TEORIA GIER – 8 U˙zytecznosc We wszystkich zadaniach A = {a1

TEORIA GIER – 8
Użyteczność
We wszystkich zadaniach A = {a1 , a2 , . . . , ak } oznacza zbiór wszystkich możliwych wyników rozpatrywanej gry, a L(A) — zbiór wszystkich loterii na A.
ZD1. Gracz podal nam cze, ściowe informacje o swoich preferencjach w stosunku do a1 , a2 , a3 , a4 , a5 :
• woli a2 niż a1 ,
• a3 jest nie gorsze od a4 ,
• a5 jest tak samo dobre jak a1 ,
• woli a4 niż a2 ,
• a5 jest nie gorsze niż a3 .
Czy jego relacja preferencji na A może być przechodnia ?
ZD2. Zalóżmy, że gracz ma taka, funkcje, użyteczności kardynalnej na zbiorze A = {0, 1, 2, 3}:
u(n) = n2 dla n = 0, 1, 2, 3.
Sprawdź, czy:
(a) [2] ≺ 12 [1] + 12 [3].
(b)
1
2 L1
+ 12 L3 ≼ L2 , gdzie L1 = 23 [0] + 13 [3], L2 = 13 [0] + 32 [2], L3 = 34 [2] + 14 [3].
ZD3. Zalóżmy, że A = {a1 , a2 , a3 , a4 , a5 } jest zbiorem pie, ciu wyników pewnej gry, a relacja preferencji ≼ gracza spelnia aksjomaty (AU1), (AU2) i (AU3). Gracz podal nam takie informacje o swoich
preferencjach:
• ai ̸≈ aj dla wszystkich i ̸= j,
• [a1 ] ≈ 14 [a2 ] + 34 [a3 ],
• [a2 ] ≈ 13 [a1 ] + 23 [a4 ],
• [a5 ] ≈ 12 [a1 ] + 12 [a2 ],
• a5 ≺ a4 .
(a) Ustaw a1 , a2 , a3 , a4 , a5 w kolejności od najmniej do najbardziej preferowanego wyniku gry.
(b) Zdefiniuj dla gracza przykladowa, funkcje, użyteczności u : A → R kardynalnej.
ZD4. W tej grze rozważamy loterie, w których można wygrać nic, 1mln lub 2mln, tzn. A = {a0 , a1 , a2 } =
{0, 1mln, 2mln}.
• Loteria L1 : z prawdopodobieństwem 1 wygrywamy 1mln zl.
• Loteria L2 : z prawdopodobieństwem 0,8 wygrywamy 2mln zl, a z prawdopodobieństwem 0,2 nie
wygrywamy nic.
• Loteria L3 : z prawdopodobieństwem 0,3 wygrywamy 1mln zl, z prawdopodobieństwem 0,8 nic.
• Loteria L4 : z prawdopodobieństwem 0,2 wygrywamy 2mln zl, z prawdopodobieństwem 0,7 nic.
Zalóżmy, że dla gracza a0 ≺ a1 ≺ a2 i jego relacja preferencji jest quasi-porza,dkiem liniowym na L(A).
Ponadto gracz woli L1 od L2 i woli L4 od L3 .
(a) Uzasadnij, że nie istnieje w tym przypadku funkcja użyteczności kardynalnej.
(b) Czy jest możliwe, że relacja preferencji gracza na zbiorze loterii jest monotoniczna i cia,gla?
ZD5. Czy poniższe gry sa, równoważne grom o sumie zerowej?
(a)
v1
v2
v3
v4
t1
t2
t3
t4
(0, 3) (4, -5) (-7, 17) (-1, 5)
(-4, 11) (0, 3) (-5, 13) (-2, 7)
(7, -11) (5, -7) (0, 3) (-8, 19)
(1, 1) (2, -1) (8, -13) (0, 3)
(b)
K
L
M
N
A (-1,2) (6,-12) (-4,8) (1,-2)
B (4,-8) (0,0) (5,-10) (3,-6)
C (3,-6) (4,-8) (4,-8) (3,-6)
D (0,0) (1,-2) (5,-10) (-1,2)
ZD6. Umieść wektory wyplat (w1 (s̄), w2 (s̄)) podanej gry dwumacierzowej w ukladzie wspólrze, dnych i
na tej podstawie oceń, czy gra jest równoważna pewnej grze o sumie zerowej.
K
L
M
N
A (-1,3) (6,-11) (-4,9) (1,-1)
B (4,-7) (0,1) (5,-8) (3,-5)
1
2
ZD7. ∗ (nieobowia,zkowe) Zalóżmy, że gry dwuosobowe G i G′ sa, równoważne, zbiory strategii czystych
gracza 1 sa, takie same w G jak i w G′ , podobnie dla gracza 2. Które z poniższych zdań sa, prawdziwe
w G wtedy i tylko wtedy, gdy sa, prawdziwe w G′ ?
(a) σ1 jest zdominowana przez σ1′ .
(b) σ1 jest najlepsza, odpowiedzia, na σ2 .
(c) Uklad strategii (σ1 , σ2 ) jest optymalny w sensie Pareto.
(d) σ1 jest strategia, bezpieczeństwa.
(e) Wartość gry jest dodatnia. W tym podpunkcie zakladamy, że mamy do czynienia z grami o
sumie zerowej.
(f) (σ1 , σ2 ) jest punktem równowagi Nasha.
Caly cie, żar rozwia,zania spoczywa nie na podaniu odpowiedzi, ale na jej uzasadnieniu.