analiza portfelowa
Transkrypt
analiza portfelowa
Wykªad z Analizy portfelowej Tomasz Rodak 2 czerwca 2014 Cz¦±¢ I Stopa zwrotu jako zmienna losowa Cp , któr¡ chcemy zainwestowa¢ (np. wpªaci¢ na konto, kupi¢ akcje t0 i po pewnym czasie, na przykªad w chwili t1 , Zyskiem z naszej inwestycji w przedziale czasu ht0 , t1 i nazwiemy wielko±¢ Zaªó»my, »e mamy pewn¡ kwot¦ lub obligacje itp.). Dokonujemy inwestycji w chwili podejmujemy kwot¦ Ck . Z := Ck − Cp . Natomiast stop¡ zwrotu z inwestycji w tym okresie b¦dzie stosunek zysku do kwoty pocz¡tkowej, tzn. R := Zaªó»my na pocz¡tek, »e wielko±¢ liczb¡ z przedziaªu równa 0, h−1, +∞), Ck Z Ck − Cp = . Cp Cp (0.1) nie mo»e by¢ ujemna. Wida¢, »e wówczas stopa zwrotu jest przy czym R = −1 dokªadnie wtedy, gdy kwota ko«cowa Ck jest czyli gdy stracimy wszystkie pieni¡dze. Przykªad 1. Kupujemy za 100 zª roczn¡ obligacj¦. Po roku wypªata wynosi 110 zª. Wyznaczymy stop¦ zwrotu. Mamy Cp = 100, Ck = 110, a zatem R= 110 − 100 = 0, 1. 100 Ze wzoru (0.1) widzimy, »e je±li znamy kwot¦ pocz¡tkow¡ Cp i stop¦ zwrotu R, to kwota ko«cowa b¦dzie dana wzorem Ck = Cp (1 + R). Przykªad 2. Wpªacamy (0.2) 100 zª na trzyletni¡ lokat¦ kapitalizowan¡ rocznie i oprocentowan¡ na 7%. Wyznaczymy kwot¦ na koniec inwestycji. Mamy Niech Ct Cp = 100, R = 0, 07. Czas trwania inwestycji mo»emy uto»sami¢ z przedziaªem oznacza kwot¦ na koncie w chwili t ∈ h0, 3i. Zatem C0 = Cp = 100, C3 szukan¡. Ze wzoru (0.2) mamy kolejno C1 = C0 (1 + R) = 100 · 1, 07 = 107, C2 = C1 (1 + R) = 107 · 1, 07 = 114, 49, C3 = C2 (1 + R) = 114, 49 · 1, 07 = 122, 5043. 1 h0, 3i. jest wielko±ci¡ Zatem, zaokr¡glaj¡c, po zako«czeniu inwestycji b¦dziemy mieli do podj¦cia kwot¦ Ogólnie, je±li mamy n okresów kapitalizacji, kwot¦ pocz¡tkow¡ oznacza zainwestowan¡ kwot¦ w chwili t ∈ h0, ni, Cp , 122, 5 stop¦ zwrotu R zª. i je±li Ct to Cn = C0 (1 + R)n . Przykªad 3. Tabelka 1 zawiera cotygodniowe kursy hipotetycznej spóªki A z okresu dwóch mie- si¦cy. Korzystaj¡c ze wzoru (0.1) mo»emy wyznaczy¢ stopy zwrotu w kolejnych tygodniach (taCzas 1 2 3 4 5 6 7 8 A 21,60 22,12 20,10 22,40 24,90 25,65 25,10 26,75 Tablica 1: Tygodniowe notowania spóªki A belka 2). Przykªadowo aby obliczy¢ stop¦ zwrotu w pierwszym tygodniu przyjmujemy Czas 1 2 3 4 5 6 7 8 A 2,41% -9,13% 11,44% 11,16% 3,01% -2,14% 6,57% Tablica 2: Tygodniowe stopy zwrotu spóªki Ck = 22, 12 Cp = 21, 60, co daje r1 = (22, 12 − 21, 60)/21, 60 ' 0, 02407 ' 2, 41% A itd. Dla uproszczenia sytuacji w przykªadzie tym nie uwzgl¦dnili±my dywidend. Zaªó»my teraz, »e inwestujemy kwot¦ wszystkie akcje inkasuj¡c kwot¦ czyli »e kwota Ck Ck . Cp w akcje spóªki A. Po pewnym czasie sprzedajemy Liczymy oczywi±cie na to, »e inwestycja b¦dzie opªacalna, b¦dzie istotnie wi¦ksza ni» kwota Cp . Czy tak si¦ stanie pewno±ci nie ma, gdy» notowania spóªek na gieªdzie zachowuj¡ si¦ w sposób mniej lub bardziej losowy. Wa»n¡ kwesti¡ jest zatem mo»liwo±¢ oceny inwestycji. Uznajmy wi¦c wielko±¢ zwrotu R wzorem (0.1). Wówczas R Ck za zmienn¡ losow¡ i okre±lmy stop¦ jest równie» zmienn¡ losow¡. Mo»emy teraz uzna¢, »e nasza inwestycja jest opªacalna, gdy warto±¢ oczekiwana E(R) jest dodatnia, lub jeszcze lepiej, gdy jest wi¦ksza od jakiej± ustalonej wcze±niej wielko±ci dodatniej. Powinni±my równie» rozwa»y¢ kwesti¦ ryzyka. Zauwa»my, »e du»a oczekiwana stopa zwrotu nie zabezpiecza nas przed du»¡ strat¡. Przykªad 4. Rozwa»my dwie gry: rzucamy monet¡, je±li wypadnie orzeª, to w pierwszej grze inkasujemy a w drugiej 1 zª, a w drugiej 1000 zª. Je±li wypadnie reszka, to w pierwszej grze przegrywamy 1 zª, 1000 zª. Wydaje si¦, »e wielu byªoby skªonnych zagra¢ w gr¦ pierwsz¡, maªo kto jednak chciaªby zagra¢ w gr¦ drug¡. Ewentualna wygrana w grze pierwszej jest niewielka, ale niewielkie jest te» ryzyko. Przeciwnie w grze drugiej, ewentualna wygrana jest du»a, ale ryzyko te» jest du»e. Narz¦dziem, którego u»yjemy do zmierzenia ryzyka jest odchylenie standardowe. Przypomnijmy, »e je±li X jest zmienn¡ losow¡, to wariancj¦ i odchylenie standardowe X okre±lamy odpowiednio wzorami: Var(X) :=E (X − E(X))2 , p σ(X) := Var(X). Wykonajmy obliczenia dla przykªadu 4. Niech wygran¡ w j -tej grze. Zmienne Xj Xj , j = 1, 2, maj¡ nast¦puj¡ce rozkªady: 2 b¦dzie zmienn¡ losow¡ oznaczaj¡c¡ X1 P (X1 = k) −1 1 1 2 1 2 X2 P (X2 = k) Tablica 3: Rozkªady zmiennych −1000 1000 1 2 1 2 X1 , X2 A zatem 1 1 + 1 · = 0, 2 2 1 1 E(X2 ) = −1000 · + 1000 · = 0, 2 2 r 2 1 2 1 σ(X1 ) = − 1 − 0 · + 1 − 0 · = 1, 2 2 r 2 1 2 1 − 1000 − 0 · + 1000 − 0 · = 1000. σ(X2 ) = 2 2 E(X1 ) = −1 · Widzimy wi¦c, »e w tym przypadku warto±¢ oczekiwana i odchylenie standardowe poprawnie odzwierciedlaj¡ nasz¡ intuicj¦. Wró¢my teraz do przykªadu 3. Zgodnie z tym co zostaªo wcze±niej powiedziane, aby oszacowa¢ A powinni±my wyznaczy¢ E(R) i σ(R), gdzie R A z pewnego okresu. Niestety, w tym przypadku, inaczej ni» w przykªadzie opªacalno±¢ i ryzyko jakie niesie inwestycja w spóªk¦ jest stop¡ zwrotu spóªki 4, zmienna losowa R i jej rozkªad nie s¡ nam znane. Jedyne co mamy do dyspozycji, to tabelka 2. Nie R wyznaczy¢ dokªadnie, mo»emy zatem warto±ci oczekiwanej i odchylenia standardowego zmiennej wielko±ci te mo»emy jedynie estymowa¢. Przyjmijmy tutaj nast¦puj¡ce zaªo»enia: 1. Konkretne stopy zwrotu r1 , . . . , r7 w tabelce 2 s¡ realizacjami stóp zwrotu R1 , . . . , R7 trakto- wanych jako zmienne losowe. 2. Zmienne losowe R1 , . . . , R 7 maj¡ jednakowe rozkªady. 3. Zmienne losowe R1 , . . . , R 7 s¡ parami niezale»ne. µ i σ 2 b¦d¡ odpowiednio warto±ci¡ oczekiwan¡ i wariancj¡ wspólnego R1 , . . . , R7 . Wówczas dobre przybli»enia dla µ i σ uzyskujemy jak ni»ej Niech r1 + · · · + r7 µ ≈ r := = 3, 33%, 7 r 1 σ≈ (r1 − r)2 + · · · + (r7 − r)2 = 7, 35%. 6 Uzasadnieniem dla podanych wy»ej wzorów jest nast¦puj¡ce. Niech (X1 , . . . , Xn ) b¦dzie wekto(X1 , . . . , Xn ) nazywamy rem niezale»nych zmiennych losowych o jednakowym rozkªadzie. Wektor n-elementow¡ prób¡ losow¡ prost¡ danego rozkªadu. Poªó»my X1 + · · · + Xn , n n 1 X Vb := Xj − X)2 . n − 1 j=1 X := 3 rozkªadu zmiennych µ i σ 2 b¦d¡ odpowiednio X1 , . . . , Xn . Wtedy Twierdzenie 5. Niech kªadu zmiennych Dowód. Pozostawiamy jako ¢wiczenie. warto±ci¡ oczekiwan¡ i wariancj¡ wspólnego roz- E(X) = µ, E(Vb ) = σ 2 . (x1 , . . . , xn ) jest realizacj¡ wektora losowego (X1 , . . . , Xn ) xj = Xj (ω) dla pewnego zdarzenia elementarnego ω ∈ Ω), to jako przybli»enie µ i σ 2 sensownie Z powy»szego twierdzenia wynika, »e je±li (tzn. jest przyj¡¢ x1 + · · · + xn , n n 1 X σ2 ≈ xj − x̄)2 . n − 1 j=1 µ ≈ x̄ := Ze wzgl¦du na tez¦ twierdzenia 5 zmienne losowe odpowiednio warto±ci oczekiwanej i wariancji. Zdeniujmy jeszcze Jasnym jest, »e dla du»ych n X i Vb σ2 ) v u X u1 n σ̂ := t Xj − X)2 . n j=1 (tradycyjnie dla stosuje si¦ wzór (0.4) nazywa si¦ estymatorami nieobci¡»onymi n > 30) ró»nica pomi¦dzy realizacjami zaniedbywalna. Cz¦sto wi¦c w praktyce jako estymacj¦ odchylenia standardowego i wariancji (0.3) σ Vb i σ̂ 2 jest (a tym samym v u X u1 n σ≈t xj − x̄)2 . n j=1 Na koniec tego paragrafu rozwa»ymy dwa przykªady, w których stopa zwrotu z inwestycji b¦dzie miaªa jawny rozkªad. Przykªad 6. W podr¦czniku Luenberger [2003] znajduje si¦ nast¦puj¡ce zadanie. Ubezpieczenie od deszczu. Przyjaciel Gavina Jonesa chce zainwestowa¢ 1 mln dol. w organizacj¦ koncertu rockowego, który ma si¦ odby¢ za rok. Przyjaciel wyliczyª, »e z zainwestowanego miliona uzyska 3 mln dol., o ile nie b¦dzie wtedy padaªo. Je±li pogoda nie dopisze i b¦dzie padaª deszcz, straci caªy zainwestowany kapitaª. Prawdopodobie«stwo, »e w dzie« koncertu b¦dzie padaª deszcz, wynosi 50%. Gavin zasugerowaª wykupienie ubezpieczenia od deszczu. Za 0,5 dol. mo»na naby¢ polis¦ ubezpieczeniow¡, która przynosi 1 dol. w sytuacji, kiedy w dniu koncertu b¦dzie padaª deszcz, i nie daje nic, je±li deszczu nie b¦dzie. Przyjaciel mo»e kupi¢ dowoln¡ ilo±¢ takich polis, nie wi¦cej jednak ni» za kwot¦ 3 mln dol. 1. Jaka jest oczekiwana stopa zwrotu z caªej inwestycji, je»eli przyjaciel wykupi u polis? 2. Jaka liczba polis zminimalizuje wariancj¦ stopy zwrotu? Ile wynosi ta minimalna wariancja? Ile wyniesie wtedy oczekiwana stopa zwrotu? 4 Z warunków zadania widzimy, »e 0 6 u 6 6 · 106 , u∈Z u Cp = 106 + . 2 Niech ωp : zdarzenie polegaj¡ce na tym, »e padaªo, ωnp : zdarzenie polegaj¡ce na tym, »e nie padaªo. Wówczas kwota ko«cowa Ck R oraz stopa zwrotu okre±lona wzorem (0.1) s¡ zmiennymi losowymi postaci Ck ωp u ωnp 3 · 106 R u/2−106 106 +u/2 2·106 −u/2 106 +u/2 zdarzenie Tablica 4: Zmienne losowe Zatem E(R) = oraz σ 2 (R) = Ck i R 1 6 1 u/2 − 106 1 2 · 106 − u/2 2 · 10 · 6 + · = 2 10 + u/2 2 106 + u/2 106 + u2 2 1 2 3 · 106 − u 2 1 R(ωp ) − E(R) + R(ωnp ) − E(R) = 2 6 u 2 . 2 2 10 + 2 u = 3 · 106 dostajemy σ 2 (R) = 0, co oczywi±cie daje minimaln¡ wariancj¦. Przy tak dobranym u inwestycja jest w ogóle pozbawiona ryzyka. Stopa zwrotu jest wówczas równa 20% a zysk b¦dzie wynosiª 0, 5 mln dol. Zauwa»my, »e parametr u daj¡cy minimaln¡ wariancj¦ mogli±my otrzyma¢ nie licz¡c wariancji, St¡d dla ale za to dokªadniej analizuj¡c tabelk¦ 4. Istotnie, zmienna losowa staªa ma zawsze wariancj¦ równ¡ 0, a wida¢, »e R jest staªa dokªadnie wtedy, gdy u = 3 · 106 . Przykªad 7 (5 stanów gieªdy). Zaªó»my, »e eksperci oszacowali, »e w zale»no±ci od stanu gospodarki stopy zwrotu dwóch danych spóªek A1 i A2 wygl¡daj¡ nast¦puj¡co: stan prawdopodobie«stwo wyst¡pienia R1 R2 hossa 0,2 40% 30% wzrost 0,3 20% 20% stabilizacja 0,1 10% 10% spadek 0,3 -10% -20% bessa 0,1 -30% -20% Tablica 5: 5 stanów gieªdy 5 Rozkªady zmiennych losowych R1 i R2 mamy dane, mo»emy wi¦c obliczy¢ warto±ci oczekiwane i odchylenia standardowe: E(R1 ) = 0, 2 · 40% + · · · + 0, 1 · (−30%) = 9%, p σ(R1 ) = 0, 2 · (40% − 9%)2 + · · · + 0, 1 · (−30% − 9%)2 = 22, 11%, Spóªka A E(R2 ) = 0, 2 · 30% + · · · + 0, 1 · (−20%) = 5%, p σ(R2 ) = 0, 2 · (30% − 5%)2 + · · · + 0, 1 · (−20% − 5%)2 = 21, 10%. daje zatem wi¦ksz¡ stop¦ zwrotu przy nieco wi¦kszym ryzyku, tak jak to wªa±nie zwykle bywa. Cz¦±¢ II Portfel dwuskªadnikowy Przykªad 8. Rozwa»my dwie spóªki A1 i A2 , w które chcemy zainwestowa¢ kwot¦ Cp . Zaªó»my, »e historyczne stopy zwrotu tych spóªek prezentuj¡ si¦ jak w tabelce: R1 R2 16,00% 15,00% -5,00% 4,00% -12,00% -7,00% 10,00% -12,00% -1,00% 8,00% 10,00% 15,00% 18,00% 22,00% Tablica 6: Historyczne stopy zwrotu dwóch spóªek Tak jak w przykªadzie 3 stosuj¡c wzory (0.3) oraz (0.4), obliczamy (a dokªadniej estymujemy) warto±¢ oczekiwan¡ i odchylenie standardowe spóªek r̄1 = 3%, σ1 = 11, 20%, r̄2 = 8, 57%, Widzimy od razu, »e spóªka A1 A1 i A2 (0.5) σ2 = 11, 75%. dawaªa znacz¡co ni»sz¡ stop¦ zwrotu ni» spóªka (0.6) A2 przy niemal tym samym ryzyku. Je»eli przyjmiemy, »e wyliczone wy»ej wska¹niki b¦d¡ obowi¡zywaªy w przyszªo±ci, to wydaje si¦, »e inwestowanie w spóªk¦ A1 nie mo»e przynie±¢ nam »adnych korzy±ci. Rzeczywisto±¢ A2 , nie zainwestujemy w ni¡ okazuje si¦ by¢ jednak inna. Nie decydujemy si¦ na rezygnacj¦ ze spóªki jednak caªego kapitaªu, a tylko pewn¡ jego cz¦±¢. Innymi sªowy dokonamy dywersykacji naszego portfela, tak »e jego stopa zwrotu b¦dzie le»e¢ gdzie± pomi¦dzy stopami zwrotu spóªek natomiast ryzyko wyra¹nie poni»ej ryzyka spóªki 1 A1 i A2 , A1 . Kowariancja, wspóªczynnik korelacji Zanim rozwi¡»emy problem postawiony w powy»szym przykªadzie, przypomnimy najpierw poj¦cia kowariancji i korelacji zmiennych losowych. Je±li X, Y s¡ zmiennymi losowymi o warto±ciach oczekiwanych odpowiednio kowariancj¦ okre±lamy wzorem cov(X, Y ) = E ((X − µX )(Y − µY )) , 6 µX i µY , to ich o ile warto±¢ oczekiwana po prawej stronie istnieje. O zmiennych losowych X i s¡ dodatnio skorelowane, nieskorelowane, ujemnie skorelowane, gdy odpowiednio Y , mówimy, »e cov(X, Y ) > 0, cov(X, Y ) = 0, cov(X, Y ) < 0. Intuicja stoj¡ca za poj¦ciem kowariancji jest nast¦puj¡ca: fakt, »e X , Y s¡ dodatnio skorelowane oznacza, »e je±li realizacja zmiennej X jest wi¦ksza ni» µX , to spodziewamy si¦, »e realizacja zmiennej Y b¦dzie wi¦ksza ni» µY . zmienne Wspóªczynnik korelacji zmiennych losowych wprowadza si¦ jako standaryzacj¦ kowariancji. Dokªadniej je±li kowariancja zmiennych losowych X, Y istnieje a ich wariancje s¡ niezerowe, to ich wspóªczynnik korelacji okre±lamy wzorem ρ(X, Y ) := p cov(X, Y ) Var(X)Var(Y ) . Aby wyznaczy¢ zbiór warto±ci wspóªczynnika korelacji wykorzystamy nierówno±¢ Schwartza: X , Y s¡ zmiennymi p E(XY ) 6 E(X 2 )E(Y 2 ). Twierdzenie 9 (Nierówo±¢ Schwartza). Je±li ±ciach oczekiwanych, to losowymi o sko«czonych warto- Co wi¦cej, równo±¢ w powy»szej nierówno±ci zachodzi dokªadnie wtedy, gdy istniej¡ staªe równe jednocze±nie 0, takie »e a, b, nie P (aX + bY = 0) = 1. Dostajemy st¡d Wniosek 10. Je±li X, Y s¡ zmiennymi losowymi i ich korelacja istnieje, to −1 6 ρ(X, Y ) 6 1. ρ(X, Y ) = ±1, dokªadnie P (Y = aX + b) = 1. Ponadto oraz wtedy, gdy istniej¡ staªe B¦dziemy mówili, »e zmienne losowe ujemnie ), gdy ρ(X, Y ) = 1 (odpowiednio a, b, X , Y s¡ doskonale ρ(X, Y ) = −1). takie »e a 6= 0, sgna = ρ(X, Y ) skorelowane dodatnio (odpowiednio Przykªad 11. Obliczymy kowariancj¦ i wspóªczynnik korelacji dla spóªek z przykªadu 7 (5 stanów gieªdy). Mamy cov(R1 , R2 ) = 0, 2(0, 4 − 0, 09)(0, 3 − 0, 05) + · · · + 0, 1(−0, 3 − 0, 09)(−0, 2 − 0, 05) = 0, 0445, 0, 0445 ρ(R1 , R2 ) = = 0, 9539. 0, 2211 · 0, 211 Podobnie jak dla warto±ci oczekiwanej i wariancji, je±li zamiast rozkªadów prawdopodobie«stwa mamy dane jedynie wektory prób losowych, to kowariancji nie mo»emy wyznaczy¢ dokªadnie, mo»emy j¡ jedynie estymowa¢. I tak, je»eli (X1 , . . . , Xn ) oraz (Y1 , . . . , Yn ) s¡ n-elementowymi próbami losowymi prostymi pewnych dwóch nieznanych rozkªadów prawdopodobie«stwa, to kªadziemy n cd ov := 1 X (Xj − X̄)(Yj − Ȳ ). n − 1 j=1 7 Twierdzenie 12. Je±li σXY jest kowariancj¡ omawianych wy»ej rozkªadów, to E(d cov) = σXY . Dowód. Pozostawiamy jako ¢wiczenie. A zatem, je»eli (x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn ) b¦d¡ realizacjami wektorów losowych (X1 , . . . , Xn ), (Y1 , . . . , Yn ), to kowariancj¦ σXY b¦dziemy przybli»ali wzorem odpowiednio n σXY ≈ 1 X (xj − x̄)(yj − ȳ). n − 1 j=1 Przykªad 13. Wyestymujemy kowariancj¦ a nast¦pnie korelacj¦ zmiennych 8. Wielko±ci r̄1 , r̄2 R1 i R2 z przykªadu dane s¡ wzorami (0.5), (0.6). Zatem 1 (0, 16 − 0, 03)(−0, 12 − 0, 0857) + · · · 6 1 + (0, 10 − 0, 03)(0, 22 − 0, 0857) = −0, 0078833333. 6 σ12 = St¡d ρ12 = 2 σ12 = −59, 95%. σ1 σ2 Opis portfela o dwóch aktywach, odwzorowanie Markowitza Po tym przypomnieniu mo»emy przej±¢ do naszego problemu dywersykacji. Zakªadamy, »e dane s¡ dwie spóªki przez Cp . A1 i A2 o stopach zwrotu R1 i R2 . Kapitaª przeznaczony na inwestycj¦ oznaczamy Kªadziemy ponadto µ1 := E(R1 ), σ1 := σ(R1 ), µ2 := E(R2 ), σ2 := σ(R2 ), σ12 := cov(R1 , R2 ), σ12 . ρ12 := ρ(R1 , R2 ) = σ1 σ2 Niech x1 Wówczas Wektor x2 b¦d¡ cz¦±ciami naszego kapitaªu Cp inwestowanymi odpowiednio w spóªk¦ A1 i A2 . x1 , x2 ∈ h0, 1i, x1 + x2 = 1, w spóªk¦ A1 inwestujemy x1 Cp a w spóªk¦ A2 kwot¦ x2 Cp . x1 x := ∈ R2 x2 i b¦dziemy nazywali portfelem akcji. wynosi stopa zwrotu W rozwa»anym przypadku portfel jest dwuskªadnikowy. Ile R(x) z portfela x? Niech Ck oznacza kapitaª po zako«czeniu inwestycji. Zgodnie ze wzorem (0.2) mamy Ck = x1 Cp (1 + R1 ) + x2 Cp (1 + R2 ). 8 Zatem R(x) Ck − Cp Cp x1 Cp (1 + R1 ) + x2 Cp (1 + R2 ) − (x1 Cp + x2 Cp ) = Cp = x1 R1 + x2 R2 . = Skoro znamy stop¦ zwrotu z portfela, to mo»emy równie» wyznaczy¢ jego warto±¢ oczekiwan¡ i odchylenie standardowe σ(x). E(x) Z faktu, »e warto±¢ oczekiwana jest liniowa dostajemy E(x) := E(R(x)) = E(x1 R1 + x2 R2 ) = x1 E(R1 ) + x2 E(R2 ) = x1 µ1 + x2 µ2 . Nieco bardziej zªo»one jest obliczenie wariancji 2 := σ 2 (R(x)) = E (R(x) − E(R(x))) 2 = E (x1 R1 + x2 R2 − x1 µ1 − x2 µ2 ) 2 = E (x1 (R1 − µ1 ) + x2 (R2 − µ2 )) = x21 E (R1 − µ1 )2 + 2x1 x2 E ((R1 − µ1 )(R2 − µ2 )) + x22 E (R2 − µ2 )2 σ 2 (x) = x21 σ12 + 2x1 x2 σ12 + x22 σ22 . Podsumowuj¡c σ 2 (x) = x21 σ12 + 2x1 x2 σ12 + x22 σ22 . (2.1) x jest form¡ kwadratow¡ (zaw¦»on¡ do ∆1 ), przy czym jej x21 i x22 , to odpowiednio wariancja R1 i wariancja R2 , a wspóªczynnik przy x1 x2 , kowariancja R1 , R2 . Okazuje si¦ wi¦c, »e wariancja portfela wspóªczynniki przy to podwojona Powy»sze wzory na stop¦ zwrotu, warto±¢ oczekiwan¡ i wariancj¦ portfela wygodnie jest zapisywa¢ w postaci macierzowej (równie» wtedy, gdy u»ywamy ich w arkuszu kalkulacyjnym). Niech Σ := Macierz Σ σ12 σ12 σ12 σ22 = σ12 ρ12 σ1 σ2 ρ12 σ1 σ2 σ22 nazywamy macierz¡ kowariancji zmiennych losowych R1 R := , R2 µ := µ1 µ2 R1 , R2 . atwo sprawdzamy, »e R1 R(x) = x1 x2 = xT R, R2 µ1 x x E(x) = 1 = xT µ, 2 µ2 σ12 σ12 x1 σ 2 (x) = x1 x2 = xT Σx. σ12 σ22 x2 9 Oznaczmy Mo»emy teraz zdeniowa¢ gªówne narz¦dzie analizy portfelowej: odwzorowanie Markowitza. Niech ∆1 := {x ∈ R2 : x1 , x2 > 0, x1 + x2 = 1}. Geometrycznie zbiór Odwzorowanie ∆1 jest domkni¦tym odcinkiem na pªaszczy¹nie o ko«cach M : ∆1 → R>0 × R (1, 0), (0, 1). okre±lone wzorem √ σ (x) xT Σx = E (x) xT µ M(x) := nazywamy odwzorowaniem Markowitza . Obraz odwzorowania M, czyli zbiór M(∆1 ), nazywamy zbiorem mo»liwo±ci. Odwzorowanie f : ∆1 → R>0 × R M okre±lone wzorem f M(x) := 2 T σ (x) x Σx = E (x) xT µ nazywamy zmodykowanym odwzorowaniem Markowitza. A zatem odwzorowanie Markowitza przyporz¡dkowuje ka»demu portfelowi x ∈ ∆1 jego odchy- lenie standardowe (interpretowane jako ryzyko) i oczekiwan¡ stop¦ zwrotu. Przykªad 14. Zilustrujemy wprowadzone wy»ej poj¦cia korzystaj¡c ze spóªek A1 i A2 wprowa- dzonych w przykªadzie 8. Obliczyli±my ju», »e Σ= −0, 007 , 0, 014 0, 013 −0, 007 µ= 0, 030 . 0, 086 Na rysunku 2.1 pokazujemy zbiór mo»liwo±ci w tym przypadku, wykre±lony w arkuszu kalkulacyjnym. Zauwa»my, »e rysunek rozwi¡zuje postawione w przykªadzie 8 zadanie: istnieje wiele portfeli, które maj¡ odchylenie standardowe mniejsze ni» odpowiada portfelowi min(σ1 , σ2 ). Punkt B = (5, 66%, 5, 79%) T (1/2, 1/2)T , który wybierze inwestor o najwi¦kszej awersji do ryzyka. Dla tego portfela odchylenie standardowe osi¡ga warto±¢ minimaln¡. Przemieszczaj¡c si¦ wzdªu» krzywej zbioru mo»liwo±ci od B w prawo w gór¦ do A2 , b¦dziemy przechodzili przez punkty odpowiadaj¡ce portfelom o coraz wi¦kszej stopie zwrotu ale i coraz wi¦kszym ryzyku (odchyleniu standardowym). Punkt A2 odpowiada portfelowi (0, 1)T , czyli samej spóªce A2 . Jest to portfel o najwi¦kszej mo»liB i A2 nazywamy efektywnymi , gdy» wej stopie zwrotu. Portfele odowiadaj¡ce punktom pomi¦dzy dla »adnego z nich nie mo»na znale¹¢ portfela o tej samej stopie zwrotu i mniejszym ryzyku ani portfela o tym samym ryzyku i wi¦kszej stopie zwrotu. Rozwa»my jeszcze punkty pomi¦dzy B i A1 . Te punkty nie s¡ dla nas interesuj¡ce, gdy» nie odpowiadaj¡ portfelom efektywnym w powy»ej opisanym sensie. Dokªadniej dla ka»dego porftela, który wyznacza punkt pomi¦dzy B i A1 , istnieje portfel o tym samym odchyleniu standardowym ale wy»szej stopie zwrotu, istnieje równie» portfel o mniejszym ryzyku i wy»szej stopie zwrotu, np. (1/2, 1/2) T . 10 A2 0.08 0.06 B 0.04 A1 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 σ Rysunek 2.1: Zbiór mo»liwo±ci dla spóªek z przykªadu 8 3 Przypadki szczególne portfela dwuskªadnikowego: korelacja doskonaªa Dalej zbadamy w jaki sposób zmienia si¦ zbiór mo»liwo±ci w zale»no±ci od zmieniaj¡cej si¦ korelacji ρ12 . Zaczniemy od przypadku szczególnego korelacji doskonaªej. W tym i w nast¦pnym paragrae b¦dziemy zakªadali, »e 0 < σ1 < σ2 , µ1 < µ2 . (3.1) Zaªo»enie to nie zmniejsza w istotny sposób ogólno±ci rozwa»a«. Ponadto jest naturalne, gdy» mówi, »e spóªka Niech A2 charakteryzuje si¦ wi¦kszym ryzykiem ale i wi¦ksz¡ x ∈ ∆1 . Je±li ρ12 = ±1, to korzystaj¡c z (2.1) mamy stop¡ zwrotu ni» spóªka σ 2 (x) = x21 σ12 ± 2x1 x2 σ1 σ2 + x22 σ22 = (x1 σ1 ± x2 σ2 )2 . 3.1 Korelacja doskonaªa dodatnia Zatem, w sytuacji doskonale skorelowanej dodatnio, gdy ρ12 = 1, σ(x) = x1 σ1 + x2 σ2 . 11 dostajemy A1 . (3.2) St¡d σ(x) x1 σ1 + x2 σ2 M(x) = = E (x) x1 µ1 + x2 µ2 σ σ2 x1 = 1 , µ1 µ2 x2 czyli M jest po prostu odwzorowaniem liniowym zaw¦»onym do M(∆1 ) =conv M (x) = x1 σ1 µ1 + x2 ∆1 . Poniewa» σ2 , µ2 wi¦c gdzie symbolem σ1 σ , 2 , µ1 µ2 conv oznaczamy otoczk¦ wypukª¡. Zatem zbiór mo»liwo±ci jest odcinkiem na pªasz(σA , µA )T , (σB , µB )T . Uwzgl¦dniaj¡c (3.1) stwierdzamy zatem, »e czy¹nie o ko«cach 1. portfel (1, 0)T ma najmniejsze odchylenie standardowe, 2. portfel (0, 1)T ma najwi¦ksz¡ oczekiwan¡ stop¦ zwrotu, 3. wszystkie portfele s¡ efektywne. Przykªad 15. Niech Σ= 4 6 6 , 9 µ= 8 . 20 Jest to przypadek doskonale skorelowany dodatnio. Zbiór mo»liwo±ci znajduje si¦ na rysunku (3.1). 3.2 Korelacja doskonaªa ujemna W przypadku doskonale skorelowanym ujemnie, gdy ρ12 = −1, mamy w my±l (3.2), σ(x) = |x1 σ1 − x2 σ2 |. Zatem M(x) = Widzimy, »e M σ(x) |x1 σ1 − x2 σ2 | = . E (x) x1 µ1 + x2 µ2 daje si¦ przedstawi¢ jako zªo»enie M = S ◦ L, dane wzorami x1 σ1 − x2 σ2 L (x) := , x1 µ1 + x2 µ2 |σ| S (σ, E) := . E 12 gdzie L : ∆ 1 → R2 , S : R2 → R2 s¡ 20.0 A2 18.0 16.0 14.0 12.0 10.0 A1 8.0 6.0 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 σ Rysunek 3.1: Doskonaªa korelacja dodatnia Podobnie jak w przypadku korelacji doskonaªej dodatniej zauwa»amy, »e liniowym o macierzy zaw¦»onym do ∆1 σ1 µ1 S dem osi pionowej E cz¦±ci Niech B σ1 −σ2 , . µ1 µ2 jest identyczno±ci¡ na prawej póªpªaszczy¹nie E na lewej póªpªaszczy¹nie b¦dzie sum¡ dwóch odcinków: cz¦±ci odcinka osi jest odwzorowaniem i w konsekwencji L(∆1 ) = conv Z drugiej strony −σ2 µ2 L L (∆1 ) le»¡ce na lewo od osi E. n o T (σ, E) : σ 6 0 . n o T (σ, E) : σ > 0 i symetri¡ wzgl¦Zatem zbiór M (∆1 ) = S (L (∆1 )) L (∆1 ) le»¡cej na prawo od osi E oraz odbitej wzgl¦dem Wyznaczymy teraz te odcinki dokªadnie. b¦dzie punktem, w którym odcinek L (∆1 ) przecina si¦ z osi¡ obrazem portfela z odchyleniem standardowym równym zeru. Mamy σ (x) = |x1 σ1 − x2 σ2 | = 0 ⇐⇒ σ2 σ1 , x2 = . x1 = σ1 + σ2 σ1 + σ2 13 E. Oznacza to, »e B jest A2 20.0 ′ A2 18.0 I2 16.0 14.0 B 12.0 10.0 I1 A1 8.0 6.0 −3.0 −2.0 −1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 σ Rysunek 3.2: Doskonaªa korelacja ujemna Je±li wi¦c x̃ jest portfelem o wyliczonych wy»ej wspóªrz¦dnych, to T σ2 µ1 + σ1 µ2 B = M (x̃) = 0, . σ1 + σ2 Ostatecznie M (∆1 ) = I1 ∪ I2 , gdzie Ij , j = 1, 2 jest odcinkiem o ko«cach B i (σj , µj ). M(∆1 ) = I1 ∪ I2 . Podsumowuj¡c, w przypadku doskonaªej korelacji ujemnej 1. portfel x̃ = σ1 σ2 , σ1 + σ2 σ1 + σ2 T ma odchylenie standardowe równe zeru (czyli jest bezryzykowny) a oczekiwan¡ stop¦ zwrotu równ¡ 2. portfel σ2 µ1 + σ1 µ2 , σ1 + σ2 (0, 1)T ma najwi¦ksz¡ oczekiwan¡ stop¦ zwrotu, 3. portfele odpowiadaj¡ce punktom z odcinka I2 14 s¡ efektywne. Przykªad 16. Niech Σ= −6 , 9 4 −6 8 . 20 µ= Jest modykacja danych z przykªadu 15 do przypadku doskonaªej korelacji ujemnej. Zbiór mo»liwo±ci znajduje si¦ na rysunku 3.2. Mamy w tym przypadku x̃ = 4 3/5 , 2/5 B = M (x̃) = 0 . 64/5 Portfel dwuskªadnikowy: korelacja dowolna M(∆1 ) dla portfela o dwóch −1. Teraz odrzucimy ostatnie zaªo»e−1 6 ρ12 6 1. Oznaczenia przyjmujemy W poprzednim paragrae podali±my dokªadny opis zbioru mo»liwo±ci aktywach A1 , B 1 i wspóªczynniku korelacji ρ12 równym 1 lub nie, b¦dziemy zakªadali, »e korelacja jest dowolna, czyli »e takie jak w poprzednim paragrae. Zakªadamy równie» nierówno±ci (3.1). 4.1 Portfel o na jmniejszym odchyleniu standardowym Niech x = (x1 , x2 ) T ∈ ∆1 . Wtedy x1 + x2 = 1, wi¦c korzystaj¡c z (2.1), wariancj¦ portfela x mo»emy zapisa¢ w postaci v(x) := σ 2 (x1 , x2 ) = σ 2 (x1 , 1 − x1 ) = x21 (σ12 − 2σ12 + σ22 ) + 2x1 (σ12 − σ22 ) + σ22 = x21 (σ12 − 2ρ12 σ1 σ2 + σ22 ) + 2x1 (ρ12 σ1 σ2 − σ22 ) + σ22 . x1 ∈ h0, 1i, Naszym celem jest znalezienie w którym wariancja (wi¦c równie» i odchylenie standar- σ12 − 2ρ12 σ1 σ2 + σ22 > 0. A zatem 2 wspóªczynnikiem przy x1 . Przedstawiamy v , dowe) osi¡ga warto±¢ najmniejsz¡. Z nierówno±ci (3.1) wynika, »e funkcja v jest trójmianem kwadratowym z dodatnim jako trójmian kwadratowy, w postaci kanonicznej: v(x1 ) = σ12 − 2ρ12 σ1 σ2 + Teraz ju» ªatwo wida¢, gdzie v σ22 σ 2 − ρ12 σ1 σ2 x1 − 2 2 σ1 − 2ρ12 σ1 σ2 + σ22 + σ12 σ12 σ22 (1 − ρ212 ) . − 2ρ12 σ1 σ2 + σ22 osi¡gnie warto±¢ najmniejsz¡. Poªó»my x̃1 := Z zaªo»e« (3.1) wynika, »e 2 x̃1 ∈ h0, 1i σ12 σ22 − ρ12 σ1 σ2 . − 2ρ12 σ1 σ2 + σ22 dokªadnie wtedy, gdy min v(x1 ) = x1 ∈h0,1i ( v(x̃1 ), v(1), gdy gdy ρ12 6 σ1 /σ2 . ρ12 6 ρ12 > A zatem σ1 σ2 , σ1 σ2 . ρ = σ1 /σ2 jest szczególna. To motywuje wproρ12 nazywamy podkrytycznym, krytycznym, nadkrytycz= σ1 /σ2 , ρ12 > σ1 /σ2 . Okazuje si¦, »e warto±¢ wspóªczynnika korelacji wadzenie okre±lenia: wspóªczynnik korelacji nym, gdy odpowiednio ρ12 < σ1 /σ2 , ρ12 Wyliczaj¡c jeszcze odchylenie standardowe i warto±¢ oczekiwan¡ wyznaczonego portfela uzyskujemy 15 Twierdzenie 17. Je±li wspóªczynnik korelacji T x̃ := (x̃1 , 1 − x̃1 ) = ρ12 jest podkrytyczny, to σ 2 − ρ12 σ1 σ2 σ22 − ρ12 σ1 σ2 , 2 1 2 2 σ1 − 2ρ12 σ1 σ2 + σ2 σ1 − 2ρ12 σ1 σ2 + σ22 T ∈ ∆1 jest portfelem o najmniejszym odchyleniu standardowym. Odchylenie standardowe i oczekiwana stopa zwrotu tego portfela s¡ odpowiednio równe p σ1 σ2 1 − ρ212 p σ12 − 2ρ12 σ1 σ2 + σ22 Je±li wspóªczynnik korelacji w spóªk¦ A1 ) ρ12 oraz µ2 σ12 − (µ1 + µ2 )ρ12 σ1 σ2 + µ1 σ22 . σ12 − 2ρ12 σ1 σ2 + σ22 jest krytyczny lub nadkrytyczny, to (1, 0)T (czyli inwestycja jedynie jest portfelem o najmniejszym odchyleniu standardowym. Odchylenie standardowe i oczekiwana stopa zwrotu tego portfela s¡ odpowiednio równe 20.0 σ1 oraz µ1 . A2 18.0 16.0 14.0 12.0 10.0 A1 8.0 6.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 σ Rysunek 4.1: Zbiory mo»liwo±ci przy ró»nych wspóªczynnikach korelacji. Linia przerywana to obrazy portfeli o minimalnej wariancji. Przykªad 18. Niech Σρ = Przypadek 4 6ρ 6ρ , 9 µ= 8 20 . Σρ , gdy ρ = ±1 rozwa»yli±my ju» w przykªadach 15 i 16. ρ pokazujemy na rysunku 4.1. Wyznaczymy teraz portfel nych warto±ci 16 Zbiory mo»liwo±ci dla ró»o najmniejszym odchyleniu standardowym. Zamiast korzysta¢ z twierdzenia 17 przeprowadzimy w tym konkretnym przypadku rachunek jeszcze raz. Ustalmy ∆1 , to v(x1 ) = (13 − 12ρ)x21 − 2(9 − 6ρ)x1 + 9. Szukamy x21 T ρ ∈ h−1, 1i. Je±li, podobnie jak wy»ej, v(x1 ) oznacza wariancj¦ portfela x = (x1 , x2 ) ∈ x1 realizuj¡cego minimum funkcji jest dodatni, wi¦c wykres v v na przedziale h0, 1i. minimum globalne w punkcie, który wyznaczamy sprowadzaj¡c miejsce zerowe pochodnej Oczywi±cie wspóªczynnik przy jest parabol¡ o ramionach skierowanych do góry. Zatem v v posiada do postaci kanonicznej lub licz¡c v: v 0 (x1 ) = 2(13 − 12ρ)x1 − 2(9 − 6ρ), 9 − 6ρ . v 0 (x1 ) = 0 ⇐⇒ x1 = 13 − 12ρ atwo sprawdzamy, »e znaleziony pierwiastek pochodnej le»y w przedziale gdy ρ < 2/3. Je±li ρ < 2/3, h0, 1i dokªadnie wtedy, to portfel o najmniejszym odchyleniu standardowym jest równy T (x1 , 1 − x1 ) = 9 − 6ρ 4 − 6ρ , 13 − 12ρ 13 − 12ρ T a jego odchylenie standardowe i oczekiwana stopa zwrotu s¡ odpowiednio równe s 1 − ρ2 , 13 − 12ρ 6 Je±li 8(19 − 21ρ) . 13 − 12ρ ρ > 2/3, to szukany portfel jest równy (1, 0)T , jego odchylenie standardowe to 2, a oczekiwana 16. Krytyczny wspóªczynnik korelacji to oczywi±cie ρkryt = 2/3. stopa zwrotu wynosi 4.2 Zbiór Równanie uwikªane na M(∆1 ) M(∆1 ) zostaª z denicji podany jako obraz krzywej parametrycznej. Wyznaczymy teraz równanie tej krzywej w postaci uwikªanej. Tak jak na podanych wcze±niej wykresach, osie ukªadu wspóªrz¦dnych wygodnie b¦dzie oznacza¢ przez: σ o± pozioma, E o± pionowa. Niech x ∈ ∆1 . Wiemy, »e M(x) = Podstawiaj¡c x2 = 1 − x1 p x21 σ12 + 2x1 x2 σ12 + x22 σ22 . x1 µ1 + x2 µ2 dostajemy m(x1 ) :=M(x1 , 1 − x1 ) = p x21 (σ12 − 2σ12 + σ22 ) + 2x1 (σ12 − σ22 ) + σ22 x1 (µ1 − µ2 ) + µ2 Aby wyznaczy¢ nasze równanie uwikªane, przyrównujemy wspóªrz¦dne m(x1 ): σ 2 =x21 (σ12 − 2σ12 + σ22 ) + 2x1 (σ12 − σ22 ) + σ22 , E =x1 (µ1 − µ2 ) + µ2 , 17 (σ, E) do wspóªrz¦dnych a nast¦pnie szukamy równania wi¡»¡cego σ i E, przez wyrugowanie zmiennej x1 . Zauwa»my, »e z zaªo»e« (3.1) mamy σ12 − 2σ12 + σ22 > 0, µ1 − µ2 6= 0. Mo»emy zatem wyznaczy¢ zmienn¡ x1 : x1 = i podstawi¢ j¡ do wzoru na 2 σ = E − µ2 , µ1 − µ2 σ2 : E − µ2 µ1 − µ2 2 (σ12 − 2σ12 + σ22 ) + 2 Prawa strona jest trójmianem kwadratowym od E − µ2 (σ12 − σ22 ) + σ22 . µ1 − µ2 x1 = (E − µ2 ) / (µ1 − µ2 ), przedstawiamy j¡ wi¦c, tak samo jak w poprzednim punkcie, w postaci kanonicznej σ2 = σ12 − 2σ12 + σ22 Wstawiaj¡c σ12 = ρ12 σ1 σ2 σ12 2 σ22 − σ12 E − µ2 − 2 µ1 − µ2 σ1 − 2σ12 + σ22 2 σ22 σ22 − σ12 + 2 . − 2 2 σ1 − 2σ12 + σ2 σ1 − 2σ12 + σ22 i grupuj¡c wyrazy dostajemy ostateczne równanie σ2 σ12 σ22 (1 − ρ212 ) (E − E0 )2 = − 2, 2 (µ1 − µ2 )2 − 2ρ12 σ1 σ2 + σ2 (σ12 − 2ρ12 σ1 σ2 + σ22 ) gdzie E0 (ρ12 ) = E0 := (4.1) µ2 σ12 − (µ1 + µ2 )ρ12 σ1 σ2 + µ1 σ22 . σ12 − 2ρ12 σ1 σ2 + σ22 M(∆1 ) jest podzbiorem zbioru rozwi¡za« równania (4.1) (σ, E)T . Odwrotnie, jasnym jest, »e je±li (σ, E)T ∈ M(∆1 ), to σ > 0 oraz E = x1 µ1 + (1 − x1 )µ2 dla pewnego x1 ∈ h0, 1i. Ostatnia równo±¢ jest równowa»na stwierdzeniu, »e E le»y w przedziale hµ1 , µ2 i. Wida¢ teraz jakim fragmentem zbioru rozwi¡za« (4.1) T 2 jest M(∆1 ). Istotnie, niech (σ, E) ∈ R rozwi¡zuje (4.1) i ponadto σ > 0 oraz E ∈ hµ1 , µ2 i. Istnieje wtedy x1 ∈ h0, 1i, taki »e E = x1 µ1 + (1 − x1 )µ2 . Rozwa»my punkt m(x1 ). Jego druga wspóªrz¦dna, T T to oczywi±cie E, pierwsz¡ oznaczmy przez σ̃ . Poniewa» (σ̃, E) ∈ M(∆1 ), wi¦c punkt (σ̃, E) jest T T rozwi¡zaniem równania (4.1). St¡d i z nierówno±ci σ, σ̃ > 0 musi by¢ (σ, E) = (σ̃, E) ∈ M(∆1 ). Wykazali±my wi¦c, »e zbiór mo»liwo±ci rozwa»anego wzgl¦dem zmiennych Reasumuj¡c mamy Lemat 19. (σ, E)T ∈ M(∆1 ) Zaªó»my, »e −1 < ρ12 < 1 s a := σ1 σ2 dokªadnie wtedy, gdy σ > 0, E ∈ hµ1 , µ2 i oraz (σ, E)T i niech 1 − ρ212 , σ12 − 2ρ12 σ1 σ2 + σ22 18 p (µ2 − µ1 ) 1 − ρ212 b := σ1 σ2 2 . σ1 − 2ρ12 σ1 σ2 + σ22 speªnia (4.1). −1 < ρ12 < fragmentem prawej gaª¦zi hiperboli Twierdzenie 20. Je±li 1 oraz σ 2 le»¡cym w zbiorze 0 < σ1 < σ2 , µ1 < µ2 , E − E0 (ρ12 ) − a b σ : σ > 0, µ1 6 E 6 µ2 . E 2 to zbiór mo»liwo±ci = 1, M (∆1 ) jest (4.2) Dowód. Teza wynika z lematu 19. Jako ¢wiczenie pozostawimy dowód nast¦pnego twierdzenia. Twierdzenie 21. Je±li wierzchoªkach 0 < σ1 < σ2 , µ1 < µ2 , to zbiór mo»liwo±ci M (∆1 ) le»y w trójk¡cie o T µ1 σ2 + µ2 σ1 (σ1 , µ1 ) , (σ2 , µ2 ) , 0, . σ1 + σ2 T T Cz¦±¢ III Portfel o 5 k skªadnikach. Model Markowitza Opis portfela o Zaªó»my, »e mamy dane stycyjnym) h−1, +∞). R1 , . . . , Rk . k k > 2 skªadnikach. Odwzorowanie Markowitza spóªek (aktywów) o stopach zwrotu (w ustalonym okresie inwe- Tak jak poprzednio Ri s¡ zmiennymi losowymi o warto±ciach w przedziale Kªadziemy µi := E (Ri ) , σi := σ (Ri ) , i = 1, . . . , k, R1 µ1 σ1 .. .. .. R := . , µ := . , σ := . . Rk µk σk B¦dziemy zawsze zakªada¢, »e warto±ci oczekiwane i odchylenia standardowe s¡ sko«czone. Ponadto w modelu Markowitza zaklada si¦, »e wszystkie aktywa s¡ ryzykowne, czyli »e σi > 0, i = 1, . . . , k . Niech dalej σij := cov (Ri , Rj ) , ρij := ρ (Ri , Rj ) = σij , i, j = 1, . . . , k, i 6= j. σi σj B¦dziemy zakªada¢, »e wszystkie kowariancje s¡ sko«czone. Cp , któr¡ inwestujemy w aktywa o numerach 1, . . . , k . Niech Cp inwestowana w spóªk¦ o numerze i b¦dzie równa xi Cp . Wówczas x1 , . . . , xk > 0 x1 + · · · + xk = 1. Podobnie jak w przypadku dwóch aktywów punkt x1 x = ... ∈ Rk xk Zaªó»my, »e dysponujemy kwot¡ cz¦±¢ kapitaªu oraz 19 b¦dziemy nazywali portfelem akcji. Niech Zbiór »e x ∆k−1 n o T ∆k−1 := x = (x1 , . . . , xk ) : x1 , . . . , xk > 0, x1 + · · · + xk = 1 . k − 1. Z tego co wy»ej powiedzieli±my wynika, x ∈ ∆k−1 . Kªad¡c 0 0 1 0 1 0 (5.1) e1 := . , e2 := . , . . . , ek := . .. .. .. 1 0 0 b¦dziemy nazywali sympleksem wymiaru jest portfelem w modelu Markowitza dokªadnie wtedy, gdy mo»emy napisa¢ ∆k−1 = k X xj ej : x1 , . . . , xk > 0, j=1 k X j=1 = conv {e1 , . . . , ek } . Podobnie jak dla dwóch aktywów symbolem R(x) oznaczamy stop¦ zwrotu z portfela Fakt 22. R (x) = x1 R1 + · · · + xk Rk = x1 xj = 1 ... R1 x. xk ... = xT R. Rk Dowód. Rozumowanie jest tutaj analogiczne jak w przypadku portfela o dwóch aktywach. Zostawiamy jako ¢wiczenie. Oczekiwan¡ stop¦ zwrotu z i odchylenie standardowe portfela x deniujemy wzorami E (x) := E (R (x)) , σ 2 (x) := σ 2 (R (x)) . Fakt 23. E (x) = x1 µ1 + · · · + xk µk = x1 σ 2 (x) = k X x2i σi2 + ... X xk µ1 . . . µk T = x µ, xi xj σij . 16i,j6k i6=j i=1 Dowód. Z faktu 22 i z liniowo±ci warto±ci oczekiwanej dostajemy E (x) = E k X i=1 xi Ri ! = k X i=1 20 xi E (Ri ) = k X i=1 xi µi . St¡d i z denicji wariancji mamy 2 σ 2 (x) = E (R (x) − E (x)) !2 !2 k k k X X X = E xi Ri − xi µi = E xi (Ri − µi ) = E = k X i=1 = k X i=1 k X i=1 i=1 16i,j6k i6=j i=1 16i,j6k i6=j x2i σi2 + X xi xj σij . 16i,j6k i6=j Zapiszemy teraz wzór na wariancj¦ portfela Σ σ12 σ21 Σ= . .. σk1 nazywamy macierz¡ kowariancji Fakt 24. Dla ka»dego xi xj (Ri − µi ) (Rj − µj ) X 2 x2i E (Ri − µi ) + xi xj E ((Ri − µi ) (Rj − µj )) i=1 Macierz X 2 x2i (Ri − µi ) + x ∈ ∆k−1 x w postaci macierzowej. Niech σ12 σ22 ... ... . . . σk2 ... σ1k σ2k . . . σk2 zmiennych losowych R1 , . . . , R k . atwo dowodzimy: mamy σ 2 (x) = xT Σx. Zauwa»my, »e Σ jest macierz¡ symetryczn¡. Uogólnimy teraz poj¦cia odwzorowania Markowitza i zbioru mo»liwo±ci znane nam z przypadku dwuskªadnikowego. 21 Odwzorowanie M : ∆k−1 → R>0 × R okre±lone wzorem √ σ(x) xT Σx = E(x) xT µ M(x) := M, czyli nazywamy odwzorowaniem Markowitza . Obraz odwzorowania zbiór M(∆k−1 ), nazywamy zbiorem mo»liwo±ci. Odwzorowanie f : ∆k−1 → R>0 × R M okre±lone wzorem f M(x) := T σ 2 (x) x Σx = E(x) xT µ nazywamy zmodykowanym odwzorowaniem Markowitza. Pami¦tamy, »e dla portfela o dwóch aktywach zbiór mo»liwo±ci jest odcinkiem (korelacja doskonaªa dodatnia), ªaman¡ (korelacja doskonaªa ujemna) lub cz¦±ci¡ hiperboli (wspóªczynnik korelacji ró»ny od ±1). Wyznaczenie zbioru mo»liwo±ci, gdy k>2 jest problemem znacznie trudniejszym i na ogóª si¦ go nie rozwi¡zuje. Zwykle poprzestaje si¦ na próbie sprawdzenia czy dany portfel jest efektywny, wyznaczenia portfela (lub portfeli, mo»e by¢ ich wiele) o najmniejszym ryzyku (by¢ mo»e przy ustalonej oczekiwanej stopie zwrotu), wyznaczenia obrazu zbioru portfeli efektywnych. Z poj¦ciem portfela efektywnego spotkali±my si¦ ju» w przypadku dwuskªadnikowym. Zdeniujemy teraz to poj¦cie dokªadnie w przypadku ogólnym. W zbiorze portfeli k -skªadnikowych ∆k−1 ∀x,x0 ∈∆k−1 wprowadzamy porz¡dek x 4 x0 ⇐⇒ σ(x0 ) 6 σ(x) i 4 wzorem: E(x) 6 E(x0 ). atwo dowodzimy Fakt 25. Relacja Portfel x 4 jest zwrotna i przechodnia. nazywamy efektywnym, gdy z relacji x 4 x0 wynika x0 4 x. Brzegiem efektywnym (lub granic¡ efektywn¡ ) nazywamy obraz przez odwzorowanie Markowitza M zbioru wszystkich portfeli efektywnych. Fakt 26. Portfel x ∈ ∆k−1 jest efektywny wtedy i tylko wtedy, gdy M (∆k−1 ) ∩ (σ, E) ∈ R2 : σ 6 σ (x) , E (x) 6 E = {M (x)} . Dowód. Zaªó»my, »e portfel inkluzj¦ ⊂ x jest efektywny. Inkluzja we¹my dowolny portfel x0 ∈ ∆k−1 , ⊃ w (5.2) jest oczywista. Aby wykaza¢ taki »e σ (x0 ) 6 σ (x) , E (x) 6 E (x0 ) . 22 (5.2) Powy»sze nierówno±ci oznaczaj¡, »e x 4 x0 . Poniewa» portfel x jest efektywny, wi¦c st¡d x0 4 x, co z kolei oznacza, »e σ (x) 6 σ (x0 ) , W konsekwencji E (x0 ) 6 E (x) . M (x0 ) = M (x). Zaªó»my teraz, »e zachodzi równo±¢ (5.2). Wówczas je±li M (x), co daje 0 x 4 x0 , to z (5.2) mamy M (x0 ) = x 4 x. 14.0 12.0 10.0 Y 8.0 Z 6.0 W 4.0 X 2.0 5.0 10.0 15.0 Z Rysunek 5.1: Portfel 20.0 bije portfel 25.0 σ W. Przykªad 27. Rozwi¡»emy zadanie nr 27 z I etapu egzaminu dla kandydatów na doradc¦ inwestycyjnego (30 pa¹dziernika 2011): Okre±l, który z wymienionych poni»ej portfeli na pewno nie le»y na granicy efektywnej. Portfel Oczekiwana stopa zwrotu (%) Odchylenie standardowe stopy zwrotu (%) W 6,00 14,00 X 3,33 4,67 Y 10,00 24,00 Z 8,00 10,00 Zaznaczamy obrazy portfeli na wykresie (rys. 5.1). Widzimy, »e obrazy portfeli daj¡ si¦ ze sob¡ porówna¢ (»adne dwa nie s¡ w relacji obraz portfela W 4), natomiast W 4 Z. X, Y Z nie nie le»y w granicy efektywnej. Pozostaªych wykluczy¢ nie mo»emy. Fakt 28. Zbiór mo»liwo±ci M (∆k−1 ) 1 i spójny. Ponadto brzeg efektywny jest podzbio- jest zwarty rem brzegu zbioru mo»liwo±ci. 1 Przypomnijmy, i Zatem na pewno »e zbiór K ⊂ Rk jest zwarty dokªadnie wtedy, gdy jest domkni¦ty i ograniczony. 23 Dowód. Zbiór M (∆k−1 ) jest zwarty i spójny jako ci¡gªy obraz zwartego i spójnego zbioru ∆k−1 . Z faktu 26 wynika, »e »aden punkt z brzegu efektywnego nie mo»e by¢ punktem wewn¦trznym zbioru M (∆k−1 ). 6 Brzeg minimalny w modelu Markowitza Poprzedni paragraf zako«czyli±my stwierdzeniem, »e zbiór mo»liwo±ci jest zwarty (czyli domkni¦ty i ograniczony) i spójny, niewiele wiemy jednak na razie o jego ksztaªcie i poªo»eniu. Co mo»na na M (∆2 ) dla k = 2? Wiemy, »e ∆2 jest e1 := (1, 0, 0), e2 := (0, 1, 0), e3 := (0, 0, 1). Boki tego przykªad powiedzie¢ o punktach trójk¡tem w R3 o wierzchoªkach w e1 e2 , e1 e3 , e2 e3 . M. Zauwa»my, »e portfel x1 + x2 = 1 i x3 = 0. W konsekwencji trójk¡ta to odcinki Mo»na spróbowa¢ wyznaczy¢ obrazy tych boków poprzez odwzorowanie x = (x1 , x2 , x3 ) rach 1 boków M e1 e2 dokªadnie wtedy, gdy M (e1 e2 ) sprowadza si¦ do wyznaczenia zbioru mo»liwo±ci dla aktywów o nume- le»y na odcinku wyznaczenie zbioru i 2, czyli czego± co ju» umiemy zrobi¢. Analogiczna uwaga stosuje si¦ do pozostaªych dwóch ∆2 . Widzimy wi¦c, »e przynajmniej dla 2 trójk¡ta brzegu zbioru mo»liwo±ci ∆2 . Niestety M (∆2 ). Przykªad 29. Niech k=2 jeste±my w stanie wyznaczy¢ obraz poprzez nawet w tym przypadku obraz brzegu 1 Σ = 0 1 0 2 1 1 1 , 4 1 µ = 2 . 3 ∆2 zwykle nie wyznacza Wyznaczymy portfel o najmniejszym ryzyku przy zadanej oczekiwanej stopie zwrotu równej Szukamy zatem wszystkich x̃ ∈ ∆2 , σ (x̃) = min {σ (x) : x ∈ ∆2 , E (x) = 2} . Zauwa»my, »e koniunkcja warunków jest równowa»na ukªadowi ( x ∈ ∆2 , E (x) = 2, x2 = 1 − 2x1 , x3 = x1 , 0 6 x1 6 21 . Pozostaje zatem sprawdzi¢, gdzie warto±¢ namniejsz¡ osi¡ga funkcja 0, 1 2 3 x1 7→ v (x1 ) := σ 2 (x1 , 1 − 2x1 , x1 ) . Poniewa» 2 Brzeg 2. »e v (x1 ) =11x21 − 6x1 + 2 2 3 13 =11 x1 − + , 11 11 rozumiemy tu nie w sensie topologicznym, ale jako suma boków. 24 (6.1) wi¦c jedyne minimum funkcji v znajduje si¦ w punkcie speªniaj¡cy (6.1) i jest on równy x̃ = M (x̃) musi le»e¢ M (e1 e2 ), M (e1 e3 ), M (e2 e3 ). Zauwa»my, »e punkt zbiorów Portfel x̃ ∈ ∆k−1 x1 = 3/11. 3 5 3 , , 11 11 11 Istnieje zatem jedyny portfel x̃ . na brzegu zbioru M (∆2 ), nie le»y jednak na »adnym ze speªniaj¡cy równo±¢ σ (x̃) = min {σ (x) : x ∈ ∆k−1 , E (x) = E (x̃)} nazywamy portfelem relatywnie minimalnego ryzyka. Obraz poprzez odwzorowanie M zbioru port- feli relatywnie minimalnego ryzyka nazywamy brzegiem minimalnym. Portfel x̃ nazwiemy portfelem minimalnego ryzyka, gdy σ (x̃) = min {σ (x) : x ∈ ∆k−1 } . atwo sprawdzamy, »e: Fakt 30. Brzeg efektywny jest podzbiorem brzegu minimalnego. 7 Korelacja doskonaªa Zaªó»my, »e wszystkie aktywa s¡ parami skorelowane w sposób doskonaªy, tzn. i, j = 1, . . . , k . ρij ∈ {−1, 1}, Wyró»niamy nast¦puj¡ce przypadki: • ∀i,j ρij = 1, • ∃i,j ρij = −1. O przypadkach tych b¦dziemy mówili odpowiednio korelacja doskonaªa dodatnia i korelacja dosko- naªa mieszana. Warto tu zwróci¢ uwag¦, »e je±li k > 2, to do danych odchyle« standardowych mo»na w zupeªnie dowolny sposób dobiera¢ wspóªczynników korelacji mem zajmiemy si¦ pó¹niej, teraz zauwa»ymy tylko, »e je±li wszystkich i, j = 1, . . . , k . Fakt 31. Je±li k > 2, ρij . to nie mo»e by¢ ρij = −1 Wyka»emy nawet wi¦cej: ρ12 , ρ23 ∈ {−1, 1}, to Dowód. W my±l wniosku 10 istniej¡ ρ13 = ρ12 ρ23 . a1 , a2 , b1 , b2 ∈ R, sgna1 = ρ12 , sgna2 = ρ23 , P (R2 = a1 R1 + b1 ) = 1, P (R3 = a2 R2 + b2 ) = 1. St¡d 1 =P (R3 = a2 (a1 R1 + b1 ) + b2 ) =P (R3 = a1 a2 R1 + a2 b1 + b2 ) . Poniewa» σ1 , . . . , σ k sgn (a1 a2 ) = ρ12 ρ23 , wi¦c z wniosku 10 dostajemy 25 ρ13 = ρ12 ρ23 . nie Dokªadniej tym proble- takie »e dla Widzimy zatem, »e w przypadku korelacji doskonaªej mieszanej musi istnie¢ co najmniej jedna 1. k = 2. para aktywów, których stopy zwrotu maj¡ wspóªczynnik korelacji równy lacja doskonaªa ujemna zdeniowane w cz¦±ci II ma sens jedynie dla 7.1 Ponadto poj¦cie kore- Korelacja doskonaªa dodatnia Zakªadamy, »e ρij = 1, i, j = 1, . . . , k . Zatem σij = σi σj . Posta¢ macierzy kowariancji b¦dzie wi¦c bardzo szczególna: σ12 σ2 σ1 Σ= . .. σk σ1 Wariancja portfela σ1 σ2 σ22 σ1 σ1 σk σ2 σ2 σk . = . σ1 . .. . 2 σk σk ··· ··· . . . σk σ2 x ∈ ∆k−1 ··· xT σ > 0 , wi¦c ··· σk = σσ T . wyra»a si¦ w tym przypadku wzorem: σ 2 (x) = xT Σx = xT σσ T x = xT σ xT σ Poniewa» σ2 σ (x) = xT σ . T = xT σ 2 . Okazuje si¦ zatem, »e odwzorowanie Markowitza T σ (x) x σ = E (x) xT µ σ1 σk =x1 + · · · + xk µ1 µk M (x) = jest obci¦ciem do ∆k−1 odwzorowania liniowego σT µT = Mamy wi¦c M (∆k−1 ) = conv czyli M (∆k−1 ) σ1 µ1 ... ... o macierzy σk µk σ1 σ ,..., k µ1 µk jest wielok¡tem wypukªym rozpi¦tym na punktach ten le»y w prawej póªpªaszczy¹nie otwartej k Rk → R2 wierzchoªków. n o T (σ, E) : σ > 0 (bo T (σi , µi ) , i = 1, . . . , k . σ1 , . . . , σ k > 0 ) Wielok¡t i ma co najwy»ej Aby odpowiedzie¢ na pytanie, gdzie le»¡ efektywne portfele minimalnego ryzyka wyka»emy najpierw Lemat 32. Je±li W = conv {w1 , . . . , wl } ⊂ Rk oraz u : Rk → R jest funkcj¡ liniow¡, to inf u (x) = min {u (w1 ) , . . . , u (wl )} , (7.1) sup u (x) = max {u (w1 ) , . . . , u (wl )} . (7.2) x∈W x∈W 26 Dowód. Niech tl wl u (wi0 ) = min {u (w1 ) , . . . , u (wl )}. We¹my dowolny x ∈ W . t1 , · · · , tl > 0, takich »e t1 + · · · + tl = 1. Zatem Wtedy x = t1 w1 + · · · + dla pewnych u (x) =t1 u (w1 ) + · · · + tl u (wl ) >t1 u (wi0 ) + · · · + tl u (wi0 ) = u (wi0 ) . To daje nierówno±¢ > w (7.1). Nierówno±¢ przeciwna jest oczywista. Równo±¢ (7.2) dostajemy stosuj¡c (7.1) do funkcji −u. Powy»sze uwagi prowadz¡ nas do nast¦puj¡cego twierdzenia (patrz te» rysunek 7.1): Twierdzenie 33. W przypadku korelacji doskonaªej dodatniej zbiór mo»liwo±ci lok¡tem wypukªym o liczbie wierzchoªków nie przewy»szaj¡cej 1. brzeg minimalny jest jest sum¡ tych boków 2. brzeg efektywny jest jest sum¡ tych boków M (∆k−1 ), k. M (∆k−1 ) jest wie- Ponadto które go ograniczaj¡ od strony lewej, M (∆k−1 ), które go ograniczaj¡ od lewej i od góry, e1 , . . . , ek (zdeniowanych wzorami (5.1)) znajduje si¦ portfel minimalnego ryzyka, który jest dodatkowo portfelem efektywnym. 3. w±ród portfeli Dowód. Wyka»emy 3. Niech σ0 := min {σ (x) : x ∈ ∆k−1 } . ∆k−1 3 x 7→ σ (x) = x σ jest zaw¦»eniem funkcji liniowej Rk 3 x 7→ xT σ do otoczki wypukªej ∆k−1 = conv {e1 , . . . , ek }, wi¦c w my±l lematu 32 istnieje i0 , takie »e σi0 = σ (ei0 ) = σ0 . Zmieniaj¡c ewentualnie kolejno±¢ aktywów mo»emy zaªo»y¢, »e i0 = 1 oraz T Poniewa» σ0 = σ1 = · · · = σl < σl+1 6 σl+2 6 · · · 6 σk . Wyka»emy, »e {x ∈ ∆k−1 : σ (x) = σ0 } = conv {e1 , . . . , el } . Istotnie, je±li x ∈ conv {e1 , . . . , el }, to x = x1 e1 + · · · + xl el , gdzie (7.3) x1 , . . . , xl > 0, x1 + · · · + xl = 1. St¡d σ (x) = x1 σ (e1 ) + · · · + xl σ (el ) = x1 σ1 + · · · + xl σl = x1 σ0 + · · · + xl σ0 = σ0 . x ∈ ∆k−1 \ conv {e1 , . . . , el }, to x = x1 e1 + · · · + xk ek , gdzie x1 , . . . , xk > 0, x1 + · · · + xk = 1 i nie wszystkie wspóªrz¦dne xl+1 , . . . , xk s¡ równe zero. Zatem Odwrotnie, je±li σ (x) = x1 σ (e1 ) + · · · + xk σ (ek ) = x1 σ1 + · · · + xk σk > x1 σ0 + · · · + xk σ0 = σ0 . To dowodzi (7.3). Portfel minimalnego ryzyka jest efektywny dokªadnie wtedy, gdy ma maksymaln¡ (w±ród wszystkich portfeli minimalnego ryzyka) oczekiwan¡ stop¦ zwrotu. Z (7.3) i z lematu 32 wynika zatem, »e jeden z portfeli e1 , . . . , e l musi by¢ portfelem efektywnym. To dowodzi 3. 27 E E µ4 σ4 µ4 σ4 µ3 σ3 µ3 σ3 µ1 σ1 µ5 σ5 µ5 σ5 µ2 σ2 µ1 σ1 σ σ µ2 σ2 Rysunek 7.1: Oba rysunki przedstawiaj¡ zestawy pi¦ciu aktywów o doskonaªej korelacji dodatniej. Na rysunku po lewej brzeg minimalny to suma odcinków ª¡cz¡cych punkty T (µ4 , σ4 ) T T T (µ2 , σ2 ) , (µ1 , σ1 ) , T (µ1 , σ1 ) , (µ4 , σ4 ) a efektywnym portfelem miT (µ1 , σ1 ) . Z kolei na rysunku po prawej brzeg minimalny to T T T T suma odcinków ª¡cz¡cych punkty (µ2 , σ2 ) , (µ1 , σ1 ) , (µ5 , σ5 ) , (µ4 , σ4 ) , brzeg efektywny to odT T cinek o ko«cach (µ5 , σ5 ) , (µ4 , σ4 ) a efektywnym portfelem minimalnego ryzyka jest e5 o obrazie T (µ5 , σ5 ) . , brzeg efektywny to odcinek o ko«cach nimalnego ryzyka jest 7.2 e1 o obrazie Korelacja doskonaªa mieszana Teraz zakªadamy, »e wszystkie stopy zwrotu s¡ skorelowane w sposób doskonaªy i przynajmniej jedna para ma wspóªczynnik korelacji równy dzieli¢ stopy zwrotu R1 , . . . , Rk −1. Zamieniaj¡c ewentualnie kolejno±¢ mo»emy poR1 , . . . , Rl , Rl+1 , . . . , Rk , 1 6 l 6 k − 1, tak »e pary na dwie grupy zmiennych losowych w tych grupach s¡ doskonale skorelowane dodatnio, natomiast pary zmiennych 28 pomi¦dzy grupami s¡ doskonale skorelowane ujemnie. Macierz kowariancji ma zatem posta¢: σ12 ··· σ1 σl −σ1 σl+1 . . . . . . . . . 2 σl σ1 · · · σ −σ σl+1 l l Σ = 2 −σl+1 σ1 · · · −σl+1 σl σ l+1 . . . . . . . . . −σk σ1 · · · −σk σl σk σl+1 σ1 .. . σl = −σl+1 σ1 · · · σl −σl+1 · · · . .. −σk ··· −σ1 σk −σl σk σl+1 σk . . . σk2 . . . ··· ··· ··· −σk . St¡d σ 2 (x) =xT Σx = x1 ··· xl xl+1 ··· σ1 .. . σl σ1 xk −σl+1 . .. −σk ··· σl −σl+1 ··· 2 = (x1 σ1 + · · · + xl σl − xl+1 σl+1 − · · · − xk σk ) . x1 .. . xl −σk xl+1 . .. xk W konsekwencji M (x) = σ (x) |x1 σ1 + · · · + xl σl − xl+1 σl+1 − · · · − xk σk | = E (x) x1 µ1 + · · · + xl µl + xl+1 µl+1 + · · · + xk µk Teraz, podobnie jak w przypadku korelacji doskonaªej ujemnej i dwóch aktywów, deniujemy odwzorowania Zbiór L : ∆k−1 → R2 , S : R2 → R2 wzorami x1 σ1 + · · · + xl σl − xl+1 σl+1 − · · · − xk σk L (x) := , x1 µ1 + · · · + xl µl + xl+1 µl+1 + · · · + xk µk |σ| S (σ, E) := . E L (∆k−1 ) jest wielok¡tem wypukªym L (∆k−1 ) = conv σ1 σl −σl+1 −σk ,..., , ,..., µ1 µl µl+1 µk 29 k -wierzchoªkach le»¡cym cz¦±ciowo w lewej i cz¦±ciowo w prawej póªpªaszczy¹nie. PoM (∆k−1 ) = S (L (∆k−1 )), wi¦c aby uzyska¢ zbiór mo»liwo±ci nale»y cz¦±¢ L (∆k−1 ) le»¡c¡ lewej póªpªaszczy¹nie odbi¢ wzgl¦dem osi E, natomiast cz¦±¢ le»¡c¡ w prawej póªpªaszczy¹nie o co najwy»ej niewa» w pozostawi¢ bez zmian. Mo»emy teraz wypowiedzie¢ Twierdzenie 34. Przy wprowadzonych wy»ej oznaczeniach i zaªo»eniach mamy: 1. zbiór mo»liwo±ci M (∆k−1 ) jest wielok¡tem (niekoniecznie wypukªym), 2. brzeg minimalny i brzeg efektywny s¡ sumami pewnych boków M (∆k−1 ) (ªatwo odczytywal- nych z rysunku), 3. zbiór portfeli zerowego ryzyka jest równy conv {wij : 1 6 i 6 l, l + 1 6 j 6 k} , gdzie wij jest portfelem zerowego ryzyka le»¡cym na odcinku 4. w±ród portfeli wij ei ej , istnieje portfel efektywny. Szkic dowodu. Punkty 1. i 2. wynikaj¡ z przeprowadzonych wcze±niej rozwa»a«. Dowód 3. jest nast¦puj¡cy. Zauwa»my, »e x ∈ ∆k−1 jest portfelem zerowego ryzyka dokªadnie wtedy, gdy x1 σ1 + · · · + xl σl − xl+1 σl+1 − · · · − xk σk = 0, a zatem, gdy le»y w przeci¦ciu sympleksu ∆k−1 (7.4) i hiperpªaszczyzny danej równaniem (7.4). Mo»na wykaza¢ (nie b¦dziemy tego faktu dowodzi¢), »e cz¦±¢ wspólna sympleksu i dowolnej hiperpªaszczyzny nie zawieraj¡cej »adnego z wierzchoªków sympleksu jest otoczk¡ wypukª¡ przeci¦¢ tej hiperpªaszczyzny z kraw¦dziami sympleksu. To oraz zaªo»enie, »e wszystkie aktywa s¡ ryzykowne (maj¡ dodatnie odchylenia standardowe) daje 3. Punkt 4. wynika z 3. i z lematu 32. 8 Zestawy aktywów o dodatnio okre±lonej macierzy kowariancji k A = (aij )i,j=1 b¦dzie macierz¡ symetryczn¡. Powiemy, »e macierz A jest dodatnio, (odpowiedk T nio nieujemnie ) okre±lona, gdy dla ka»dego niezerowego x ∈ R zachodzi x Ax > 0 (odpowiednio T x Ax > 0). Niech Lemat 35. Macierz kowariancji Σ jest nieujemnie okre±lona. Dowód. Tak jak w dowodach faktów 23 i 24 stwierdzamy, »e je±li xT Σx = σ 2 (x1 R1 + · · · + xk Rk ) > 0. T x = (x1 , . . . , xk ) ∈ Rk , to Przypomnijmy kryterium pozwalaj¡ce na sprawdzenie czy dana macierz symetryczna jest dodatnio okre±lona. 30 Kryterium 36 (Sylvester). Niech A(1) := (a11 ) , Macierz A A(2) k A = (aij )i,j=1 a11 := a21 b¦dzie macierz¡ symetryczn¡. Oznaczmy a12 , a22 · · · , A(k) := a11 ··· . . . a1k . . . ak1 ··· jest dodatnio okre±lona wtedy i tylko wtedy, gdy akk . det A(1) > 0, det A(2) > 0, . . . , det A(k) > 0. Przykªad 37. Macierz Σ z przykªadu 29 jest dodatnio okre±lona. Jest nieco zaskakuj¡ce, »e zamiana w powy»szym kryterium Sylvestera nierówno±ci ostrych na sªabe nie prowadzi do kryterium dla macierzy nieujemnie okre±lonych. Czytelnik mo»e spróbowa¢ znale¹¢ stosowny przykªad. W istocie sprawdzenie, »e dana macierz symetryczna jest nieujemnie okre±lona wymaga obliczenia wi¦kszej ilo±ci wyznaczników. Dokªadniej, niech A = (aij ) b¦dzie macierz¡ symetryczn¡ wymiaru k × k . Dla dowolnych ci¡gów 1 6 i ,...,i i1 < · · · < ip 6 k, 1 6 j1 < · · · < jp 6 k symbolem Aj11 ,...,jpp oznaczamy macierz p × p powstaª¡ z wierszy macierzy A o numerach i1 , . . . , ip oraz kolumn o numerach j1 , . . . , jp . Przykladowo, przy tych oznaczeniach podane wy»ej kryterium Sylvestera wypowiada si¦ nast¦puj¡co: Macierz A jest dodatnio okre±lona dokªadnie 1,2 1,2,...,k 1 wtedy, gdy det A1 > 0, det A1,2 > 0, . . . , det A 1,2,...,k > 0. Kryterium 38 (Sylvester). Macierz symetryczna i ,...,i det Aj11 ,...,jpp > 0 dla ka»dego p = 1, . . . , k A jest nieujemnie okre±lona wtedy i tylko wtedy, gdy i ka»dego ci¡gu 1 6 i1 < · · · < ip 6 k. Zajmiemy si¦ teraz problemem wyznaczenia portfeli minimalizuj¡cych ryzyko. Dla ka»dego 1, . . . , k j= kªadziemy (j) ∆k−1 := {x = (x1 , . . . , xk ) ∈ ∆k−1 : xj = 0} . (j) j -t¡ ±cian¡ sympleksu ∆k−1 . Widzimy, »e ∆k−1 ma k ró»nych ±cian. W (2) (3) (1) (2) (1) szczególno±ci ∆1 = {(0, 1)}, ∆1 = {(1, 0)} oraz ∆2 = e2 e3 , ∆2 = e1 e3 , ∆2 = e1 e2 . Sum¦ wszystkich ±cian sympleksu ∆k−1 nazywamy jego brzegiem i oznaczamy symbolem ∂∆k−1 . Inaczej Zbiór ∆k−1 nazywamy mówi¡c (1) (k) ∂∆k−1 := ∆k−1 ∪ · · · ∪ ∆k−1 . Dla dowolnych wektorów podprzestrze« liniow¡ R k v1 , . . . , v l ∈ R k lin (v1 , . . . , vk ) := Kªadziemy symbolem lin (v1 , . . . , vl ) oznaczamy rozpi¦t¡ przez nie . Inaczej mówi¡c k X tj vj : t1 , . . . , tk ∈ R j=1 1 1 ι := . .. 1 31 . Twierdzenie 39. Zaªó»my, »e wektory dodatnio okre±lona. Niech 1. Je±li Σx̃ ∈ lin (µ, ι), 2. Je±li x̃ ∈ ∆k−1 Uwaga 40. Wektory µ µ oraz ι nie s¡ proporcjonalne oraz »e macierz Σ jest x̃ ∈ ∆k−1 . to x̃ jest portfelem relatywnie minimalnego ryzyka. jest portfelem relatywnie minimalnego ryzyka, to x̃ ∈ ∂∆k−1 lub Σx̃ ∈ lin (µ, ι). µ oraz ι nie s¡ proporcjonalne dokªadnie wtedy, gdy nie wszystkie wspóªrz¦dne s¡ identyczne. Inne równowa»ne sformuªowanie tego zaªo»enia to »¡danie aby speªniona byªa równo±¢ rank (µ, ι) = 2, gdzie rank oznacza rz¡d macierzy. Przykªad 41. Wyznaczymy portfele relatywnie minimalnego ryzyka oraz portfel minimalnego ry- zyka dla danych z przykªadu 29. Mamy 1 Σ = 0 1 0 2 1 1 1 , 4 1 µ = 2 . 3 Zauwa»my, »e zaªo»enia twierdzenia 39 s¡ speªnione: z kryterium Sylvestera widzimy, »e macierz Σ µ oraz ι nie s¡ proporcjonalne. Wyznaczymy zbiór Σx ∈ lin (µ, ι). Wektor Σx jest elementem przestrzeni liniowej liniowo zale»ny od wektorów µ, ι a zatem wtedy, gdy jest dodatnio okre±lona, ponadto wektory tych portfeli lin (µ, ι) x ∈ ∆k−1 dla których dokªadnie wtedy, gdy jest rank (Σx, µ, ι) = rank (µ, ι) = 2. (Σx, µ, ι) skªada si¦ z 3 kolumnn i k 3, a poniewa» rank (µ, ι) = 2, wi¦c nie mo»e by¢ rank (Σx, µ, ι) = 2 wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie minory Ogólnie rzecz bior¡c, gdy mamy dane k aktywów, macierz wierszy. Jej rz¡d nie mo»e by¢ wi¦c wi¦kszy ni» te» mniejszy ni» 2. W konsekwencji o wymiarach 3x3 macierzy (Σx, µ, ι) s¡ równe zero. W naszym przypadku x1 + x3 (Σx, µ, ι) = 2x2 + x3 x1 + x2 + 4x3 1 1 2 1 3 1 mamy wi¦c do zbadania tylko jeden minor, a mianowicie wyznacznik powy»szej macierzy: det (Σx, µ, ι) = −2x1 + 3x2 − 3x3 . 32 Zatem ( Σx ∈ lin (µ, ι) x ∈ ∆2 ⇐⇒ ( ( rank (Σx, µ, ι) = 2 x ∈ ∆2 −2x1 + 3x2 − 3x3 = 0 ⇐⇒ x1 + x2 + x3 = 1 x1 , x2 , x3 > 0 ⇐⇒ det (Σx, µ, ι) = 0 x ∈ ∆2 1 2 5 6 x2 6 2 ⇐⇒ x1 = 3 − 6x2 x3 = 5x2 − 2 W my±l twierdzenia 39 ka»dy z wy»ej wyznaczonych portfeli jest portfelem relatywnie minimalnego ryzyka. Oznaczmy je przez 3 − 6t p (t) := t , 5t − 2 1 2 6t6 . 5 2 E (p (t)) = 11t − 3. Poniewa» t przebiega wskazany wy»ej przedziaª, wi¦c zbiór warto±ci E (p (t)) pokrywa si¦ z przedziaªem h7/5, 5/2i. Dalej wygodniej b¦dzie mie¢ p (t) uzale»nion¡ raczej od warto±ci oczekiwanej E ∈ h7/5, 5/2i ni» od t przebiegaj¡cego podzbiór h0, 1i. Aby tak¡ reparametryzacj¦ uzyska¢, z równania E (p (t)) = E wyznaczamy t = E/11 + 3/11 a nast¦pnie wstawiamy do wzoru na p (t): 15/11 − 6E/11 E 3 p̃ (E) := p + = E/11 + 3/11 , E ∈ h7/5, 5/2i. 11 11 5E/11 − 7/11 Mamy oczekiwanych Zalet¡ tej parametryzacji jest to, »e E (p̃ (E)) = E . Wyznaczyli±my zatem wszystkie portfele relatywnie minimalnego ryzyka o oczekiwanej stopie zwrotu le»¡cej w przedziale h7/5, 5/2i. Pozostaje wyznaczy¢ te portfele relatywnie minimalnego ryzyka, których oczekiwana stopa zwrotu le»y w sumie przedziaªów 39 wynika, »e portfele te musz¡ le»e¢ w brzegu e2 e3 . ∂∆2 sympleksu ∆2 . h1, 7/5) ∪ (5/2, 3i. Z twierdzenia Wiemy, »e ∂∆2 = e1 e2 ∪ e1 e3 ∪ Parametryzujemy kolejno te odcinki, przy czym znów najwygodniej jest parametryzacje te mie¢ uzale»nione od E: T p12 (E) := (2 − E, E − 1, 0) , E ∈ h1, 2i , T p13 (E) := (3/2 − E/2, 0, E/2 − 1/2) , E ∈ h1, 3i , T p23 (E) := (0, 3 − E, E − 2) , E ∈ h2, 3i . Poniewa» E (pij (E)) = E , wi¦c wystarczy teraz porówna¢ wariancje. Je±li σ 2 (p12 (E)) = 3E 2 − 8E + 6 6 przy czym równo±¢ uzyskujemy jedynie dla E ∈ h1, 7/5), 3 2 3 7 E − E + = σ 2 (p13 (E)) , 4 2 4 E = 1. σ 2 (p23 (E)) = 4E 2 − 18E + 22 6 33 Podobnie, je±li E ∈ (5/2, 3i, to 3 2 3 7 E − E + = σ 2 (p13 (E)) , 4 2 4 to przy czym równo±¢ uzyskujemy jedynie dla przedziaª h1, 3i E = 3. Zatem rozszerzaj¡c parametryzacj¦ p̃ na caªy wzorem T (2 − E, E − 1, 0) p̃ (E) := (15/11 − 6E/11, E/11 + 3/11, 5E/11 − 7/11)T T (0, 3 − E, E − 2) E ∈ h1, 7/5) E ∈ h7/5, 5/2i E ∈ h2, 3i uzyskujemy parametryczny opis wszystkich portfeli relatywnie minimalnego ryzyka. Warto zauwa»y¢, »e dla E=2 uzyskujemy wynik z przykªadu 29. Aby wyznaczy¢ portfel minimalnego ryzyka, obliczamy wariancj¦ 2 3E − 8E + 6 2 17 8 σ (p̃ (E)) = 11 E 2 − 18 11 E + 11 2 4E − 18E + 22 Powy»sza funkcja osi¡ga warto±¢ najmniejsz¡ dla równy T p̃ (4/3) = (2/3, 1/3, 0) E ∈ h1, 7/5) E ∈ h7/5, 5/2i E ∈ h2, 3i E = 4/3. Zatem portfel minimalnego ryzyka jest . Uzyskane wyniki przedstawiamy na rysunku 8.1. Do dowodu twierdzenia 39 potrzebne nam b¦d¡ pewne informacje o funkcjach wypukªych. f : V → R okre±lon¡ na zbiorze wypukªym V ⊂ Rk nazywamy wypukª¡, x, y ∈ V i dla ka»dych s, t ∈ h0, 1i, s + t = 1, speªniona jest nierówno±¢ Funkcj¦ nych gdy dla dowol- f (sx + ty) 6 sf (x) + tf (y) . Funkcj¦ f nazywamy ±ci±le wypukª¡, gdy jest wypukªa i równo±¢ w nierówno±ci (8.1) zachodzi co najwy»ej wtedy, gdy Fakt 42. Niech Rk . (8.1) Wtedy je±li s=0 lub f : V → R b¦dzie f osi¡ga w x ∈ V minimum globalne. Ponadto je±li t=0 lub x = y. funkcj¡ wypukª¡, gdzie V jest otwartym i wypukªym podzbiorem swoje minimum lokalne, to osi¡ga w tym punkcie równie» swoje f jest ±ci±le wypukªa, to osi¡ga swoje minimum globalne w co najwy»ej jednym punkcie. Dowód. Zaªó»my, »e 0 »e f (x ) < f (x). f osi¡ga swoje minimum lokalne w Wówczas dla t ∈ (0, 1) x∈V i we¹my dowolne x0 ∈ V . Przypu±¢my, mamy f (tx + (1 − t) x0 ) 6 tf (x) + (1 − t) f (x0 ) < tf (x) + (1 − t) f (x) = f (x) . ε > 0 istnieje x00 ∈ V \ {x}, taki »e f (x00 ) < f (x) i kx − x00 k < ε. Sprzeczno±¢. 0 Zaªó»my teraz, »e f jest ±ci±le wypukªa i osi¡ga swoje minimum globalne w punktach x, x ∈ V . 0 0 Przypu±¢my, »e x 6= x . Poªó»my α := f (x) = f (x ). Mamy 1 1 0 1 1 1 1 f x + x < f (x) + f (x0 ) = α + α = α. 2 2 2 2 2 2 Zatem dla ka»dego Sprzeczno±¢. Rozwa»my funkcje v : Rk → R, E : R k → R dane wzorami v (x) := xT Σx, T E (x) := x µ. 34 (8.2) (8.3) E 3 5 2 7 5 4 3 q σ 2 3 Rysunek 8.1: Ilustracja do przykªadu 41. Krzywa narysowana kolorem niebieskim jest brzegiem minimalnym. Jest ona sum¡ fragmentów trzech (ró»nych!) hiperbol. 35 Zauwa»my, »e v (x) = σ 2 (x) , E (x) = E (x) , x ∈ ∆k−1 . dla v jest wypukªa. Co limx→∞ v (x) = ∞. Lemat 43. Funkcja ±ci±le wypukªa oraz Dowód. We¹my wi¦cej, je±li macierz s, t ∈ h0, 1i, s + t = 1, x, y ∈ Rk . Σ jest dodatnio okre±lona, to v jest Mamy T sv (x) + tv (y) − v (sx + ty) =sxT Σx + ty T Σy − (sx + ty) Σ (sx + ty) =sxT Σx + ty T Σy − s2 xT Σx − st xT Σy + y T Σx − t2 y T Σy =st xT Σx − xT Σy − y T Σx + y T Σy T =st (x − y) Σ (x − y) . Z lematu 35 wiemy, »e macierz wypukªo±¢ Σ jest nieujemnie okre±lona. Zatem T (x − y) Σ (x − y) > 0, v. T Σ jest dodatnio okre±lona. Wówczas w nierówno±ci st (x − y) Σ (x − y) > dokªadnie wtedy, gdy s = 0 lub t = 0 lub x = y . To daje, »e v jest ±ci±le wypukªa. 0 k 0 ostatni¡ cz¦±¢ tezy wybierzmy x ∈ R , takie »e kx k = 1 oraz v (x0 ) = min v (x) : x ∈ Rk , kxk = 1 . Zaªó»my teraz, »e macierz 0 mamy równo±¢ Aby wykaza¢ Z wªasno±ci funkcji ci¡gªych na zbiorach zwartych wynika, »e taki punkt macierz Σ jest dodatnio okre±lona, wi¦c v (x) = xT Σx = kxk2 gdy co daje x kxk 0 v (x ) > 0. T Σ x kxk x0 istnieje. Poniewa» Zatem = kxk2 v x kxk > kxk2 v (x0 ) → ∞, kxk → ∞. Niech T T e1 := (1, 0, 0, . . . , 0) , e2 := (0, 1, 0, . . . , 0) , . . . , ek := (0, 0, . . . , 0, 1) Lemat 44. Dla dowolnego x ∈ Rk oraz i ∈ {1, . . . , k} T . mamy ∂v (x) = 2eTi Σx. ∂xi Dowód. Bezpo±redni rachunek. Symbolem Hk−1 b¦dziemy dalej oznaczali hiperpªaszczyzn¦ w Hk−1 1. x̃ ∈ Hk−1 . zawieraj¡c¡ n o T = (x1 , . . . , xk ) ∈ Rk : x1 + · · · + xk = 1 . Lemat 45. Zaªó»my, »e macierz Niech Rk Σ jest dodatnio okre±lona, i »e funkcja Nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne: v (x̃) = min {v (x) : x ∈ Hk−1 , E (x) = E (x̃)}. 36 v ∆k−1 . A zatem jest dana wzorem (8.2). 2. Σx̃ ∈ lin (µ, ι). Dowód. Niech L := lin (µ, ι). Zaªó»my 1. We¹my dowolny wektor w ∈ L⊥ czyli taki, »e wT µ = wT ι = 0. l (t) := x̃ + tw, p (t) := v (l (t)), t ∈ R. Zauwa»my, »e dla ka»dego t ∈ R mamy l (t) ∈ Hk−1 E (l (t)) = E (x̃). Zatem funkcja p posiada minimum w punkcie t = 0 i p0 (0) = 0. Poªó»my oraz Z drugiej strony z reguªy ªa«cucha i z lematu 44 mamy p0 (t) =wT ∂v ∂x1 ∂v ∂xn T e1 Σl (t) . . T T . . = 2w Σl (t) . = 2w . . eTn Σl (t) (l (t)) (l (t)) W szczególno±ci 0 = p0 (0) = 2wT Σx̃. ⊥ ⊥ ⊥ Zatem z dowolno±ci wektora w ∈ L dostajemy Σx̃ ∈ L = L, co daje 2. Zaªó»my teraz 2. Istniej¡ wtedy a, b ∈ R, takie »e Σx̃ = aι + bµ. We¹my dowolny x ∈ Hk−1 \ {x̃}, ⊥ taki »e E (x) = E (x̃). Zauwa»my, »e x− x̃ ∈ L . Poªó»my l (t) := x̃+t (x − x̃), p (t) := v (l (t)), t ∈ R. Z okre±lenia v i l dostajemy, »e p jest wielomianem wzgl¦dem t stopnia nie wi¦kszego ni» 2. Inaczej mówi¡c p jest funkcj¡ staª¡ lub funkcj¡ liniow¡ lub trójmianem kwadratowym. Poniewa» macierz Σ jest dodatnio okre±lona, wi¦c funkcja p jest dodatnia i, w my±l lematu 43, ±ci±le wypukªa. Zatem p musi by¢ dodatnim trójmianem kwadratowym. Licz¡c analogicznie jak w dowodzie implikacji odwrotnej dostajemy T T T T p0 (0) = 2 (x − x̃) Σx̃ = 2 (x − x̃) (aι + bµ) = 2a (x − x̃) ι + 2b (x − x̃) µ = 0. Reasumuj¡c funkcja p posiada globalne minimum w punkcie t=0 i w szczególno±ci v (x̃) = p (0) < p (1) = v (x) . Z dowolno±ci x dostajemy 1. Wyka»emy teraz twierdzenie 39. Dowód. Zaªó»my, »e Σx̃ ∈ lin (µ, ι). Wówczas w my±l lematu 45 mamy v (x̃) = min {v (x) : x ∈ Hk−1 , E (x) = E (x̃)} , a wi¦c tym bardziej St¡d x̃ σ 2 (x̃) = min σ 2 (x) : x ∈ ∆k−1 , E (x) = E (x̃) . jest portfelem relatywnie minimalnego ryzyka. Odwrotnie, niech x̃ ∈ / ∂∆k−1 . Poªó»my x̃ ∈ ∆k−1 b¦dzie portfelem relatywnie minimalnego ryzyka p E0 := E (x̃). Poniewa» σ (x) = v (x) dla x ∈ ∆k−1 , wi¦c v (x̃) = min {v (x) : x ∈ ∆k−1 , E (x) = E0 } . 37 i zaªó»my, »e Z lematu 43 wiemy, »e ˜ = E0 , E x̃ w którym limx→∞ v (x) = +∞. St¡d i z ci¡gªo±ci v osi¡ga swoje minimum globalne, tzn. W my±l lematu 45 mamy funkcji v istnieje ˜ ∈ Hk−1 x̃ takie »e ˜ = min {v (x) : x ∈ Hk−1 , E (x) = E0 } . v x̃ ˜ ∈ lin (µ, ι) . Σx̃ ˜. x̃ = x̃ V := {v (x) : x ∈ Hk−1 , E (x) = E0 }. Poniewa» V jest ( xT ι = 1 xT µ = E 0 (8.4) Aby doko«czy¢ dowód wystarczy zatem wykaza¢, »e Niech zbiorem rozwi¡za« ukªadu równa« oraz rank (µ, ι) = 2, h : Rk−2 → V . Wówczas funkcja k−1 ˜ ˜ = x̃ ˜. atwo ṽ := v ◦ h jest ±ci±le wypukªa. Niech ỹ, ỹ ∈ R b¦d¡ takie, »e ṽ (ỹ) = x̃, ṽ ỹ k−2 sprawdzamy, »e z zaªo»enia x̃ ∈ ∆k−1 \ ∂∆k−1 wynika istnienie otoczenia U punktu ỹ w R , takiego »e h (U ) ⊂ ∆k−1 . W konsekwencji funkcja ṽ osi¡ga swoje minimum lokalne w ỹ . Z drugiej ˜. St¡d, z faktu 42 i z tego, »e ṽ jest ±ci±le wypukªa strony ṽ osi¡ga swoje minimum globalne w ỹ ˜ ˜ dostajemy ỹ = ỹ . Zatem x̃ = x̃. To oraz (8.4) daje tez¦. wi¦c istnieje wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie aniczne Cz¦±¢ IV Model Blacka Zajmiemy si¦ teraz opisem modelu Blacka, czyli modelu Markowitza wzbogaconego o mo»liwo±¢ nieograniczonej krótkiej sprzeda»y. Przykªad 46 (krótka sprzeda»). Zaªó»my, »e w obrocie gieªdowym znajduj¡ si¦ akcje pewnej spóªki A i zaªó»my, »e przewidujemy, i» w ci¡gu roku ceny akcji tej spóªki spadn¡ ze 100 do 97 za sztuk¦. Po»yczamy 50 akcji spóªki 50 · 100 = 5000. A i natychmiast je sprzedajemy. Uzyskujemy w ten sposób Po upªywie roku odkupujemy 50 akcji tej spóªki i oddajemy wªa±cicielowi. Je»eli aktualna cena wynosi, tak jak przewidywali±my 97, to wydajemy na t¦ transakcj¦ Ostatecznie nasz zysk wynosi 50 · 97 = 4850. 5000 − 4850 = 150. Strategia opisana w powy»szym przykªadzie, czyli po»yczka i sprzeda» aktywów, których si¦ faktycznie nie posiada, a nast¦pnie ich odkupienie i zwrot nazywamy krótk¡ sprzeda»¡. Zauwa»my, »e stosuj¡c krótk¡ sprzeda» mo»na, przynajmniej teoretycznie, tak dowolnie wiele zyska¢ jak i dowolnie wiele straci¢. Opis portfela w modelu Blacka wygl¡da nast¦puj¡co: Zakªadamy, »e dysponujemy pewn¡ kwot¡ Cp , któr¡ b¦dziemy inwestowali w spóªki o numerach 1, 2, . . . , k . Przyjmujemy, »e ka»dy J ⊂ {1, 2, . . . , k} b¦dzie zbiorem indeksów walorów, które zdecydowali±my si¦ krótko sprzedawa¢. A zatem dla ka»dego j ∈ J po»yczamy pocz¡tkow¡ walor dopuszcza nieograniczon¡ krótk¡ sprzeda». Niech tych 38 Kj oznacza kwot¦ uzyskan¡ ze sprzeP j ∈ J . Dysponujemy teraz kwot¡ Cp + j∈J Kj , któr¡ inwestujemy w akcje spóªek I = {1, 2, . . . , k} \ J . Niech Ki , i ∈ I oznacza kwot¦ zainwestowan¡ w spóªk¦ i. Mamy X X Cp + Kj = Ki . a nast¦pnie natychmiast sprzedajemy pewn¡ ilo±¢ akcji. Niech da»y akcji spóªki i ∈ I, gdzie j∈J St¡d, kªad¡c xi := Ki /Cp , i ∈ I i∈I xj := −Kj /Cp , j ∈ J oraz dostajemy x1 + x2 + · · · + xk = 1. Uzyskali±my zatem punkt T x := (x1 , . . . , xk ) ∈ Hk−1 , który koduje przeprowadzony przez nas wy»ej proces inwestycyjny. W konsekwencji portfelem akcji w modelu Blacka b¦dziemy nazywali ka»dy punkt x ∈ Hk−1 . A, B, C, D, E . Dysponujemy kwot¡ 100. Dokonujemy krótkiej sprzeA, B, C za kwot¦ odpowiednio 10, 20, 30. Nast¦pnie inwestujemy w aktywa D i E w proporcji 3 : 1. Wyznaczymy portfel odpowiadaj¡cy opisanej sytuacji. Kwota przeznaczona do inwestycji w D i E jest równa 100 + 10 + 20 + 30 = 160. Mamy 120 : 40 = 3 : 1 oraz 120 + 40 = 160, Przykªad 47. Dane s¡ aktywa da»y aktywów wi¦c nasz portfel jest równy Fakt 48. Stopa zwrotu R(x) − 20 30 120 40 10 ,− ,− , , 100 100 100 100 100 z portfela x ∈ Hk−1 T . jest równa R (x) = x1 R1 + · · · + xk Rk = xT R. Dowód. Obliczymy najpierw oczekiwany zysk z naszej inwestycji. Niech l ∈ {1, 2, . . . , k}. Zl oznacza zysk z waloru Przyjmuj¡c oznaczenia jak w powy»szym opisie portfela w modelu Blacka mamy: Zi = Ki (1 + Ri ) − Ki = Ki Ri , i ∈ I, Zj = Kj − Kj (1 + Rj ) = −Kj Rj , j ∈ J. Zatem R (x) = = Pk l=1 Zl Cp X Ki i∈I Cp = P Ri + i∈I K i Ri − j∈J Kj Rj Cp X −Kj j∈J P Cp Rj = k X xl Rl . l=1 Widzimy wi¦c, »e wzór na stop¦ zwrotu (jako zmienn¡ losow¡) z portfela w modelu Markowitza i w modelu Blacka jest taki sam. W konsekwencji wariancja, odchylenie standardowe, oczekiwana stopa zwrotu, odwzorowanie Markowitza i zmodykowane odwzorowanie Markowitza wyra»aj¡ si¦ tymi samymi wzorami w modelu Markowitza i w modelu Blacka. Dokªadniej, wszystkie wymienione 39 wy»ej funkcje okre±lone w modelu Markowitza na sympleksie sób na hiperpªaszczyzn¦ Hk−1 . ∆k−1 rozszerzaj¡ si¦ w naturalny spo- Co wi¦cej denicje portfela efektywnego, brzegu efektywnego, port- fela relatywnie minimalnego ryzyka, brzegu minimalnego, portfela minimalnego ryzyka przenosz¡ si¦, po dokonaniu oczywistych zmian, z modelu Markowitza na model Blacka. T ι := (1, . . . , 1) (k jedynek) i wektor µ nie s¡ proporcjonalne oraz »e macierz Σ jest dodatnio okre±lona. Wtedy x̃ ∈ Hk−1 jest portfelem relatywnie minimalnego ryzyka w modelu Blacka wtedy i tylko wtedy, gdy Σx̃ ∈ lin (µ, ι). Twierdzenie 49. Zaªó»my, »e wektor Dowód. Teza wynika z lematu 45. Twierdzenie 50. Je±li macierz Σ wszystkie wspóªrz¦dne wektora Σx̃ x̃ ∈ Hk−1 jest portfelem minimalnego Σx̃ oraz ι s¡ proporcjonalne (czyli gdy jest dodatnio okre±lona, to ryzyka w modelu Blacka wtedy i tylko wtedy, gdy wektory s¡ identyczne). Dowód. Zauwa»my najpierw, »e pytanie, który portfel jest portfelem minimalnego ryzyka, nie zale»y od warto±ci wektora oczekiwanych stóp zwrotu E (x) = 1 dla ka»dego x ∈ Hk−1 , µ. Mo»emy zatem przyj¡¢ µ := ι. W konsekwencji wi¦c {v (x) : x ∈ Hk−1 } = {v (x) : x ∈ Hk−1 , E (x) = E (x̃)} . St¡d, z okre±lenia µ i z lematu 45 dostajemy tez¦. Przykªad 51. Niech Σ= 6 6 2 6 4 6 21 2 3 9 6 2 3 2 3 2 6 4 9 6 3 2 19 6 2 6 4 Przy dozwolonej krótkiej sprzeda»y wyznaczymy portfel minimalnego ryzyka. Mamy 1,2,3,4 1,2,3,4,5 1,2,3 det Σ11 = 6, det Σ1,2 1,2 = 27, det Σ1,2,3 = 30, det Σ1,2,3,4 = 42 det Σ1,2,3,4,5 = det Σ = 6, Σ jest dodatnio okre±lona i mo»emy korzysta¢ z twierdzenia 50. x̃ ∈ Hk−1 , takie »e Σx̃ jest proporcjonalne do ι rozwi¡zujemy najpierw ukªad równa« Σx = ι. Poniewa» det Σ = 6 0, wi¦c ukªad ten ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie i ªatwo wi¦c z kryterium Sylvestera macierz Aby znale¹¢ liniowych sprawdzamy, »e jest ono równe 40 Zauwa»my, »e tak uzyskany wektor ι), nawet równy x̃ ∈ Hk−1 ˜= x̃ speªnia t¦ wªasno±¢, »e ˜ Σx̃ jest proporcjonalny do ale mo»e nie nale»e¢ (i w naszym przypadku nie nale»y) do x̃ := Teraz ˜ x̃ 0 −1/3 1/2 −1 2 ˜ x̃ suma wspóªrz¦dnych Σx̃ = Uwaga 52. Je±li macierz Σ x̃ ι (bo jest Niech 0 −2/7 ˜ x̃ 3/7 = = ˜ 7/6 x̃ −6/7 12/7 oraz Zatem w my±l twierdzenia 50, Hk−1 . 6 ˜ 6 Σx̃ = ι. 7 7 jest portfelem minimalnego ryzyka. jest dodatnio okre±lona oraz Σx = ι, to suma wspóªrz¦dnych wektora x jest niezerowa: suma wspóªrz¦dnych Wyka»emy teraz, »e gdy macierz Σ x = xT ι = xT Σx > 0. jest dodatnio okre±lona i wektory µ oraz ι nie s¡ proporcjo- nalne, to zbiór portfeli relatywnie minimalnego ryzyka w modelu Blacka jest prost¡. Podamy te» parametryzacj¦ tej prostej. Kªadziemy: α := µT Σ−1 µ, β := µT Σ−1 ι, γ := ιT Σ−1 ι. Lemat 53. αγ − β 2 > 0. Dowód. Macierz wektory µiι Σ−1 , tak jak macierz Σ, 3 Zatem jest dodatnio okre±lona. s¡ liniowo niezale»ne wynika, i» βµ − αι 6= 0. α > 0. St¡d i z faktu, »e Wobec tego T 0 < (βµ − αι) Σ−1 (βµ − αι) = α αγ − β 2 . 3 Istotnie, poniewa» Σ jest nieosobliwa, wi¦c dla dowolnego x ∈ Rk \ {0} istnieje Zatem xT Σ−1 x = (Σy)T Σ−1 (Σy) = y T Σy > 0. 41 y ∈ Rk \ {0}, taki »e Σy = x. Twierdzenie 54. Zaªó»my, »e macierz Σ jest dodatnio okre±lona oraz, »e wektory µ i ι nie s¡ proporcjonalne. Wówczas zbiór portfeli relatywnie minimalnego ryzyka w modelu Blacka tworzy prost¡. Parametryzacja tej prostej R 3 E 7→ x (E) x (E) = αγ − β 2 −1 dana jest wzorem Σ−1 ((α − βE) ι + (γE − β) µ) E (x (E)) = E, E ∈ R. Ponadto dla parametryzacji tej speªniona jest równo±¢ Dowód. We¹my dowolny (8.5) x ∈ Hk−1 . Oznaczmy E := E (x). Niech x (E) b¦dzie portfelem relatywnie E (x (E)) = E . W my±l twierdzenia 49 istniej¡ a, b ∈ R, takie »e minimalnego ryzyka, takim »e Σx (E) = aι + bµ. Macierz Σ jest dodatnio okre±lona, wi¦c równie» nieosobliwa. Zatem powy»sze równanie mo»emy przepisa¢ w postaci x (E) = aΣ−1 ι + bΣ−1 µ. Wymna»aj¡c z kolei to równanie z lewej strony raz przez równa« z niewiadomymi a i b: ι T i raz przez (8.6) T µ dostajemy ukªad dwóch ( 1 = aγ + bβ E = aβ + bα αγ − β 2 jest ró»ny od zera (lemat 53). Zatem γ 1 1 β β E E α α − βE γE − β = = , b = . a = 2 αγ − β αγ − β2 γ β γ β β α β α Wyznacznik tego ukªadu St¡d i z (8.6) dostajemy tez¦. Twierdzenie 55. Przy zaªo»eniach twierdzenia 54 brzeg minimalny w modelu Blacka jest praw¡ gaª¦zi¡ hiperboli o równaniu 2 σ2 (E − E0 ) − = 1, a2 b2 gdzie 1 a= √ , b= γ p (8.7) αγ − β 2 β , E0 = . γ γ Ponadto 1. x ∈ Hk−1 2. portfel x jest portfelem minimalnego ryzyka wtedy i tylko wtedy, gdy jest efektywny wtedy i tylko wtedy, gdy 42 (σ (x) , E (x)) σ (x) = a, E (x) = E0 , speªnia (8.7) oraz E (x) > E0 . E ∈ R i x (E) jest portfelem relatywnie minimalnego ryzyka x (E) jest dane wzorem (8.5). Oznaczmy σ := σ (x (E)). dwuskªadnikowym wyka»emy, »e równanie uwikªane wi¡»¡ce σ i E jest Dowód. Zgodnie z twierdzeniem 54, je±li o oczekiwanej stopie zwrotu równej Podobnie jak w modelu E, to równaniem hiperboli z tezy twierdzenia. Mamy T σ 2 =x (E) Σx (E) −1 −1 1 T T Σ ΣΣ ((α − βE) ι + (γE − β) µ) = 2 (α − βE) ι + (γE − β) µ 2 (αγ − β ) 1 = γE 2 − 2βE + α 2 αγ − β 2 γ β 1 = E − + . αγ − β 2 γ γ St¡d wyprowadzamy, »e speªniona jest równo±¢ (8.7). σ > 0, E ∈ R i »e (σ, E) jest punktem hiperboli (8.7). Niech x (E) b¦dzie E . Nale»y wykaza¢, »e σ = σ (x (E)). Oznaczmy σ̃ := σ (x (E)). Wtedy σ̃ > 0 i z pierwszej cz¦±ci dowodu punkt (σ̃, E) le»y na hiperboli (8.7). St¡d σ = σ̃ . Odwrotnie, zaªó»my »e portfelem relatywnie minimalnego ryzyka o oczekiwanej stopie zwrotu równej Przykªad 56. We¹my dane z przykªadu 29 ale tym razem z dopuszczon¡ krótk¡ sprzeda»¡ 1 Σ = 0 1 Mamy Σ−1 7 1 1 = 5 −2 1 3 −1 0 2 1 1 1 , 4 −2 −1 , 2 1 µ = 2 . 3 α= 17 9 8 , β= , γ= . 5 5 5 Korzystaj¡c z twierdzenia 54 wyznaczamy parametryzacj¦ R 3 E 7→ x (E) portfeli relatywnie minimalnego ryzyka −1 −1 x (E) = αγ − β 2 Σ ((α − βE) ι + (γE − β) µ) 1 1 7 1 −2 5 1 17 9 8 9 2 1 3 −1 = · − E 1 + E− 11 5 5 5 5 5 −2 −1 2 1 3 6 15 − 11 E + 11 E 3 = 11 + 11 5 7 11 E − 11 Wynik ten uzyskali±my ju» w przykªadzie 41. Tam czekaªy nas jeszcze kolejne obliczenia, gdy» x (E) ∈ ∆2 co ograniczyªo nasz¡ parameh7/5, 5/2i. Dla pozostaªych E ∈ h1, 3i nale»aªo szuka¢ portfeli relatywnie minimalnego ryzyka le»¡cych w ∂∆2 . Dopuszczenie krótkiej sprzeda»y powoduje, »e wyznaczona wy»ej parametryzacja okre±lona na R daje dokªadnie wszystkie portfele relatywnie minimalnego krótka sprzeda» nie byªa dozwolona wi¦c musiaªo by¢ tryzacj¦ do przedziaªu ryzyka. 43 E 9 8 q σ 5 8 Rysunek 8.2: W tym przykªadzie brzeg minimalny jest praw¡ gaª¦zi¡ hiperboli. Kropka to obraz portfela minimalnego ryzyka a krzywa w kolorze niebieskim to brzeg efektywny. Cz¦±¢ pªaszczyzny znajduj¡ca si¦ na prawo od brzegu minimalnego to zbiór mo»liwo±ci w modelu Blacka. Linie przerywane to M (∂∆2 ) (porównaj rysunek 8.1). Na koniec zauwa»my, »e w my±l twierdzenia 55 brzeg minimalny jest praw¡ gaª¦zi¡ hiperboli o równaniu 2 σ2 (E − 9/8) − = 1. 5/8 55/64 Portfel minimalnego ryzyka ma odchylenie standardowe równe zwrotu wynosi 9/8. Przykªad ten ilustrujemy rysunkiem 8.2. 44 p 5/8, a jego oczekiwana stopa Cz¦±¢ V Model Blacka z doª¡czonymi aktywami wolnymi od ryzyka 9 Opis portfela W tej cz¦±ci b¦dziemy zakªadali, »e oprócz k aktywów ryzykownych mamy jeszcze do dyspozycji walor, który jest bezryzykowny. Przyjmujemy, »e jego stopa zwrotu jest staªa i dodatnia, i »e mo»emy wedªug tej stopy udziela¢ i zaci¡ga¢ po»yczki w dowolnej wysoko±ci. B¦dziemy te» dopuszczali krótk¡ sprzeda». Niech Ef > 0 (indeks f od risk free ) oznacza stop¦ zwrotu woln¡ od ryzyka (tzn. Oznaczenia dotycz¡ce aktywów ryzykownych zachowujemy z poprzednich cz¦±ci. Niech σf = 0). x ∈ Hk−1 t 6 1 symbolem xf (t) b¦dziemy oznaczali punkt (t, (1 − t) x) ∈ R . Zauwa»my, »e wspóªrz¦dne xf (t) sumuj¡ si¦ do 1, wi¦c xf (t) ∈ Hk . Interpretacja portfela xf (t) jest nast¦puj¡ca: Je±li t = 1, to caª¡ kwot¦ pocz¡tkow¡ inwestujemy w instrument wolny od ryzyka. Je±li 0 < t < 1, to udziaª wielko±ci t kwoty pocz¡tkowej inwestujemy bezryzykownie, natomiast udziaª wielko±ci 1−t inwestujemy w portfel x. Je±li t = 0, to caªy kapitaª pocz¡tkowy inwestujemy w portfel x. Wreszcie, je±li t < 0, to zaci¡gamy bezryzykown¡ po»yczk¦ wysoko±ci −t · Cp a nast¦pnie wszystko inwestujemy w portfel x. b¦dzie dowolnym portfelem aktywów ryzykownych. Dla danego T Lemat 57. Oznaczmy (1 − t) xT R. k+1 σP := σ (x), EP := E (x). Stopa zwrotu z portfela xf (t) wynosi tEf + Ponadto E (xf (t)) = tEf + (1 − t) EP , σ (xf (t)) = (1 − t) σP . Dowód. Aby wykaza¢ pierwsz¡ cz¦±¢ tezy wystarczy zauwa»y¢, »e w dowodzie faktu 48, nie korzystali±my z zaªo»enia, »e aktywa s¡ ryzykowne. xf (t) wynika z liniowo±ci warto±ci oczekiwanej: E (xf (t)) = E tEf + (1 − t) xT R = tEf + (1 − t) xT µ = tEf + (1 − t) EP . Wzór na oczekiwan¡ stop¦ zwrotu z Obliczymy teraz wariancj¦: 2 σ 2 (xf (t)) =E (xf (t) − E (xf (t))) tEf + (1 − t) xT R − tEf + (1 − t) xT µ 2 2 = (1 − t) E xT R − xT µ =E 2 = (1 − t) σP2 . St¡d σ (xf (t)) = (1 − t) σP . 1000, stopa wolna od ryzyka jest równa 5%, wybrany przez σP = 10%, µP = 20%. Jakim ryzykiem b¦dzie si¦ cechowa¢ 6 liczymy na uzyskanie 10 po 10 latach? Przykªad 58. Dysponujemy kwot¡ nas walor ryzykowny P ma parametry inwestycja w te instrumenty, je»eli 45 r̄ b¦dzie staª¡ 106 . Wówczas Niech mujemy roczn¡ stop¡ zwrotu, tak¡ »e po zainwestowaniu 10 1000 (1 + r̄) wi¦c r̄ ≈ 100%. 1000 po 10 latach podej- = 106 , Zgodnie z powy»szym lematem piszemy równanie na t: 100% = t · 5% + (1 − t) 20%. St¡d t = −16/3. Zaci¡gamy po»yczk¦ woln¡ od 6333, inwestujemy w walor P . ryzyka wysoko±ci wszystko, czyli −16/3 · 1000 ≈ 5333 a nast¦pnie Wówczas oczekiwana stopa zwrotu wynosi 100%, natomiast odchylenie standardowe jest równe: (1 − t) σP = 19 · 10% ≈ 63%. 3 Zwi¦kszenie po»yczki b¦dzie skutkowaªo wzrostem oczekiwanej stopy zwrotu oraz wzrostem ryzyka. Lemat 59. Przy oznaczeniach z lematu 57 krzywa parametryczna (−∞, 1i 3 t 7→ M (t) := M (xf (t)) jest póªprost¡ o równaniu E=σ EP − Ef + Ef , σP σ > 0. (9.1) Dowód. Z lematu 57 mamy 0 M (t) = t Ef σP + (1 − t) EP , t 6 1. Zatem obrazem tej parametryzacji jest póªprosta wychodz¡ca z punktu przez punkt (σP , EP ) T T (0, Ef ) i przechodz¡ca . St¡d teza. Wspóªczynnik kierunkowy póªprostej (9.1) SEf (x) := nazywamy wspóªczynnikiem Sharpe'a portfela 10 Niech EP − Ef σP x. Portfel rynkowy. Prosta CML E0 b¦dzie oczekiwan¡ stop¡ zwrotu z portfela minimalnego ryzyka. Zakªadamy teraz, »e • µf < E0 , • brzeg minimalny (dla zestawu aktywów ryzykownych) jest praw¡ gaª¦zi¡ hiperboli. Dokªadniej zakªadamy, »e je±li k = 2, to aktywa nie s¡ doskonale skorelowane i jeden z walorów nie dominuje drugiego. Je±li natomiast oraz ι k > 2, to macierz nie s¡ proporcjonalne. 46 Σ jest dodatnio okre±lona i wektory µ takim »e póªprosta T (σM , EM ) b¦dzie punktem zbioru mo»liwo±ci na opisanej T T wychodz¡ca z (0, Ef ) i przechodz¡ca przez (σM , EM ) , czyli Twierdzenie 60. Niech równaniem E=σ EM − Ef + Ef , σM wy»ej hiperboli, póªprosta dana σ > 0, (10.1) jest styczna do tej hiperboli. Po doª¡czeniu waloru bezryzykownego brzeg efektywny jest równy powy»szej póªprostej. Dowód. Teza wynika ªatwo z lematu 59. Istotnie, zbiór mo»liwo±ci (po doª¡czeniu waloru bezryT zykownego) jest sum¡ póªprostych danych przez równanie (9.1), gdzie parametry (σP , EP ) przeT biegaj¡ M (Hk−1 ). Suma ta jest nieograniczonym trójk¡tem T o wierzchoªku w punkcie (0, Ef ) . Zatem szukany brzeg efektywny jest póªprost¡ stanowi¡c¡ górny bok Ef < EM Portfel T. Poniewa» Ef < E0 , wi¦c i ªatwo wida¢, »e póªprosta ta b¦dzie dana równaniem (10.1). xM ∈ Hk−1 o parametrach T (σM , EM ) nazywamy portfelem rynkowym. Póªprost¡ (10.1) nazywamy lini¡ rynku kapitaªowego, w skrócie CML (Capital Market Line). Mo»na wykaza¢, »e wspóªczynnik Sharpe'a jest równy maksimum zbioru wspóªczynników Sharpe'a wyznaczonych przez wszystkie portfele z modelu Blacka. Przykªad 61. Zaªó»my, »e oczekiwana stopa zwrotu z portfela rynkowego wynosi stopa zwrotu wolna od ryzyka wynosi równe σM = 30%. Ef = 5%. EM = 20%, a Odchylenie standardowe portfela rynkowego jest Zatem równanie linii rynku kapitaªowego ma posta¢: E= 1 σ + 5%. 2 Je»eli inwestujemy w aktywa wolne od ryzyka i w portfel rynkowy a wymagana stopa zwrotu wynosi 25%, to ryzyko tej inwestycji wyliczymy z równania: 1 25% = σ + 5%, 2 σ =40%. Zauwa»my, »e aby uzyska¢ oczekiwan¡ stop¦ zwrotu tej wysoko±ci nale»y dokona¢ po»yczki wolnej od ryzyka. Obliczymy wysoko±¢ tej po»yczki dla kwoty pocz¡tkowej portfel jest postaci t (1 − t) · portfel Cp = 1000. Szukany przez nas rynkowy Zgodnie z lematem 57 jego oczekiwana stopa zwrotu jest równa tEf + (1 − t) EM = t · 5% + (1 − t) · 20%. Zatem z równania t · 5% + (1 − t) · 20% = 25% uzyskujemy t = −1/3. Musimy wi¦c zaci¡gn¡¢ po»yczk¦ wysoko±ci 47 −tCp = 1000/3. Obliczenia mo»emy poprowadzi¢ równie» bardziej bezpo±rednio, bez odwoªywania si¦ do lematu 57. Niech L oznacza wysoko±¢ po»yczki. Wówczas (Cp + L) (1 + EM ) − L (1 + Ef ) =Cp (1 + wymagana stopa zwrotu) , (1000 + L) (1 + 20%) − L (1 + 5%) =1000 · (1 + 25%) , 1000 L= . 3 Twierdzenie 62. Portfel rynkowy dany jest wzorem: xM = Σ−1 (µ − Ef ι) . ιT Σ−1 (µ − Ef ι) Dowód. Znajdziemy najpierw obraz przez odwzorowanie Markowitza portfela xM , czyli, zgodnie T T z twierdzeniem 60, punkt (σM , EM ) , taki »e prosta wychodz¡ca z (0, Ef ) i przechodz¡ca przez T T (σM , EM ) , jest styczna w (σM , EM ) do hiperboli tworz¡cej brzeg minimalny. W my±l twierdzenia 55 brzeg minimalny dla aktywów ryzykownych jest praw¡ gaª¦zi¡ hiperboli o równaniu (8.7), gdy k>3 oraz (4.2) dla dwóch aktywów. Je»eli T (σ, E) jest punktem tej hiperboli, to licz¡c gradient lewej strony (8.7) widzimy, »e wektor do niej prostopadªy w A zatem, aby znale¹¢ σ E0 − E , a2 b2 T T (σ, E) dany jest wzorem . T T (σM , EM ) wystarczy wyznaczy¢ (σ, E) z ukªadu σ 2> 0, (E−E0 )2 σ = 1, a2 − b2 T T T (σ, E) − (0, Ef ) ⊥ aσ2 , E0b−E . 2 warunków: Korzystaj¡c ze wzoru na iloczyn skalarny powy»szy ukªad przepisujemy w postaci Zaªó»my teraz, »e k > 3. σ > 0, (E−E0 )2 σ2 = 1, a2 − b2 σ2 (E−Ef )(E0 −E) = 0. a2 + b2 Z dwóch ostatnich równa« dostajemy EM = b2 α − βEf + E0 = . E0 − Ef β − γEf Zatem korzystaj¡c ze wzoru parametrycznego na brzeg minimalny w twierdzeniu 54 dostajemy: xM = x (EM ) = Aby udowodni¢ twierdzenie w przypadku k=2 Σ−1 (µ − Ef ι) . ιT Σ−1 (µ − Ef ι) wystarczy zauwa»y¢, »e hiperbola (8.7) redukuje si¦ w przypadku dwóch aktywów do (4.2). 48 11 Model CAPM Twierdzenie 63. Zaªó»my, »e speªnione s¡ zaªo»enia sformuªowane przed twierdzeniem 60. Niech xM b¦dzie portfelem rynkowym, x ∈ Hk−1 b¦dzie dowolnym portfelem ryzykownym, M (xM ) = T T (σM , EM ) , M (x) = (σ, E) oraz niech σxM b¦dzie kowariancj¡ portfeli x i xM . Wtedy E − Ef = βx (EM − Ef ) , gdzie βx = σxM 2 . σM Dowód. Rozwa»my rodzin¦ portfeli dwuskªadnikowych xt = tx + (1 − t) xM , Poniewa» portfel rynkowy xM t ∈ R. jest portfelem efektywnym i T M (xt ) |t=0 = M (xM ) = (σM , EM ) , wi¦c krzywa parametryczna R 3 t 7→ M (xt ) t=0 musi by¢ styczna w punkcie do brzegu efektywnego (ponadto korelacja portfeli x i xM nie mo»e by¢ doskonaªa). Oznacza to, »e wektory T (σM , EM − Ef ) i d M (xt ) |t=0 dt s¡ wspóªliniowe. Poniewa» d M (xt ) |t=0 = dt oraz σ 2 − σxM , E − EM σ T T T (σM , EM − Ef ) ⊥ (Ef − EM , σM ) , wi¦c licz¡c iloczyn skalarny dostajemy równo±¢ St¡d otrzymujemy tez¦. σ 2 − σxM (Ef − EM ) + σσM (E − EM ) = 0. Prost¡ E − Ef = β (EM − Ef ) na pªaszczy¹nie o wspóªrz¦dnych (β, E) (SML) nazywamy lini¡ rynku papierów warto±ciowych, w skrócie SML (Security Market Line). 49 Akcja Liczba akcji w Cena 1 akcji Oczekiwana stopa Odchylenie zwrotu (%) standardowe (%) obrocie A B 100 1,50 15 15 150 2,00 12 9 Tablica 7: Przykªad 64 (Prostolandia Luenberger [2003, zadanie 7.6]). W Prostolandii istniej¡ tylko dwie ryzykowne akcje AiB opisane w poni»szej tabeli: Wspóªczynnik korelacji pomi¦dzy stop¡ zwrotu z akcji A i B wynosi ρ = 1/3. Istniej¡ równie» aktywa wolne od ryzyka. Zakªadamy, »e wszyscy inwestorzy korzystaj¡ z opisanego dot¡d modelu budowy portfela. Inaczej mówi¡c ró»nica mi¦dzy portfelami dwóch inwestorów wynika jedynie ze stopnia z jakim akceptuj¡ ryzyko. W konsekwencji wszyscy inwestorzy b¦d¡ zaci¡ga¢ po»yczki lub zakªada¢ lokaty z jedn¡ ustalon¡ stop¡ woln¡ od ryzyka oraz inwestowa¢ w portfel rynkowy, który w tym przypadku b¦dzie wyznaczony przez kapitalizacje spóªek Zatem 1 2 150 · 2 100 · 1, 5 , = , , 100 · 1, 5 + 150 · 2 100 · 1, 5 + 150 · 2 3 3 2 1 EM = E (xM ) = · 15 + · 12 = 13, 3 3 s 2 2 1 1 2 1 2 2 = σ (xM ) = · 15 + 2 · · · · 15 · 9 + · 92 = 9. 3 3 3 3 3 xM = σM A i B. Obliczymy wspóªczynnik beta dla obu aktywów. Zauwa»my najpierw, »e ogólnie, je±li s¡ zmiennymi losowymi oraz cov X, k X j=1 x 1 , . . . , x k ∈ R, to 4 k k X X xj Xj =E (X − E (X)) xj Xj − xj E (Xj ) j=1 j=1 k X =E xj (X − E (X)) (Xj − E (Xj )) j=1 = k X xj E ((X − E (X)) (Xj − E (Xj ))) j=1 = k X xj cov(X, Xj ). j=1 Zatem 2 1 2 2 1 σAM = σAA + σAB = σA + ρσA σB 3 3 3 3 1 2 1 = · 152 + · · 15 · 9 = 105 3 3 3 4W tym rachunku zakªadamy, »e wszystkie warto±ci oczekiwane istniej¡ i s¡ sko«czone. 50 X, X1 , . . . , Xk oraz podobnie 1 2 1 2 2 σBM = σBA + σBB = ρσA σB + σB 3 3 3 3 2 1 1 = · · 15 · 9 + · 92 = 69. 3 3 3 St¡d σAM 105 35 = = , 2 σM 81 27 69 σBM 23 = . βB = 2 = σM 81 27 βA = Zgodnie z naszymi zaªo»eniami wszystkie aktywa musz¡ speªnia¢ równanie (SML). Zatem EA − Ef = βA (EM − Ef ) , czyli 15 − Ef = Wyliczamy st¡d 35 (13 − Ef ) . 27 Ef = 25/4. 51 Indeks ±ciana sympleksu, 31 minimalnego ryzyka, 25 relatywnie minimalnego ryzyka, 25 B rynkowy, 47 brzeg w modelu Blacka, 39 efektywny, 22 próba losowa prosta, 3 minimalny, 25 sympleksu, 31 S stopa zwrotu, 1 D stopa zwrotu z portfela, 8, 20 doskonaªa korelacja, 7 sympleks, 20 dodatnia, 7, 25 mieszana, 25 W ujemna, 7 wariancja, 2 dywersykacja, 6 wariancja portfela, 9 warto±¢ oczekiwana portfela, 9 E wspóªczynnik korelacji, 7 estymator nieobci¡»ony (warto±ci oczekiwanej i krytyczny, 15 wariancji), 4 nadkrytyczny, 15 podkrytyczny, 15 F wspóªczynnik Sharpe'a, 46 funkcja ±ci±le wypukªa, 34 Z wypukªa, 34 zbiór mo»liwo±ci, 10, 22 zmodykowane odwzorowanie Markowitza, 10, 22 K zysk, 1 korelacja, 7 dodatnia, 7 ujemna, 7 kowariancja, 6 krótka sprzeda», 38 M macierz kowariancji, 9, 21 N nieskorelowane zmienne losowe, 7 O odchylenie standardowe, 2 odwzorowanie Markowitza, 10, 22 P portfel akcji, 8, 20 efektywny, 10, 22 52 Spis tre±ci I Stopa zwrotu jako zmienna losowa II 1 Portfel dwuskªadnikowy 6 1 Kowariancja, wspóªczynnik korelacji 6 2 Opis portfela o dwóch aktywach, odwzorowanie Markowitza 8 3 4 Przypadki szczególne portfela dwuskªadnikowego: korelacja doskonaªa 11 3.1 Korelacja doskonaªa dodatnia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.2 Korelacja doskonaªa ujemna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Portfel dwuskªadnikowy: korelacja dowolna 4.1 Portfel o najmniejszym odchyleniu standardowym 4.2 Równanie uwikªane na III Portfel o k M(∆1 ) 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 skªadnikach. Model Markowitza k 5 Opis portfela o 6 Brzeg minimalny w modelu Markowitza 24 7 8 9 19 Korelacja doskonaªa 25 7.1 Korelacja doskonaªa dodatnia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 7.2 Korelacja doskonaªa mieszana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Zestawy aktywów o dodatnio okre±lonej macierzy kowariancji IV V skªadnikach. Odwzorowanie Markowitza 19 Model Blacka 30 38 Model Blacka z doª¡czonymi aktywami wolnymi od ryzyka Opis portfela 44 45 10 Portfel rynkowy. Prosta CML 46 11 Model CAPM 49 53 Literatura Edwin J Elton, Martin J Gruber, Stephen J Brown, and William N Goetzmann. Modern portfolio theory and investment analysis. John Wiley & Sons, 2009. David Luenberger. Teoria inwestycji nansowych. Wydaw. Naukowe PWN, 2003. Harry Markowitz. Portfolio selection. The Journal of Finance, 7(1):7791, 1952. Mariusz Mormul, Piotr Baryªo. Analiza Portfelowa i Rynki Kapitaªowe 1. http://mst.mimuw.edu.pl/lecture.php?lecture=pk1. Marcin Studniarski. Wykªady z analizy http://math.uni.lodz.pl/ marstud/dydaktyka.htm. 54 portfelowej. 2012. 2012. URL URL