V8 - Auf- und Entladung von Kondensatoren

V8 - Auf- und Entladung von Kondensatoren

V8 - Auf- und Entladung von Kondensatoren
Michael Baron, Frank Scholz
07.12.2005
Inhaltsverzeichnis
1 Aufgabenstellung
1
2 Theoretischer Hintergrund
2.1 Elektrostatische Betrachtung von Kondensatoren . . . . .
2.2 Zeitabhängige Betrachtung... . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 ...während der Aufladung . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 ...während der Entladung . . . . . . . . . . . . . .
2.3 einfaches RC-Netzwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Differential-Gleichung für die Kondensatorspannung
2.3.2 Lösungen für die Differential-Gleichung . . . . . . .
2
2
3
3
3
4
5
5
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3 Versuchsdurchführung
4 Versuchsergebnisse
4.1 Kondensator C1 . .
4.1.1 Bestimmung
4.1.2 Bestimmung
4.1.3 Bestimmung
4.2 Kondensator C2 . .
4.3 C1 parallel C2 . . .
4.4 C1 in Reihe mit C2
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
von τ aus dem Entladungs-Vorgang
von τ mittels einer Tangente . . . .
von τ aus dem Aufladungs-Vorgang
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5 Anlagen
1
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6
6
6
7
7
7
7
8
8
Aufgabenstellung
Aufgabe dieses Experiments ist die aperiodische Auf- und Entladung zweier
Kondensatoren (jeweils einzeln, in Parallel- und Reihenschaltung) über einen
1
Widerstand R, die Aufzeichnung der zeitabhängigen Größen KondensatorSpannung UC (t) und -Strom IC (t) sowie letztlich die Bestimmung der zugehörigen Zeitkonstanten τ und Kapazitäten C.
2
2.1
Theoretischer Hintergrund
Elektrostatische Betrachtung von Kondensatoren
Betrachtet man zwei gegenüberliegende Metallplatten, zwischen denen keine
leitende Verbindung besteht, so handelt es sich um einen Plattenkondensator,
also einen Ladungs-Speicher dessen Aufnahmefähigkeit sich proportional zur
angelegten Spannung UC verhält. Hierbei ist die Proportionalitätskonstante
durch die Kapazität C vorgegeben, was dann zur Formel
Q = C · UC
(1)
führt.
[Q]
1C
= 1V
= 1F (ausgesprochen
Folglich ist die Einheit der Kapazität [C] = [U
]
Farad).
Weiterhin ist die Kapazität eine feste Eigenschaft von Kondensator und eingeschlossenem Dielektrikum (Isolator zw. beiden Platten) und beträgt für
Plattenkondensatoren :
A
C = 0 r ·
(2)
d
2
wobei 0 = 8, 8542 · 10−12 NCm2 absolute, r relative Dielelektrizitätszahlen, A
die Plattenfläche (einer Platte) sowie d den Plattenabstand bezeichnen.
Schaltet man mehrere Kapazitäten parallel, so addieren sie sich aufgrund
der Tatsache, dass über allen die gleiche Spannung abfällt, was sich wie folgt
ausdrücken lässt:
Q
C=
=
U
P
Qi X Qi X
Ci
=
=
U
i U
i
i
(3)
Bei der Reihenschaltung hingegen sind jeweils alle vorkommenden Plattenladungen (bis auf das Vorzeichen) ausgeglichen, da wir uns im elektrostatischen
Fall befinden und nun keine Ströme mehr fließen dürfen und die Spannungen
addieren sich, wie folgt:
1
U
=
=
C
Q
P
Ui X Ui X 1
=
=
Q
i Q
i Ci
i
2
(4)
Verwendet man jedoch nur zwei Kondensatoren in Reihe, so lässt sich die
Rechnung vereinfachen, indem man die Formel umstellt:
1
1
1
C1 · C2
=
+
⇒C=
C
C1 C2
C1 + C2
2.2
2.2.1
(5)
Zeitabhängige Betrachtung...
...während der Aufladung
Lädt man nun einen Kondensator auf, so wächst die Kondensator-Spannung
UC (t) exponentiell asymptotisch bis auf die Lade-Spannung U0 an und der
Lade-Strom IC (t) nimmt exponentiell gegen 0A ab, was durch die folgenden
Gleichungen beschrieben wird:
−t
))
τ
−t
IC (t) = I0 · exp( )
τ
UC (t) = U0 · (1 − exp(
(6)
(7)
In diesem Fall ist I0 = UR0 der Lade-Strom zum Zeitpunkt t0 , R der LadeWiderstand, sowie τ = R · C die Zeitkonstante, welche sich aus der ersten
Gleichung wie folgt berechnen lässt:
τ=
2.2.2
−t
C (t)
)
ln( U0 −U
U0
(8)
...während der Entladung
Während der Entladung fallen nun sowohl UC (t) als auch IC (t) exponentiell
gegen 0, jedoch fließt der Entlade-Strom entgegengesetzt zum vorherigen Fall,
so dass sich ergibt:
−t
UC (t) = U0 · exp( )
(9)
τ
−t
IC (t) = −I0 · exp( )
(10)
τ
Auch hier berechnen wir die Zeitkonstante nur aus der Spannungs-Kennlinie,
da die Rechnung für die Strom-Kennlinie relativ ähnlich erfolgt:
τ=
−t
ln( UCU0(t) )
(11)
Betrachtet man jedoch die erste dieser drei Gleichungen, so stellt man fest,
dass die Zeitkonstante τ nichts anderes angibt, als den Zeitpunkt, an dem die
3
Kondensator-Spannung auf den e-ten Teil eines beliebigen Ausgangswertes
zurückgegangen ist. 1
Dies kann man mittels folgender Überlegung veranschaulichen:
τ
UC (t0 + τ ) = UC (t0 ) · exp(− )
τ
(12)
sodass eben das Verhältnis:
UC (t0 + τ )
1
=
UC (t0 )
e
(13)
folgt.
Es ist in diesem Fall also erheblich einfacher, sich zwei geeignete Zeitpunkte
(bei U0 = 5V etwa t0 = UC−1 (2, 72V ) sowie t = t+τ = UC−1 (1V )) auszusuchen,
und die Zeitkonstante aus der Zeitdifferenz direkt abzulesen.
Kennt man nun den Lade-Widerstand R, so folgt die Kapazität direkt aus
C = Rτ .
2.3
einfaches RC-Netzwerk
Im folgenden (theoretischen) Versuchsteil berachten wir ein einfaches RCNetzwerk, wofür wir zunächst die Maschengleichung der beteiligten Komponenten (Spannungs-Quelle, Widerstand sowie Kapazität) aufstellen:
U0 = UR (t) + UC (t)
(14)
Nun ist einerseits UR = R · IC bekannt und andererseits wissen wir, dass sich
die geflossene Ladung in Form eines Zeit-Integrals über die vorherrschende
Stromstärke wie folgt berechnen lässt:
Q=
Z
I(t)dt
t
(15)
Dies ist äquivalent mit dem Differential-Quotienten:
I=
1
dQ
= Q•
dt
Von daher wird τ manchmal etwas salopp als Drittelwertszeit bezeichnet
4
(16)
2.3.1
Differential-Gleichung für die Kondensatorspannung
Mit diesen Informationen können wir die Differential-Gleichung für die KondensatorSpannung UC (t) aufstellen:
U0 = UR (t) + UC (t)
UR = R · IC ⇒ U0 = R · IC (t) + UC (t)
dQC
dQ
⇒ U0 = R ·
+ UC (t)
I=
dt
dt
dUC
Q = C · U ⇒ U0 = R · C ·
+ UC (t)
dt
Es ergibt sich folglich:
UC (t) = U0 − R · C · UC• (t)
2.3.2
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
Lösungen für die Differential-Gleichung
Zuerst überprüfen wir die Lösung für den Aufladungs-Vorgang (U0 6= 0V ):
dUC (t)
UC (t) = U0 − R · C ·
(22)
dt
)) ein:
Setzen wir nun die Lösung UC (t) = U0 · (1 − exp( −t
τ
−t
d(U0 · (1 − e R·C ))
U0 · (1 − e ) = U0 − R · C ·
(23)
dt
Nach Ableitung des Differential-Quotienten ergibt sich:
−t
−t
1
) · (−e R·C )
(24)
U0 · (1 − e R·C ) = U0 − R · C · U0 · (−
R·C
Offensichtlich ist diese Lösung richtig.
Wir verifizieren nun die Lösung obiger Gleichung für den Entladungs-Vorgang
(U0 = 0V ).
dUC (t)
UC (t) = U0 − R · C ·
(25)
dt
) ein:
Setzen wir nun die Lösung UC (t) = U0 · exp( −t
τ
−t
R·C
−t
d(U0 · e R·C )
U0 · e
= U0 − R · C ·
(26)
dt
Nach Ableitung des Differential-Quotienten ergibt sich:
−t
−t
−1
· U0 · e R·C
(27)
U0 · e R·C = U0 − R · C ·
R·C
Diese Lösung ist offensichtlich ebenfalls richtig.
Die Verifikation der Differential-Gleichung, sowie der Lösungen für die korrespondierenden Kondensator-Ströme erfolgt analog.
−t
R·C
5
Y1
T1
U0
R
S
Y2
T2
Abbildung 1: Versuchsaufbau
3
Versuchsdurchführung
In Abbildung 1 sehen wir nun den Versuchsaufbau. Hierbei wurde als VersorgungsSpannung U0 = 5V gewählt, sowie ein Lade-Widerstand von R = 100, 6kΩ
mit ∆R
= 0, 01 benutzt. Als Kondensatoren standen uns zwei ähnlich dimenR0
sionierte relativ große Papier-Kondensatoren zur Verfügung, welche wir zuerst jeweils einzeln, dann in Parallel-Schaltung und zu letzt in HintereinanderSchaltung durchmessen sollten.
Die Schalter T1 und T2 dienen hierbei der schnellen Aufladung (T1, da
Lade-Widerstand überbrückt wird), bzw. der schnellen Entladung (T2, da
Kondensator kurzgeschlossen wird).
Die Kästchen Y1 bzw. Y2 sollen die Eingänge des Plotters, welcher einen
hohen Eingangswiderstand aufweist und von daher nur Spannungen registrieren kann, symbolisieren.
Des weiteren dient der Schalter S dazu, möglichst einfach zwischen dem jetzigen Zustand (Kondensator wird entladen) und dem Auflade-Zustand zu
wechseln.
4
Versuchsergebnisse
Im Folgenden behandeln wir ausschließlich die Berechnung von τ und C
aus den Spannungs-Kennlinien. Die Berechnung aus den Stromkennlinien ist
prinzipiell ähnlich.
4.1
4.1.1
Kondensator C1
Bestimmung von τ aus dem Entladungs-Vorgang
Hierbei messen wir zunächst eine Spannung von UC (t0 ) = 2, 72V zum Zeitpunkt t0 , tragen diesen Zeitpunkt ein (im Plot siehe t0 ), verfahren dann
6
für UC (t0 + τ ) = 1V genauso (im Plot siehe t + τ ) und bestimmen aus
dem Abstand (s = 4, 2cm) durch Multiplikation mit der Plottergeschwincm
digkeit (v = 24 min
) eine Relaxationszeit von τ = 10, 5s, was bei einem
Lade-Widerstand von 100, 6kΩ eine Kapazität von 104µF zur Folge hat.
4.1.2
Bestimmung von τ mittels einer Tangente
Wir können die Zeitkonstante aber auch dadurch bestimmen, indem wir eine
Tangente zum Zeitpunkt t0 an die Kurve anlegen und dann die Differenz zwischen t0 sowie dem Schnittpunkt der Tangente im Punkt t0 + τ mit U = 0V
bestimmen. Dies folgt nun direkt aus folgender Rechnung, wobei wir die Tangente mit g bezeichnen :
g(t) = UC• (t0 ) · t + UC (t0 ) − UC• (t0 ) · t0 = 0
(28)
⇒ t = t0 + R · C = t0 + τ
(29)
Obwohl diese Methode im Allgemeinen zeichnerisch sehr ungenau ist, ist
sie jedoch geeignet dazu, die auf anderem Wege ermittelte Zeitkonstante zu
überprüfen.
4.1.3
Bestimmung von τ aus dem Aufladungs-Vorgang
Da es in diesem Fall keinen Trick gibt, den man anwenden könnte, muss man
die zu Anfang bereits aufgeführte Formel verwenden:
τ=
4.2
−t
C (t)
)
ln( U0 −U
U0
(30)
Kondensator C2
Für diesen Kondensator ermitteln wir eine Zeitkonstante von τ = 10, 25s
während der Entladung, was einer Kapazität von C = 102µF entspricht.
4.3
C1 parallel C2
Hier berechnen wir zunächst ein τ = 10, 5s + 10, 25s = 20, 75s, also eine
Kapazität von C = 206µF während der Entladung, und messen genau die
selben Werte aus der Grafik.
7
4.4
C1 in Reihe mit C2
Hierbei ergibt sich zunächst ein rechnerischer Wert von τ = 5, 19s (somit
C = 52µF ) während der Entladung, der zeichnerisch durch τ = 5, 25s sowie
52µF angenähert werden kann.
5
Anlagen
Als Attachment füge ich die aufgezeichneten Papyrus-Rollen (C1, C2, C10 ,
C20 , Parallel, Reihe) bei. Hierbei wurden die Kapazitäten jeweils zweimal
durchmessen, da aufgrund ähnlicher Größe Verdacht auf Falschmessung bestand.
8