Publiczne Gimnazjum

10. Planimetria
Ciekawsze twierdzenia i definicje.
O trójkątach:
- Niech a, b ,c będą długościami boków trójkąta i c to najdłuższy bok. Wtedy :
10 jeśli c2 < a2 + b2 , to trójkąt jest ostrokątny,
20 jeśli c2 = a2 + b2 , to trójkąt jest prostokątny,
30 jeśli c2 > a2 + b2 , to trójkąt jest rozwartokątny.
- Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie(środku ciężkości trójkąta).
Punkt ten dzieli każdą środkową w stosunku 1 : 2 ( licząc od wierzchołka).
a
- Dwusieczna kąta w trójkącie dzieli
przeciwległy bok tak ,że zachodzi
równość : ba  dc
c
- W trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej
a
c prawdziwe są następujące wzory :
10 c2 = a2 + b2
20 h2 = xy= ab
c
- wzory na pole powierzchni trójkąta
P  12 ah ; P  12 ab sin  ; P 
P
b
abc
4R
;
d
x
h
c
y
b
P  pr ;
p( p  a)( p  b)( p  c) gdzie :
a , b , c- długości boków trójkąta
h- wysokość opuszczona na bok a
 -kąt zawarty między bokami a i b
R- promień okręgu opisanego na
r – promień okręgu wpisanego w
p = ( a + b + c) : 2

- z trzech danych odcinków a , b , c można zbudować trójkąt jeśli np. :
a b < c < a + b
( jeśli a > b można pominąć wartość bezwzględną)
O okręgach :
- Jeśli na okręgu opisany jest czworokąt , o długościach kolejnych boków :
a , b , c , d to :
a + c = b + d.
- Jeśli na czworokącie opisany jest okrąg to suma przeciwległych kątów tego
czworokąta jest taka sama I wynosi 1800.
- styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu
styczności.
- Jeśli kąt środkowy i wpisany oparte są na tym samym łuku to kąt środkowy jest
dwa razy większy od wpisanego.
- Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe.
- Kąt wpisany oparty na półokręgu jest kątem prostym.
- Wzajemne położenie okręgów o promieniach r 1 i r2 takich , że r1 > r2:
d – odległość środków
d
d
okręgi rozłączne zewnętrznie
d > r 1 + r2
okręgi styczne zewnętrznie
d = r 1 + r2
d
d
okręgi przecinające się
r1 - r 2 < d < r 1 + r2
okręgi styczne wewnętrznie
d= r1 - r2
d
okręgi rozłączne wewnętrznie okręgi współśrodkowe
0 < d < r1 - r2
d= 0
( jeżeli nie wiadomo , który promień jest większy , należy tam gdzie we wzorach jest
różnica nałożyć wartość bezwzględną)
- Wielokąty
- wzór na ilość przekątnych d w dowolnym n – kącie:
n n 3 
2
d=
- wzór na sumę S kątów w n –kącie :
S=
n  2 180 0
- wzór na kąt wewnętrzny
n 
n
n – kąta foremnego :
n  2 1800
n
2
Zad.34 Odcinek łączący środki ramion trapezu rozcina go na dwie figury. Pole
jednej z nich jest równe 4 cm2 , a drugiej 6 cm2. Oblicz pola figur , na
które przekątna rozcina ten trapez.
Zad.35 W trójkącie o bokach 12, 16 , 20 cm poprowadzono dwie proste
równoległe do najmniejszego boku tak , że te równoległe odcinają na
najdłuższym boku po obu jego końcach odcinki o długościach 5 cm .
Otrzymujemy podział danego trójkąta na dwa trapezy i trójkąt o
rozłącznych polach . Oblicz obwód i pole każdej z tych figur.
Zad.36 W trapezie jedno z ramion ma długość 5 cm i tworzy z podstawą kąt 450.
Odcinek łączący środki ramion wynosi 10 cm . Oblicz pole trapezu.
Zad.37 Bok rombu a i jego przekątne p i q spełniają warunek pq = a 2.
Jaki jest kąt ostry tego rombu ?
Zad.38 Promień okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym ma 8 cm .
Kąt między ramionami trójkąta ma miarę 45 0 . Oblicz pole i obwód  .
Zad.39 Oblicz pole trapezu o podstawach 2 cm i 3 cm oraz przekątnych 3 i 4 cm .
Zad.40 Boki czworokąta nie wypukłego są parami równe. Dwa kąty tego
czworokąta są równe 600 i 2700. Krótszy bok ma długość 2 cm . Oblicz
pole tego czworokąta.
Zad.41 W okręgu o promieniu 24 cm poprowadzono cięciwę AB o długości 36 cm,
Oblicz odległość punktu A od stycznej do okręgu poprowadzonej przez B.
Zad.42 W prostokącie ABCD o bokach 5 cm i 12 cm poprowadzono przekątną AC.
Wyznacz odległość wierzchołka B od tej przekątnej.
Zad.43 W trapezie trzy boki są równe a, czwarty bok trapezu ma długość 2a .
Oblicz długość przekątnej trapezu.
Zad.44 Wysokość trójkąta równobocznego jest krótsza od jego boku o 1. Wyznacz
bok tego trójkąta . (Uwolnij wynik od niewymierności)
Zad.45 Każdy bok kwadratu jest średnicą koła. Wspólna część tych kół tworzy
wewnątrz kwadratu rozetę czterolistną . Oblicz pole listków tej rozety,
jeżeli bok kwadratu równa się a.
Zad.46 Wszystkie kąty ośmiokąta są równe , a boki mają na przemian długość 1
i 2. Oblicz pole , obwód, długość przekątnych i sumę kątów ośmiokąta .
Zad.47 Pole pierścienia kołowego jest równe 16 cm 2 , a długość jego brzegu 16
cm . Oblicz szerokość pierścienia.
Zad.48 W trójkącie równoramiennym równe boki mają długość 2b , a długość
trzeciego boku to 2a. Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym
trójkącie.
Zad.49 Środki boków trapezu łączymy kolejno odcinkami. Jaką część pola trapezu
stanowi pole otrzymanego czworokąta?
Zad.50 W trójkącie równoramiennym ABC
AC  BC środek okręgu wpisanego
jest punktem O, a opisanego S. Kąt ACB=400 . Oblicz miarę kąta SAO.
3