Oddziaływanie grawitacyjne Przykład Obliczmy stosunek

Oddziaływanie grawitacyjne
Przykład
Obliczmy stosunek przyspieszenia dośrodkowego Księżyca w
kierunku Ziemi do przyspieszenia grawitacyjnego przy powierzchni
Ziemi.
Przyspieszenie dośrodkowe w ruchu jednostajnym po okręgu
możemy obliczyć na podstawie równania
RK = 3.86·105 km jest odległością od Ziemi do Księżyca.
T = 27.3 dnia -okres obiegu Księżyca wokół Ziemi.
Otrzymujemy więc aK = 2.73·103 m/s2.
Natomiast w pobliżu powierzchni Ziemi przyspieszenie wynosi 9.8
m/s2.
Stosunek tych przyspieszeń
Ponieważ promień Ziemi wynosi RZ = 6300 km to zauważmy, że w
granicach błędu
1) siła przyciągania między dwoma masami (między ich środkami)
maleje odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości między
nimi.
2) skoro istnieje siła przyciągania pomiędzy dowolnym ciałem i
Ziemią, to musi istnieć siła przyciągania między każdymi dwoma
masami m1 i m2.
Na tej podstawie i w oparciu o liczne obserwacje astronomiczne
dokonane przez jego poprzedników min. Kopernika, Galileusza, Keplera,
Newton sformułował w 1687 r prawo powszechnego ciążenia.
Każde dwa ciała o masach m1 i m2 przyciągają się
wzajemnie siłą grawitacji wprost proporcjonalną
do iloczynu mas, a odwrotnie proporcjonalną do
kwadratu odległości między nimi.
Siła z jaką Ziemia przyciąga jabłko jest taka sama co do wartości jak siła
z jaką jabłko przyciąga Ziemię. Pod wpływem tej siły jabłko przyspiesza
w kierunku Ziemi (z przyspieszeniem g) i Ziemia przyspiesza w kierunku
jabłka (z przyspieszeniem a)
Definicja
Ciężar definiujemy jako siłę ciężkości działającą na ciało.
Wartość współczynnika proporcjonalności G
Zgodnie z zasadą dynamiki
skąd
(6.3)
gdzie RZ jest promieniem Ziemi.
Masę Ziemi MZ Newton obliczył zakładając średnią gęstość Ziemi równą
ρZ = 5·103 kg/m3 (dla porównania gęstość żelaza, głównego składnika masy Ziemi,
wynosi ρFe = 7.9·103·kg/m3, a gęstość krzemu, podstawowego składnika skorupy
ziemskiej, wynosi ρSi = 2.8·103 kg/m3).
Uwzględniając RZ = 6.37·106 m
Newton otrzymał wartość G = 7.35·1011 Nm2/kg2 co jest wartością tylko o 10%
większą niż ogólnie dzisiaj przyjmowana wartość 6.67·1011 Nm2/kg2.
Wartość stałej G obliczonej przez Newtona jest obarczona błędem wynikającym z
przyjętej średniej wartości gęstości Ziemi.
Żeby wyznaczyć stałą G w laboratorium niezależnie od masy Ziemi i tym samym
uniknąć błędu związanego z szacowaniem gęstości Ziemi trzeba by zmierzyć siłę
oddziaływania dwóch mas m1 i m2 umieszczonych w odległości r. Wówczas
Zauważmy jednak, że przykładowo dla mas każda po 1 kg oddalonych od siebie o 10
cm siła F ma wartość F = 6.67·109 N i jest za mała by ją dokładnie zmierzyć
standardowymi metodami. Problem pomiaru tak małej siły rozwiązał Cavendish.
Doświadczenie Cavendisha
>siła potrzebna do skręcenia długiego, cienkiego włókna kwarcowego jest bardzo
mała
>na takim włóknie zawiesił pręt z dwiema małymi kulkami ołowianymi (m) na
końcach
>w pobliżu każdej z kulek umieścił większą kulę ołowianą (M) i zmierzył precyzyjnie
kąt α o jaki obrócił się pręt.
Doświadczenie Cavendisha
Pomiar wykonany metodą Cavendisha dał wartość G = 6.67·1011 Nm2/kg2.
Znając już wartość stałej G, Cavendish wyznaczył masę Ziemi MZ z równania
Cavendish wyznaczył też masę Słońca i masy planet, tych których satelity zostały
zaobserwowane.
Przykład
Rozpatrzmy ruch planety o masie m krążącej w odległości R wokół Słońca o masie
M. Wtedy siła przyciągania grawitacyjnego wynosi
a ponieważ przyspieszenie w ruchu po okręgu jest dane wyrażeniem
to równanie (6.5) przyjmuje postać
skąd otrzymujemy
Prawa Keplera ruchu planet
Jeszcze przed sformułowaniem przez Newtona prawa powszechnego
ciążenia, Johannes Kepler zauważył, że ruch planet stosuje się do trzech
prostych praw, które zgadzały się z wynikami pomiarowymi pozycji
planet z bardzo dużą dokładnością
1. Każda planeta krąży po orbicie eliptycznej, ze Słońcem w jednym
z ognisk tej elipsy.
2. (prawo równych pól): Linia łącząca Słońce i planetę zakreśla równe
pola w równych odstępach czasu.
3. Sześciany półosi wielkich orbit dowolnych dwóch planet mają się
do siebie jak kwadraty ich okresów obiegu (półoś wielka jest
połową najdłuższej cięciwy elipsy).
Z drugiego prawa Keplera wynika, że planety (lub naturalne satelity)
powinny poruszać się szybko w pobliżu Słońca (gdy wektor R(t) jest
najkrótszy) i coraz wolniej w miarę oddalania się od Słońca (gdy wektor
R(t) rośnie).
Dobrym przykładem jest kometa Halleya,
która obiega Słońce w ciągu 76 lat, z
czego tylko 1 rok spędza w pobliżu
Słońca (jest wtedy niewidoczna z Ziemi).
Prawa Keplera a zasady dynamiki Newtona
Trzecie prawo Keplera dla planet poruszających się po orbitach
kołowych: Sześciany półosi wielkich orbit dowolnych dwóch planet mają
się do siebie jak kwadraty ich okresów obiegu (półoś wielka jest połową
najdłuższej cięciwy elipsy).
Korzystając ze wzoru na masę Słońca otrzymujemy dla pierwszej
planety krążącej wokół Słońca
a dla drugiej
Porównując te równania stronami otrzymujemy
Drugie prawo Keplera.
Linia łącząca Słońce i planetę zakreśla równe pola w równych odstępach
czasu
Powierzchnia zakreślana w czasie Δt przez linię łączącą planetę ze Słońcem
Jeżeli weźmiemy bardzo krótki przedział czasu dt (Δt → 0) to
zaznaczone pole dS jest powierzchnią trójkąta o podstawie równej
długości zakreślanego łuku (vdt) i wysokości równej promieniowi R
Stąd chwilowa prędkość polowa (prędkość z jaką promień R zakreśla
powierzchnię) jest równa
(1)
Z zasad dynamiki Newtona wynika zasada zachowania momentu pędu
(poznamy ją w następnych rozdziałach), zgodnie z którą moment pędu L
planety w jej obiegu wokół Słońca jest stały
(2)
Łącząc równania (1) i (2) otrzymujemy ostatecznie
(3)
Równanie (3) wyraża drugie prawo Keplera
Pole sił
Masie M przypisujemy obszar wpływu (działania), czyli pole.
Jeżeli ciało o masie M umieścimy w początku układu. W punkcie przestrzeni
opisanym wektorem r znajduje się inna masa m (wektor r opisuje położenie
masy m względem masy M) to siłę oddziaływania grawitacyjnego między tymi
masami możemy zapisać w postaci wektorowej
znak minus wynika z faktu, że wektor F jest zwrócony przeciwnie do wektora r.
Siłę tę możemy potraktować jako iloczyn masy m i wektora
natężenie pola grawitacyjnego γ(r) przy czym
Wektor γ(r)
- nie zależy od obiektu na który działa siła (masy m')
- zależy od źródła siły (masa M)
- charakteryzuje przestrzeń otaczającą źródło (wektor r).
Pole grawitacyjne wewnątrz kuli
Pole grawitacyjne wytwarzane przez sferę (czaszę) kulistą o masie m i
promieniu R.
Dla r > R (na zewnątrz sfery) pole grawitacyjne ma wartość Gm/r2 to znaczy
jest takie jakby cała masa była skupiona w środku sfery.
Jakie jest jednak pole wewnątrz sfery?
Rozważmy przyczynki od dwóch leżących naprzeciwko siebie elementów
powierzchni S1 i S2 w dowolnym punkcie P wewnątrz sfery tak jak na rysunku
poniżej.
Rys. 1. Punkt P wewnątrz cienkiej sfery
Fragment S1 czaszy jest źródłem siły F1 ~ S1/(r1)2 działającej w lewo.
Powierzchnia S2 jest źródłem siły działającej w prawo F2 ~ S2/(r2)2 .
Otrzymujemy więc
Z rozważań geometrycznych wynika natomiast, że
Po podstawieniu do pierwszego równania otrzymujemy
Tak więc wkłady wnoszone przez elementy powierzchni S1 i S2 znoszą się.
Można w ten sposób podzielić całą sferę i pokazać, że siła wypadkowa jest
równa zeru. Tak więc wewnątrz sfery pole grawitacyjne jest równe zeru.
Pole wewnątrz czaszy mającej skorupę dowolnej grubości też jest zero bo
zawsze możemy podzielić tę skorupę na szereg cienkich warstw
koncentrycznych.
Na rysunku obok przedstawiono pełną kulę o
promieniu R i masie M. W punkcie P pole
grawitacyjne pochodzące od zewnętrznej
warstwy jest równe zeru. Pole grawitacyjne
pochodzi więc tylko od kuli o promieniu r czyli
gdzie m jest masą kuli o promieniu r.
Dla jednorodnej kuli o gęstości r równanie
przyjmuje postać
Uwzględniając, że
Otrzymujemy ostatecznie
Wewnątrz kuli przyspieszenie grawitacyjne (natężenie pola grawitacyjnego) i
co za tym idzie siła zmieniają się liniowo z odległością r od środka.
Praca sił pola
Różnica energii potencjalnej Ep pomiędzy punktami A i B jest równa pracy (ze
znakiem minus) wykonanej przez siłę zachowawczą przy przemieszczaniu
ciała od A do B i wynosi
Siły bezwładności
Masa bezwładna i grawitacyjna
masa bezwładna
z drugiej zasady dynamiki Newtona F = ma.
Gdy spróbujemy wprawić w ruch ciało popychając je to wymaga to pewnego wysiłku
nawet gdy ruch odbywa się po idealnie gładkiej poziomej powierzchni. Wysiłek jest
tym większy im ciało ma większą masę.
masa grawitacyjna
Z kolei rozpatrzmy sytuację gdy utrzymujemy klocek uniesiony w górę w stanie
spoczynku:
>Bezwładność nie odgrywa tu żadnej roli bo ciało nie przyspiesza, jest w spoczynku.
>Ale musimy używać siły, o wartości równej przyciąganiu grawitacyjnemu między
ciałem i Ziemią, żeby ciało nie spadło.
Odgrywa tu rolę ta właściwość ciała, która powoduje że jest ono przyciąganie przez
inne obiekty takie jak Ziemia i siłą
Występującą w tym wzorze masę m' nazywamy
czy masa bezwładna m i masa grawitacyjna m' ciała są sobie równe?
czy masa bezwładna m i masa grawitacyjna m' ciała są sobie równe?
Żeby znaleźć odpowiedź na to pytanie rozpatrzmy sytuację, w której masa
bezwładna m1 spadając swobodnie w pobliżu powierzchni Ziemi uzyskuje
przyspieszenie a1. Wtedy
Jeżeli natomiast inna masa m2 uzyskuje przyspieszenie a2 to
Dzieląc równania (6.10a) i (6.10b) przez siebie otrzymujemy
Ponieważ doświadczalnie stwierdzono, że wszystkie ciała spadają (w próżni) w
pobliżu Ziemi z tym samym przyspieszeniem a1 = a2 = g to stosunek mas
bezwładnych jest równy stosunkowi mas grawitacyjnych. Aktualnie jesteśmy w stanie
stwierdzić, że a1 = a2 z dokładnością do 1010.
Te wyniki wskazują, że masa bezwładna jest równa masie grawitacyjnej. To
stwierdzenie nazywa się zasadą równoważności.
Konsekwencją jest to, że nie można rozróżnić między przyspieszeniem układu, a
przyspieszeniem grawitacyjnym. Ta zasada jest punktem wyjścia ogólnej teorii
względności Einsteina.
Środek masy ciała lub układu ciał – punkt, w którym skupiona jest cała masa w
opisie układu jako masy punktowej.
wektor wodzący środka masy
przy czym:




to wektor wodzący środka masy;
M – masa ciała;
V – objętość ciała;
– funkcja gęstości ciała.
Dla ciała znajdującego się w jednorodnym polu grawitacyjnym środek ciężkości
pokrywa się ze środkiem masy.
Gdy ciało wiruje lub drga, istnieje w tym ciele punkt zwany środkiem masy, który
porusza się w taki sam sposób, w jaki poruszałby się pojedynczy punkt materialny
poddany tym samym siłom zewnętrznym.
Siły bezwładności
rozpatrzymy ruch ciała o masie m poruszającego się wzdłuż osi x ruchem
przyspieszonym, pod wpływem działania siły F = ma.
Ruch ten jest obserwowany z dwóch różnych układów odniesienia (dwaj
obserwatorzy), z których jeden xy jest układem inercjalnym, a drugi x'y' porusza się
względem pierwszego wzdłuż osi x (rysunek poniżej).
Położenie ciała m w dwóch układach odniesienia
Odległość miedzy dwoma obserwatorami (układami) wynosi w danej chwili x0(t) więc
związek między położeniem ciała rejestrowanym przez obu obserwatorów ma postać
Natomiast przyspieszenie w obu układach:
to znaczy, różniczkując dwukrotnie równanie
>przyspieszenia w obu układach są równe tylko wtedy gdy a0 = 0
czyli gdy układ x'y' porusza się względem układu xy ruchem jednostajnym lub
względem niego spoczywa to znaczy gdy układ x'y' też jest układem inercjalnym tak
jak xy. Natomiast gdy a0 ≠ 0 to układ x'y' nazywamy układem nieinercjalnym, a jego
przyspieszenie a0 przyspieszeniem unoszenia.
Widzimy, że przyspieszenie ciała zależy od przyspieszenia układu odniesienia (od
przyspieszenia obserwatora), w którym jest mierzone więc druga zasada dynamiki
jest słuszna tylko, gdy obserwator znajduje się w układzie inercjalnym.
F = ma zmienia się w zależności od przyspieszenia obserwatora.
(5.8)
Jeżeli pomnóżmy równanie
obustronnie przez m to otrzymamy
lub
Widzimy, że w układzie x'y' (przyspieszającym) nie obowiązują zasady dynamiki
Newtona bo:
Gdy na ciało nie działa siła (F = 0) to ciało nie spoczywa ani nie porusza się
ruchem jednostajnym prostoliniowym tylko ruchem przyspieszonym z
przyspieszeniem -a0.
Iloczyn masy i przyspieszenia nie równa się sile działającej F ale jest mniejszy od
niej o iloczyn ma0.
iloczyn masy i przyspieszenia unoszenia (ze znakiem minus) nazywamy siłą
bezwładności Fb.
> jeżeli w układach nieinercjalnych chcemy stosować drugą zasadę dynamiki
Newtona to musimy uwzględniać siły bezwładności.
> Jak już mówiliśmy istnieją tylko cztery podstawowe oddziaływania, z których
wynikają wszystkie siły zaobserwowane we Wszechświecie. Wszystkie te siły
nazywamy siłami rzeczywistymi, ponieważ możemy je zawsze związać z działaniem
pochodzącym od konkretnym ciał materialnych.
>Inaczej jest z siłami bezwładności, które nie pochodzą od innych ciał, a ich
obserwowanie jest związane wyłącznie z wyborem nieinercjalnego układu
odniesienia. Dlatego siły bezwładności nazywamy siłami pozornymi.
Przykład
Dwaj obserwatorzy opisują ruch kulki w sytuacji pokazanej na rysunku poniżej.
Ruch kulki obserwowany z różnych układów odniesienia
Jeden z obserwatorów znajduje się w samochodzie, a drugi stoi na Ziemi.
Samochód początkowo porusza się ze stałą prędkością v po linii prostej (rys. 1),
następnie hamuje ze stałym opóźnieniem a (rys. 2).
Między kulką, a podłogą samochodu nie ma tarcia.
Gdy samochód jedzie ze stałą prędkością to obydwaj obserwatorzy stwierdzają
zgodnie, na podstawie pierwszej zasady dynamiki, że na kulkę nie działa żadna siła:
 obserwator w samochodzie zauważa, że vkulki = 0
F=0
 obserwator stojący obok stwierdza, że vkulki = v = const.
F=0
Zwróćmy uwagę, że obserwatorzy znajdują się w inercjalnych układach odniesienia.
Sytuacja zmienia się gdy samochód zaczyna hamować (rys. 2).
 Obserwator związany z Ziemią dalej twierdzi, że kulka porusza się ze stałą
prędkością, a tylko podłoga samochodu przesuwa się pod nią, bo samochód
hamuje.
 Natomiast obserwator w samochodzie stwierdza, że kulka zaczyna się
poruszać się z przyspieszeniem –a w stronę przedniej ściany wózka.
Dochodzi do wniosku, że na kulkę o masie mkulki zaczęła działać siła
ale nie może wskazać żadnego ciała, będącego źródłem tej siły. Mówiliśmy już, że
druga zasada dynamiki jest słuszna tylko w inercjalnym układzie odniesienia.
Zauważmy, że obserwator w wózku znajduje się teraz w układzie nieinercjalnym i siła
jakiej działanie zauważa jest pozorną siłą bezwładności.
Działanie sił bezwładności odczuwamy nie tylko podczas przyspieszania i
hamowania (przyspieszenie styczne), ale również gdy zmienia się kierunek
prędkości. Zgodnie z definicją siły bezwładności
a dla ruchu krzywoliniowego przyspieszenie układu jest przyspieszeniem normalnym
(dośrodkowym w ruchu po okręgu)
więc wartość siły bezwładności wynosi
Tę siłę bezwładności nazywamy siłą odśrodkową.
Z taką siłą mamy do czynienia na przykład podczas jazdy samochodem na zakręcie.
Również Ziemia nie jest idealnym układem inercjalnym ponieważ wiruje. Jednak w
większości rozpatrywanych przez nas zjawisk można zaniedbać wpływ ruchu Ziemi
na ich przebieg.
Siła Coriolisa- siła bezwładności
Tę siłę bezwładności musimy uwzględniać, gdy rozpatrujemy ruch postępowy ciała
w obracającym się układzie odniesienia.
Przykładem może być człowiek poruszający się po linii prostej (radialnie) od środka
do brzegu obracającej się karuzeli. Na rysunku poniżej pokazana jest zmiana
prędkości człowieka.
Rys. 1. Zmiana prędkości człowieka poruszającego się po linii prostej (radialnie) od
środka do brzegu karuzeli obracającej się z prędkością kątową ω
Linia (promień) wzdłuż której porusza się człowiek zmienia swój kierunek (karuzela
obraca się) o kąt Δθ w czasie Δt. W tym samym czasie człowiek zmienia swoje
położenie z punktu A do A'.
Obliczymy teraz zmianę jego prędkości radialnej (normalnej) vr i stycznej vs.
Prędkość radialna zmienia swój kierunek.
Prędkość styczna natomiast zmienia zarówno kierunek (przyspieszenie dośrodkowe)
ale również wartość bo człowiek oddala się od środka (rośnie r).
Najpierw rozpatrzmy różnicę prędkości vr w punktach A i A' pokazaną na rysunku (b)
po prawej stronie. Dla małego kąta Δθ (tzn. małego Δt) możemy napisać
(1)
Jeżeli obustronnie podzielimy równanie (1) przez Δt to w granicy Δt → 0 otrzymamy
(2)
gdzie wielkość ω = dθ/dt jest definiowana jako prędkość kątowa.
W tym ruchu zmienia się również prędkość styczna bo człowiek porusza się wzdłuż
promienia.
W punkcie A prędkość styczna vs = ωr, a w punkcie A' vs = ω(r+Δr).
Zmiana prędkości stycznej wynosi więc
(3)
Jeżeli obustronnie podzielimy równanie (3) przez Δt to w granicy Δt → 0 otrzymamy
(4)
Przyspieszenia a1 i a2 mają ten sam kierunek (równoległy do vs) więc przyspieszenie
całkowite jest równe sumie
(5)
Przyspieszenie to jest nazywane przyspieszeniem Coriolisa
.
> nawet przy stałej prędkości kątowej ω rośnie prędkość liniowa człowieka bo rośnie
r.
Gdyby człowiek stał na karuzeli to obserwator stojący na Ziemi mierzyłby tylko
przyspieszenie dośrodkowe (ω2r) skierowane do środka wzdłuż promienia.
Gdy człowiek idzie na zewnątrz to obserwator rejestruje także przyspieszenie
Coriolisa (o kierunku równoległym do vs).
Oczywiście musi istnieć siła działająca w tym kierunku. Jest nią w tym przypadku siła
tarcia między podłogą i nogami idącego człowieka.
Jednak obserwator związany z karuzelą nie widzi ani przyspieszenia dośrodkowego
ani przyspieszenia Coriolisa, człowiek poruszający się wzdłuż promienia jest w stanie
równowagi w układzie karuzeli.Istnieje realnie odczuwalna (rzeczywista) siła tarcia.
Żeby wyeliminować tę rozbieżność obserwator stojący na karuzeli wprowadza dwie
siły pozorne równoważące siłę tarcia:
>siła odśrodkowa
>siła Coriolisa.
Siła odśrodkowa działa radialnie na zewnątrz a siła Coriolisa stycznie ale przeciwnie
do vs. O
gólnie, na ciało o masie m poruszające się ruchem postępowym z prędkością v w
obracającym się układzie odniesienia działa siła bezwładności zwana siłą Coriolisa Fc
Ziemia nie jest idealnym układem inercjalnym ponieważ wiruje. W wyniku tego obrotu
w zjawiskach zachodzących na Ziemi obserwujemy siłę Coriolisa:
>rzeki płynące na półkuli północnej podmywają silniej prawy brzeg
>ciała spadające swobodnie odchylają się od pionu pod działaniem tej siły
W większości rozpatrywanych przez nas zjawisk można zaniedbać wpływ ruchu
Ziemi na ich przebieg.
Ruch obrotowy Ziemi
Siła Coriolisa pojawia się w szczególności gdy rozważamy ruch ciał w układzie związanym z
powierzchnią ziemi.
W przypadku spadku swobodnego z dużej wysokości odchyla tor ciała w kierunku
wschodnim (zawsze! zarówno na półkuli północnej jak i południowej).
Dla przykładu, przy spadku z prędkością
m/s (dla uproszczenia przyjmijmy, że
prędkość jest stała, np. w wyniku oporów ruchu):
Spadek z wysokości h=5.5 km zajmie w tym przypadku
. Końcowe odchylenie
toru od pionu (ruch jednostajnie przyspieszony w kierunku poziomym) wyniesie:
w Warszawie około 25 m.
Wpływ siły Coriolisa jest wyraźnie widoczny gdy oglądamy prognozę pogody. To siła
Coriolisa powoduje odchylenie prądów powietrza płynących od wyżu do niżu. Wiatry wiejące
od wyżu zakręcają inaczej na półkuli północnej i południowej. Wiąże się to z inną orientacją
wektora prędkości obrotowej Ziemi.
Półkula północna
Wiatry zakręcają "w prawo", wyż "kręci się" zgodnie z ruchem wskazówek zegara
Półkula południowa
Wiatry zakręcają "w lewo", wyż "kręci się" przeciwnie do ruchu wskazówek zegara
Wahadło Foucault'a
Najbardziej spektakularnym efektem związanym z siłą Coriolisa jet tzw. Wahadło Foucault'a.
Jest to zwykłe wahadło matematyczne w którym płaszczyzna drgań może się zmieniać (dwa
stonie swobody), a opory ruchu są na tyle małe, że możemy obserwować wahania przez wiele
godzin.
Dla obserwatora związanego z powierzchnią Ziemi płaszczyzna ruchu wahadła obraca się z
prędkością kątową
w Warszawie (
) obserwujemy obrót z prędkością kątową