Badania niezawodno ściowe i statystyczna analiza ich wyników 0t

Badania niezawodnościowe i statystyczna analiza
ich wyników
1. Element nienaprawialny, badania niezawodności
Model matematyczny elementu - dodatnia zmienna
losowa T, określająca czas życia elementu
Opis zmiennej losowej - rozkład, lub jego parametry
1.1. Rozkłady zmiennych losowych
Sposoby opisu rozkładu zmiennej losowej:
•
•
•
•
funkcja gęstości rozkładu f(t)
dystrybuanta rozkładu F(t)
funkcja niezawodności R(t)
funkcja intensywności uszkodzeń λ(t)
Wybrane rozkłady zmiennych losowych:
• rozkład wykładniczy
f (t ) = λ e − λt
t≥0
F( t ) = 1 − e − λ t
t≥0
R ( t ) = e − λt
t≥0
λ(t ) = λ
t≥0
Wydział Elektroniki Politechniki Wrocławskiej,
Niezawodność i eksploatacja systemów cyfrowych, rok III
Jak wyglądają funkcje f(t) i F(t) dla rozkładu
wykładniczego ?
2
1.5
1
0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
f(t)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
F(t)
Wydział Elektroniki Politechniki Wrocławskiej,
Niezawodność i eksploatacja systemów cyfrowych, rok III
8
Przykład 1
Element, którego czas życia opisany jest
zmienną losową o rozkładzie wykładniczym
przepracował τ1 jednostek czasu. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że element będzie jeszcze
działał przez czas τ2 ?
P ( τ 2 τ1 ) =
P ( τ 2 τ1 ) =
P( τ1 + τ 2 ) R ( τ1 + τ 2 )
=
P( τ1 )
R ( τ1 )
exp( − λ ( τ1 + τ 2 ))
= exp( − λτ 2 ) = R ( τ 2 )
exp( − λτ 1 )
Własność ta zwana jest brakiem pamięci.
• rozkład normalny (1773 r.)
 ( t − µ )2 
1
f (t ) =
exp
2 
2πσ
σ
2


F( t ) =
t
∫
−∞
 ( τ − µ )2 
1
exp
dτ
2 
2πσ
 2σ 
• inne rozkłady
Wydział Elektroniki Politechniki Wrocławskiej,
Niezawodność i eksploatacja systemów cyfrowych, rok III
Parametry pozycyjne rozkładu zmiennej losowej.
Jak opisać (oczywiście w przybliżeniu) rozkład przy
pomocy jednej, lub kilku liczb?
•
wartość średnia ( wartość oczekiwana, średni czas
życia, mean)
∞
E ( T ) = µ = ∫ t f ( t ) dt
0
•
wariancja ( miara rozproszenia rozkładu wokół
wartości średniej, variance)
∞
D( T ) = E {( T − µ ) } = σ = ∫ ( t − µ )2 f ( t ) dt
2
2
0
σ - odchylenie standardowe
•
współczynnik skośności (współczynnik asymetrii,
skewness)
S( T ) =
•
E {( T − µ )3 }
σ3
=
1
σ
∞
3
t
−
µ
f ( t ) dt
(
)
∫
3
0
współczynnik zakrzywienia ( kurtosis )
K(T ) =
E {( T − µ )4 }
σ4
=
1
σ4
∞
4
t
−
µ
f ( t ) dt
(
)
∫
0
Wydział Elektroniki Politechniki Wrocławskiej,
Niezawodność i eksploatacja systemów cyfrowych, rok III
Przykłady opisu niektórych rozkładów przy pomocy
parametrów:
Rozkład
mean
variance skewness kurtosis
jednostajny
[ 0,1 ]
0.500
0.083
0.000
1.800
1.000
0.330
0.000
1.800
1.000
1.000
1.870
7.730
0.500
0.250
1.870
7.730
0.000
1.000
0.000
3.000
1.000
1.000
0.000
3.000
0.886
0.214
0.644
3.261
0.893
0.105
0.157
2.629
jednostajny
[ 0,2 ]
wykładniczy
λ=1
wykładniczy
λ=2
normalny
µ = 0, σ = 1
normalny
µ = 1, σ = 1
Weibulla
λ = 1, k = 2
Weibulla
λ = 1, k = 3
Wydział Elektroniki Politechniki Wrocławskiej,
Niezawodność i eksploatacja systemów cyfrowych, rok III
Opis rozkładu zmiennej losowej przy pomocy kwantyli.
1
p
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
3
tp
4
5
6
7
8
F(t)
p - poziom ( liczba z przedziału [0, 1] )
tp - kwantyl na poziomie p
Kwantyl tp jest rozwiązaniem równania
F( t ) = p
Rozkład zmiennej losowej można w przybliżeniu opisać
podając pewną liczbę kwantyli.
Wydział Elektroniki Politechniki Wrocławskiej,
Niezawodność i eksploatacja systemów cyfrowych, rok III
Szczególna rola funkcji intensywności uszkodzeń λ(t)
λ ( t ) = lim
1
∆ →0 ∆
P (T ∈ [t , t + ∆ ] | T > t )
λ( t ) =
f (t )
1− F ( t )
1
1
F(t)
F(t)
0.5
0.5
0
0
0
1
2
3
4
0
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1.5
1.5
f(t)
f(t)
1
1
0.5
0.5
0
1
0
0
60
1
2
3
4
0
4
λ(t)
λ(t)
40
2
20
0
0
1
2
a
3
4
0
0
b
Przebiegi funkcji dystrybuanty F(t), gęstości f(t) i funkcji
intensywności uszkodzeń λ(t) dla przykładowych
rozkładów prawdopodobieństwa.
(a - rozkład Weibulla, b - rozkład logarytmonormalny)
Wydział Elektroniki Politechniki Wrocławskiej,
Niezawodność i eksploatacja systemów cyfrowych, rok III
1.2. Badania niezawodnościowe
Jaki jest rozkład zmiennej losowej opisującej czas
życia elementu ?
Odpowiedź na pytanie wymaga zwykle przeprowadzenia
eksperymentu.
Pojęcia podstawowe i stosowana terminologia:
• populacja - zbiór wszystkich elementów danego
rodzaju
• próba losowa - wybrane w pewien sposób niektóre
elementy populacji opisane przez wektor
T = T1 , T2 ,..., Ti ,..., Tn
gdzie
T - wektor losowy
Ti - zmienna losowa (czas życia i-tego elementu)
• badanie – sposób uzyskania wiedzy o elementach z
próby losowej, wynikiem badania jest
t 1 , t 2 ,..., t i ,..., t n
ti - realizacje zmiennych losowych Ti
• statystyka – funkcja wektora losowego T
S(T) = S( T1 , T2 ,..., Ti ,..., Tn )
Wydział Elektroniki Politechniki Wrocławskiej,
Niezawodność i eksploatacja systemów cyfrowych, rok III
Przeprowadzanie badań niezawodnościowych:
• pobranie próby losowej
• oczekiwanie i notowanie chwil uszkodzeń kolejnych
elementów, z jednoczesnym sprawdzaniem czy nie
jest spełnione kryterium zakończenia badania
Kryteria zakończenia badania:
• uszkodzenie wszystkich n elementów wchodzących
w skład próby losowej (badanie pełne)
• uszkodzenie zadanej liczby k (k<n) elementów
• przekroczenie dopuszczalnego czasu badania T0
• uszkodzenie zadanej liczby k elementów, lub
przekroczenie dopuszczalnego czasu badania T0
Wynikiem badania niezawodnościowego jest zawsze
zbiór danych
t 1 , t 2 ,..., t i ,..., t k
Trudności z uzyskaniem zadowalająco licznych zbiorów
danych:
• przyspieszone badania niezawodności
Dalej rozważane będzie jedynie badanie pełne
Wydział Elektroniki Politechniki Wrocławskiej,
Niezawodność i eksploatacja systemów cyfrowych, rok III
2. Metody reprezentacji wyników badań
2.1. Tabela
numer
1
2
czas
t1
t2
...
i
...
ti
n
tn
2.2. Histogram
Budowa histogramu:
• wyznaczenie zakresu rysowania
• podział zakresu rysowania na równe podprzedziały
• wyznaczenie dla każdego podprzedziału liczby
należących do niego danych (lub odpowiednich
częstości)
• narysowanie odpowiedniego wykresu słupkowego
Przykład 2
Z rozkładu normalnego o parametrach µ = 10,
σ = 2 wylosowano n = 100 liczb.
Jak narysować histogram ?
Jaki jest wpływ liczby podprzedziałów na wygląd
histogramu?
Wydział Elektroniki Politechniki Wrocławskiej,
Niezawodność i eksploatacja systemów cyfrowych, rok III
40
30
20
10
0
5
10
15
n =100, m = 5
15
10
5
0
5
10
15
n = 100, m = 20
5
4
3
2
1
0
5
10
n = 100, m = 100
Wydział Elektroniki Politechniki Wrocławskiej,
Niezawodność i eksploatacja systemów cyfrowych, rok III
15
2.3. Gęstość empiryczna
• wysokość słupka histogramu gęstości empirycznej
jest wyznaczana przez podzielenie częstości dla
danego przedziału, przez jego długość
2.4. Dystrybuanta empiryczna
Funkcja określona następująco:
t ≤ t1
t k < t ≤ t k +1
t > tn
 0
)

Fn (t ) = k / n
 1

Przykład 3
Z rozkładu normalnego o parametrach µ = 10,
σ = 2 wylosowano n1 = 10, n2 = 100 i n3 = 1000 liczb.
Jak
wygląda
dystrybuanta
empiryczna
dla
poszczególnych przypadków ?
1
N =10
0.8
0.6
0.4
0.2
0
6
8
10
12
14
Wydział Elektroniki Politechniki Wrocławskiej,
Niezawodność i eksploatacja systemów cyfrowych, rok III
16
1
N =100
0.8
0.6
0.4
0.2
0
4
6
8
10
12
14
16
18
1
N =1000
0.8
0.6
0.4
0.2
0
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Twierdzenie 1 (Gliwienki )
Niech
D n = sup F̂(t ) − F(t )
t∈R
będzie odległością dystrybuanty empirycznej od
dystrybuanty F(t). Jeżeli t1,t2,...,ti,...,tn , pochodzą z
rozkładu o dystrybuancie F(t) to
P( lim D n = 0) = 1
n →∞
Wydział Elektroniki Politechniki Wrocławskiej,
Niezawodność i eksploatacja systemów cyfrowych, rok III
3. Estymacja rozkładu zmiennej losowej
3.1. Sformułowanie zadania estymacji
Niech
T =T1,T2,...,Tn
wektorem opisującym
próbę losową pobraną z jednego z rozkładów
rodziny parametrycznej
{Fθ : θ ∈ Θ}
przy czym wartość parametru θ identyfikującego
rozkład nie jest znana.
Jak wykorzystać próbę losową dla wyciągnięcia
wniosków dotyczących nieznanego parametru θ ?
Sposób postępowania:
Skonstruować statystykę
θˆ (T) = θˆ (T1 , T2 ,..., Ti ,..., Tn )
zwana estymatorem punktowym, w taki sposób aby
jej wartość była bliska prawdziwej wartości
parametru θ.
W jaki sposób uzyskać
określającą estymator ?
funkcję
(statystykę)
Jak ocenić jakość estymatora punktowego ?
Wydział Elektroniki Politechniki Wrocławskiej,
Niezawodność i eksploatacja systemów cyfrowych, rok III
3.2. Ocena estymatorów i ich własności
Jakość estymatora można próbować oceniać przy
pomocy wyrażenia (opisującego błąd)
(
)
2

ˆ
ˆ
ζ(θ) = E θ − θ 


Po kilku przekształceniach uzyskuje się.
( ))  + [E(θˆ )− θ]
(
ζ (θˆ ) = E  θˆ − E θˆ

2
2
()
()
= Var θˆ + b 2 θˆ
gdzie
()
b(θˆ ) = E(θˆ ) − θ
Var θ̂
θ - wariancja estymatora
- obciążenie estymatora
Aby błąd ξ był mały wariancja powinna być możliwie
mała i obciążenie estymatora winno wynosić 0.
Definicja 1
Estymatory o obciążeniu równym 0 noszą nazwę
estymatorów nieobciążonych.
Definicja 2
Jeżeli
(
)
P θˆ n − θ > ε → 0
n →∞
to estymator nazywamy zgodnym.
Wydział Elektroniki Politechniki Wrocławskiej,
Niezawodność i eksploatacja systemów cyfrowych, rok III
3.3. Obliczanie estymatorów metodą największej
wiarogodności
R. A. Fisher
Definicja 3
θ,t) i jeśli
Jeżeli zmienna losowa ma gęstość f(θ
T = T1 , T2 ,..., Ti ,..., Tn jest próbą z rozkładu tej zmiennej, to
łączna gęstość próby rozpatrywana jako funkcja
parametru θ na postać
n
L(θ ; t 1 , t 2 ,..., t i ,..., t n ) = ∏ f (θ, t i )
i =1
i nosi nazwę funkcji wiarogodności.
Twierdzenie 2
Niech T = T1 , T2 ,..., Ti ,..., Tn będzie próbą z rozkładu o
gęstości f(θ
θ,t) oraz θ0 prawdziwą wartością
poszukiwanego parametru θ.
Wówczas dla każdej ustalonej wartości parametru
θ ≠ θ 0 zachodzi
P[f (θ 0 , T1 ) ... f (θ 0 , Tn ) > f (θ, T1 ) ... f (θ, Tn ) ] → 1
gdy n → ∞
Wniosek 1
Jako wartość parametru θ należy przyjąć wartość θ̂
θ,
która maksymalizuje funkcję wiarogodności.
Wydział Elektroniki Politechniki Wrocławskiej,
Niezawodność i eksploatacja systemów cyfrowych, rok III
Przykład 3
Niech T = T1 , T2 ,..., Ti ,..., Tn będzie próbą z rozkładu
normalnego o parametrach θ = [µ , σ ] . Przy pomocy
metody największej wiarogodności należy wyznaczyć
θ̂
θ.
Funkcja wiarogodności wygląda następująco
2
(
)
L µ , σ ; t 1 ,..., t n =
2
(
 1 n
2
−
(
t
µ
)
exp
−


n
2 ∑ i
2
σ
i =1


2πσ
1
)
Po logarytmowaniu otrzymujemy
(
ln L µ , σ ; t 1 ,..., t n
2
)
n
n
1 n
= − 2 ∑ (t i − µ ) 2 − ln σ 2 − ln 2π
2
2
2σ i =1
Obliczenie pochodnych prowadzi do układu równań,
∂L 1 n
= 2 ∑ (t i − µ ) = 0
∂µ σ i =1
∂L
1 n
n
2
(
t
−
µ
)
−
=0
=
2
2
4 ∑ i
4σ i =1
2σ
∂σ
którego rozwiązanie ma postać
1 n
µˆ = ∑ t i = t
n i =1
1 n
σˆ = ∑ (t i − t ) 2
n i =1
2
Można pokazać, że w wyznaczonym punkcie, funkcja
wiarogodności osiąga maksimum.
Wydział Elektroniki Politechniki Wrocławskiej,
Niezawodność i eksploatacja systemów cyfrowych, rok III