Elementy narzędziowni matematycznej

Transkrypt

Rozdział 1
1.1. Przekształcanie równań
Równanie, w uproszczeniu, to dwa wyrażenia matematyczne połączone
znakiem równości. Czyli w równaniu mamy dwie strony, lewą L i prawą P,
które są sobie równe
L = P.
Równanie zawiera niewiadomą (zwykle oznaczaną jako x, y itd.) oraz wielkości znane w postaci liczb lub oznaczeń 1-literowych z ewentualnymi indeksami dolnymi, np.
x2 = 16
– ma dwa rozwiązania: x1 = 4 i x2 = −4,
x − a1
= a1 + a2 .
2x + a2
Niewiadomą należy wyznaczyć (czyli rozwiązać równanie).
Rozwiązanie polega na przeprowadzeniu ciągu takich przekształceń równania (zachowujących znak równości pomiędzy stroną lewą i prawą), by doprowadzić do tego, że po jednej stronie równania znajdzie się niewiadoma,
a po drugiej wszystkie pozostałe wielkości.
W ogólności równanie może mieć jedno rozwiązanie, więcej niż jedno
albo nawet nieskończenie wiele. Może też nie mieć wcale rozwiązań lub być
nierozwiązywalne.
Wzory fizyczne są też równaniami (w postaci już rozwiązanej, gdyż po
lewej stronie jest wielkość niewiadoma, po prawej wyrażenie zawierające
wielkości dane), np. wzór na zależność masy od prędkości w Szczególnej
Teorii Względności
m0
m= s
,
v2
1− 2
c
8
gdzie: m – masa relatywistyczna (ciała mającego prędkość v),
m0 – masa spoczynkowa (ciała będącego w spoczynku),
c – prędkość światła w próżni.
W powyższym wzorze możemy przyjąć, że wielkością niewiadomą (tą, którą
mamy wyznaczyć) jest np. prędkość ciała v, a pozostałe są dane. Mamy
wtedy normalne równanie do rozwiązania, różni się ono od zadań znanych
z lekcji matematyki tylko oznaczeniami, nie ma x-ów, y-ów itd., są natomiast oznaczenia wielkości fizycznych, a wielkość niewiadoma nie wyróżnia
się wizualnie (podana jest w treści zadania i musimy o niej pamiętać).
Rozwiązaniem jest wzór na prędkość ciała mającego masę relatywistyczną m i masę spoczynkową m0
s
v =c 1−
m20
.
m2
Poniżej omówione zostały zasady przekształcania równań i następnie korzystające z nich zasady rozwiązywania równań.
Przekształcanie równań – możemy wykonywać następujące przekształcenia (w poniższych przykładach zauważycie pionową kreskę z symbolem
operacji do wykonania na obu stronach równania, jest to pomocniczy
zapis pozwalający na zarejestrowanie tego co robimy):
1. zamienić stronami, np.
4 = x, równanie (nie powinno tak wyglądać),
x=4
po zamianie stron jest dobrze,
2. wykonać działania po lewej i prawej stronie (jeśli jakieś są do wykonania), np.
3x − 2x = 5x − x + 2 + 3
po lewej odejmowanie, po prawej
odejmowanie i dodawanie,
x = 4x + 5
po wykonaniu działań,
3. dodać do obu stron lub odjąć od obu stron tę samą liczbę czy wyrażenie, (w tym przykładzie pojawia się kreska pionowa na prawej
Przekształcanie równań
9
stronie równania oznaczająca działanie wykonywane na obu stronach
równania) np.
x + 4 = 0 −4
od obu stron odejmujemy 4
x+4−4=0−4
tak to wygląda,
x = −4
po wykonaniu działań,
Powyższą regułę stosujemy często w sytuacji, gdy po obu stronach
równania znajduje się taki sam składnik (z tym samym znakiem).
Odejmując go od obu stron powodujemy jego usunięcie z równania:
x2 − x3 = 1 − x3
−(−x3 )
x2 = 1
od obu stron odejmujemy,
x3 zniknęło z równania,
albo dodając
2
3
x −x =1−x
3
+x3
x2 = 1
dodajemy do obu stron,
x3 zniknęło z równania.
Z tych dwu przykładów wynika praktyczna reguła:
jeśli po obu stronach znajduje się taki sam składnik (z tym
samym znakiem), to możemy go przekreślić po obu stronach,
usuwając go w ten sposób z równania.
Co się dzieje jeśli znaki nie są takie same?
2
3
x −x =1+x
−(−x3 )
3
x2 − x3 − (−x3 ) = 1 + x3 − (−x3 )
2
3
3
3
x −x +x =1+x +x
2
3
3
od obu stron odejmujemy,
likwidujemy nawiasy,
wykonujemy działania,
x3 jest po prawej stronie,
x = 1 + 2x
albo
+x3
x2 − x3 = 1 + x3
x2 − x3 + x3 = 1 + x3 + x3
2
x = 1 + 2x
3
dodajemy do obu stron,
wykonujemy działania,
x3 nadal jest,
czyli następuje przeniesienie składnika na drugą stronę.
10
4. pomnożyć lub podzielić obie strony przez tę samą liczbę czy wyrażenie
różne od zera, np.
·x
4
=5
x
x·4
= 5x
x
mnożymy przez x,
skracamy na lewej stronie,
:5
4 = 5x
dzielimy przez 5,
4
5x
=
5
5
4
=x
5
4
x=
5
skracamy na prawej stronie,
zamieniamy stronami,
gotowe,
5. podnieść obie strony do tej samej potęgi,
√
3
x = 4 √
( 3 x)3 = 43
3
x = 64
podnosimy do 3 potęgi,
pierwiastek zostanie zlikwidowany,
wynik,
6. spierwiastkować obie strony, upewniwszy się że ich znak na to pozwala, np.
√
x2 = 4 √
√
x2 = 4
x=2
pierwiastkujemy,
potęga zostanie zlikwidowana,
wynik,
7. zlogarytmować obie strony, upewniwszy się że są dodatnie (gdyż nie
ma logarytmów liczb ujemnych), np.
52x+1 = 10 ln
(2x + 1) ln 5 = ln 10 : ln 5
ln 10 2x + 1 =
−1
ln 5 logarytmujemy,
dzielimy przez ln 5,
odejmujemy 1,
11
:2
ln 10
−1
ln 5
1 ln 10
x=
−1
2 ln 5
2x =
dzielimy przez 2,
wynik końcowy,
8. jeśli jedna ze stron jest wielomianem to można przenieść składnik
wielomianu na drugą stronę, zmieniając jego znak na przeciwny, np.
0=1−x
uwidaczniamy znak x,
0 = 1 + (−x)
teraz przenosimy nawias z x na drugą stronę,
−(−x) = 1
wykonujemy działanie po lewej stronie,
x=1
gotowe,
ten sam efekt uzyskamy dodając do obu stron +x:
0=1−x
+x
0+x=1−x+x
x=1
do obu stron dodajemy x,
wykonujemy działanie po obu stronach,
gotowe,
9. każdą ze stron możemy przekształcać niezależnie, o ile nie zmieniamy
jej wartości,
np. możemy stosować wzory skróconego mnożenia:
zakładamy, że x 6= 2, a 6= b,
a−b
x2 − 4
=√
x−2
a−b
√
√
(x + 2)(x − 2)
a−b· a−b
√
=
x−2
a−b
√
x+2= a−b
√
x= a−b−2
stosujemy wzory,
skracamy,
przenosimy 2 na drugą stronę,
wynik,
lub inne tożsamości, np. wykazać że jeśli sin x = 1 to cos x = 0 (wykorzystamy tożsamość 1 = sin2 x + cos2 x znaną pod nazwą jedynki
trygonometrycznej):
sin x = 1
2
sin x = 1
podniesiemy obie strony do kwadratu,
korzystamy z jedynki trygonometrycznej,
12
sin2 x = sin2 x + cos2 x
2
2
sin
x =
sin
x + cos2 x
2
0 = cos x
przekreślam identyczne po obu str.,
upraszczamy obie strony,
cos x = 0
po zamianie stron i spierwiastkowaniu,
redukcję wyrazów podobnych, np.
x3 + 3x2 = (x + 1)3
3
zamienię na iloczyn z kwadratem,
2
x + 3x = (x + 1)(x + 1)2
x3 + 3x2 = (x + 1)(x2 + 2x + 1)
znam wzór na kwadrat sumy,
3
2
3
2
2
po wymnożeniu,
3
2
3
2
2
zaznaczam wyrazy podobne,
x + 3x = x + 2x + x + x + 2x + 1
x + 3x = x + 2x + x + x + 2x + 1
x3 + 3x2 = x3 + 3x2 + 3x + 1
3
2
2
x +
3x
= x3 + 3x
+ 3x + 1
0 = 3x + 1
3x + 1 = 0
po redukcji w. podobnych,
przekreślam identyczne po obu str.,
po uproszczeniu obu stron,
po zamianie stron,
3x = −1 przeniosłem 1 na drugą stronę,
1
x=−
po podzieleniu przez 3 gotowe,
3
wyciąganie wspólnego czynnika przed nawias, np.
1
1
w 2 i 3 wyrazie powtarza się czynnik v0 t,
x = vt + v0 t − v0 t
2
2
1
1
x = vt + v0 t 1 −
wyciągnąłem go przed nawias,
2
2
1
1
x = vt + v0 t
po wykonaniu działań w nawiasie,
2
2
1
1
x = t(v − v0 )
wyciągnąłem czynniki i t przed nawias,
2
2
jednoczesne dodanie i odjęcie tej samej wartości,
pomnożenie lub podzielenie przez wyrażenie mające wartość 1.
1.1.1. Przykłady i zadania
1. Przeanalizuj przedstawione w niniejszym podrozdziale i wykonaj je samodzielnie. Sprawdź czy otrzymane wyniki się zgadzają.
13
2. Rozwiąż poniższe równania (nie używać kalkulatorów), podaj zastosowane reguły przekształcania równań.
a) 5x + 5 = 10 ;
b) −4x = 8 ;
1
c) √ = 4 ;
x
2
d) x = 16 ;
e) x + a = b .
14
1.2. Rozwiązywanie równań i przekształcanie wzorów
fizycznych
Zagadnienie zostanie omówione w ujęciu praktycznym na przykładach
wzorów fizycznych. Będziemy posługiwać się zasadami i metodami rozwiązywania równań matematycznych. Równania matematyczne to obszerna i złożona część matematyki, lecz z niewielkiej części tego aparatu matematycznego będziemy korzystać, gdyż na nasze szczęście wzory fizyczne stanowią stosunkowo proste zagadnienie. To co zostało omówione w poprzednim punkcie
plus kilka zasad postępowania winno całkowicie wystarczyć by sobie poradzić
nawet z dość złożonymi zadaniami1 .
1. Ze wzoru na zależność masy od prędkości w Szczególnej Teorii Względności
m0
m= s
,
v2
1− 2
c
gdzie: m – masa relatywistyczna (ciała mającego prędkość v),
m0 – masa spoczynkowa (ciała będącego w spoczynku),
wyznaczyć prędkość v jaką ma ciało o masie relatywistycznej m i spoczynkowej m0 .
Zadanie to możemy przedstawić w postaci szkolnego równania matematycznego
b
a= s
,
x2
1− 2
c
tu niewiadoma i dane są wyraźnie wyróżnione, nie mają jednak odniesienia do wielkości fizycznych. Tylko tym oba wzory się różnią.
Jeśli miałoby wam być na początku łatwiej, możecie rozwiązać wariant
„szkolny”, potem „fizyczny”. Do ujęcia „fizycznego” trzeba się zaadaptować (nie ma innego wyjścia), po kilku rozwiązanych zadaniach nie powinno to być problemem.
1
Nie mylić z zadaniami z fizyki. Słowo zadanie zostało użyte tu w kontekście zadania
polegającego na przekształcaniu wzorów. Zadania z fizyki to oddzielne zagadnienie, dość
złożone.
Rozwiązywanie równań i przekształcanie wzorów fizycznych
15
Plan działania wynika z tego, gdzie znajduje się wyznaczana przez nas
wielkość. W naszym przypadku
a) v jest częścią wyrażenia znajdującego się w mianowniku – zatem likwidujemy mianownik mnożąc obie strony przez mianownik
m= s
1−
v2
c2
s
s
m 1−
v2
=
c2
q
· 1 − v22 ,
c
m0
m0 1 −
s
v2
c2
,
v2
1− 2
c
s
v2
m0 1− 2
v2
c
m 1 − 2 = s
,
c
2
v
1−
c2
s
s
m 1−
v2
= m0 ,
c2
b) teraz v jest w wyrażeniu pod pierwiastkiem kwadratowym – likwidujemy pierwiastek kwadratowy podnosząc obie strony do kwadratu
s
v2
m 1 − 2 = m0
c
 s
2
s
2
2
,
v2 
m 1 −
= m20 ,
c2
v2
m2  1 − 2  = m20 ,
c
2
m
v2
1− 2
c
!
= m20 ,
c) teraz v jest „uwięzione” w nawiasie – pozbywamy się nawiasu wykonując po lewej stronie mnożenie przez m2 (wariant 1) lub mnożąc
16
obie strony przez m2 (wariant 2):
wariant 1:
v2
m2 − m2 2 = m20
c
wariant 2:
v2
m2
1 − 2 = 02 ,
c
m
d) przekształcamy równanie tak by wyraz zawierający v znalazł się jako jedyny po lewej stronie, czyli wszystkie wyrazy niezawierające v
przenosimy z lewej strony na prawą
−m2
v2
= m20 − m2
c2
−
v2
m20
=
− 1,
c2
m2
e) teraz przeszkadzają nam czynniki przy v 2 , usuwamy je kolejno mnożąc lub dzieląc odpowiednio obie strony równań
v2
= m20 − m2 ·c2
2
c
2
v c2
−m2 2 = (m20 − m2 )c2
c
v2
m20
=
− 1 ·c2 ,
2
2
c
m
!
2
2
v c
m20
− 2 =
− 1 c2 ,
m2
c
−m2
−
!
2 2
(m20
2 2
(m20
−m v =
−m v =
2
2
2
2
− m )c
− m )c
2v2
−m
m20 − m2 2
c
=
−
2)
m2
(−m
: (−m2 )
2
−v =
m20
− 1 c2 ,
m2
2
m20
− 1 c2
m2
!
−v =
·(−1),
!
m20
v2 = −
− 1 c2 ,
m2
f) w tym momencie pierwiastkując obie strony otrzymalibyśmy v, wcześniej należy jednak wykonać estetyczne porządki na prawych stronach
– w obu wariantach zlikwidować minus, w pierwszym wykonać dzielenie przez m2 , do tego wariantu się ograniczymy (w ostatnim wzorze
w pierwszym wierszu poniżej została zmieniona kolejność wyrazów
Rozwiązywanie równań i przekształcanie wzorów fizycznych
17
w liczniku, powód – w zapisie wzorów obowiązuje elegancja i tradycja,
postać wzoru ma być maksymalnie prosta i komunikatywna)
−(m20 − m2 ) 2 −m20 + m2 2 m2 − m20 2
c =
c =
c ,
m2
m2
m2
m2 − m20 2
c
dzielę licznik przez mianownik,
v2 =
m2 !
m2
v 2 = 1 − 02 c2 .
m
v2 =
g) Pierwiastkujemy obustronnie i ostatnia kosmetyka
2
v =
√
m2
1 − 20
m
!
c2
√
v
!
u
2 √
u
m
v 2 = t 1 − 02
c2 ,
m
v
!
u
u
m20
t
1 − 2 c,
v=
m
v
!
u
u
m20
t
v=c
1− 2
m
– tak lepiej wygląda.
2. Podsumowanie reguł postępowania
a) Lokalizujemy naszą niewiadomą (wielkość, którą mamy wyznaczyć).
Zwykle jest ona w jednym miejscu, jeśli nie (w dwu lub więcej) w sposób złożony, to mamy przypadek skomplikowany, którym się tu nie
zajmujemy.
Jeśli tak nie jest to postępujemy w sposób opisany poniżej. Mamy
dwie możliwe sytuacje
i. Nasza niewiadoma jest po jednej stronie, jako jedyna, wszystkie
inne wielkości znajdują się po drugiej stronie. Jeśli nasza niewiadoma jest po lewej stronie – nic nie musimy robić, jeśli jest po
prawej, to zamieniamy strony, i to wszystko (wymóg estetyczny).
ii. Jeśli nasza niewiadoma jest elementem wyrażenia po jednej lub
po obu stronach, to musimy uruchomić ciąg przekształceń by doprowadzić do sytuacji powyżej. Gdy to nam się uda, należy drugą stronę (gdzie nie ma naszej niewiadomej) uporządkować, tzn.
nadać jej możliwie prostą i czytelną postać.
18
b) Wspomniany ciąg przekształceń ma celu doprowadzenie strony wzoru zawierające niewiadomą do postaci wielomianowej (sumy składników). Składniki z niewiadomą grupujemy po lewej stronie, po prawej
wszystkie jej nie zawierające.
c) Jeśli składników z niewiadomą (lub jej funkcją) jest więcej niż jeden,
to niewiadomą (jej funkcję) wyłączamy przed nawias.
Gdy funkcje niewiadomej są różne w różnych składnikach, to oczywiście nie możemy zastosować wyłączenia przed nawias – mamy wtedy
bardziej złożony przypadek, którego tu nie omawiamy.
d) Pozbywamy się teraz czynnika przy niewiadomej (lub jej funkcji) dzieląc przez niego obie strony wzoru zwracając uwagę by był różny od
zera, np. doprowadziliśmy do postaci (a + b)x = c, zastrzegając a 6=
−b możemy już dzielić obie strony przez (a + b).
e) Przekształcamy prawą stronę do możliwie prostej i czytelnej postaci.
Jeśli po lewej stronie mamy funkcję niewiadomej, to na obie strony
musimy zadziałać funkcją do niej odwrotną – mieliśmy tę sytuację
w przykładzie z poprzedniego punktu, nasza niewiadoma była w kwadracie (v 2 ) i dlatego obie strony zostały spierwiastkowane.
1. Przeanalizuj przedstawione w niniejszym podrozdziale przykłady i wykonaj je samodzielnie. Sprawdź czy otrzymane wyniki się zgadzają.
2. W Szczególnej Teorii Względności pęd p ciała poruszającego się z prędkością v mającego masę spoczynkową m0 wyraża się wzorem
p= s
m0 v
v2
1− 2
c
gdzie c jest prędkością światła w próżni.
Wyznacz z tego wzoru prędkość v.
,
Znaki
X
i
Y
1.3. Znaki
(sumy i iloczynu)
X
i
Y
19
(sumy i iloczynu)
W zapisie matematycznym często mamy do czynienia z długimi wyrażeniami będącymi:
— sumą składników, między którymi istnieje zależność matematyczna, którą możemy przedstawić w postaci pewnego wzoru,
— iloczynem czynników, między którymi istnieje zależność matematyczna,
którą możemy przedstawić w postaci pewnego wzoru.
Czy musimy tego rodzaju wyrażenia zapisywać w całości (co może być niemożliwe) lub w części i uzupełniać jeX
uwagami?
Otóż nie. Mamy do dyspoY
zycji dwa bardzo użyteczne symbole
i
.
Pierwszy
z
nich
to
duża
grecka
litera
Sigma,
drugi duża grecka litera Pi.
X
Y
dotyczy sumy,
iloczynu. Stosujemy je w ten sam sposób, pamiętając
jedynie o różnicy między sumą i iloczynem. Wygląda to tak:
n
X
i=1
n
Y
ai = a1 + a2 + . . . + an ,
ai = a1 · a2 · . . . · an .
i=1
Lewe strony powyższych równań czytamy odpowiednio „suma od i równego
jeden do n z ai ” i „iloczyn od i równego jeden do n z ai ”.
W symbolu sumy i iloczynu występuje zmienna licznikowa i, która numeruje elementy składowe ai od wartości początkowej (tu i = 1, może być
też inna liczba, zero albo liczba ujemna) do wartości końcowej (tu n, może
też być konkretna liczba). Oczywiście wartość końcowa musi być większa od
wartości początkowej.
Symbole
n
X
i=1
ai i
n
Y
ai oznaczają, że dla każdej wartości zmiennej licz-
i=1
nikowej i w zakresie od wartości początkowej do wartości końcowej należy
utworzyć aktualny element ai poprzez wstawienie w miejsce symbolu i jego
aktualnej wartości. Tak otrzymane wyrażenia należy dodać do siebie (w przypadku sumy) lub pomnożyć (w przypadku iloczynu).
Zwróć uwagę, że zmienna licznikowa i w ai oznacza, że a ma różne wartości
dla różnych i. Wyrażenie podlegające sumowaniu (czy mnożeniu), w naszym
przypadku ai może nie mieć zmiennej licznikowej. Oznacza to, że dla każdej
wartości i jest ono takie same.
20
Przykłady
W poniższych przykładach, dla lepszej ilustracji, nad składnikami sum
i czynnikami iloczynów podano odpowiednie wartości zmiennej licznikowej
i – w normalnym zapisie oczywiście tego nie robimy. Przykłady te należy
przeanalizować i następnie wykonać samodzielnie (tzn. nie patrząc na rozwiązanie).
1.
3
X
−1
0
1
2
3
A = A + A + A + A + A= 5A,
i=−1
zwróć uwagę, że w tym przykładzie wyrażenie pod sumą (czyli A) wcale
nie zawiera zmiennej licznikowej i, jednakże dla każdej jej wartości to
wyrażenie jest określone i równe A.
2.
1
X
−1
2·(−1)+1
=2 · (−1) · A−1
2iA2i+1
i
i=−1
3.
−1
Y
0
1
+ 2 · 0 · A02·0+1 + 2 · 1 · A12·1+1
3
= −2A−1
−1 + 2A1 .
−4
−3
−2
−1
A = A · A · A · A = A4 ,
i=−4
zwróć uwagę, że w tym przykładzie wyrażenie pod iloczynem (czyli A)
wcale nie zawiera zmiennej licznikowej i, jednakże dla każdej jej wartości
to wyrażenie jest określone i równe A.
4.
1
Y
−1
2·(−1)+1
=[2 · (−1) · A−1
2iA2i+1
i
0
i=−1
bo jeden z czynników jest równy zero.
Zadania
1.
3
X
i2i =
i=1
2.
3.
4.
3
X
(−i)2 x
i=1
3
Y
i2i
1
=
−i
i=−3
4
Y
i=1
iai =
=
1
]= 0
] · [2 · 0 · A02·0+1 ] · [2 · 1 · A2·1+1
1
Logarytmy
21
1.4. Logarytmy
Uwaga: poniżej, w pewnych przypadkach, w celu wyróżnienia w otaczającym tekście, funkcje matematyczne przedstawione są czcionką wytłuszczoną
(bold). Normalnie w zapisie formuł matematycznych nie stosujemy wytłuszczenia.
Rozumienie pojęcia logarytmu – mamy liczbę 10, odpowiedz na pytanie: do jakiej potęgi należy ją podnieść, by otrzymać następujące liczby:
1000; 100; 10; 1; 0,1; 0,01; 0,001.
Otóż wartości potęg, które wyznaczyłeś, są logarytmami dziesiętnymi
powyższych liczb. Liczba 10 to podstawa logarytmu dziesiętnego.
Logarytm o podstawie a z liczby b zapisujemy jako loga b. W przypadku
logarytmów dziesiętnych, w ich zapisie nie podajemy podstawy, czyli
logarytm dziesiętny zapisujemy jako log.
Obliczenia, które wykonałeś to:
log 1000 = 3;
log 100 = 2;
log 10 = 1 itd.
Definicja logarytmu – logarytm o podstawie a > 0 z liczby b > 0 to liczba
c taka, że podstawa podniesiona do potęgi c daje liczbę b, co zapisujemy
loga b = c,
jeśli ac = b czyli aloga b = b,
(1.1)
wzór ten należy sobie utrwalić.
Zapis logarytmów – jeśli podstawa logarytmu ma wartość równą:
1. 10, to w oznaczeniu logarytmu jej nie podajemy, logarytm dziesiętny zapisujemy jako log,
2. liczbie Eulera e = 2, 718281 . . ., zwanej też podstawą logarytmów
naturalnych, to w oznaczeniu logarytmu jej nie podajemy, a oznaczenie logarytmu o tej podstawie ma postać ln,
3. a różną od powyższych, to musi ona być podana w zapisie logarytmu, np. logarytmy dwójkowe log2 .
Uwaga: w niektórych programach komputerowych, kalkulatorach
i literaturze obcojęzycznej możecie spotkać się z kolidującymi lub
innymi oznaczeniami logarytmów
22
— logarytm naturalny jako log lub ln (a nawet oba stosowane
zamiennie),
— logarytm dziesiętny jako lg,
— logarytm dwójkowy jako ld,
z tego względu, jeśli mamy do czynienia z jakimś nowym systemem
po raz pierwszy, należy się upewnić co przyjętych w nim oznaczeń
logarytmów.
Logarytm dziesiętny uwzględniając powyższe mamy zapis definicji
log b = c,
jeśli b = 10c
czyli b = 10log b .
(1.2)
czyli b = eln b .
(1.3)
Logarytm naturalny – jego definicja
ln b = c,
jeśli
b = ec
Uwaga: w przypadku funkcji wykładniczej o podstawie równej liczbie Eulera e, czyli ex , możesz spotkać się z równoważnym zapisem
exp(x), który wymawiamy jako „eksponens x”. Zapis ten jest stosowany w sytuacjach, gdy wykładnik x jest skomplikowanym wyrażeniem.
Właściwości logarytmów, czyli reguły działania logarytmów wobec wyrażeń złożonych, nie zależą one od podstawy logarytmu. Poniżej zostały
przedstawione te reguły z użyciem logarytmów naturalnych (dot. p. 4-6,
obowiązują oczywiście dla logarytmów o dowolnych podstawach).
1. Logarytm z podstawy logarytmu jest równy 1
ln e = 1,
log 10 = 1,
log2 2 = 1, ogólnie
loga a = 1.
(1.4)
2. Logarytm z 1 jest równy 0
ln 1 = 0,
log 1 = 0,
log2 1 = 0, ogólnie
loga 1 = 0.
(1.5)
3. Może się przydać
loga b · logb a = loga blogb a = loga a = 1,
czyli
loga b · logb a = 1,
Logarytmy
23
z czego wynika praktyczny wzór
loga b =
1
.
logb a
(1.6)
4. Logarytm iloczynu jest sumą logarytmów czynników
ln(xy) = ln x + ln y.
(1.7)
5. Logarytm ilorazu jest różnicą czynników (tj. dzielnej i dzielnika)
ln
x
= ln x − ln y.
y
(1.8)
6. Logarytm potęgi jest iloczynem wykładnika i logarytmu
podstawy potęgi
ln xy = y ln x.
(1.9)
7. Z logarytmu iloczynu wynika wygodne przekształcenie
ln
n
Y
i=m
ai =
n
X
ln ai .
(1.10)
i=m
Ze wzorów 1.7-1.9 widzimy, że logarytmy działają na iloczyny i ilorazy,
zamieniając je odpowiednio na sumy i różnice logarytmów, oraz na potęgi, zamieniając je na iloczyn wykładnika i logarytmu podstawy potęgi.
Logarytmy nie działają na sumy i różnice (ogólnie wielomiany),
tzn. pozostawiają je bez zmiany, nie są w stanie ich przekształcić.
Zapamiętaj ponadto, że nie ma logarytmu zera i liczb ujemnych.
Wyznaczanie wartości logarytmów – w czasach, kiedy nie było jeszcze
kalkulatorów i komputerów lub nie były one powszechnie dostępne, do
wyznaczania logarytmów korzystano z tablic logarytmów dziesiętnych,
używano też suwaków logarytmicznych.
Obecnie wartości logarytmów, jak i wielu innych funkcji, obliczają dla
nas kalkulatory tzw. naukowe (dla odróżnienia od kalkulatorów prostych,
czy innych specjalizowanych, nie mających wbudowanych funkcji matematycznych) i programy komputerowe (np. arkusze kalkulacyjne).
24
W rozwiązaniach zadań należy zapisać wszelkie wykonane przekształcenia.
Zadania
1. Korzystając z kalkulatora naukowego (jeśli go nie masz, to prawdopodobnie twój „wypasiony” telefon komórkowy ma aplikację kalkulatora,
włącz ją i przełącz na tryb kalkulatora naukowego lub inżynierskiego,
zależnie od posiadanych opcji) wyznacz wartości logarytmów
a) dziesiętnych (log) z 0,01; 0,5; 0,1; 1; 2; 10; 100; 1000; 10000; 2500
i zapisz w postaci log(argument) = wartość,
b) naturalnych (ln) z 0,01; 0,5; 0,1; 1; 2; 10; 100; 1000; 10000; 2500
i zapisz w postaci ln(argument) = wartość.
ln ex
2. e
=,
3. eln f (x) =,
4. 10log 100 =, 10log 0,001 =, 10log 15 =,
2x
5. 10log 10 =,
6. Nie korzystając z kalkulatora wyznacz
log100 10 =, log0,1 10 =, log0,001 10 =,
x5
7. ln
a3 b4
!3
=,
s
8. ln
x3 y 2
=,
√ √
3
s a b
xc y 2d
=.
z (a+b)
√
1
10. ln n xm · n · y −m · (x + y)−1/2 =,
y
9. ln
11. ln
12. ln
13. ln
a
−1
Y
i=−4
3
Y
A =,
1
i−i
i=−3
3
Y
xi y 2i
i=1
z 3i
=,
=.
Pochodne i różniczki
25
1.5. Pochodne i różniczki
Program matematyki szkoły średniej w zakresie podstawowym nie obejmuje pochodnych, a większość rozpoczynających studia miała matematykę
w takim właśnie zakresie. Z kolei na studiach politechnicznych na kursie
matematyki pochodne, różniczki i całki pojawiają się zbyt późno jak na
potrzeby prowadzących zajęcia z fizyki.
Na szczęście zajęcia z fizyki nie wymagają gruntownej znajomości tych
zagadnień. Wystarczy by były one przedstawione w zakresie, który możemy
określić jako „użytkowy”, niekoniecznie od razu w całości, lecz stopniowo,
w miarę jak pojawiają się zagadnienia ich potrzebujące. Oczywiście nie zrobią tego matematycy na swoich zajęciach, muszą fizycy na swoich.
Poniżej przedstawiamy takie „użytkowe” ujęcie pochodnych. Rozpoczynamy od przypomnienia pojęć prędkości średniej i prędkości chwilowej, wielkości mającej ścisły związek z pojęciem pochodnej. Następnie przechodzimy
do pochodnych, na końcu omawiamy pojęcie różniczki.
Uwaga – prędkość jako wielkość fizyczna jest wektorem, lecz poniżej będziemy używać słowa prędkość w sensie wartości wektora prędkości, czyli
wielkości skalarnej. Ponadto będziemy rozważać ruch ciał w najprostszej
postaci, czyli ruch wzdłuż linii prostej (co upraszcza pojęcie wartości
wektora). Jeśli to się zmieni będzie wyraźnie zaznaczone.
Prędkość – pojęcie prędkości pojawia się bardzo wcześnie w nauczaniu
fizyki, określana jest ona jako stosunek przebytej drogi do czasu. Później
uczniowie dowiadują się, że tak zdefiniowana prędkość jest prędkością
średnią, i co to znaczy.
Następnie pojawia się drugi rodzaj prędkości nazwany prędkością
chwilową. Jest ona zdefiniowana w dość skomplikowany sposób, mimo
że samo pojęcie prędkości chwilowej jest intuicyjnie oczywiste (związane
z postrzeganiem relacji szybszy-wolniejszy dwu poruszających się obiektów, czy też obserwacji prędkościomierza samochodowego, czy samego
faktu odczuwania prędkości ruchu).
Poniżej przypomnimy oba pojęcia, pozwoli to nam następnie zająć się
pochodnymi.
Prędkość średnia – oznaczamy ją literą v, jest określona wzorem
s
v= ,
t
26
gdzie s to jest droga przebyta przez ciało w czasie t.
Powyższy wzór możemy doprecyzować: ciało porusza się wzdłuż osi X,
od punktu A do punktu B.
W punkcie A jego położenie jest określone wartością współrzędnej, którą
oznaczymy xA , zaś w punkcie xB .
W chwili rozpoczęcia ruchu w punkcie A zegar wskazywał czas, który
oznaczymy jako tA , w chwili zakończenia w punkcie B czas tB .
To nam pozwala uszczegółowić powyższy wzór:
s = xB − xA ,
t = tB − tA ,
xB − xA
v=
.
tB − tA
Możemy też zastosować inne oznaczenia: ciało porusza się wzdłuż osi X,
od punktu A do punktu B.
W punkcie A jego położenie było określone wartością współrzędnej, którą
oznaczymy x1 , zaś w punkcie B x2 .
W chwili rozpoczęcia ruchu w punkcie A zegar wskazywał czas, który
oznaczymy jako t1 , w chwili zakończenia w punkcie B czas t2 .
Ponieważ ciało porusza się wzdłuż osi X, chcielibyśmy by oznaczenie
prędkości zawierało tę informację, zastąpimy zatem oznaczenie v symbolem vx .
To nam pozwala zapisać powyższe wzory w postaci (wraz z pewnym
dodatkiem po prawej stronie, wyjaśnionym dalej):
s = x2 − x1 = ∆x,
t = t2 − t1 = ∆t,
x2 − x1
∆x
vx =
=
.
t2 − t1
∆t
Pojawił się nowy symbol ∆, jest to duża grecka litera Delta, oznacza on
27
tu przyrost, zmianę2 . Np. ∆x oznacza zmianę zmiennej x, np. od wartości
x1 do x2 , czyli ∆x = x2 − x1 .
W analizie matematycznej (patrz przypis na dole) symbol ∆ jest niezwykle ważny, jest też używany w innych znaczeniach (np. jako oznaczenie
błędu pomiaru, nazywanego też niepewnością pomiaru – nie powinno to
jednak sprawiać problemów, jeśli rozumiemy kontekst).
Pytanie – możemy teraz zadać pytanie, co naprawdę oznacza tak określona prędkość, co wiemy, a czego nie wiemy, i o czym ta prędkość
nam mówi.
Czy jeśli wyznaczylibyśmy według tej samej procedury prędkość, ale
dla połowy drogi, to jej wartość byłaby taka sama? Nie wiemy, gdyż
procedura nie bierze pod uwagę szczegółów ruchu, znamy tylko odległość pomiędzy punktem początkowym i końcowym, i ile czasu upłynęło od momentu rozpoczęcia ruchu do momentu jego zakończenia.
Dlatego prędkość wyznaczoną z takich danych nazywamy prędkością średnią. Prędkość średnia nie mówi nam nic o samym ruchu,
nie wiemy np. czy ruch odbywał się ze stałą prędkością czy nie, nie
wiemy czy nie było postojów.
Prędkość chwilowa – czyli prędkość określona dla konkretnej wartości
czasu t. Definiujemy ją posługując się pojęciem prędkości średniej. Rozpatrzmy to na przykładzie.
Chcemy wyznaczyć prędkość ciała w punkcie A. Ciało porusza się wzdłuż
linii prostej, z którą wiążemy oś X. Współrzędną punktu A oznaczmy jako
x, ciało mija punkt A w chwili t. Po pewnym czasie ciało mija punkt B
o współrzędnej x1 w chwili t1 . Obliczamy prędkość średnią między A i B
oznaczając ją jako v1 :
v1 =
x1 − x
∆x1
=
.
t1 − t
∆t1
Wyznaczamy teraz wcześniejsze wartości prędkości średniej. Czyli cofamy
się od punktu B do punktu A przez kolejne punkty B, C, D itd.
2
Mówiąc ściśle jest to zmiana (przyrost) skończona, w sensie – nie zerowa (co jest
być może bez sensu), czy też nie nieskończenie mała. W analizie matematycznej – dziale
matematyki, do której należą pochodne, różniczki i całki, istnieje pojęcie nieskończenie
małej zmiany, nazywanej różniczką i oznaczanej literą d. Nieskończenie mała zmiana
zmiennej x to różniczka x, czyli dx, nieskończenie mała zmiana funkcji f (x) spowodowana
wzrostem argumentu x o dx to różniczka f (x), czyli df (x) = f (x + dx) − f (x).
28
Odpowiadają im wartości współrzędnych x i t: (x2 , t2 ), (x3 , t3 ), (x4 , t4 )
itd. – ich wartości coraz bardziej zbliżają się do wartości współrzędnych
punktu A, czyli (x, y).
Wyznaczamy teraz prędkości średnie między tymi punktami a punktem
A, dostając ciąg wartości prędkości średnich:
x2 − x
∆x2
=
,
t2 − t
∆t2
x3 − x
∆x3
v3 =
=
,
t3 − t
∆t3
x4 − x
∆x4
v4 =
=
,
t4 − t
∆t4
itd. aż do wartości n-tej:
∆xn
xn − x
=
vn =
,
tn − t
∆tn
v2 =
który dąży do pewnej wartości granicznej (zakładamy, że studenci wiedzą
co to jest ciąg i granica ciągu), którą nazywamy prędkością chwilową
w punkcie A (możemy ją też nazwać prędkością chwilową dla chwili t).
Zwróćmy uwagę, że tą granicą jest punkt A, dla niego xn → x, tn → t
(co czytamy xn dąży do x, tn dąży do t).
W konsekwencji ∆xn → 0 i ∆tn → 0.
Granicę tego ciągu wartości prędkości chwilowych zapisujemy następująco:
∆x
v = lim
,
∆t→0 ∆t
a wzór ten czytamy jako: v równa się limes (czyli granica po łacinie) dla
∆x
∆t dążącego do zera z ilorazu
. Taki zapis stosujemy, możemy go za∆t
pisać bardziej szczegółowo, oddając pełniej jego znaczenie i podkreślając,
że v odnosi się do współrzędnych (x, t):
v = lim
∆t→0
∆x
xn − x
x(t + ∆tn ) − x(t)
= lim
= lim
,
tn →t tn − t
∆tn →0
∆t
∆tn
po prawej stronie wskaźnik n możemy usunąć i wzór przyjmie postać
x(t + ∆t) − x(t)
.
∆t→0
∆t
v = lim
29
Reasumując, wzór na prędkość chwilową ma postać
v = lim
∆t→0
∆x
x(t + ∆t) − x(t)
= lim
.
∆t→0
∆t
∆t
Jakie to ma znaczenie dla pochodnych? otóż takie, że ta definicja
prędkości chwilowej jest tożsama z definicją pochodnej, ważnego pojęcia
matematycznego.
Jeśli więc rozumiesz prędkość chwilową w powyższej prezentacji, to rozumiesz pojęcie pochodnej.
Z tym, że to jest niewystarczające, gdyż potrzebna jest dodatkowa wiedza
na jej temat, którą przedstawiamy poniżej.
Pochodna – XVII wiek, Isaac Newton i niezależnie Gottfried Wilhelm Leibniz.
Związek prędkości chwilowej z pochodną jest następujący
∆x
dx
d
≡
≡
x.
∆t→0 ∆t
dt
dt
v = lim
Znak ≡ oznacza równoważność, tożsamość, identyczność.
dx
Zapis
czytamy jako „pochodna z dx po dt” (lub fonetycznie „podt
d
chodna z de x po de te”), natomiast
x jako „pochodna d po dt z x”
dt
(fonetycznie: „pochodna po de te z x).
dx
to nie jest ułamek, dx nie jest iloczynem d i x, podobnie dt nie jest
dt
iloczynem d i t. Jest to symbol pochodnej.
Jakkolwiek istnieje interpretacja pochodnych (rygoryści się z nią nie zgadzają), w której dx oznacza nieskończenie małą zmianę x, czyli różniczkę x (widzimy podobieństwo do ∆x oznaczającą skończoną zmianę x, ta
nieskończenie mała zmiana nosi nazwę różniczki), i odpowiednio dt.
Wtedy symbol pochodnej możemy interpretować jako granicę ilorazu
tych nieskończenie małych zmian, czyli różniczek.
Pochodna działa na funkcję, której argumentem jest zmienna względem
której pochodna jest wyznaczana. We wzorach powyżej x jest funkcją
czasu t, co możemy zapisać jako x(t) lub x = f (t).
Znaczna część matematyki dotyczy funkcji jednej zmiennej, przyjęte jest,
że tą zmienną jest x. Pozwala to uprościć zapis pochodnej przez rezygna-
30
cję z zaznaczania x. Pochodną funkcji względem zmiennej x oznaczamy
stawiając apostrof przy symbolu funkcji:
d
f (x) zapisujemy jako f 0 (x) lub krótko f 0 ,
dx
i zapis jej definicji ma postać
d
∆f (x)
df (x)
≡
f (x) = lim
∆x→0 ∆x
dx
dx
f (x + ∆x) − f (x)
= lim
(1.11)
∆x→0
∆x
Wyznaczanie pochodnej (funkcji czy złożonego wyrażenia zawierającego
funkcje) formalnie sprowadza się do wyznaczenia granicy ilorazu występującego w definicji pochodnej. W praktyce jednak tak nie postępujemy.
Pochodne wyznaczamy korzystając ze znanych reguł działania pochodnej wobec wyrażeń złożonych, i ze znanych wzorów na pochodne funkcji. Takie podejście pozwala widzieć w pochodnej nowe kolejne działanie
matematyczne mające, tak jak każde inne, swoje własne reguły działania. Reguły te przedstawiamy niżej, w obu zapisach. Przyjmujemy tu,
że C jest stałą, a f , g są funkcjami zmiennej x, ponadto stosujemy znak
mnożenia w iloczynach, co normalnie nie jest wymagane ani stosowane,
chyba że jego brak mógłby wprowadzać niejednoznaczność znaczenia.
Pochodna stałej jest równa zeru
f 0 ≡ f 0 (x) ≡
d
C = 0, gdzie C jest stałą,
dx
C0 = 0.
(1.12)
Pochodna iloczynu stałej i funkcji – stałą możemy przenieść jako
czynnik przed pochodną
d
d
(C · f (x)) = C ·
f (x),
dx
dx
(C · f (x))0 = C · f 0 (x).
(1.13)
Pochodna sumy/różnicy funkcji – pochodna sumy/różnicy funkcji
jest równa sumie/różnicy pochodnych tych funkcji
d
d
d
(f ± g) =
f±
g,
dx
dx
dx
(f ± g)0 = f 0 ± g 0 .
(1.14)
31
Pochodna iloczynu funkcji – jest równa sumie iloczynu pierwszej
funkcji przez pochodną drugiej i iloczynu drugiej funkcji przez pochodną pierwszej
d
d
d
(f · g) = f ·
g+g·
f,
dx
dx
dx
(f · g)0 = f · g 0 + f 0 · g.
(1.15)
Pochodna funkcji złożonej – czyli tu funkcji g, której argumentem
jest funkcja f , mająca argument za zmienną x
d
dg df
g(f (x)) =
·
,
dx
df dx
(g(f ))0 = g 0 · f 0 ,
(1.16)
g 0 oznacza pochodną funkcji g względem funkcji f , którą traktujemy
jako zmienną.
Pochodne często spotykanych funkcji
d n
x = nxn−1 ,
(xn )0 = nxn−1 ,
(1.17)
dx
d x
e = ex ,
(ex )0 = ex ,
(1.18)
dx
d ax
e = a · ex ,
(eax )0 = aex ,
(1.19)
dx
d x
a = ln a · ax ,
(ax )0 = ln a · ax ,
(1.20)
dx
1
1
d
ln x = ,
(ln x)0 = ,
(1.21)
dx
x
x
d
sin x = cos x,
(sin x)0 = cos x (x w radianach),
(1.22)
dx
d
cos x = − sin x, (cos x)0 = − sin x (x w radianach). (1.23)
dx
Różniczki – różniczkę zmiennej x zapisujemy jako dx, oznacza ona nieskończenie małą zmianę zmiennej x, rozumiemy ją w następujący sposób:
mamy zmianę skończoną zmiennej x, oznaczamy ją ∆x, jest ona równa
∆x = x1 − x.
x1 zmierza do wartości x, zatem ∆x dąży do zera nie osiągając jednak
wartości zero. I taką właśnie zmianą ∆x nie będącą zerem, ale dążącą do
zera jest różniczka dx.
32
Różniczka funkcji – zapisujemy ją jako df (x), oznacza ona nieskończenie małą zmianę wartości funkcji, wynikającą ze zmiany wartości
argumentu funkcji x o dx; możemy ją zapisać jako
df (x) = f (x + dx) − f (x).
Analogicznie dla zmiany skończonej mamy
∆f (x) = f (x + ∆x) − f (x).
Aby obliczyć różniczkę funkcji korzystamy ze wzoru
df (x)
dx, df (x) = f 0 (x) dx.
(1.24)
dx
Dla przyrostów skończonych możemy ten wzór zastosować jako wzór
przybliżony
df (x) =
d
f (x)∆x, ∆f (x) ∼
(1.25)
= f 0 (x)∆x,
dx
gdzie znak ∼
= oznacza wartość przybliżoną.
Wzór ten wykorzystujemy w rachunku błędów, wyznaczamy różniczki, następnie zamieniamy je na przyrosty skończone nadając im interpretację błędów pomiarowych i stosując odpowiednie zasady.
Różniczka zupełna i pochodne cząstkowe – w przypadku funkcji
wielu zmiennych różniczka funkcji ma nazwę różniczki zupełnej i dla
funkcji dwu zmiennych wyraża się wzorem (uogólnienie dla dowolnej
liczby zmiennych nie powinno stanowić problemu)
∆f (x) ∼
=
df (x, y) =
∂f (x, y)
∂f (x, y)
dx +
dy.
∂x
∂y
(1.26)
We wzorze tym pojawił nowy rodzaj pochodnej, pochodna cząstkowa. Zapisujemy ją w specjalny sposób
∂
∂x
∂
∂y
pochodna cząstkowa względem x,
pochodna cząstkowa względem y.
Zasady wyznaczania pochodnej cząstkowej są takie same jak zwykłej pochodnej, z tą różnicą że wszystkie zmienne, poza tą względem
której pochodna jest liczona, traktujemy jako stałe.
33
Przykłady
1. Wyznaczenie pochodnej funkcji y = 2x + 1 na podstawie definicji pochodnej:
d
∆y(x)
dy
=
y(x) = lim
∆x→0 ∆x
dx
dx
y(x + ∆x) − y(x)
= lim
∆x→0
∆x
[2(x + ∆x) + 1] − [2x + 1]
= lim
∆x→0
∆x
2x + 2∆x + 1 − 2x − 1
2∆x
= lim
= lim
= 2.
∆x→0
∆x→0 ∆x
∆x
dx
, czyli x0 :
dx
zapisuję wykładniki w postaci jawnej x = x1 , czyli wyznaczam pochodną
d 1
x , przeglądam wzory w niniejszym podrozdziale i znajduję we wzorze
dx
1.17 rozwiązanie:
2. Wyznaczenie pochodnej
d 1
x = 1 · x1−1 = 1 · x0 = 1 · 1 = 1.
dx
Zadania
1. Na podstawie definicji pochodnej wyznacz pochodną funkcji y = ax2 +
bx + c (powyżej znajduje się przykład).
2. Korzystając z odpowiednich wzorów 1.17-1.23, reguł działania pochodnej określonych wzorami 1.12 - 1.16 oraz podanego przykładu, wyznacz
pochodne poniższych funkcji
a) y = 16,
b) y = x2 + 1,
c) y = ln x,
d) y = ln x2 ,
e) y = 2x3 + ax2 − 4,
f) y = x ln x,
x2 − 1
g) y = 2
– zwróć uwagę, że jest to iloczyn dwu funkcji, czyli
x +1
y = (x2 − 1) · (x2 + 1)−1 .
34
3. W Szczególnej Teorii Względności masa ciała m zależy od jego prędkości
v zgodnie ze wzorem
m0
m= s
v2
1− 2
c
gdzie m0 – masa spoczynkowa ciała,
dm
Wyznacz pochodną
.
dv
4. W Szczególnej Teorii Względności pęd ciała p zależy od jego prędkości
v zgodnie ze wzorem
m0 v
p= s
v2
1− 2
c
gdzie m0 – masa spoczynkowa ciała,
dp
.
Wyznacz pochodną
dv
5. W fizyce pochodna współrzędnej (tzn. wielkości określającej położenie
ciała), oznaczane zmienną x po czasie t oznacza prędkość ciała, czyli
dx(t)
v=
. W poniższych zadaniach ciało porusza się wzdłuż osi x, jego
dt
położenie x w funkcji czasu określa funkcja x(t).
Wyznacz prędkość ciała dla funkcji x(t) określonych przez
a) x(t) = vt + x0 (równanie ruchu jednostajnego),
1
b) x(t) = at2 + v0 t + x0 (równanie ruchu jednostajnie przyśpie2
szonego), gdzie
v –
a –
v0 –
x0 –
prędkość ciała,
przyśpieszenie,
prędkość początkową,
położenie początkowe.
Wektory
35
1.6. Wektory
By wyjaśnić pojęcie wektora zaczniemy od pojęcia wielkości fizycznych.
Są one wokół nas. Wiele z nich jest określonych pojedynczą liczbą, np. liczba
posłów w sejmie, temperatura w ciągu dnia czy nocy, objętość, masa. Charakterystyczną cechą wielkości fizycznych jest to, że mają jednostki miary –
stopnie Celsjusza, metry sześcienne lub litry, kilogramy (dla podanych przykładów), są też nieliczne wielkości nie mające jednostek, jak np. prawdopodobieństwo czy ilość. Zwróćmy uwagę na bardzo ważny fakt, że te wielkości
określone są jedną liczbą (pomijając jednostki miary i związane z tym
rozważania). Nazywamy je z tego powodu skalarami.
W fizyce istnieją też wielkości, które są bardziej złożone i jedna liczba
nie wystarcza do ich opisu. Są to wektory, w fizyce jest wiele wielkości
wektorowych, są też wielkości bardziej skomplikowane (tensory), którymi
nie będziemy się zajmować (jest to zagadnienie dość zaawansowane, potrzeba jego znajomości nie pojawia się w zakresie pierwszych dwu lat studiów
politechnicznych).
Taką wielkością wektorową jest np. prędkość. Rozważmy w związku z nią
następujący przykład: w pewnym mieście jedzie samochód, zwróćmy uwagę
na trzy szczegóły:
1. na liczniku ma 50 km/godz.,
2. jedzie ulicą Stanisława Lema,
3. jedzie w kierunku rosnących numerów domów.
Określają one elementy składowe wektora prędkości tego samochodu, czyli wartość (50 km/godz.), kierunek (ul. Stanisława Lema, ma ona swój
kierunek w przestrzeni) i zwrot (czyli w stronę rosnących numerów, a nie
przeciwną).
Wszystkie wektory mają określone trzy elementy: wartość (używane też
są inne nazwy: moduł, długość), kierunek i zwrot.
Wektory możemy łatwo przedstawić graficznie, wektor to strzałka, której
długość odpowiada wartości wektora, ta strzałka leży na prostej określającej
kierunek wektora, a zwrot wektora (czyli w którą stronę prostej jest skierowany) określa grot strzałki. Przykłady przedstawia rys. 1.1.
Jest to przedstawienie graficzne wektorów, jest też przedstawienie analityczne określające wektory liczbowo.
Zaczniemy od przedstawienia graficznego, w którym przedstawimy
wszystko co w tym ujęciu da się przedstawić, potem pokażemy to w ujęciu
36
Rys. 1.1. Przykłady wektorów. Wektory ~a i ~b są sobie równe, wektory ~c
i d~ są wektorami przeciwnymi, wektory f~ i ~h są równe wektorom
odpowiednio ~e i ~g pomnożonymi przez liczbę
analitycznym. Obejmuje to podstawowy zakres wiadomości n/t wektorów
(o wektorach są obszerne książki).
Wektory
37
1.6.1. Wektory w ujęciu geometrycznym
Wektor jako przemieszczenie – na rys. 1.2 mamy przedstawione przemieszczenie od punktu początkowego A do punktu końcowego B, które
odbyło się po drodze oznaczonej linią łamaną. Interesuje nas minimalna
informacja o przemieszczeniu, czyli punkt początkowy i końcowy (a nie
droga, po której ono nastąpiło), i jak możemy to zdefiniować. Przemieszczenie może się odbywać po różnych drogach, dwie są przedstawione na
rysunku (bezpośrednio od A do B, druga po linii łamanej ACDEB).
Możliwych dróg nie bierzemy pod uwagę. Istotna jest wielkość przemieszczenia, czyli odległość punktów A i B. Przemieszczenie przedstawiamy
Rys. 1.2. Wektor ~a jest wektorem przemieszczenia z punktu A do punktu B.
Odbyło się ono po drodze ACDEB, jednakże wektor jest określony
wyłącznie przez punkt początkowy i końcowy, nie zawiera zatem
informacji o drodze przemieszczenia, wektor ~a może być również
−−→
zapisany jako AB
w postaci wektora. Jest to strzałka, która posiada:
1.
2.
3.
4.
5.
Początek (lub inaczej punkt zaczepienia), czyli punkt A.
Koniec oznaczony grotem w punkcie B.
Długość równą odległości pomiędzy punktami A i B.
Kierunek, czyli prostą na której leży wektor.
Zwrot, czyli wyznaczoną stronę (zwrot) tej prostej (w języku polskim pojęcie kierunek oznacza również zwrot) określony od punktu
początkowego do końcowego.
Wektor przemieszczenia możemy traktować jako działanie (transformację) powodujące przemieszczenie punktu na określoną odległość w określonym kierunku (wyznaczonym przez położenie prostej i jej zwrot). Do-
38
tyczy to dowolnego punktu, zatem punkt przyłożenia nie jest elementem
wektora.
W takim ujęciu wektor przemieszczenia sprowadza się do następujących
3 elementów:
1. wartość (czyli długość, moduł) wektora – zawsze dodatnia,
2. kierunek,
3. zwrot.
Zapis wektorów – wektory przedstawiamy symbolicznie pojedynczą małą literą (w przypadku wielkości fizycznych dużą) lub dwiema dużymi
oznaczającymi punkt początkowy i końcowy, nad którymi zaznaczamy
strzałkę skierowaną od lewej strony do prawej, w druku w przypadku
oznaczeniu jednoliterowego stosuje się czcionkę pogrubioną:
→
− −→ −→
→
−
a , F , AB, BA, a, F, AB.
Zapis wartości wektora – dla oznaczenia wartości wektora używamy jego
oznaczenia bez strzałki, zapisujemy jego symbol literowy zapisany czcionką normalną lub stosujemy specjalne oznaczenie polegające na tym, że
symbol wektora otaczamy nawiasami prostymi (można spotkać też podwójne nawiasy proste, zapewne by odróżnić od oznaczenia stosowanego
dla wartości bezwzględnej):
−→
−→
−
−
a, |→
a |, |AB|, |a|, |F|, |AB| lub czasem k→
a k, kABk, kak, kFk, kABk.
1.6.1.1. Skalary a wektory
Skalary – wielkości opisywane jedną liczbą, jak np. temperatura, czas, masa, ciśnienie, energia. Nie mają one związku z pojęciem kierunku.
Wektory – wielkości mające wartość, kierunek i zwrot, takie jak np. przemieszczenie, prędkość (ale nie szybkość – oznacza ona wartość prędkości,
czyli liczbę), przyśpieszenie, siła. Do ich opisu w przestrzeni (przypadek trójwymiarowy) potrzebujemy 3 liczb, na płaszczyźnie 2 (przypadek
dwuwymiarowy), a na osi liczbowej 1 liczby (przypadek jednowymiarowy) – patrz rys. 1.3.
Wyróżniamy dwa rodzaje wektorów: wektory zaczepione i wektory
swobodne.
Wektory
39
Rys. 1.3. Przykłady wektorów w układzie 1-wymiarowym (a) – na osi
liczbowej (zaznaczono punkt zerowy), 2-wymiarowym (b) – na
płaszczyźnie w układzie współrzędnych prostokątnych x, y i
3-wymiarowym (c) – w przestrzeni, w układzie współrzędnych
prostokątnych x, y, z. Na rysunku (c) wektor ~r jest poprowadzony
ze środka układu współrzędnych do punktu A, dla większej poglądowości narysowano prostopadłościan, którego wierzchołkiem
jest punkt A
1.6.1.2. Rodzaje wektorów
Wektory zaczepione – wektory, dla których istotny jest punkt przyłożenia (zaczepienia), np. siła jest przyłożona do konkretnego ciała w konkretnym punkcie.
Wektory swobodne – wektory, dla których punkt przyłożenia nie jest
określony, np. wektor przemieszczenia określający tylko jego wartość, kierunek i zwrot. W praktyce często wektory zaczepione traktujemy jakby
były swobodne.
Wektor przeciwny do wektora ~a (rys. 1.1 na stronie 36) – jest to wektor mający tę samą wartość, kierunek i przeciwny zwrot, oznaczamy go
(−~a). Określenie „wektory mają ten sam kierunek” oznacza, że są one
równoległe, czyli proste na których one leżą są równoległe (a nie, że oba
wektory leżą na tej samej prostej).
Wektor jednostkowy – ma wartość jednostkową. Szczególne znaczenie
mają wektory jednostkowe o kierunkach i zwrotach zgodnych z osiami
prostokątnego układu współrzędnych kartezjańskich, mają specjalną nazwę wersor i oznaczenie ı̂, ̂, k̂ odpowiednio dla osi x, y, z – patrz rys.
1.4.
40
Rys. 1.4. Wersory w układzie 1-wymiarowym (a) – na osi liczbowej (zaznaczono współrzędne), 2-wymiarowym (b) – na płaszczyźnie w układzie współrzędnych prostokątnych x, y i 3-wymiarowym (c) –
w przestrzeni, w układzie współrzędnych prostokątnych x, y, z
Wektor zerowy – wektor mający wartość równą zero, nie ma określonego
kierunku, zapisujemy go jako ~0.
1.6.1.3. Działania na wektorach
Omawiając działania na wektorach będziemy traktować wszystkie wektory jako swobodne.
Przesunięcie równoległe – ponieważ wektor jest transformacją (w przypadku wektora przemieszczenia), nie ma on punktu przyłożenia (punkt
przyłożenia pojawia się dopiero gdy działa on na określony obiekt), zatem
może być przesuwany w sposób zachowujący kierunek i zwrot wektora,
będąc przy tym cały czas tym samym wektorem. Musi to być zatem
przesunięcie równoległe.
Wektor przesunięty równolegle leży na prostej równoległej do tej, na
której wcześniej się znajdował i ma ten sam zwrot. Dany wektor i jego
kopie utworzone jako wektory przesunięte równolegle traktujemy jako te
same wektory.
Czyli wektor jest określony przez wartość (moduł), kierunek i zwrot, a nie
miejsce gdzie się znajduje.
Konstrukcja wektora przeciwnego – najprościej poprowadzić z punktu
początkowego wektora wektor o tej samej długości i kierunku, skierowany
przeciwnie. Rysowanie wektora przeciwnego winniśmy mieć opanowane,
Wektory
41
gdyż ta umiejętność jest niezbędna przy odejmowaniu graficznym wektorów. Wektory przeciwne przedstawia rys. 1.1 na stronie 36.
Dodawanie metodą trójkąta przedstawia rys. 1.5 – do pierwszego wektora dosuwamy równolegle drugi wektor tak, by jego początek pokrył
się z końcem (grotem) pierwszego wektora, powtarzamy to dla kolejnych
wektorów. Koniec ostatniego wektora wyznacza końcowy punkt wynikowego przemieszczenia. Sumą dodawanych wektorów jest wektor poprowadzony od początku pierwszego wektora do końca ostatniego.
Rys. 1.5. Dodawanie graficzne wektorów: a) wektory, b) metoda równoległoboku, c) metoda trójkąta
Dodawanie metodą równoległoboku przedstawia rys. 1.5 – wektory dosuwamy równolegle do siebie tak, by miały wspólny punkt początkowy.
Przez koniec jednego wektora prowadzimy prostą równoległą do drugiego wektora (linia przerywana), analogicznie kreślimy drugą równoległą.
Sumą obu wektorów jest wektor leżący na przekątnej powstałego w ten
sposób równoległoboku poprowadzony od punktu początkowego obu dodawanych wektorów.
Odejmowanie wektorów przedstawia rys. 1.6 – nie korzystamy ze specjalnego sposobu odejmowania wektorów, odejmowanie wektora zastępujemy
dodawaniem wektora przeciwnego zgodnie z zależnością
~a − ~b = ~a + (−~a).
Stosujemy podane wcześniej metody dodawania wektorów.
42
Rys. 1.6. Odejmowanie graficzne wektorów: a) wektory, b) metoda równoległoboku, c) metoda trójkąta
Rozkład wektora na składowe przedstawia rys. 1.7 polega na znalezieniu dla danego wektora ~a takich dwu wektorów ~a1 i ~a2 , których on jest
sumą:
~a = ~a1 + ~a2 .
Najwygodniej zastosować metodę równoległoboku, która jest od razu
konstrukcją sumy wektorów składowych z prawej strony powyższego równania. Przez punkt początkowy prowadzimy dwie proste pomocnicze wyznaczające kierunki wektorów składowych, przez punkt końcowy wektora
prowadzimy proste pomocnicze równoległe do poprzednich. Wektorami
składowymi są wektory utworzone na bokach powstałego równoległoboku
mające ten sam punkt początkowy co wektor wyjściowy.
Rozkład wektora oznacza (w zastosowaniu do fizyki) zastąpienie go jego
wektorami składowymi.
Mnożenie wektora przez liczbę oznacza skonstruowanie wektora, którego długość (moduł) jest równy iloczynowi tej liczby i modułu mnożonego wektora. Działanie to oznacza skalowanie wektora (rozciąganie
lub pomniejszanie w zależności czy czynnik liczbowy jest większy czy
mniejszy od 1, stąd określanie liczb skalarami, od skalowania).
Iloczyn skalarny wektorów – nazwa oznacza, że wynikiem mnożenia
(iloczynu) skalarnego (dwu) wektorów jest skalar (czyli liczba), a nie
wektor. Określony jest wzorem
~a · ~b = ab cos α.
Wektory
43
Rys. 1.7. Rozkład wektora ~a na składowe: a) wektory składowe pod kątem
różnym od prostego, b) wektory składowe prostopadłe
W powyższym zapisie znak mnożenia „·” jest niezbędny, gdyż oznacza
on iloczyn skalarny (jeśli znajduje się pomiędzy dwoma wektorami). Kąt
α jest kątem pomiędzy wektorami.
Zwróć uwagę, że jeśli kąt pomiędzy wektorami jest kątem prostym (α =
90◦ ) to iloczyn skalarny jest równy 0.
Zwróć też uwagę kiedy cos α przyjmuje wartość 1. Ma to znaczenie gdy
czynnikami są wektory jednostkowe (do tego jeszcze wrócimy później).
Iloczyn wektorowy wektorów – nazwa oznacza, że wynikiem mnożenia
(iloczynu) (dwu) wektorów jest wektor, a nie coś innego (jak liczba).
Określony jest wzorami
~c = ~a × ~b
oraz
c = ab sin α.
Nie jest to jednak pełna definicja, pierwszy wzór mówi, że iloczyn jest
wektorem ~c, drugi – jaka jest wartość tego wektora. Nie wiemy jeszcze jaki
jest kierunek i zwrot iloczynu wektorowego, czyli wektora ~c. To określa
słowne uzupełnienie:
kierunek: wektor ~c jest wektorem prostopadłym do obu wektorów ~a i ~b
(zwróć uwagę, że dwa wektory, jeśli nie są równoległe, wyznaczają
płaszczyznę, na tej płaszczyźnie oba wektory leżą, do niej wektor ~c
jest prostopadły),
zwrot wyznacza reguła śruby prawoskrętnej: jeśli ustawimy się tak, że
oba wektory będą przed nami (w płaszczyźnie równoległej do nas)
i obrót pierwszego wektora (pierwszy czynnik iloczynu wektorowego)
w kierunku drugiego będzie zgodny z ruchem zegara (czyli prawo-
44
w prawo
obserwator
w lewo
Rys. 1.8. Wyznaczanie kierunku i zwrotu iloczynu wektorowego za pomocą reguły śruby prawoskrętnej (lub korkociągu). Wektory ~a i ~b
leżą na płaszczyźnie przed obserwatorem (oznaczonej obróconym
prostokątem). Obrót wektora ~a na wektor ~b jest zgodny z ruchem
wskazówek zegara. Śruba prawoskrętna (korkociąg) przyłożona
prostopadle do tej płaszczyzny wkręcałaby się w kierunku od
obserwatora zgodnie z kierunkiem i zwrotem wektora ~c
skrętny) to zwrot iloczynu wektorowego jest w kierunku wkręcania
się śruby prawoskrętnej (czyli od nas do przodu) – patrz rys. 1.8, jeśli
obrót wektora jest w przeciwną stronę, to zwrot też jest przeciwny.
W powyższym zapisie znak mnożenia wektorowego „×” jest niezbędny,
gdyż oznacza on iloczyn wektorowy (jeśli znajduje się pomiędzy dwoma
wektorami). Kąt α jest kątem pomiędzy wektorami.
Zwróć uwagę, że jeśli oba wektory są równoległe, czyli kąt pomiędzy
nimi α = 0◦ to iloczyn wektorowy jest równy ~0, czyli jest wektorem
zerowym (pamiętamy, że wektor zerowy nie ma kierunku ani zwrotu,
jest bowiem wektorem utworzonym z punktu matematycznego), bo jego
wartość (moduł) jest równa 0.
Zwróć też uwagę kiedy sin α przyjmuje wartość 1. Ma to znaczenie gdy
czynnikami są wektory jednostkowe (do tego jeszcze wrócimy później).
Ważna właściwość iloczynu wektorowego – jest on nieprzemienny.
Działania, którym wektory nie podlegają – wszystkie nie wymienione, czyli nie ma dzielenia wektora przez wektor, pierwiastkowania wek-
Wektory
45
torów, logarytmowania itd. Nie dotyczy to oczywiście modułu (wartości
wektora), który jest liczbą i podlega wszystkim działaniom jakie możemy
wykonywać na liczbach.
Zagadnienia pominięte – funkcje wektorowe, pochodne i całki wektorów
i inne tematy. Omawianie ich wymaga przedstawienia wektorów w postaci analitycznej, są to ponadto zaawansowane zagadnienia leżące poza
zakresem naszego opracowania.
1.6.1.4. Własności działań na wektorach
Z matematyki szkolnej znamy liczby, jakie działania na nich możemy
wykonywać i jakim regułom one podlegają.
W stosunku do liczb wektory są bardziej złożonymi wielkościami. Rodzaje działań matematycznych z udziałem wektorów w ujęciu geometrycznym
omówiliśmy powyżej. Zostało do omówienia jakie zasady obowiązują wektory
w tych działaniach, w większości są takie same jak w odniesieniu do liczb.
Obowiązują następujące zasady:
1. Przemienności dodawania
~a + ~b = ~b + ~a.
2. Nieprzemienności odejmowania
~a − ~b = −(~b − ~a),
ale zamieniając na sumę mamy:
~a − ~b = ~a + (−~b) = (−~b) + ~a.
3. Łączności dodawania
(~a + ~b) + ~c = ~a + (~b + ~c).
4. Rozdzielności mnożenia przez skalar (liczbę), względem dodawania
i odejmowania wektorów
x · (~a + ~b) = x · ~a + x · ~b,
x · (~a − ~b) = x · ~a − x · ~b,
uwaga: znak mnożenia „·” może być pominięty, tak jak jest to zwykle
stosowane w matematyce w przypadku iloczynów wielkości będących liczbami.
46
5. Przemienności iloczynu skalarnego
~a · ~b = ~b · ~a.
6. Nieprzemienności iloczynu wektorowego
~a × ~b = −~b × ~a.
7. Rozdzielności mnożenia skalarnego i wektorowego przez wektor
względem dodawania i odejmowania wektorów
~a · (~b + ~c) = ~a · ~b + ~a · ~c,
~a × (~b + ~c) = ~a × ~b + ~a × ~c.
Wektory
47
1.6.2. Wektory w ujęciu analitycznym
Określenie w tytule ma związek z geometrią analityczną, czyli takim ujęciem geometrii, w którym obiekty geometryczne (punkty, proste, figury, wektory itd.) znajdują się w układzie współrzędnych i są przedstawiane przy
pomocy liczb3 mających sens współrzędnych.
Układ współrzędnych – może być jednowymiarowy, dwuwymiarowy lub
trójwymiarowy (matematycy i fizycy używają również układów o większej liczbie wymiarów, nawet dowolnej liczbie i nawet układów o nieskończonej ich liczbie, fizycy zajmujący się pewną dziedziną fizyki teoretycznej przypisują naszej rzeczywistości 11 wymiarów, te co są poza naszym
wyobrażeniem mają być „zwinięte”, ale ich zdaniem istnieją).
Układ jednowymiarowy „dzieje” się na prostej, dwuwymiarowy na płaszczyźnie, trójwymiarowy w przestrzeni.
Układ jednowymiarowy – jest nim prosta, z którą wiążemy oś liczbową, czyli wyróżniamy na niej punkt zerowy i kierunki dodatni
w jedną stronę i ujemny w drugą, zaznaczamy też na niej podziałkę
(jak na linijce).
Każdy punkt na tej prostej ma przypisaną liczbę określającą jego
położenie względem punktu zerowego równą jego odległości od niego
i mającą odpowiedni znak w zależności od tego czy jest po stronie
dodatniej czy ujemnej. Ta liczba jest współrzędną tego punktu.
Jeśli jakieś zagadnienie (np. zadanie z fizyki) da się sprowadzić do
przypadku jednowymiarowego (np. ruchu po prostej) to robimy to,
bo w ten sposób zyskujemy najprostsze jego ujęcie.
Układ dwuwymiarowy – kartezjański układ współrzędnych prostokątnych, czyli dwie osie liczbowe oznaczone x i y o wspólnym punkcie
zerowym i przecinające się pod kątem prostym. Oś x ma też nazwę
osi odciętych, a oś y osi rzędnych.
Punkt w tym układzie ma dwie współrzędne: współrzędną x (odciętą) i współrzędną y (rzędną). Jest przedstawiany jako para liczb (x,y)
będących jego współrzędnymi. By je określić rzutujemy punkt prostopadle na osie. Współrzędne tych rzutów są współrzędnymi naszego
punktu.
3
Również funkcji. Figury, jak np. prosta, parabola itd. są graficznym obrazem odpowiadających im funkcji matematycznych.
48
Układ trójwymiarowy – jw. tylko, że trzy osie liczbowe x, y i z,
wszystkie przecinające się pod kątem prostym.
Wektor w układzie współrzędnych – rozpatrujemy wektor ~a, przesuwamy go równolegle do początku układu współrzędnych (tzn. tak by jego
punkt początkowy pokrył się z punktem zerowym układu współrzędnych)
i rozkładamy na składowe leżące na osiach współrzędnych (dotyczy to
oczywiście tylko układu dwu i trójwymiarowego, w układzie jednowymiarowym nie ma to sensu).
Wektor ~a jest równy sumie swoich wektorów składowych, w układzie
dwuwymiarowym
~a = ~ax + ~ay ,
i trójwymiarowym
~a = ~ax + ~ay + ~az .
Wprowadzimy teraz wersory, czyli wektory jednostkowe leżące na osiach
układu współrzędnych i skierowane zgodnie z ich zwrotami (czyli mające
wartość 1, kierunek osi współrzędnych i jej zwrot), na rysunkach zwykle
rysujemy je tak, by ich punkty początkowe pokrywały się z początkiem
układu współrzędnych, mają też specjalne oznaczenia:
ı̂ – dla osi x,
̂ – dla osi y,
k̂ – dla osi z.
Mając wersory możemy wektory składowe przedstawić w postaci iloczynu
wartości wektora (tj. inaczej długości lub modułu, czyli liczby), które
oznaczymy odpowiednio x, y lub z, i odpowiedniego wersora ı̂, ̂, czy k̂:
~ax = xı̂,
~ay = y̂,
~az = z k̂.
Teraz rozpatrywany wektor możemy przedstawić następująco
~a = xı̂ + y̂
– w układzie dwuwymiarowym,
~a = xı̂ + y̂ + z k̂
– w układzie trójwymiarowym.
Wektory
49
W tym zapisie mamy oddzielenie liczb (modułów wektorów składowych)
i wersorów. Wersory możemy traktować jako należące do układu współrzędnych, współrzędne składowych zaś definiują wektor, co pozwala nam
go zapisać:
~a = [x, y] i odpowiednio ~a = [x, y, z].
Sposób wyznaczania współrzędnych wektora przedstawiają rys. 1.9 i 1.10.
Rys. 1.9. Wyznaczenie współrzędnych wektorów ~a i ~b, których początek
pokrywa się z początkiem układu współrzędnych
Działania na wektorach w ujęciu analitycznym przedstawiają poniższe
wzory. Zmieniliśmy w nich oznaczenie współrzędnych wektorów z x, y, z
na ax , ay , az itd., tak by odnosiły się do oznaczeń literowych wektorów.
1. Moduł wektora
|~a| = [ax , ay , az ] =
q
a2x + a2y + a2z .
2. Wektor przeciwny
−~a = −[ax , ay , az ] = [−ax , −ay , −az ].
3. Dodawanie wektorów
~a + ~b = [ax , ay , az ] + [bx , by , bz ] = [ax + bx , ay + by , az + bz ].
4. Odejmowanie wektorów
~a − ~b = [ax , ay , az ] − [bx , by , bz ] = [ax − bx , ay − by , az − bz ].
50
Rys. 1.10. Wyznaczenie współrzędnych wektorów ~a i ~b, których początek
nie pokrywa się z początkiem układu współrzędnych
5. Mnożenie wektora przez liczbę
C~a = C[ax , ay , az ] = [Cax , Cay , Caz ].
6. Iloczyn skalarny
~a · ~b = [ax , ay , az ] · [bx , by , bz ] = ax bx + ay by + az bz .
Iloczyny skalarne wersorów
ı̂ · ı̂ = ̂ · ̂ = k̂ · k̂ = 1,
ı̂ · ̂ = ̂ · k̂ = ı̂ · k̂ = 0.
7. Iloczyn wektorowy
ı̂
~
~a × b = ax
bx
̂ k̂ a a a a a
y
z
x ay z
x
+ ̂ + k̂ ay az = ı̂ by bz bz bx bx by by bz
= (ay bz − az by )ı̂ + (az bx − ax bz )̂ + (ax by − ay bx )k̂.
Wektory
51
Iloczyny wektorowe wersorów
ı̂ × ı̂ = ̂ × ̂ = k̂ × k̂ = ~0,
ı̂ × ̂ = k̂,
̂ × ı̂ = −k̂,
̂ × k̂ = ı̂,
k̂ × ̂ = −ı̂,
k̂ × ı̂ = ̂,
ı̂ × k̂ = −̂.
52
1. Przesunięcie równoległe. Wektory w wielu przypadkach traktujemy
jako wektory swobodne, oznacza to że jeśli mamy wektor ~a i jakikolwiek
inny wektor ~b, który jest do niego równoległy, ma ten sam zwrot i tę samą
wartość (długość), to wektor ~b jest tożsamy (identyczny) z wektorem
~a. Poniższy rysunek przedstawia przykłady takich wektorów, są one
identyczne, mimo że narysowane są w różnych miejscach, te miejsca
dla wektorów swobodnych są nieistotne, liczy się tylko kierunek, zwrot
i wartość wektora, a nie jego punkt początkowy.
~ Skonstruuj:
2. Na poniższym rysunku przedstawione są wektory ~a, ~b, ~c i d.
~
a) wektory przeciwne, tj. −~a, −~b, −~c, −d,
1 1
b) wektory 2~a, ~b, ~c,
2 2
~ −(~c + d),
~
c) metodą równoległoboku wyznacz ~a + ~b, ~a − ~b, ~c + d,
~
~
~
~
d) metodą trójkąta wyznacz ~a + b + ~c + d oraz −~a + b − d + ~c,
e) rozłóż wektory ~a, ~b, ~c i d~ na składowe leżące na prostych przedstawionych na rysunku obok,
Wektory
53
f) narysuj układ współrzędnych prostokątnych x, y, przesuń wektory do
początku układu współrzędnych i wyznacz
~
— składowe x i y wektorów ~a, ~b, ~c i d,
— ich postacie analityczne,
— ich długości,
— kąt jaki tworzą z osią x.
3. Posługując się wyznaczonymi postaciami analitycznymi wektorów ~a, ~b, ~c
i d~ wyznacz:
~
a) postacie analityczne wektorów przeciwnych, tj. −~a, −~b, −~c, −d,
1 1
b) postacie analityczne wektorów 2~a, ~b, ~c,
2 2
~ −(~c + d),
~
c) oblicz ~a + ~b, ~a − ~b, ~c + d,
d) oblicz ~a + ~b + ~c + d~ oraz −~a + ~b − d~ + ~c.
4. Narysuj układ współrzędnych prostokątnych x, y:
a) narysuj wektory ~a = [−3, −2], ~b = [2, −3], ~c = [0, −3] w punktach
o współrzędnych A(−4, −5), B(3, 4) i C(2, −3).
−−→ −→
b) wyznacz postać analityczną wektorów AB i CA.
5. Narysuj układ współrzędnych prostokątnych:
a) narysuj wektory jednostkowe ı̂, ̂ i k̂,
b) określ kąty między wersorami ı̂ i ı̂, ̂ i ̂, k̂ i k̂,
c) określ kąty między wersorami ı̂ i ̂, ̂ i k̂, k̂ i ı̂.
6. Korzystając ze wzoru na iloczyn skalarny ~a · ~b = ab cos α oblicz iloczyny
skalarne wersorów:
a) ı̂ · ı̂, ̂ · ̂, k̂ · k̂,
b) ı̂ · ̂, ̂ · k̂, ı̂ · k̂.
7. Korzystając ze wzoru na wartość iloczynu wektorowego |~a × ~b| = ab sin α
oraz z zasady określania kierunku i zwrotu iloczynu wektorowego wyznacz iloczyny wektorowe wersorów:
a) ı̂ × ı̂, ̂ × ̂, k̂ × k̂,
b) ı̂ × ̂, ̂ × k̂, k̂ × ı̂,
c) ̂ × ı̂, k̂ × ̂, ı̂ × k̂.
8. Podaj postacie analityczne wersorów ı̂, ̂, k̂.
9. Korzystając ze wzorów dla postaci analitycznej oblicz iloczyny skalarne
wersorów:
a) ı̂ · ı̂, ̂ · ̂, k̂ · k̂,
b) ı̂ · ̂, ̂ · k̂, ı̂ · k̂.
54
10. Korzystając ze wzorów w postaci analitycznej wyznacz iloczyny wektorowe wersorów:
a) ı̂ × ı̂, ̂ × ̂, k̂ × k̂,
b) ı̂ × ̂, ̂ × k̂, k̂ × ı̂,
c) ̂ × ı̂, k̂ × ̂, ı̂ × k̂.
11. Dane są wektory ~a = [3, −1] i ~b = [3, 4]. Wyznacz:
a) wartości tych wektorów,
b) kąty jakie tworzą z osią x,
c) ich iloczyn skalarny,
d) kąt pomiędzy nimi,
e) ich iloczyn wektorowy.

Elementy narzędziowni matematycznej

Transkrypt

Podobne dokumenty

ABC matematyki dla początkujących fizyków. Algebra wektorów 1

geometria analityczna 1