x - Zespół Szkół im. Andrzeja Średniawskiego w Myślenicach
Transkrypt
x - Zespół Szkół im. Andrzeja Średniawskiego w Myślenicach
AUTOR ZADAŃ: Jerzy Cachel Zespół Szkół im.A.Średniawskiego w Myślenicach X POWIATOWE ZAWODY MATEMATYCZNE – KATEGORIA A’ Imię i Nazwisko.................................................................. Szkoła.................................................................................. Zadanie 1 (3pkt) Wykaż, że dla dowolnego n ∈ N wartość wyrażenia n 3 + 3n 2 + 2n + 6 jest liczbą n+3 naturalną. Zadanie 2 (4pkt) Rozwiąż równanie: 5 1 1 1 1 x − + + ... + 1 + 8 2 3 2012 4 5 1 1 1 1 + x − + + + ... + 2 4 8 12 2012 5 1 1 1 1 1 + x − + + + ... + 4 2 4 6 2012 2 = 0 + Zadanie 3 (4pkt) Wykaż, że dla każdej liczby nieparzystej k iloczyn (k − 5)(k − 7 )(k − 9) jest podzielny przez 48. Zadanie 4 (5pkt) Wykaż, bez użycia kalkulatora, że liczba Zadanie 5 (4pkt) Rozwiąż nierówność x − 4 − x − 6 ≤ 0 . 9 − 4 5 − 9 + 4 5 jest liczbą całkowitą. X POWIATOWE ZAWODY MATEMATYCZNE – KATEGORIA A’ Imię i Nazwisko.................................................................. Szkoła.................................................................................. Test jednokrotnego wyboru 1. Jeśli f : R → R jest funkcją rosnącą, zaś g : R → R jest funkcją malejącą, to funkcja h dana wzorem h( x) = f ( g ( x)) jest B) rosnąca C) stała D) nie monotoniczna A) malejąca 2. Trzy liczby całkowite przy dzieleniu przez 5 dają odpowiednio reszty 1,2,3. Reszta z dzielenia przez 5 sumy kwadratów tych liczb powiększonej o iloczyn tych kwadratów wynosi A) 0 B) 1 C) 2 D) 4 3. Najmniejsza wartość funkcji f ( x) = x − 1 + x − 2 + x − 3 wynosi A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 4. Implikacja ,,jeżeli x − 2 ≤ 0 , to x + 3 > 0 ’’ jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy A) x ∈ (−∞,−3〉 B) x ∈ (−3, ∞ ) C) x ∈ (−∞,2〉 D) x ∈ (−3,2〉 5. Funkcja f każdej liczbie naturalnej n-cyfrowej przyporządkowuje liczbę n − 5 . Liczba miejsc zerowych funkcji f jest równa A) n B) 10 5 C) 90000 D) 5 6. Wynikiem działania A) 2012 2012 1 + 1 1+ 2 2+ 3 B) 1 + 2012 + 1 + ... + 1 jest liczba 3+2 2011 + 2012 C) 2011 + 2012 D) 2012 − 1 7. Sklep sprowadza z hurtowni kurtki płacąc po 80zł za sztukę i sprzedaje średnio 60 sztuk miesięcznie po 120zł. Każda kolejna obniżka ceny sprzedaży kurtki o 1zł zwiększa sprzedaż miesięczną o 1 sztukę. Zysk miesięczny sprzedawcy określa wzór A) (40 − x )(60 + x ) B) (40 + x )(60 − x ) C) (40 − x )(60 − x ) D) (40 + x )(60 + x ) 8. Funkcja f każdej liczbie rzeczywistej x przyporządkowuje najmniejszą liczbę nieujemną y taką, że x + y jest liczbą całkowitą podzielną przez 3. Zbiorem wartości funkcji f jest przedział A) (0,3) B) (− ∞, ∞ ) C) 〈 0,3〉 D) 〈 0,3) 9. Połowę pewnej drogi samochód przejechał z prędkością 60km/h, drugą połowę z prędkością średnią 90km/h. Z jaką prędkością przejechał on całą drogę? A) 80km/h B) 75km/h C) 72km/h D) 70km/h 10. Liczba A jest o 150% większa od liczby B. Jakim procentem liczby B jest liczba A? A) 100 B) 250 C) 200 D) 150 Test A’ 1 A 2 A 3 C 4 B 5 C 6 D 7 A 8 D 9 C 10 B Zadanie 1 Grupowanie wyrazów licznika n 2 (n + 3) + 2(n + 3) 1 pkt Rozłożenie licznika na iloczyn (n 2 + 2)(n + 3) 1 pkt Skrócenie ułamka i sformułowanie uzasadnienia 1 pkt Zadanie 2 Wyciąganie przed nawias x − 5 2 2 pkt Przedstawienie lewej strony równania w postaci iloczynowej 1 pkt Podanie rozwiązania równania 1 pkt Zadanie 3 Zapisanie liczby nieparzystej w postaci k = 2n − 1 1 pkt Przekształcenie iloczynu do postaci (2n − 6)(2n − 8)(2n − 10 ) 1 pkt Zauważenie, iż jest to iloczyn trzech kolejnych liczb parzystych, zatem jest podzielny przez 2, 4 i 6 Sformułowanie wniosku 1 pkt 1 pkt Zadanie 4 Wprowadzenie oznaczeń 9−4 5 − 9+4 5 = a 1 pkt Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia 9 − 4 5 − 9 + 4 5 = 9 − 4 5 − 9 + 4 5 − 2 = 16 2 pkt Rozwiązanie równania a 2 = 16 1 pkt Sformułowanie uzasadnienia 1 pkt 2 Zadanie 5 Zapisanie układów nierówności 1 pkt Rozwiązanie nierówności w każdym z przypadków 2 pkt Podanie ostatecznego rozwiązania 1 pkt