
Określmy teraz dziedzinę, przeciwdziedzinę, pole, dopełnienie, relację
odwrotną dla danej relacji.
Dziedzina: D()={1,2,3,4}=A,
Przeciwdziedzina D-1()={1,2,3,4}=A,
Pole relacji D()D-1()={1,2,3,4}=A,
Dopełnienie ’={(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},
Relacja odwrotna -1={(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(2,2),(4,2),(3,3),(4,4)}.
Niech ÌA2 wtedy relacja  jest
1. zwrotna (refleksywna) w A, jeżeli "aÎA zachodzi aa
2. przeciwzwrotna (irrefleksywną) w A, jeżeli "aÎA zachodzi Ø(aa)
3. symetryczna w A, jeżeli "(aÎAÙbÎA) zachodzi ab Þ ba
4. przeciwsymetryczna (asymetryczna) w A, jeżeli "(aÎAÙbÎA)
zachodzi ab Þ Ø(ba)
5. słabo antysymetryczna
przeciwsymetryczna w
abÙbaÞa=b
(wpół antysymetryczna, na wpół
A, jeżeli "(aÎAÙbÎA) zachodzi
6. przechodnia (tranzytywna) w A, jeżeli "(aÎAÙbÎAÙcÎA) zachodzi
abÙbcÞac
7. liniowa w A, jeżeli "(aÎAÙbÎA) zachodzi abÚba
8. spójna w A, , jeżeli "(aÎAÙbÎA) zachodzi abÚbaÚa=b
Jeżeli ÌA2 i A1ÌA, to relację A12 nazywamy obcięciem relacji  do
A1 i oznaczamy przez A1.
Relacja ÌA2 jest zwrotna (przeciwzwrotna, symetryczna i itp.) jeżeli
relacja A1 jest zwrotna (przeciwzwrotna, symetryczna i itp.) na A1
będącym polem .
Relacje równoważności i klasy abstrakcji
Relację binarną na zbiorze A (ÌA2) nazywamy relacją równoważności,
jeżeli jest zwrotna symetryczna i przechodnia.
Z każdą relacją równoważności  w zbiorze A związany jest rozkład tego
zbioru na niepuste parami rozłączne podzbiory, tzw. klasy równoważności.
Zbiór postaci:
[a] := {b bÎA Ù ab}
Nazywamy klasą równoważności elementu a względem relacji .
Własności klas abstrakcji:
1. [a]¹Æ
2. ab Û [a]= [b]
3. Ø(ab) Û [a][b]=Æ
Wszystkie klasy abstrakcji są elementami pewnego nowego zbioru
nazywanego zbiorem ilorazowym, który jest oznaczany przez A/ i ma
postać:
A/={[a]aÎA}.
Podzbiór ZÌP(A) zbioru potęgowego P(A) nazywamy rozkładem zbioru
A, jeżeli
ÆÏZ Ù (X,YÎZ Ù X¹Y Þ XY=Æ) Ù
 X =A.
XÎZ
Twierdzenie o rozkładzie (faktoryzacji)
Każda relacja równoważności  w zbiorze A indukuje pewien rozkład Z
zbioru A, mianowicie Z=A/ i na odwrót, każdemu rozkładowi Z zbioru
A odpowiada pewna relacja równoważności  w A, co symbolicznie
można zapisać:
ab Û $XÎZ (aÎX Ù bÎX).
Relację równoważności w zbiorze A można rozpatrywać jako uogólnienie
relacji identyczności (równości) w tym zbiorze. Abstrahujemy wtedy od
nieistotnych własności elementów zbioru A, jednocześnie elementy nie
różniące się pod względem pewniej cechy przypisujemy do jednej i tej
samej klasy abstrakcji.
Przykład
Niech dana będzie relacja ÌN+2 taka, że
"(aÎN+ÙbÎN+) ab Û (2 dzieli a+b).
Sprawdzić czy jest to relacja równoważności i jeżeli jest to określić klasy
abstrakcji oraz rozkład zbioru N+.
Relacje porządkujące
Relację binarną  w zbiorze A, która jest zwrotna, słabo antysymetryczna
i przechodnia nazywamy relacją porządkującą (porządkiem, porządkiem
częściowym, półporządkiem).
Jeżeli ponadto  jest liniowa to  jest całkowitym porządkiem (liniowym
porządkiem) lub łańcuchem.
Zbiór A określany jest wówczas jako uporządkowany przez relację  lub
liniowo uporządkowany przez .
W zbiorze liniowo
porównywalne.
uporządkowanym
każde
dwa
elementy
są
Jeżeli ab i  jest relacją porządkującą to stosujemy zapis ab lub ab.
Zbiory N, Z, Q, R są liniowo uporządkowane przez standardową relację
„jest mniejsze lub równe” co zapisujemy „”.
Zbiór potęgowy P(A) z relacją zawierania „Ì” jest zbiorem częściowo
uporządkowanym.
Niech dany będzie zbiór A uporządkowany przez relację , wyróżniamy
następujące elementy:

element aÎA nazywamy maksymalnym w A jeśli "xÎA
(axÞx=a),

element aÎA nazywamy minimalnym w A jeśli "xÎA (xaÞx=a),

element aÎA nazywamy największym w A jeśli "xÎA (xa),

element aÎA nazywamy najmniejszym w A jeśli "xÎA (ax).
Ponadto jeżeli XÌA, to ograniczeniem górnym zbioru X nazywamy każdy
taki element aÎA, że "xÎX (xa), natomiast ograniczeniem dolnym
nazywamy każdy taki element aÎA, że "xÎX (ax).
Lemat Kuratowskiego – Zorna:
Jeżeli zbiór A jest uporządkowany przez relację  oraz dla każdego
łańcucha istnieje w A górne ograniczenie, wtedy w A istnieje co najmniej
jeden element maksymalny, co więcej dla każdego xÎA istnieje element
maksymalny a taki, że xa.
Przykład
Niech dana będzie relacja ÌN+2 taka, że
"(aÎN+ÙbÎN+) ab Û (a dzieli b).
Sprawdzić czy jest to relacja porządkująca.
Funkcje i odwzorowania
Relację ÌXY nazywamy funkcją, jeżeli
"xÎX "yÎY "zÎY ( xyÙxz Þ y=z ).
Elementy zbioru X nazywamy argumentami funkcji, natomiast elementy
zbioru Y wartościami funkcji.
Dla oznaczenia funkcji używamy liter f, g, h i zamiast (x,y)Îf zapisujemy f
(x)=y.
Dziedziną (zbiorem argumentów) funkcji nazywamy zbiór
Df ={xÎX$yÎY (f(x)=y)}, przeciwdziedziną (zbiorem wartości funkcji)
nazywamy zbiór Wf={yÎY$xÎX (f(x)=y)}.
Odwzorowaniem (przekształceniem) zbioru X w zbiór Y nazywamy taką
funkcję f, że Df =X i WfÌY i oznaczamy przez f: X®Y.
Zbiór wszystkich odwzorowań z X w Y oznaczamy YX.
Odwzorowanie f nazywamy z X na Y (surjekcją, epimorfizmem) jeżeli
"yÎY $xÎX (f(x)=y) inaczej gdy Wf=Y
i oznaczamy f : X ®
Y.
na
Odwzorowanie
f
nazywamy
monomorfizmem) jeżeli
różnowartościowym
"x1ÎX "x2ÎX "yÎY ( (x1,y)Îf Ù(x2,y)Îf Þ x1=x2 )
1
i oznaczamy f : X 1®
Y.
(injekcją,
Odwzorowanie f nazywamy wzajemnie jednoznacznym (bijekcją) jeżeli
jest różnowartościowe i „na” (surjekcją i injekcją).
Dla odwzorowania wzajemnie jednoznacznego f : X®Y określa się
odwzorowanie odwrotne f -1: Y®X, takie, że
"xÎX "yÎY (f(x)=y Þ f -1(y)=x).
Dla danych odwzorowań f : X®Y g : Y®Z definiuje się przekształcenie
g f : X®Z zwane złożeniem (superpozycją) według wzoru:
(x,z)Î g f Û $yÎY (f(x)=yÙg(y)=z).
Złożenie odwzorowań nie jest przemienne g f ¹ f  g natomiast jest łączne
h  (f g)= (h  f) g .
Moc zbiorów
Liczbę elementów zbioru skończonego A nazywamy mocą zbioru lub
liczbą kardynalną zbioru A i oznaczamy przez card A lub przez A .
Również każdemu zbiorowi nieskończonemu przypisuje się jego liczbę
kardynalną.
Dwa zbiory A i B nazywamy równolicznymi jeżeli istnieje jakakolwiek
bijekcja między tymi zbiorami, co oznaczamy przez A~B.
Każdemu zbiorowi A przyporządkowuje się jego liczbę kardynalną card A
lub A , w taki sposób, że zbiory równoliczne mają tę samą liczbę
kardynalną.
Ponieważ żaden zbiór nie jest równoliczny ze swoim zbiorem potęgowym,
więc nie istnieje „największa” liczba kardynalna.
„Najmniejszą” nieskończoną liczbą kardynalną jest liczba kardynalna
zbioru liczb naturalnych N, oznaczana przez symbol 0 (alef 0).
Zbiór nieskończony nazywamy przeliczalnym jeżeli jest równoliczny ze
zbiorem liczb naturalnych, oznacza to, że jego elementy można ustawić
w ciąg a1, a2, … ponumerowany kolejnymi liczbami naturalnymi.
Zbiór nieskończony nazywamy nieprzeliczalnym jeżeli nie jest
równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. Wynika z tego, że każdy zbiór
nieskończony nie będący zbiorem przeliczalnym jest nieprzeliczalny.
Zbiory Z, Q są przeliczalne, natomiast zbiory R i C są nieprzeliczalne.
Zbiory R i C są równoliczne i mają tę samą moc, ich liczbę kardynalną
oznacza się przez c (continuum).
Działania na liczbach kardynalnych
Sumą liczb kardynalnych n1 i n2 nazywamy liczbę m=n1+n2, jeżeli każdy
zbiór mocy m jest równoliczny z sumą zbiorów o mocy n1 i n2.
Iloczynem liczb kardynalnych n1 i n2 nazywamy liczbę m=n1n2, jeżeli
każdy zbiór mocy m jest równoliczny z iloczynem kartezjańskim zbiorów
o mocy n1 i n2.
Potęgą liczby kardynalnej n2 liczby kardynalnej n1 nazywamy liczbę
kardynalną m= n1n 2 , jeżeli każdy zbiór mocy m jest równoliczny AB, gdzie
A i B mają moce odpowiednio n1 i n2.
Własności liczb kardynalnych:
1. n+0=0
2. 0+0=00=0
3. 0+c=0c=c
4. c+c=cc=c
5. 20 =c