Moje gimnazjum – moja szansa

Konkurs matematyczny dla uczniów gimnazjów objętych
projektem edukacyjnym
„Moje gimnazjum – moja szansa”
Edycja I – marzec 2010 r.
Rozwiązując zadania pamiętaj, by przedstawić pełny tok rozumowania, komentarze oraz odpowiedzi.
Zadanie 1.
Udowodnij, że suma liczby dwucyfrowej i liczby utworzonej z tych samych cyfr, ale
zapisanych w odwrotnej kolejności, jest podzielna przez 11.
Zadanie 2.
Wykaż, że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb parzystych jest podzielna przez 4.
Zadanie 3.
Liczbę naturalną tn nazywamy n -tą liczbą trójkątną, jeżeli jest ona sumą n kolejnych,
początkowych liczb naturalnych. Liczbami trójkątnymi są zatem: t1 =1,t2 = 1+2= 3,
t3 =1+2+ 3 = 6, t4 = 1+2+3+4 = 10, t5 = 1+2+3+4+5 = 15. Stosując tę definicję:
a) wyznacz liczbę t17 ;
b) ułóż odpowiednie równanie i zbadaj, czy liczba 7626 jest liczbą trójkątną;
c) wyznacz największą czterocyfrową liczbę trójkątną;
Zadanie 4.
Z prostokąta o szerokości 60 cm wycina się detale w kształcie półkola o promieniu 60 cm.
Sposób wycinania detali ilustruje poniższy rysunek.
Oblicz najmniejszą długość prostokąta potrzebnego do wycięcia dwóch takich detali. Wynik
zaokrąglij do pełnego centymetra.
Zadanie 5.
Świeże grzyby zawierają 90% wody, a suszone 15%. Ile trzeba zebrać grzybów, żeby można
było z nich otrzymać 1 kg grzybów suszonych?
Zadanie 6.
Planując czterotygodniowe wakacje, rodzina Kowalskich przeznaczyła pewną kwotę na
wyżywienie. W pierwszym tygodniu wydano 30% zaplanowanej kwoty, w drugim tygodniu o
60 złotych mniej niż w pierwszym, w trzecim połowę reszty pieniędzy. Na czwarty tydzień
zostało 270 złotych. Oblicz kwotę, którą rodzina Kowalskich przeznaczyła na wyżywienie.
Zadanie 7.
W gimnazjum 15% uczniów uczy się dodatkowo języka niemieckiego,13% uczniów języka
francuskiego, 7% uczniów uczy się dodatkowo obu języków, poza obowiązkowym językiem
angielskim. Jaki procent uczniów gimnazjum uczy się tylko języka angielskiego?
Zadanie 8.
Funkcja f ( x ) jest określona wzorem:
a) Sprawdź, czy liczba a= (0,25)-0,5 należy do dziedziny funkcji f ( x ).
b) Oblicz f ( 2 ) oraz f (3) .
c) Sporządź wykres funkcji f ( x ).
d) Podaj rozwiązanie równania f ( x ) = 0 .
e) Zapisz zbiór wartości funkcji f ( x ).
Zadanie 9.
Doświadczalnie ustalono, że czas T(n) , liczony w sekundach, potrzebny na alfabetyczne
ułożenie n kartek z nazwiskami wyraża się, z dobrym przybliżeniem, wzorem
T(n) = a∙n2 +b∙n . Ułożenie 10 kartek trwa średnio 20 sekund, a 30 kartek średnio
90 sekund. Wyznacz wzór funkcji T(n) i oblicz, ile kartek można ułożyć średnio w ciągu
50 sekund.
Zadanie 10.
Kąt pomiędzy dwusiecznymi dwóch kątów trójkąta wynosi 110 0 . Jaka jest miara trzeciego
kąta w tym trójkącie?