Kierunek: BUDOWNICTWO - Politechnika Krakowska

SYLABUS - Karta programu przedmiotu
WYDZIAŁ FIZYKI, MATEMATYKI I INFORMATYKI
Rodzaj studiów: : studia stacjonarne pierwszego stopnia
Kierunek: MATEMATYKA
Rok akad.: 2010/2011
Przedmiot podstawowy
Przedmiot: ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
Rok studiów:
Semestr:
I
2
ECTS:9
Rodzaj zajęć:
W
Ć
S
L
Liczba godzin w semestrze:
45
45
-
-
Przedmioty wprowadzające / wymagania wstępne
Algebra liniowa z geometrią analityczną (1 semestr)
Elementy logiki i matematyki dyskretnej
Założenia i cele przedmiotu
Celem jest nauczyć studentów podstawowych metod algebraicznych i geometrycznych niezbędnych
w analizie, równaniach różniczkowych, teorii prawdopodobieństwa itd., aktywnie stosowanych we
współczesnych ekonomii, finansach, kryptografii, kodowaniu itd.
Metody dydaktyczne
Wykłady z kredą przy tablicę, ćwiczenia, konsultacje, kolokwium
Forma i warunki zaliczenia przedmiotu:
Ocena aktywnego udziału w zajęciach, pisemne stwierdzenie bieżącego przygotowania, kolokwium
końcowe oraz uzyskanie zaliczenia z ćwiczeń
TREŚCI PROGRAMOWE
Wykłady:
1. Struktura przekształceń liniowych
Wartości i wektory własne endomorfizmu (macierzy), podprzestrzenie własne, wielomian
charakterystyczny. Diagonalizacja macierzy.
Podprzestrzenie niezmiennicze. Twierdzenie Hamiltona-Cayleya. Klatka Jordana, postać
Jordana macierzy.
2. Przestrzenie afiniczne
Wektory swobodne i zaczepione. Podprzestrzenie afiniczne. Współrzędne punktów i
płaszczyzn. Równania prostej i płaszczyzny, wzajemne położenia prostych i płaszczyzn.
3. Przestrzenie z iloczynem skalarnym
Iloczyn skalarny, definicje przestrzeni euklidesowej i przestrzeni unitarnej. Długość wektora,
kąt między wektorami, odległość punktu od prostej i płaszczyzny. Iloczyn wektorowy i jego
zastosowanie. Baza ortogonalna, proces ortogonolizacji Grama-Schmidta. Dopełnienie
ortogonalne. Izomorfizm przestrzeni euklidesowej i przestrzeni dualnej.
4. Operatory liniowe i ich macierze
Operator sprzężony. Operator normalny. Operator samosprzężony.
Operatory i macierze ortogonalne. Postać kanoniczna macierzy ortogonalnej. Operatory i
macierze unitarne. Grupy liniowe, grupy izometrii, grupy podobieństw.
5. Formu dwuliniowe i kwadratowe
Formy dwuliniowe, ich macierze, transformacja macierzy formy przy zmianie bazy. Formy
kwadratowe, formy biegunowe. Przekształcenie form kwadratowych do postaci kanonicznej
(metodą Lagrange’a i za pomocą przekształceń ortogonalnych). Krzywe algebraiczne i
powierzchnie drugiego stopnia. Formy nieujemnie (dodatnie) określone., Twierdzenie
Sylvestera.
6. Algebra wieloliniowa
Odwzorowania i formy wieloliniowe. Określenie iloczynów tensorowych przestrzeni liniowej,
istnienie, wymiar. Iloczyn tensorowy, przemienność, łączność, uniwersalność. Tensory,
symetryczność, antysymetria . Współrzędne tensora w bazie. Algebra zewnętrzna, bazy
potęg zewnętrznych.
Ćwiczenia audytoryjne:
1.
Struktura przekształceń liniowych
Obliczanie wartości własnych, wektorów własnych i podprzestrzeni własnych, sprowadzanie
macierzy do postaci diagonalnej, sprowadzanie macierzy do postaci Jordana.
2.
Przestrzenie afiniczne
Obliczanie współrzędnych afinicznych punktów w różnych układach współrzędnych,
wyznaczenie równań prostych i płaszczyzn, badanie wzajemnego położenia prostych i
płaszczyzn.
3.
Przestrzenie z iloczynem skalarnym
Zastosowanie iloczynu skalarnego i iloczynu wektorowego. Obliczanie odległości punktu od
prostej i płaszczyzny, kątów między prostymi i płaszczyznami. Ortogonolizacja bazy
przestrzeni liniowej metodą Grama-Schmidta. Relacje między algebraicznym i
geometrycznym opisem przekształceń i zbiorów algebraicznych pierwszego stopnia.
4.
Operatory liniowe i ich macierze
Obliczanie macierzy operatorów liniowych, ich diagonalizacja. Zastosowanie grup izometrii,
grup podobieństw.
5.
Formy dwuliniowe i kwadratowe
Wyznaczenie macierzy formy dwuliniowej i formy kwadratowej. Sprowadzanie form
kwadratowych do postaci kanonicznej (metodą Lagrange’a i za pomocą przekształceń
ortogonalnych), sprowadzanie krzywych i powierzchni stopnia 2 do postaci kanonicznej (za
pomocą przekształceń ortogonalnych)
6.
Algebra wieloliniowa
Badanie własności odwzorowań wieloliniowych, badanie własności iloczynu tensorowego,
zastosowanie tensorów. Wyznaczenie współrzędnych tensora w bazie, wyznaczenie
iloczynu tensorowego macierzy. Własności iloczynu zewnętrznego, obliczanie potęgi
zewnętrznej macierzy.
Wykaz literatury podstawowej:
[1] J. Gancarzewicz, Algebra liniowa i jej zastosowania, Wyd. UJ, Kraków 2004.
[2] A. Piękosz, Algebra liniowa, Politechnika Krakowska, 2009
[3] A.I. Kostrikin, Wstęp do algebry, cz. 2. PWN, Warszawa 2004.
[4] J. Rutkowski w zadaniach, PWN, Warszawa 2008
[5] G. Banaszak, W. Gajda, Elementy geometrii liniowej, cz. I,II, WNT, Warszawa 2002.
Wykaz literatury uzupełniającej:
[1] J. Klukowski, I. Nabialek, Algebra dla studentów, WNT, Warszawa 1999.
[2] A. Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią, PWN, Warszawa 1976.
[3] F.Leja, Geometria analityczna, PWN, Warszawa 1972
[4] J. Gancarzewicz, Arytmetyka, wyd. UJ, 2002
[5] J. Klukowski, I. Nabialek, Algebra dla studentów, WNT, Warszawa 1999
[6] J. Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, PWN, Warszawa 2001.
Osoba(y) odpowiedzialna(e) za przedmiot: :
prof. dr hab. Orest ARTEMOWICZ
Zatwierdził:
dr hab. Teresa WINIARSKA, prof. PK