GeoGebra – dynamiczne oprogramowanie matematyczne1

GeoGebra – dynamiczne oprogramowanie matematyczne1

dr Joanna Kandzia
Nauczanie matematyki przez doświadczenia i eksperymenty, wykorzystanie TIK podczas
zajęć dydaktycznych
GeoGebra – dynamiczne oprogramowanie matematyczne1
Jest to dynamiczne oprogramowanie matematyczne, które łączy geometrię, algebrę oraz
analizę matematyczną. W prosty sposób można wykonywać konstrukcje składające się z punktów,
wektorów, odcinków, prostych, krzywych stożkowych, wykresów funkcji. Znajdować miejsca
geometryczne punktów, wykonywać przekształcenia geometryczne, zadania statystyczne, używać
jej jak arkusza kalkulacyjnego. GeoGebra pozwala animować obiekty, tworzyć własne narzędzia
oparte na istniejącej konstrukcji.Pracami nad tym oprogramowaniem zajmuje się Markus
Hohenwarter wraz z międzynarodowym zespołem programistów. Jest ono ciągle udoskonalane. W
wykładzie tym zostanie pokazanych kilka prostych zastosowań GeoGebry.
Okno GeoGebry składa się z paska narzędzi, okna algebry, obszaru roboczego, pola
wprowadzenia. Każdemu obiektowi w oknie geometrii odpowiada wyrażenie w oknie algebry i na
odwrót.
Materiały znajdują się w publikacji J. Kandzia, Nowe metody nauczania w matematyce, Wydawnictwo WEMA,
Warszawa 2012., http://joanna-kandzia.rhcloud.com/wp-content/uploads/2015/09/Nowe-metody-nauczania-wmatematyce_publikacja-projektu.pdf, s. 182-189
1
Moduł 1
Rysunek 1. Okno GeoGebry
Źródło: http://www.geogebra.org/cms/pl (materiały prezentacyjne)
Wykaz konstrukcji
 Okrąg opisany na trójkącie
 Okrąg wpisany w trójkąt
 Zaznaczanie kątów
 Wielokąty
 Jednokładność
 Wstawianie obrazkaWykres funkcjiKonstrukcje można wykonywać używając myszy, z
zastosowaniem pola wprowadzenia, lub stosując obie metody.
Konstrukcja okręgu opisanego na trójkącie ABC
Rysunek 2. Widok konstrukcji
Źródło: opracowanie własne
Konstrukcja z użyciem myszy
 wybieramy tryb: „Wielokąt (dowolny)”
 w obszarze roboczym tworzymy wierzchołki A, B i C
 zamykamy trójkąt klikając ponownie na A wybieramy tryb „Symetralna”
 konstruujemy dwie symetralne klikając na dwa boki trójkąta
 w trybie „Przecięcie dwóch obiektów” klikamy na obie symetralne
 wyznaczamy środek okręgu opisanego na trójkącie
 klikając prawym przyciskiem myszy można zmienić jego nazwę wybierając z menu
kontekstowego odpowiednie polecenie
Kończymy konstrukcję:
 wybieramy tryb „Okrąg o danym środku przechodzący przez punkt”
 klikamy środek okręgu a potem dowolny wierzchołek trójkąta
 wybieramy tryb „Przesuń”
 używając myszy zmieniamy pozycję wierzchołków
Wskazówki:
 narzędzie “cofnij” dostępne z paska menu “edycja” umożliwia cofanie konstrukcji o jeden
krok
 obiekty można ukrywać i ponownie wyświetlać klikając na nie prawym przyciskiem myszy,
włączając i wyłączając (odhaczając) „pokaż obiekt” wygląd obiektów (kolor, styl linii,...)
zmieniamy używając prawego przycisku myszy
 klikamy na obiekt, z menu kontekstowego wybieramy “Właściwości”
 w menu „Widok” ukrywamy lub wyświetlamy okno algebry, osie, siatkęaby przemieścić
obszar roboczy wybieramy tryb „Przesuń obszar roboczy” łapiemy myszą i przesuwamy
 z menu „Widok” wyświetlamy okno „protokół konstrukcji”, zawierające listę wszystkich
kroków konstrukcyjnychza pomocą klawiszy kursora można obejrzeć krok po kroku
konstrukcję i modyfikować ją
 część elementów z listy można ukryć
Konstrukcja z zastosowaniem pola wprowadzenia
 z menu „Plik” wybieramy „Nowy”
 wpisujemy poniższe polecenia, naciskając po każdej linii - Enter A = (2, 1)
B = (12, 5)
C = (8, 11)
Wielokąt[A, B, C]
k = SymetralnaOdcinka [a]
l = SymetralnaOdcinka [b]
M = Przetnij[k, l]
Okrąg [M, A]
Wskazówki:
 nie każde polecenie musi być wprowadzane z klawiatury
 można polecenia wybierać z listy znajdującej się po prawej stronie pola wprowadzania
 klikając na przycisk „Wprowadź” aktywujemy tryb pole wprowadzania
 w tym trybie można kliknąć na obiekt w oknie algebry lub w obszarze roboczym a nazwa
obiektu zostanie skopiowana do pola wprowadzania
Styczna do okręgu
Konstrukcja okręgu o środku w punkcie 0 = (4, 3) i promieniu r = 4 i stycznych do niego
przechodzących przez punkt A = (-2, -1).Równanie okręgu:
(x – 4)2 + (y – 3)2 = 16
Rysunek 3. Styczna do okręgu
Źródło: opracowanie własne
Konstrukcja z użyciem myszy i wprowadzenia pola
 do pola wprowadzania tekstu wpisujemy równanie okręgu o: (x - 4)² + (y - 3)² = 16
 akceptujemy Enterem (znak 2 wybieramy z listy znaków pomocniczych)
 wprowadzamy i zatwierdzamy O = Środek[o]
 konstruujemy punkt A - wpisujemy A = (-2, -1)
 uruchamiamy tryb „Styczna“
 klikamy punkt A i okrąg o
 wybieramy:„Przecięcie dwóch obiektów” i zaznaczamy punkty styczności
 wybieramy tryb „Przesuń”
 chwytamy i przemieszczamy punkt A, obserwując jak przemieszczają się styczne
 można przemieszczać okrąg obserwując jego równanie w oknie algebry
Zumowanie zawartości okna:
 klikamy prawym przyciskiem myszy w pustym miejscu obszaru roboczego
 z menu kontekstowego wybieramy pożądane powiększenie
 równanie okręgu możemy zmodyfikować bezpośrednio w oknie algebry poprzez podwójnie
klikając na równaniu
Okrąg wpisany w trójkąt
Rysunek 4. Okrąg wpisany w trójkąt
Źródło: opracowanie własne
Konstrukcja:
 wyznaczamy punkty A, B, C
 rysujemy dwusieczną kąta – klikamy na sąsiednie boki
 ukrywamy pomocnicze proste (lewy przycisk myszy)
 wstawiamy punkt przecięcia obiektów – środek okręgurysujemy prostą prostopadłą do
jednego z boków przechodzącą przez środek okręgu
 wpisujemy okrąg
 w menu „Edycja” wybieramy „Właściwości” – zmieniamy kolor, styl, grubość, wypełnienie
Miary kątów
 nie znamy miary kąta – klikamy na dwie proste, kierunek przeciwny do ruchu wskazówek
zegara (orientację kąta można również zmienić we właściwościach)kąt o danej mierze –
zaznaczamy dwa punkty np. A i B, w polu tekstowym wpisujemy miarę kąta
Wielokąt, jednokładność
 rysujemy wielokąt (dowolny)
 liczymy pole wielokąta – klikamy „pole” i wskazujemy obiekt
 przekształcamy wielokąt przez jednokładność o środku w danym punkcie - F i danej skali
 klikamy myszką lub
 wpisujemy w pole wprowadzenia: Jednokładność[Wielokąt[A,B,C,D,E],-2,F]
Rysunek 5. Wielokąt i jednokładność
Źródło: opracowanie własne
Wstawianie obrazu
 w pasku narzędzi klikamy w ABC
 wybieramy „wstaw
 w okienku
obraz”
dialogowym pojawi się możliwość
wyboru obrazka z plików
Położenie obrazka:
 w menu „Edycja” wybieramy „właściwości”
 w zakładce „położenie” okienka dialogowego wybieramy położenie obrazka
 w zakładce „style” możemy ustawić przeźroczystość
Rysunek 6. Wstawiony obrazek
Źródło: opracowanie własne
Widok arkusza
 każda komórka ma swoją nazwę – jak w arkuszu kalkulacyjnym
 można wprowadzać liczby, wszystkie typy obiektów matematycznych (współrzędne
punktów, funkcje, polecenia)
 jeżeli to możliwe, graficzna prezentacja obiektu pojawia się w Widoku Grafiki
 domyślne obiekty są klasyfikowane jako Obiekty Pomocnicze w Widoku Algebry
 można je ukryć wybierając „Obiekty Pomocnicze” z menu „Widok”
Pochodna i styczna do wykresu funkcji
 rysujemy wykres funkcji f(x) = sinx
 wyznaczamy styczną do wykresu funkcji w danym punkcie A
 oraz trójkąt nachylenia
Rysunek 7. Wykres funkcji, pochodna i styczna do wykresu funkcji
Źródło: opracowanie własne
Konstrukcja:
 wpisujemy f(x) = sin(x) do pola wprowadzania wybieramy tryb „Nowy punkt“ klikamy na
funkcję f tworzymy punkt A na f
 wybieramy tryb „Styczna“ i kliknij na punkt A a następnie na funkcję f zmieniamy nazwę
stycznej na t
 wprowadzamy polecenie s = Nachylenie[t]
 wybieramy tryb „Przesuń“, chwytamy myszą punkt A i przemieszczamy go obserwując
ruch stycznej
 wprowadzamy tekst B = (x(A), s) włączamy ślad dla tego punktu (prawy przycisk myszy na
B i wybieramy ślad włączony)
 wybieramy tryb „Przesuń” i z użyciem myszy przemieszczamy punkt A – punkt B zostawi
ślad
 wpisujemy polecenie Pochodna[f]
Można teraz wprowadzić inną funkcję, np.: f(x) = x4 –2x3 do pola wprowadzania, pojawi się jej
pochodna i styczna.
Inny sposób konstrukcji:f(x) = sin(x)
 a=2
 T = (a, f(a))
 t = Styczna[a, f]
 s = Nachylenie[t]
 B = (x(T), s)
 Pochodna[f]
 wybieramy tryb „Przesuń“ klikamy na liczbę a możemy zmienić wartość a używając
klawiszy sterowania kursorem (klawisze ze strzałkami) w tym samym czasie punkt T i
styczna przemieszczają się wzdłuż wykresu funkcji f
Suwaki: Można zmieniać wartości a przy użyciu suwaka: w oknie algebry klikamy na obiekcie
prawym przyciskiem myszy i wybieramy „pokaż obiekt”
Wskazówka: suwak jak i klawisze sterowania kursorem są bardzo przydatne do badania
parametrów, np. p i q funkcji f(x) = x² + p x + q.
Moduł 2
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej.
1. Otwórz nowy plik GeoGebra.
2. Wstaw Suwak dla liczby a: przedział -5 do 5, krok 0,1.
3. W Polu wprowadzania wpisz funkcję w postaci h(x) = a*x².
4. Wstaw tekst opisujący działanie Suwaka dla liczby a.
5. Wstaw Suwak dla liczby b: przedział -10 do 6, krok 0,5.
6. Wstaw tekst opisujący działanie Suwaka dla liczby b.
7. Wstaw Suwak dla liczby c: przedział -5 do 7, krok 0,5.
8. Wstaw tekst opisujący działanie Suwaka dla liczby c.
9. W Polu wprowadzania wpisz funkcję w postaci f(x) = a*(x – b)² + c.
10. Przy włączonej opcji Przesuń sprawdź poprawność działania konstrukcji, używając
odpowiednich Suwaków.
11. Wstaw tekst (w polu wprowadzania): „f(x)=”+f. Jego wprowadzenie powoduje
wyświetlanie się wzoru funkcji otrzymanej w wyniku przesunięcia.
12. Wstaw Pole wyboru Pokaż/Ukryj obiekt. W pojawiającym się oknie dialogowym wpisz
w polu tekstowym ) Opis tekst, który będzie się wyświetlał jako nazwa dla pola wyboru, np.
wzór otrzymanej funkcji. Z rozwijalnej listy wybierz obiekt odpowiadający wpisanemu w
punkcie 11 tekstowi. Widoczność tego obiektu ( wzoru funkcji kwadratowej ) kontrolowana
będzie przez Pole wyboru.
13. W Polu wprowadzania wpisz współrzędne wierzchołka paraboli: W = (b,c). Spowoduje
to wyświetlenie się punktu W na paraboli.
14. Wstaw tekst (w polu wprowadzania): „W=”+W. Jego wprowadzenie powoduje wyświetlanie
się współrzędnych wierzchołka W paraboli.
15. Wstaw Pole wyboru Pokaż/Ukryj obiekt. W pojawiającym się oknie dialogowym wpisz
w polu tekstowym Podpis tekst, który będzie się wyświetlał jako nazwa dla pola wyboru,
np. wierzchołek paraboli. Z rozwijalnej listy wybierz obiekty odpowiadające punktowi
W na paraboli oraz tekstowi wyświetlającemu współrzędne tego punktu.
16. Wstaw prostą prostopadłą do osi OX przechodzącą przez punkt W (oś symetrii paraboli).
(Powtarzając kolejne punkty konstrukcji od 13 do 15, wstaw Pole wyboru kontrolujące
wyświetlanie się osi symetrii paraboli i jej wzoru, jak poniżej).
17. W Polu wprowadzania wpisz x=b. Jest to wzór na oś symetrii paraboli.
18. Wstaw tekst: „x=”+b.
19. Wstaw Pole wyboru Pokaż/Ukryj obiekt. W pojawiającym się oknie dialogowym wpisz w
polu tekstowym : Oś symetrii paraboli. Z rozwijalnej listy wybierz obiekt odpowiadający
osi.
20. Używając Właściwości poszczególnych obiektów, dopracuj konstrukcję pod względem
estetycznym.
21. Po sprawdzeniu poprawności działania konstrukcji osadź wszystkie obiekty.
Moduł 3
Zastosowanie GeoGebry w nauczaniu statystyki
1. Otwórz nowy plik GeoGebry.
2. W pasku narzędzi Widok kliknij Widok arkusza.
3. W pola A1 wpisz 1, do A2 wpisz 2 itd. aż do pola A6 wpisz tam 6.
4. Zaznacz pole A7 i kliknij w
. W polu wprowadzania, które się wyświetliło, wpisz:
Średnia[A1:A6] i naciśnij Enter.
W polu A7 pojawiła się średnia arytmetyczna liczb ze zbioru {1,2,3,4,5,6}.
5. Teraz w głównym Polu Wprowadzania GeoGebry wpisz polecenie: Moda[1,2,2,3,4,5,6]
6. W Polu Wprowadzenia wpisz polecenie Mediana[1,2,2,3,4,5,6]
7. Teraz używając trzykrotnie narzędzia Wstaw tekst, wstaw teksty:
1) Średnia arytmetyczna =
2) Dominanta =
3) Mediana =
8. Następnie znów trzykrotnie użyj narzędzia Wstaw tekst, a oknie które się pojawi wybierz
Obiekty a z nich wybierz A7, za drugim razem wybierz Obiekty-> lista1, za trzecim razem
wybierz Obiekty->b.
9. Kliknij Pole wyboru Pokaż/Ukryj obiekt. W opisie wpisz Średnia, dominanta, mediana: a z
listy wybierz wszystkie teksty od tekst1 do tekst6.
10. W Polu Wprowadzania wpisz DiagramKolumnowy[-4,1,{1,2,3,4,5}]
11. Aby zmienić kolor wykresu należy prawym przyciskiem myszy kliknąć w jego dowolne
miejsce -> właściwości -> kolor.
12. W Polu Wprowadzenia wpisz DiagramKolumnowy[{3,4},2]
13. Aby zmienić kolor wykresu należy prawym przyciskiem myszy kliknąć w jego dowolne
miejsce -> właściwości -> kolor
14. W polu wprowadzenia wpisz WykresPudełkowy[2,3,{6,7,8,8,8,8,8,10,10,11}]
15. Aby zmienić kolor wykresu należy prawym przyciskiem myszy kliknąć w jego dowolne
miejsce -> właściwości -> kolor
16. Ukryj etykiety dla powstałych diagramów.
17. Dopracuj konstrukcję pod względem wizualnym.
Moduł 4
Zastosowanie kątów środkowych i wpisanych
Przypomnienie zależności między kątem wpisanym i środkowym opartych na tym samym łuku
Nr
Nazwa
1
Punkt O
Definicja
Uwagi
Drugie okienko na pasku narzędzi »Nowy
punkt» Umieszczamy na obszar roboczy»(Prawy
klawisz) Zmień nazwę »”O”
2
Punkt K
3
Okrąg c
Okrąg przez K o środku O
Szóste okienko paska narzędzi »Okrąg o danym
środku przechodzący przez punkt »zaznaczamy
środek okręgu O a następnie punkt K
4
Punkt L
Punkt na c
Drugie okienko »Punkt na obiekcie
»zaznaczamy dowolny punkt na c
5
Łuk e
ŁukOkręgu[O,K,L]
Pole wprowadzania» ŁukOkręgu[O,K,L]
»Właściwości »Nazwa,Kolor, Pokaż etykietę
6
Łuk d
ŁukOkręgu[O,L,K]
7
Punkt A
Punkt na e
8
Punkt B
Punkt na d
9
Czworobok
Wielokąt A,K,B,L
poly
10
Odcinek_a
Pole wprowadzania »Poly=Wielokąt[ <Punkt>,
..., <Punkt> ]
Odcinek[A,K] z Czworobok
Pole wprowadzania »Odcinek_a=Odcinek[
poly
<Punkt>, <Punkt> ] »Właściwości »Pokaż
etykietę
11
Odcinek_k
Odcinek[K,B] z Czworobok
poly
12
Odcinek_b
Odcinek[B,L] z Czworobok
poly
13
Odcinek_l
Odcinek[L,A] z Czworobok
poly
14
Kąt β
Kąt pomiędzy K, B, L
Po prawej stronie pola wprowadzania
wybieramy symbol β» β= Kąt[ <Punkt>,
<Wierzchołek>, <Punkt> ]
15
Kąt α
Kąt pomiędzy L, A, K
16
Odcinek f
Odcinek[O,K]
17
Odcinek g
Odcinek[O,L]
18
Kąt γ
Kąt pomiędzy K,O,L
19
Kąt δ
Kąt pomiędzy L,O,K
20
Tekst
”α+β=”+α+”+”+β+”=”+(α+β) W polu wprowadzania lub wstaw tekst
21
Tekst
Jaka jest zależność między
kątami wpisanymi opartymi
na łukach dopełniających się?
10 okienko »Wstaw tekst
Literatura
Kandzia J., Nowe metody nauczania w matematyce, Wydawnictwo WEMA, Warszawa 2012.,
http://joanna-kandzia.rhcloud.com/wp-content/uploads/2015/09/Nowe-metody-nauczaniaw-matematyce_publikacja-projektu.pdf
Winkowska-Nowak K., Pobiega E., Skiba R. (red.), GeoGebra: wprowadzenie innowacji
edukacyjnej, Wydawnictwo Naukowe UMK, Toruń 2011.
http://www.geogebra.org/cms/pl (materiały prezentacyjne) [22.01.2012]
http://www.geogebra.org [10.01.2012]
http://www.excelszkolenie.pl