Krzywe stożkowe Lekcja V: Elipsa

Transkrypt

Krzywe stożkowe
Lekcja V: Elipsa
Marek Skarupski
Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej
Marek Skarupski
Czym jest elipsa?
Elipsa jest krzywą stożkową powstałą przez przecięcie stożka płaszczyzną
pod kątem α < β < π2 (gdzie α jest kątem pomiędzy wysokością stożka a
jesgo tworzącą) tak, aby linia cięcia nie zawiera wierzchołka.
Marek Skarupski
Czym jest elipsa?
Elipsę można zdefiniować także jako zbiór punktów takich, że suma
odległośći od dwóch ustalonych punktów jest stała.
Marek Skarupski
Czym jest elipsa?
odległośći od dwóch ustalonych punktów jest stała. Formalnie:
{P ∈ R2 : |PF1 | + |PF2 | = const}
Marek Skarupski
Czym jest elipsa?
odległośći od dwóch ustalonych punktów jest stała. Formalnie:
{P ∈ R2 : |PF1 | + |PF2 | = const}
Punkty F1 , F2 nazywamy ogniskami elipsy.
Marek Skarupski
Elementy elpisy
2a - oś wielka elpisy, 2b - oś mała elipsy
S - środek elipsy, 2c = |F1 F2 | i stąd c = |SFi |, i = 1, 2.
Marek Skarupski
Elementy elpisy
S - środek elipsy, 2c = |F√
1 F2 | i stąd c = |SFi |, i = 1, 2.
Zachodzi zależność: c = a2 − b 2 .
Marek Skarupski
Elementy elpisy
1 F2 | i stąd c = |SFi |, i = 1, 2.
Zachodzi zależność: c = a2 − b 2 . Mimośród elipsy: m =
Marek Skarupski
c
a
Elementy elpisy
1 F2 | i stąd c = |SFi |, i = 1, 2.
Zachodzi zależność: c = a2 − b 2 . Mimośród elipsy: m = ca
Oprócz tego wyznacza się tzw. parametr ogniskowy, czyli połowę cięciwy
2
przechodzącej przez jedno z ognisk prostopadle do osi wielkiej: p = ba
Marek Skarupski
Równanie kanoniczne elipsy
Niech dana będzie elipsa o środku w punkcie S(x0 , y0 ) oraz osiach 2a, 2b
równoległych do osi układu współrzędnych.
Marek Skarupski
równoległych do osi układu współrzędnych. Wtedy równanie kanoniczne
elipsy dane jest wzorem
(x − x0 )2
(y − y0 )2
+
=1
2
a
b2
Marek Skarupski
(1)
(x − x0 )2
(y − y0 )2
+
=1
2
a
b2
Zauważmy, że jeśli a = b to dostajemy równanie okręgu.
Marek Skarupski
(1)
(x − x0 )2
(y − y0 )2
+
=1
2
a
b2
Zauważmy, że jeśli a = b to dostajemy równanie okręgu.
Przy takim położeniu ogniska mają współrzędne:
F1 = (x0 − c, y0 )
Marek Skarupski
F2 = (x0 + c, y0 )
(1)
Równanie w postaci parametrycznej
Przy takich samych założeniach jak poprzednio możemy wyznaczyć
równania parametryczne elipsy:
Marek Skarupski
Równanie w postaci parametrycznej
Przy takich samych założeniach jak poprzednio możemy wyznaczyć
równania parametryczne elipsy:
x = x0 + a cos(α), y = y0 + b sin(α), α ∈ [0, 2π]
Marek Skarupski
(2)
Równanie w postaci biegunowej
Niech środek elipsy będzie w biegunie. Wtedy równanie biegunowe elipsy
ma postać:
p
(3)
ρ=
1 + m cos(φ)
gdzie p jest parametrem ogniskowym, m to mimośród.
Marek Skarupski
ma postać:
p
(3)
ρ=
1 + m cos(φ)
gdzie p jest parametrem ogniskowym, m to mimośród. Zauważmy, że jeśli
a = b, to powyższe równanie sprowadza się do równania biegunowego
okręgu: ρ = r .
Marek Skarupski
ma postać:
p
(3)
ρ=
1 + m cos(φ)
gdzie p jest parametrem ogniskowym, m to mimośród. Zauważmy, że jeśli
a = b, to powyższe równanie sprowadza się do równania biegunowego
okręgu: ρ = r .
Rówanie (3) jest takie samo dla każdej krzywej stożkowej!
Marek Skarupski
Kierownice elipsy
Kierownice elipsy są to proste prostopadłe do osi wielkiej elipsy, odległe
2
od środka S o odcinek d = ac . Ponieważ |SF1 | = c = ma to cd = a2 i
d = ma .
Marek Skarupski
Kierownice elipsy
2
d = ma .
Marek Skarupski
Kierownice elipsy
2
d = ma .
Zachodzi związek:
Marek Skarupski
r1
d1
=
r2
d2
= m.
Równanie stycznej do elipsy
Niech punkt P(x1 , y1 ) należy do elipsy.
Marek Skarupski
Niech punkt P(x1 , y1 ) należy do elipsy. Wtedy równanie stycznej do elipsy
w punkcie P ma postać:
(x1 − x0 )(x − x0 ) (y1 − y0 )(y − y0 )
+
=1
a2
b2
Marek Skarupski
Niech punkt P(x1 , y1 ) należy do elipsy. Wtedy równanie stycznej do elipsy
w punkcie P ma postać:
(x1 − x0 )(x − x0 ) (y1 − y0 )(y − y0 )
+
=1
a2
b2
Marek Skarupski
Pole i obwód elipsy
Pole elipsy wyraża się wzorem
P = πab.
Marek Skarupski
P = πab.
Niestety długość elipsy nie jest już taka przyjemna. Wyraża się ona
wzorem:
!
2
2 4 2 6
1
1·3
m
1·3·5
m
2
L = 2πa 1 −
m −
−
− ... .
2
2·4
3
2·4·6
5
Marek Skarupski
P = πab.
Niestety długość elipsy nie jest już taka przyjemna. Wyraża się ona
wzorem:
!
2
2 4 2 6
1
1·3
m
1·3·5
m
2
L = 2πa 1 −
m −
−
− ... .
2
2·4
3
2·4·6
5
W praktyce stosuje się przybliżone wzory:
L ≈ π(1, 5(a + b) −
L ≈ π(a + b)
Marek Skarupski
√
ab)
64 − 3λ4
a−b
,λ =
64 − 16λ2
a+b
Elipsa w astronomii
Jednym z ważniejszych odkryć w astronomii było zauważenie, że planety
poruszają się po eliptycznych orbitach. Słońce jest jednym z ognisk takiej
elipsy. Najmniejsza odległość planety od Słońca nazywane jest
peryhelium: pe = a(1 − e), zaś największa to aphelium :ap = a(1 + e).
Marek Skarupski
Elipsa w astronomii
Mimośród każdej z planet jest bardzo mały i nieprzekracza 0,1 (z
wyjątkiem Merkurego).
Marek Skarupski
Elipsa w astronomii
wyjątkiem Merkurego). Odleglości pe i ap podane są w kilometrach.
Merkury: m = 0, 2056, pe = 46000000, ap = 69820000
Marek Skarupski
Elipsa w astronomii
Merkury: m = 0, 2056, pe = 46000000, ap = 69820000
Wenus: m = 0, 0067, pe = 107476002, ap = 108941849
Marek Skarupski
Elipsa w astronomii
Merkury: m = 0, 2056, pe = 46000000, ap = 69820000
Wenus: m = 0, 0067, pe = 107476002, ap = 108941849
Ziemia: m = 0, 0167, pe = 147098291, ap = 152098233
Marek Skarupski
Elipsa w astronomii
Merkury: m = 0, 2056, pe = 46000000, ap = 69820000
Wenus: m = 0, 0067, pe = 107476002, ap = 108941849
Ziemia: m = 0, 0167, pe = 147098291, ap = 152098233
Mars: m = 0, 0935, pe = 206644545, ap = 249228730
Marek Skarupski
Elipsa w astronomii
Merkury: m = 0, 2056, pe = 46000000, ap = 69820000
Wenus: m = 0, 0067, pe = 107476002, ap = 108941849
Ziemia: m = 0, 0167, pe = 147098291, ap = 152098233
Mars: m = 0, 0935, pe = 206644545, ap = 249228730
Jowisz: m = 0, 0484, pe = 740742600, ap = 816081455
Marek Skarupski
Elipsa w astronomii
Merkury: m = 0, 2056, pe = 46000000, ap = 69820000
Wenus: m = 0, 0067, pe = 107476002, ap = 108941849
Ziemia: m = 0, 0167, pe = 147098291, ap = 152098233
Mars: m = 0, 0935, pe = 206644545, ap = 249228730
Jowisz: m = 0, 0484, pe = 740742600, ap = 816081455
Saturn: m = 0, 0542, pe = 1349467375, ap = 1503983449
Marek Skarupski
Elipsa w astronomii
Merkury: m = 0, 2056, pe = 46000000, ap = 69820000
Wenus: m = 0, 0067, pe = 107476002, ap = 108941849
Ziemia: m = 0, 0167, pe = 147098291, ap = 152098233
Mars: m = 0, 0935, pe = 206644545, ap = 249228730
Jowisz: m = 0, 0484, pe = 740742600, ap = 816081455
Saturn: m = 0, 0542, pe = 1349467375, ap = 1503983449
Uran: m = 0, 0472, pe = 2735555035, ap = 3006389405
Marek Skarupski
Elipsa w astronomii
Merkury: m = 0, 2056, pe = 46000000, ap = 69820000
Wenus: m = 0, 0067, pe = 107476002, ap = 108941849
Ziemia: m = 0, 0167, pe = 147098291, ap = 152098233
Mars: m = 0, 0935, pe = 206644545, ap = 249228730
Jowisz: m = 0, 0484, pe = 740742600, ap = 816081455
Saturn: m = 0, 0542, pe = 1349467375, ap = 1503983449
Uran: m = 0, 0472, pe = 2735555035, ap = 3006389405
Neptun: m = 0, 0113, pe = 4444450000, ap = 4545670000
Marek Skarupski
Rysowanie elipsy
Zauważmy następujące zależności:
KROK I: Wyznaczamy dwa odcinki prostopadłe przecinające się w
połowie. Będą one stanowiły osie elipsy.
Marek Skarupski
Rysowanie elipsy
KROK II: Cyrklem odmierzamy długość półosi wielkiej.
Marek Skarupski
Rysowanie elipsy
KROK II: Cyrklem odmierzamy długość półosi wielkiej.
KROK III: Nie zmieniając rozstawienia cyrkla wbij go w końcowy punkt
krótszej osi i narysuj dwa łuki na osi głównej. Zaznacz punkty przecięcia i
opisz je jako F1 i F2. Będą to ogniska elipsy. Wbijamy tam dwie pinezki.
Trzecią wbijamy w jeden z końców półosi małej.
Marek Skarupski
Rysowanie elipsy
KROK IV: Kawałek sznurka obwiązujemy wkoło trzech pinezek.
Podmieniamy pinezkę osi małej na ołówek.
Marek Skarupski
Rysowanie elipsy
KROK IV: Kawałek sznurka obwiązujemy wkoło trzech pinezek.
Podmieniamy pinezkę osi małej na ołówek.
KROK V: Utrzymując sznurek cały czas napięty, przesuwaj ołówek po
łuku, który będzie wyznaczał kształt elipsy. Elipsa jest gotowa. Zaznacz
osie wielką i małą oraz ogniska.
(Fot.: http://arkadiusz.jadczyk.salon24.pl/66733,elipsy)
Marek Skarupski
Podziękowania
Dziękuję za uwagę
Marek Skarupski

Krzywe stożkowe Lekcja V: Elipsa

Transkrypt

Podobne dokumenty

Scenariusz obchodów Światowego Dnia Książki i

Uwaga trzecioklasiści!!! klasa dzień Nr lekcji 3aah poniedziałek 6