Elementy kombinatoryki 1. W klasie stoją w jednym rzędzie 4

Elementy kombinatoryki
1. W klasie stoją w jednym rzędzie 4 dwuosobowe ławki. Miejsca w tych ławkach
przydzielamy sześciu osobom – dwóm dziewczynkom oraz czterem chłopcom.
a) Na ile sposobów można przydzielić miejsca tym sześciu osobom?
b) Na ile sposobów można przydzielić miejsca tym sześciu osobom tak, aby dziewczęta
siedziały w jednej ławce?
c) Na ile sposobów można przydzielić miejsca tym sześciu osobom tak, aby dziewczęta
nie siedziały razem?
d) Na ile sposobów można przydzielić miejsca tym sześciu osobom tak, aby każda
dziewczynka siedziała z chłopcem i nikt nie siedział sam w ławce?
2. Mechanizm przerzutki pewnego roweru ma trzy koła zębate z przodu i osiem z tyłu.
Na ile sposobów można w tym rowerze ustawić przerzutki?
3. Numer dowodu osobistego składa się z 9 znaków. Trzy pierwsze znaki to litery
wybrane spośród 25 liter, a pozostałe znaki to cyfry. Ile różnych numerów dowodów
osobistych można przydzielić obywatelom?
4. Z domu Czerwonego Kapturka do domu babci wiedzie pięć różnych dróg. Na ile
różnych sposobów Czerwony Kapturek może przebyć drogę do babci i z powrotem,
jeśli:
a) nie wraca do domu tą samą drogą, którą szedł do babci,
b) w każdą stronę może iść dowolną drogą?
5. Gra w „kamień, papier i nożyczki” rozpoczyna się od tego, że każdy z dwóch graczy
pokazuje albo pięść (kamień), albo otwartą dłoń (papier), albo dwa palce (nożyczki).
Na ile sposobów może rozpocząć się ta gra?
6. Z płócien w siedmiu kolorach zamierzamy uszyć spódnicę, która składa się z trzech
poziomych pasów jednakowej szerokości (o różnych kolorach).
a) Ile różnych spódnic możemy uszyć?
b) Ile różnych spódnic możemy uszyć, jeżeli środkowy pas musi być niebieski?
c) Ile różnych spódnic możemy uszyć, jeżeli jeden z pasów musi być niebieski?
7. Na ile sposobów można ustawić w kolejce 3 dziewczęta i 2 chłopców tak, aby osoby
tej samej płci nie stały obok siebie? To samo pytanie przy założeniu, że dziewczęta
mają stać przed chłopcami.
8. Na ile sposobów można ustawić w kolejce 5 dziewcząt i 5 chłopców, tak, aby osoby
tej samej płci nie stały obok siebie?
9. Na półce stoi 7 tomów, wśród nich trzytomowe wydanie „Historii Matematyki”. Na
ile sposobów można ułożyć te książki tak, aby trzy tomy „Historii Matematyki” stały
obok siebie, (ale niekoniecznie we właściwej kolejności).
10. W grupie 10 osób przeprowadzono losowanie trzech biletów. Ustal, na ile różnych
sposobów moło zakończyć się to losowanie, jeśli:
a) bilety były różne ( do teatru, do kina i na koncert) i każda osoba mogła wylosować
co najwyżej jeden bilet.
b) bilety były różne, ale jedna osoba mogła wylosować więcej niż jeden bilet,
c) bilety były na ten sam seans filmowy i każda osoba mogła wylosować co najwyżej
jeden bilet,
d) bilety były na ten sam seans filmowy i jedna osoba mogła wylosować więcej niż
jeden bilet,
11. Mam na półce 3 powieści historyczne, 5 kryminałów, 4 powieści fantastyczne. Na ile
sposobów mogę je ustawić na półce dbając jednak o to by książki z jednego gatunku
literackiego stały obok siebie?
12. Na ile sposobów można podzielić 12 osobowy zastęp harcerzy na:
a) dwie grupy liczące 7 i 5 harcerzy,
b) trzy grupy liczące 5, 4 i 3 harcerzy,
c) cztery grupy liczące 4, 3, 3 i 2 harcerzy?
13. Ile jest możliwości posadzenia na ławce 6 osób tak, aby:
a) Adam siedział obok Ewy,
b) Adam nie siedział obok Ewy?
14. Podczas zawodów lekkoatletycznych w biegu na 100 m startowało siedmiu
zawodników. Ile było możliwych wyników ukończenia biegu, jeżeli:
a. wszyscy zawodnicy ukończyli bieg,
b. jeden z zawodników nie ukończył biegu i jego nazwisko jest znane,
c. jeden z zawodników nie ukończył biegu i jego nazwisko nie jest znane?
15. Do ośrodka treningowego przyjechało dziesięciu sportowców: 8 brydżystów i 2
szachistów. W ośrodku jest wolnych 12 jednoosobowych pokojów: 9 na parterze i 3
na pierwszym piętrze.
a) Na ile sposobów można rozlokować sportowców w pokojach?
b) Na ile sposobów można rozlokować sportowców w pokojach tak, aby któryś z
brydżystów mieszkał sam na pierwszym piętrze?
c) Na ile sposobów można rozlokować sportowców w pokojach tak, aby wszyscy
szachiści mieszkali na pierwszym piętrze?
d) Na ile sposobów można rozlokować sportowców w pokojach tak, aby szachiści nie
mieszkali na tym samym piętrze co brydżyści?
16. Ile różnych wyrazów (mających sens lub nie) można ułożyć, wykorzystując litery
wyrazu:
a. WARSZAWA,
b. LUBLIN,
c. BAŁAŁAJKA?
17. W przedziale wagonu drugiej klasy jest 8 miejsc. Na ile sposobów można zająć te
miejsca, jeśli 4 ustalone osoby mają jechać zgodnie z kierunkiem jazdy pociągu?
18. Na ile sposobów można umieścić 7 osób na siedmiu krzesłach:
a. po jednej stronie prostokątnego stołu;
b. przy okrągłym stole bez numerowanych miejsc;
c. przy okrągłym stole z numerowanymi miejscami;
19. Pamiętam pierwsze 3 cyfry siedmiocyfrowego numeru telefonu mojego znajomego,
zapomniałem pozostałe, ale nie było wśród nich zera ani piątki. Ile jest możliwych
numerów telefonicznych spełniających te warunki?
20. Rzucamy trzykrotnie kostką. Ile jest wszystkich możliwych wyników, jeśli wiadomo,
że:
a) wypadła, co najmniej jedna szóstka,
b) w pierwszym i drugim rzucie wypadła ta sama liczba oczek?
21. Mamy dwa rodzaje kopert: białe i niebieskie. Każdy z 10 listów należy włożyć do
koperty. Na ile sposobów można to zrobić?
22. W pewnej klasie liczącej 25 uczniów postanowiono wybrać samorząd:
przewodniczącego, sekretarza i skarbnika. Na ile sposobów można to zrobić?
23. 10 osób przesłało sobie listownie życzenia świąteczne. Ile przesłano listów?
24. Trener kadry narodowej ma do dyspozycji 7 sprinterów i ma wystawić sztafetę 4100
m. Ile jest możliwych składów tych sztafet, jeśli kolejność zmian jest ustalona?
25. Ile jest wszystkich liczb dwucyfrowych o różnych cyfrach:
d. podzielnych przez 5?
a. parzystych,
b. większych od 47,
c. większych od 74,
d. mniejszych od 53,
e. mniejszych od 35?
26. Do windy zatrzymującej się na 8 piętrach wsiadły 3 osoby. Oblicz na ile sposobów
osoby te mogą:
a. opuścić windę,
b. wysiąść na różnych piętrach,
c. wyjść z windy na 8 piętrze?
27. Pewna pani ma 10 kapeluszy w tym 2 zielone, 5 sukienek w tym 3 zielone i ma 4 pary
pantofli w tym jedna zielonych.
a. Ile jest zdarzeń sprzyjających zdarzeniu, że cała ubierze się na zielono?
b. Ile jest możliwości ubioru tej pani?
28. Na ile sposobów można ustawić na półce 30 książek, spośród których 20 jest
mniejszego formatu, a 10 większego, tak by mniejsze książki nie były przemieszane z
większymi?
29. Oblicz na ile sposobów można rozmieścić:
a. 5 różnych kul w siedmiu szufladach,
b. 7 różnych kul w pięciu szufladach.
30. Z talii 52 kart losujemy 10 kart. Ile jest możliwych wyników tego losowania jeśli
wśród wylosowanych kart:
a) są dokładnie dwie damy,
b) są cztery damy,
c) jest co najmniej jedna dama,
d) jest co najwyżej jedna dama?
Odpowiedzi:
1. a) 20160, b) 2880, c) 17280, d) 2304
2. 24
3. 15625000000
4. a) 20, b) 25
5. 9
6. a) 210, b) 30, c) 90
7. 12, 12
8. 28800
9. 720
3
1
 2C102  C10
10. a) 720, b) 1000, c) 120, d) C10
=220
11. 3!3!5!4!
5
C74 C33 , c) C124 C83C53C22
12. a) C127 C55 , b) C12
13. a) 5!2!, b) 6!-5!2!
14. a) 5040, b) 720, c) 5040
15. 11!6=239500800, b) 3  8  9! 8709120 , c) V32V108 , d) V32V98
16. a) 3360, b) 360, c) 7560
17. 576
18.a) 5040, b) 720, c) 5040
19 4096
20. a) 91, b) 36
21. 1024
22. 13800
23. 90
24. 840
25. a) 17, b) 41,, c) 47, d) 22, e) 39, f) 22
26. a) 512, b) 336, c) 6
27. a) 6, b) 200
28. 20!10!2!
29. a) 75, b) 57
8
6
10
10
10
9
30. a) C 42 C 48
, b) C 44 C 48
, c) C52
, d) C48
 C41C48
 C 48