Unifikacja w logikach pośrednich z dodatkowymi nowymi spójnikami
Transkrypt
Unifikacja w logikach pośrednich z dodatkowymi nowymi spójnikami
Unifikacja w logikach pośrednich z dodatkowymi nowymi spójnikami. (Unification in intermediate logics with new additional connectives.) Typ unifikacji zależy istotnie od zestawu spójników. Np. zdaniowa logika klasyczna ma typ unitarny, a po dodaniu spójnika konieczności z aksjomatem K otrzymuje się normalną logikę modalną K (typ zerowy, E. Jerabek). Jeżeli spójnik będzie spełniał aksjomaty T i 4 to dostajemy logikę S4, (typ finitarny, por. S. Ghilardi), zaś gdy jeszcz euklidesowość - to logika S5 (typ unitarny). Jeśli rozważać fragmenty (redukty) zdaniowej logiki intuicjonistycznej INT, to fragmenty: implikacyjny, implikacyjnokoniunkcyjny oraz implikacyjno- koniunkcyjno-negacyjny mają typ unitarny (T. Prucnal, A. Wroński), zaś fragment implikacyjno- negacyjny nie jest już typu unitarnego (A. Wroński) lecz finitarnego, podobnie jak pełna logika INT (S. Ghilardi). Wielu autorów rozważało nowe dodatkowe spójniki w logice intuicjonistycznej INT (por. Caicedo i Cignoli oraz L. Esakia). Przyjęto, że dodatkowe spójniki dodawane do logiki pośredniej L, aby były naturalne i sensowne, powinny być zgodne, tj. spełniać warunek zgodności (compatibility) ze wszystkimi kongruencjami algebr z rozmaitości algebr Heytinga dla logiki L; ponadto nie mogą być definiowalne przez pozostałe spójniki, (por. Caicedo i Cignoli). Znane i badane przykłady spójników zgodnych to: następnik S, który w łańcuchach działa jak następnik na liczbach naturalnych, S(x) = x +1, operator gamma i operator Gabbaya G. Ghilardi wprowadził, poza czterema typami unifikacji, rodzaj unifikacji filtrującej (filtering unification). Zachodzi ona wtedy, gdy dla każdych dwóch unifikatorów istnieje unifikator ogólniejszy od każdego z nich. (typ unifikacji jest unitarny lub 0). Z (usunięto dla zachowania anonimowości) mamy: Twierdzenie 1. Dla każdej logiki pośredniej L z dowolnymi dodatkowymi spójnikami zgodnymi unifikacja jest filtrująca wtedy i tylko wtedy gdy L zawiera słabe prawo wyłączonego środka, tj. jest rozszerzeniem logiki Jankova (lub de Morgana); Twierdzenie 2. Dla każdej logiki pośredniej L z dowolnymi dodatkowymi spójnikami zgodnymi , jeżeli L zawiera słabe prawo wyłączonego środka, to unifikacja w L jest unitarna lub zerowa. Twierdzenie 3. Dla każdej logiki pośredniej L z dowolnymi dodatkowymi spójnikami zgodnymi , jeżeli unifikacja w L jest unitarna, to L zawiera słabe prawo wyłączonego środka. Wniosek. Nie istnieje rozszerzenie logiki INT dodatkowymi spójnikami zgodnymi, które miałoby unifikację unitarną. Skończone logiki Goedla rozszerzone spójnikiem S mają unifikacje unitarną. Literatura Caicedo, X, Cignoli, R. Algebraic Approach to Intuitionistic Connectives , Journal of Symbolic Logic, 66 (2001), 4, 1620–1636 Dzik W., Radeleczki, S., Direct Product of l-algebras and Unification. An Application to Residuated Lattices , in printing, in Journal of Multiple-valued Logic and Soft Computing, (2016), Wroński, A. On factoring by compact congruences in algebras of certain varieties related to the intuitionistic logic, Bulletin of the Section of Logic, 28 (1986), 48-50.