Filtry cyfrowe – cz.2

Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-1-
Filtry cyfrowe – cz.2
Zastosowanie funkcji okien do projektowania filtrów SOI
Nierównomierności charakterystyki amplitudowej filtru cyfrowego typu SOI można
zredukować stosując funkcje okien wyznaczające rząd filtru, inne niż o kształcie prostokąta.
Na rysunku niżej przedstawiono przypadek stosowania okna prostokątnego w[n].
Z ciągu nieskończonego odpowiedzi impulsowej filtru h∞[n] wybierana jest żądana liczba
współczynników filtru. Operacja ta polega na mnożeniu funkcji w[n] oraz h∞[n].
h[n] = w[n]⋅ h ∞ [n]
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-2-
W dziedzinie częstotliwości odpowiada to operacji splatania transformat Fouriera funkcji
w[n] oraz h∞[n].
H [m] = W [m]∗ H ∞ [m]
Rysunek poniżej przedstawia w sposób graficzny, splot w dziedzinie częstotliwości.
Jeżeli będziemy interpretować splot jako sumę iloczynów |W[m]| oraz |H∞[m]| dla kolejnych
przesunięć W[m] względem H∞[m] to łatwo zauważyć przyczynę powstawania zafalowań
charakterystyki amplitudowej filtru.
Możemy także zauważyć, że największe wartości zafalować w paśmie przepustowym
charakterystyka osiąga w punkcie, w którym kończy się pasmo przepustowe charakterystyki
filtru idealnego, o charakterystyce prostokątnej.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-3-
Rysunek poniżej przedstawia obszar nierównomierności oraz obszar przejściowy filtru
dolnoprzepustowego, wyznaczanego dla okna prostokątnego, dla dwóch różnych rzędów
Zredukowanie nieciągłości okna w[n]
Projektowanie metodą okna polega na zredukowaniu nieciągłości w[n] przez
zastosowanie okna o innego niż prostokątne.
Zastąpimy okno prostokątne oknem, którego dyskretne wartości wyznacza zależność:
 4πn 
 2πn 
w[n] = 0,42 − 0,5 cos
 dla n = 0,1,2,..., N − 1
 + 0,08 cos
 N 
 N 
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-4-
Rysunek poniżej przedstawia zastosowanie okna Blackamana do projektowania filtru
SOI, oraz charakterystyki filtrów 31 i 63 rzędu.
Dzięki zastosowaniu okna Blackmana znacznie zmniejszono zafalowania w paśmie
przepustowym.
Oczywiście dla rozpatrywanego dolnoprzepustowego filtru SOI możemy użyć innej,
dowolnej funkcji okna. Na tym właśnie polega istota projektowania filtrów SOI tą metodą, tj.
metodą okna.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-5-
Przykłady i porównanie innych okien wygładzających w[n]
Rysunek poniżej przedstawia porównanie charakterystyk filtru o oknie prostokątnym i
oknie Blackmana. Dzięki zastosowaniu odpowiedniego okna można zatem poprawić
własności filtru, poprzez zmniejszenie poziomu listków bocznych.
Należy być jednak świadomym tego, że to polepszenie uzyskuje się dzięki poszerzeniu
listka głównego, i projektowanie zwykle polega na znalezieniu odpowiedniego kompromisu
między szerokością listka głównego i poziomem listków bocznych
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-6-
Okno Czebyszewa


 m  
cos N ⋅ cos −1 α ⋅ cos π  
 N  


w[n] =
cosh N ⋅ cosh −1 (α )
[
]
gdzie
α = cosh
1

cosh −1 10γ 
N

m = 0,1,2,..., N − 1
( )
Funkcja została wyprowadzona, na podstawie analizy macierzowej anten. Parametr
gamma umożliwia sterowanie szerokością listka bocznego oraz poziomem listków bocznych.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-7-
Okno Kaisera
2

n− p 
I 0  β 1 − 
 

 p  

w[n] =
I 0 (β )
gdzie
n = 0,1,2,..., N − 1
N −1
p=
2
Równanie pochodzi z badań Kaisera nad funkcjami sferycznymi z użyciem funkcji Bessela
zerowego rzędu. Parametr beta umożliwia sterowanie szerokością listka bocznego oraz
poziomem listków bocznych.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-8-
Projektowanie środkowoprzepustowych filtrów SOI
Projektowanie filtru środkowoprzepustowego polega na przesunięciu charakterystyki
filtru dolnoprzepustowego. Można tego dokonać przez pomnożenie współczynników filtru
dolnoprzepustowego hlp[n] przez funkcję sinusoidalną o częstotliwości fs/4. W wyniku
otrzymuje się współczynniki filtru środkowoprzepustowego hbp[n]. Sinusoidę reprezentuje na
rysunku ciąg sshift[n], są to próbki sinusoidy pobierane 4 razy w okresie.
hhp [n] = hlp [n]⋅ sshift [n] = hlp [n]⋅ [0,1,0,−1,0,1,0,−1,0,1...]
Przy projektowaniu filtru pasmowego SOI o częstotliwości środkowej fs/4 musimy dokonać
jedynie połowę mnożeń, ponieważ co drugi współczynnik jest zerem. Jeżeli jednak środkowa
częstotliwość jest różna od fs/4 to musimy wykonać wszystkie mnożenia.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
Projektowanie górnoprzepustowych filtrów SOI
Aby wyznaczyć współczynniki filtru górnoprzepustowego hhp[n], należy jedynie
zmodyfikować ciąg przesuwający. Ciąg sshift[n] powinien reprezentować sinusoidę o
częstotliwości fs/2.
hhp [n] = hlp [n]⋅ sshift [n] = hlp [n]⋅ [1,−1,1,−1,1,−1,1,−1...]
-9-
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-10-
Charakterystyka fazowa filtrów SOI
Jedną z podstawowych właściwości filtrów SOI jest liniowość charakterystyki
fazowej. Przykład wyznaczania charakterystyki przedstawia rysunek niżej.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-11-
Zauważymy, że charakterystyka fazowa jest liniowa w paśmie przepustowym. Oznacza to
jednakowe opóźnienie wszystkich składników częstotliwościowych, a to oznacza że sygnał
wejściowy nie jest zniekształcany. Ta cecha dotyczy wszystkich filtrów SOI o symetrycznych
współczynnikach.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-12-
Filtry o nieskończonej odpowiedzi impulsowej NOI
Filtry tego typu zawsze wymagają sprzężenia zwrotnego. Inaczej, każda próbka
sygnału wyjściowego zależy od poprzednich próbek sygnału wejściowego i wyjściowego.
Filtry NOI w porównaniu z filtrami SOI, są bardziej skomplikowane w projektowaniu
i analizie i nie mają liniowej charakterystyki fazowej, są jednak bardziej efektywne. NOI
wymagają znacznie mniejszej liczby mnożeń do obliczenia próbki sygnału wyjściowego niż
SOI przy zapewnieniu odpowiedniej charakterystyki filtru.
Na rysunku porównano charakterystyki amplitudowe dolnoprzepustowego filtru NOI 4 rzędu
oraz filtru SOI 19 rzędu.
•
SOI 19 rzędu wymaga 19 operacji mnożenia
•
NOI 4 rzędu wymaga 9 operacji mnożenia
Filtr NOI ma mniejsze nierówności w paśmie przepustowym, mniejsze pasmo
przejściowe i jest bardziej efektywny ze względu na liczbę operacji matematycznych.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-13-
Struktura filtru SOI
Na rysunku przedstawiono schemat blokowy przedstawiający strukturę filtru SOI opisanego
równaniem różnicowym w dziedzinie czasu:
y[n] = h[0]x[n] + h[1]x[n − 1] + h[2]x[n − 2] + h[3]x[n − 3]
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-14-
Struktura filtru NOI
Na rysunku przedstawiono schemat blokowy przedstawiający strukturę filtru NOI opisanego
równaniem różnicowym w dziedzinie czasu:
y[n] = b[0]x[n] + b[1]x[n − 1] + b[2]x[n − 2] + b[3]x[n − 3] +
+ a[1]y[n − 1] + a[2]y[n − 2] + a[3]y[n − 3]
Ciąg d[n] w strukturze filtru NOI jest równy ciągowi y[n] w strukturze filtru SOI
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
Przykład dolnoprzepustowego filtru NOI drugiego rzędu
y[n] = 0,0605 x[n] + 0,121x[n − 1] + 0,0605 x[n − 2] +
+ 1,194 y[n − 1] − 0,436 y[n − 2]
Transformata ZET
Y ( z ) = 0,0605 X ( z ) + 0,121X ( z )z −1 + 0,0605 X ( z )z −2 +
Transmitancja
+ 1,194Y ( z )z −1 − 0,436Y ( z )z − 2
0,0605 + 0,121z −1 + 0,0605 z −2
H (z ) =
1 − 1,194 z −1 + 0,436 z − 2
Charakterystyka częstotliwościowa
0,0605e − j 0ω + 0,121e − j1ω + 0,0605e − j 2ω
H ( jω ) =
1 − 1,194e − j1ω + 0,436e − j 2ω
-15-
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-16-
Rysunek przedstawia charakterystykę amplitudową i fazową obliczonego filtru:
Dla porównania wykreślono charakterystyki filtru SOI 5 rzędu
Charakterystyka fazowa filtru NOI jest nieliniowa.
Przy tym samym nakładzie obliczeń filtrów charakterystyka amplitudowa filtru NOI ma
mniejsze nierówności i jest bardziej stroma w paśmie przejściowym niż SOI.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-17-
Projektowanie filtrów NOI metodą niezmienniczości odpowiedzi
impulsowej
Metoda polega na projektowaniu filtru cyfrowego, którego odpowiedź impulsowa jest
spróbkowaną wersją odpowiedzi filtru analogowego. Jeżeli prototypowy filtr analogowy ma
żądaną charakterystykę częstotliwościową, to projektowany filtr cyfrowy NOI będzie
aproksymował tę charakterystykę
Na podstawie tego co wiemy o zjawisku powielania widma na skutek próbkowania sygnału,
możemy stwierdzić, widmo ciągłej odpowiedzi impulsowej ulegnie powieleniu o otrzymamy
widmo okresowe.
Podczas projektowani filtrów NOI efekt nakładania widma (aliasingu) należy uwzględniać
podczas projektowani. Z tego powodu w praktyce wybiera się duże częstotliwości
próbkowania.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-18-
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-19-
Przykład projektowania filtru NOI
Zaprojektujemy filtr
przepustowym wynosi 1dB.
NOI,
którego
nierówność
charakterystyki
Częstotliwość próbkowania 100Hz. (ts=0.01).
Częstotliwość graniczna przy spadku o 1dB wynosi 20Hz.
Analogowy filtr Czebyszewa odpowiadający wymaganiom ma transmitancję:
H c (s ) =
17410,145
s + 137,94536 s + 17410,145
2
Obliczymy odwrotną transformatę Laplace’a wykorzystując zależność:
Aω
(s + α ) + ω 2
2
L

→
Ae −αt sin (ωt )
hc (t ) = 154,77724e −68,972680t sin (112,485173t )
w
paśmie
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-20-
Obliczymy transformatę ZET wykorzystując zależność
Ce
−αnt s
Ce −αt s sin (ωt s )z −1
sin (ωnt s ) 
→
1 − 2 e −αt s cos(ωt s ) z −1 + e − 2αt s z − 2
Z
[
]
154,77724e −68,972680t s sin (112,485173t s )z −1
H (z ) =
1 − 2 e − 68,972680t s cos(112,485173t s ) z −1 + e − 2⋅68,972680t s z − 2
[
]
70,059517 z −1
H (z ) =
1 − 0,43278805 z −1 + 0,25171605 z − 2
Stąd można wyznaczyć równanie różnicowe realizujące filtr NOI
[
X ( z )70,059517 z −1 = Y ( z ) 1 − 0,43278805 z −1 + 0,25171605 z −2
]
Y ( z ) = X ( z )70,059517 z −1 + Y ( z )0,43278805 z −1 − Y ( z )0,25171605 z −2
Ostatecznie:
y[n] = 70,059517 x[n − 1] + 0,43278805 y[n − 1] − 0,25171605 y[n − 2]
KONIEC