Zasady obliczeń - ćwiczenia 0 materiały
Transkrypt
Zasady obliczeń - ćwiczenia 0 materiały
Reguły obliczeń chemicznych Zapisywanie wyników pomiarów i obliczeń Ilościowe rezultaty eksperymentów lub obliczeń chemicznych przedstawia się w postaci liczb, zapisywanych za pomocą cyfr, czyli umownych znaków matematycznych (od 0 do 9 w obecnie używanym dziesiętnym systemie liczbowym). Liczby mogą składać się z jednej lub wielu cyfr. Cyfry znaczące to cyfry rozwinięcia dziesiętnego dla mierzonej wielkości (chemicznej, fizycznej lub innej), począwszy od pierwszej cyfry niezerowej aż do ostatniej cyfry, której wartość nie zmienia się wewnątrz przyjętego przedziału ufności. Przykład 1: Jeśli wyznaczona doświadczalnie (zważona) masa próbki A wynosi mA=1,50312g, a dokładność przyrządu pomiarowego (w tym wypadku wagi analitycznej) wynosi ±0,0001g, to przedział ufności dla otrzymanego wyniku wynosi: (1,50302; 1,50322). Ostatnią, niezmienną, a więc znaczącą cyfrą jest 3, a wynik pomiaru ma 4 cyfry znaczące. Występująca w liczbie cyfra 0 jest cyfrą znaczącą tylko wtedy, gdy występuje pomiędzy innymi cyframi, jak w powyższym przykładzie, albo, gdy jest ostatnią cyfrą znaczącą w liczbie po zaokrągleniu (np. zapis 478,00 oznacza 5 cyfr znaczących). W przypadku, gdy zero określa ułamek (np. 0,512) nie może być uważane za cyfrę znaczącą. Liczba 0,512 posiada trzy, a liczba 0,0013 - dwie cyfry znaczące. Liczba, przy której jest podana nazwa jednostki miary danej wielkości jest liczbą mianowaną. Przykład 2: Zapis 15,3 mola oznacza liczbę moli, czyli jednostek liczności materii, a zapis 328oC - liczbę o C, które są miarą temperatury. Otrzymane w obliczeniach chemicznych oraz w praktyce laboratoryjnej wyniki liczbowe bardzo rzadko mają postać dokładnych liczb naturalnych. Najczęściej wymagają 1 odpowiedniego zaokrąglenia, które wykonuje się zgodnie z zasadami matematycznymi. Może to być zaokrąglenie z nadmiarem (tzw. zaokrąglenie „w górę”) lub z niedomiarem (tzw. zaokrąglenie „w dół”). Wynik otrzymany przez zaokrąglenie wartości liczbowych zgodnie z matematycznymi zasadami należy traktować, jako wynik bardziej dokładny (w określonym przedziale ufności) niż wynik niezaokrąglony. Zasady zaokrąglania wyników liczbowych: a) Jeśli ostatnia cyfra, która ma pozostać w wyniku, poprzedza cyfrę większą od 5, należy wynik zaokrąglić w górę, np.: stała Faraday 96484,56 C/mol zaokrąglona do jednego miejsca po przecinku wynosi 96484,6 C/mol. b) Jeśli ostatnia pożądana cyfra poprzedza cyfrę mniejszą od 5, zaokrąglenie następuje w dół, np. stała gazowa R = 8,314472 J/(mol∙K) zaokrąglona do 3 miejsc po przecinku to 8,314 J/(mol∙K) a nie 8,315 J/(mol∙K). c) Jeśli po ostatniej cyfrze znajduje się tylko cyfra 5, to wynik zaokrągla się w górę - jeśli ostatnia cyfra jest nieparzysta lub w dół - jeśli ta cyfra jest parzysta, np.: liczba 3,1125 zaokrąglona do 3 miejsc po przecinku to 3,112, natomiast liczba 3,1155 zaokrąglona do 3 miejsc po przecinku to 3,116. Dokładność obliczeń nie może być większa od dokładności najmniej dokładnej liczby użytej w obliczeniach. Przed rozpoczęciem obliczeń należy wśród danych liczbowych odnaleźć liczbę o najmniejszej dokładności i do takiej dokładności zaokrąglić pozostałe liczby. Można również wykonać obliczenia na podanych wartościach liczbowych, ale końcowy wynik należy zaokrąglić tak, by jego dokładność była zgodna z dokładnością liczby, która jest liczbą najmniej dokładną wśród podanych wartości. Liczbami o najmniejszej dokładności są te posiadające najmniejszą ilość cyfr znaczących. Przykład 3: Obliczyć liczbę moli substancji zawartą w 0,52 dm3 jej roztworu o stężeniu 0,5002 mol/dm3. Rozwiązanie: a/ znalezienie liczby o najmniejszej dokładności: objętość V = 0,52dm3 b/ zaokrąglenie liczby o wyższej dokładności: cm= 0,5102mol/dm3 = 0,51mol/dm3 2 c/ wykonanie wymaganych obliczeń: n = cm∙V = 0,52l∙0,51mol/dm3 = 0,2652mol d/ podanie wyniku z dokładnością nie większą niż dokładność najmniejszej liczby wziętej do obliczeń: n = 0,2652mol = 0,27mol. Odpowiedź: liczbę moli substancji zawartą w 0,52 dm3 wynosi 0,27mola Dokładność wyników pomiarów laboratoryjnych i związanych z nimi obliczeń nie może być wyższa niż dokładność przyrządów lub naczyń użytych do pomiarów. Przykład 4: Objętość 100cm3 odmierzoną cylindrem miarowym zapisuje się, jako 100 cm3, a nie 100,00 cm3, ponieważ dokładność tego naczynia miarowego wynosi ±1cm3. Bardziej dokładnie (±0,1cm3) odmierza się objętość cieczy przy pomocy pipety lub biurety, co uwzględnia się w zapisie wyniku (np. 3,5 cm3 użyte do miareczkowania). Przykład 5: Ważenie na wadze technicznej pozwala na uzyskanie maksymalnej dokładności pomiaru równej, zależnie od przyrządu, ±0,1g lub ±0,01g, podczas gdy na wadze analitycznej można ważyć substancje z dokładnością ±0,0001g, a na niektórych wagach nawet ±0,00001g. Wyniki pomiarów powinny uwzględniać rzeczywistą dokładność ich wykonania. Zwiększenie tej dokładności można uzyskać jedynie poprzez użycie odpowiednich bardziej dokładnych przyrządów pomiarowych. Działania na logarytmach W obliczeniach chemicznych bardzo często konieczne jest wykonanie działania na logarytmach. Logarytm z liczby dodatniej A przy podstawie b to wykładnik potęgi c, do której należy podnieść podstawę b, aby otrzymać liczbę logarytmowaną A. Matematyczny zapis tej definicji to: lg b A c bc A 3 Z podanej definicji wynika, że: - logarytm z liczby równej podstawie logarytmu jest zawsze równy 1: lg b b 1 ponieważ b1 b - logarytm z 1 jest zawsze równy 0: lg b 1 0 ponieważ b0 1 . Podstawowe twierdzenia dotyczące logarytmów Dla każdego logarytmu, o dowolnej podstawie, słusznych jest kilka twierdzeń, których praktyczne wykorzystanie może znacząco ułatwić obliczenia. Do podstawowych twierdzeń należą: a) logarytm iloczynu równy jest sumie logarytmów poszczególnych czynników iloczynu: lg b ( A B) lg b A lg b B b) logarytm ilorazu równy jest różnicy logarytmów poszczególnych czynników ilorazu: lg b A lg b A lg b B B c) logarytm potęgi Aw równy jest iloczynowi logarytmu liczby A podniesionej do potęgi i wykładnika tej potęgi w lg b Aw w lg b A d) logarytm pierwiastka n-tego stopnia z liczby A równa się ilorazowi logarytmu liczby podpierwiastkowej A i stopnia pierwiastka n lg b n A lg b A n Logarytm dziesiętny Logarytm dziesiętny to logarytm, którego podstawą jest liczba 10. Jest on oznaczany, jako log lub lg. Z podanej definicji logarytmu wynika, że: 4 log (1) = 0 log(10) = 1 log(0,1) = log(10-1) = -1 log(103)= 3 czyli ogolnie: lg±n = ±n Każdą liczbę nieujemną można przedstawić, w postaci zapisu wykładniczego, czyli jako wyrażenie potęgowe, którego podstawą jest liczba 10. Dla liczb z zakresu 0-1 wykładnik potęgowy jest liczbą ujemną. W zakresie od 1 do 10 wykładnik jest zawsze dodatni, ale mniejszy od jedności, a dla liczb większych od 10 - wykładnik jest zawsze większy od 1. Przykład 6: 0,708 100,15 lg( 0,708) 0,15 2,239 100,35 lg( 2,239) 0,35 28,184 101, 45 lg( 28,184) 1,45 Logarytm naturalny Logarytm naturalny (oznaczany, jako ln), to logarytm przy podstawie e. Liczba e nazywana jest liczbą Eulera. Jej wartość wynosi 2,718281828 czyli ok. 2,7. Logarytm naturalny jest bardzo często stosowany w obliczeniach chemicznych i podlega tym samym prawom, co logarytm dziesiętny. Jednostki i ich przeliczanie Układ jednostek SI Obecnie obowiązuje jednolity system jednostek zwany układem jednostek SI (franc. Systeme International d’Unites). Podstawę tego układu stanowi grupa ściśle zdefiniowanych jednostek podstawowych (Tabela 1), z których, poprzez odpowiednie przekształcenia matematyczne otrzymuje się jednostki pochodne (Tabela 2) Tabela 1. Jednostki podstawowe układu SI. Wielkość Nazwa jednostki Skrót długość metr m masa kilogram kg 5 czas sekunda S natężenie prądu amper A temperatura kelwin K ilość substancji mol mol światłość źródła światła kandela cd Tabela 2. Jednostki pochodne układu SI. Wielkość Nazwa jednostki Skrót objętość metr sześcienny m3 siła niuton N = kg·m·s−2 ciśnienie paskal Pa = kg·m−1·s−2 gęstość kilogram na metr sześcienny kg·m-3 energia dżul 1J = kg·m2·s−2 Najczęściej używa się jednostek mniejszych lub większych od jednostek podstawowych, które tworzy sie poprzez stosowanie odpowiednich przedrostków, umieszczonych w Tabeli 3. Tabela 3. Podstawowe przedrostki jednostek. Przedrostek Mnożnik Skrót Przykład atto 10−18 a attosekunda(as) femto 10−15 f femtosekunda(fs) piko 10−12 p pikofarad(pF) nano 10−9 n nanometr(nm) mikro 10−6 mikrolitr(μl) mili 10−3 m mililitr(cm3) centy 10−2 cm centymetr(cm) decy 10−1 d decylitr(dl) deka 101 da dekagram(dag) hekto 102 h hektolitr(hl) 3 k kilometr(km) kilo 10 6 mega 106 M megaherc(MHz) giga 109 G gigaherc(GHz) tera 1012 T peta 1015 P exa 1018 E zetta 1021 Z jetta 24 Y 10 Jednostki spoza układu SI Oprócz podstawowych jednostek SI oraz ich pochodnych dopuszcza się stosowanie innych jednostek, które mogą być używane zamiennie z jednostkami pochodnymi (Tabela 4). Tabela 4. Najczęściej stosowane jednostki spoza układu SI Wielkość Nazwa jednostki Skrót masa tona 1t =103kg temperatura stopień Celsjusza °C objętość (litr), (ml) 1dm3 =10−3m3 1 dm3 = 103cm3 ciśnienie atmosfera fizyczna 1atm = 0,101325MPa ciśnienie milimetry słupa rtęci 760mmHG =1atm energia (ilość kaloria 1cal*=4,1868J ciepła) * potocznie wartości kaloryczne substancji, np. produktów żywnościowych, są podawane w kilokaloriach (skrót kcal) czyli tysiącach kalorii Przeliczanie jednostek stosowanych w obliczeniach chemicznych Prawidłowy wynik obliczeń chemicznych w znacznym stopniu zależy od poprawnego doboru i wyliczenia jednostek wyznaczanych wielkości. Ważną zasadą jest stosowanie tych samych jednostek w odniesieniu do konkretnej wielkości. Oznacza to konieczność przeliczenia i ujednolicenia podanych w zadaniu różnych jednostek dotyczących tej samej wielkości (masy, objętości, czasu, stężenia itp.). Nieprzestrzeganie tej zasady generuje znaczące błędy 7 obliczeniowe, a otrzymany wynik, mimo pozornej zgodności matematycznej, jest błędny w sensie chemicznym. W obliczeniach chemicznych i w praktyce laboratoryjnej najczęściej używa się jednostek masy (g lub kg), objętości (cm3 lub dm3) i liczności materii (moli) oraz jednostek gęstości (g/cm3, g/cm3, kg/dm3) i stężenia (mol/dm3 lub %). Masę najczęściej podaje się w gramach (g). W przypadku masy mniejszej niż 0,01g stosuje się miligramy (mg), a w przypadku masy większej niż 1000g - kilogramy (kg). Niezmiernie małą masę wyraża się za pomocą mikrogramów (g) i nanogramów (ng) (patrz Tabela 5). Przekształcając gramy na miligramy i odwrotnie, należy zachować odpowiednią dokładność. Przykład 7: odważona na wadze analitycznej (dokładność 0,1mg czyli 0,0001g) próbka o masie 0,1364g to 136,4mg a nie 136,40mg. Najczęściej stosowaną jednostką liczności materii jest mol lub milimol (mmol). Przeliczanie moli przedstawiono w Tabeli 6. 8 Tabela 5.Przeliczanie jednostek masy t kg dag g mg g ng 10-15t 10-12 kg 10-10dag 10-9g 10-6 mg 0,001= 10-3mg 1ng 10-12t 10-9kg 10-7dag 10-6g 0,001mg=10-3mg 1g 1000ng= 103ng 10-9t 10-6 kg 10-4dag 0,001g=10-3g 1mg 1000g= 103g 106ng 10-6t 0,001kg=10-3 kg 0,1dag=10-1dag 1g 1000mg=103mg 106g 109ng 10-5t 0,01kg=10-2 kg 1dag 10g=101g 104mg 107g 1010ng 0,001t=10-3t 1kg 100dag=102dag 1000g=103g 106mg 109g 1012ng 1t 1000kg=103 kg 104dag 106g 109mg 1012g 1015ng Tabela 6.Przeliczanie jednostek liczności materii kmol mol mmol mol 10-12 kmol 10-9mol 10-6 mmol 0,001=10-3mol 10-9kmol 10-6 mol 0,001mmol =10-3mmol 1mol 10-6 kmol 0,001mol =10-3mol 1mmol 1000 mol = 103mol 0,001kmol=10-3 kmol 1mol 1000mmol =103mmol 106 mol 0,01kmol=10-2 kmol 10mol=101mol 104mmol 107 mol 1kmol 1000mol=103mol 106mmol 109 mol 1000kmol=103 kmol 106g 109mmol 1012 mol 9 Objętość wyraża się najczęściej w dm3 lub cm3, w życiu codziennym stosuje się również jednostki spoza układu SI, takie jak: litr (1 litr = 1 dm3) czy mililitr (1 ml = 1cm3). Jednostki te przelicza się zgodnie z poniższymi zależnościami: 1m3 1000dm3 1000l 106 cm3 106 ml 109 mm3 109 ml 1l 10 3 ml 10 3 mm 3 10 6 l 10 6 dm 3 10 9 m 3 Przeliczanie innych jednostek, na przykład: - jednostek stężenia, np. mol/dm3 na mmol/cm3: stężenie roztworu równe 0,167mol/dm3 to: 0,167 mol 103 mmol 103 mmol mmol 0 , 167 0 , 167 0,167 3 3 3 3 dm 1000cm 10 cm cm 3 - jednostek prędkości, np. km/godzinę na m/s: prędkość wynosząca 25km/h to: 25 km 1000m 1000 m m m 416,67 m m 25 25 416,67 416,67 6,94 godz 60 min 60 min min 60s 60 s s Zadania przykładowe Przykład 1. Jednym ze składników ziemniaka jest silnie trujący alkaloid solanina. Jego średnia zawartość w bulwach wynosi ok. 1,95μg w 1g ziemniaka. Dawka śmiertelna tego alkaloidu wynosi 2,92mg na kilogram masy ciała. Zakładając, ze statystyczny zjadacz ziemniaków waży 78kg oblicz ile kg ziemniaków musiałby on zjeść, aby ulec śmiertelnemu zatruciu zawartą w ziemniakach solaniną . Wynik podaj także w tonach. Rozwiązanie: Dane: a. Zawartość solaniny w bulwie ziemniaka: msol=1,95g/g b. Dawka śmiertelna solaniny – LDsol=2,92mg/kg c. Średnia masa konsumenta ziemniaków – mzz=78kg Etapy rozwiązywania zadania: a/ obliczenie masy solaniny powodującej śmierć konsumenta o wadze 78kg: 2,92mg - x mg - 1kg wagi ciała 78kg 10 b/ przeliczenie śmiertelnej dawki solaniny (mg) na mikrogramy (g): 227,76mg 227,76 1mg 227,76 103 g c/ obliczenie masy ziemniaków zawierających obliczoną śmiertelną dawkę alkaloidu: 1,95 g - 1 g ziemniaków 227,76∙103 g - y g d/ przeliczenie masy ziemniaków zawierających śmiertelną dawkę solaniny (g) na kg i tony: 116,80 103 g 116,80 103 103 kg 116,80kg 116,80 103 t 0,117t Odpowiedź: Spożycie 117kg (tj. 0,117 t) ziemniaków zawierających podaną ilość solaniny może spowodować śmierć. Przykład 2. Z nieszczelnego zbiornika, w którym znajduje sie 200hl piwa napój ten wycieka poprzez nieszczelność z prędkością 2cm3/min. Jaka jest szybkość wypływu piwa w dm3/godz i po ilu dniach zbiornik opróżni się całkowicie? Rozwiązanie: Dane: a. Pojemność zbiornika – Vzbiornik = 200hl b. Szybkość wycieku – vwyciek=2cm3/min Etapy rozwiązywania: a/ przeliczenie jednostek szybkości wypływu piwa z podanych cm3/min na dm3/godz: 2 cm 3 1 10 3 dm3 dm3 dm3 2 2 60 1 103 0,12 1 min godz godz godz 60 Powyższe przeliczenie wynika z faktu, że: 1cm3 = 1/1000dm3 czyli 1∙10-3dm3 oraz 1min = 1/60 godziny b/ ujednolicenie jednostek objętości: 200hl 200 10 2 l 2 10 2 10 2 l 2 10 4 l 2 10 4 dm3 11 c/ obliczenie czasu (w godzinach) potrzebnego do opróżnienia zbiornika: 0,12dm3 - 1godz 2∙104dm3 - x godz Odpowiedź: Szybkość wypływu piwa wynosi 0,12 dm3/godz. Zbiornik opróżni się całkowicie po 166,67.103 godzinach, tj. po ok. 6917 dniach, czyli ok. 19 latach. Przykład 3. Mleczarnia produkuje mleko UHT pakowane w kartony o pojemności 0,9dm3. Dostawcy surowca (mleka) dostarczają średnio 50m3 mleka na miesiąc. Ile średnio dm3 (litrów) mleka jest przyjmowane w mleczarni na dobę, a ile cm3 na godzinę (w ml). Ile kartonów rocznie jest w stanie wyprodukować ten zakład, jeżeli 85% dostarczanego mleka jest pakowane do kartonów? Rozwiązanie Dane: a. Objętość dostarczanego do mleczarni mleka – Vmleka= 50m3 na miesiąc b. Objętość pojedynczego kartonu – Vkart.=0,9dm3 c. Efektywność produkcji, liczona jako % mleka dostarczanego, które trafia do kartonów – E=85% Etapy rozwiązywania zadania: a/ obliczenie ilości mleka dostarczanego przez dostawców rocznie: Vmleka / rok 50m3 12 600m3 b/ obliczenie części objętości rocznej dostawy mleka, które trafia do kartonów: Vmleka w kartonie 600m3 0,85 510m3 510 103 dm3 c/ obliczenie liczby kartonów, w których pomieści się wyliczona w pkt b ilość mleka: 0,9dm3 - 1karton 510∙103 dm3 - x karton 12 Odpowiedź: Rocznie zakład jest w stanie wyprodukować 566,67 tysiąca kartonów mleka. Roczna produkcja mleka danej mleczarni może być zapakowana w 566,67 tysięcy kartonów. 13