elipsa_przekroju1

Momenty bezwładności pola – schemat rozwiązania
1. Założenie wstępnego układu współrzędnych, wyznaczenie współrzędnych środków ciężkości figur
prostych wydzielonych w figurze złożonej.
2. Ustalenie położenia środka ciężkości figury złożonej na podstawie momentu statycznego
x 0=
S y A 1⋅x 1 + A 2⋅ x2 + A3 ⋅x 3
=
A
A 1 + A2 + A 3
,
y0 =
S x A 1⋅ y 1 + A 2 ⋅ y 2 + A 3⋅ y 3
=
A
A 1+ A 2+ A 3
3. Ponowne ustalenie współrzędnych środków ciężkości figur prostych w układzie współrzędnych
przechodzącym przez środek ciężkości figury złożonej
4. Wyznaczenie momentów bezwładności całej figury względem osi centralnego układu
współrzędnych X0 Y0 oraz momentu dewiacji:
J x 0 = J x01 + A1⋅ y 1+ J x 02 + A 2⋅ y 2 + J x03 + A3 ⋅ y 3 ...
2
2
2
J y 0 =J y 01+ A 1⋅x 21 +J y 02+ A 2⋅x 22 +J y 03+ A 3⋅x 23 ...
J x 0 y 0 =J x01 y 01+ A 1⋅x 1⋅ y 1 + J x02 y 02+ A 2⋅x 2⋅ y 2+ J x 03 y03 + A3⋅ x 3⋅ y 3 ...
5. Wyznaczenie kąta obrotu układu współrzędnych osi głównych względem układu X0Y0 :
tg( 2α 0 )=
−2⋅J x 0 y0
J x 0− J y 0
stąd
α 0= 0,5⋅arctg( ...)
6. Momenty bezwładności w układzie współrzędnych obróconym o kąt α :
Jm=
Jn=
Jx 0 + Jy 0 Jx0 − J y0
+
⋅cos 2 α − Jx0 y0 ⋅sin 2 α ,
2
2
J x0 + Jy 0 Jx 0 − Jy 0
−
⋅cos 2 α+ Jx 0 y 0⋅sin 2 α ,
2
2
Jmn=
Jx 0 − Jy 0
2
⋅sin 2 α+ Jx 0 y 0⋅cos 2 α
7. Główne momenty bezwładności figury złożonej (względem osi obróconych o kąt α 0 ):
Jmax =
Jx0 + J y0 J x0 − Jy 0
+
⋅cos 2 α 0 ,
2
2
lub
J max , min =
Jmin=
Jx 0 +J y 0 J x0 − Jy 0
−
⋅cos 2 α0
2
2
Jx 0 + Jy 0 1
± ⋅√( J x 0 −J y 0 )2+ 4⋅J2x 0 y 0
2
2
Figura
Środek ciężkości
Momenty bezwładności
X0
Y0
Jx
Jy
Jx0
Jy0
b
2
h
2
bh3
3
b3 h
3
bh3
12
b3 h
12
b2 h2
4
0
b
3
h
3
bh3
12
b3 h
12
bh3
36
b3 h
36
b2 h2
24
b2 h2
±
72
πR4
4
πR4
4
--
0
0
0
--
--
4R
3π
4R
3π
πR4
16
πR4
16
0
4R
3π
πR4
8
πR4
8
4
0,0549 R
0,1098 R
4
Jxy
0,0549 R
R4
8
πR4
8
0
4
Jx0 y0
± 0,0165R 4
0
Zadanie 1
Dla podanej figury obliczyć główne centralne momenty bezwładności i narysować środkową elipsę
bezwładności
1. Podział pola na figury proste
środek ciężkości prostokąta:
b
h
,
2
2
, środek ciężkości trójkąta:
środek ciężkości ¼ koła:
4⋅R
3⋅π
2. Współrzędne środków ciężkości figur prostych w przyjętym układzie XY:
O1 (20; 30) , O2 (40; -10) , O3 (57; 17)
b
h
,
3
3
,
3. Wyznaczenie środka ciężkości całej figury (moment statyczny pola)
Położenie środka ciężkości względem osi Y:
x 0=
S y A 1⋅x 1 + A 2⋅ x2 + A3 ⋅x 3
=
A
A 1 + A2 + A 3
1
1
40⋅60⋅20+ ⋅60⋅30⋅40+ ⋅π⋅40 2⋅57
S
2
4
x 0= y =
=34,1 mm
A
1
1
2
40⋅60 + ⋅60⋅30+ ⋅π⋅40
2
4
przyjęto 34mm
Położenie środka ciężkości względem osi X:
y0 =
S x A 1⋅ y 1 + A 2 ⋅ y 2 + A 3 ⋅ y 3
=
A
A 1+ A 2+ A 3
S
y0 = x =
A
1
1
40⋅60⋅30+ ⋅60⋅30⋅(−10 )+ ⋅π⋅402⋅17
2
4
=18,5 mm
1
1
40⋅60+ ⋅60⋅30+ ⋅π⋅402
2
4
przyjęto 19mm
4. Współrzędne środków ciężkości figur prostych w przyjętym układzie X0Y0 :
O1 (-14; 11) , O2 (6; -29) , O3 (23; -2)
5. Centralny moment bezwładności pola względem osi X0 :
J x0 =
b⋅ h3
b⋅ h 3 1
1
+ b⋅ h⋅ y 12+
+ ⋅ b⋅ h⋅ y 22+ 0,05477⋅ R4+ ⋅ π⋅ R 2⋅ y 23
12
36 2
4
J x0 =
40⋅ 603
60⋅ 303 1
1
+ 40⋅ 60⋅ 11 2+
+ ⋅ 60⋅ 30⋅ (− 29) 2+ 0,05477⋅ 404 + ⋅ π⋅ 402⋅ (− 2)2= 2013019 mm4
12
36
2
4
6. Centralny moment bezwładności pola względem osi Y0 :
h⋅ b 3
h⋅ b3 1
1
2
2
4
2 2
J y0 =
+ b⋅ h⋅ x 1+
+ ⋅ b⋅ h⋅ x 2+ 0,05477⋅ R + ⋅ π⋅ R ⋅ x 3
12
36 2
4
J y 0=
3
3
60⋅40
30⋅60 1
1
+ 40⋅60⋅(−14) 2+
+ ⋅60⋅30⋅62 +0,05477⋅40 4 + ⋅π⋅402⋅232= 1808054 mm4
12
36
2
4
7. Odśrodkowy moment bezwładności pola względem osi X0 Y0 :
W polach o przynajmniej jednej osi symetrii względem nieobróconego układu współrzędnych przechodzącego
przez ich środek ciężkości moment dewiacji jest równy zero.
W pozostałych należy ustalać znak.
J x0y0 = 0+ b⋅ h⋅ x 1⋅ y 1+
b 2⋅ h 2 1
1
4
2
+ ⋅ b⋅ h⋅ x 2⋅ y 2− 0,01647⋅ R + ⋅ π⋅ R ⋅ x 3⋅ y 3
72
2
4
J x0y0 = 40⋅ 60⋅ (− 14)⋅ 11+
30 ⋅ 60 1
1
+ ⋅ 60⋅ 30⋅ 6⋅ (− 29)− 0,01647⋅ 404 + ⋅ π⋅ 402⋅ 23⋅ (− 2)= − 614815 mm 4
72
2
4
2
2
8. Kąt nachylenia osi głównych do układu X0 Y0 :
tg (2 α 0)=
− 2⋅ J x0y0
(− 2)⋅ (− 614815)
=
= 5,99
J x0− J y0 2013019− 1808054
stąd
2 α 0= 80,54
0
, α 0= 40,27
0
9. Główne momenty bezwładności względem osi max i min
(największy i najmniejszy moment bezwładności danego pola):
J max =
J x0 + J y0 1
+ ⋅ √( J x 0 −J y 0 )2 +4⋅J 2x 0 y 0
2
2
J max =
2013019+1808054 1
+ ⋅√ (2013019−1808054 )2 + 4⋅(−614815)2 =2533834 mm4
2
2
J min =
J x0 + J y0 1
− ⋅ √( J x 0 − J y 0 )2 + 4⋅J 2x 0 y 0
2
2
J min =
2013019+1808054 1
− ⋅√(2013019−1808054 )2 + 4⋅(−614815) 2=1287239 mm 4
2
2
10. Sprawdzenie
J max + J min = J x0 + J y0
J max + J min =2533834 +1287239=3821073 mm
4
J x 0 + J y 0 =2013019+1808054 =3821073 mm
11. Elipsa bezwładności
x2 y2
+ =1
i 2y0 i 2x0
i min =
√ √
i max =
4
√ √
J max
2533834
=
=24 mm
A
60⋅40+ 0,5⋅30⋅60+ 0,25⋅π⋅402
J min
1808054
=
=17 mm
A
60⋅40+ 0,5⋅30⋅60+0,25⋅π⋅402
1. elipsa nie może wychodzić poza obrys przekroju uzupełnionego (bez wypukłości i wklęsłości)
2. elipsa jest rozciągnięta jak pole
3. elipsa jest centralnie ułożona