PIKOMAT

XXI edycja
Międzynarodowego Konkursu Matematycznego
„PIKOMAT”
rok szkolny 2012/2013
ETAP II
Klasa IV
Zadanie 1
Jakie liczby należy wpisać w puste okienka. Odkryj i uzasadnij regułę.
3, 6, 11, 22, 27, 54, , , Zadanie 2
Żelazny Rycerz miał – na polecenie swego króla – przygotować podległy mu oddział liczący
mniej niż 850 rycerzy do defilady, w której miały wziąć udział również inne liczne zastępy
wojskowe. Jego zadaniem było ugrupować jeźdźców w równe szeregi tzn. w taki sposób, aby
w każdym z szeregów była ta sama ich liczba. Jednakże ugrupowanie jeźdźców zarówno
trójkami, czwórkami, piątkami i szóstkami dawało ten sam rezultat – jeden jeździec zostawał.
Dopiero ugrupowanie rycerzy po siedmiu w szeregu spowodowało, że Żelazny Rycerz
odetchnął z ulgą, gdyż ani jeźdźca nie brakowało, ani nikt nie zbywał. Ilu jeźdźców-rycerzy
mógł liczyć oddział Żelaznego Rycerza?
Zadanie 3
Twoim zadaniem jest przestawić pionki na poniższej planszy w ten sposób, aby z lewej strony
znalazły się wszystkie białe, a z prawej wszystkie czarne, kierując się następującą zasadą: na
wolne miejsca należy przekładać od razu dwa sąsiednie pionki, nie zmieniając ich kolejności.
 

Jaką najmniejszą ilości ruchów należy wykonać, żeby rozwiązać to zadanie?
Zadanie 4
Liczbą Marka nazywamy liczbę czterocyfrową taką, że iloczyn dwóch pierwszych cyfr jest
równy sumie dwóch ostatnich np. 6124. Podaj wszystkie liczby Marka.
Klasa V
Zadanie 1
Według jakiej zasady wpisano liczbę w środkowe pole? Opisz tę zasadę i uzupełnij trzeci
przykład.
83
20
18
62
12
22
41
35
Zadanie 2
Cyfry: 0; 1; 1; 2; 2; 3; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 8; 8; 9; 9, rozmieść w kwadracie w taki sposób, żeby
powstałe liczby czterocyfrowe, czytane pionowo i poziomo, w przód i wspak, były podzielne
przez 11. (Liczba jest podzielna przez 11 wtedy, gdy sumując co drugą cyfrę otrzymujemy
w obydwu przypadkach to samo, np. dla liczby 6831 mamy 6 + 3 = 8 + 1.)
Zadanie 3
Michał ma kolekcję 67 modeli samochodów wyścigowych. Podczas zabawy włożył je do
11 przygotowanych przez siebie garaży tak, że w każdym garażu znalazł się co najmniej jeden
samochodzik. Czy jest możliwe, że Michał włożył do każdego garażu inną liczbę
samochodzików?
Zadanie 4
W pewnym muzeum stał staroświecki zegar z rzymskimi cyframi na tarczy, przy czym
zamiast rzymskiej cyfry: IV były cztery pałeczki: IIII. Na tarczy powstały rysy, które dzieliły
ją na cztery części, jak widać na rysunku.
Sumy liczb w każdej części nie były równe i wynosiły: w jednej 21, w drugiej 20, w trzeciej
20, a w czwartej 17. Gdyby rysy były nieco inaczej rozmieszczone suma liczb we wszystkich
czterech częściach wyniosłaby 20, jednak rysy nie muszą wtedy przechodzić przez środek
tarczy. Znajdź nowe rozmieszczenie rys.
Klasa VI
Zadanie 1
Odkryj i opisz regułę oraz ją uzasadnij, a następnie wpisz brakującą liczbę.
9 16 25
12 20 ?
Zadanie 2
Ela narysowała na kartce figurę składającą się 5 kwadratów w sposób przedstawiony na
rysunku. Następnie rozcięła ją na trzy części, z których złożyła jeden kwadrat. W jaki sposób
to zrobiła?
Zadanie 3
U babci Jasi jest kogut liliputek. Na śniadanie dostał mieszankę owsa z pszenicą, przy czym
pszenica stanowiła
zjadł
1
ciężaru tej mieszanki. Kogut jest wybredny i owsa nie lubi. Najpierw
4
2
wszystkich ziaren pszenicy. Po krótkiej przerwie wydzióbał 0,7 pozostałych ziaren
5
pszenicy. Potem zrobił obchód podwórka i po powrocie zjadł ostatnie 18 dag pszenicy. Ile
ważyła pszenica, a ile owies?
Zadanie 4
Na drzwiach wejściowych do sklepu owocowo-warzywnego „Zielone jabłuszko” wisiała
następująca informacja: „Dzisiaj 70 migdałów kosztuje tyle samo co 50 jadalnych kasztanów,
48 kasztanów kosztuje tyle samo co 1 owoc granatu, 18 granatów kosztuje tyle samo co
28 cytryn, 10 cytryn kosztuje tyle samo co 25 śliwek, a 108 migdałów kosztuje 90gr”. Tomek
bardzo lubi śliwki i miał przy sobie 15,12zł. Będąc dobrym matematykiem, szybko obliczył,
ile sztuk śliwek może kupić za wszystkie posiadane pieniądze. Oblicz ile śliwek może kupić
Tomek.
Klasa I
Zadanie 1
1
mają tę własność, że ich suma jest równa ich iloczynowi. Tę samą własność
4
2
ma następująca trójka liczb: 1; 1 ; 6. Znajdź czwórki różnych liczb dodatnich o tej samej
5
własności. Czy istnieją cztery różne liczby naturalne o tej własności?
Liczby: 5 i 1
Zadanie 2
Rozmieść w kółkach diagramu cyfry 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 tak, aby sumy cyfr
w wierzchołkach każdego z siedmiu trójkątów równobocznych były równe.
Zadanie 3
Pani Leokadia ma przy swoim gospodarstwie dużą łąkę w kształcie koła o średnicy 90 m, na
której pasie swoje kozy. Każda jej koza jest uwiązana do kołka wbitego w ziemię na lince
o długości 15 m. Pani Leokadia powbijała kołki tak, że kozy nie mogą sobie nawzajem
przeszkadzać. Jaki jest minimalny stosunek pola trawy, której kozy nie mogą wyjeść, do pola
całej łąki?
Zadanie 4
Ile boków może mieć wielokąt zbudowany z trójkąta prostokątnego i jego odbicia
symetrycznego względem prostej?
Klasa II
Zadanie 1
Wiedząc, że największy okrąg ma promień r, oblicz długość promienia najmniejszego
okręgu.
Zadanie 2
Pan Władysław, człowiek dowcipny i szalony w swoich pomysłach, jest zegarmistrzem, który
jest mistrzem w swoim fachu. Pewnego razu postanowił, że skonstruowany przez siebie
normalny zegar wyposaży w takie wskazówki, by ich końce poruszały się z taką samą
szybkością. Wykonana przez niego wskazówka wskazująca godziny miała długość 24 cm.
Jak długą winien on wykonać wskazówkę wskazującą minuty?
Zadanie 3
Jak to często w szkole bywa są uczniowie, których wiedza i umiejętności matematyczne nie
są zbyt duże. Trzech kolegów z jednej klasy Andrzej, Mateusz i Kamil obliczają objętość
pudełka prostopadłościennego. Długości wszystkich krawędzi tego pudełka są liczbami
całkowitymi centymetrów. Niestety, ale ku zdumieniu wszystkich, tylko nie samym sobie
stosują wzór V = S + H, gdzie S oznacz pole podstawy prostopadłościanu i H jego wysokość.
Każdy z nich otrzymał wynik inny niż jego koledzy, a mianowicie: 304, 416 i 169 cm3. Jaka
jest prawdziwa objętość prostopadłościanu w cm3?
Zadanie 4
W wiosce leśnych elfów z okazji święta każdy chłopiec wręcza stokrotkę Królowej Elfów
i każdej z dziewcząt, a każdemu z chłopców pyszną jagodę. Podobnie każda dziewczynka
wręcza stokrotkę Królowej i każdemu z chłopców, a każdej z dziewcząt jagodę. Królowa nie
wręcza upominków, ale składa wszystkim elfom życzenia. W ten sposób wręczono 160000
stokrotek i jagód. Ile elfów mieszka w wiosce? Ile jest elfów-chłopców, jeżeli wiadomo, że
jest ich 3 razy więcej niż elfów-dziewczynek?
Klasa III
Zadanie 1
Dwa promy wyruszają jednocześnie z dwóch przeciwległych brzegów rzeki, płynąc na drugą
stronę prostopadle do jej brzegów. Każdy płynie ze stałą prędkością, ale jeden szybciej niż
drugi. Mijają się w odległości 780 m od bliższego brzegu. Po przybyciu do celu każdy prom
czeka przez 10 minut przy nabrzeżu, zanim zacznie kurs powrotny. W czasie drogi powrotnej
spotykają się w odległości 460 m od drugiego brzegu. Jak szeroka jest rzeka?
Zadanie 2
W pewnym banku miała miejsce następująca historia: kasjerka zamieniła rolami euro
i centy, gdy realizowała czek pana Stanisława, dając mu euro zamiast centów i centy zamiast
euro. Gdy pan Stanisław kupił gazetę za 65 centów, zauważył, że zostało mu dokładnie dwa
razy tyle pieniędzy, na ile opiewał czek. Na jaką sumę był wystawiony czek?
Zadanie 3
Jaką część pięciokątnej gwiazdy foremnej (rys.) stanowi część zacieniowana?
Zadanie 4
W ubiegłym roku suma lat wszystkich gimnazjalistów w klasie Marcina była równa 404.
Wszyscy uczniowie zdali do następnej klasy i obecnie suma lat wszystkich uczniów w klasie
jest równa 436. Marcin jest najstarszy w klasie, a najmłodszy jego kolega jest młodszy od
Marcina o 1 rok. Ile lat ma Marcin?
Opracowanie: Jan Domaszewicz, Marek Kawałko, Katarzyna Żak
Informacje o przebiegu konkursu można znaleźć w Internecie pod adresem: www.ssodelta.edu.pl