metodyka 2 wyklad

TEKST MATEMATYCZNY
Symbolika:
Symbol matematyczny – znak o ustalonym znaczeniu
Problem symboli
Jest bardzo istotny na poziomie szkoły średniej, bo w młodszych klasach raczej nie ma za
wielu symboli i tam dzieci je jeszcze lubią bo pojawiają się sporadycznie; jednak w szkole
średniej symboli jest już naprawdę dużo i nie zawsze są one czytelne dla uczniów. Poza
tym do symboli dołącza się również pewne ustalone zapisy, znaczenie zapisów np. epsilon
z założenia jest mały. Dla uczniów jest dziwne, że nagle pojawia się np. <epsilon/2,
podczas gdy w definicji było <epsilon.
Zanim uczniowie zaczną sami czytać symbole, musimy sprawdzić, czy są do tego
przygotowani., tzn. czy uczniom symbole nie przeszkadzają, np. stosują je w swoich
własnych zapisach, ponieważ jeśli symbole uczniów straszą, to musimy dobierać do
czytania takie teksty, w których symboli tych jest niewiele.
Problem dotyczy też oznaczeń – jedna rzecz może być zapisana w ten sam sposób na
wiele możliwości, różnymi sposobami, np.
lim an
n
lim n
an
an
a
Jeśli podręcznik, którego używamy stosuje te wszystkie symbole, to my na lekcji też
musimy stosować je wszystkie.
Jeśli w podręczniku jest stosowanych kilka równoważnych symboli, to musi to być w tym
podręczniku wyraźnie zaznaczone.
Są pewne niuanse w symbolach, np.
lim an <- tu nie musimy wiedzieć, co jest granicą
n
an
a <- tutaj już musimy wiedzieć, co jest granicą
Poza tym często podobne symbole odnoszą się do różnych zagadnień, co często jest
kłopotliwe nawet dla doświadczonych matematyków, np. alfa może oznaczać kąt
rozumiany jako część płaszczyzny lub tez miarę tego kąta. Zatem mogą powstać
wątpliwości – czy o tym samym mówimy?
Symbolika często jest podstawą zniechęcenia uczniów do pracy, bo zdarza się, że
nauczyciele zbyt dużą wagę przykładają do precyzji wypowiedzi.
Informatycy tez używają niejednoznacznych określeń jak pole, symbol, funkcja, a
przecież funkcja dla informatyka wcale nie musi oznaczać funkcji w matematycznym tego
słowa znaczeniu.
Skondensowanie zapisów matematycznych
Stosuje się na ogół tekst bardzo skondensowany typu ‘łatwo widać’ i musimy koniecznie
nauczyć uczniów, że akurat pod tym kątem nie mogą się na podręczniku wzorować, tylko
musimy uczniów przyzwyczaić, by uzupełniali takie powstałe ‘luki’.
Tekst informatyczny
Najczęstszy zarzut – w książce nigdy nie ma tego, czego potrzebujemy, ponieważ często
opis z książek jest bardzo trudno odnieść do naszych potrzeb, dlatego właśnie w
informatyce uczniowie też musza się zapoznać z terminologią książki, co wcale nie jest
takie łatwe.
1
Rozróżnienie pojęcia trudności i przeszkody
Trudność – gdy mamy z nią do czynienia, to nie musimy zmieniać naszych przekonań,
nabytych sprawności, czasami np. musimy odkryć sposób postępowania, jednak nie
zmieni on naszego punktu widzenia na dane rzeczy. Występują one głównie przy
zadaniach i oczywiście nie należy ich ignorować, jednak wykonalne jest ominięcie ich w
przeciwieństwie do przeszkody
Przeszkoda – zmiana musi zaistnieć, gdy mamy do czynienia z przeszkodą, to proces w
którym zmieniają się nasze wartości i idee, filozofia widzenia danego zagadnienia.
Przeszkód nie wolno omijać, ponieważ ominięcie jednej powoduje pojawienie się szeregu
następnych.
Przeszkody w matematyce
W matematyce dużo rzeczy wywołuje przeszkody, np.:
- kwestie dotyczące systemu wnioskowania
- oznaczenia
- przejście z 2 do 3 wymiarów
- pojawienie się pojęć abstrakcyjnych
Przeszkody w informatyce
- przejście z DOSa do Windowsa
Na ogół przeszkoda jest rozłożona w czasie, rzadko udaje się ją łatwo i szybko przejść.
Są różne rodzaje przeszkód, np. dydaktyczne czy epistemologiczne, czyli takie, w których
stara poprawna wiedza przeszkadza w zdobyciu nowej, to wszelkiego rodzaju zagadnienia
sprzeczne z nasza intuicją.
Różnice między trudnością a przeszkodą
Przeszkody nie można ominąć, jak już było wspomniane.
Gdy mamy do czynienia z trudnością, to da się tutaj pomóc uczniowi tłumacząc mu
wybrane zagadnienie, podczas gdy przy przeszkodzie tłumaczenie także musi mieć
miejsce, jednak uczeń musi do danej kwestii sam dojść, dojrzeć, jak np. przy
oznaczeniach literowych – nasze tłumaczenie nie wystarczy, uczeń sam musi do tego
dojrzeć.
Rozumienie tekstu matematycznego
Przy czytaniu tekstu matematycznego rozumienie oznacza umiejętność operowania tym,
co przeczytaliśmy. Podczas tej czynności występują zarówno trudności jak i przeszkody i
musimy sobie zdawać z tego sprawę.
Trudności podczas czytania tekstu matematycznego i informatycznego
- konieczność czytania tego tekstu niezwykle powoli, odwoływania się do pojawiających
się definicji i twierdzeń, których często nie pamiętamy. Jest to trudność dlatego, gdyz
sukces następuje po dość długim czasie, a nie jest to przeszkoda, ponieważ nie musimy
przecież zmieniać naszych poglądów
- tekst informatyczny również czyta się wolniej niż np. książkę z geografii. Głównym
problemem jest tutaj przełożenie tekstu informatycznego na jego faktyczną użyteczność
- czytamy tylko wybrane, potrzebne nam fragmenty, dlatego też często musimy wracać
do informacji o tym, czego nie przeczytaliśmy, np. do oznaczeń lub do tego, czego nie
pamiętamy
2
Przeszkody podczas czytania tekstu matematycznego i informatycznego
Czytamy tekst zawsze z kartką i ołówkiem oraz uzupełniamy brakujące elementy.
Jest to proces, którego poza matematyką, fizyką i informatyką nie ma! Tylko w tych
przedmiotach musimy sami robić ilustracje, liczyć, wykonywać sprawdzenie. Jest to
przeszkoda, ponieważ takie zachowanie jest sprzeczne z obserwacją uczniów dotyczącą
czytania tekstu na innych przedmiotach typu historia czy biologia. W matematyce uczeń
musi zmienić całą swoją filozofię widzenia tekstu, tutaj w książce nie ma Wszystkich
informacji w przeciwieństwie do np. książki do historii gdzie wiadomo, że opis bitwy jest
kompletny, nie trzeba samemu niczego uzupełniać. W matematyce zaś dominują
schematy, brakuje wyjaśnień idealnych i całkowicie kompletnych od A do Z.
Rysowanie także jest przeszkodą, gdyż w naturalny sposób mamy tendencję do
rysowania kształtów niezwykle regularnych typu gdy mamy coś z trójkątem, to zawsze
narysujemy równoboczny i potem np. uczeń dziwi się, dlaczego autor prowadził az tak
skomplikowane rozumowanie i skoro uczeń powiedzmy nie rozważył trójkąta
rozwartokątnego, to rzeczywiście nie zauważył tej potrzeby. Oczywiście musimy tutaj
uczniom wciąż wyjaśniać, dlaczego warto rysować figury nieregularne, mało typowe,
jednak nadal nie zdobędziemy za nich doświadczenia i wprawy, z przyzwyczajeniem jest
ciężko wygrać.
Dochodzi jeszcze kwestia tego, że uczeń często nie wie, co powinien uzupełnić, a
co nie jest konieczne, np. w książkach jest przecież cała masa twierdzeń, których nie
dowodzimy i trudno oczekiwać, by uczeń robił to na własną rękę, a dla niego nie musi być
jasne dlaczego tego nie dowodzi, a inne rzeczy musi jednak uzupełniać.
Książki do informatyki na poziomie szkolnym czytamy oczywiście z komputerem i
również uzupełniamy luki, które odnajdujemy przede wszystkim poprzez pytania dlaczego
i co by było gdyby, rozważanie sytuacji nietypowych np. wykres sin(1/x). Jednak tutaj
mamy lęk nie tylko uczniów, ale i nauczycieli – przeszkoda dydaktyczna.
Gdy mamy do czynienia z jakąś przeszkodą, to musimy stawiać uczniów przed nią często,
aby mogli odnieść swój indywidualny sukces, pokonać ją, ponieważ w przeciwnym razie
oni od niej uciekną i potem kłopoty będą coraz większe…
Każdy uczeń musi nabrać pewnego ograniczenia jeśli chodzi o uzupełnianie luk, ponieważ
gdy jest czymś szczególnie zainteresowany i polecimy mu np. podręcznik akademicki z
wiedzą na ten temat, to zrozumiałe jest, że uczeń nie poradzi sobie z uzupełnieniem
wszystkich luk występujących w tym podręczniku, co go łatwo zniechęci i zdemotywuje.
Przy czytaniu tekstu matematycznego zawsze trzeba mieć jasność co do symboli,
czasami przecież jakiś symbol jest podobny do innego, jednak nie wolno nam zakładać,
że kojarzy nam się dobrze, trzeba to zawsze sprawdzić.
W czytaniu definicji są szczególnie ważne lokalnie przyjęte założenia, by uczeń
rozumiał np. dlaczego podstawa logarytmu jest większa od zera. Kiedy uczeń to rozumie,
to już nie ma problemu z zapamiętaniem tego założenia, zwracamy uwagę na istotność
danego założenia w kontekście tej właśnie definicji. Tutaj w kwestii założeń musimy
prowadzić analizę do bólu, bardzo dokładną, ale jeśli mamy grupę słabszych uczniów, to
z nimi po prostu czytamy łatwiejsze definicje, gdyż my możemy być świadomi, że
uczniowie czegoś nie będą potrafić, ale nie wolno nam im pokazać, że oni mogą tego nie
potrafić. Przy czytaniu definicji istotne są jeszcze przykłady i kontrprzykłady. Im bardziej
skomplikowane pojęcie ,tym więcej powinno być podanych kontrprzykładów.
Rola pojęcia w danej teorii
Jest to zagadnienie zdecydowanie dla lepszych uczniów, to im wyjaśniamy po co dane
pojęcie zostało wprowadzone, co je poprzedza i co po nim następuje. Na poziomie liceum
analizujemy z uczniami strukturę twierdzenia, wyraźnie zaznaczamy założenie i tezę,
zwracamy uwagę, czy mamy implikację, czy tez może równoważność, zastanawiamy się
w jakich sytuacjach możemy korzystać z tego twierdzenia, do czego ono może służyć. To
3
szczególnie istotne gdy mamy twierdzenie podane w postaci wzoru, np. we wzorze na
pole koła by owe pole obliczyć potrzebujemy sam promień, czyli nie musimy mieć jak
zwykle wcześniej było podanego też środka tego koła! Dla uczniów to wcale nie jest
kwestia oczywista.
Kwestia dowodów
ZAWSZE czytamy dowody wielokrotnie (z dokładnością do zdrowego rozsądku, jeśli jest
on jednolinijkowy i banalny to nie przesadzajmy). Przy pierwszym czytaniu dowodu
powinniśmy się zorientować w konstrukcji, schemacie tego dowodu. Na końcu zaś
próbujemy zrozumieć, dlaczego ten schemat jest najkorzystniejszy. Staramy się
zrozumieć poszczególne segmenty dowodu i zobaczyć, czy np. możemy zmienić kolejność
kroków dowodowych. Z najlepszymi uczniami możemy się zastanowić jak inaczej można
ten dowód przeprowadzić.
Czytanie przykładów
Ważne jest ustalenie jakie sytuacje dany przykład opisuje, kiedy podany schemat
możemy zastosować, np.
sin2x=sinx
2sinxcosx=sinx
Ten schemat pozwoli nam rozwiązać też sin2x=cosx, ale już cos2x=sinx będziemy
rozwiązywali odrobinę inaczej.
Powinniśmy dobierać przykłady najbardziej charakterystyczne do danej sytuacji.
Ważne jest rozumienie poszczególnych kroków w przykładzie, nie tylko na poziomie
obliczeń, ale też na poziomie pytania ‘dlaczego’. Zastanawiamy się, czy potrafimy te
obliczenia wykonać inaczej, może w łatwiejszy sposób. Powinniśmy mobilizować uczniów
do zadawania pytań. WSZELKICH pytań, gdyż nie zawsze uda nam się przewidzieć ich
błędy, często bardzo zaskakujące, a zadawanie choćby najgłupszych pytań być może
pozwoli nam ich uniknąć. Gdy próbujemy przewidzieć błędy słabszych uczniów, to
najlepiej już na poziomie czytania tekstu matematycznego warto podejść na zasadzie:
„Dlaczego autor nie zrobił tego tak…”.
Zwracamy uczniom uwagę na kompozycję tekstu, jego fragmentaryzację, segmenty,
środki delimitacyjne, zwrócenie uwagi na formę (bezosobowa albo 1 os l.mn.), czytelność
zapisu.
Problem jest tego rodzaju, że jeśli nawet przeczytamy z uczniami tekst o rozwiązywaniu
równań trygonometrycznych nie oznacza to, że będą potrafili sami takie równanie
rozwiązać. Pamiętajmy jednak, że systematyczna praca przyniesie efekty!
URZADZENIA ELEKTRONICZNE WSPOMAGAJACE NAUCZANIE W SZKOLE
(zastępstwo)
Należy pamiętać, że każde urządzenie m swoją specyfikę, może zarówno wiele ułatwić,
jak i zaszkodzić…
Kalkulator
Podstawowym niebezpieczeństwem jest to, że uczniowie przestaną liczyć w pamięci i że
dojdzie do analfabetyzmu wtórnego w liczeniu bez kalkulatora. Często zapominamy tez,
ze uczniowie nie do końca potrafią obsługiwać kalkulator np. kwestię pamięci kalkulatora
i dopiero my musimy ich tego nauczyć. Przy użyciu tego urządzenia np. można
wprowadzić temat logarytmów, kiedy mamy słabszą klasę, zaczynamy wtedy od pytania
dla jakich liczb klawisz log działa, rysujemy z uczniami wykres obliczając wartości dla
odpowiednich punków na kalkulatorze, zastanawiamy się jak zdefiniować logarytm,
potem np. doświadczalnie znajdujemy wzór logxy=logx+logy
W szczególności kalkulator graficzny można wykorzystywać do odkrywania twierdzeń i
zależności.
4
Komputery
Zacznijmy od tego, ze dla wielu uczniów sama obsługa komputera jako takiego już jest
wyzwaniem. Trzeba też dostosować lekcję do ilości komputerów, czasami przecież jest
tylko jeden komputer w klasie…
ANALIZA PRZYPADKÓW I OPIS ZDARZENIA KRYTYCZNEGO
Od dawna mówi się, ze nauczyciele powinni prowadzić pewne badania
dydaktyczne dotyczące tego, co robi sam nauczyciel. Jest to bardzo ważne, ponieważ
praca nauczyciela to praca żywego człowieka z żywym człowiekiem, dlatego też mam
miejsce wiele sytuacji nieprzewidzianych. Człowiek jest przecież jednostką bardzo
skomplikowaną i złożoną w przeciwieństwie do maszyn. Trzeba uważać, by owa
nieprzewidywalność tkwiąca w człowieku nie stała się synonimem przypadkowości,
ponieważ gdy działamy zupełnie przypadkowo, to efekty też są przypadkowe…
Ludzie są różni, różnie reagują na różne sytuacje, zaś przy przypadkowym
działaniu formułujemy błędne wnioski, dlatego właśnie potrzebne są pewne zasady pracy
naukowej nauczyciela, które umożliwiłyby stworzenie jakiś podstaw do wniosków.
Omówimy dwie z nich: zdarzenie krytyczne oraz studium przypadku.
Studium przypadku (casestudy)
Ograniczamy się tutaj wyłącznie do działalności jakościowych, a nie statystycznych,
ilościowych, ponieważ chodzi przede wszystkim o przedstawienie w miarę obiektywnego
obrazu, podczas gdy przy danych ilościowych ten obraz może zostać zafałszowany po
pierwsze dlatego, bo to my wybieramy pewne dane, a po drugie – by zrobić miarodajne
badania ilościowe, to trzeba działać na odpowiednio dobranej próbce – reprezentantach,
bo w szkole raczej nie ma możliwości działania na odpowiednio dużej grupie badanych,
nauczyciel zwykle ma dostęp do niewielu. Studium przypadku funkcjonuje pod nazwami:
analiza przypadków, studium indywidualnych przypadków oraz metoda indywidualnych
przypadków
Badania jakościowe – Budujemy tutaj wnioski NIE w oparciu o wyliczenia statystyczne,
ale o pewne sytuacje z uczniami, np. rozmowa z nimi, analiza ich prac i wypowiedzi.
Definicje studium przypadku
Definicja Pilcha – metoda indywidualnych przypadków jest sposobem badań
polegającym na analizie jednostkowych losów ludzkich uwikłanych w określone sytuacje
wychowawcze (dydaktyczne) lub na analizie konkretnych zjawisk natury wychowawczej
przez pryzmat jednostkowych biografii ludzkich z nastawieniem na opracowanie diagnozy
przypadku lub zjawiska
Druga definicja
Metoda studium przypadku obejmuje zebranie danych na temat przypadku lub
przypadków oraz przygotowanie sprawozdania lub prezentacji wydarzeń.
Czyli jest to analiza pewnych konkretnych przypadków, charakteryzuje się tym, że nie
zawsze muszą one dać pełną odpowiedź naukową, np. mogą zauważyć, że jak realizuję
materiał w innej kolejności, to uczniowie osiągają lepsze wyniki, ale niekoniecznie wiem,
dlaczego tak jest. Odkrycie czemu tak jest to dobre uzupełnienie. Musimy wskazać
sytuację, zauważyć ją, a dopiero potem myśleć nad wyjaśnieniem.
„Nauczyciele i matematyka” – w tym czasopiśmie często zdarza się studium przypadku
Takim przypadkiem może być sam uczeń, jego problemy, ale też jego sukcesy; inny
przypadek to sukces lub porażka dydaktyczna nauczyciela; poprawne rozwiązanie
zadania przez ucznia lub dobry program, który napisał.
5
Nauczyciel ZAWSZE wtedy, gdy taki przypadek zaobserwuje powinien owe
studium przypadku prowadzić.
Autoteliczne studium przypadków (intrinsic casestudy)
Badamy przypadek dla samego przypadku, np. uczeń zrozumiał logarytm i badamy to
zrozumienie dla samego zrozumienia w sobie.
Zbiorowe studium przypadku
Badamy kilka przypadków by zrozumieć szerszą teorię, np. zasada paralelizmu – badamy
czy działa ona na kilku grupach.
Instrumentalne studium przypadku
Dany przypadek badamy po to, by zrozumieć zupełnie inny problem, np. by zrozumieć
niechęć uczniów do matematyki badamy poszczególne zagadnienia typu trygonometria
itp.
Dla nauczyciela ważne jest dostrzeganie tych wszystkich przypadków, ponieważ gdy je
dostrzegamy, to potem możemy sformułować pewien przewidywany problem, dalej ma
miejsce obserwacja i zbieranie danych oraz ich interpretacja.
Obserwując pewne przypadki nauczyciel buduje teorię własnej dydaktyki.
Powinniśmy analizować różność charakteryzującą uczniów, czasami dzięki studium
przypadku zbudujemy zupełnie nową teorię.
ZDARZENIE KRYTYCZNE
Casestudy się z tym bardzo silnie wiąże np. uderzenie ręką w stół – zdarzenie krytyczne,
które coś zmieniło, gdy uczniowie nie reagowali na uciszanie ich. Czasami taką sytuacją
jest rzucenie jakiejś uwagi w stronę ucznia, która wywoła zrozumienie jakiegoś
zagadnienia z którym uczeń miał wcześniej problem. W Casestudy powinniśmy zwracać
szczególną uwagę na owe zdarzenia krytyczne.
Definicja zdarzenia krytycznego
Zdarzenia krytyczne to sytuacje, które mają znaczący wpływ na rozwój wypadków,
przełamują pewną sytuację, oraz mają istotne znaczenie dla procesu nauczania – uczenia
się. Ciąg zdarzeń krytycznych wraz z łącznikami tych zdarzeń nazywamy ścieżką
krytyczną.
Zdarzenie krytyczne może mieć też implikację negatywną, dlatego owe zdarzenia
krytyczne również warto poddać analizie.
Cztery sposoby analizowania zdarzeń krytycznych
- strategię myślenia analizujemy (co myślałam w danej sytuacji, co myśleli inni, jaki
jeszcze miałam wybór w tejże sytuacji, jakie były plusy, a jakie minusy tej sytuacji, jak
mógłbym opisać daną sytuację). Gdy pod wpływem pewnego zdarzenia krytycznego
pewien uczeń nagle coś zrozumie, to nie znaczy, że na innego ucznia to również zadziała.
Dlatego tak ważne są pewne uwarunkowania, okoliczności zaistnienia tego zdarzenia.
- dlaczego tak postąpiłam, co mnie do tego sprowokowało, dlaczego uczniowie tak
zareagowali, dlaczego to wywołało taki efekt. Ważne jest tutaj odniesienie do nas, do
klasy z którą pracujemy. Nie możemy tylko biernie przyjmować rzeczy, które u kogoś
zaobserwowaliśmy, lub coś wyczytaliśmy. Pamiętajmy, że nie ma jednej recepty.
- rozpoznawanie dylematu – nauczyciel ma trudny dylemat, gdy nie może zignorować
sytuacji, ale też nie wie, jak działać. Wtedy często nie zachowuje się odpowiednio, ale
najważniejsza jest tutaj analiza konsekwencji działania nauczyciela. Właśnie w takich
6
sytuacjach mamy najczęściej do czynienia z sytuacjami krytycznymi zarówno
pozytywnymi jak i negatywnymi.
- analiza osobistej teorii – czyli gdy nauczyciel mówi o swoich wrażeniach, wnioskach,
przekonaniach z wyraźnym podkreśleniem ‘to jest moje’. Określamy tutaj kluczowe w
wartości i normy według których ja szukam rozwiązań w mojej wiedzy, nie musi być
idealnie słuszna, ale zgodna z moim przekonaniem. Oczywiście jest gdzieś konfrontacja z
nauką. To jest ważne, bo oddaje moją osobowość, lecz nie zawsze musi być dobre, moje
spojrzenie poprzez pryzmat wiedzy ze studiów, wizytatorów, dyrektorów, ale nadal to
jest tylko moje spojrzenie.
Wolność nauczyciela
Nauczyciel ma dużą swobodę w podejmowaniu decyzji, ale jest rozliczany z efektów.
Powyższe rzeczy zawierają się w owej wolności nauczyciela. Taka wolność jest potrzebna,
nauczyciel musi mieć swobodę działania, musi móc je dostosować do uczniów i do siebie.
Nauczyciel musi obserwować to, co mu wychodzi oraz to, z czym ma kłopoty, wyciągać
wnioski. Wiele zależy od osobowości danego nauczyciela, jego charyzmy itp. Musimy nie
tylko wypracować własny styl, ale też ten styl zrozumieć. Chodzi o to, by na pytanie
typu: ‘czy używać komputera na lekcjach matematyki’ odpowiedzieć – używać, jeśli się
wie jak, jeśli jest taka możliwość, jeśli komputer nie wyręcza ucznia, nie uczy go
bierności ,lecz dzięki niemu uczeń coś osiągnie, czemuś to będzie służyć, to kwestia, czy
my potrafimy odpowiednio działać, czy też jest to dla nas zbyt skomplikowane. To
spojrzenie na mnie jako nauczyciela, aby odpowiedzieć, muszę wiedzieć, muszę mieć
przeanalizowane te przypadki, tutaj statystyka bywa bardzo zawodna.
HISTORIA MATEMATYKI I INFORMATYKI – JEJ WPŁYW NA NAUCZANIE TYCH
PRZEDMIOTÓW
Patrząc na perspektywę dydaktyczną – dobór środków dydaktycznych dzieli się na dwie
perspektywy:
a) perspektywa synchroniczna - Takie ujęcie materiału, które jest logicznie
konsekwentne i optymalne, powiązane ze sobą. Jest to najczęściej spotykane ujęcie w
nauczanie matematyki i informatyki.
b) perspektywa diachroniczna – dlaczego i jak powstawały pojęcia itp. Diachroniczna
oznacza przez historię, bo dia oznacza przez. Jest to próba ujęcia materiału w ujęciu
historycznym tak, jak to było odkrywane, jak to funkcjonowało w historycznym ujęciu.
Oczywiście te perspektywy nie są tożsame, np., przez wiele lat w historii były dziury w
materiale.
Psychologia poznania (behawioryści) sugerowali, że w razie niepowodzeń trzeba zmienić
środowisko. Uważali, że czasami warto zmienić perspektywę synchroniczną na
diachroniczną mimo, że synchroniczna zawsze będzie dominować.
Spojrzenie metodyczne z perspektywy diachronicznej
Ważne jest tutaj dostrzeżenie, że zawsze najpierw występuje problem, czyli gdy
np. mamy twierdzenie Pitagorasa, to znaczy, że najpierw ktoś kiedyś zastanawiał się,
jakie są stosunki tych boków, czyli najpierw był problem. Analogicznie w informatyce –
najpierw jest problem, potrzeba, dopiero potem rozwiązanie. Szukając rozwiązań
metodycznych przy przejściu do perspektywy diachronicznej warto się najpierw
zastanowić skąd wziął się dany problem, dlaczego on był ważny, jaka była motywacja –
pewien dyskomfort między tym, że chcę coś wiedzieć, a tego nie wiem. Dlatego ważne
jest, byśmy uczniom tą motywację pokazali. Np. kwestia symboli literowych, które dla
dzieci są ogromnym przeskokiem – warto się zastanowić jak zapisać fakt, że dodawanie
jest przemienne tak, by było to ogólną zasadą. W informatyce symbole literowe są
jeszcze ważniejsze, podobnie z grafami, np. algorytmy – ludzie je wymyślali, ponieważ
nie zawsze wszystko osiągniemy wprost z definicji, a musimy coś policzyć, np. algorytm
Euklidesa.
7
Przy dodawaniu pisemnym przyjrzyjmy się czemu się tym kiedyś zajmowano itp.,
zastanówmy się, czy moglibyśmy tak samo dodawać, gdybyśmy liczyli w innym systemie.
Bardzo ważne jest pokazanie dzieciom idei i istoty danego zagadnienia, a przecież
dodawanie pisemne też jest algorytmem. W informatyce najbardziej znane są algorytmy
sortowania LIFO(last In first out) I FIFO(first In first out).
Sposoby rozwiązywania problemów
Są to pewne obliczenia, wykonywanie rysunków, szukanie propozycji, w informatyce zaś
chociażby samo pisanie programów. Zabiegi te powinny się pojawić, gdy maja miejsce
przeszkody epistemologiczne czyli gdy istniejąca sytuacja, stara wiedza przeszkadza
mi w zdobyciu nowej wiedzy, np. gdy mamy y=ax+b, to wiemy, że funkcja jest rosnąca,
gdy a>0. Potem jednak przychodzi czas na y=ax^2 +bx+c i ciężko jest czasami tutaj
wytłumaczyć uczniom, że nie można tego przyrównywać do sytuacji funkcji liniowej.
Zwykle najważniejsze są same treści, które przekazujemy, jednak w matematyce jest o
tyle specyficznie, że poza treściami matematycznymi, które wpajamy uczniom ważna jest
także istota poszczególnych zagadnień. Po prostu w matematyce chociażby to, że
operujemy wektorami NIE układa nam się w sposób naturalny w przestrzeń liniową…
Nadpoziom (translevel) pojawia się wtedy u uczniów, gdy dochodzimy do obcowania z
zupełnie konkretnymi sytuacjami po dojściu do przeszkody epistemologicznej. Nie należy
tworzyć tych nadpoziomów a priori. Np. gdy początkowo mówimy o funkcjach, to
mówimy o funkcjach bardzo konkretnych i tutaj nadpoziomem będzie już operowanie
funkcją jako taką w sensie uogólnionym, np. w kontekście działania dodawania funkcji
itp. W informatyce nadpoziomem jest programowanie obiektowe po poznaniu zwykłego
programowania. Dla uczniów również tworzymy nadpoziomy, jednak muszą one mieć
sens np. takim nadpoziomem jest wprowadzenie liter i symboli po tym, jak wcześniej
znali tylko liczby. W nadpoziomach nie pomoże nam perspektywa synchroniczna, my
musimy tutaj spojrzeć diachronicznie. Podobnie tylko spojrzenie diachroniczne pomoże
nam odpowiedzieć sobie na pytanie, czy i jeśli tak to w jakim zakresie należy budować
owe nadpoziomy.
BŁĘDY
Błędy wcale nie są taką złą rzeczą, słynne zdanie Krygowskiej „Błogosławione błędy”
Błąd – niezgodność między wiadomościami prawdziwymi i umiejętnościami poprawnymi
a prezentowanymi przez uczniów (definicję tą stworzył Wincenty Okoń)
Wiadomości poprawne to takie, które za poprawne uzna nauczyciel, to on jest arbitrem,
na nim spoczywa obowiązek sprawdzania, czy to, co wypowiada uczeń błędem jest czy
też nim nie jest. Trzeba odróżniać błędy od omyłek, gdzie za omyłkę rozumiemy wynik
chwilowej nieuwagi, braku koncentracji lub zmęczenia.
Geneza błędów
My zaś będziemy mówić o tym, co tkwi w przekonaniu człowieka, co jest związane ze
złym rozumieniem danej sprawy, z poglądami człowieka na daną sprawę. Np. gdy dziecko
uczy się liczb naturalnych, to ono nie tylko ma wiedzę, jaką my mu przekażemy, ale
nabiera pewnych przekonań, np. że dla dzieci często pomnożyć znaczy powiększyć,
podobnie dodać to wg niego znaczy powiększyć, nie wpadną na mnożenie przez ułamek
albo dodawanie liczb ujemnych i potem to się przenosi na sposób rozwiązywania zadań,
pojmowania danych kwestii przez dziecko, stąd biorą się właśnie błędy.
Błąd w matematyce
W matematyce błąd jest stosunkowo wyraźną niezgodnością pomiędzy poprawnym
rozumowaniem czy działaniem, a tym co zaprezentuje uczeń. To ma charakter dyskretny
w sensie zero jedynkowy, gdzie nie ma możliwości dyskusji, bo jednak gdy ktoś mówi, że
8
2*3=7, to jest to zwykłą nieprawdą, nie ma czegoś pomiędzy, to jest po prostu błąd i
koniec, mamy pewną kategoryczność błędów. To powoduje, że my bardzo pejoratywnie
błędy oceniamy w tym sensie, że gdy ktoś popełnił błąd, to automatycznie tworzy się
uczucie wstydu, niedoskonałości itp. a to NIE POWINNO być to tak traktowane, błędy
popełnia każdy, zarówno uczeń jak i doświadczony matematyk (podobnie z informatyką),
błąd to naturalny element tworzenia matematyki, uczenia się tego przedmiotu.
Pamiętajmy, że błąd nie zawsze jest wynikiem wadliwego działania umysłu. Uczeń zwykle
myśli, że skoro popełnia błąd, to znaczy, że nie jest za mądry (by nie powiedzieć głupi), a
to wcale tak nie jest. Czasami rozumowanie nie jest błędne, bo uczeń myśli poprzez
pewną analogię z liczbami np., gdy nie znają dzielników zera, to myślą, zę skoro iloczyn
funkcji daje zero, to pewnie jedna z nich jest zerem, to jest naturalne przeniesienie
rzeczy, które my znamy, które dla nas są oczywiste i to nie jest ich wina, że oni owych
dzielników zera nie znają.
Czasami uczeń popełnia błąd stosując całkiem dobrą strategię postępowania, pewne
sposoby myślenia, które zwykle są właściwe, np. oprocentowanie w banku wynosi 2%, no
to z każdego 100 zl dostajemy 2zl, a ile dostajemy po roku? I tutaj wielu powie, że 4zl, a
przecież to nie tak. Podobnie dla wielu z tego, że an<bn implikuje, że liman <limbn, a
ta nierówność wcale nie musi się przenosić. Z tego wszystkiego wynika, że błąd, który
uczeń popełni informuje nas o sposobie myślenia przez ucznia i niekiedy błędna
odpowiedź łatwiej pozwala nam usunąć błąd w myśleniu ucznia, niż odpowiedź poprawna,
która jest wynikiem nałożenia się pewnych nieprawidłowości. Np. gdy mamy domek, czyli
trójkąt na kwadracie to uczeń na pytanie czy jest to figura wypukła, to uczeń stwierdził
że tak, ponieważ suma figur wypukłych jest figurą wypukłą, a oczywiście tak nie jest i to
jest dobry przykład tego, że odpowiedź jest dobra, ale rozumowanie błędne. Gdyby ten
uczeń pozostał tylko przy odpowiedzi tak, ta figura jest wypukła, to bardzo trudno byłoby
zweryfikować jego odpowiedź, dlatego nawet przy poprawnych odpowiedziach też warto
zadawać nawet do znudzenia pytanie dlaczego. Wielu uczniów też np. uważa, że brzeg
figury do niej nie należy.
To naprawdę bardzo ważne, by nie obawiać się błędów uczniów, przecież zadaniem
nauczyciela jest eliminacja tych błędów, te, które nie zostaną wykryte stanowią
zagrożenie dla edukacji ucznia.
Uczniowie popełniają błędy w wielu dziedzinach matematyki, np. mają ogromne
problemy z dodawaniem ułamków, wciąż notorycznie dodają licznik do licznika i
mianownik do mianownika. Często po pewnym czasie już zapominają treść twierdzenia,
np. twierdzenie o pierwiastkach wielomianu, a pozostaje w pamięci tylko metoda
postępowania i potem uczniowie nie wiedzą, dlaczego nauczyciel nie uznał im tego
zadania w 100%, a przecież to twierdzenie sprawia, ze uczeń tylko pierwiastki wymierne
znajdzie, ale o tym trzeba pamiętać. Błędy ucznia też rzutują na jego postawę, to często
nie jest rzecz incydentalna, przypadkowa i jeśli my w porę tego błędu nie wykryjemy, to
bardzo często konsekwencją tego jest niemożność potem przez ucznia poradzenia sobie z
różnymi zagadnieniami matematycznymi, bo to jest tak, że skoro np. uczeń myśli, że
skoro suma dwóch figur wypukłych daje nam figurę wypukłą, to gdy potem ma taką
sytuację, w której wybitnie suma dwóch figur figurą wypukłą nie jest, to uczeń nie
rozumie dlaczego i to często wywołuje zniechęcenie u ucznia, a my mu nie pomożemy
póki nie będziemy znać błędów, które popełnia.
Poza ujawnieniem samego błędu musimy też poznać przyczyny powstania tego
błędu. Jeśli już poprawiamy błąd, którego nie ma, to często powoduje to znużenie i
zniechęcenie do pracy słuchaczy, np. jeśli wiemy, że an < bn implikuje lim an =< lim bn,
a ktoś nam to z uporem maniaka od 3h tłumaczy, to po pierwsze mamy już tego dość, a
po drugie podejrzewamy, że może tam jest jakiś haczyk, którego ja nie widzę i to także
zniechęca.
9
Błędy należy ujawniać wtedy, gdy się udało nie dopuścić do strachu uczniów przed
popełnieniem błędów, ponieważ ów strach bardzo często powoduje pewne zabiegi
uczniów, które mają na celu ukrycie obecności tych błędów, np. uczeń jest bardzo
niechętny przy odpowiedziach, trzeba wyciągać z nich każdą odpowiedź właśnie dlatego,
że jest w nich zakorzeniony strach przed popełnieniem błędu, np. gdy zapytamy ucznia,
czy suma figur jest wypukła, to on odpowie tylko tak lub nie, nie będzie przecież
tłumaczył, bo wtedy zwiększają się jego szanse na popełnienie błędu. Trzeba uświadomić
uczniom, że błąd jest naturalnym elementem zdobywania wiedzy, że jest on niejako
wpisany w działania matematyczne, w operowanie matematyką. W pracach doktorskich i
habilitacyjnych też się błędy zdarzają, oczywiście nie powinno ich być, ale nadal fakt
pozostaje faktem. Nie możemy jako nauczyciele bardzo negatywnie oceniać błędów,
wręcz przeciwnie trzeba pokazać uczniom, że ujawnienie sposobu rozumowania pozwoliło
zweryfikować te rzeczy.
Występuje tzw. pozorne wyeliminowanie błędu np. uczeń nie rozumie idei
funkcji rosnącej, co się z różnych powodów często zdarza i gdy on ma szansę ucieczki w
formalizm, to ją wykorzysta, np. bada pochodną funkcji i skoro ona jest dodatnia, to
znaczy że funkcja jest rosnąca, jednak gdybyśmy pokazali mu wykres funkcji, to nie
byłby w stanie powiedzieć, czy ona jest rosnąca czy malejąca, to jest właśnie przykład
ucieczki w formalizm. Taka sytuacja nie wykryta w porę prowadzi do bardzo
niesympatycznych konsekwencji w przyszłości, typu narysujemy funkcję przedziałami
ciągłą, czyli o niespójnej dziedzinie to funkcja jako taka , gdy patrzymy na nią całościowo
to rosnąca nie jest, a pochodną ma dodatnią, jest tylko przedziałami rosnąca. Inny
przykład stanowi fakt, ze uczeń nie szuka ekstremów globalnych na rzecz znalezienia
ekstremów lokalnych, a przecież one wcale nie muszą się pokrywać ,ale uczniowie często
uciekając w formalizm nie wiedzą, jak sobie z tym poradzić i skoro nie rozumieją, to tylko
policzą pochodne i tyle, nie potrafią pociągnąć tego do końca. Podobnie jeśli uczeń czegoś
nie rozumie, to nie wie po co robimy dane rzeczy, typu przy badaniu ciągłości zwykle
zaczyna się od poznania dziedziny, a uczeń nie wie po co tą dziedzinę chcemy znać, bo
badanie ciągłości sprowadził tylko do zapisów formalnych, a bazowanie tylko na owych
zapisach nie ułatwi zrozumienia danego zagadnienia. O tym wszystkim trzeba pamiętać
przy analizowaniu błędów.
Pamiętajmy też o tym, byśmy zastanawiali się nad błędami istotnymi dla danego
poziomy i ogólnie sytuacji, bo np. gdy mamy klasę humanistyczną, a oni mają problem z
funkcją rosnącą, to jest to mniejszy dramat, niż gdy ma to miejsce w klasie o profilu
matematycznym.
Dla nas jako nauczycieli bardzo ważne jest nawiązanie kontaktu z uczniem też po
to, by on się nie bał, ale wręcz chciał nam powiedzieć, jakie ma podstawy do takiego a
nie innego sądu, bo on rzadko strzela, zwykle jakieś tam podstawy do tego ma.
Pamiętajmy, że nadal mówimy o błędach, które nie są wynikiem jakiejś omyłki, tylko
mają pewne podstawy w umyśle ucznia.
DZIAŁANIA NAUCZYCIELA NAD BŁĘDEM
1. Znajdowanie błędu i wyjaśnienie na czym on polega, co do niego doprowadziło.
Czasami jest lepiej, gdy uczeń czegoś nie umie i tylko strzela, bo jeśli popełnia błąd
zakodowany jako przyzwyczajenie, to potem ciężko z niego wykorzenić to, co sobie
wmówił, zmienić jego nieprawdziwe przekonania, im szybciej ten błąd odkryjemy tym
większa jest możliwość sukcesu. Dobrze by było, by uczeń zrozumiał, że ZNALEZIENIE
błędu jest dla niego korzystne, tylko to musi być na etapie poznawania wiedzy,
rozumienia danego zagadnienia a nie sprawdzania jej.
2. Poprawienie błędu
To przede wszystkim wskazanie tego błędu, dyskusja z uczniem nad błędnym sposobem
jego rozumowania. Pamiętajmy, że nawet najlepiej podany kontrprzykład nie załatwi
sprawy, bo to jest coś, co jest rozłożone w czasie, uczniowie bardzo niechętnie odchodzą
10
od swoich przyzwyczajeń, sposobów działania i uczeń z dnia na dzień nie zapomni
swojego błędnego przekonania. To my musimy stwierdzić, jak to rozłożyć w czasie, by
skutecznie zmienić jego sposób myślenia. Czyli eliminowanie błędu jest procesem, nie
aktem.
3. Generalne wyjaśnienie klasy błędów tego samego typu.
To jest związane zarówno w pracy z całą klasą, jak i zwrócenie uwagi na to, że
pojedynczy uczeń nie rozumie całego pakietu pewnych rzeczy.
4. Wybór dobrych rozwiązań spośród pakietu różnych propozycji uczniów.
5. Wykrywanie błędnego uogólniania, błędnego wnioskowania
Np. uczniowie często nie rozumieją i zapominają o pierwszym kroku indukcyjnym, ale
przecież gdy tego nie mamy, to da się udowodnić pewne rzeczy, które prawdą nie są
typu że 2n+1 jest liczbą parzystą…(wtedy 2n+1 jest naszym założeniem indukcyjnym, no
i w tezie indukcyjnej mamy wówczas 2(n+1) +1 jest liczbą parzystą i w dowodzie
indukcyjnym jedziemy: 2n+2+1 = 2n+1 +2 jest parzyste skoro korzystając z założenia
mamy niby, że 2n+1 jest parzyste…)
KONTROLA I OCENA Z MATEMATYKI I INFORMATYKI
Ocena testu dane statystyczne – przepisać z metodyki 1!!!!!!!
Co kontrolować i oceniać?
Wyraźnie należy zaznaczyć, że współczesne programy nauczania zawierają ogólne
informacje o tym, co powinniśmy od uczniów wymagać i powinniśmy się do owych
programów
odnosić.
Skoncentrujemy
się
na
elementach
uzupełniających
kontrolowanie i ocenianie:
Zdolność logicznego i samodzielnego myślenia
Logika odgrywa tutaj przecież szczególną rolę, nie zawsze musi to być logika
formalna. Prze całą edukację szkolną przekazujemy uczniom elementy logiki, tyle że nie
zawsze to zaznaczamy formalnie. Chodzi nam przede wszystkim o to, aby uczeń umiał
argumentować swoją wypowiedź w jakiejkolwiek postaci, np. uczeń szkoły podstawowej
niech argumentuje w oparciu o dostępne mu informacje np. wolno nam tak zrobić, bo
można zamieniać miejscami elementy w dodawaniu, czyli tutaj nie chodzi o idealną
precyzję, lecz o ideę. Ważna jest tutaj też SAMODZIELNOŚĆ. Szczególne znaczenie ma
tutaj budowanie w pewnym stopniu oryginalnych rozwiązań. Mówimy w pewnym stopniu,
bo trudno oczekiwać od ucznia szkoły podstawowej, by wprowadzał super oryginalne
rozwiązania, co jest niemożliwe. Chodzi raczej o to, by podejmował próby samodzielnego
rozwiązywania takich zadań, z którymi się wcześniej nie spotkał. Czasami tą
samodzielność sprowadzamy do prostszej sytuacji, tj. wyboru między różnymi
możliwościami. To wszystko podlega kontroli i ocenie, musimy weryfikować na ile uczeń
jest samodzielny, na ile potrafi logicznie myśleć i to powinno mieć wpływ na nasz proces
dydaktyczny, ale także na skalę oceniania pewnych rzeczy.
Rozwój ucznia
Ten element też powinien podlegać kontroli i ocenie, ale ocenie na plus. Najgorszą
z możliwych sytuacji z jakimi uczeń może się spotkać, to stwierdzenie, że on już niczego
nie jest w stanie osiągnąć, to już prosta linia do totalnej niechęci pracy. Spotykamy się z
taką sytuacją wtedy, gdy z żelazną dyscypliną weryfikujemy wiedzę uczniów bez
uwzględnienia ich wcześniejszych osiągnięć. Jeżeli kontrolujemy ucznia, to przede
wszystkim powinniśmy dostrzegać, czy czyni on postępy. To bardzo ważny element, bo
odpowiada na pytanie, czy uczeń pracuje nad danym zagadnieniem. Z drugiej strony
powinniśmy docenić jego pracę i jego wysiłek. Np. gdy uczeń ma duże zaległości w
matematyce powstałe na skutek czy to lenistwa czy choroby, to gdy on się stara wyjść
poza to co umie i potrafi, gdy próbuje osiągać możliwie dobre wyniki, to gdy nauczyciel
11
tego nie zauważy, a uczeń będzie się starał i wciąż będzie oceniany na 1, czy 1+, jego
starania zostaną niedocenione, to doprowadzi to do zniechęcenia i pewnego rodzaju
apatii. Przecież to jest normalne, że on nie osiągnie nagle tego poziomu, który osiągnęli
jego koledzy, którzy nie mieli zaległości. Ten postęp trzeba dostrzec i w jakiś sposób
uhonorować. To też ważna sytuacja z punktu widzenia mojej pracy jako nauczyciela, gdy
widzę, że uczeń czyni postępy, to nawet jeśli one są strasznie, wręcz niezadowalająco
wolne, to wciąż mam nadzieję, że jednak osiągnie pewien etap.
Często jest tak, że uczeń dochodzi do pewnych rzeczy, nawet bardzo szybko, alei
nie umie wyjść poza nie, nie rozwija się dalej. To też jest pewnego rodzaju
niepowodzenie, uczeń zdolny nie osiąga wtedy sukcesu, być może jego zdolności nie
pozwalają mu na osiągnięcie wyższego poziomu, my też musimy to dostrzec, nie
możemy sobie tłumaczyć, jak to on może, ale mu się nie chce. Np. jest ogromna
przepaść między planimetrią a stereometrią, jeśli nie ma rozbudowanej wyobraźni
przestrzennej, to dochodzi do bariery, której nie umie pokonać, to bardzo ważne by
zidentyfikować co stanowi tą barierę, co się dzieje z uczniami, dlaczego dana bariera
powstała, to może być jego etap rozwoju, ale mogą to być też pewne zewnętrze czynniki,
np. kwestia odwracalności operacji, dynamiki myślenia i wiele innych. To może być
kwestia po prostu pewnego rodzaju predyspozycji. To się zdarza naprawdę często i tutaj
uczeń nie ma wyboru, gdy dojdzie do takiej ściany. To bardzo ważne, by uczeń nie
przestawał robić postępów, by jego zdolności wciąż wzrastały, by nie stał w jednym
miejscu. To są pewnego rodzaju doświadczenia i obserwacje, które nauczyciel musi
czynić.
To się często wiąże z punktem pierwszym, czyli sytuacją, gdy brakuje
samodzielności myślenia, czyli gdy uczeń radzi sobie na etapie odtwórczości, ale gdy
potrzebna jest kreatywność działania, to jest to już dla niego niemożliwe do przejścia.
Np. wielu uczniów radzi sobie bardzo dobrze z prostymi zadaniami, ale gdy zadanie jest
już nieco bardziej złożone i wymaga wykorzystania elementów z różnych dziedzin, to już
sobie nie radzą, to dla nas sygnał, by nauczyć ich rozwiązywać zadania, w których
łączymy dwa kawałki wiedzy. To bardzo ważne, byśmy podjęli próbę pomocy uczniom,
musimy to wszystko kontrolować i oceniać, ale przede wszystkim uczniom na plus.
Umiejętność przedstawiania wyników
Chodzi tutaj zarówno o kompletność wyników, jak i czytelność ich przedstawienia.
W wielu sytuacjach spotykamy się z takimi momentami, gdzie uczeń całkiem poprawnie
rozumuje, a nauczyciel zastanawia się, czy może mu zaliczyć dane zadanie. Oceniając na
co dzień powinniśmy jednak zwracać uwagę na kompletność wyników, musimy
sprawdzać, czy uczniowie potrafią doprowadzić zadanie do końca. W informatyce jest
podobnie, nie wystarczy ze napiszemy pół programu. Czytelność także jest ważna, my
tutaj nie przygotowujemy uycznia tylko do matury, ale też do wyzwań przyszłości, do
tego by sobie z ową przyszłością radzili, a to radzenie nie jest wcale takie proste. To
radzenie sobie polega na tym, że przedstawiamy właśnie konkretne wyniki.
Budowanie rozwiązań niealgorytmicznych
ELELMENTY
OCENIANIA
DODATKOWE
KTÓRE
POWINNY
TOWARZYSZYĆ
KONTROLI
Stosunek ucznia do przedmiotu
Tu NIE chodzi o to, byśmy od uczniów bardziej zainteresowanych matematyką wymagali
więcej, jeśli będziemy od nich wymagać za wiele, to uczeń poczuje karę za to, że jest
dobry, bo jeśli dostanie 4 za zadanie, które rozwiązał tak samo, jak uczeń słaby, lecz
słabszy dostał za nie 5, to mamy poczucie krzywdy. Czyli nie chodzi o eskalowanie
wymagań, ale o to, by przypatrywać się jaki jest stosunek ucznia do przedmiotu, na ile
głęboko on jest zainteresowany tym przedmiotem. Czasami trzeba ten element
uwzględniać przy próbie rozbudowania materiału, są przecież uczniowie, którzy
niechętnie uczą się matematyki i możemy im wiele pokazać, ale nie możemy ich
zmuszać.
12
Systematyczność
Tu nie chodzi o to, by uczeń niesystematyczny był oceniony gorzej, bo uczeń ma prawo
do niesystematyczności PRZEZ PEWIEN MOMENT, bo na dłuższą metę brak
systematyczności prowadzi do tego, że w pewnym momencie już sobie nie radzimy. My
musimy dostrzegać tą kwestię, co jest trudne.
Warunki życiowe uczniów
Na to też powinniśmy patrzeć. Nie mogą być one jednak w żadnym wypadku formą
usprawiedliwienia dla ucznia. Przez warunki życiowe rozumiemy sytuację domową,
kalectwo i wiele innych w szerokim znaczeniu tego słowa. Nie mogą być formą
usprawiedliwienia, bo nawet jeśli ktoś jest niepełnosprawny, to jednak i tak będzie musiał
sobie potem jakoś w życiu radzić właśnie taki, jaki jest. Te trudności NIE MOGĄ być jego
przywilejem. Natomiast gdy kontrolujemy, oceniamy, musimy w pewien sposób
omawiany element brać pod uwagę, np. musimy rozumieć, że zdobycie pewnych
sprawności i umiejętności może wymagać większej ilości czasu, może niektóre
wymagania powinniśmy przed tym uczniem postawić nieco później, ale to NIE znaczy, że
on może nie umieć, czy dostawać lepsze oceny, ale nadal nie możemy tych elementów w
ogóle nie brać pod uwagę. Np. niewidomy doktor u nas na wydziale – nikt nie wymagał
od niego mniej, ale zdawano sobie sprawę, że on działa inaczej, często dużo wolniej, bo
jednak skoro nie widzi, to ktoś musi mu przeczytać dany materiał z książki, gdy zrobi
błąd, to nie może go zweryfikować inaczej niż porównując z własną logiką itd.
CELE I FUNKCJE KONTROLI I OCENY
Cel dydaktyczny
Sprawdzenie i pokazanie uczniom jego osiągnięć braków, dokonywanie korekty
jego pracy i pracy nauczyciela. Często nauczyciele zapominają, że niepowodzenia
uczniów powinny obligować nas do zmiany naszego stylu pracy, wyboru naszych metod.
Powinny występować tutaj elementy samokrytyczne i samooceny, poszukiwania
najlepszych rozwiązań. Gdy widzimy cel, to kontrola jest ukierunkowana też na to, jak
sprawdzają się nasze pomysły i koncepcje dydaktyczne, gdy mamy dużo niepowodzeń, to
może warto zmienić podręcznik, może trzeba zmienić sposób prowadzenia lekcji DLA TEJ
KLASY, dla tych uczniów, nie musi być zły w ogóle.
Cel społeczny
Pewna selekcja młodzieży, orientacja zawodowa, nie każdy człowiek musi przecież
być matematykiem czy informatykiem, może watro pokazać, powiedzieć uczniom, że nie
mogą przy tych osiągnięciach spodziewać się sukcesu na wyższych etapach edukacji w
ramach tego przedmiotu. Ludzie, którzy studiują matematykę zdają sobie sprawę, że
sukcesy w matematyce to długotrwała i wytężona praca intelektualna, gdy ktoś nie ma
takich predyspozycji, nie radzi sobie z taką sytuacją, to nie poradzi sobie dalej w ciągu
swojej nauki. Problem ten wynika czasami z tego, że szkoła nie pokazała czym człowiek
zajmujący się np. informatyką będzie musiał się zajmować, szkoła często ogranicza się
do prostych rozwiązań, przez co potem uczeń ma problem by sobie poradzić z
zagadnieniami bardziej złożonymi do których nie jest przyzwyczajony.
Cel wychowawczy
Tu nie tylko chodzi o to, by miał poczucie bycia kontrolowanym, ale też o
przygotowanie uczniów do innych kwestii występujących w życiu, jak np. do
systematyczne kontroli, krytycznej samokontroli, do budowania wniosków wynikających z
samokontroli (czy dostatecznie rozumiem dane zagadnienia, czy jestem przygotowany do
tego sprawdziany itp.). Często uczniowie nie stawiają sobie tych pytań, a nawet nie zdają
sobie sprawy, że owe pytania powinni sobie stawiać, a to dlatego, bo nauczyciele nie
przygotowują ich do różnej formy samokontroli, co jest błędem!
13
NAJCZĘSTSZE NIEDOMAGANIA PROCESU KONTROLI
Brak rozeznania w poziomie wiedzy uczniów
My musimy sprawdzać, czy uczniowie osiągnęli zakładane cele, ale nie mogą to
być też wirtualne wymagania, tj. niedostosowane do poziomu klasy czy uczniów. Zbyt
małe wymagania prowadzą do lekceważenia przedmiotu, a zbyt duże prowadzą do
zniechęcenia.
Jednostronność w traktowaniu materiału nauczania
Często jest tak, że nauczyciele bardziej lubią jedne rzeczy, a inne mniej, tym
samym jedne bardziej eksponują w procesie kontroli, a inne mniej i można z dużą dozą
prawdopodobieństwa założyć, że uczniowie to dostrzegą, co nie jest korzystne.
Brak systematyczności w procesie kontroli
Jeśli wnioski mają nam nauczycielom służyć, to muszą być formułowane
systematycznie, bo kiedy prowadzimy kontrolę tylko wtedy, gdy musimy ją
przeprowadzić, to sami zaczynamy utożsamiać kontrolę z oceną, co jest kolejnym
niedomaganiem tego procesu. Jeśli kontrola ma służyć poprawieniu naszej jakości
działania i działania ucznia, to musi być czas na tą poprawę, nie może być tak, że tego
czasu nie ma zanim zostaniemy ocenieni.
Subiektywizm oceny
To największe i najtrudniejsze niedomaganie tego procesu. Mamy tutaj faktyczny
subiektywizm oceny i poczucie subiektywizmu oceny ze strony uczniów, to dwie różne
rzeczy. Gdy mówimy o nauczycielu, o ocenie, to w zasadzie bardzo trudno jest
wyeliminować współczynnik subiektywizmu, każdy z nas ma pewne spojrzenie, pewne
upodobania, każdy z nas ma pewne rzeczy z których woli pytać, odbiera niektórych
uczniów cieplej, preferuje pewne formy wypowiedzi i mówienie, że tego trzeba się
wyzbyć, jest mówieniem o abstrakcyjnej możliwości, o wirtualnej możliwości, jest
pewnym oszukiwaniem rzeczywistości. Bardzo często wpływ na naszą ocenę mają
sympatia i antypatia w stosunku do danego ucznia, wrażenie jakie wywiera jego strój,
postawa, sposób wypowiadania, a tak przecież być nie powinno. Tego subiektywizmu
możemy się wyzbyć w bardzo ograniczonym zakresie.
Należy więc tworzyć obiektywne formy kontroli, tzn. chociażby testy, ale też
zanim przystąpię do oceny prac klasowych, to najpierw przygotować pewien schemat
oceniania, wtedy nie wyzbędę się w 100% subiektywizmu, ale zawsze zmniejszę ten
element (np. jeden nauczyciel obniży o 1 ocenę, gdy uczeń nie zrobi założenia dla
mianownika, a drugi nie obniży w ogóle). Co do naszych upodobań, to najlepiej jest
wzorować naszą punktację pod kątem punktacji egzaminów a to po gimnazjum, a to
maturalnych, bo to daje poczucie, że nie tylko to, co ja uważam za najważniejsze takie
jest, ale też weryfikujemy to z tym, co ogólnie jest uważane za najważniejsze. Oczywiście
jeśli uważamy, że ze względów merytorycznych lub dydaktycznych jest ważne, to
możemy sobie na pewien subiektywizm pozwolić, np. żądamy by wypisywali DOKLADNIE
treść twierdzeń i wtedy uprzedzamy o tym przed kontrolą i wprowadzamy to w ramach
punktów. Zapoznajemy z systemem punktowania uczniów, ale możemy zostawić jakieś
punkty na elegancję czy długość rozwiązania, ale to też musimy być wyraźnie określone.
Warto NIE tworzyć punktacji na siłę, niektórzy np. tworzą klasówki tak, by punktacja była
na 100 punktów, co nie było korzystne.
14
KONSPEKTY LEKCJI
To będzie bardziej podsumowanie, bo Pan uznaje, że ogólnie już
wiemy o co chodzi, doświadczenie pewne już mamy. Napisanie konspektu
powinno być czynnością kończącą przygotowanie się do lekcji, a nie
czynnością rozpoczynającą owe przygotowanie. Na tą chwilę nauczyciel
przez pierwsze 2-3 lata pracy jest zobowiązany do pisania konspektów do
każdej lekcji i powinien je przełożony, tj. dyrektor zatwierdzać, co w
praktyce często wygląda inaczej, ponieważ gdy dyrektor nie jest
matematykiem, to inaczej do konspektu jako
takiego podchodzi.
Konspekt odgrywa bardzo ważną rolę wśród szczególnie młodych
nauczycieli, ponieważ zmusza nauczyciela do uświadomienia sobie
pewnych rzeczy, z których wcześniej nie zawsze zdaje sobie sprawę.
Bardzo złą sytuacją jest pójście do lekcji totalnie nieprzygotowanym i
konspekt ma na nauczycielu owe przygotowanie wymusić.
Przed napisaniem konspektu należy:
 Jasno sprecyzować cel lekcji po to, by uniknąć chaosu
dydaktycznego, musimy wiedzieć, czy chodzi nam o zapoznanie z
czymś uczniów, czy też o powtórzenie, czy jakaś forma powtórzenia
obu tych sytuacji, do czego chcemy uczniów motywować, co przy
okazji danej lekcji ćwiczyć, co podczas niej powtarzać
z
wcześniejszych zagadnień. Wszystkiego na jednej jednostce
lekcyjnej się zrealizować nie da, dlatego wskazanie głównego celu
jest rzeczą tak ważną, gdy tego celu nie ma wszystko zaczyna się
rozmywać, tworzy się chaos
 Wybranie najlepszego materiału z podręczników, zeszytów ćwiczeń,
własnych notatek i innych, nauczyciel przecież nie musi używać
zawsze tylko jednego podręcznika, tylko z niego czerpać rozwiązania
metodyczne itp. To trzeba oczywiście wszystko ściśle dostosować do
celu lekcji, do tego, co zamierzamy zrealizować
 Zastanowić się najogólniej nad formą lekcji to się wiąże z
osobowością nauczyciela, często ten element jest niedoceniany w
różnych sytuacjach, próbuje się to pokazać, jakby ta forma polegała
tylko na zastosowaniu z góry narzuconych reguł, a przecież reguły te
są ważne, ale nie możemy pomijać roli osobowości nauczyciela, dla
niektórych nauczycieli pewne formy pracy są najlepsze i dzięki
osobowości tego człowieka właśnie te, nie inne, formy mogą
przynosić
najkorzystniejsze
rozwiązania,
najlepsze
efekty
(nauczyciel podróżnik, nauczyciel showman i inni). Nie możemy nie
doceniać naszej osobowości , tego co nam się udaje w danym stylu
pracy, co uczniowie lubią w tym stylu pracy, lecz nie powinniśmy też
zapominać w naszych działaniach o różnorodności. Musimy
wykorzystywać to, co potrafimy, w czym się dobrze czujemy, co
15
lubimy, stosować formy pracy z uczniami w którymi się dobrze
czujemy.
 Przygotowanie pomocy dydaktycznych to mogą być kartki do
orgiami, narzędzi do rysunku do tablicy, folii i pokazów, programów
komputerowych. Tutaj też trzeba wiedzieć, czy zdążymy to należycie
przygotować i wprowadzić w życie, czy zdążymy zrealizować daną
rzeczy w praktyce.
 Które elementy przerobionego materiału możemy włączyć do danej
lekcji to takie ukryte powtórzenie
 Przygotowanie pracy domowej dla uczniów – to też powinno
zaistnieć zanim przystąpimy do pisania konspektu
Po przemyśleniu robimy następujące czynności jeszcze przed
napisaniem konspektu:
 stwarzamy pewną listę, której już można nadać formę pisemną, to
może być forma luźnej notatki, ustalić pewne rzeczy, przede
wszystkim zakres materiału rzeczowego lekcji. Tutaj sięgamy do
tego, co pisaliśmy wcześniej, to można napisać skrótowo na
komputerze, jaki zakres materiału chcemy w czasie danej lekcji
przerobić, gdy korzystamy z konkretnego podręcznika, to można
napisać dokładnie strony, może to być sam temat z podręcznika,
taki wstęp do konspektu. Tu się już wyraźnie odnosimy do danej
klasy, bierzemy jej poziom, zainteresowanie, przecież w klasach
słabszych dany temat potraktujemy skromniej niż w klasach o
profilu matematycznym.
 Potem ustalamy typ lekcji i ustalamy jej cel.
 Następnie planujemy wstępnie przebieg lekcji, mniej więcej jak ja
sobie ją wyobrażam. Pewną wizję tego, jak lekcja będzie wyglądała
musimy mieć, nawet jeśli potem nic z tego nie wyjdzie, od tej wizji
czasami musimy odstąpić.
 Następnie wybieramy najwłaściwsze metody, formy organizacyjne i
środki dydaktyczne. To już wcześniej przemyśleliśmy częściowo i
dopasujemy to co przemyśleliśmy wcześniej do naszej wizji
przebiegu lekcji i często coś musimy zmieniać, bo nagle się okazuje,
że nie zdążę czegoś zrealizować, mogę mieć np. problem ze
zaktywizowaniem klasy do tego tematu itp.
 Musimy też ustalić formy oceny i kontroli uczniów przy odpytywaniu,
robieniu krótkich kartkówek, ocenianiu ich zadań jeśli jest to lekcja
powtórzeniowa itp., to coś co nie zawsze musi wystąpić.
 Kolejną bardzo ważną rzeczą jest ustalenie zapisu w zeszytach
uczniowskich, tu chodzi o to by uczeń miał najlepsze notatki z
których potem będzie umiał korzystać, musimy mieć świadomość co
16
w tym zeszycie się powinno pojawić, w młodszych klasach
oczywiście pilnujemy tego bardziej
 Ostatnią równie ważną rzeczą jest sprawdzenie tego wszystkiego od
początku, by nagle nie wyszło, że stworzyliśmy dokument totalnie
niespójny
KONSPEKT
Składa się z części wstępnej i opisu przewidywanego przebiegu
lekcji.
Część wstępna składa się z :
1. Podajemy temat lekcji czasami podajemy dwa tematy – jeden dla
siebie, a drugi dla uczniów, ten dla nas ma zwykle charakter
bardziej szczegółowy np. dla uczniów brzmi ‘dodawanie ułamków’, a
dla siebie ‘ dodawanie ułamków o jednakowych mianownikach’, bo
jeśli podamy ten długi klasie, to przy niektórych klasach zamiast
realizować temat będziemy musieli tłumaczyć, jak się dodaje ułamki
o różnych mianownikach, w dzienniku zapisujemy nasz temat, nie
ten z zeszytów uczniów
2. Czas lekcji jeśli jest on nietypowy np. mamy po sobie pod rząd
dwie godziny, jeśli jest to zwykłe 45 minut to raczej tego punktu nie
piszemy.
3. Typ lekcji są różne typy: zasadniczy czyli zapoznanie z nowym
materiałem, powtórzeniowo systematyzujący występuje czasami pod
koniec działu, czasami w środku, gdy chcemy i mamy czas na
uporządkowanie wiedzy uczniów przed przejściem do trudniejszych
zagadnień, czy też rozszerzeniem danego tematu; typ kontrolno
oceniający klasówki, ocena ustna i wszystko inne co podlega naszej
ocenie. Wypisanie typu lekcji wskazuje nam, z jaką lekcją mamy do
czynienia. Chodzi o to, by nie mylić lekcji typu zasadniczego z
innym, to my musimy zdawać sobie sprawę, czy to jest lekcja
kontrolno oceniająca, czy może powtórzeniowa. Oczywiście w typie
zasadniczym możemy przeprowadzić pewną kontrolę, lecz musimy
sobie zdawać wtedy sprawę, że nadal podstawowym typem jest typ
zasadniczy. To taki typu samokontroli nauczyciela.
4. Cele lekcji są różne, np. krótkoterminowe. Krótkoterminowe są
podawane w formie operacyjnej (celem lekcji jest osiągnięcie
sprawności uczniów w rozwiązywaniu równań drugiego stopnia,
wyćwiczenie sprawności w odnajdywaniu trójkątów przystających
itp., to cele szczegółowe). Są też cele ogólne: kształcące, poznawcze
i wychowawcze. Poznawcze to ujęcie w formie słownej tego, co
chcemy by uczniowie poznali np. zapoznanie uczniów z figurami
przestrzennymi itp. cele kształcące to te, które są rozłożone w
17
czasie, to to, co chcemy kształcić, są długoterminowe, np.
kształcenie umiejętności znajdowania minimów i maksimów funkcji,
czy kształcenie umiejętności rozwiązywania trójkątów. Największe
kłopoty nauczycielom matematyki i informatyki sprawiają cele
wychowawcze i często nie umiemy tych celów wskazać. Powinniśmy
szukać celów związanych z naszym przedmiotem.
Przykłady celów wychowawczych:
 przyzwyczajenie do długotrwałego wysiłku intelektualnego,
tzn. przyzwyczajenie, że sukces nie jest wynikiem bardzo
szybkich działań, czy olśnienia.
 Innym celem wychowawczym jest budowanie rzetelności
intelektualnej, do którego to celu matematyka i informatyka
nadaje się najbardziej. To kwestia uzasadniania.
 Dalej można wymienić przyzwyczajenie do pracy zespołowej i
indywidualnej.
 Budowanie odwagi intelektualnej, np. podczas burzy mózgów,
kiedy nawet słabszy uczeń może się wypowiedzieć.
Nauczyciel w każdym momencie musi sobie zdawać sprawę co robi i
dlaczego to robi, co chcemy daną lekcją osiągnąć.
5. Wykorzystywane umiejętności i wiadomości
6. Metody nauczania wziąć dane z dydaktyki
7. Formy organizacyjne praca z całą klasą, praca w grupach, praca
indywidualna, zajęcia praktyczne
8. Środki dydaktyczne
Druga część konspektu – szczegółowy opis przebiegu lekcji:
Bardzo dokładne zapisanie treści definicji i twierdzeń, w miarę
dokładne zapisanie rozwiązywanych zadań łącznie z rozwiązaniami. Gdy
decydujemy się na heurezę, a decydujemy się na nią prawie zawsze w
jakiś sposób, to musimy wiedzieć, jaką formę owej heurezy zastosujemy,
zwykle są to pytania naprowadzające, ale nie zawsze, poza tym te pytania
też warto sobie zapisać i od razu wtedy z odpowiedziami jakich byśmy
oczekiwali. To konspekt skierowany do klasy, wiemy mniej więcej jakich
reakcji i odpowiedzi się możemy spodziewać.
Po lekcji warto dla siebie nawet ołówkiem napisać w konspekcie co
się udało a co nie, co było trafne itp.
To prawda, że napisanie konspektu do każdej lekcji nawet w dobie
komputerów jest bardzo trudne, ale taka sytuacja naprawdę powinna
istnieć, oczywiście w miarę możliwości, sytuacji i naszego uznania. Ważne
jest tutaj przede wszystkim przemyślenie dokładne lekcji, to w tym ma
nam konspekt pomóc, jest on pewnego rodzaju pamięcią na przyszłość. To
18
ważne by wiedzieć, co robiliśmy, wielu nauczycieli archiwizuje sobie na
płycie swoje konspekty i korzysta z nich latami. To ważne byśmy podczas
kolejnych lat pracy mogli się odwołać nie tylko do pewnych zadań, ale też
doświadczeń, form pracy które przyniosły lepsze lub gorsze rezultaty.
Konspekt też może pomóc w wypracowaniu osobistego stylu pracy z
uczniami, określenie z czego musimy zrezygnować, co jednak nie
przyniosło dobrych efektów. Pisanie konspektów pozwala też zwalczyć
nam nasze własne lenistwo, które przecież jest tak trudne do zwalczenia,
człowiek tak często się usprawiedliwia i nie robi wielu rzeczy. Przy słabej
klasie to właśnie sukces tych uczniów w OGROMNEJ mierze zależy od
naszego przygotowania, przemyśleń itp. Przy samodzielnych uczniach
oczywiście jest łatwiej, lecz przecież nie wszyscy tacy są.
DOFORMALIZOWANIE
Problem doformalizowania jest skomplikowanym problemem. Dawniej wielu
dydaktyków walczyło właśnie o doformalizowanie, chcieli by zastąpić wiele definicji i
twierdzeń pewną intuicją itp. Obecnie na wszystkich poziomach próba doformalizowania
spotyka się z dość znacznym sprzeciwem. Pan Pawlak jest przekonany, że owo
doformalizowanie może jednak odegrać dość znaczącą rolę.
Miały miejsce pewne badania, które rozpoczął Pan Pawlak, skończyły dwie panie.
Padło kiedyś na jakimś zebraniu stwierdzenie, że na nowej maturze obowiązkowej z
matematyki powinny być zadania istotnie nowe, czyli takie, z którymi uczniowie
wcześniej się nie spotkali, ale pozwalają wiedzę pozwalającą znaleźć ich rozwiązanie.
Powstała wątpliwość po pierwsze, czy jesteśmy w stanie znaleźć odpowiednio dużą ilość
takich zadań, a poza tym jak uczniowie sobie z nim poradzą. Owe panie zaczęły badać
dalej jak uczniowie sobie mogą radzić z omawianymi zadaniami istotnie nowymi, tyle że
łatwiejszych niż robił Pan Pawlak, bo gdy on je przygotował, to 0 uczniów rozwiązało
poprawnie i prawie 0 studentów….Zadań była pewna ilość i zaczynały od łatwych i
stopniowo dochodziły do zadań na poziomie Pana Pawlaka i wtedy aż 41% było
poprawnych odpowiedzi wśród studentów, co jest wielkim osiągnięciem w porównaniu do
wyniku badania Pana Pawlaka gdzie była ilość przecież bliska zeru. Pan Pawlak uważa, że
droga którą studenci pokonywali by dojść do tego trudnego zadania to było właśnie
doformalizowanie. Odpowiadając na kolejne pytania studenci zaczęli sobie zadawać
pytanie czym jest wykres funkcji, czego na owym wykresie szukamy itp. Właśnie to
pozwoliło poszukać im odpowiedzi na zadanie to trudne.
Doformalizowanie – doskonalenie pod względem matematycznym ( w znaczeniu
formalnym), czyli sięgnięcie do konkretnych formalnych faktów czy rozważań
matematycznych.
Oznacza
ten
termin
zwiększenie
stopnia
weryfikowania
matematycznych spostrzeżeń poprzez pryzmat rzetelnej wiedzy matematycznej z
odwołaniem się do formalnych zapisów. Doformalizowanie jest jedną z dróg do
zrozumienia na poziomie strukturalno operacyjnym (było na innym wykładzie). To nie
jest jedyna droga do zrozumienia, bo by zrozumieć musimy też być poddani pewnym
emocjom, mieć motywację, intuicję i wiele innych. Zrozumieć znaczy umieć działać. Tu
nie chodzi o wypowiadanie formalnych definicji, tylko o umiejętność skorzystania i
znalezienia tych definicji.
Toczy się dyskusja, czy słowo doformalizowanie jest w ogóle dobrem, przecież
Word go nie zna, musiałam dodać je do słownika. Niektórzy wolą słowo matematyzacja,
ale przecież my odformalizujemy zagadnienie matematyczne i źle brzmi matematyzacja
zagadnienia
matematycznego.
Czyli
gdy
dysponuję
pewnym
zagadnieniem
matematycznym to po wstępnym przejrzeniu tego zagadnienia w dalszych rozważaniach
je powinniśmy doformalizować, czyli zwiększyć precyzję rozumowania, odpowiedzieć na
pytanie ‘dlaczego’ – najważniejsze pytanie, jakie powinien sobie wciąż stawiać
19
matematyk.
Przeciwnicy
doformalizowania
przeciwstawiają
temu
pojęciu
odformalizowanie, ale w sensie dydaktycznym te pojęcia NIE są przeciwstawne. W
przekonaniu Pana Pawlaka proces rozumowania wokół danego zagadnienia musi polegać
na wielokrotnym doformalizowaniu i odformalizowaniu. Tu nie chodzi o to, byśmy zawsze
bardzo pieczołowicie żądali definicji, twierdzeń i wzorów. Chodzi mianowicie o to, że gdy
już zdobędziemy pewne sprawności, to powinniśmy spytać dlaczego tak się dzieje, jak
formalnie coś powiedzieć. Brak doformalizowania często skutkuje niezrozumieniem
zagadnienia i błędnym stosowaniem np. danego pojęcia.
To doformalizowanie jest szczególnie ważne wtedy, kiedy tworzymy pewne
nadrzędne interpretacje. Też kiedy wnioskujemy o pewnych rzeczach, a nie tylko z nich
bezpośrednio korzystamy. Np. kwestia zrozumienia pojęcia podciągu – gdy ktoś widzi
podciąg to wie, że to jest podciąg, gdy coś podciągiem nie jest, to też ludzie wiedzą, że
to nie jest podciąg, ale zdefiniować nie potrafią i dlatego powinni mimo wszystko umieć
zdefiniować, gdyż czasami spotykamy się z dość specyficznymi sytuacjami w których bez
doformalizowania dalej nie pójdziemy. Wiedza o rzeczach typu czym jest podciąg jest
niezbędna gdy wchodzimy w niektóre sfery matematyki wyższej. Np. bez kwestii
doformalizowania uczniowie mają często problem z nawiasami, bo potem wstawiają je z
pamięci, bez zrozumienia.
To wiąże się z zasadą właściwego ukierunkowania – zasada ta mówi, że w
nauczaniu NIGDY nie powinno być takiej sytuacji, by trzeba było usuwać z umysłu ucznia
tego, co już zostało tam ukształtowane poprzednio. Jest to jedna z trudniejszych zasad i
bardzo specyficzna dla matematyki. Trudność tutaj polega na tym, że bardzo często nie
można tej zasady dosłownie stosować, np. w szkole gdy mówimy o funkcji to też przecież
nie mówimy wszystkich szczegółów, bo nie mówimy wtedy uczniom o relacjach itp. To nie
jest sprzeczne z tą zasadą, która mówi o tym, by nie wymazywać uczniom poznanej już
wiedzy. Mowa o funkcjach jest związana z nauczaniem spiralnym. To rzecz bardzo ważna,
ale też bardzo delikatna. Chodzi o to by, wiedzę podawać tak, abyśmy potem nie musieli
się z niej wycofywać, a z drugiej w ramach jak uczniowie są starsi powinniśmy spiralnie
rozszerzać ich wiedzę, zwiększamy dokładność i tutaj właśnie pojawia się kwestia
doformalizowania, to na tym doformalizowaniu polega dokładniejsze przyglądanie się
pewnym zagadnieniom matematycznym.
Są sytuacje w których bez doformalizowania nasza wiedza jest bardzo płytka i
zawieszona w próżni, co prowadzi do pewnego dyskomfortu poznawczego uczniów.
Wtedy właśnie jest też brak pewności co do poprawności czy w ogóle sposobu
rozwiązania danego zadania. Często uczeń nawet jeśli wie, jak rozwiązać dane zadanie,
to nie jest pewny, czy wie dobrze, wtedy też uczeń nie jest pewny swojej odpowiedzi na
zadane pytanie itp. Podobnie jest ze ściąganiem – uczeń nie jest pewny, czy dobrze myśli
i chce się upewnić. To wszystko jest konsekwencją niedoformalizowania pewnych rzeczy.
Dlatego właśnie uczniowie nie lubią kombinatoryki, prawdopodobieństwa, ponieważ nie
mają
umiejętności
doformalizowania.
Matematyka
jest
przedmiotem
bardzo
abstrakcyjnym i często formalizm jest jej esencją, bez doformalizowania czujemy się
bardzo niepewnie.
20
Omówienie sprawdzianu po szkole podstawowej
Sprawdzian wtedy jest dobry, gdy mówi coś o myśleniu ucznia. Nie należy robić
zbyt łatwych sprawdzianów, bo prawda jest taka, że uczeń uczy się pod test, pod
sprawdzian i tak to będzie się uczył tylko tych prostych rzeczy i poziom będzie coraz
gorszy. Nadal piętą achillesową poza ułamkami są zadania tekstowe. Nadal za mało
dyskutujemy z uczniami o zadaniach, negocjujmy np. jak zabrać się do rozwiązywania
danego zadania. Za mało pokazujemy uczniom zastosowań matematyki, tak by uczeń
wiedział, że wiedza, którą zdobywa do czegoś służy. Najbardziej niepokojące jest to, że w
szkołach niepublicznych testy poszły znacznie lepiej niż w publicznych, a przecież do
prywatnych chodzi zaledwie garstka uczniów. Powinniśmy pozwolić uczniom myśleć!
Kalkulatory należy wprowadzić w szkole jak najwcześniej, bo zakaz postrzegany jest jak
złośliwość nauczyciela. Jeśli zabronimy używać kalkulatorów to uczniowie nigdy nie
pomyślą, że warto liczyć bez kalkulatorów bo będą wciąż podchodzić na tej zasadzie, że
gdyby kalkulator mieli to by było lepiej. Warto przeprowadzać testy, badania, one są
cenne, pozwalają dostrzec wiele problemów i można wtedy szukać rozwiązań. Trzeba
umieć łączyć matematykę z dydaktyką. Z matematyki jest naprawdę wiele ciekawych
tematów, nie tylko te stricte teoretyczne.
TWIERDZENIA
Z formalnego punktu widzenia nazywamy zarówno aksjomaty jak i każde zdanie
logiczne o którego prawdziwości przekonujemy się za pomocą dowodu. Aksjomaty w
szkole nie muszą się pokrywać z aksjomatami w szkole, bo jednak czasami uczniowie sa
na zbyt niskim poziomie by im udowadniać niektóre rzeczy, wiec przyjmujemy je tam
jako aksjomaty. Twierdzenie występuje w dwóch zasadniczych postaciach – implikacji i
równoważności. Do szkoły średniej stosujemy wyłącznie postać implikacji, a w szkole
średniej można, ale niekoniecznie trzeba stosować również równoważności.
Bardzo ważne jest ukształtowanie w umyśle dziecka hipotetyczno dedukcyjnej
struktury twierdzenia, tzn. że ilekroć spełnione jest założenie, to zawsze prawdziwa
jest teza. To dla uczniów wcale nie jest takie oczywiste. Uczniowie często nie wiedzą,
czemu służą założenia twierdzenia, nie widzą w ogóle powodu czemu trzeba się ich uczyć.
Powinniśmy ZARAZ od początku pokazywać właśnie uczniom ten hipotetyczno
dedukcyjny charakter twierdzeń, pokazywać co to oznacza np. „Jeśli wyciągnę 1 lub 6 to
rozpoczynam grę” takie rzeczy można mówić uczniom już na samym początku i
tłumaczyć co to znaczy. W starszych klasach pokazywać jak i gdzie stosujemy konkretne
twierdzenia, omawiać sprawdzanie założeń twierdzenia, czy my w ogóle możemy
zastosować twierdzenie Talesa, dlaczego możemy korzystać z twierdzenia Pitagorasa itp.
To kwestia bardzo istotna.
Zwracamy też od razu uczniom uwagę na niemożność odwracania twierdzeń,
typu nie możemy odwrócić: „Jeśli rozpocząłem grę to wyrzuciłem jedynkę” bo przecież
mogłem wrzucić szóstkę i tutaj mamy pole do dyskusji, bo pewne rzeczy wolno odwracać
typu Jeśli rozpocząłem grę to znaczy ze wyrzuciłem 1 lub 6. Tłumaczymy to uczniom
często i dokładnie.
Ważne jest też interpretowanie twierdzeń w konkretnych sytuacjach. Przez
twierdzenie rozumiemy także wzory matematyczne. Pokazujemy dokładny zakres
możliwości wykorzystania danego twierdzenia. Czyli wyraźnie musimy zaznaczyć, że jeśli
mówię o twierdzeniu Pitagorasa, to mamy do czynienia z trójkątem prostokątnym, a nie
dowolnym.
Użyteczność twierdzeń. Trzeba pokazać obszary w których dane twierdzenie
może być użyteczne i takie w których stosować go nie możemy. To jest bardzo ważne w
liceum, bo mamy tam bardziej złożone zagadnienia, np. pochodna.
21