ANL1 1. Narysować wykres funkcji F (a) F(x) = (|t| + |t − 2

ANL1
Z9−10
1. Narysować wykres funkcji F
Z x
(a) F (x) =
1
Zx
(b) F (x) =
(|t| + |t − 2|) dt , x ∈ (−4 ; 4)
(cos t) · (sgn t)dt
π/4
Z x
(c) F (x) =
||t − 1| − 1|dt , x > 0
0
2. Wyznaczyć pochodną pierwszego rzędu funkcji
Zln x
Z2x
Zx
sin t
sin t
sin t
a) F (x) =
dt , x > 0 , b) G(x) =
dt , x > 0 , c) H(x) =
dt.
2
2
t
t +1
t +1
2
1
1
3. Funkcja F (x) =
Zx
−1
0
x +x


t · arctg
f (t)dt, gdzie gdy f (t) = 

0,
1
, t 6= 0
. Obliczyć, jeśli istnieją,
t2
t=0
00
F (0) oraz F (0).
4. Nie obliczając całki zbadać monotoniczność funkcji F (x) =
Z2x
x
t2
t dt
. Obliczyć naj+ 2t + 2
większą wartość funkcji F w przedziale h−2; −1i.
5. Obliczyć, jeśli istnieją, granice
x−1
Z
2
t sin 4/t
a) lim
x→+∞
dt
1
ln(2x2
+ 3)
Z x2
arctg tdt
1 , c) (E) lim
, b) lim 0 √t +
2
x→∞ x +
x→+∞
x +1
Z3x
1
23/t + 33/t
2
!t
2x + 1
6. Niech f : h−a, ai → R (a > 0) będzie funkcją ciągłą w h−a, ai. Wykazać, że
Za
(a) jeśli f jest funkcją parzystą, to
f (x)dx = 2
−a
(b) Jeśli f jest funkcją nieparzystą, to
Za
f (x)dx;
0
Za
f (x)dx = 0.
−a
7. Wykazać, że jeśli funkcja f : R → R jest ciągła w R i okresowa o okresie T > 0, to
a+T
Z
a
8. (E) Wykazać, że
π/4
Z
0
f (x)dx =
ZT
f (x)dx dla każdego a ∈ R.
0
π/4
15 Z
sin (2x) dx =
·
sin14 (2x) dx.
16
16
0
dt
.
9. Obliczyć pole obszaru ograniczonego
(a) krzywą y = ln x, styczną do niej w punkcie (1, 0) i prostą x = e
(b) (E) krzywymi y = ln x, y = ln(e2 x), y = 0 oraz x = e.
(c) krzywymi y = ln x , y = ln2 x;
(d) okręgiem x2 +y 2 = 3 i parabolą y 2 = 2x i zawierającego punkt(1, 0) w swoim wnętrzu;
(e) jednym łukiem cykloidy i osią OX
x = a(t − sin t) , y = a(1 − cos t) , t ∈ h0; 2πi , a > 0.
10. Obliczyć objętość bryły obrotowej ograniczonej powierzchnią powstałą z obrotu wokół osi
0X
(a) jednego łuku cykloidy;
1
, x ∈ h−3; −2i;
(b) krzywej y = √ 2
x + 6x + 10
(c) okręgu x2 + (y − 2)2 = 1.
11. Obliczyć długość łuku wykresu funkcji f (x) = ln sin x , π/6 ¬ x ¬ π/2.