Doświadczenia dla szkół ponadgimnazjalnych

Cykl Metona
Liceum
Klasy I – III
Doświadczenie konkursowe nr 1
Rok 2017
Konkurs Astronomiczny „Astrolabium”
Cykl Metona
Doświadczenie konkursowe rok 2017
1. Wstęp teoretyczny
Od czasów prehistorycznych życie człowieka regulują trzy regularnie powtarzające się cykle
astronomiczne. Pierwszy z nich to cykl dzienny – w przybliżeniu czas od jednego do drugiego
wschodu Słońca. Choć w przeszłości cykl ten był bardziej istotny niż w obecnym zelektryfikowanym
świecie, to nawet dzisiaj trudno byłoby nam wyobrazić sobie sytuację, w której doba nie stanowi
podstawowej jednostki czasu. Drugim cyklem jest cykl roczny, czyli okres upływający pomiędzy
jedną a drugą równonocą wiosenną (dniem w roku, w którym dzień i noc trwają po 12 godzin,
a następnie dzień staje się dłuższy od nocy) lub przesileniem zimowym (dniem w roku, w którym
noc jest najdłuższa, a dzień najkrótszy). Ze względu na to, że aktywność przyrody zależy od pór
roku, cykl ten ma kluczowe znaczenie dla cywilizacji ludzkiej, w szczególności dla rolnictwa.
W dawnych czasach wyznaczenie dokładnego momentu równonocy czy przesilenia nie było jednak
sprawą prostą. W związku z tym, dużego znaczenia w regulowaniu życia człowieka nabrał trzeci
cykl, związany z powtarzającymi się fazami Księżyca.
Już w prehistorycznych czasach ludzie zauważyli, że czas między pierwszą a drugą obserwacją
cienkiego sierpa Księżyca na niebie (po przejściu przez cały cykl faz) wynosił raz 29, a innym razem
30 dni. Okres ten został nazwany miesiącem. Z czasem zauważono, że w ciągu roku można
zaobserwować 12 lub 13 pojawień się nowego Księżyca, czyli że rok składa się z nieco więcej niż 12
i mniej niż 13 miesięcy.
W późniejszych czasach pojawiły się kalendarze regulujące życie człowieka, a większość z nich
opierała się na cyklu księżycowym. Kalendarze takie składały się z 12 lub 13 miesięcy, liczących po
29 lub 30 dni. Wadą kalendarzy księżycowych było to, że nie istniały jednoznaczne reguły mówiące
z ilu dni składa się miesiąc i z ilu miesięcy składa się rok. Początek nowego miesiąca ogłaszano po
obserwacji nowego księżyca (jest to obyczaj nadal stosowany w krajach muzułmańskich,
posługujących się kalendarzem księżycowym). Liczbę miesięcy starano się regulować tak, aby
początek nowego roku wypadał po równonocy wiosennej, która w większości kultur stanowiła
ważny moment, ze względu na swoje powiązanie z budząca się przyrodą. Brak ustalonych reguł
powodował oczywiście olbrzymi chaos, podczas gdy miara czasu powinna być przewidywalna.
Pojawiła się więc konieczność wprowadzenia zasad, dzięki którym możliwe byłoby uzgodnienie
cyklu miesięcznego i rocznego.
Starożytni wiedzieli, że okres od nowiu do nowiu (miesiąc) trwa więcej niż 29, ale mniej niż 30
dni, zaś okres między jedną a druga równonocą (rok) – nieco więcej niż 365, lecz mniej niż 366 dni.
Grecki astronom i matematyk Meton z Aten, żyjący w V wieku p.n.e, wyliczył czas, po upływie
którego te same fazy Księżyca przypadają na te same dni roku. Mniej więcej w tym samym czasie,
podobny cykl wyprowadzili astronomowie w Babilonii. Cykl ten stał się podstawą ówczesnego
kalendarza księżycowego, na którym bazowały kolejne kalendarze, w tym dzisiejszy kalendarz
hebrajski.
Przeanalizujmy dokładniej znaczenie roku w astronomii. By to zrobić, musimy zdefiniować dwa
pojęcia: równika niebieskiego oraz ekliptyki. Równik niebieski jest to koło wielkie na sferze
niebieskiej (abstrakcyjnej sferze na niebie otaczającej obserwatora i nie mającej określonego
promienia), którego płaszczyzna pokrywa się z płaszczyzną równika ziemskiego i jest prostopadła
do osi obrotu Ziemi (Rys.1). Ekliptyka natomiast, jest to koło wielkie na sferze niebieskiej, na
którym obserwujemy pozorny ruch Słońca w ciągu roku. Równik niebieski oraz ekliptyka są do
siebie nachylone pod kątem 23,5 stopnia.
2
Opracowanie: Fundacja „Akademia Astronomii” i Obserwatorium Astronomiczne UJ
Konkurs Astronomiczny „Astrolabium”
Cykl Metona
Doświadczenie konkursowe rok 2017
1
Rysunek 1. Równik niebieski, ekliptyka oraz ich związek z osią obrotu Ziemi. Źródło: Wikipedia .
Nachylenie osi ziemskiej w stosunku do ekliptyki jest przyczyną występowania na Ziemi pór roku
(Rys.2). Punkty przecięcia się ekliptyki oraz równika niebieskiego nazywamy punktem Barana oraz
punktem Wagi. Słońce znajduje się w punkcie Barana w czasie równonocy wiosennej, zaś
w punkcie Wagi w trakcie równonocy jesiennej.
Rysunek 2. Oświetlenie Ziemi przez Słońce w różnych porach roku. Pory roku zaznaczone są dla półkuli północnej.
W czasie równonocy półkula północna i południowa są oświetlone w takim samym stopniu. W lecie oświetlona jest
większa część powierzchni półkuli północnej, a mniejsza południowej. W zimie zachodzi sytuacja odwrotna.
1
www.wikipedia.pl
3
Opracowanie: Fundacja „Akademia Astronomii” i Obserwatorium Astronomiczne UJ
Konkurs Astronomiczny „Astrolabium”
Cykl Metona
Doświadczenie konkursowe rok 2017
Okres, jaki upływa między jedną równonocą wiosenną a drugą, czyli okres (średni) pomiędzy
przejściami Słońca przez punkt Barana, zwany jest rokiem zwrotnikowym. Wynosi on w przybliżeniu
365 dni, 5 godzin, 48 minut i 45 sekund, czyli 365 i nieco mniej niż ¼ dnia.
Oś ziemska nie jest jednak skierowana na stałe w jednym kierunku, lecz zatacza powoli okrąg
wokół prostej prostopadłej do płaszczyzny ekliptyki (Rys.1). Zjawisko to nazywa się precesją. Czas,
po jakim oś obrotu Ziemi zatacza pełen okrąg nazywa się rokiem platońskim, który trwa około 26
tysięcy lat. Z powodu precesji, punkt Barana zmienia swoje położenie na tle gwiazd. Zatem również
okres między kolejnymi równonocami (rok zwrotnikowy) nie pokrywa się w pełni z okresem obiegu
Ziemi wokół Słońca. Okres obiegu Ziemi wokół Słońca zwany jest rokiem gwiazdowym. Nazwa ta
bierze się stąd, że po jego upływie Ziemia wraca do tej samej pozycji względem odległych gwiazd.
Rok gwiazdowy trwa ok. 365 dni, 6 godzin, 9 minut i 10 sekund, czyli 365 i nieco więcej niż ¼ dnia.
Poprzez analogię do roku gwiazdowego, można wprowadzić pojęcie miesiąca gwiazdowego,
w którym Księżyc wykonuje pełen obieg wokół Ziemi. Zajmuje mu to ok. 27 dni, 7 godzin, 43 minut
i 11,5 sekundy. Z kolei okres między jednym nowiem a drugim nowiem księżyca nazywamy
miesiącem synodycznym. Miesiąc synodyczny trwa 29 dni, 12 godzin, 44 minuty i 3 sekundy. Jest
on dłuższy od miesiąca gwiazdowego, ponieważ nim Księżyc obiegnie Ziemię, Ziemia przesunie się
nieco na swej drodze wokół Słońca, a fazy Księżyca zależą od wzajemnego położenia tych trzech
ciał.
Meton założył, że rok trwa 365 i 5/19 (czyli nieco więcej niż ¼) dnia. Nie wiemy, czy Meton,
wprowadzając swoje założenie, kierował się tak naprawdę długością roku gwiazdowego, ale
możemy sprawdzić dokładność cyklu nazwanego jego imieniem.
2. Cel doświadczenia
Celem doświadczenia jest pokazanie w przybliżony sposób, jak można uzgodnić periodyczne
cykle w astronomii, w tym przypadku cykl roczny i miesięczny.
3. Opis wykonania doświadczenia
Przyjmując za Metonem, że rok trwa 365 i 5/19 dnia oraz zakładając, że miesiąc trwa 29 i 25/47
dnia (jest to pewne uproszczenie), oblicz długość cyklu Metona. W celu łatwiejszego znalezienia
rozwiązanie tego zadania, zapisz długość roku i miesiąca jako ułamki zwykłe. Wynik podaj w latach,
miesiącach oraz dniach.
Następnie policz, ile lat w cyklu Metona składa się z 13 miesięcy, a ile z 12 miesięcy. Ponieważ
miesiąc w kalendarzu księżycowym może mieć tylko 29 lub 30 dni, to w kolejnym kroku oblicz, ile
w cyklu Metona musi być miesięcy długich, a ile krótkich.
By sprawdzić dokładność tych założeń z obecnie przyjmowanymi wartościami roku
zwrotnikowego i miesiąca synodycznego, dokonaj kilku obliczeń. Pomnóż obliczoną wcześniej liczbę
lat w cyklu Metona przez obecnie przyjmowaną długość roku zwrotnikowego oraz liczbę miesięcy
synodycznych w cyklu Metona przez obecnie przyjmowaną długość miesiąca synodycznego.
Następnie wyznacz różnicę tych dwóch wielkości. Błąd względny otrzymasz przez wyliczenie
stosunku tak wyznaczonej wartości do liczby powstałej z przemnożenia długości miesiąca
synodycznego przez liczbę miesięcy w cyklu Metona. Wartość błędu wyraź w procentach
przemnażając wynik przez 100%.
Cykl Metona ma kluczowe znaczenie dla kalendarzy księżycowych, ponieważ pozwala uzgodnić
4
Opracowanie: Fundacja „Akademia Astronomii” i Obserwatorium Astronomiczne UJ
Konkurs Astronomiczny „Astrolabium”
Cykl Metona
Doświadczenie konkursowe rok 2017
je z cyklem słonecznym. Istotne jest tu wprowadzanie tzw. lat przestępnych, mających po 13
miesięcy, które będą pojawiały się w pewnych regularnych odstępach czasu. Zaprojektuj schemat
takiego kalendarza księżycowego, przyjmując, że:
• opiera się on na cyklu Metona, tzn. na tyle lat przypada tyle miesięcy ile przewiduje cykl;
• lata trwają 12 miesięcy (lata zwykłe) lub 13 miesięcy (przestępne) i jest ich tyle, ile
przewiduje cykl;
• lata zwykłe mają 6 ⋅ 29 dni + 6 ⋅ 30 dni = 354 dni, lub 5 ⋅ 29 dni + 7 ⋅ 30 dni = 355 dni;
• lata przestępne mają dodatkowy miesiąc 30 dniowy;
• rok słoneczny ma długość 365 i 5/19 dnia, jak przyjął Meton;
• jeżeli rok opóźnia się o więcej niż 30 dni w stosunku do roku słonecznego, wprowadzamy
dodatkowy miesiąc, a rok staje się rokiem przestępnym.
5
Opracowanie: Fundacja „Akademia Astronomii” i Obserwatorium Astronomiczne UJ