Równania kwadratowe

Równania kwadratowe
Zad. 1:
Dany jest wielomian W(x) = x2 – mx + m2 – 2m + 1.
a) Dla jakich wartości parametru m wielomian ten ma dwa pierwiastki, których suma jest o
jeden większa od ich iloczynu?
*b) Przyjmij, Ŝe m jest wartością parametru znalezioną w punkcie a), i naszkicuj wykres
funkcji
g(x) = [W(x)] dla x ∈ 〈–2;2〉, gdzie [a] oznacza największą liczbę całkowitą nie większą od a.
Odp.: a) m = 1.
Zad. 2:
Sprawdź, czy istnieje taka wartość parametru k, dla której równanie:
(k – 2)x2 + (2 – 2k)x + k – 2 = 0
ma dwa pierwiastki, których suma jest równa iloczynowi ich kwadratów.
Odp.: Nie istnieje taka wartość parametru k.
Zad. 3:
Zbadaj liczbę rozwiązań równania: (m2 – 1)x2 – 2(m – 1)x – 1 = 0 w zaleŜności od wartości
parametru m. Dla jakich wartości parametru m równanie to ma dwa pierwiastki róŜnych znaków?
Odp.: Równanie nie ma rozwiązania dla m ∈ (0;1〉, ma jedno rozwiązanie dla m = –1 i dla
m = 0, ma dwa rozwiązania dla m ∈ (–∞;–1) ∪ (–1;0) ∪ (1;+∞). Równanie ma dwa pierwiastki róŜnych znaków dla m ∈ (–∞;–1) ∪ (1;+ ∞).
Zad. 4: (profil matematyczno-fizyczny)
Dla jakich wartości parametru m równanie mx2 + 2x + m – 2 = 0 ma dwa pierwiastki mniejsze od 1?
Odp.: m ∈ 0;1 + 2 .
(
)
Zad. 5:
Dla jakich wartości parametru m równanie –x2 + mx – m2 + 2m – 1 = 0 ma dwa pierwiastki
x1, x2 spełniające warunek x1 + x2 = x1 ⋅ x2 + 1?
Odp.: m = 1.
Zad. 6:
Dla jakich wartości parametru m równanie x2 – 2mx + m2 – 1 = 0 ma dwa pierwiastki x1, x2
spełniające warunek |2x1 – x2| = 2?
Odp.: m ∈ {1,5} dla x1 < x2 lub m ∈ {–5,–1} dla x1 > x2.
Zad. 7:
Dla jakich wartości parametru m równanie x2 – (m – 4)x + m2 – 7m + 12 = 0 ma dwa pierwiastki, których iloczyn jest równy połowie sumy tych pierwiastków?
Odp.: m = 3,5.
Zad. 8:
a) Dla jakich wartości parametru m równanie x2 – (m – 5)x + m2 – 6m + 5 = 0 ma dwa pierwiastki, których suma kwadratów jest większa od siedmiu?
29
*b) Naszkicuj wykres funkcji, która kaŜdej wartości parametru m przyporządkowuje liczbę
pierwiastków powyŜszego równania.
Odp.: a) m ∈ ( − 13 ;4) .
Zad. 9:
Współrzędne punktu P = (x1, x2) są pierwiastkami równania x2 – (2m – 1)x + m2 – 4 = 0.
a) Dla jakich wartości parametru m punkt P leŜy w pierwszej lub trzeciej ćwiartce układu
współrzędnych?
b) Dla jednej ze znalezionych w punkcie a) wartości m zaznacz punkt P w układzie współrzędnych.
Odp.: a) m ∈ ( − ∞;−2) ∪ (2; 174 .
Zad. 10:
Znajdź zbiór tych wartości parametru p, dla których:
a) równanie (p + 2)x2 – 2px + 1 = 0 ma dwa rozwiązania;
b) równanie (p + 2)x2 – 2px + 1 = 0 ma dwa rozwiązania dodatnie albo dwa ujemne;
c) kaŜda liczba rzeczywista spełnia nierówność (p + 2)x2 – 2px + 1 > 0.
Odp.: a) p ∈ (–∞;–2) ∪ (–2;–1) ∪ (2;+∞), b) p ∈ (–2;–1) ∪ (2;+∞), c) p ∈ (–1;2).
Zad. 11:
a) Dla jakich wartości parametru m równanie x 2 − 2 x log 1 m − log 1 m = 0 ma jedno
2
2
rozwiązanie?
*b) Dla jakich wartości parametru m powyŜsze równanie ma dwa pierwiastki, których suma
kwadratów jest równa 2?
Odp.: a) m = 1 lub m = 2; b) m =
2
2
.
Zad. 12*:
Dla jakich wartości parametru m równanie mx2 – 2x + m – 2 = 0 ma pierwiastki naleŜące do
przedziału (0;2)?
(
)
Odp.: m ∈ 2;1 + 2 .
Zad. 13:
Dane jest równanie (m – 5)x2 – 4mx + m – 2 = 0.
a) Ustal liczbę rozwiązań tego równania w zaleŜności od wartości parametru m.
b) Dla jakich wartości parametru m powyŜsze równanie ma dwa pierwiastki róŜnych znaków?
*c) Dla jakich wartości parametru m liczba 1 zawiera się między róŜnymi pierwiastkami tego
równania?
Odp.: a) RozwaŜane równanie nie ma rozwiązania dla m ∈ ( − 3 13 ;1) , ma jedno rozwiązanie
dla m ∈ {− 3 13 ;1;5} , ma dwa rozwiązania dla m ∈ ( − ∞;−3 13 ) ∪ (1;5) ∪ (5;+∞) ; b) m ∈ (2;5);
c) m ∈ ( − ∞;−3 21 ) ∪ (5;+∞) .
Zad. 14:
Dla jakich wartości parametru p równanie x2 + (2 – 3p)x + 2p2 – 5p – 3 = 0
a) ma dwa pierwiastki;
b) ma dwa dodatnie pierwiastki?
Odp.: a) p ≠ – 4; b) p ∈ (3; +∞).
30
Zad. 15:
5− m
= 0 ma dwa pierwiastki, które są
m+3
jednakowych znaków i których suma kwadratów jest nie mniejsza niŜ 3?
Dla jakich wartości parametru m równanie x 2 − 2 x +
)
Odp.: m ∈ 2 13 ;5 .
Zad. 16:
Dla jakich wartości parametru a równanie 2ax2 – (2 + a)x + 1 = 0 ma dwa pierwiastki, których suma jest liczbą z przedziału 〈–1;1〉?
Odp.: a ∈ ( − ∞;− 23 ∪ ( 2;+∞) .
Zad. 17:
Dane są równania 4px2 – 2x – p = 0 i ( k + 2) x 2 + ( k + 8) x + 21 = 0 .
a) Dla jakich wartości parametrów p i k dane równania mają te same niepuste zbiory
rozwiązań?
b) Dla jakich wartości parametrów p i k suma pierwiastków kaŜdego równania jest równa
iloczynowi pierwiastków drugiego równania?
πx
+5 = 0.
*c) RozwiąŜ równanie x 2 − 4 x − sin
4
Odp.: a) p = 41 , k = – 4; b) p = –8, k = –10; c) x = 2.
Zad. 18: (profil matematyczno-fizyczny)
Dla jakich wartości parametru a równanie 2ax2 – (2 + a)x + 1 = 0 ma dwa pierwiastki, dla
których stosunek sumy do wartości bezwzględnej ich róŜnicy jest większy od 1?
Odp.: a ∈ (0;2) ∪ (2;+∞).
Zad. 19:
a) Dla jakich wartości parametru p równanie 2x2 +(1 + 3p)x + p(p + 1) = 0 ma dwa pierwiastki ujemne?
*b) Dla jakich wartości parametru p równanie to ma dwa pierwiastki, z których jeden jest
sinusem, a drugi cosinusem tego samego kąta? Znajdź ten kąt.
Odp.: a) p ∈ (0;1) ∪ (1;+∞); b) p = –1 lub p = 35 . Dla p = –1 mamy α = 0° lub α = 90°.
Dla p = 35 mamy sin α = − 45 , cos α = − 53 , więc α ≈ 233°8′ lub sin α = − 53 , cos α = − 45 ,
więc α ≈ 216°5′.
Zad. 20:
Dla jakich wartości parametru m równanie 0,5 x
a) dwa pierwiastki dodatnie;
b) dwa pierwiastki jednakowych znaków?
Odp.: a), b) m ∈ ( 23 ;2) ∪ ( 6;+∞) .
2
− mx + 0 ,5 m −1,5
=
( 8)
−1+ m
ma:
Zad. 21:
a) Znajdź te wartości parametru k, dla których wszystkie pierwiastki równania
(k + 2)x2 – 2(k + 3)x + 3k + 9 = 0 są nieujemne.
*b) Dla jakich wartości parametru k pierwiastki tego równania są dwiema róŜnymi współrzędnymi punktu leŜącego na okręgu o środku w początku układu współrzędnych i promieniu
31
18 ?
Odp.: a) k ∈ − 2;− 23 ∪ { − 3} ; b) k = – 2,4.
Zad. 22:
Dla jakich wartości parametru m równanie x2 – (m + 2)x + 2m2 – 8 = 0 ma dwa pierwiastki
x1 i x2, które spełniają warunek x1x2 > x1 + x2?
Odp.: m ∈ ( 25 ; 187 ) .
Zad. 23:
Dla jakich wartości parametru m równanie x2 – (2m – 1)x + m2 – 4 = 0 ma dwa pierwiastki,
których suma jest nie większa od ich iloczynu?
)
Odp.: m ∈ ( − ∞;−1 ∪ 3; 174 .
Zad. 24:
Dla jakich wartości parametru a równanie x − 1 = a 2 − 4a − 1 ma dwa pierwiastki dodatnie.
Odp.: a ∈ (2 − 6 ; 2 − 5 ) ∪ (2 + 5; 2 + 6 ).
Zad. 25:
Dla jakich wartości parametru m równanie (2 m − 3) x 2 + 4 mx + m − 1 = 0 ma dwa rozwiązania x1 i x2 spełniające warunek x 1 + x 2 > − mx 1 x 2 ?
Odp.: m ∈ ( 21 ; 23 ) ∪ (5; + ∞) .
Zad. 26:
a) Dla jakich wartości parametru a równanie (a − 1) x 2 − (a 2 − 1) x + a 2 + a = 0 ma jedno
rozwiązanie? Dla znalezionych wartości parametru a oblicz pierwiastki danego równania.
*b) Dla jakich wartości parametru a powyŜsze równanie ma dwa rozwiązania x1 i x2 spełniające warunek x 1 − x 2 ≤ a − 1 ?
Odp.: a) a ∈ {−1, 2 − 5 , 2 + 5}. Dla a = -1 rozwiązaniem jest x = 0, dla a = 2 − 5
rozwiązaniem jest x =
3− 5
3+ 5
, dla a = 2 + 5 rozwiązaniem jest x =
.
2
2
*b) a ∈ (2 + 5; + ∞).
Zad. 27:
Dla jakich wartości parametru m. równanie ( m − 2) x 2 + 2(2 m − 3) x + 5m − 6 = 0 ma dwa pierwiastki, których suma odwrotności jest liczbą ujemną?
Odp.: m ∈ ( −1; 65 ) ∪ ( 23 ; 2) ∪ (2; 3).
Zad. 28:
a) Dla jakich wartości parametru k równanie ( k − 2) x 2 − ( k + 1) x − k = 0 ma tylko ujemne
rozwiązania?
32
*b) Znajdź zbiór wartości parametru k, dla których powyŜsze równanie ma dwa rozwiązania
x1 i x2 spełniające warunek x 1 + x 2 ≤ 1.
Odp.: a) k ∈ (0; 15 ∪ 1;2 . b) k ∈
1 − 13 1
;5 .
4
Zad. 29:
Dla jakich wartości parametru m równanie
spełniające nierówność
mx
m+1
+
= x + 1 ma dwa pierwiastki x1 i x2
m−1
x
1
1
+
< 2m + 1 ?
x1 x 2
Odp.: m ∈ ( − 23 ;−1) ∪ (0;1).
Zad. 30:
Dane jest równanie: x 2 − 2 mx + m 2 − 1 = 0
a) Określ liczbę rozwiązań tego równania w zaleŜności od parametru m.
b) Dla jakich wartości parametru m równanie to ma dwa pierwiastki naleŜące do przedziału
(-2; 4)?
Odp.: a) dla m ∈ R równanie ma dwa rozwiązania; b) m ∈ ( − 1;3).
Zad.31:
Dla jakich wartości parametru m pierwiastki rzeczywiste równania
1
1
(2 m + 1) x 2 − ( m + 3) x + 2 m + 1 = 0 spełniają warunek
+
> 1?
x1 x 2
Odp.: m ∈ ( − 21 ; 13 .
Zad. 32
Dane jest równanie mx 2 + ( m − 3) x + 2 − m = 0. Wyznacz zbiór wartości parametru m, dla
których równanie to ma:
a) co najmniej jedno rozwiązanie dodatnie,
b)* rozwiązanie x1 i x2 spełniające warunek: x 1 + x 2 ≤ 1.
Odp.: a) m ∈ ( − ∞;1 ∪
9
5
)
;+∞ . b)* m ∈
9
5
(
; 41 7 + 13 ) .
Zad. 33:
Dla jakich wartości parametru m równanie x2 -(m - 5)x + m2 - 6m + 5 = 0 ma dwa pierwiastki
rzeczywiste róŜnych znaków?
Odp.: m ∈ (1;5) .
Zad. 34:
Dla jakich wartości parametru m równanie (2m2 + m - 1)x2 +(5 - m)x - 6 = 0 ma dwa róŜne
pierwiastki jednakowych znaków?
Odp.: m ∈ ( − 1; 21 ) \ {−
1
7
}.
33
Zad. 35:
Dla jakich wartości parametru m równanie (m + 2)x2 - 4mx + 4m - 1 = 0 ma dwa pierwiastki
dodatnie?
Odp.: m ∈ ( − ∞;−2) ∪ ( 41 ; 27 .
Zad. 36:
Dla jakich wartości parametru m równanie x2 + (m - 5)x + 2m2 + m +
pierwiastki dodatnie?
Odp.:
 − 7 − 210 − 7 + 210 

m ∈
;
7
7


1
2
= 0 ma dwa róŜne
.
Zad. 37:
Dla jakich wartości parametru k równanie kx2 + k + 3 = x2 + 2kx ma dwa rózne pierwiastki
dodatnie?
Odp.: k ∈ ( −∞;−3) ∪ (11
; 21 ) .
Zad. 38:
Dla jakich wartości parametru m równanie -x2 + mx - m2 + 2m - 1 = 0 ma dwa rzeczywiste
pierwiastki takie, Ŝe ich suma jest o 1 większa od ich iloczynu?
Odp.: m = 1 ∨ m = 2.
Zad. 39:
Dla jakich wartości parametru m kwadrat róŜnicy pierwiastków równania x2 + mx + 10 = 0
jest równy 9? Znajdź te pierwiastki.
Odp.: jeŜeli m = 7 ⇒ x = -5 ∨ x = -2, jeŜeli m = -7 ⇒ x = 5 ∨ x = 2.
Zad. 40*:
Dla jakich wartości parametru k róŜnica rozwiązań równania 2x2 -(k + 1)x +(k - 1) = 0 jest
równa ich iloczynowi?
Odp.: k = 2.
Zad. 41:
Dla jakich parametru t pierwiastki równania x2 + 1t x + t2 = 0 są odpowiednio równe sinusowi i
cosinusowi tego samego kąta ostrego?
Odp.: t = −
2
2
.
Zad. 42:
Dane jest równanie x2 -(m + 1)x + 65 m = 0.
a)Dla jakich m jeden pierwiastek tego równania jest równy sinusowi, a drugi cosinusowi tego
samego kąta ostrego?
*b) Przy wyznaczonym m podaj miarę kąta ostrego spełniającego warunek zadania.
 sin α = 53
 sin α = 45
2
Odp.: a) m = 5 , *b) 
4 ∨ 
3 .
cos α = 5
cos α = 5
34
Zad. 43:
Dla jakich wartości parametru m pierwiastki x1 i x2 równania x2 + mx + 4 = 0 spełniają warunek x 12 + x 22 = 2( x 1 + x 2 ) ?
Odp.: m = - 4.
Zad. 44:
Dla jakich wartości parametru m pierwiastki rzeczywiste równania
x 2 + 5 ⋅ mx + m 2 + m + 3 = 0 spełniają warunek x 12 + x 22 ≥ 3x 1 x 2 ?
Odp.: m ∈ ( −∞;−3 .
Zad. 45:
Dla jakich wartości parametru k suma kwadratów pierwiastków równania
x2 + (k - 3)x + k - 5 = 0 jest najmniejsza?
Odp.: k = 4.
Zad. 46:
m−2
= 0 ma rozwiązanie? Wyznacz
m−3
wartość parametru m, dla której suma sześcianów pierwiastków tego równania jest równa -9.
Dla jakich wartości parametru m równanie x2 + 3x Odp.: m = 2 23 .
Zad. 47:
Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania x2 + (3m - 2)x +
m+ 2 = 0 ma wartość dodatnią?
Odp.: m ∈ ( − 2;− 29 .
Zad. 48:
Dla jakich wartości parametru m pierwiastki rzeczywiste równania
1
1
4mx2 - 4(1 - 2m)x + 9m - 8 = 0 spełniają warunek
+
≥ −4 ?
x1 x 2
)
Odp.: m ∈ − 15 ;0 ∪ (0; 89 ) ∪ {1} .
Zad. 49:
Zbadaj, dla jakich wartości m równanie (m - 2)x4 -2(m + 3)x2 + m + 1 = 0 ma cztery róŜne
pierwiastki.
Odp.: m > 2.
Zad. 50*:
Dla jakich wartości parametru m równanie (m + 1)x2 - 2x + m - 1 = 0 ma dwa róŜne pierwiastki naleŜące do przedziału (0;2)?
(
)
Odp.: m ∈ 1; 2 .
35
Zad. 51:
Dane jest równanie (m - 5)x2 - 4mx + m - 2 = 0.
a) W jaki sposób liczba rozwiązań danego równania zaleŜy od parametru m?
*b) Dla jakich wartości parametru m liczba 1 zawiera się między róznymi pierwiastkami tego
równania?
Odp.: a) równanie ma 0 rozwiązań dla m ∈ ( − 3 13 ;1) , 1 rozwiązanie dla m= 5 ∨ m = −3 13 ∨
m =1; 2 rozwiązania dla m ∈ ( − ∞;−3 13 ) ∪ (1;5) ∪ (5;+∞) . *b) m ∈ ( − ∞;−3 21 ) ∪ (5;+∞) .
Zad. 52:
Zbadaj w jaki sposób liczba pierwiastków równania (m-1)x2+(m+1)x+(m-1)=0 zaleŜy od
parametru m.
a) Dla jakich wartości m równanie ma dwa róŜne pierwiastki dodatnie?
*b) Dla jakich wartości m oba pioerwiastki równania zawarte są między -2 i 4?
Odp.: a) równanie ma 0 rozwiązań dla m ∈ ( − ∞; 13 ) ∪ (3;+∞) ; 1 rozwiązanie dla m= 1 ∨
m=
1
3
5
∨ m = 3; 2 rozwiązania dla m ∈ ( 13 ;1) ∪ (1;3) . *b) m ∈ ( 13 ; 13
21 ) ∪ ( 3 ;3) .
Zad. 53:
Podaj definicję równania kwadratowego. Wyprowadź wzory na pierwiastki równania kwadratowego. RozwiąŜ równanie: x 2 − 7 x + 12 = 0 .
Zad. 54:
RozwiąŜ równania:
a) 2 x + 5 = x + 2 ;
b)
4 + 2x − x 2 = x − 2 ;
c) 9 − 5 x = 3 − x +
6
3− x
.
36