Dynamika
Transkrypt
Dynamika
DYNAMIKA Oddziaływanie między ciałami można ilościowo opisywać posługując się pojęciem siły. Działanie siły na jakieś ciało przejawia się albo w zmianie stanu ruchu tego ciała (zmianie prędkości), albo w zmianie kształtu lub wymiarów tego ciała. Zadaniem dynamiki jest badanie związku między wzajemnymi oddziaływaniami ciał i zmianami ich ruchu. Podstawą dynamiki są zasady Newtona. Aby badać ruch ciała wywołany siłą na nie działającą trzeba wiedzieć, jakiego rodzaju jest to siła i skąd się bierze. Dlatego: - muszą być przynajmniej dwa ciała - pomiędzy tymi ciałami musi istnieć oddziaływanie Oddziaływania te mogą być różne i dlatego można podzieli je np. na: - siły elektromagnetyczne, - siły grawitacyjne, lub też na siły: - sprężyste - tarcia - nacisku - ciężkości - wyporu. Co to jest siła? Siła jest wielkością wektorową stanowiącą miarę oddziaływań pomiędzy ciałami, które powodują zmiany kształtu lub stanu ruchu. Jednostką siły w układzie SI jest niuton (1N = [1kg·1m/s2]). Jeden niuton jest to siła, która jednemu kilogramowi nadaje przyspieszenie o wartości 1 m/s2. io Przykłady znanych sił: Rodzaj siły Wzór Oznaczenia Uwag dotyczy ciał siła ciężkości Fg mg m - masa znajdujących się g - przyspieszenie w pobliżu powierzchni grawitacyjne Ziemi, lub innej planety m1, m2 - masy ciał siła grawitacji m m r - odległość między F G 1 3 2 r środkami ciał r dla wszystkich ciał niebieskich G - stała grawitacji siła sprężysta siła tarcia F kx T N k - współczynnik siła jest zawsze proporcjonalności przeciwnie skierowana x – wychylenie do wychylenia N – siła nacisku na jest powierzchnię, współczynnikiem - współczynnik tarcia statycznego lub tarcia dynamicznego g - przyspieszenie siła wyporu Fw gV ziemskie V - objętość ciężar wypartej cieczy - gęstość Siła nacisku Siła nacisku jest jedną z najczęściej spotykanych w naszym codziennym świecie sił i zawsze związana jest z jakąś powierzchnią. Jeśli siła nacisku działa ze strony podłoża na ciało na tym podłożu spoczywające (lub poruszające się) to nazywamy ją siłą reakcji podłoża. 2 io Siła nacisku ma jedną ważną własność: jest prostopadła do powierzchni, na która działa, np. na równi siła reakcji - nacisku działa prostopadle do powierzchni, na jakiej spoczywa. Siła tarcia Jeżeli dwie stykające się powierzchnie przesuwają się względem siebie, to obserwuje się zjawisko tarcia statycznego. Ruch ten wymaga stałego działania siły. W typowych sytuacjach tarcia statycznego stosunek siły tarcia fs do nacisku Fn trących powierzchni jest stały. Jego wartość nazywana jest współczynnikiem tarcia statycznego. s 3 fs . Fn io Współczynnik ten jest bezwymiarową wielkością zależną od własności powierzchni trących. Tarcia statycznego występuje, gdy zaczynamy przesuwać (ruszamy z miejsca) stykające się powierzchnie różnych ciał. W odróżnieniu do niego tarcie kinetyczne zachodzi już podczas ruchu. Ponieważ najczęściej trudniej jest ruszyć ciało z miejsca, to w większości przypadków tarcie statyczne jest większe od dynamicznego. Współczynnik tarcia kinetycznego: k fk Fn nie zależy od prędkości poruszającego się ciała i pola powierzchni stykających się. Co się dzieje z energią kinetyczną obiektów podlegających tarciu? W większości przypadków energia ta zamieniana jest na energię cieplną. Dlatego samoloty poruszające się z dużymi prędkościami bardzo się rozgrzewają, opony (felgi) samochodów, które wróciły z trasy są ciepłe, a tarcie kawałków drewna o siebie jest starą metodą rozniecania ognia. Jeżeli więc w jakimś ruchu pojawia się tarcie, to oznacza, że w ruchu tym energia mechaniczna nie jest zachowana, ponieważ jej część zamienia się na energię wewnętrzną np. ciepło. 4 io Co się stanie, gdy na ciało zaczyna działać niezrównoważona siła? Ciało wówczas zmieni swój stan ruchu - zacznie przyspieszać, zwalniać, ewentualnie zmieniać kierunek ruchu. Ciało nie porusza się ruchem postępowym, gdy suma wektorowa wszystkich sił działających na ciało jest równa zero. Jest to warunek konieczny, ale nie wystarczający. Jeżeli na ciało o masie m działa pojedyncza siła F , to definiujemy ją jako zmianę w czasie pędu ciała: d p , F dt po rozwinięciu d( mv ) d m dv F vm dt dt dt Dla ciała o stałej masie dv Fm ma . dt Pierwsza zasada dynamik Pierwszą zasadę dynamiki można sformułować następująco: 5 io Każde ciało pozostaje w spoczynku lub w ruchu prostoliniowym jednostajnym względem spoczywającego lub poruszającego się ruchem jednostajnym prostoliniowym układu odniesienia, dopóki działanie innych ciał nie zmusi je do zmiany tego stanu Zasada ta wyraża bardzo ważną właściwość ciał polegającą na tym, że każde ciało samorzutnie podtrzymuje swój stan spoczynku lub ruchu prostoliniowego jednostajnego, gdy nie działają na nie inne ciała lub, gdy działanie innych ciał nie powoduje zmiany pierwotnego stanu tego ciała. Właściwość tę nazywamy bezwładnością ciała. Posługując się już wprowadzonym pojęciem siły, można sformułować pierwszą zasadę dynamiki w sposób następujący: Gdy na ciało nie działa żadna siła lub, gdy wypadkowa sił działających na nie jest równa zeru, to ciało to pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem prostoliniowym jednostajnym względem spoczywającego lub poruszającego się ruchem jednostajnym prostoliniowym układu odniesienia. Zasada bezwładności, jak się często nazywa I zasadę dynamiki została odkryta i sformułowana dopiero w pierwszych latach XVII wieku. Pierwsza zasada dynamiki leży u podstaw statyki punktu materialnego. Określa ona, bowiem warunki, przy spełnieniu, których punkty materialne spoczywają. Jeżeli punkt materialny ma spoczywać, to według I zasady dynamiki nie mogą nań działać żadne siły zewnętrzne lub, gdy siły takie działają, to ich wypadkowa musi być równa zeru: Fi 0 . n i 1 Druga zasada dynamiki 6 io Związek pomiędzy wzajemnym oddziaływaniem ciał a zmianą charakteru ich ruchu postępowego ustala druga zasada dynamiki Newtona. Podaje się zwykle dwa sformułowania tej zasady. Według pierwszego: Ciało, na które działa siła niezrównoważona, porusza się ruchem przyspieszonym z przyspieszeniem proporcjonalnym do wartości tej siły, skierowanym i zwróconym tak samo, jak działająca na ciało siła: F a . m Współczynnikiem proporcjonalności w tym równaniu jest masa ciała. Oznacza to, że masa jest miarą bezwładności ciała w ruchu postępowym. Masa określa, bowiem liczbowo wartość siły potrzebnej do tego, by nadać ciału jednostkowe przyspieszenie (przyspieszenie równe jednostce tej wielkości). Im większa jest wiec masa ciała, tym większą siłą trzeba działać na to ciało, by nadać mu to samo przyspieszenie (by w tym samym stopniu zmienić stan ruchu tego ciała), a to oznacza, że tym większa jest bezwładność ciała. Drugą zasadę Newtona możemy podać w innej postaci: dv , Fm dt lub d F (m v ) dt Pędem ciała nazywamy wielkość wektorową równą iloczynowi masy ciała i jego prędkości. F dt d (m v) . Popędem siły nazywamy iloczyn siły i czasu, w ciągu, którego ta siła działa na ciało. Jest to również wielkość wektorowa. Druga zasada dynamiki w swoim drugim sformułowaniu brzmi: Przyrost pędu ciała jest równy popędowi siły działającej na to ciało. Jeżeli na ciało działa stała siła F to: 7 md v F dt , w przypadku ruchu bezwładnego, czyli gdy F 0 , pęd ciała jest stały: d (m v) 0 , dt czyli io m v const . Gdy na punkt materialny działa kilka sił to słuszna jest zasada niezależności działania sił: jeżeli na ciało (punkt materialny) działa jednocześnie kilka sił, to każda z tych sił nadaje mu przyspieszenie określone przez drugą zasadę dynamiki tak, jakby inne siły nie działały: 1 n a Fi . m i 1 Trzecia zasada dynamiki Rozważmy dwa ciała A i B oddziałujące między sobą. Oddziaływanie to opisują dwie siły: siła, z jaką ciało A działa na ciało B oraz siła, z jaką ciało B działa na ciało A. Związek między tymi dwoma siłami podaje trzecia zasada dynamiki. Gdy dało A działa na ciało B silą FA wtedy ciało B działa jednocześnie na ciało A siłą FR równą co do wartości, równoległą i przeciwnie zwróconą do siły FA: FA FR . Z drugiej i trzeciej zasady dynamiki Newtona wynika zasada zachowania pędu układu zamkniętego. Jest ona jednym z podstawowych praw przyrody. Zasada zachowania pędu Układ ciał nazywamy odosobnionym albo zamkniętym, jeżeli dla każdego ciała tego układu wszystkie siły, działające na nie, pochodzące od ciał zewnętrznych równoważą się. W układzie odosobnionym należy, więc uwzględnić 8 io tylko siły wzajemnego oddziaływania między ciałami układu, zwane siłami wewnętrznymi. Rozpatrzmy układ odosobniony złożony z n ciał o masach m1, m2,..., mn, poruszające się z prędkościami odpowiednio v1, v2,...., vn. Siła wewnętrzna, z jaką ciała k-te działa na ciało i-te wynosi Fik , i zgodnie z trzecią zasadą dynamiki: dp d n m i vi 0 dt dt i1 albo n p m i vi const , i 1 tzn. suma wektorowa pędów ciał, tworzących układ zamknięty, jest stała. Zasadę zachowania pędu można sformułować: wektor pędu zamkniętego układu ciał nie zmienia się z upływem czasu. lub w inercjalnym układzie odniesienia pęd całkowity układu ciał, na który nie działają siły zewnętrzne lub suma sił zewnętrznych jest równa zero, jest stałym wektorem, niezależnym od zjawisk, zachodzących wewnątrz układu. Inercjalne i nieinercjalne okłady odniesienia Zasady dynamiki Newtona obowiązują tylko w pewnych ściśle wyróżnionych układach odniesienia. Istnieją takie układy odniesienia, w których zasady te nie obowiązują. Gdy, na przykład, układ odniesienia związany jest z pojazdem poruszającym się ruchem prostoliniowym jednostajnie przyspieszonym, wtedy ciała znajdujące się w tym pojeździe będą się względem tego układu odniesienia poruszały ruchem przyspieszonym, pomimo tego, że nie będą na nie działały żadne niezrównoważone siły. Można, więc wyróżnić dwa rodzaje układów odniesienia. Układy, w których obowiązują zasady dynamiki Newtona, będziemy nazywać układami inercjalnymi oraz układy, w których nie obowiązują zasady dynamiki Newtona, będziemy nazywali układami nieinercjalnymi. 9 io Pierwsza zasada dynamiki stwierdza, że jeżeli na ciało nie działają siły zewnętrzne to istnieje taki układ odniesienia, w którym to ciało spoczywa lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Taki układ nazywamy układem inercjalnym. Każdy ruch musi być opisany względem pewnego układu odniesienia. Układy inercjalne są tak istotne, bo we wszystkich takich układach ruchami ciał rządzą dokładnie te sama prawa. Większość omawianych zagadnień będzie rozwiązywana właśnie w inercjalnych układach odniesienia. Zazwyczaj przyjmuje się, że są to układy, które spoczywają względem gwiazd stałych, ale układ odniesienia związany z Ziemią w większości zagadnień jest dobrym przybliżeniem układu inercjalnego. Ponieważ przyspieszenie ciała zależy od przyspieszenia układu odniesienia (obserwatora), w którym jest mierzone, więc druga zasada dynamiki jest słuszna tylko, gdy obserwator znajduje się w układzie inercjalnym. Siła bezwładności Siła bezwładności jest efektem wynikającym z samego przyspieszenia układu odniesienia. Siła bezwładności nie jest zwykłą siłą, gdyż nie wynika ona z żadnego oddziaływania między ciałami. Jeszcze inaczej można by powiedzieć, że jest ona siłą pozorną. 10 io Siła bezwładności pojawia się tylko w nieinercjalnych układach odniesienia. W układach inercjalnych obowiązuje normalna postać II zasady dynamiki Newtona. Można jednak poprawić opis układów nieinercjalnych tak, aby obowiązywała w nich zmodyfikowana wersja II zasady dynamiki. W tym celu do rzeczywistych sił (a więc sił wynikających z oddziaływań) trzeba dodać siłę bezwładności. Siła bezwładności: Fbezwadnośei ma uk .odniesienia Minus w tym wzorze wynika z faktu, że siła bezwładności działa przeciwnie do przyspieszenia układu nieinercjalnego. II zasada dynamiki w układach nieinercjalnych: Foddz Fbezw . a uk m Przykłady siły bezwładności: - Siła bezwładności podczas ruszania pojazdu - gdy samochód rusza do przodu siła bezwładności wciska pasażerów w fotel, - Siła bezwładności podczas hamowania pojazdu - gdy samochód (lub inny pojazd) nagle hamuje, wtedy siła bezwładności rzuca pasażerem do przodu. - Siła odśrodkowa – np. na wirującej karuzeli siła bezwładności wypycha ciała na zewnątrz okręgu. - Siła Coriolisa - siła ta jest podobna do siły odśrodkowej i pojawia się, gdy podczas opisu ruch ciała w obracającym się układzie odniesienia. Siła bezwładności pojawia się zawsze, gdy przechodzimy z opisem do układu nieinercjalnego. Jest ona efektem ruchu samego układu odniesienia. Siła bezwładności dołączona do równania II zasady dynamiki powoduje zmianę opisu sytuacji – o ile w układzie inercjalnym ciało widziane było jako pozostające w ruchu, to w układzie nieinercjalnym będzie ono w spoczynku. 11 io Posługiwanie się układami nieinercjalnymi ma sens wtedy, gdy ruch ciał trzeba odnieść do obiektów będących w ruchu przyspieszonym – np. względem obracającej się Ziemi, względem karuzeli, czy pojazdu poruszającego się z przyspieszeniem. Przykłady ruchu oraz występowania sił bezwładności: 12