Geometria rózniczkowa krzywych
Transkrypt
Geometria rózniczkowa krzywych
Ani213 Tekst 7-3 Geometria rózniczkowa krzywych - wzory r(t) — wektor wodza̧cy punktu na krzywej dla parametru t, r(t) = (x(t), y(t)) lub (x(t), y(t), z(t). Rt s(t) := t0 kr0 (u)k2 du dÃlugość krzywej od punktu odpowiadaja̧cego wartości parametru t0 do wartości t - parametr naturalny. t jest parametrem naturalnym ⇔ kr0 (t)k2 ≡ 1. Jednostkowy wektor styczny do krzywej w punkcie r(t): → − T (t) := r0 (t) = r0 (s). 0 kr (t)k2 Jednostkowy wektor normalny do krzywej w punkcie r(t): − →0 − → T (t) r00 (s) . N (t) := − = →0 00 (s)k kr 2 k T (t)k2 Wektor binormalny (jednostkowy) do krzywej w punkcie r(t): − → − → − → B (t) := T (t) × N (t) = r0 (t) × r00 (t) r0 (s) × r00 (s) = . kr0 (t) × r00 (t)k2 kr00 (s)k2 1 − → → Iloczyn wektorowy wektorów − a i b: ¯− → → ¯→ e1 − e2 − e3 ¯ − → ¯ − → a × b = ¯ a1 a2 a3 ¯ b1 b2 b3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ − → → - jest to wektor prostopadÃly do danych o dÃlugości równej k− a k2 k b k2 sin θ, − → − → → → gdzie θ to ka̧t miȩdzy wektorem − a i wektorem b a zwrot − a×b wyznaczony jest reguÃla̧ prawej dÃloni. Wzór na pÃlaszczyznȩ dwustyczna̧ (ściśle styczna̧, bistyczna̧) do krzywej w punkcie r(t0 ): ¯ ¯ ¯ x − x(t0 ) x0 (t0 ) x00 (t0 ) ¯ ¯ ¯ ¯ y − y(t0 ) y 0 (t0 ) y 00 (t0 ) ¯ = 0. ¯ ¯ ¯ z − z(t0 ) z 0 (t0 ) z 00 (t0 ) ¯ Wzór na pÃlaszczyznȩ normalna̧ do krzywej w punkcie r(t0 ): h(x, y, z) − r(t0 ), r0 (t0 )i = 0 lub (x − x(t0 ))x0 (t0 ) + (y − y(t0 ))y 0 (t0 ) + (z − z(t0 ))z 0 (t0 ) = 0. Promień krzywizny krzywej w punkcie r(t): kr0 (t)k32 1 R(t) := √ = 00 , kr (s)k2 A2 + B 2 + C 2 gdzie ¯ 0 ¯ y (t) z 0 (t) A := ¯¯ 00 y (t) z 00 (t) ¯ ¯ ¯, ¯ ¯ 0 ¯ z (t) x0 (t) B := ¯¯ 00 z (t) x00 (t) 2 ¯ ¯ ¯, ¯ ¯ 0 ¯ x (t) y 0 (t) C := ¯¯ 00 x (t) y 00 (t) ¯ ¯ ¯. ¯ Krzywizna krzywej w punkcie r(t) czyli odwrotność promienia krzywizny: √ − → − →0 k T 0 (t)k2 A2 + B 2 + C 2 00 κ := 1/R(t) = = = kr (s)k = k T (s)k2 . 2 kr0 (t)k2 kr0 (t)k32 Skrȩcenie (druga krzywizna, torsja) krzywej w punkcie r(t): ¯ 0 ¯ ¯ ¯ x (t) y 0 (t) z 0 (t) ¯ ¯ x0 (s) y 0 (s) z 0 (s) ¯ 00 ¯ ¯ ¯ x (t) y 00 (t) z 00 (t) ¯ ¯ x00 (s) y 00 (s) z 00 (s) ¯ ¯ ¯ 000 000 000 ¯ ¯ ¯ x000 (s) y 000 (s) z 000 (s) x (t) y (t) z (t) − →0 τ (t) := k B (s)k2 = = A2 + B 2 + C 2 kr00 (s)k22 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ .