Lista przygotowawcza 2

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, II r. IBM, PPT.
Lista przygotowawcza do kolokwium nr 2
2016/17
1. 1. W kraju sa̧ trzy zaklady samochodowe A,B,C produkuja̧ce ten sam model
samochodu. Pierwszy ma 50 procent calej produkcji, drugi 30 procent, trzeci 20 procent. Pierwszy zaklad ma 5 procent wybrakowanych produktów, drugi 10
procent, a trzeci 20 procent. Jakie jest prawdopodobieństwo, że kupiony losowo
w kraju ten model samochodu byl wybrakowany?
2. Przy warunkach z zadania 1, kupiony losowo w kraju samochód byl wybrakowany. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzil z drugiego zakladu?
3. Na stole sa̧ trzy jednakowe urny. W pierwszej sa̧ dwie kule czerwone i dwie
czarne, w drugiej dwie kule czarne i jedna czerwona, w trzeciej jedna czarna,
jedna biala i jedna czerwona. Losujemy urnȩ i wybieramy z niej dwie kule. jakie
jest prawdopodobieństwo, że bȩda̧ to kula czarna i czerwona?
4. W zadaniu 4 wylosowaliśmy dwie kule różnego koloru. Jakie jest prawdopodobieństwo, że byly w urnie pierwszej?
5. Rzucamy trzy razy moneta̧. Za reszkȩ dostajemy 2 PLN, jeśli jednak
wypadna̧ trzy orly placimy 10 PLN. Obliczyć średnia̧ wygrana̧ w tej grze (tzn
EX gdzie X jest zmienna̧ losowa̧ opisuja̧ca̧ wygrana̧).
6. Niech X : Ω → [0, 1] bȩdzie zmienna̧ losowa̧ przyjmuja̧ca̧ na zdarzeniach
elementarnych ze zdarzenia A (tzn. na argumentach z A) wartości nie wiȩksze
niż 1/2. Udowodnić, że EX ≤ 56 , jeśli P (A) ≥ 13 .
7. Przypomnieć z wykladu definicjȩ wariancji zmiennej losowej i dowód, że
V ar(X) = E(X 2 ) − (EX)2 .
8. Ile razy trzeba rzucać kostka̧, aby prawdopodobieństwo wypadniȩcia przynajmniej jednej szóstki bylo co najmniej 1/2?
9. Rzucamy cztery razy moneta̧. za orla wygrywamy 2PLN, za reszkȩ placimy
2 PLN. Podać dystrybuantȩ (wraz z wykresem) zmiennej losowej opisuja̧cej tȩ
grȩ.
10. Zmienna losowa X ma rozklad jednostajny na odcinku [1, 4]. Obliczyć EX
i V ar(X).
11. Gȩstość zmiennej losowej X o rozkladzie Cauchy’ego dana jest wzorem
fX (x) =
1 1
.
π 1 + t2
Obliczyć E(X + ) i E(X − ).
1