2 Pole grawitacyjne

opracował: Jacek Izdebski
http://matfiz.klub.chip.pl
mem, alchemikiem2 . Newton wniósł także ogromny wkład w rozwój matematyki (w szczególności rachunku różniczkowego i całkowego). Efektem badań
nad siłami rządzącymi ruchem planet i siłą ciężkości było prawo, którego
treść widzisz poniżej.
Prawo powszechnego ciążenia: Między dowolną parą ciał posiadających
masy pojawia się siła przyciągająca, która działa na linii łączącej ich
środki, a jej wartość rośnie z iloczynem ich mas i maleje z kwadratem
odległości.
Dużym osiągnięciem Newtona było stwierdzenie, że ten sam rodzaj siły powoduje ruch planet po orbitach co spadanie jabłka z drzewa (dlatego prawo
ciążenia opisuje przymiotnik ”powszechne”). W zapisie matematycznym wygląda to następująco:
GM m
F =
r2
gdzie: F – siła oddziaływania pomiędzy masami M i m; r oznacza odle2
głość pomiędzy środkami mas3 ; G = 6.6742 · 10−11 Nm2 stała powszechnego
kg
ciążenia. Aby wszystko było jasne przedstawię to jeszcze na rysunku
Na ilustracji przedstawiłem dwa ciała o bardzo dużych masach – Ziemię
i Księżyc. Skala odległości pomiędzy tymi ciałami niebieskimi nie jest tu
zachowana natomiast proporcje rozmiarów tak. Ziemia ma średnicę ponad
2
Alchemia - przednaukowa praktyka łącząca elementy zawarte obecnie w chemii, fizyce,
sztuce, semiotyce, metalurgii, medycynie, astrologii, mistycyzmie i religii. Wspólnym celem
alchemików było odkrycie metody przekształcenia ołowiu w złoto (kamień filozoficzny),
środka na wszelkie choroby (panaceum) oraz eliksiru nieśmiertelności. Alchemię można
uważać za bezpośredniego przodka współczesnej chemii. (źródło: http://pl.wikipedia.
org)
3
Precyzyjną definicję środka masy trudno byłoby Ci zrozumieć na aktualnym poziomie
Twojej wiedzy matematycznej. Dla uproszczenia przyjmij, że jest to geometryczny środek
bryły, punkt centralny (narazie to wystarczy). Pełną definicję znajdziesz np w encyklopedii
http://pl.wikipedia.org
5
opracował: Jacek Izdebski
http://matfiz.klub.chip.pl
3.5 raza większą niż Księżyc a jej masa to nieco ponad 81 mas Księżyca.
Czerwone wektory oznaczają siły oddziaływania grawitacyjnego pomiędzy
Ziemią a Księżycem.
Teraz ulubione przeze mnie zadanie problemowe. Która z sił jest większa, ta przyłożona do Ziemi czy do Księżyca? Po chwli namysłu zapewne już wiesz, że wartości tych sił są identyczne. Można to stwierdzić na
podstawie III zasady dynamiki Newtona, o której była mowa w rozdziale ??.
Na zakończenie jeszcze kilka słów na temat stałej powszechnej grawitacji. Jest to wartość bardzo mała (jedenaste miejsce po przecinku) i właśnie
dlatego odczuwalna siła grawitacji może występować tylko w pobliżu ciał o
ogromnych masach. Mówiąc ”ogromne” mam na myśli masy w skalach astronomicznych. Samodzielnie spróbuj wyszukać potrzebne dane i obliczyć ile
wynosi siła oddziaływań grawitacyjnych pomiędzy:
• Ziemią a Księżycem, dwoma kilogramowymi
• torebkami cukru, których środki mas oddalone są od siebie o 15 cm
• dwoma dużymi tankowcami zacumowanymi bardzo blisko siebie
Co możesz powiedzieć o wynikach tych obliczeń? Podyskutuj na ten temat.
2
Pole grawitacyjne
W rozdziale 1 dowiedziałeś się jaka jest natura sił grawitacujnych. Wiesz już,
że siły takie występują pomiędzy ciałami obdarzonymi masą (i to bardzo
dużą). Im odległość pomiędzy ciałami większa tym siła grawitacji słabsza
(maleje z kwadratem odległości).
Jednym słowem powiedziałbyś ”super” – wiem wszystko o sile grawitacji.
Tradycyjnie mam w tym momencie przygotowane dla Ciebie kolejne zagadnienie do przemyślenia.
Gdy masz dwie masy M i m. Możesz nawet przyjąć (dla ustalenia uwagi), że M to będzie masa Ziemi a m – masa satelity telekomunikacyjnego.
Naturalnie Ziemia przyciąga satelitę siłą F a satelita Ziemię z taką samą siłą
ale o przeciwnym zwrocie. Prawo powszechnego ciążenia pozwala obliczyć
wielkość siły F ze wzoru:
GM m
F =
r2
Teraz wyobraź sobie, że satelita odpala silniki i odlatuje w ”siną dal”. Gdy
brak satelity to niewątpliwie należy uznać, że masa m = 0. Konsekwencją
tego będzie F = 0, czyli znika jedno z ciał to znika także siła grawitacji.
6