7.0 Wały i osie 7.1. Definicje 7.2. Materiały 7.3. Obliczenia

7.0 Wały i osie 7.1. Definicje 7.2. Materiały 7.3. Obliczenia

7.0. Wały i osie
7.0 Wały i osie
7.1. Definicje
Wał - element konstrukcyjny, o pracujący ruchem obrotowym, obciążony momentem
skręcającym, gnącym i siłami osiowymi. Rozróżnia się wały: całkowite - wykonane z jednej
bryły materiału, składane - wykonane z kilku elementów konstrukcyjnych, uzębione - wykonane z jednej bryły materiału wraz z kołem zębatym.
Oś - jw. nie jest obciążona momentem skręcającym.
Czop - powierzchnia funkcjonalna wału lub osi.
Piasta - powierzchnia funkcjonalna elementu konstrukcyjnego współpracująca z czopem wału lub osi.
7.2. Materiały
Najczęściej stosuje się stale konstrukcyjne węglowe zwykłej jakości: St4, St5, St6. Na
wały lub osie o powierzchniach podlegających ścieraniu: stale konstrukcyjne węglowe wyższej jakości: 10, 15, 25 - do nawęglania, 45, 55 - do ulepszania. Na wały uzębione stosuje się
materiały do kół zębatych.
7.3. Obliczenia wytrzymałościowe
Kryteria obliczeniowe wałów.
1. Wytrzymałości dopuszczalnej - nie dopuszczenie do przekroczenia poziomu naprężeń
dopuszczalnych.
2. Dopuszczalnej strzałki ugięcia - nie dopuszczenie do nadmiernego ugięcia sprężystego
wału pod działaniem obciążenia zewnętrznego, powodującego zmianę styku kół zębatych.
3. Dopuszczalnego kąta ugięcia - nie dopuszczenie do nadmiernego obrócenia czopa w
płaszczyźnie osi wału wewnątrz łożyska.
4. Dopuszczalnego kąta skręcenia - nie dopuszczenie do nadmiernej podatności skrętnej
łańcucha kinematycznego którego elementem jest wał.
5. Niewyrównoważenia konstrukcji - w celu zabezpieczenia łożysk przed nadwyżkami
dynamicznymi powstającymi na skutek oddziaływania sił odśrodkowych.
6. Częstotliwości drgań własnych - w celu uniknięcia wzajemnych oddziaływań rezonansowych wału i maszyny.
7.3.1. Kryterium wytrzymałości dopuszczalnej
Poszczególne fazy wykonywania obliczeń.
– 115 –
Podstawy Konstrukcji Maszyn - projektowanie
1. Określenie planu sił działających na wał. W miarę potrzeby dokonanie rozkładu planu sił na
rzutnie układu kartezjańskiego.
By
Px1
Pr1
Pr2
P2
c
Az
z
e
Px2
d1
x
Bz
d2
P1
Ay
y
Bx
Rys. 7.1. Plan sił w rzucie aksonometrycznym; a,
b, c, d, e – parametry geometryczne, P – siły
obciążeń zewnętrznych, A, B – reakcje podpór (łożysk), x, y, z – osie układu współrzędnych
b
a
2. Obliczenie reakcji w miejscach podparcia wału.
Należy narysować plany rzutów sił i ewtl. rzutów momentów obciążających wał na
płaszczyznach: x-y i x-z (rys. 7.2a, 7.2b). Następnie wyznaczyć wartości rzutów reakcji:
∑ M = 0 ⇒ A
∑P = 0 
A ∪ B = ∑P
Bz
∑ M = 0
∑ P = 0 
By
z , Bz
z
x
x
⇒ A y , By
y
(7.1)
x
gdzie: MBy,z, Px,y,z – rzuty momentów gnących względem podpory B i sił na poszczególne
osie, A,xy,z, Bx,y,z – wartości rzutów reakcji na poszczególne osie;
- reakcje maksymalne (do obliczeń obciążeń łożysk):
2
A = Az + Ay
2
B = Bz + B y
2
(7.2)
2
3. Wykresy momentów gnących w i-tych punktach osi wału (rys. 7.2a, 7.2b):
I wykres:
Mgzi = f(Pz, Mz, Az, x),
II wykres:
Mgyi = f(Py, My, Ay, x).
4. Wykres momentów maksymalnych (rys. 7.2c):
M gi = M gzi 2 + M gyi 2
5. Wykres momentów skręcających (rys. 7.2c)
6. Wykres momentów zastępczych (rys. 7.2c):
– 116 –
(7.3)
Msi = f(Msi, x)
7.0. Wały i osie
M zai = M gi 2 + α ⋅ M si 2
M zai =
M gi 2
α
- dla dominujących naprę żeń normalnych,
(7.4)
+ M si
2
- dla dominujących naprę żeń stycznych,
x-y
Px1 d 1
2
Ay
a)
Pr1
a
By
Pr2
b
d2
2
Px2
Mgi
Mgyi
b)
Az
P1
a
x-z
c
c)
Msi
Mzi
Bz
P2
c
b
Mgzi
di
Rys. 7.2. Szkice pomocnicze do obliczeń wału; a) plan sił z wykresem momentów gnących na płaszczyźnie x-y, b) plan sił z wykresem momentów gnących na płaszczyźnie x-z, c) wykresy: momentów gnących maksymalnych, momentów skręcających, momentów zastępczych oraz paraboloidu średnic di z kształtem podzespołu projektowanego wału
Tab. 7.1. Wartości współczynnika α
Zginanie
Obustronne
Obustronne
Skręcanie
Jednostronne
Obustronne
Jednostronne Jednostronne
Jednostronne
Obustronne
α
3/16
3/4
3
7. Wykres średnic wału (rys. 7.2c):
d i = 2 ,17 ⋅ 3
M zai
k go∪ gj
M zai
d i = 1,72 ⋅ 3
k so∪ sj
- dla dominujących naprę żeń normalnych
(7.5)
- dla dominujących naprę żeń stycznych
w przypadku znacznych sił osiowych należy sprawdzić warunek wytrzymałościowy:
– 117 –
Podstawy Konstrukcji Maszyn - projektowanie
2
σ zai
2
 M gi k go∪ gj Pxi 
 k go∪ gj M si 
 + 
 ≤ k go∪ gj
= 
+
⋅
⋅
k ro∪ rj A i 
 Wxi
 k so∪ sj W0 i 
(7.6)
Przy konstruowaniu wałów stopniowych należy uwzględnić szerokości łożysk i piast.
Średnice „osłabione” rowkami wpustowymi i wypustowymi odpowiednio powiększyć (rys.
7.3). Jeżeli zmiana średnicy ma nastąpić pomiędzy znanymi wartościami momentów zastępczych Mza,i i Mza,i+1 odległych od siebie o ∆l, to moment zastępczy w odległości b/2 ( gdzie b
– długość czopa pod łożysko lub koło) od momentu Mza,i wyniesie (rys. 7.4):
M za = M i + ( M i − M i +1 ) ⋅
a)
b)
∆w
b
2 ⋅ ∆l
(7.7)
∆w
di
Rys. 7.3. Powiększenie średnicy
na skutek „osłabienia” rowkami pod wpusty; a) przy
jednym wpuście, b) przy
dwóch i więcej wpustach
di
Przyjmuje się: b/d = 1 ÷ 1,5 dla piast kół zębatych, pasowych, sprzęgieł i łożysk ślizgowych, b/d = 0,3 ÷ 0,6 dla łożysk tocznych.
b/2
M
i+1
Rys. 7.4. Parametry geometryczne przy obliczaniu
pośrednich wartości momentów zastępczych
M za
di
di+1
Mi
∆l
7.3.2. Kryterium dopuszczalnej strzałki i kąta ugięcia
Metoda superpozycji (stosowana dla prostych przypadków wałów)
Polega na obliczeniu strzałek w miejscu osadzania kół zębatych i kątów ugięcia w miejscach łożyskowania wału wg wzorów wyprowadzonych dla prostych modeli obciążenia na
poszczególnych rzutniach. Strzałki i kąty ugięcia w poszczególnych punktach wyniosą:
k
f yi = ∑ f yij
k
f zi = ∑ f zij
j=1
j=1
l
l
α yi = ∑ α yij
α zi = ∑ α zij
j=1
j=1
– 118 –
(7.8)
7.0. Wały i osie
gdzie: k, l - ilość modeli belek o znanych wzorach na strzałkę i kąt ugięcia, i - numer porządkowy miejsca osadzenia koła zębatego lub symbol reakcji w miejscu podparcia wału, j
- nr modelu.
Rysunek 7.5. przedstawia zbiór modeli dla przykładu przedstawionego na rysunku 7.1.
Wzory do obliczeń poszczególnych modeli wałów są następujące.
Px1
Ay
x-y
Pr1
P1
x-z
α zA1
f y21
P1 f z11
M 1 = Px1. d1 /2
f y12
α yA2
f z21
α zB1
αyB1
Pr1
f y22
α zA2
f z12
α yB2
α yA3
Bz
P2
Px2
f y11
α yA1
Az
By
Pr2
P2
f z22
α zB2
Pr2 f y23
f y13
α yB3
α yA4
f y14
Rys. 7.5. Oznaczenia parametrów w przykładzie
obliczeń strzałek i kątów ugięcia wału metodą superpozycji
f y24
α yB4
M2 = Px2. d2 /2
Wał wspornikowy obciążony siłą skupioną (rys. 7.6a)
A=
- reakcje:
P⋅b
l
B=
P⋅a
l
(7.9)
- strzałki ugięcia:
P ⋅ a ⋅ b 2 
l x
x3 
f (x ) =
⋅ 1 +  ⋅ −

6 ⋅ E ⋅ I śr  b  l a ⋅ b ⋅ l 
3
P ⋅ a 2 ⋅ b.  l  l − x (l − x ) 
f (x ) =
⋅ 1 +  ⋅
−

6 ⋅ E ⋅ I śr  a  l
a ⋅b⋅l 
I śr =
π ⋅ d śr
64
4
d śr =
1
∑l
0≤x≤a
a≤x≤l
(7.10)
⋅ ∑ d i ⋅ li
i
gdzie: Iśr - średni moment bezwładności przekroju wału na zginanie, dśr - średnia średnica
wału, E – współczynnik sprężystości podłużnej materiału (moduł Younga).
– 119 –
Podstawy Konstrukcji Maszyn - projektowanie
α A = arc tan
- kąty ugięcia:
α B = arc tan
P ⋅ a ⋅ b ⋅ ( l + b)
6⋅ E ⋅ I ⋅ l
P ⋅ a ⋅ b ⋅ ( l + a)
(7.11)
6⋅ E ⋅ I ⋅ l
b)
a)
αA A
P
f(x)
αA
B
A
f(x1)
αB
x
f(x2)
x1
b
a
b
a
M
B
αB
x2
l
l
d)
c)
αA A
f(x)
x
αB
f(x1)
B
x1
l
αA A
P
α
B
f(x)
x
a
l
αB
f(x1)
M
α
x1
a
Rys. 7.6. Modele wałów do metody superpozycji; a) wał wspornikowy obciążony siłą skupioną, b) wał
wspornikowy obciążony momentem gnącym, c) wał wysięgnikowy obciążony siłą skupioną,
d) wał wysięgnikowy obciążony momentem gnącym
Wał wspornikowy obciążony momentem gnącym (rys. 7.6b)
A=−
- reakcje:
B=
M
l
(7.12)
M ⋅ x1
⋅ l 2 − 3 ⋅ b 2 − x 12
6 ⋅ E ⋅ Iśr ⋅ l
M ⋅ x2
⋅ l 2 − 3 ⋅ a 2 − x. 2 2
f ( x2) =.−
6 ⋅ E ⋅ Iśr ⋅ l
(
f ( x1) =
- strzałki ugięcia:
M
l
)
(
α A = arc tan
- kąty ugięcia:
α B = arc tan
M ⋅ l2 − b2
(
)
6 ⋅ E ⋅ I śr ⋅ l
M ⋅ l2 − a2
)
(
0 ≤ x1 ≤ a
)
(7.13)
0 ≤ x2 ≤ b
(7.14)
6 ⋅ E ⋅ Iśr ⋅ l
Wał wysięgnikowy obciążona siłą skupioną (rys. 7.6c)
A=
- reakcje:
B=
P ⋅ (a + l )
P ⋅ a ⋅ l2
6 ⋅ E ⋅ I śr
– 120 –
(7.15)
l
 x  x 3 
⋅ −  
 l  l  
3
P ⋅ a 3 .  l ⋅ x1
 x1   x1  
f (x1 ) =
⋅ 2 ⋅ 2 + 3 ⋅   −   
 a  a 
6 ⋅ E ⋅ I ś r 
a

f ( x) = −
- strzałki ugięcia:
P⋅a
l
0≤ x≤l
(7.16)
0 ≤ x1 ≤ a
7.0. Wały i osie
α = arc tan
αA
- kąty ugięcia:
P ⋅ a ⋅ (2 ⋅ l + 3 ⋅ a)
6 ⋅ E ⋅ I śr
P⋅a⋅l
= arc tan
6 ⋅ E ⋅ I śr
α B = arc tan
(7.17)
P⋅a⋅l
3⋅ E ⋅ I śr
Wał wysięgnikowy obciążony momentem gnącym (rys. 7.6d)
A=
- reakcje:
M
l
B=−
M
l
(7.18)
M⋅x
⋅ l2 − x 2
6 ⋅ E ⋅ I śr ⋅ l
M ⋅ x1
f (x1 ) = .
⋅ (2 ⋅ l + 3 ⋅ x 1 )
6 ⋅ E ⋅ I śr
(
f (x ) = −
- strzałki ugięcia:
)
α = arc tan
0≤x≤l
(7.19)
0 ≤ x1 ≤ a
M ⋅ (l + 3 ⋅ a )
3⋅ E ⋅ I śr
M⋅l
6 ⋅ E ⋅ I śr
M⋅l
α B = arc tan
3 ⋅ E ⋅ I śr
- kąty ugięcia:
α A = arc tan
(7.20)
Wartości maksymalne strzałki i kąta ugięcia wału w określonych jego miejscach wyznacza się z zależności:
f i max = f yi 2 + f zi 2
αi
max
2
(7.21)
= α yi + α zi
2
Wartości dopuszczalne:
- strzałki ugięcia:
fdop = (0,005 ÷ 0,01)⋅m0
lub
fdop = (2 ÷ 3)⋅10-4 ⋅L
dla maszyn elektrycznych fdop = 0,1⋅h
gdzie: m0 - moduł nominalny koła zębatego, L - odległość między węzłami łożyskowymi, h wielkość szczeliny między wirnikiem a stojanem,
- kąta ugięcia łożysk tocznych (przedstawiono w tab. 7.2).
W przypadku przekroczenia wartości dopuszczalnych ( f > fdop, α > αdop) należy
zwiększyć sztywność giętną wału aż do uzyskania wartości dopuszczalnych. Można to uczynić na dwa sposoby.
1. Zwiększać kolejno najmniejsze średnice wału do wartości średnic stopni sąsiednich, aż do
uzyskania:
– 121 –
Podstawy Konstrukcji Maszyn - projektowanie
I śr , n
I śr
dop
≥
f
f dop
∪
α
α dop
I śr
dop
= I śr ⋅
f
f dop
∪ I śr ⋅
α
α dop
(7.22)
gdzie: Iśr,n –wartość średniego momentu bezwładności przekroju wału gładkiego po n-tej iteracji ze wzoru 7.10, Iśr - wartość średniego momentu bezwładności dla której uzyskano
obliczoną strzałka f lub kąt ugięcia α wału przekraczającą wartość dopuszczalną.
Tablica 7.2. Wartości dopuszczalnego kąta ugięcia łożysk.
Lp.
Typ łożyska
αdop [rad]
1 Kulkowe wahliwe
0,07
2 Baryłkowe jednorzędowe
0,035 ÷0,07
Kulkowe zwykłe (czop k6, j6) luz poprzeczny:
3
- normalny oraz C3
0,0023
- C4
0,0047
Wałeczkowe i stożkowe:
0,00116
4 - wałeczkowe typ N, NU serii 10, 2, 3, 4
- pozostałe
0,00058
Ślizgowe:
5 - samonastawne
0,001
- sztywne
0,0003
2. Zwiększyć wszystkie średnice wału stopniowego k-krotnie, gdzie:
k=4
f
f dop
∪4
α
α dop
(7.23)
Metoda Clebsza (dla dowolnie złożonych wałów)
Polega na wykonaniu następujących, kolejno po sobie występujących faz obliczeń.
1. Wyznaczenie momentów gnących w funkcji długości wału:
n
M( x) = ∑ M i ( x)
(7.24)
i =1
gdzie: i – nr odcinka wału który opisany jest funkcją gładką (różniczkowalną w sposób ciągły), x – współrzędna długości wału, n - ilość miejsc zmiany wartości momentu gnącego.
2. Wyznaczenie funkcji kąta ugięcia wału:
α (x ) =
1
M (x ) ⋅ dx + C1
E ⋅ I śr ∫
(7.25)
gdzie: E⋅Iśr - patrz objaśnienia do wzoru 7.10, C1 - stała całkowania wyznaczana w następnej
fazie obliczeń dla x = miejsce podparcia wału, strzałka ugięcia f(x) = 0.
3. Wyznaczenie funkcji linii ugięcia wału:
– 122 –
7.0. Wały i osie
f ( x) = ∫ α( x) ⋅ dx + C 2
(7.26)
gdzie: C2 - stała całkowania wyznaczana z warunków brzegowych f(x) = 0.
Metoda Mohra (dla średnio złożonych wałów)
Jest metodą analityczno-wykreślną pozwalającą z pewnym przybliżeniem wyznaczyć
linię ugięcia i wykres kątów ugięcia wałów stopniowych (bez popełniania błędów wynikających z uśredniania średnic dla obliczeń wałów gładkich). Polega na tym, że wykresy momentów gnących na poszczególnych rzutniach (patrz pkt. 7.3.1. ust. 3 oraz rys. 7.2ab) traktuje się,
po skorygowaniu ze względu na zmianę średnic, jak wykresy obciążenia ciągłego nowego
modelu wału. Z tego modelu wyznacza się, metodą wieloboku sznurowego, nowe wykresy
momentów gnących M* i sił tnących T*. Wartości kąta i strzałki ugięcia wyznacza się z tych
wykresów uwzględniając miejscową podatność giętną wału i podziałkę wykresu:
α( x) =
T * ( x)
E ⋅ I ( x)
(7.27)
M * ( x)
f ( x) =
E ⋅ I ( x)
gdzie: I(x) – momenty bezwładności przekroju dla poszczególnych stopni wału.
Wartości maksymalne kąta i strzałki ugięcia w określonych punktach wału wyznacza
się następnie ze wzoru 7.21.
7.3.3. Kryterium dopuszczalnego kąta skręcenia
Względny kąt skręcenia wału:
- dla wału gładkiego (średnia średnica wału):
ϕ=
Ms
≤ ϕdop
G ⋅ I0
I0 =
π ⋅ d śr
32
4
(7.28)
gdzie: G - moduł sprężystości postaciowej (dla stali G = 8,1 104 N/mm2), I0 - moment bezwładności dla skręcania (dla przekroju kołowego).
- dla wału stopniowego:
ϕ=
Ms n 1
⋅∑
G i =1 I 0i
(7.29)
gdzie: I0i - moment bezwładności przekroju dla skręcania pojedynczego stopnia wału.
Wartości dopuszczalne względnego kąta skręcenia wału:
- przy skręcającym obciążeniu jednostronnie zmiennym:
ϕdop = 4⋅10-6 rd/mm,
- przy skręcającym obciążeniu obustronnie zmiennym:
ϕdop = 2,5⋅10-6 rd/mm,
– 123 –
Podstawy Konstrukcji Maszyn - projektowanie
Dla długich wałów pędnianych nie sprawdza się ww. warunków.
7.3.4. Obliczenia zmęczeniowe
W celu sprawdzenia odporności wału na zmęczenie materiału należy w miejscach
spiętrzenia naprężeń (miejscach działania karbu) sprawdzić rzeczywisty współczynnik bezpieczeństwa. Dla wałów i osi takimi miejscami najczęściej są te, w których występują przy
naprężeniach zginających: skokowe zmiany średnic, otwory leżące w płaszczyźnie zginania i
gwinty, natomiast przy naprężeniach skręcających: wpusty i wypusty, skokowe zmiany średnic, karby obrączkowe.
Miejscową wartość rzeczywistego (podstawowego) współczynnika bezpieczeństwa
określić można ze wzoru:
2
δi =
M zi ⋅ β σ + β τ
2
ε ⋅ Wxi
(7.30)
gdzie: Mzi – moment redukowany w i-tym miejscu wału (wz. 7.4), ε - współczynnik wielko-
ści przekroju [2], Wzi – wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie w i-tym miejscu
wała, βσ, βτ - współczynniki osłabienia dla naprężeń normalnych i stycznych (wz. 3.8a)
zależne od współczynników działania karbu i stanu powierzchni [2].
Wartość rzeczywistego współczynnika bezpieczeństwa dla wałów powinna zawierać
się w granicach δ = 1,2 ÷ 2,0.
Piśmiennictwo
[1] Dąbrowski Z.: Maksymiuk M.: Wały i osie, PWN, Warszawa 1984.
[2] Dietrich M.: Podstawy konstrukcji maszyn, t. 1/2, 3, PWN, Warszawa 1989.
[3] PN/M-02043: Podcięcia obróbkowe, PKNMiJ.
[4] PN/M-02045: Promienie zaokrągleń przejściowych, PKNMiJ.
[5] PN/M-02499: Nakiełki, PKNMiJ.
[6] PN/M-82063: Wyjścia gwintów wykonanych na tokarce, PKNMiJ.
[7] PN/M-85000: Czopy końcowe wałów, PKNMiJ.
[8] PN/M-85111: Pierścienie osadcze sprężyste, PKNMiJ.
[9] PN/M-86416: Dobór tolerancji czopów i opraw łożysk tocznych, PKNMiJ.
– 124 –
7.0. Wały i osie
START
Plan sił (np. rys. 7.1)
- siły i momenty oraz niezbędne wymiary
- w postaci rysunku aksonometrycznego zawierającego siły i momenty oraz niezbędne
wymiary
Plan sił w pł. x-z - w postaci rysunków zawierającego
Plan sił w pł. x-y
siły i momenty oraz niezbędne wymiary
Reakcje Ay, By (wz. 7.1) Reakcje Az, Bz (wz. 7.1)
Reakcje A, B, Ax (wz. 7.2)
Wykres mom. Mgzi
Wykres mom. Mgyi
i - nr charakterystycznego punktu na wale
Wykres mom. Mgi (wz. 7.3)
Obliczenia łożysk
tocznych (rys. 8.5)
Wykres momentów Msi
Wykres mom. Mzi (wz. 7.4, tab. 7.1)
- wykres paraboloidu
obrotowego
- z uwzględnieniem odpowiednich
cykli obciążeń zmęczeniowych
Wykres średnic di (wz. 7.5)
Zg ∪ Zs, xz (ogólny)
Obrys wału (walce, stożki)
Dobór wpustów (rys. 5.13)
lub wypustów (rys. 5.15)
Zmiana średnic pod wpusty, wypusty i łożyska
Rysunek wału stopniowego
E
Podatność giętna wału E I , (wz. 5.11)
Modele obciążeń w pł. x-y
Modele obciążeń w pł. x-z
Strzałki ugięcia fyij (wz. 7.10 ÷5.21)
Strzałki ugięcia fyi (wz.
- obliczona na podstawie średniej średnicy
wału dśr
- modele belek o znanych
wzorach analitycznych
na obliczanie f
Strzałki ugięcia fzij (wz. 7.10 ÷5.21)
j - nr modelu
Strzałki ugięcia fzi (wz.
Strzałki ugięcia fimax (wz.
fdop
– 125 –
fimax ≥ fdop
Współczynnik kf (wz. 7.20)
Rys. 7.7. Algorytm obliczania
wałów
Podstawy Konstrukcji Maszyn - projektowanie
– 126 –