8 Krzysztof SZABAT - Instytut Maszyn, Napędów i Pomiarów

8 Krzysztof SZABAT - Instytut Maszyn, Napędów i Pomiarów

Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych
Nr 60
Politechniki Wrocławskiej
Nr 60
Studia i Materiały
Nr 27
2007
Układ dwumasowy, tłumienie drgań,
automatyka napędu elektrycznego
Krzysztof SZABAT *
STEROWANIE UKŁADU NAPĘDOWEGO Z POŁĄCZENIEM
SPRĘŻYSTYM Z WYKORZYSTANIEM METODY RRC
W referacie przedstawiono strukturę sterowania układu napędowego z połączeniem sprężystym
opartą na zapewnieniu odpowiedniej wartości stosunku częstotliwości rezonansowych RRC
(Resonance Ratio Control). Omówiono zasadę działania struktury RRC. Pokazano wypływ zadanej
wartości stosunku częstotliwości rezonansowych na właściwości dynamiczne układu dwumasowego.
Przedstawiono badania symulacyjne potwierdzające duża skuteczność tłumienia drgań skrętnych
przez omawianą strukturę. Rozważania teoretyczne i wyniki badań symulacyjnych potwierdzono
szeregiem testów na stanowisku laboratoryjnym przeprowadzonych dla różnej wartości parametrów
części mechanicznej stanowiska laboratoryjnego.
1. WSTĘP
Przed nowoczesnymi napędami przemysłowymi stawiane są bardzo duże
wymagania dotyczące ich właściwości dynamicznych i statycznych. Żąda się od nich
osiągania zadawanych wartości prędkości (pozycji) z możliwie dużą dynamiką, przy
jednoczesnym minimalizowaniu procesów przejściowych. Dąży się do skracania
czasu narostu odpowiedzi układu przy jednoczesnym minimalizowaniu
przeregulowań i niedopuszczeniu do powstania oscylacji zmiennych stanu układu.
Przy projektowaniu typowych układów przemysłowych przeważnie zaniedbuje się
sprężystość połączenia pomiędzy silnikiem a maszyną roboczą. W przypadku
typowych układów napędowych to założenie jest słuszne, istnieje jednak duża grupa
napędów w analizie których pominięcie charakterystyki części mechanicznej jest
niedopuszczalne. Problem drgań skrętnych rozpatrywany był pierwotnie w napędach
dużych mocy. Typowymi przykładami są tutaj napędy walcownicze, wyciągowe i
__________
*
Politechnika Wrocławska, Instytut Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych, 50-370 Wrocław,
ul. Smoluchowskiego 19, [email protected]
papiernicze [1], [2]. Oscylacje elektromechanicznych zmiennych stanu pojawiają się
też w napędach dźwignic, taśmociągów czy radioteleskopów [3], [4]. Rozwój
energoelektroniki i techniki mikroprocesorowej umożliwił opracowanie struktur
regulacji sterujących w praktycznie bezinercyjny sposób momentem
elektromagnetycznym silnika elektrycznego [5]. Zwiększona dynamika wymuszenia
momentu spowodowała ujawnienie charakterystyki sprzęgła mechanicznego w innych
grupach układów napędowych. Problem drgań skrętnych występuje w nowoczesnych
serwonapędach, napędach maszyn papierniczych, tekstylnych, w napędach robotów
[6], [7].
W celu efektywnego tłumienia drgań skrętnych układu o niskiej bądź średniej
częstotliwości rezonansowej należy zastosować zaawansowaną strukturę sterownia
[4]. Może to być klasyczna struktura kaskadowa z regulatorem PI i z dwoma
dodatkowymi sprzężeniami zwrotnymi bądź struktura z regulatorem stanu [4]-[6].
Zaawansowane struktury sterownia umożliwiają kształtowanie właściwości
dynamicznych obiektu w szerokim zakresie pracy. Ich wadą jest konieczność
posiadania informacji o niemierzalnych zmiennych stanu obiektu, co w znacznym
stopniu zwiększa stopień komplikacji układu sterowania.
Struktura sterowania RRC wymieniana jest często jako układ zapewniający
efektywne tłumienie drgań skrętnych. Bazuje ona do wprowadzenia do układu
sterowania estymowanego momentu obciążenia. Wartość współczynnika
dodatkowego sprzężenia zwrotnego zależy od stosunku częstotliwości rezonansowej
do antyrezonansowej H układu mechanicznego. W celu efektywnego tłumienia drgań
skrętnych wymagana jest jego relatywnie duża wartość (od 1,4 do 2 ). Wymuszenie
większej wartości H w niewielkim stopniu wpływa na efektywność tłumienia drgań
skrętnych, a powoduje trudności w implementacji praktycznej układu sterowania.
Metodę sterowania uwzględniającą opóźnienie estymaty momentu skrętnego nazwano
Slow Resonance Ratio Control [7].
Praca składa się z pięciu części. Po krótkim wstępie przedstawiono model
matematyczny obiektu badań. W punkcie trzecim omówiono strukturę sterownia RRC
i przedstawiono przykładowe wyniki badań symulacyjnych. Kolejno opisano
stanowisko laboratoryjne i zaprezentowano wyniki badań eksperymentalnych. Na
końcu zamieszczono krótkie podsumowanie z wykonanych badań.
2. MODEL MATEMATYCZNY OBIEKTU BADAŃ
Przedmiotem badań jest układ napędowy z połączeniem sprężystym. Składa się on
mas skupionych silnika i obciążenia rozmieszczonych na końcach sprężystego wału.
Do rozważań przyjęto model układu mechanicznego z bezinercyjnym połączeniem
sprężystym [4]. Badany obiekt opisany jest następującym równaniem stanu (w
jednostkach względnych):
− d

 ω1 (t )  T1
d 
= d
ω
(
t
)
2
 T
dt 
 m s (t )  2
1

 Tc
d
T1
−d
T2
−1
Tc
− 1
1

T1  ω (t )  T1
1

1 
+0
ω
(
t
)
2
 
T2  

m
  s (t )  0
0




0

− 1   me 
.
T2  m L 
0


(1)
gdzie: me – moment elektromagnetyczny, ω1 – prędkość silnika, ω2 – prędkość
maszyny obciążającej, ms – moment skrętny, mL – moment obciążenia, T1 – mechaniczna stała czasowa silnika, T2 – mechaniczna stała czasowa maszyny obciążającej,
TC – stała czasowa elementu sprężystego, d – współczynnik tłumienia wewnętrznego.
Na podstawie równania (1) można wyprowadzić transmitancje przewodnie
prędkości silnika i maszyny roboczej. Są one określone przez poniższe wyrażenia.
s 2 (T2Tc ) + s (dTc ) + 1
,
=
me s s 2 (T1T2Tc ) + sdTc (T1 + T2 ) + (T1 + T2 )
(2)
s(dTc ) + 1
.
s s (T1T2Tc ) + sdTc (T1 + T2 ) + (T1 + T2 )
(3)
ω
G pω (s ) = 1
1
G p ω 2 (s ) =
ω2
me
[
=
[
]
]
2
Ze względu na niewielką wartość współczynnika d pomija się go w dalszej analizie
układu napędowego. Charakterystyki częstotliwościowe transmitancji (2)-(3) dla
przykładowych parametrów układu dwumasowego przedstawiono na rys. 1.
a)
b)
Rys. 1. Charakterystyki częstotliwościowe 2 (a) i 3 (b)
Fig. 1. Frequency characteristics of the: 2 (a) and 3 (b)
Na charakterystyce częstotliwościowej transmitancji przewodniej prędkości silnika
(2) widoczne są dwa charakterystyczne punkty: pulsacja antyrezonansowa i pulsacja
rezonansowa. Wyrażenie (3) posiada jedynie pulsacje rezonansową. Wymienione
wielkości opisane są za pomocą następujących zależności:
ω rez =
ω are =
T1 + T2
,
T1T2Tc
(4)
1
.
T1Tc
(5)
Inne podstawowe wielkości charakteryzujące układ sprężysty to stosunek
momentu bezwładności maszyny obciążenia do momentu bezwładności silnika.
R=
J 2 T2
=
,
J 1 T1
(6)
oraz stosunek częstotliwości rezonansowej do antyrezonansowej:
H0 =
ω rez
.
ω are
(7)
Wielkość ta odnosi się do układu mechanicznego bez dodatkowych sprzężeń
zwrotnych.
3. STRUKTURA STEROWANIA RRC
Jak wynika z przeglądu literatury struktura sterowania RRC jest często stosowana
do tłumienia drgań skrętnych układu dwumasowego, zwłaszcza w obecności luzu
mechanicznego [7]. Istota metody RRC polega na zapewnieniu odpowiednio dużej
wartości stosunku częstotliwości:
H=
ωrez _ n
,
ω are
(8)
gdzie: ωrez_n wartość pulsacji rezonansowej układu z uwzględnieniem wpływu
dodatkowego sprzężenia od momentu skrętnego.
Optymalna wartość współczynnika H zawiera się w granicach od 1.5 do 2 [7].
Przyjęcie jego mniejszej wartości prowadzi do nieefektywnego tłumienia drgań
skrętnych. Zaprojektowanie układu z wartością współczynnika H większą od 2 nie
prowadzi do polepszenia właściwości dynamicznych układu. Jego duża wartość może
wręcz doprowadzić do niestabilnej pracy układu napędowego. Wynika to z
wprowadzenia do sygnału momentu zadanego dużej amplitudy szumu powstającej w
sygnału momentu zadanego dużej amplitudy szumu powstającej w estymatorze
momentu skrętnego (disturbance observer), bazującego na rzeczywistych sygnałach
momentu elektromagnetycznego i prędkości silnika napędowego. Wartość
dodatkowego współczynnika sprzężenia zwrotnego kRC dobiera się za pomocą
następującego wyrażenia (wyznaczonego przy wykorzystaniu (4), (5) i (8)):
2
k RC = T1TC ω rez
_n −
T1
T2
,
(9)
Parametry regulatora prędkości wyznacza się korzystając z jednej powszechnie
przyjętych metod [7]. W przypadku powstania w układzie nieakceptowanie dużych
przeregulowań i oscylacji należy zmniejszyć wzmocnienie regulatora prędkości.
Schemat struktury sterowania RRC [7] przedstawiono na rys. 2.
Układ dwumasowy
mL
ωz
Pętla
wymuszania
momentu
kRC(T1 +T2)
me
1
sT1
ω1
1
sTC
mS
1
sT2
ω2
Gr
1 − k RC
mse
1
sTq + 1
sT1
sTq + 1
Estymator
momentu
skrętnego
Rys. 2. Schemat struktury Resonance Ratio Control
Fig. 2. The block diagram of the structure Resonance Ratio Control
Estymata momentu skrętnego uzyskiwana jest za pomocą prostego estymatora
zaznaczonego na rys. 2 linią przerywaną. W celu ograniczenia zakłóceń
wysokoczęstotliwościowych powstających na skutek szumów istniejących w
sygnałach momentu elektromagnetycznego i prędkości silnika do estymatora
wprowadza się filtr dolnoprzepustowy o stałej czasowej Tq. Dobór wartości stałej Tq
jest kompromisem pomiędzy zmniejszeniem zakłóceń w estymacie momentu
skrętnego a wprowadzanym przez filtr opóźnieniem. Szczegółową analizę dotyczącą
sposobu doboru stałej Tq zamieszczono w [7].
Na rys. 3 przedstawiono przykładowe przedbiegi zmiennych stanu układu
napędowego w strukturze sterowania RRC dla różnej wartości stosunku H
częstotliwości rezonansowych. Badania wykonano dla układu o R=1. W pierwszym
punkcie badań przetestowano układ sterowania dla wartości H=1.2. W czasie
rozruchu w przebiegach prędkości układu występuje znaczne przeregulowanie.
Przyłożenie momentu obciążenia w chwili t1=0.5s powoduje powstanie niewielkich,
szybko tłumionych oscylacji wszystkich zmiennych stanu układu napędowego.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Rys. 3. Przebiegi prędkości silnika i obciążenia (a,c,e) oraz momentów elektromagnetycznego i skrętnego
(b,d,f) w układzie sterowania RRC w czasie rozruchu, nawrotu i zmian obciążenia dla R=1
i różnych wartości stosunku H=1.2 (a,b), H=1.5 (c,d) i H=2 (e,f)
Fig. 3. The transients of the motor and load speeds (a,c,e) as well as electromagnetic and shaft torques
(b,d,f) in the structure RRC during starting, reversing and load changing for R=1 and different values of
the ratio H=1.2 (a,b), H=1.5 (c,d) and H=2 (e,f)
W chwili t2=1s dokonuje się nawrotu z biernym (o wartości proporcjonalnej do
prędkości maszyny roboczej) momentem obciążenia, który powoduje ograniczenie
przeregulowań prędkości. Odciążenie układu w chwili t3=1.5s prowadzi do powstania
dużych oscylacji widocznych w przebiegach momentów i prędkości układu
napędowego. Zwiększenie wartości stosunku pulsacji rezonansowych H prowadzi do
poprawy właściwości dynamicznych układu. Zmniejszeniu ulegają przeregulowania
prędkości. Oscylacje zmiennych stanu powstające przy zmianach momentu obciążenia
zostały wyeliminowane.
4. WYBRANE WYNIKI BADAŃ EKSPERYMENTALNYCH
Schemat stanowiska laboratoryjnego zamieszczono w [4]. Część mechaniczną
stanowiska stanowią dwa identyczne silniki prądu stałego połączone długim wałem.
Odpowiednie podłączenie przewodów zasilających decyduje, który z silników jest
maszyną napędzającą, a który pracuje jako obciążenie. Pomiar prędkości jest
realizowany poprzez przetwornik firmy Kübler GmbH o ilości 36000 impulsów na
obrót zamontowany na wale silnika. Stanowisko laboratoryjne jest wyposażone w
czujniki hallotronowe LEM służące do pomiaru prądów. Dane pomiarowe oraz
sygnały sterujące są przesyłane poprzez panel operatorski, na którym wyprowadzone
są wejścia/wyjścia cyfrowe i analogowe karty DS1102. Obciążenie stanowi prądnica
prądu stałego z załączanym przez układ sterowania rezystorem hamowania.
W pierwszym punkcie badań eksperymentalnych przetestowano układ dla wartości
współczynnika R=1. Zgodnie ze schematem struktury sterowania moment skrętny
pochodzi z estymatora momentu skrętnego. Wartość stałej czasowej filtra
dolnoprzepustowego przyjęto Tq=3ms. Na rys. 4 pokazano przebiegi
elektromechanicznych zmiennych stanu badanego układu napędowego. Podobnie jak
w badaniach symulacyjnych przyjęto w testach następujące wartości współczynnika
stosunku częstotliwości rezonansowych H=1.2 (a,b), H=1.5 (c,d) i H=2 (e,f).
Mała wartość stosunku częstotliwości rezonansowych H=1.2 prowadzi do
powstania w prędkości maszyny roboczej znacznej wartości przeregulowań.
Niewielkie oscylacje prędkości silnika i obciążenia ujawniają się przy skokowym
załączeniu i wyłączeniu momentu obciążenia (rys. 4). Wraz ze wzrostem wartości
stosunku H następuje poprawa właściwości dynamicznych układu napędowego.
Przeregulowania w prędkości maszyny roboczej ulegają redukcji. Oscylacje
zmiennych stanu układu, występujące podczas skokowej zmiany wartości momentu
obciążenia zostają wyeliminowane.
Kolejno sprawdzono działanie struktury sterowania w przypadku zmniejszonego
do wartości 0.5 współczynnika R. Założoną wartość stosunku częstotliwości
rezonansowych przyjęto H=2. Przebiegi zmiennych stanu układu dwumasowego dla
dwóch różnych wartości prędkości zadanej przedstawiono na rys. 5.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Rys. 4. Przebiegi prędkości silnika i obciążenia (a,c,e) oraz momentów elektromagnetycznego i skrętnego
(b,d,f) w układzie sterowania RRC w czasie rozruchu, nawrotu i zmian obciążenia dla R=1
i różnych wartości stosunku H=1.2 (a,b), H=1.5 (c,d) i H=2 (e,f)
Fig. 4. The transients of the motor and load speeds (a,c,e) as well as electromagnetic and shaft torques
(b,d,f) in the structure RRC during starting, reversing and load changing for R=1 and different values of
the ratio H=1.2 (a,b), H=1.5 (c,d) and H=2 (e,f)
a)
b)
c)
d)
Rys. 5. Przebiegi prędkości silnika i obciążenia (a,c,e) oraz momentów elektromagnetycznego i skrętnego
(b,d,f) w układzie sterowania RRC w czasie rozruchu, nawrotu i zmian obciążenia dla R=0.5, H=2 i
różnych wartości prędkości ωz=0.25 (a,b) i ωz=0.4 (c,d)
Fig. 5. The transients of the motor and load speeds (a,c,e) as well as electromagnetic and shaft torques
(b,d,f) in the structure RRC during starting, reversing and load changing for R=0.5, H=2 and two different values of the reference speed ωz=0.25 (a,b) i ωz=0.4 (c,d)
Jak wynika z analizy przebiegów pokazanych na rys. 5 układ sterowania RRC
działa poprawnie także w przypadku zmniejszonej wartości współczynnika R. W
przebiegach prędkości widoczne są jedynie niewielkie przeregulowania. Drgania
skrętne są skutecznie tłumione.
5. PODSUMOWANIE
W pracy przedstawiono strukturę sterowania bazującą na zachowaniu
odpowiedniej wartości stosunku pulsacji rezonansowych (RRC). Na podstawie
zamieszczonych rozważań teoretycznych potwierdzonych badaniami symulacyjnymi i
eksperymentalnymi można sformułować następujące wnioski podsumowujące.
nymi można sformułować następujące wnioski podsumowujące. Struktura sterownia
RRC jest w stanie zapewnić efektywne tłumienie drgań skrętnych układu napędowego
z połączeniem sprężystym o małej i średniej wartości częstotliwości rezonansowej.
Skuteczność tłumienia drgań wzrasta wraz ze wzrostem wartości współczynnika H.
Przedstawiona struktura charakteryzuje się łatwością implementacji praktycznej.
Właściwości dynamiczne tej struktury zależą od jakości estymaty momentu skrętnego
zależnej od poziomu szumów występujących w układzie. W celu ograniczenia
wpływu szumów estymator momentu skrętnego łączy się z filtrem
dolnoprzepustowym o odpowiednio dobranej wartości stałej Tq.
LITERATURA
[1] SUGIURA K., HORI Y., Vibration Suppression in 2- and 3-Mass System Based on the Feedback of
Imperfect Derivative of the Estimated Torsional Torque, IEEE Trans. on Industrial Electronics, pp
56-64, vol. 43, no.2, 1996.
[2] A. HACE, K. JEZERNIK, A. SABANOVIC, Improved Design of VSS Controller for a Linear BeltDriven Servomechanism, IEEE/ASME Transaction on Mechatronic, pp 385-390, vol. 10, no.4, 2005
[3] VALENZUELA M.A., BENTLEY J.M., VILLABLANCA A., LORENZ R.D., Dynamic Compensation of Torsional Oscillation in paper Machine Sections, IEEE Transactions on Industry Applications, vol. 41, no. 6, pp. 1458- 1466, 2005
[4] SZABAT K., ORŁOWSKA-KOWALSKA T., Vibration Suppression in Two-Mass Drive System
using PI Speed Controller and Additional Feedbacks – Comparative Study, IEEE Transaction on Industrial Electronics, vol. 54, no. 2, pp.1193-1206, 2007.
[5] JI J., K., SUL S., K., Kalman Filter and LQ Based Speed Controller for Torsional Vibration Suppression in a 2-Mass Motor Drive System, IEEE Transaction on Industrial Electronic, pp 564-571,
vol. 42, no.6 , 1995.
[6] T. O’SULLIVAN, C. C. BINGHAM, N. SCHOFIELD, High-Performance Control of Dual-Inertia
Servo-Drive Systems Using Low-Cost Integrated SAW Torque Transducers, IEEE Transaction on
Industrial Electronics, pp 1226-1237, vol. 53, no.4, 2006.
[7] HORI Y., SAWADA H., CHUN Y., Slow Resonance Ratio Control for Vibration Suppression and
Disturbance Rejection in Torsional System, IEEE Transaction on Industrial Electronic, vol. 46, no.1,
pp 162-168, 1999.
CONTROL OF THE TWO-MASS SYSTEM USING RRC STRUCTURE
In the paper a Resonance Ratio Control (RRC) is presented. The desired value of the resonance
ratio H is obtained with the help of the estimated shaft torque signal witch is fed back to the controller. In order to reduce the high frequency noises in the estimated shaft torque signal the low-pass filter
is applied in the estimator. The basic relationship between the design parameter H and the properties
of the two-mass system is shown. The described structures have been investigated under simulation
and theoretical study in the cases of the different value of the inertia ratio R. The presented results
confirm good damping ability of the proposed control scheme.