Matematyczne Metody Chemii I

Zwiekszenie
liczby wysoko wykwalifikowanych absolwentów kierunków ścislych Uniwersytetu Jagiellońskiego”
,
”
POKL.04.01.02-00-097/09-00
Matematyczne Metody Chemii I
Wyklad dla III roku Chemii UJ
Grzegorz Mazur, Marcin Makowski, Lukasz Piekoś
,
Projekt wspólfinansowany przez Unie, Europejska, w ramach Europejskiego Funduszu Spolecznego
Every attempt to employ mathematical methods in the
study of chemical questions must be considered profoundly
irrational and contrary to the spirit of chemistry. If
mathematical analysis should ever hold a prominent place
in chemistry – an aberration which is happily almost
impossible – it would occasion a rapid and widespread
degeneration of that science.
A. Comte (1830)
2
Wyklad 1
Informacje o kursie.
Powtórzenie wiadomości
3
Plan zajeć
,
Wstep
,
Literatura
Powtórzenie wiadomości
Liczby zespolone
Macierze
Permutacje
4
Wstep
,
Na kursie omawiane sa, podstawy algebry liniowej i teorii
reprezentacji ilustrowane przykladami zastosowań do zagadnień
krystalografii
spektroskopii
chemii kwantowej
To nie jest kurs matematyki
waski
zakres materialu
,
matematycznie interesujace
zagadnienia
pominiete
,
,
aplikatywne podejście
Ale nie jest to kurs spektroskopii czy mechaniki kwantowej
tylko matematyczne podstawy
interpretacja chemiczna i fizyczna na innych kursach
5
Literatura
Materialy to ilustracja do wykladu a nie podrecznik
,
Literatura:
A. Herdegen, Wyklady z algebry liniowej i geometrii
A. Staruszkiewicz, Algebra i geometria
A. Kowalska, Zastosowania teorii grup w fizyce
F. A. Cotton, Teoria grup. Zastosowania w chemii
M. T. Pawlikowski, Wstep
, do teoretycznej spektroskopii
molekularnej. Teoria grup
6
Liczby zespolone I
Rozważmy zbiór R × R (zbiór par liczb rzeczywistych)
i wprowadźmy w nim nastepuj
ace
dzialania:
,
,
z1 + z2 = (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 )
z1 · z2 = (x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + y1 x2 )
Definicja
Powyższy zbiór z wyżej określonymi dzialaniami nazywamy cialem
liczb zespolonych i oznaczamy (C, +, ·).
Definicja
Jeżeli z = (x, y ), to liczbe, rzeczywista, x nazywamy cześci
a,
,
rzeczywista,
zaś
liczb
e
rzeczywist
a
y
cz
eści
a
urojon
a
liczby
,
,
,
,
,
,
zespolonej z i piszemy x = <z, y = =z lub x =Rez, y =Imz.
7
Liczby zespolone II
Liczby zespolone postaci (x, 0) czyli o zerowej cześci
urojonej
,
utożsamiamy z liczbami rzeczywistymi.
Liczbe, (0, 1) nazywamy jednostka, urojona, i oznaczamy i. Ma
ona te, wlasność, że i 2 = −1.
Latwo sprawdzić, że
z = (x, y ) = (x, 0) + (0, y ) = (x, 0) + (0, 1)(y , 0).
Stad
, otrzymujemy zapis z = x + iy (postać kanoniczna, liczby
zespolonej).
Definicja
Sprzeżeniem
liczby zespolonej z = (x, y ) nazywamy liczbe,
,
z ∗ = z̄ := x − iy .
p
Modulem liczby zespolonej nazywamy liczbe, |z| := x 2 + y 2 .
Zachodzi równość zz̄ = (x + iy )(x − iy ) = x 2 + y 2 = |z|2 .
8
Liczby zespolone III
Definicja
Pamietaj
ac,
,
, że x = |z| cos ϕ i y = |z| sin ϕ otrzymujemy postać
trygonometryczna, liczby zespolonej
z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ)
Potegowanie
liczb zespolonych ulatwia wzór de Moivre’a
,
z n = |z|n (cos nϕ + i sin nϕ)
Definicja
Pierwiastkiem algebraicznym stopnia n liczby zespolonej z
nazywamy zbiór (n-elementowy) postaci
√
n
z := {w ∈ C : w n = z}
9
Liczby zespolone IV
Zachodzi nastepuj
acy
wzór Eulera
,
,
e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ
Stad
, wynikaja, zależności
cos ϕ =
e iϕ − e −iϕ
e iϕ + e −iϕ
oraz sin ϕ =
2
2i
oraz postać wykladnicza liczby zespolonej
z = |z|e iϕ
W szczególności, dla ϕ = π i |z| = 1 otrzymujemy najpiekniejszy
,
wzór matematyki
e iπ + 1 = 0
10
Permutacje I
Rozważmy zbiór skończony E := {1, . . . , n}, n ­ 1 oraz zbiór
Sn := {σ : E 7→ E : σ bijekcja}.
Definicja
Elementy zbioru Sn (czyli bijekcje zbioru skończonego) nazywamy
permutacjami.
Permutacje zapisujemy symbolem
σ=
1 ... n
a1 . . . an
!
, gdzie σ(j) = aj .
Zbiór Sn z dzialaniem skladania (mnożenia) permutacji tworzy grupe,
(nieprzemienna, dla n ­ 3), która, oznaczamy (Sn , ◦).
11
Permutacje II
Definicja
Niech a1 , a2 , . . . , ak bedzie
ukladem k ¬ n liczb. Permutacje, %
,
określona, wzorem
%(ai ) = ai+1 , dla i = 1, . . . , k − 1,
%(ak ) = a1
%(j) = j, dla j ∈
/ {a1 , a2 , . . . , ak }
nazywamy cyklem k-elementowym i zapisujemy skrótowo
% = (a1 , . . . , ak ).
Liczbe, k nazywamy dlugościa, cyklu %.
Cykl dwuelementowy nazywamy transpozycja.
,
12
Permutacje III
Definicja
Cykle %1 = (a1 , . . . , ak ) i %2 = (b1 , . . . , bl ) nazywamy cyklami
rozlacznymi,
gdy {a1 , . . . , ak } ∩ {b1 , . . . , bl } = ∅.
,
Twierdzenie
Każda permutacja ze zbioru Sn jest cyklem lub zlożeniem cykli
rozlacznych.
,
Rozklad permutacji na cykle rozlaczne
jest jednoznaczny.
,
Każda permutacja jest iloczynem transpozycji. Rozklad taki nie musi
być jednoznaczny a transpozycje nie musza, być rozlaczne.
,
Jeżeli w pewnym rozkladzie permutacji σ na transpozycje liczba
transpozycji jest parzysta, to jest też taka w dowolnym rozkladzie na
transpozycje tej permutacji.
13
Permutacje IV
Definicja
Permutacje, σ ∈ Sn , w której rozkladzie wystepuje
parzysta
,
(nieparzysta) liczba transpozycji nazywamy permutacja, parzysta,
(nieparzysta).
,
Liczbe, sgn (σ) := (−1)k , gdzie k jest liczba, transpozycji
w rozkladzie permutacji σ nazywamy znakiem permutacji σ.
Wniosek
Znak permutacji jest dobrze określony (nie zależy od wyboru
rozkladu permutacji σ na transpozycje).
14
Macierze I
Definicje
Transpozycja, macierzy A nazywamy macierz AT taka,, że
∀i, j : AT
ij = Aji
Sprzeżeniem
hermitowskim macierzy A nazywamy macierz
,
+
∗
A taka,, że ∀i, j : A+
ij = Aji
Macierz, której elementami sa, liczby rzeczywiste nazywamy
macierza, rzeczywista,
Macierz, której elementami sa, liczby zespolone nazywamy
macierza, zespolona,
15
Macierze II
Definicje
Macierza, jednostkowa, oznaczana, 1 nazywamy macierz taka,, że
∀i, j : 1ij = δij
Macierz A nazywamy diagonalna, jeśli ∀i 6= j : Aij = 0
Macierz nazywamy odwrotna, do macierzy A i oznaczamy A−1 ,
jeśli A−1 A = AA−1 = 1
16
Macierze III
Macierz A jest
symetryczna, jeżeli A = AT
antysymetryczna, jeżeli A = −AT
hermitowska, jeżeli A = A+
unitarna, jeżeli A−1 = A+
ortogonalna, jeżeli jest rzeczywista i unitarna
17
Wyklad 2
Grupy
18
Dzialanie wewnetrzne
,
Definicja
Dzialaniem wewnetrznym
w zbiorze A nazywamy (dowolne)
,
odwzorowanie f : A × A 7→ A. Jeżeli nie prowadzi to do
niejednoznaczności, dzialanie wewnetrzne
czesto
określa sie, jako
,
,
dzialanie.
Notacja
Przy zapisie dzialań zwykle używana jest notacja infiksowa. Wtedy
a f b := f (a, b).
Przy zapisie infiksowym najcześciej
oznacza sie, dzialania symbolami
,
zamiast literami, np. ◦ : A × A 7→ A
a ◦ b := ◦(a, b).
19
Dzialanie laczne
,
Definicja
Dzialanie ◦ : A × A 7→ A jest laczne
jeżeli
,
∀a, b, c ∈ A : ◦(◦(a, b), c) = ◦(a, ◦(b, c))
czy też, w notacji infiksowej
∀a, b, c ∈ A : (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)
Przyklad
Skladanie odwzorowań jest dzialaniem lacznym
,
Odejmowanie liczb calkowitych jest dzialaniem wewnetrznym,
,
ale nie jest dzialaniem lacznym
,
20
Dzialanie przemienne
Definicja
Dzialanie ◦ : A × A 7→ A jest przemienne jeżeli
∀a, b ∈ A : ◦(a, b) = ◦(b, a)
czy też, w notacji infiksowej
∀a, b ∈ A : a ◦ b = b ◦ a
Przyklad
Mnożenie macierzy kwadratowych nie jest dzialaniem
przemiennym
Odejmowanie liczb calkowitych jest dzialaniem wewnetrznym,
,
ale nie jest dzialaniem przemiennym
21
Element neutralny I
Definicja
Elementem neutralnym wzgledem
dzialania ◦ : A × A 7→ A
,
nazywamy e ∈ A jeżeli
∀a ∈ A : a ◦ e = e ◦ a = a.
Przyklad
0 jest elementem neutralnym dla dodawania liczb
1 jest elementem neutralnym dla mnożenia liczb
macierz jednostkowa jest elementem neutralnym dla mnożenia
macierzy kwadratowych
odwzorowanie identycznościowe jest elementem neutralnym dla
skladania odwzorowań
22
Element neutralny II
Twierdzenie
Jeżeli element neutralny dzialania istnieje, to jest wyznaczony
jednoznacznie.
Dowód.
Zalóżmy, że istnieja, dwa różne elementy neutralne e1 , e2 ∈ A
dzialania ◦ : A × A 7→ A. Wtedy
e1 = e1 ◦ e2 = e2 ◦ e1 = e2
23
Element odwrotny I
Definicja
Elementem odwrotnym do elementu a ∈ A wzgledem
dzialania
,
◦ : A × A 7→ A nazywamy b ∈ A jeżeli
a◦b =b◦a=e
gdzie e ∈ A jest elementem neutralnym.
Przyklad
Elementem odwrotnym jest (o ile istnieje)
liczba przeciwna dla dodawania liczb
liczba odwrotna dla mnożenia liczb
macierz odwrotna dla mnożenia macierzy kwadratowych
odwzorowanie odwrotne dla skladania odwzorowań
24
Element odwrotny II
Twierdzenie
Jeżeli dzialanie jest laczne,
to element odwrotny (o ile istnieje) jest
,
wyznaczony jednoznacznie.
Dowód.
Niech b1 , b2 ∈ A bed
, a, różnymi elementami odwrotnymi do elementu
a ∈ A wzgledem
dzialania ◦ : A × A 7→ A. Wtedy
,
b1 = b1 ◦ e = b1 ◦ (a ◦ b2 ) = (b1 ◦ a) ◦ b2 = e ◦ b2 = b2
gdzie e jest elementem neutralnym.
Notacja
W przypadku dzialań lacznych
zwykle oznaczamy element odwrotny
,
do elementu a przez a−1 .
25
Grupa
Definicja
Grupa, nazywamy pare, uporzadkowan
a, (G , ◦) jeżeli
,
1 ◦ : G × G 7→ G jest dzialaniem lacznym
,
2
3
istnieje w G element neutralny wzgledem
dzialania ◦
,
każdy element zbioru G posiada element odwrotny w G
Dzialanie ◦ nazywamy dzialaniem grupowym.
Definicja
Grupe, nazywamy przemienna, lub abelowa, jeżeli dzialanie grupowe
jest przemienne.
Notacja
Jeżeli nie prowadzi to do niejednoznaczności, grupe, (G , ◦) czesto
,
oznacza sie, przez G . Dzialanie grupowe zwykle nazywa sie, iloczynem.
26
Rzad
grupy
,
Definicja
Rzad
grupy G , oznaczany przez |G |, to moc zbioru G . Ze wzgledu
,
,
na rzad,
, grupy dzielimy na
skończone
nieskończone
przeliczalne
nieprzeliczalne
27
Tabela dzialania grupowego
Jeżeli grupa (G , ◦) jest grupa, skończona,, to czesto
stosowanym
,
sposobem jej definiowania jest tabela dzialania grupowego
(tabela Cayleya), majaca
postać
,
G
g1
...
gn
g1 g1 ◦ g1 . . . g1 ◦ gn
..
..
..
..
.
.
.
.
gn gn ◦ g1 . . . gn ◦ gn
gdzie w pierwszym wierszu i kolumnie wymienione sa, (w tej samej
kolejności) wszystkie elementy grupy g1 , . . . , gn ∈ G ,
a w pozostalych komórkach wyniki dzialania grupowego dla
odpowiedniej pary elementów.
28
Generator grupy
Definicja
Zbiór S ⊂ G nazywamy zbiorem generujacym
grup e, (G , ◦) jeżeli
,
każdy element G da sie, przedstawić jako iloczyn elementów zbioru S.
Definicja
Minimalnym zbiorem generujacym
nazywamy element minimalny
,
rodziny zbiorów generujacych.
,
29
Rzad
elementu grupy
,
Definicja
Poteg
e elementu grupy definiujemy przez
, ,
gn = g ◦ g ◦ . . . ◦ g
|
{z
n-krotnie
}
dla n ∈ N.
Definicja
Rzedem
elementu g grupy skończonej (G , ◦) nazywamy
,
najmniejsze takie n ∈ N, że g n = e.
30
Grupa cykliczna
Definicja
Grupe, nazywamy cykliczna,
jeżeli minimalny zbiór generujacy
jest
,
,
jednoelementowy. Taki element nazywamy generatorem grupy.
Wniosek
Grupa cykliczna jest przemienna.
Przyklad
{−1, 1} jest zbiorem generujacym
(Z, +)
,
obrót wzgledem
osi n-krotnej jest generatorem grupy Cn ; grupy
,
te sa, grupami cyklicznymi
31
Podgrupa
Definicja
Grupa (H, ) jest podgrupa, grupy (G , ◦) jeżeli
1 H ⊂ G
2
dzialanie jest zaweżeniem
◦ do zbioru H
,
Notacja
Jeżeli nie prowadzi to do niejednoznaczności, dzialanie grupowe
podgrupy zwykle oznacza sie, tym samym symbolem co dzialanie
grupowe grupy.
Definicja
Podgrupa H grupy G jest podgrupa, wlaściwa, jeżeli H 6= G .
32
Wlasności podgrup
Każda grupa jest zarazem swoja, podgrupa, (niewlaściwa)
,
Każda grupa zawiera podgrupe, jednoelementowa,, zawierajac
, a,
element neutralny
33
Wyklad 3
Homomorfizmy. Grupa
ilorazowa. Klasy elementów
sprzeż
, onych
34
Homomorfizm
Definicja
Niech (G , ◦) i (H, ) bed
, a, grupami. Odwzorowanie f : G 7→ H jest
homomorfizmem jeżeli ∀a, b ∈ G : f (a ◦ b) = f (a) f (b).
35
Wlasności homomorfizmów
Wniosek
Niech homomorfizm h : G 7→ H a eG ∈ G i eH ∈ H oznaczaja,
elementy neutralne grup G i H. Wtedy h(eG ) = eH .
Dowód.
∀g ∈ G : h(g ) = h(g ◦ eG ) = h(g ) h(eG )
Wniosek
Niech dla homomorfizmu h : G 7→ H zachodzi b = h(a). Wtedy
h(a−1 ) = b−1 .
Dowód.
h(eG ) = h(a ◦ a−1 ) = h(a) h(a−1 ) = b h(a−1 )
36
Izomorfizm
Definicja
Homomorfizm nazywamy izomorfizmem, jeżeli jest zarazem
bijekcja., Grupy pomiedzy
którymi istnieje izomorfizm nazywamy
,
izomorficznymi.
Wniosek
Jeżeli grupy sa, izomorficzne, to ich struktura algebraiczna jest taka
sama.
37
Warstwa
Definicja
Niech H bedzi
e, podgrupa, wlaściwa, grupy (G , ◦). Dla dowolnego
,
a ∈ G zbiór
aH = {a ◦ h : h ∈ H}
nazywamy warstwa, lewostronna, elementu a wzgledem
podgrupy
,
H. Analogicznie warstwe, prawostronna, definiujemy przez
Ha = {h ◦ a : h ∈ H}
38
Podzial grupy na warstwy
Niech H bedzi
e, podgrupa, wlaściwa, grupy (G , ◦). Wprowadźmy
,
relacje, LH przynależności do tej samej warstwy lewostronnej
∀a, b ∈ G : a LH b ⇔ ∃h ∈ H : a = b ◦ h
Analogicznie konstruujemy relacje, RH dla warst prawostronnych.
39
Podzial grupy na warstwy
Lemat
LH i RH sa, relacjami równoważności.
Dowód.
1 Relacja L
H jest zwrotna: a = a ◦ e
2
Relacja LH jest symetryczna: jeżeli a = b ◦ h to b = a ◦ h−1 .
3
Relacja LH jest przechodnia: jeżeli a = b ◦ h1 i b = c ◦ h2 , to
a = c ◦ h2 ◦ h1 i h2 ◦ h1 ∈ H
4
Dowód dla relacji RH jest analogiczny.
Wniosek
Klasami równoważności relacji LH i RH sa, warstwy, odpowiednio
lewostronne i prawostronne. Oznacza to, że różne warstwy sa,
rozlaczne
a ich suma jest równa calej grupie.
,
40
Moc warstw
Lemat
Weźmy grupe, (G , ◦). Dla dowolnych a, b, c ∈ G takich, że
a 6= e, b 6= c zachodzi a ◦ b 6= a ◦ c.
Dowód.
−1 otrzymujemy b = c.
Mnożac
, a ◦ b = a ◦ c lewostronnie przez a
Twierdzenie
Niech H bedzi
e, podgrupa, wlaściwa, grupy (G , ◦). Dla dowolnego
,
a ∈ G zachodzi |aH| = |H|. Analogiczne twierdzenie zachodzi dla
warst prawostronnych.
Dowód.
Wprost z lematu wynika możliwość skonstruowania bijekcji
H 7→ aH.
41
Rzad
podgrupy
,
Twierdzenie (Lagrange’a)
Dla grup skończonych rzad
grupy.
, podgrupy jest dzielnikiem rzedu
,
Dowód.
Wynika wprost z możliwości podzialu grupy na warstwy i z faktu, że
warstwy skonstruowane z tej samej podgrupy sa, równoliczne.
42
Podgrupa niezmiennicza
Definicja
Niech H bedzi
e, podgrupa, wlaściwa, grupy (G , ◦). Jeżeli
,
∀a ∈ G : aH = Ha to H nazywamy podgrupa, niezmiennicza.
,
Wniosek
Każda podgrupa grupy abelowej jest niezmiennicza.
43
Grupa ilorazowa
Niech H bedzi
e, podgrupa, niezmiennicza, grupy (G , ◦). Oznaczmy
,
zbiór warstw generowanych przez podgrupe, H jako G /H
i wprowadźmy dzialanie : G /H × G /H 7→ G /H
aH bH = (a ◦ b)H
Ponieważ
2
jest to dzialanie laczne
,
jego elementem neutralnym jest H (czyli warstwa elementu
neutralnego)
3
dla każdej warstwy aH istnieje element odwrotny a−1 H
1
(G /H, ) stanowi grupe.
, Tak skonstruowana, grup e, nazywamy grupa,
ilorazowa.,
44
Elementy sprzeżone
,
Definicja
Elementy a, b ∈ G nazywamy sprzeżonymi
jeżeli
,
∃g ∈ G : g −1 ◦ a ◦ g = b
Twierdzenie
Sprzeżenie
jest relacja, równoważności.
,
Wniosek
Relacja sprzeżenia
dzieli grupe, na klasy elementów sprzeżonych.
,
,
45
Wyklad 4
Przestrzenie wektorowe
46
Cialo
Definicja
Cialem nazywamy strukture, algebraiczna, (K , +, ·, 0, 1) jeżeli
1 (K , +) jest grupa przemienna z elementem neutralnym 0;
,
,
dzialanie grupowe nazywamy dodawaniem
2
(K \ {0}, ·) jest grupa, przemienna, z elementem neutralnym 1;
dzialanie grupowe nazywamy mnożeniem
3
zachodzi rozdzielność mnożenia · wzgledem
dodawania +
,
∀a, b, c ∈ K : (a + b) · c = a · c + b · c
Notacja
Jeżeli nie prowadzi to do niejednoznaczności, cialo (K , +, ·, 0, 1)
zwykle oznacza sie, przez K . Zwykle też pomija sie, w zapisie
mnożenia symbol dzialania.
47
Przyklady
Cialo stanowia,
(R, +, ·, 0, 1)
(C, +, ·, 0, 1)
(Q, +, ·, 0, 1)
Nie jest cialem zbiór liczb calkowitych z dodawaniem
i mnożeniem liczb jako dzialaniami
48
Wlasności cial
Twierdzenie
Weźmy cialo (K , +, ·, 0, 1). Wtedy
∀a ∈ K : 0 · a = 0
Dowód.
0 · a = (0 + 0)a = 0 · a + 0 · a
49
Zaweżenie
zainteresowań
,
W pozostalej cześci
kursu interesujace
dla nas bed
,
,
, a, jedynie
ciala liczb rzeczywistych i liczb zespolonych
Pojawiajace
sie, w dalszej cześci
kursu stwierdzenia o wyborze
,
,
dowolnego ciala należy rozumieć jako wybór pomiedzy
cialem R
,
iC
To ograniczenie nie jest istotne dla zastosowań fizycznych
Niektóre spośród przedstawionych twierdzeń zachowuja,
prawdziwość również dla innych cial, ale nie jest to regula,
50
Dzialanie zewnetrzne
,
Definicja
Dzialaniem zewnetrznym
nazywamy dowolne odzworowanie
,
◦ : A × B 7→ B.
Przyklad
Dzialaniem zewnetrznym
jest · : R × C 7→ C (mnożenie liczby
,
zespolonej przez liczbe, rzeczywista).
,
51
Przestrzeń wektorowa
Definicja
Weźmy cialo (K , +, ·, 0, 1), grupe, przemienna, (V , ⊕) i dzialanie
zewnetrzne
◦ : K × V 7→ V . Trójke, uporzadkowan
a, (K , V , ◦)
,
,
nazywamy przestrzenia, wektorowa, nad cialem K jeżeli
1
∀α ∈ K : ∀u, v ∈ V : α ◦ (u ⊕ v ) = α ◦ u ⊕ α ◦ v
2
∀α, β ∈ K : ∀u ∈ V : (α + β) ◦ u = α ◦ u ⊕ β ◦ u
3
∀α, β ∈ K : ∀u ∈ V : α ◦ (β ◦ u) = (α · β) ◦ u
4
∀u ∈ V : 1 ◦ u = u
52
Liniowa niezależność
Definicja
Weźmy przestrzeń wektorowa, V nad cialem K . Uklad wektorów
v1 , . . . , vn ∈ V nazywamy liniowo niezależnym jeżeli
∀α1 , . . . , αn ∈ K :
n
X
αi vi = 0 ⇒ α1 = α2 . . . = αn = 0
i=1
53
Wymiar i baza przestrzeni
Definicja
Przestrzeń wektorowa jest n-wymiarowa, jeżeli istnieje w niej
liniowo niezależny n-elementowy zbiór wektorów, a każdy n + 1
elementowy uklad wektorów jest liniowo zależny. Jeżeli dla każdego
n istnieje liniowo niezależny n-elementowy zbiór wektorów,
przestrzeń jest nieskończenie wymiarowa.
Definicja
Baza, (uporzadkowan
a)
,
, przestrzeni n-wymiarowej jest dowolny
n-elementowy ciag
, liniowo niezależnych wektorów.
54
Macierz zmiany bazy
Definicja
Weźmy bazy (ei ) i (ei0 ) n-wymiarowej przestrzeni V nad cialem K .
e10 = A11 e1 + A21 e2 + . . . + An1 en
e20 = A12 e1 + A22 e2 + . . . + An2 en
..
..
.
.
en0 = A1n e1 + A2n e2 + . . . + Ann en
Tak określona, macierz A nazywamy macierza, zmiany bazy.
Notacja
W notacji macierzowej powyższe równanie zapiszemy
(e10 , e20 , . . . , en0 ) = (e1 , e2 , . . . , en )A
55
Wlasności macierzy zmiany bazy
Wniosek
Macierz zmiany bazy jest nieosobliwa.
Wniosek
Jeżeli A jest macierza, zmiany bazy z (ei ) do (ei0 ), to macierz zmiany
bazy z (ei0 ) do (ei ) jest macierza, odwrotna, do A.
56
Reprezentacja wektora
Twierdzenie
Weźmy n-wymiarowa, przestrzeń wektorowa, V nad cialem K . Każdy
wektor v ∈ V można w sposób jednoznaczny przedstawić jako
kombinacje, liniowa, wektorów bazy.
Dowód.
Weźmy baze, e1 , . . . , en . Niech v 6= 0. Ponieważ przestrzeń jest
n-wymiarowa, istnieja, takie skalary α1 , . . . , αn nie wszystkie równe
P
P
zero i β 6= 0, że ni αi ei + βv = 0. Czyli v = −β −1 ni αi ei . Wektor
zerowy dany jest kombinacja, o wspólczynnikach równych zero.
Definicja
Ciag
, zlożony ze wspólczynników kombinacji liniowej wektorów bazy
przedstawiajacej
wektor v nazywamy reprezentacja, wektora v .
,
57
Wlasności transformacyjne wektorów
Weźmy dwie bazy (ei ) i (ei0 ) n-wymiarowej przestrzeni V nad cialem
K . Dla każdego wektora v ∈ V
v=
n
X
v 0i ei0
=
i=1
n
X
v j ej
j=1
Niech A bedzie
macierza, zmiany bazy: ei0 =
,
Wtedy
v=
n
X
i=1
v 0i ei0
=
n
X
i=1
v
0i
j
j=1 Ai ej .
Pn
n
X
j
n
n
X
X
j=1
j=1
Ai ej =
!
v
0i
Aji
ej
i=1
|
{z
vj
}
czyli skladowe wektora transformuja, sie, przez macierz
odwrotna, do macierzy zmiany bazy.
58
Notacja macierzowa
Weźmy dwie bazy (ei ) i (ei0 ) n-wymiarowej przestrzeni V nad cialem
P
K . Niech A bedzie
macierza, zmiany bazy: ei0 = nj=1 Aji ej .
,
Przedstawmy reprezentacje, wektora v ∈ V w bazie (ei0 ) w postaci
macierzowej


v 01
 02 
 v 
0

v =
 .. 
 . 
v 0n
Wtedy postać macierzowa, reprezentacji wektora v w bazie (ei )
otrzymujemy jako
v = Av0
59
Wyklad 5
Podprzestrzenie. Formy liniowe.
Przestrzeń dualna
60
Podprzestrzeń
Definicja
Weźmy przestrzeń liniowa, V nad cialem K . Przestrzeń liniowa, W
nad cialem K nazywamy podprzestrzenia, przestrzeni V jeżeli
W ⊂ V.
Definicja
Weźmy przestrzeń liniowa, V nad cialem K . Powloka, liniowa, zbioru
wektorów {v1 , v2 , . . . , vn } takich, że vi ∈ V dla i = 1, . . . , n
nazywamy zbiór wszystkich ich kombinacji liniowych.
Wniosek
Weźmy przestrzeń liniowa, V nad cialem K . Powloka liniowa zbioru
wektorów {v1 , v2 , . . . , vn } takich, że vi ∈ V dla i = 1, . . . , n jest
przestrzenia, wektorowa., Jest to najmniejsza podprzestrzeń
przestrzeni V do której należa, wszystkie wektory v1 , . . . , vn .
61
Suma prosta
Definicja
Weźmy przestrzeń liniowa, V nad cialem K . Niech V1 , V2 bed
, a,
podprzestrzeniami V . Jeżeli V1 ∪ V2 = V i V1 ∩ V2 = {0}, to
powiemy, że V jest suma, prosta, V1 i V2
V = V1 ⊕ V2
62
Forma liniowa
Definicja
Weźmy przestrzeń liniowa, V nad cialem K . Forma, liniowa,
nazywamy przeksztalcenie f : V 7→ K liniowe, czyli takie, że
1
∀α ∈ K : ∀v ∈ V : f (αv ) = αf (v ) (jednorodność)
2
∀u, v ∈ V : f (u + v ) = f (u) + f (v ) (addytywność)
63
Reprezentacja form liniowych
Definicja
Weźmy forme, liniowa, f : V 7→ K . Niech (ei ) bedzie
baza, przestrzeni
,
V . Dla dowolnego wektora v ∈ V
f (v ) = f
n
X
i=1
!
i
v ei
=
n
X
i=1
v i f (ei )
| {z }
fi
Ciag
, (n-elementowy) fi := f (ei ) nazywamy reprezentacja, formy
liniowej f w bazie (ei ).
64
Wlasności transformacyjne form liniowych
Weźmy dwie bazy (ei ) i (ei0 ) n-wymiarowej przestrzeni V nad cialem
P
K . Niech A bedzie
macierza, zmiany bazy: ei0 = nj=1 Aji ej .
,
Dla dowolnej formy liniowej f : V 7→ K


n
n
n
X
X
X
fi 0 = f (ei0 ) = f  Aji ej  =
Aji f (ej ) =
Aji fj
j=1
j=1
j=1
czyli skladowe formy liniowej transformuja, sie, przez macierz
zmiany bazy.
65
Wariantność
Definicje
Obiekty transformujace
sie, przez macierz zmiany bazy (czyli
,
zgodnie z wektorami bazy) określamy jako kowariantne (np.
formy liniowe)
Obiekty transformujace
sie, przez macierz odwrotna, do macierzy
,
zmiany bazy (czyli odwrotnie niż wektory bazy) określamy jako
kontrawariantne (np. wektory)
Ściślej, jeżeli reprezentacja obiektu jest wieloindeksowa, pojecie
,
wariantności odnosi sie, do poszczególnych indeksów.
66
Konwencja sumacyjna
Notacja
Skladowe reprezentacji obiektów kowariantnych zwykle oznacza sie,
indeksem dolnym, a kontrawariantnych górnym. Czyli skladowe
wektora v oznaczamy przez v i a formy liniowej f przez fi .
Notacja
W konwencji sumacyjnej Einsteina opuszcza sie, znak sumy jeżeli
sumowanie przebiega po parze sasiaduj
acych
ze soba, indeksów
,
,
kowariantnego i kontrawariantnego.
Na przyklad wynik dzialania formy liniowej f na wektor v
f (v ) =
n
X
fi v i
i=1
zapiszemy jako
f (v ) = fi v i
67
Notacja macierzowa
Weźmy baze, (ei ) w n-wymiarowej przestrzeni liniowej V nad cialem
K . Z postaci wyrażenia opisujacego
dzialanie formy liniowej
,
f : V 7→ K na wektor v
f (v ) =
n
X
fi v i
i=1
i faktu, że v jest macierza, kolumnowa, widać, że reprezentacja formy
liniowej f musi być macierza, wierszowa,
f = (f1 , f2 , . . . , fn )
Wtedy
f (v ) = fv
68
Grupa form liniowych
Weźmy przestrzeń liniowa, V nad cialem K . Zdefiniujmy dodawanie
form liniowych przez
(f + g )(v ) := f (v ) + g (v )
gdzie v ∈ V a f , g sa, formami liniowymi V 7→ K .
Od razu widać, że
tak zdefiniowane dodawanie jest dzialaniem wewnetrznym,
,
lacznym
i przemiennym
,
elementem neutralnym jest f ≡ 0
dla każdej formy liniowej f istnieje element odwrotny f −1 = −f
Wniosek
Zbiór wszystkich form liniowych f : V 7→ K , oznaczany przez V ∗ ,
z dodawaniem zdefiniowanym powyżej stanowi grupe, przemienna.,
69
Przestrzeń dualna
Weźmy przestrzeń liniowa, V nad cialem K . Wprowadźmy naturalne
mnożenie formy liniowej f : V 7→ K przez skalar α ∈ K
(αf )(v ) := αf (v )
dla każdego v ∈ V . Od razu widać, że V ∗ stanowi przestrzeń liniowa,
nad cialem K .
Definicja
Przestrzeń V ∗ nad cialem K nazywamy przestrzenia, dualna,
(sprzeżon
a)
do przestrzeni V .
,
,
Definicja
j
Niech (ei ) bedzie
baza, przestrzeni V . Ciag
,
, form liniowych (f )
takich, że
f j (ei ) = δij
nazywamy baza, dualna.
,
70
Wyklad 6
Operatory liniowe
71
Operator liniowy
Definicja
Weźmy przestrzeń liniowa, V nad cialem K . Operatorem liniowym
nazywamy odwzorowanie L : V 7→ V liniowe, czyli takie, że
1
∀α ∈ K : ∀v ∈ V : L(αv ) = αL(v ) (jednorodność)
2
∀u, v ∈ V : L(u + v ) = L(u) + L(v ) (addytywność)
Notacja
Zapisujac
, dzialanie operatora liniowego na wektor zwykle pomija sie,
nawiasy
Lv := L(v )
72
Reprezentacja operatora liniowego
Weźmy n-wymiarowa, przestrzeń wektorowa, V i baze, (ei ) w tej
przestrzeni. Rozpatrujac
, i-ta, skladowa, wyniku dzialania operatora
L : V 7→ V na dowolny wektor v ∈ V
 
i

i
n
n
n
X
X
X
(Lv )i = L  v j ej  =  v j Lej  =
v j (Lej )i
| {z }
j=1
j=1
j=1
Lij
stwierdzamy, że reprezentacja, operatora liniowego L jest
macierz otrzymana przez dzialanie L na wektory bazy.
73
Wlasności transformacyjne operatorów liniowych
Weźmy bazy (ei ) i (ei0 ) n-wymiarowej przestrzeni V nad cialem K .
Rozważmy dzialanie operatora liniowego L : V 3 v 7→ u = Lv ∈ V .
W notacji macierzowej
u = Lv w bazie (ei )
u0 = L0 v0 w bazie (ei0 )
Niech A bedzie
macierza, zmiany bazy: ei0 =
,
j
j=1 Ai ej .
Pn
Wtedy
−1
0
u0 = A−1 u = A−1 Lv = A
| {zLA} v
L0
74
Grupa liniowa
Weźmy przestrzeń liniowa, V nad cialem K . Rozpatrzmy zbiór
GL(V ) wszystkich odwracalnych operatorów liniowych
odwzorowujacych
V na V . Latwo stwierdzić, że
,
1
2
3
skladanie operatorów jest dzialaniem wewnetrznym
w GL(V )
,
skladanie operatorów jest laczne
,
istnieje element neutralny (operator identycznościowy)
Oznacza to, że operatory liniowe odwracalne stanowia, grupe, ze
wzgledu
na skladanie odwzorowań. Grupe, ta, oznaczamy przez
,
GL(V ).
Wniosek
W przestrzeni n-wymiarowej grupa GL(V ) jest izomorficzna z grupa,
odwracalnych macierzy kwadratowych stopnia n.
75
Operatory kwantowomechaniczne
Wszystkie operatory kwantowomechaniczne sa, operatorami
liniowymi. W szczególności dotyczy to operatorów:
energii (hamiltonianu)
pedu
,
momentu pedu
,
polożenia
kreacji/anihilacji
drabinkowych
76
Wyklad 7
Zagadnienie wlasne
77
Zagadnienie wlasne
Definicja
Weźmy operator liniowy L określony na przestrzeni wektorowej V
nad cialem K . Mówimy, że λ ∈ K jest wartościa, wlasna, operatora
L jeżeli istnieje wektor v ∈ V \ {0} taki, że
Lv = λv
Wektorem wlasnym operatora L do wartości wlasnej λ ∈ K
nazywamy każdy wektor v ∈ V spelniajacy
Lv = λv , które to
,
równanie nazywamy zagadnieniem wlasnym operatora L.
Definicja
Zbiór wartości wlasnych operatora nazywamy jego widmem
(spektrum).
78
Wielomian charakterystyczny
Rozpatrzmy zagadnienie wlasne operatora L określonego na
n-wymiarowej przestrzeni V nad cialem K . Po ustaleniu bazy
przyjmuje ono postać macierzowa,
Lv = λv
Przeksztalcajac
,
Lv − λv = 0
(L − λI)v = 0
otrzymujemy jednorodny uklad n równań liniowych na n
niewiadomych v i . Uklad ten ma niezerowe rozwiazanie
wtedy, gdy
,
det(L − λI) = 0
Równanie to nazywamy równaniem charakterystycznym, a jego
lewa, strone, wielomianem charakterystycznym operatora L.
79
Niezmienniczość wielomianu charakterystycznego
Niech A bedzie
macierza, zmiany bazy z (ei ) do (ei0 ) w skończenie
,
wymiarowej przestrzeni wektorowej V . Rozpatrzmy wielomian
charakterystyczny operatora L : V 7→ V , którego reprezentacje,
macierzowa, w bazie (ei ) oznaczymy przez L, a w bazie (ei0 ) przez L0 .
Wtedy
det(L0 − λI) = det(A−1 LA − λI) =
= det(A−1 (L − λI)A) = det(A−1 ) det(L − λI) det(A) =
= det(L − λI)
czyli wielomian charakterystyczny jest niezmienniczy
(inwariantny) ze wzgledu
na zmiane, bazy.
,
80
Liniowa niezależność wektorów wlasnych I
Twierdzenie
Weźmy przestrzeń wektorowa, V nad cialem K . Jeżeli
v1 , v2 , . . . , vk ∈ V sa, wektorami wlasnymi operatora liniowego
L : V 7→ V do różnych wartości wlasnych λi 6= λj dla i 6= j,
i, j = 1, 2, . . . k, to v1 , v2 , . . . , vk sa, liniowo niezależne.
81
Liniowa niezależność wektorów wlasnych II
Dowód.
Niech v1 , v2 , . . . , vk−1 liniowo niezależne. Rozpatrzmy
α1 v1 + . . . + αk vk = 0
które, po przeksztalceniach, prowadzi do
L(α1 v1 + . . . + αk vk ) − λk (α1 v1 + . . . + αk vk ) =
α1 (λ1 − λk )v1 + . . . + αk (λk−1 − λk )vk−1 = 0
Ponieważ wspólczynniki λi − λk−1 w powyższym wyrażeniu sa,
niezerowe, równanie jest spelnione tylko gdy α1 = . . . = αk−1 = 0,
z czego wynika, że αk = 0.
82
Podprzestrzeń wlasna
Twierdzenie
Weźmy przestrzeń wektorowa, V nad cialem K . Jeżeli
v1 , v2 , . . . , vk ∈ V sa, wektorami wlasnymi operatora liniowego
L : V 7→ V do wartości wlasnej λ to każda ich kombinacja liniowa
v = α1 v1 + α2 v2 + . . . + αk vk jest wektorem wlasnym.
Dowód.
Lv = L(α1 v1 + α2 v2 + . . . + αk vk ) =
= α1 Lv1 + α2 Lv2 + . . . + αk Lvk =
= α1 λv1 + α2 λv2 + . . . + αk λvk = λv
Definicja
Podprzestrzeń rozpieta
przez wektory wlasne do tej samej wartości
,
wlasnej nazywamy podprzestrzenia, wlasna, do tej wartości wlasnej.
83
Diagonalizacja I
Definicja
Niech V bedzie
przestrzenia, o skończonym wymiarze n nad cialem
,
K . O operatorze liniowym L w tej przestrzeni mówimy, że jest
diagonalizowalny, jeżeli istnieje baza, w której reprezentacja
operatora L jest macierza, diagonalna.,
Twierdzenie
Niech L bedzie
operatorem liniowym w przestrzeni V o skończonym
,
wymiarze n nad cialem K . Wtedy
1
2
3
widmo operatora L jest zbiorem co najwyżej n-elementowym
zlożonym z pierwiastków wielomianu charakterystycznego
wymiar podprzestrzeni wlasnej do wartości wlasnej λ jest
mniejszy badź
równy krotności λ jako pierwiastka wielomianu
,
charakterystycznego
jeżeli wielomian charakterystyczny ma n różnych pierwiastków,
to operator L jest diagonalizowalny
84
Diagonalizacja II
Twierdzenie
Operator liniowy w przestrzeni skończenie wymiarowej jest
diagonalizowalny wtedy i tylko wtedy, gdy wymiary wszystkich jego
podprzestrzeni wlasnych sa, równe krotnościom odpowiednich
pierwiastków wielomianu charakterystycznego.
85
Przyklad
Równanie Schrödingera
Hψ = E ψ
jest zagadnieniem wlasnym hamiltonianu ukladu
kwantowomechanicznego. Wtedy
wektory wlasne reprezentuja, stany ukladu
wartości wlasne sa, energiami tych stanów
86
Wyklad 8
Przestrzeń unitarna
87
Forma póltoraliniowa
Weźmy przestrzeń V nad cialem K . Forma, póltoraliniowa,
nazywamy odwzorowanie f : V × V 7→ K antyliniowe w pierwszym
i liniowe w drugim argumencie, czyli takie, że
1
∀α, β ∈ K : ∀u, v ∈ V : f (αu, βv ) = αβf (u, v )
2
∀u, v , w ∈ V : f (u + v , w ) = f (u, w ) + f (v , w )
3
∀u, v , w ∈ V : f (u, v + w ) = f (u, v ) + f (u, w )
88
Reprezentacja form póltoraliniowych
Definicja
Weźmy forme, póltoraliniowa, f : V × V 7→ K . Niech (ei ) bedzie
baza,
,
przestrzeni V . Dla dowolnych wektorów u, v ∈ V


n
n
n X
n
X
X
X
i
j


f (u, v ) = f
u ei ,
v ej =
u i v j f (ei , ej )
| {z }
i=1
j=1
i=1 j=1
fij
Macierz fij := f (ei , ej ) nazywamy reprezentacja, formy
póltoraliniowej f w bazie (ei ).
89
Wlasności transformacyjne form póltoraliniowych
Weźmy dwie bazy (ei ) i (ei0 ) n-wymiarowej przestrzeni V nad cialem
P
K . Niech A bedzie
macierza, zmiany bazy: ei0 = nj=1 Aji ej .
,
Dla dowolnej formy póltoraliniowej f : V × V 7→ K
fij0
=
f (ei0 , ej0 )
=f
n
X
Aki ek ,
k=1
=
n
X
l=1
n X
n
X
k=1 l=1
!
Alj el
k
=
Ai Alj f (ek , el ) =
n X
n
X
k
Ai Ali fkl
k=1 l=1
90
Notacja macierzowa
Weźmy baze, (ei ) w n-wymiarowej przestrzeni liniowej V nad cialem
K . Z postaci wyrażenia opisujacego
dzialanie formy póltoraliniowej
,
f : V × V 7→ K na pare, wektorów u, v
f (u, v ) =
n X
n
X
u i fij v j
i=1 j=1
i faktu, że u, v sa, macierzami kolumnowymi widać, że powyższe
równanie przyjmuje w notacji macierzowej postać
f (u, v ) = u+ fv
91
Forma póltoraliniowa hermitowska
Definicja
Weźmy przestrzeń liniowa, V nad cialem K . Niech f : V × V 7→ K
bedzie
forma, póltoraliniowa., Jeżeli
,
∀u, v ∈ V : f (u, v ) = f (v , u)
to forme, f nazywamy hermitowska.
,
Wniosek
Reprezentacja macierzowa formy póltoraliniowej hermitowskiej jest
macierza, hermitowska.,
92
Forma kwadratowa
Definicja
Niech V bedzie
przestrzenia, liniowa, nad cialem K . Każdej formie
,
póltoraliniowej hermitowskiej f : V × V 7→ K odpowiada forma
kwadratowa ϕ : V 7→ R zdefiniowana przez
ϕ(v ) := f (v , v )
dla dowolnego wektora v ∈ V .
93
Określoność formy kwadratowej
Definicja
Niech V bedzie
przestrzenia, liniowa., Forma kwadratowa ϕ : V 7→ R
,
jest
dodatnio określona jeżeli ∀v ∈ V \ {0} : ϕ(v ) > 0
nieujemnie określona jeżeli ∀v ∈ V : ϕ(v ) ­ 0
ujemnie określona jeżeli ∀v ∈ V \ {0} : ϕ(v ) < 0
niedodatnio określona jeżeli ∀v ∈ V : ϕ(v ) ¬ 0
Określoność formy kwadratowej determinuje zarazem określoność
odpowiadajacej
jej formy póltoraliniowej.
,
94
Baza kanoniczna formy póltoraliniowej
Twierdzenie (Lagrange’a)
Niech V bedzie
n-wymiarowa, przestrzenia, liniowa, nad cialem K . Dla
,
każdej dodatnio określonej formy póltoraliniowej (hermitowskiej)
f : V × V 7→ K istnieje baza, w której
∀u, v ∈ V : f (u, v ) =
n
X
ui v i
i=1
Baze, ta, nazywamy baza, kanoniczna, formy f .
95
Wlasności macierzy formy dodatnio określonej
Twierdzenie
Niech V bedzie
skończenie wymiarowa, przestrzenia, liniowa, nad
,
cialem K . Jeżeli f jest reprezentacja, dodatnio określonej
hermitowskiej formy póltoraliniowej f : V × V 7→ K , to det(f) > 0.
Dowód.
Oznaczmy baze, reprezentacji f przez (ei ). Na mocy twierdzenia
Lagrange’a istnieje baza (ei0 ) w której reprezentacja f 0 jest macierza,
jednostkowa., Oznaczajac
, przez A macierz zmiany bazy otrzymujemy
det(f) = det(A+ f 0 A) = det(A+ ) det(f 0 ) det(A) = | det(A)|2 > 0
96
Przestrzeń unitarna
Definicje
Niech V bedzie
przestrzenia, liniowa, nad cialem K . Wybierzmy
,
pewna, dodatnio określona, forme, póltoraliniowa, (hermitowska)
,
g : V × V 7→ K .
Strukture, algebraiczna, (V , K , g ) nazywamy przestrzenia,
unitarna
Reprezentacje, macierzowa, formy g nazywamy tensorem
metrycznym
Skalar hu, v i := g (u, v ) nazywamy iloczynem skalarnym
wektorów u, v ∈ V . Jeżeli dla pewnych u, v ∈ V \ {0} zachodzi
hu, v i = 0 to mówimy, że u, v sa, ortogonalne
Skalar kuk :=
wektora u
p
g (u, u) nazywamy dlugościa, (norma)
,
Wektor u taki, że kuk = 1 nazywamy wektorem unormowanym
97
Przyklad przestrzeni unitarnej
Rozpatrzmy przestrzeń nad cialem liczb zespolonych rozpinana, przez
orbitale atomowe.
Ustalmy jako iloczyn skalarny
Z
g (ϕ, ψ) =
ϕ(r)∗ ψ(r)d3 r
R3
Tensorem metrycznym w bazie orbitali atomowych jest macierz
calek nakladania S.
Warunek ortogonalności orbitali molekularnych dany jest przez
C+ SC = 1
gdzie C jest macierza, wspólczynników orbitali molekularnych
98
Zwiazek
wektora z forma, liniowa,
,
Niech V bedzie
n-wymiarowa, przestrzenia, unitarna, nad cialem K .
,
Istnienie tensora metrycznego g pozwala nam na utożsamienie
wektora v i pewnej formy liniowej f poprzez zwiazek
,
fi =
n
X
gij v j
j=1
99
Ortogonalizacja
Niech V bedzie
przestrzenia, unitarna, nad cialem K . Weźmy uklad
,
liniowo niezależnych wektorów w tej przestrzeni (u1 , . . . , un ).
Możliwe jest skonstruowanie ciagu
wektorów (v1 , . . . , vn ) takich, że
,
Pn
1
vi =
k=1 Cik uk
2
hvi , vj i = 0, dla i 6= j
dla i, j = 1, . . . , n. Procedure, taka, nazywamy ortogonalizacja,
ukladu wektorów.
100
Ortogonalizacja Grama-Schmidta
Najprostsza, procedura, ortogonalizacji jest ortogonalizacja
Grama-Schmidta:
1
v1 = u1
2
v2 = u2 −
3
v3 = u3 −
4
...
hu2 ,v1 i
kv1 k v1
hu3 ,v2 i
kv2 k v2
−
hu3 ,v1 i
kv1 k v1
101
Ortogonalizacja Löwdina
Definicja
Pierwiastkiem macierzy hermitowskiej dodatnio określonej S
1
1
1
1
nazywamy taka, macierz S 2 , że S 2 S 2 = S. Macierz odwrotna, do S 2
1
oznaczamy przez S− 2 .
Zdefiniujmy macierz S przez Sij = hui , uj i. Wtedy wektory
vi =
n X
j=1
1
S− 2
ij
uj
stanowia, uklad ortogonalny. Procedura ta nosi nazwe,
ortogonalizacji Löwdina (symetrycznej).
102
Operator hermitowski
Twierdzenie
Niech V bedzie
przestrzenia, unitarna, nad cialem K . Dla każdego
,
operatora L w tej przestrzeni istnieje dokladnie jeden operator L+
taki, że
∀u, v ∈ V : hu, Lv i = hL+ u, v i
Operator L+ nazywamy operatorem sprzeżonym
do operatora L.
,
Definicja
Operator L nazywamy hermitowskim (samosprzeżonym)
jeżeli
,
+
L=L .
103
Wlasności operatorów hermitowskich
Wniosek
Reprezentacja operatora samosprzeżonego
jest macierza,
,
hermitowska.,
Twierdzenie
Operator hermitowski jest diagonalizowalny.
Wniosek
Wartości wlasne operatora hermitowskiego sa, rzeczywiste.
104
Wyklad 9
Reprezentacja grupy
105
Pojecie
reprezentacji
,
Definicja
Reprezentacja, grupy G nazywamy dowolny homomorfizm
ρ : G → GL(V )
gdzie V jest n-wymiarowa, przestrzenia, wektorowa,, a GL(V ) grupa,
odwracalnych przeksztalceń liniowych T : V → V
Wprowadzenie bazy przestrzeni V pozwala na utożsamienie
reprezentacji z homomorfizmem w grupe, odwracalnych macierzy
stopnia n.
106
Zaweżenie
zainteresowań
,
Na potrzeby tego wykladu ograniczymy sie, do:
skończonych grup operatorów symetrii
reprezentacji unitarnych
107
Konstrukcja postaci macierzowej reprezentacji
W przestrzeni wektorowej V wprowadźmy pewna, baze, (ei )
Zdefiniujmy dzialanie grupy G dla operatorów z grupy G
takie, że:
wynikiem dzialania dowolnego operatora na dowolny wektor bazy
jest pewien wektor z przestrzeni V
Rei =
N
X
ej Dji (R)
j=1
struktura grupy jest zachowana
SR = U ⇒ D(S)D(R) = D(U)
Macierz D(R) bedziemy
traktować jako reprezentanta macierzowego
,
operatora R w danej bazie, uklad takich macierzy wyznaczonych dla
wszystkich operatorów grupy G bedziemy
nazywać reprezentacja,
,
macierzowa, grupy G .
108
Reprezentacje macierzowe - przyklad
grupa: C4
baza: kanoniczna przestrzeni kartezjańskiej
dzialanie grupowe: przeksztalcenia geometryczne





0 −1 0


C4 →  1 0 0 
0 0 1
1 0 0


E → 0 1 0 
0 0 1

−1 0 0


C42 →  0 −1 0 
0
0 1


0 1 0


C43 →  −1 0 0 
0 0 1
109
Reprezentacje równoważne
Zmiana bazy przestrzeni V prowadzi do zmiany postaci macierzowej
reprezentacji. Odpowiednie reprezentacje macierzowe bedziemy
,
nazywać reprezentacjami równoważnymi. Zwiazek
miedzy
,
,
macierzami reprezentacji równoważnych jest zadany przez macierz
zmiany bazy.
Twierdzenie
Jeśli dwie bazy przestrzeni wektorowej sa, zwiazane
nastepuj
ac
,
,
, a,
zależnościa,
(e10 , e20 , . . . eN0 ) = (e1 , e2 , . . . eN )A
to odpowiednie reprezentanty macierzowe D0 (R) i D(R) spelniaja,
zwiazek
,
D0 (R) = A−1 D(R)A
110
Przywiedlność reprezentacji
Definicja
Niech G bedzie
dzialaniem grupy G określonym na przestrzeni V .
,
Niech W bedzie
zbiorem wszystkich podprzestrzeni przestrzeni V
,
zamknietych
ze
wzgl
edu
na G. Jeśli W zawiera tylko dwa elementy:
,
,
podprzestrzeń zerowa, i cala, przestrzeń V , to reprezentacje, zadana,
przez G nazywamy reprezentacja, nieprzywiedlna.
W każdym
,
innym przypadku, reprezentacja ta jest reprezentacja, przywiedlna.
,
Twierdzenie
Każda, reprezentacje, grupy skończonej można rozlożyć na sume,
prosta, reprezentacji nieprzywiedlnych.
111
Przywiedlność w obrazie macierzowym
Rozklad reprezentacji na reprezentacje nieprzywiedlne można
utożsamić z podzialem przestrzeni V na sume, prosta, podprzestrzeni.
Wprowadzenie bazy umożliwia przelożenie tej operacji na jezyk
,
macierzy:
jednowymiarowa reprezentacja macierzowa jest nieprzywiedlna
każda grupa posiada trywialna, reprezentacje, nieprzywiedlna,
zlożona, z macierzy jednostkowych stopnia 1
reprezentacja macierzowa o wymiarze wiekszym
od 1 jest
,
przywiedlna, jeżeli istnieje reprezentacja równoważna, w której
wszystkie reprezentanty macierzowe sa, blokowo-diagonalne
i maja, identyczna, strukture, blokowa,
macierze utworzone z odpowiednich diagonalnych bloków
reprezentantów macierzowych tworza, reprezentacje
112
Rozklad reprezentacji I
grupa C4
baza kanoniczna przestrzeni kartezjańskiej
Reprezentacja Γ





0 −1 0


C4 →  1 0 0 
0 0 1
1 0 0


E → 0 1 0 
0 0 1

−1 0 0


C42 →  0 −1 0 
0
0 1


0 1 0


C43 →  −1 0 0 
0 0 1
113
Rozklad reprezentacji II
Macierz zmiany bazy
 1
√
 √i 2
 2
√i
2
√1
2
0
0

0

0 
1
Reprezentacja równoważna



−i

C4 →  0
0
1 0 0


E → 0 1 0 
0 0 1


−1 0 0


2
C4 →  0 −1 0 
0
0 1


0 0

i 0 
0 1
i 0

3
C4 →  0 −i
0 0

0

0 
1
114
Rozklad reprezentacji III
Γ = Γ1 ⊕ Γ2 ⊕ Γ3
Γ1
Γ2
Γ3
E
C4
C42
C43
(1)
(1)
(1)
(-i)
(i)
(1)
(-1)
(-1)
(1)
(i)
(-i)
(1)
115
Wyklad 10
Twierdzenia o ortogonalności
116
I lemat Schura
Twierdzenie
Jeśli D(µ) (R) i D(ν) (R) sa, macierzami różnych reprezentacji
nieprzywiedlnych oraz dla pewnej macierzy A zwiazek
,
AD(µ) (R) = D(ν) (R)A
jest spelniony dla każdego operatora R w grupie, to A = 0
117
II lemat Schura
Twierdzenie
Jeśli D(µ) (R) jest macierza, reprezentacji nieprzywiedlnej oraz dla
pewnej macierzy A zwiazek
,
AD(µ) (R) = D(µ) (R)A
jest spelniony dla każdego operatora R w grupie, to A = λ1, gdzie λ
jest liczba, rzeczywista,
118
Wielkie twierdzenie o ortogonalności
Twierdzenie
Jeśli Γµ i Γν sa, reprezentacjami nieprzywiedlnymi grupy G
skończonego rzedu
g o wymiarach odpowiednio nµ i nν , to
,
reprezentanty macierzowe spelniaja, zwiazek
,
X
R∈G
(µ)
(ν)
Dil (R)∗ Djm (R) =
g
δil δjm δµν
nµ
119
Charaktery
Definicja
Charakterem operatora R w µ-tej reprezentacji nazywamy ślad
reprezentanta macierzowego operatora R w tej reprezentacji
χ
(µ)
(R) =
nµ
X
(µ)
Dii (R)
i=1
120
Male twierdzenie o ortogonalności I
Twierdzenie
Jeśli Γµ i Γν sa, reprezentacjami nieprzywiedlnymi grupy G
skończonego rzedu
g , to
,
X
χ(µ) (R)∗ χ(ν) (R) = g δµν
R∈G
121
Male twierdzenie o ortogonalności II
Dowód.
Na mocy wielkiego twierdzenia o ortogonalności
X
(µ)
(ν)
Dii (R)∗ Djj (R) =
R∈G
X
nµ
X
R∈G
i=1
(µ)
Dii (R)∗
g 2
δ δµν
nµ ij

! n
nµ nν
ν
X
g XX
(ν)


Djj (R) =
δij2 δµν .
nµ
j=1
i=1 j=1
Stad
, i z definicji charakteru


nµ nµ
1 X X 2
δ δµν = g
χ(µ) (R)∗ χ(ν) (R) = g 
nµ i=1 j=1 ij
R∈G
X
122
Pożyteczne wlasności
Twierdzenie
Suma kwadratów wymiarów reprezentacji nieprzywiedlnych grupy
jest równa rzedowi
tej grupy
,
Twierdzenie
Suma kwadratów charakterów dowolnej reprezentacji nieprzywiedlnej
jest równa rzedowi
grupy
,
Twierdzenie
Charaktery dowolnej reprezentacji sa, równe dla elementów grupy
należacych
do tej samej klasy elementów sprzeżonych
,
,
Twierdzenie
Liczba reprezentacji nieprzywiedlnych danej grupy równa jest liczbie
klas elementów sprzeżonych
,
123
Charaktery reprezentacji nieprzywiedlnych I
Grupa D3
E , 2C3 , 3C2 ; rzad
, grupy g = 6, liczba klas: 3
liczba reprezentacji nieprzywiedlnych jest równa liczbie klas:
m=3
suma kwadratów wymiarów reprezentacji nieprzywiedlnych jest
równa rzedowi
grupy: rozwiazanie
równania n12 + n22 + n32 = 6
,
,
daje informacje,
, że mamy do czynienia z dwiema
reprezentacjami jednowymiarowymi i jedna, reprezentacja,
dwuwymiarowa,
Każda grupa posiada reprezentacje, nieprzywiedlna,, dla której
wszystkie charaktery sa, równe jedności (dlaczego?)
χΓ1 (E ) = 1, χΓ1 (C3 ) = 1, χΓ1 (C2 ) = 1
124
Charaktery reprezentacji nieprzywiedlnych II
Modul charakteru reprezentacji jednowymiarowej musi być
równy 1 (dlaczego?)
Ponadto, charakter odpowiadajacy
elementowi neutralnemu
,
grupy musi być równy wymiarowi reprezentacji (dlaczego?)
Z powyższych i z malego twierdzenia o ortogonalności możemy
wywnioskować, że:
zestaw charakterów dla drugiej z reprezentacji
jednowymiarowych ma postać
χΓ2 (E ) = 1, χΓ2 (C3 ) = 1, χΓ2 (C2 ) = −1
zestaw charakterów dla reprezentacji dwuwymiarowej to
χΓ3 (E ) = 2, χΓ3 (C3 ) = −1, χΓ3 (C2 ) = 0
125
Tabele charakterów
D3
E
2C3
3C2
A1
A2
E
1
1
2
1
1
-1
1
-1
0
x 2 + y 2, z 2
z, Rz
(x, y ), (Rx , Ry )
(x 2 − y 2 , xy ), (xz, yz)
W kolejnych kolumnach
symbol reprezentacji
charaktery dla poszczególnych klas operacji symetrii
wlasności transformacyjne skladowych wektorów
i pseudowektorów w przestrzeni kartezjańskiej
wlasności transformacyjne iloczynów skladowych wektorów
w przestrzeni kartezjańskiej
126
Symbolika Mullikena I
reprezentacje jednowymiarowe oznacza sie, symbolem A lub B,
dwuwymiarowe - symbolem E, trójwymiarowe - symbolem T
reprezentacje jednowymiarowe, dla których charakter
odpowiadajacy
obrotowi wzgledem
osi glównej Cn wynosi 1
,
,
(zwane reprezentacjami symetrycznymi wzgledem
tego obrotu)
,
oznacza sie, symbolem A, reprezentacje dla których χ(Cn ) = −1
(reprezentacje antysymetryczne) - symbolem B
indeksy dolne 1 i 2 dopisane do symbolu A lub B oznaczaja,
odpowiednio symetrie, i antysymetrie, reprezentacji wzgledem
,
obrotu wokól osi C2 prostopadlej do osi glównej lub, jeśli taka
oś nie istnieje, symetrie, (antysymetrie)
σv
, dla odbicia wzgledem
,
127
Symbolika Mullikena II
znaki ’ i ” dodaje sie, dla zaznaczenia odpowiednio symetrii
i antysymetrii wzgledem
odbicia w plaszczyźnie σh
,
indeksy dolne g i u stosuje sie, dla zaznaczenia odpowiednio
symetrii i antysymetrii wzgledem
operacji inwersji
,
na nasze potrzeby możemy przyjać,
, że stosowanie indeksów
liczbowych dla reprezentacji wielowymiarowych jest dowolne
i sluży jedynie ich odróżnieniu od siebie w razie konieczności
128
Wlasności transformacyjne x, y , z I
grupa D3
baza kanoniczna przestrzeni kartezjańskiej
wybieramy do rozważań obrót wzgledem
osi C2 pokrywajacej
sie,
,
,
z osia, OY
E

1 0 0


 0 1 0 
0 0 1




cos 2π
3
sin 2π
3
0
C3
− sin 2π
3
cos 2π
3
0

0

0 
1
C2

−1 0 0


 0 1 0 
0 0 −1

129
Wlasności transformacyjne x, y , z II
blokowa struktura macierzy reprezentacji pozwala na rozklad
E
Γx,y
Γz
1 0
0 1
1
!
cos 2π
3
sin 2π
3
C3
!
− sin 2π
3
cos 2π
3
1
C2 !
−1 0
0 1
−1
charaktery reprezentacji Γx,y odpowiadaja, reprezentacji
nieprzywiedlnej E → para wersorów w kierunkach x, y stanowi
baze, reprezentacji E → wspólrzedne
x, y transformuja, sie,
,
zgodnie z reprezentacja, E
wspólrzedna
z transformuje sie, zgodnie z reprezentacja, A2
,
130
Wyklad 11
Operatory rzutowe
131
Twierdzenie o rozkladzie I
Twierdzenie
Jeżeli reprezentacje, Γ przedstawimy w postaci sumy prostej
reprezentacji nieprzywiedlnych, to reprezentacja Γν pojawi sie, w
takim rozkladzie reprezentacji aν razy, gdzie aν jest zadane
nastepuj
aco
,
,
1 X (ν)
χ (R)∗ χ(R)
aν =
g R∈G
132
Twierdzenie o rozkladzie II
Dowód.
Jeżeli reprezentacje, Γ przedtawimy jako sume, prosta, reprezentacji
nieprzywiedlnych a przez aµ oznaczymy liczbe, wystapień
,
reprezentacji Γµ , to spelniona jest nastepuj
aca
zależność:
,
,
χ(R) =
X
aµ χ(µ) (R).
µ
(ν)
∗
Mnożac
, obustronnie przez χ (R) i sumujac
, po wszystkich
elementach grupy otrzymujemy
X
R∈G
χ(ν) (R)∗ χ(R) =
X
µ
aµ
X
χ(ν) (R)∗ χ(µ) (R) =
R∈G
=
X
aµ g δµν = aν g
µ
133
Operatory rzutowe I
Niech
ψ=
nµ
XX
(µ)
ψi
µ i=1
(µ)
gdzie ψ jest dowolna, funkcja, (wektorem) z przestrzeni V , a ψi
funkcja, (wektorem) transformujacym
sie, zgodnie z i-tym wierszem
,
(µ)
reprezentacji nieprzywiedlnej Γµ . Jak wyznaczyć poszczególne ψi ?
Twierdzenie
(µ)
ψi
gdzie
(µ)
Pi
=
(µ)
= Pi
ψ
nµ X (µ)
D (R)∗ R
g R ii
134
Operatory rzutowe II
Rozważmy sume, nµ funkcji transformujacych
sie, zgodnie z kolejnymi
,
wierszami reprezentacji Γµ
ψ
(µ)
=
nµ
X
(µ)
ψi
i=1
Twierdzenie
ψ (µ) = P (µ) ψ
gdzie
P (µ) =
nµ X (µ)
χ (R)∗ R
g R
135
Operatory rzutowe III
poslugiwanie sie, operatorami P (µ) jest wygodniejsze niż
(µ)
operatorami Pi
w przypadku reprezentacji jednowymiarowych oba zestawy
operatorów sa, identyczne
dla nµ > 1 operatory P (µ) ”gubia”
informacji
, cześć
,
136
Wlasności operatorów rzutowych
Operatory P sa, idempotentne i ortogonalne
(µ)
Pi
(ν)
Pj
(µ)
= Pi
δij δµν
Suma wszystkich operatorów P jest operatorem
identycznościowym
ψ=
nµ
XX
(µ)
Pi
ψ
µ i=1
137
Struktura π-elektronowa etylenu I
grupa: D2h
baza: walencyjne orbitale pz atomów wegla
,
konwencja: oś x skierowana wzdluż wiazania
podwójnego
,
Reprezentacja Γ
E→
C2x
→
1 0
0 1
!
−1 0
0 −1
σ
xz
C2z
→
!
i→
→
1 0
0 1
0 1
1 0
!
C2y
0 −1
−1 0
σ
→
!
!
yz
0 −1
−1 0
→
σ
xy
→
0 1
1 0
!
−1 0
0 −1
!
!
138
Struktura π-elektronowa etylenu II
Rozklad reprezentacji Γ na reprezentacje nieprzywiedlne
E
C2z
C2y
C2x
i
σ xy
σ xz
σ yz
Ag
B1g
B2g
B3g
Au
B1u
B2u
B3u
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
-1
1
-1
-1
1
-1
1
1
-1
-1
1
-1
1
1
-1
Γ
2
0
0
-2
0
-2
2
0
Γ = B2g ⊕ B1u
139
Struktura π-elektronowa etylenu III
Operatory rzutowe
P B2g =
1
E − C2z + C2y − C2x + i − σ xy + σ xz − σ yz
8
P B1u =
1
E + C2z − C2y − C2x − i − σ xy + σ xz + σ yz
8
140
Struktura π-elektronowa etylenu IV
Rezultat dzialania operatorów rzutowych
P B2g pz1 =
1
(pz1 − pz2 )
2
1
(pz2 − pz1 )
2
1
P B1u pz1 = (pz1 + pz2 )
2
1
P B1u pz2 = (pz1 + pz2 )
2
P B2g pz2 =
141
Struktura π-elektronowa etylenu V
Baza orbitali symetrii
1
φ1 = √ (pz1 − pz2 )
2
1
φ2 = √ (pz1 + pz2 )
2
Reprezentacja w bazie orbitali symetrii
E→
C2x →
1 0
0 1
!
−1 0
0 −1
σ
xz
!
→
−1 0
0 1
!
i→
1 0
0 −1
C2z
→
!
1 0
0 1
C2y
!
σ
yz
→
1 0
0 −1
→
−1 0
0 −1
σ xy →
−1 0
0 1
!
!
!
142
Wyklad 12
Iloczyn prosty reprezentacji.
Reguly wyboru.
143
Iloczyn prosty reprezentacji
Definicja
(µ) nµ
Niech zestawy funkcji ψi
i=1
(ν) nν
i ψj
j=1
bed
, a, bazami
odpowiednio reprezentacji Γµ i Γν
(µ)
Rψi
=
nµ
X
(µ) (µ)
ψk Dki (R)
k=1
(ν)
Rψj
=
nν
X
(ν) (ν)
ψl Dlj (R)
l=1
Przez iloczyn prosty reprezentacji Γµ⊗ν = Γµ ⊗ Γν bedziemy
,
(µ) (ν)
rozumieć reprezentacje,
dla
której
baz
a
jest
zbiór
iloczynów
ψi ψj
,
,
144
Reprezentacja macierzowa iloczynu prostego
(µ)
(ν)
Wynik dzialania operatora R na element zbioru ψi ψj
(µ)
(ν)
R(ψi ψj ) =
nµ nν
X
X (µ) (ν) (µ)
ma postać
(ν)
ψk ψl Dki (R)Dlj (R)
k=1 l=1
Stad
,
(µ⊗ν)
(µ)
(ν)
Dkl,ij (R) = Dki (R)Dlj (R)
145
Charaktery reprezentacji iloczynowej
Twierdzenie
χ(µ⊗ν) (R) = χ(µ) (R)χ(ν) (R)
Dowód.
χ(µ⊗ν) (R) =
nµ nν
X
X
(µ⊗ν)
Dij,ij
(R)
i=1 j=1
χ(µ⊗ν) (R) =
nµ nν
X
X
(µ)
(ν)
Dij (R)Dij (R) = χ(µ) (R)χ(ν) (R)
i=1 j=1
146
Rozklad reprezentacji iloczynowej
D3
E
2C3
3C2
A1
A2
E
1
1
2
1
1
-1
1
-1
0
E ⊗ A2
E ⊗E
2
4
-1
1
0
0
Z twierdzenia o rozkladzie:
E ⊗ A2 = E
E ⊗ A2 = A1 ⊕ A2 ⊕ E
147
Wlasności iloczynu prostego
Twierdzenie
Reprezentacja Γσ zawiera sie, w iloczynie Γµ ⊗ Γν tyle razy, ile razy
reprezentacja Γµ zawiera sie, w iloczynie Γν ⊗ Γσ i tyle razy, ile razy
reprezentacja Γν zawiera sie, w iloczynie Γµ ⊗ Γσ
Twierdzenie
Iloczyn prosty reprezentacji nieprzywiedlnych Γµ i Γν zawiera
reprezentacje, pelnosymetryczna, 0 lub 1 razy. Drugi z wymienionych
przypadków zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy µ = ν.
148
Calki I
Twierdzenie
Niech Γµ bedzie
reprezentacja, nieprzywiedlna, grupy G różna, od
,
(µ)
reprezentacji pelnosymetrycznej. Jeśli funkcja ψi o argumentach
x1 , x2 , . . . xN transformuje sie, zgodnie z i-tym wierszem reprezentacji
Γµ to
Z Z
Z
...
(µ)
ψi dx1 dx2 . . . dxN = 0
149
Calki II
Twierdzenie
(µ)
(ν)
Jeśli funkcje ψi i ψj o argumentach x1 , x2 , . . . xN transformuja, sie,
odpowiednio zgodnie z i-tym wierszem reprezentacji Γµ i j-tym
wierszem reprezentacji Γν , to
Z Z
Z
...
(µ) (ν)
ψi φj dx1 dx2 . . . dxN
może być różna od 0 wtedy i tylko wtedy, gdy i = j i µ = ν.
150
Reguly wyboru
Kiedy calka
Z Z
Z
...
ψ1 Ôψ2 dx1 dx2 . . . dxN
może być różna od zera?
Twierdzenie
Jeśli jeden ze stanów, miedzy
którymi zachodzi przejście, należy do
,
reprezentacji Γµ , drugi do reprezentacji Γν , a operator Ô do
reprezentacji Γσ , to przejście indukowane przez operator Ô jest
dozwolone, jeśli
Γσ ∈ Γµ ⊗ Γν
151