PIERWIASTKI

PIERWIASTKI
Na pewno znasz już słowo „pierwiastek” na przykład z chemii. A czy wiesz
co oznacza sformułowanie „pierwiastek” w matematyce? Otóż w
matematyce istnieje działanie nazywane pierwiastkowaniem, jest ono ściśle
związane z potęgowaniem…
ZASTANÓW SIĘ:
1. Jaką liczbę nieujemną (to znaczy większą lub równą 0) należy
podnieść do kwadratu (czyli do drugiej potęgi) aby otrzymać:
4
121
25
2. Jaką liczbę należy podnieść do sześcianu (czyli do trzeciej potęgi) aby
otrzymać:
27
-125
W pierwszym przypadku są to liczby:
2
2 =4
2
64
11
11 = 121
5
5 = 25
-5
(-5) = -125
4
4 = 64
2
2
W drugim przypadku mamy:
3
3 = 27
3
3
3
Takie szukanie liczb, które podniesione do odpowiedniej potęgi, dadzą nam
liczbę podaną wcześniej, nosi nazwę pierwiastkowania.
PIERWIASTEK KWADRATOWY
(STOPNIA 2) Z LICZBY NIEUJEMNEJ
Symbol
pierwiastka
drugiego
stopnia
Liczba
podpierwiastkowa
𝒂 = 𝒃 , 𝒂, 𝒃 ≥ 𝟎
wtedy i tylko wtedy, gdy:
𝒃𝟐 = 𝒂
Czyli: pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej a, to taka
liczba nieujemna b, która podniesiona do kwadratu da nam liczbę
a.
PRZYKŁADY
4=2
ponieważ
22 = 4
16 = 4
ponieważ
42 = 16
1=1
ponieważ
12 = 1
144 = 12
ponieważ
122 = 144
100 = 10
ponieważ
102 = 100
Dlaczego bierzemy pod uwagę tylko liczby nieujemne? Spróbuj
znaleźć liczbę, która podniesiona do kwadratu da nam -4, inaczej
mówiąc oblicz −4…
Oczywiście taka liczba nie istnieje, ponieważ jakakolwiek liczba
podniesiona do potęgi drugiej, da nam liczę nieujemną!
PIERWIASTEK SZEŚCIENNY
(STOPNIA 3) Z DOWOLNEJ LICZBY
Liczba oznaczająca
stopień pierwiastka
Liczba
podpierwiastkowa
𝟑
𝒂=𝒃
wtedy i tylko wtedy, gdy:
𝟑
𝒃 =𝒂
Czyli: pierwiastek sześcienny z liczby a, to taka liczba b, która
podniesiona do sześcianu da nam liczbę a.
PRZYKŁADY
3
8=2
ponieważ
23 = 8
3
27 = 3
ponieważ
33 = 27
3
−8 = −2
ponieważ
(−2)3 = −8
3
−125 = −5
ponieważ
(−5)3 = −125
3
0,001 = 0,1
ponieważ
0,13 = 0,001
3
8
343
=
2
7
ponieważ
2 3
7
=
8
343
PIERWIASTEK STOPNIA n
𝒏
𝒂 = 𝒃 , n≥2
wtedy i tylko wtedy, gdy:
𝒃𝒏 = 𝒂
Czyli: pierwiastek n-tego stopnia z liczby a, to taka liczba b,
która podniesiona do n-tej potęgi da nam liczbę a.
Według przyjętych tu zasad dla n parzystych a musi być liczbą
nieujemną.
DLA DOCIEKLIWYCH…
Pierwiastek arytmetyczny jest zawszę liczbą nieujemną i może
być wyciągnięty tylko z liczby nieujemnej, niezależnie od stopnia.
Przypadek, kiedy pierwiastek traktujemy jako rozwiązanie
równania bn = a nazywamy pierwiastkiem algebraicznym.
Zasady określania pierwiastków przyjęte w tej lekcji (pierwiastki o
stopniu parzystym jako pierwiastki arytmetyczne; pierwiastki o
stopniu nieparzystym jako pierwiastki algebraiczne) stosowane są
w nauczaniu, w celu ułatwienia zrozumienia pierwiastkowania
jako działania…
DZIAŁANIA NA PIERWIASTKACH
Oto kilka zasad obowiązujących przy wykonywaniu działań na
pierwiastkach:
𝒂∙𝒃= 𝒂∙ 𝒃
𝟑
𝒂∙𝒃=
𝟑
𝟑
𝒂∙ 𝒃
Przykłady:
16 ∙ 4 = 16 ∙
3
8 ∙ 27 =
3
4=4∙2=8
3
8 ∙ 27 = 2 ∙ 3 = 6
3 ∙ 27 = 3 ∙ 27 = 81 = 9
3
3
4 ∙ 16 =
3
4 ∙ 16 =
3
64 = 4
DZIAŁANIA NA PIERWIASTKACH
𝒂
𝒃
𝟑
Przykłady:
9
9
3
=
=
64
64 8
3
27
=
64
3
3
27
64
=
3
4
𝒂
=
𝒂
=
𝒃
𝒃
𝟑
𝟑
𝒂
𝒃
,𝒃 ≠ 𝟎
,𝒃 ≠ 𝟎
DZIAŁANIA NA PIERWIASTKACH
𝒂
𝟐
=𝒂
𝒂𝟐 = 𝒂
𝟑
𝟑
𝒂
𝟑
𝒂𝟑 = 𝒂
=𝒂
DZIAŁANIA NA PIERWIASTKACH
Przykłady:
112 = 11
3
3
2
=3
53 = 5
3
2
3
=2
72 = 7
7∙ 7=
3
3
3 5∙2
44 =
3
36 =
3
5
2
3
=3∙2∙ 5∙
42
2
= 42 = 16
32
3
= 32 = 9
3
5
2
=6∙
3
5
3
= 6 ∙ 5 = 30
DZIAŁANIA NA PIERWIASTKACH
𝒂𝟐 ∙ 𝒃
𝒂 𝒃=
𝟑
𝒂 𝒃=
𝟑
𝒂𝟑 ∙ 𝒃
Przykłady:
12 = 4 ∙ 3 = 2 3
32 ∙ 2 = 9 ∙ 2 = 18
3 2=
3
16 =
3
8∙2 = 2 2
3
3
33 ∙ 4 =
3 4=
3
3
27 ∙ 4 =
3
108
PRZYKŁADOWE ZADANIA
1.Oblicz:
− 5
2
3
3
4 4∙3
𝟐
zgodnie ze wzorem 𝒂 = 𝒂, oraz zasadą że potęgi o
parzystym wykładniku są liczbami nieujemnymi.
=5
4
2
=4∙3∙
3
4
3
= 12 ∙ 4 = 48
3 ∙ 13 = 3 ∙ 13 = 36 = 6
2. Wyłącz czynnik przed znak pierwiastka:
50 = 25 ∙ 2 = 5 2
3
24 =
3
3
8∙4 = 2 4
PRZYKŁADOWE ZADANIA
3. Zapisz krócej:
18 + 8 = 9 ∙ 2 + 4 ∙ 2 = 3 2 + 2 2 = 5 2
Dodawanie i odejmowanie możemy wykonać tylko w przypadku, gdy mamy
do czynienia z pierwiastkami tego samego stopnia z tych samych liczb.
3
3
3
3 2+2 4−6 3+ 2+4 4= 4 2+6 4−6 3
35: 28 = 35: 28 =
5 ∙ 7 : 4 ∙ 7 = 5: 4 = 5: 2 =
4. Oblicz:
3
3
2−3
=
3∙ 6
2
=
1
2
3
=
3∙6
2
1
2
=
18
2
=
18
= 9=3
2
1
5
2