Opcje realne - rozdział 1 (plik pdf)

Rozdział 1
Motywujące przykłady
Na początku podamy pewne przykłady, które pokażą, że w świecie rzeczywistym spotykamy wiele sytuacji w których nie podejrzewamy, że mamy do
czynienia z opcjami, czyli roszczeniami warunkowymi. Przedstawione opcje
nie będą opcjami finansowymi, czyli takimi które rozważaliśmy na kursie Instrumentów pochodnych.
1.1. Wartość firmy
Rozważmy spółkę akcyjną, która jest finansowana kapitałem własnym E (equity) oraz kapitałem obcym D (debt). Zatem wartość firmy V wynosi dzisiaj
V (0) = E(0) + D(0)
Uproszczony bilans firmy przedstawia się następująco
Aktywa firmy
Wartość majątku V (0)
Wartość firmy
V (0)
Pasywa firmy
D(0)
kapitał obcy
E(0) kapitał własny
V (0) Wartość firmy
Załóżmy, że dług ma postać obligacji 0-kuponowej o terminie zapadalności
T . Wartość nominalna obligacji wynosi F . To oznacza, że w chwili T , akcjonariusze muszą oddać obligatariuszom kwotę F . W przeciwnym wypadku firma
będzie musiała ogłosić bankructwo.
Niech V (T ) oznacza wartość firmy w chwili T . W dniu zapadalności obligacji 0-kuponowej, wartość kapitału własnego E(T ), czyli to co będą posiadać
akcjonariusze, będzie następująca:
2
1. Motywujące przykłady
• V (T ) − F , gdy firma spłaci dług
• 0, gdy firma nie będzie w stanie spłacić długu.
W drugim przypadku, firma nie jest w stanie spłacić swojego zobowiązania,
musi ogłosić bankructwo, akcjonariusze nic nie dostaną bo firmę przejmą obligatariusze.
Rozpoznajemy tutaj znany schemat (por. Instrumenty pochodne): wypłata
dla akcjonariuszy E(T ) w chwili T :
(
V (T ) − F, gdy V (T ) > F
0,
gdy V (T ) ¬ F
Czyli akcjonariusze dostaną tyle ile posiadacze opcji kupna.
E(T ) 6
-
F
V (T )
Rysunek 1.1. Wartość kapitału własnego jest taka sama jak wypłata opcji kupna
Wynika stąd następujący fakt: w chwili dzisiejszej wartość kapitału akcyjnego E(0) to wartość opcji kupna C(0). To oznacza, że akcjonariusze mają
prawo ale nie obowiązek odkupić firmę od obligatariuszy za cenę nominalną
długu F .
Oczywiście rodzi się pytanie: kiedy pojawiła się ta opcja i kto ją wystawił?
Co jest instrumentem bazowym?
Odpowiedź jest natychmiastowa: firma zaciągając dług (finansując się kapitałem obcym) generuje opcję kupna na instrument bazowy, który jest wartością
firmy V . Nabywcą opcji kupna są akcjonariusze a wystawcą są obligatariusze.
Firma zaciągając dług kreuje opcję. Wynika to z faktu, że akcjonariusze
nie są zmuszeni do zwrotu długu w momencie jego wymagalności. Jeśli wartość
majątku firmy jest niższa niż wartość zadłużenia, firma woli nie wywiązać się
z zobowiązania, a wtedy pożyczkodawcy będą musieli zadowolić się majątkiem
Wersja z dnia 12 kwietnia 2011 roku 466
3
1.1. Wartość firmy
firmy. Zatem kiedy firma zaciąga pożyczkę, pożyczkodawca kupuje firmę, a
akcjonariusze otrzymują możliwość jej odkupienia na drodze spłaty długu.
Przypomnijmy parytet opcji kupna i sprzedaży (por. Instrumenty pochodne):
C(0) − P (0) = S(0) − Ke−rT
gdzie: S(0) to wartość dzisiejsza instrumentu bazowego, C(0) to wartość opcji
kupna, P (0) wartość opcji sprzedaży, K cena realizacji, a r to stopa wolna od
ryzyka. Przepiszmy ten wzór w nieco innej postaci wyliczając wartość instrumentu bazowego
S(0) = C(0) − P (0) + Ke−rT
Spróbujmy odnieść tą ogólną relację do wartości firmy. Zauważyliśmy, że instrument bazowy S(0) to wartość naszej firmy V (0), a kapitał własny E(0) to
opcja kupna C(0), cena realizacji opcji kupna K to cena nominalna obligacji
V (0) = S(0)
E(0) = C(0)
F =K
Po podstawieniu do parytetu kupna sprzedaży mamy
V (0) = E(0) − P (0) + F e−rT
(1.1)
Z drugiej strony wiemy, że wartość firmy to V (0) = E(0) + D(0). Stąd wartość
dzisiejsza długu
D(0) = F e−rT − P (0)
Widzimy, że cena obligacji korporacyjnej D(0) jest związana z ceną opcji sprzedaży P (0) oraz ceną obligacji wolnej od ryzyka, która zapada w chwili T . Zatem
nabywca obligacji firmy:
• nabył obligację wolną od ryzyka
• wystawił opcję sprzedaży majątku firmy V (0) za kwotę F .
Czyli mamy sytuację, w której nabywca obligacji ma przyrzeczoną kwotę F
ale jednocześnie ma obowiązek odebrania majątku firmy od akcjonariuszy za
kwotę F . Bo w przypadku bankructwa firmy, akcjonariusze wykonują opcję
sprzedaży. Obligacja korporacyjna – wyemitowana przez firmę – jest obarczona
ryzykiem niewywiązania się firmy ze swoich zobowiązań.
Wartość obligacji korporacyjnej w dniu zapadalności T możemy przedstawić graficznie:
Wersja z dnia 12 kwietnia 2011 roku 466
4
1. Motywujące przykłady
obligacja wolna od ryzyka
obligacja korporacyjna
6
F
D(T )6
F
-
F
V (T )
-
F
V (T )
P (T )6
-
F
V (T )
krótka opcja sprzedaży
Rysunek 1.2. Wartość obligacji korporacyjnej w chwili T .
Po tych rozważaniach popatrzmy teraz na uproszczony bilans firmy (rys.
1.1).
Pokazaliśmy przykład, w którym firma zaciągając dług stworzyła opcję
kupna i sprzedaży majątku firmy. Takie opcje to przykład opcji realnych.
Na marginesie naszych rozważań widzimy, że pojawia się tu w naturalny
sposób problem ryzyka kredytowego, który będzie tematem innego kursu (por.
Ryzyko kredytowe i kredytowe instrumenty pochodne).
Jeśli akcja to opcja kupna, jeśli cały biznes jest pełen sformułowań możemy
(zawsze możemy się wycofać, lub rozpocząć nowy) to żyjemy w świecie opcji,
choć sobie nie zdajemy z tego sprawy. Ich wycena i to na rynkach niezupełnych
to problem kluczowy Opcje finansowe, którym wciąż poświęca się tyle prac,
coraz bardziej wyrafinowanych, to przecież tylko maleńki fragment matematyki
finansowej.
Wersja z dnia 12 kwietnia 2011 roku 466
5
1.2. Projekt inwestycyjny
Aktywa firmy
wartość majątku V (0)
wartość firmy
V (0)
Pasywa firmy
D(0) = Ke−rT − P (0)
kapitał obcy
E(0) = V (0) − Ke−rT + P (0) kapitał własny
V (0) wartość firmy
Tabela 1.1. Uproszczony bilans firmy
1.2. Projekt inwestycyjny
Kolejne przykłady będą dotyczyły wyceny projektów inwestycyjnych.
Przypominamy, że koszt kapitału k to stopa zwrotu wymagana (żądana) przez
inwestora z inwestycji o określonym poziomie ryzyka.
Przypuśćmy, że kupujemy mieszkanie za 300 tys. PLN. Zakładamy, że za
rok sprzedamy go za 320 tys. PLN i dodatkowo uzyskamy przychód z tytułu
wynajmu 12 tys. PLN, płatny za rok od dzisiaj. W rozważaniach pomijamy
podatki. Wymagamy stopy zwrotu na poziomie 8% i to jest nasz koszt kapitału
k.
Nasza inwestycja da nam za rok przepływ pieniężny (cash flow ) CF (1) =
320 + 12 = 332 tys. PLN. Oczekiwana stopa zwrotu R z naszej inwestycji to
E(R) =
332 − 300
= 10,67%
300
zatem powinniśmy realizować projekt. Decyzję o realizacji projektu możemy
również podjąć stosując inną metodą. Otóż porównajmy wartość dzisiejszą
przyszłych przychodów zdyskontowaną naszym kosztem kapitału k = 8%
332
= 307,41 tys. PLN
1 + 0,08
z kwotą którą musimy zainwestować. Stąd mamy:
−300 + 307, 407 tys. PLN = 7 407 PLN.
Druga metoda to wartość bieżąca netto (Net Present Value). Zatem nasze
rozumowanie
CF (1)
N P V = −I +
1+k
Projekt akceptujemy jeśli N P V > 0. Metoda NPV zostanie szerzej omówiona
w dalszej części podręcznika.
Wersja z dnia 12 kwietnia 2011 roku 466
6
1. Motywujące przykłady
Pokażemy teraz właściwy przykład gdzie w działalności firmy napotykamy na opcję. Pokażemy jaki wpływ na wartość projektu firmy ma gwarancja
rządowa, gdyby projekt zakończył się fiaskiem.
Przykład 1.1 Załóżmy, że firma może zainwestować w projekt, który w optymistycznym wariancie wygeneruje przepływ środków pieniężnych za rok CF U (1) =
240 mln PLN a w pesymistycznym wariancie CF D (1) = 90 mln PLN. Prawdopodobieństwo obu wariantów wynosi 21 . Koszt kapitału projektu wynosi k= 20%, a stopa
wolna od ryzyka r = 5%.
Wyznaczamy wartość projektu dzisiaj
V (0) =
1
U
2 CF (1)
+ 12 CF D (1)
0,5 · 240 + 0,5 · 60
=
= 137,50 mln PLN
1+k
1 + 0,20
Przypuśćmy, że rząd chce wesprzeć projekt i udzielić gwarancji.1 Gwarancja zakłada,
że jeśli będzie realizowany pesymistyczny scenariusz to rząd wesprze firmę kwotą 150
mln PLN. Jaka jest wartość gwarancji?
Obliczamy wartość projektu V ∗ (0) z gwarancją rządową
V ∗ (0) =
0,5 · 240 + 0,5 · (90 + 150)
= 200 mln PLN
1 + 0,20
Zauważmy, że rządowa gwarancja jest dla firmy opcją sprzedaży projektu. Firma ma
długą pozycję w opcji sprzedaży. Firma może (ale nie musi) skorzystać z możliwości
gwarancji rządowej.
Cena opcji sprzedaży to różnica wartości projektów z gwarancją i bez gwarancji
V ∗ (0) − V (0) = 200 − 137,5 = 62,50 mln PLN
To tradycyjne podejście zakłada, że wypłata opcji sprzedaży ma takie samo ryzyko
jak firma. Zatem przepływy pieniężne powinniśmy dyskontować kosztem kapitału
firmy.
Jednak to podejście nie uwzględnia możliwości porzucenia projektu za gwarantowaną cenę. Zatem poprawna wartość projektu z gwarancją powinna być dyskontowana stopą wolną od ryzyka. Stąd
V ∗ (0) =
0,5 · 240 + 0,5 · (90 + 150)
= 228,57 mln PLN
1 + 0,05
1
Po upadku banku inwestycyjnego Lehman Brothers 15 września 2008 roku, aby ograniczyć skalę kryzysu, wiele rządów zdecydowało się na wsparcie wybranych instytucji finansowych jak również niektórych sektorów jak chociażby sektor motoryzacyjny.
Wersja z dnia 12 kwietnia 2011 roku 466
7
1.2. Projekt inwestycyjny
Zatem poprawna cena gwarancji wynosi
V ∗ (0) − V (0) = 228,57 − 137,5 = 91,07 mln PLN
Spróbujmy policzyć cenę opcji wprost z definicji. Musimy znać wartość miary martyngałowej p∗ . Załóżmy, że wartość projektu jest martyngałem czyli spełnia zależność
V (0) =
p∗ · 240 + (1 − p∗ ) · 90
= 137, 5 mln PLN
1 + 0,05
Stąd p∗ = 0,36. Zatem wypłata opcji sprzedaży wynosi
P U (1) = 0,
D
P (1) = 180,
w optymistycznym scenariuszu
w pesymistycznym scenariuszu
Stąd cena opcji sprzedaży
p∗ · P U (1) + (1 − p∗ ) · P D (1)
= 91,07 mln PLN
1+r
Milcząco założyliśmy, że mamy rynek zupełny i istnieje dokładnie jedna miara martynagałowa.
P (0) =
Kolejny przykład będzie dotyczył wyceny projektu inwestycyjnego.
Przykład 1.2 Przedsiębiorstwo górnicze chce kupić złoże rudy miedzi. Firma przyjmuje następujące założenia o złożu2 :
• złoże daje 1 mln ton rudy miedzi, ale tylko w pierwszym roku eksploatacji a
później jest bezużyteczne
• koszt wydobycia 1 tony rudy miedzi wynosi 1800 USD płatny na początku
okresu i rośnie o rI = 10% rocznie
• cena miedzi wynosi dzisiaj S(0) = 2000 USD/t; w następnym roku może wzrosnąć: U = 30% lub spaść: D = - 20% z prawdopodobieństwem p=1/2
• to są wszystkie źródła niepewności
• ryzyko ceny miedzi jest całkowicie zdywersyfikowane tak, że przepływy pieniężne mogą być dyskontowane stopą wolną od ryzyka r=5%
Powstaje naturalne pytanie jaka jest wartość złoża?
Modelujemy ceny miedzi:
S U (1) = S(0)(1 + U ) = 2600 USD
%
S(0) = 2000 USD
&
S D (1) = S(0)(1 + D) = 1600 USD
2
Oczywiście model jaki tu przyjmujemy jest bardzo elementarny
Wersja z dnia 12 kwietnia 2011 roku 466
8
1. Motywujące przykłady
I sposób
Obliczamy oczekiwany przepływ pieniężny z projektu
1
E(CF (1)) = (2600 + 1600) = 2100 USD/t
2
i NPV dla 1 tony minerału
N P V (0) = −1800 +
2100
= 200 USD
1 + 0,05
i całego projektu N P V (0) = 200 mln USD
II sposób
Ale gdybyśmy poczekali rok i rozpoczęli wydobycie bez względu na to jaka będzie
cena miedzi, to dla
• optymistycznego scenariusza
N P V U (1) = −(1 + 0,1) · 1800 +
2600 · 1, 05
= 620 USD/t
1, 05
• pesymistycznego scenariusza
N P V D (1) = −(1 + 0,1) · 1800 +
1600 · 1, 05
= −380 USD/t
1, 05
i wtedy NPV dla 1 tony minerału dzisiaj
N P V (0) =
p · N P V U (1) + (1 − p) · N P V D (1)
0,5 · 620 + 0,5 · (−380)
=
= 114 USD/t
1+r
1, 05
Podsumujmy nasze dotychczasowe rozważania
1. N P V jest dodatnie w obu przypadkach
2. powinniśmy rozpocząć wydobycie teraz (bo 200 > 114)
Ale gdyśmy poczekali 1 rok i gdyby spełnił się scenariusz pesymistyczny to nie
musielibyśmy wydobywać złoża bo prowadzi to do start. Zatem mamy możliwość
nie wydobywania (opcję czekania).
III sposób
Uwzględniamy teraz informacje o cenie miedzi. I nie podejmujemy wydobycia w
przypadku spełnienia scenariusza pesymistycznego. Wtedy
p · max{N P V U (1), 0} + (1 − p) · max{N P V D (1), 0}
1+r
0,5 · 620 − 0,5 · 0
=
= 295 USD/t
1, 05
N P Ve (0) =
Wersja z dnia 12 kwietnia 2011 roku 466
NPV całego projektu wynosi 295 mln USD. Stąd możliwość czekania i podjęcia
decyzji gdy będzie znana cena miedzi wynosi
N P Ve (0) − N P V (0) = 295 − 200 = 95 mln USD
Rozpoznajmy elementy opcji polegającej na możliwości czekania:
• Instrument bazowy - wartość przepływów pieniężnych
• Termin realizacji - koniec pierwszego roku.
• Cena realizacji - nakład inwestycyjny.
Wnioski:
• Metoda NPV akceptuje bądź odrzuca projekt w chwili t = 0. Ignoruje
możliwość czekania z decyzją do następnego roku.
• Jeśli nawet rozważymy możliwość czekania w naiwnym NPV (II sposób)
to metoda ignoruje fakt, że możemy podjąć inne działania mając nowe
informacje.
• Jak długo nie wiemy jaka jest cena miedzi za rok, tak długo opcja czekania
ma swoją wartość
• NPV jest poprawna jeśli poprawnie ją stosujemy
Podstawą wszelkich wycen są przewidywane przyszłe przepływy pieniężne.
Ponieważ nie jesteśmy w stanie na ogół wyeliminować niepewności, podkreślmy słowo ”przewidywane”. W trakcie realizacji projektu przepływy realizowane będą wyższe lub niższe. W przypadku gdy będą niższe, co może być
spowodowane przez brak popytu na nasze produkty, niekiedy możemy mieć
możliwość wycofania się. W przypadku sukcesu, możemy niekiedy zwiększyć
produkcję. Tego typu elastyczność, która jest cechą niektórych projektów, nie
jest uchwycona przez klasyczne metody wyceny.
Obie decyzje, wycofać się w przypadku niepowodzeń, rozszerzyć działalność
w przypadku sukcesu, mają konsekwencje finansowe i zależą od przyszłych
niepewnych wydarzeń. Widzimy podobieństwo z teorią opcji, gdzie posiadacz
opcji sprzedaży może z niej skorzystać i odnieść korzyści w sytuacji gdy cena
akcji (czy innego instrumentu bazowego) pójdzie w dół, natomiast posiadacz
opcji kupna będzie miał korzyść gdy akcja pójdzie w górę. Jak zobaczymy
później, te analogie są głębsze.