MATEMATYK w szponach H MATEMATYK w szponach H

MATEMATYK w szponach H MATEMATYK w szponach H

matematyka
>>s y s t e m y g i e r l o s o w y c h
MATEMATYK w szponach
PIOTR WOŁOWIK
W
BREW TEMU, w co może od czasu do czasu
chcielibyśmy wierzyć kupując los, loterie i kasyna nie są instytucjami charytatywnymi. Służą
temu, by zarabiali ich właściciele, a nie użytkownicy.
Oferują chwile emocji i zabawy, skalkulowanej tak,
aby stanowić dla kasyna źródło dochodu, nigdy straty.
Klient zawsze traci
Sposobem, w jaki kasyno najefektywniej zarabia jest obrót pieniędzmi – im więcej ludzi przewija się przez dom
gry tym interes lepszy. Pieniądze przegrywających „przepływają” do wygrywających ale pewna ich cześć pozostaje w kasie organizatora zabawy.Ta część zależy od rodzaju
gry i stanowi procent od przepływającego kapitału.W fachowej terminologii funkcjonuje pod pojęciem przewagi kasyna (ang. house advantage), a matematycy mówią, że gra
ma ujemną wartość oczekiwaną wygranej (ramka poniżej).
Nie wierzmy więc w cuda (czytaj: cudowne systemy).
Grając dostatecznie długo zawsze będziemy „do tyłu”.
Wyjątkiem jest... black jack. Tutaj grając odpowiednim systemem naprawdę możemy zapewnić sobie
nieznaczną statystyczną przewagę nad kasynem. Oznacza to, że przy okazji dobrej zabawy zwiększymy kapitał początkowy o kilka procent. Na czym polega gra
w black jacka (zwanego też popularnie „oczkiem”
i gdzie znaleźć system piszemy w ramce na s. XX)
WARTOŚĆ OCZEKIWANA GRY
Dobrą charakterystyką finansowych „własności” gier jest wielkość nazywana
przez matematyków wartością oczekiwaną wygranej. Określa ona średni zysk
przypadający na jedną partię przy założeniu, że rozgrywamy nieskończoną liczbę
kolejek. Ściśle wartość oczekiwaną wygranej wyraża formuła
E[X] = p x [zysk] + (1-p) x [strata]
gdzie p – określa prawdopodobieństwo osiągnięcia zysku, (1-p) – odpowiednio
prawdopodobieństwo straty.
Jeśli rzucając monetą dostajemy złotówkę za każdym razem, gdy wypada orzeł
i tracimy złotowkę, gdy pojawia się reszka, wartość oczekiwana wygranej przy takiej
zabawie wynosi zero. Gry o zerowej wartości oczekiwanej wygranej nazywane są
grami sprawiedliwymi i w kasynach nie występują.
2
W IEDZA I ŻYCIE
S TY C Z E Ń 2 0 0 5
No dobrze – spyta ktoś – ale w takim wypadku dlaczego kasyno promuję grę na której mogłoby tracić? Rzecz
w tym, że wszystkie black jackowe systemy wymagają
niewiarygodnie wyćwiczonej pamięci, gdyż przy stole do
gry nie wolno robić notatek i aby skutecznie korzystać z systemu trzeba umieć jednocześnie zapamiętywać wszystkie
schodzące z talii karty i przeprowadzać niekiedy bardzo
skomplikowane rozumowanie odnośnie aktualnych i przyszłych kwot obstawiania. Hazardzistów grających tą techniką przedstawiono w znakomitym filmie „Rain Man”
w reżyserii Barryego Levinsona ze znakomitą rolą Dustina Hoffmana. Tylko niezwykle zdolności matematyczne
i pamięciowe głównego bohatera – autystycznego sawanty – pozwoliły mu rozbić bank niejednego domu gry.
Czerwone i czarne
Spójrzmy teraz oczami matematyka na najpopularniejszą grę spotykaną w kasynach – ruletkę. Obrosła ona
jak żadna inna wieloma mitami i legendami oraz cudownymi systemami, które miały szybko przynieść
ich odkrywcom fortunę.
Załóżmy, że decydujemy się na najprostszy i najpopularniejszy sposób gry. Obstawiamy kolor czarny (albo czerwony). Prawdopodobieństwo, że kulka zatrzyma się na czarnym wynosi 18/37 – jest bardzo bliskie 0,5. Stawiamy jeden
żeton (załóżmy dla uproszczenia, że jest on wart złotówkę) na określony kolor. Jeżeli trafimy zyskujemy jeden
żeton, jeśli nie – tracimy obstawienie. Gra nie jest sprawiedliwa (tak jak np. rzut monetą) a wartość oczekiwana
wygranej (patrz ramka) jest mniejsza od zera i wynosi 0,0135. Oznacza to, że grając odpowiednio długo stracimy na rzecz kasyna średnio 1,35 proc. stawianej puli.
Kasyno zapewnia sobie przewagę poprzez wprowadzenie pola zero (prawdopodobieństwo jego wypadnięcia wynosi 1/37), które gra na jego korzyść. Jeżeli obstawialibyśmy tuziny lub kolumny wyszlibyśmy na tym
jeszcze gorzej.Wartość oczekiwana naszej gry wynosiłaby -0,027, czyli tracilibyśmy średnio na rzecz kasyna aż
ok. 2,7 proc. naszych pieniędzy.
System Martingale
Czy rzeczywiście z kasynem nie da się wygrać? A gdyby
tak postawić 1 żeton na czerwone, a potem podwajać
stawkę w razie przegranej obstawiając ciągle ten kolor?
Jeśli czerwone wypadnie już za pierwszym razem, wygramy 1 żeton. Jeśli za drugim – w pierwszej grze stracimy
co prawda 1, ale w drugiej wygramy 2 więc w sumie będziemy żeton do przodu. Jeśli i w drugiej grze nie dopisze nam szczęście stawiamy na czerwone 4 żetony.W przypadku wygranej zysk to 4 żetony minus 3 żetony straty
w poprzednich grach – zostaje na czysto 1 żeton.Wniosek jest prosty – mając nieskończenie wiele czasu (i nieskończenie wiele pieniędzy) w końcu zawsze wyrwiemy
od kasyna wygraną.
Fot. Łukasz Zandecki
W cenie od kilku do kilkuset złotych można kupić w Internecie
„absolutnie pewne systemy” gwarantujące wygraną w Lotto,
Multilotka czy zakładach sportowych. U nas te same systemy
– gratis. A w pakiecie – analiza: na czym polega ten cud?
h
Hazardu
Gra tą
metodą jest jednak korzystna tylko z pozoru. Wystarczy zauważyć jak szybko rośnie kwota obstawiania. Przy „złym losie”, jeśli
nie trafimy 10 razy pod rząd za 11 razem musimy wyłożyć na stół 1024 żetonów. Może się więc zdarzyć, że
kwota, którą chcemy postawić przekroczy maksymalny limit stołu gry. Jest on wprowadzany właśnie
po to, by ktoś dysponujący nieograniczonymi niemal funduszami nie mógł grać w „nieskończoność”.
Systemy oparte na zasadzie podwajania czy
zwielokratniania stawek zwane są systemami Martingale.
Na naszej stronie internetowej (www. wiedzaizycie. pl) za-
RULETKA AMERYKAŃSKA
Koło podzielone jest na 37 części,
ponumerowane od 0 do 37. Gra
polega na obstawianiu
pojedynczych pól, ich kombinacji
lub całych wyszczególnionych grup.
Pole zero gra na korzyść kasyna,
co oznacza, że jeżeli wypadnie,
wszystkie zakłady na inne numery,
a także zakłady na tuziny i kolumny
przegrywają. Pozostałe obstawienia
na szansach: numery duże i małe,
kolory czerwone i czarne,
liczby parzyste i nieparzyste,
przegrywają połowę stawki.
Kwoty wypłat podane są w tabeli.
4
W IEDZA I ŻYCIE
S TY C Z E Ń 2 0 0 5
Zakład
Jeden numer
Dwa numery
Trzy numery
Cztery numery
Sześć numerów
Kolumna
Tuzin
Małe numery
Duże numery
Parzyste
Nieparzyste
Czerwone
Czarne
Wyplata
35:1
17:1
11:1
8:1
5:1
2:1
2:1
1:1
1:1
1:1
1:1
1:1
1:1
Zarobić na obiad
Kowalski dostał 2047 zł premii za które chce kupić wymarzony telewizor. Przedtem jednak postanawia, dla uczczenia
dnia, zjeść dobry obiad. Żeby nie uszczuplać funduszy przeznaczonych na zakup, decyduje się wstąpić do kasyna i grając systemem Martingale, zarobić ok. 30 zł na posiłek.
Aby mu się to udało musiałby wygrać 30 razy
zgodnie z zasadą podwajając każdorazowo stawianą
kwotę (za każdym cyklem zarabiałby 1 zeton). Jeżeli obstawia nieustannie kolor czerwony może obawiać się
tylko jednego – jeśli w czasie 30 cykli gry 11 razy pod
rząd wypadnie kolor czarny – będzie bankrutem.
W pierwszych 10 zakładach straci w sumie 1023 zł,
a w kolejnym – jedenastym – będzie zmuszony postawić i przegra ostatnie1024 zł). Bezpieczeństwo tej strategii gry wynosi ok. 98 proc. To sporo, ale proszę pamiętać, że istnieje ok. 2 proc. realnej szansy utraty wszystkich
posiadanych pieniędzy. Jeśli zestawimy to z możliwością
zarobku 30 zł to taki sposób zarobienia na obiad nie
wszystkim może wydawać się rozsądny.
Farba daje szansę
Istnieją jednak sposoby, które pozwalają dodatkowo
zwiększyć szansę wygranej. Można to osiągnąć badając reguły rządzące konkretną grą. Po długiej obserwacji można próbować oszacować prędkość kuli rzucanej „mechanicznie” przez tego samego krupiera, lub poznać jego
przyzwyczajenia które mogą mieć wpływ na przebieg gry.
Hugo Steinhaus zalecał obstawianie w Lotku liczb leżących „na skraju” kuponu, na przykład 1,2,3,4,5,6. Oka-
Fot. East News
Maszyna będąca
pierwowzorem
została
skonstruowana w
XVII wieku przez
Blaisa Pascala
mieściliśmy matematyczne podstawy wyprowadzenia
bazującego na tej zasadzie systemu
do gry w Multilotka określanego jako „stuprocentowego pewniaka”.Warto pamiętać, że gra tym systemem ciągle posiada ujemna wartość oczekiwaną
wygranej, wobec czego korzystna jest dla
organizatora. Mimo to systemy takiego obstawiania cieszą się bardzo duża popularnością
wśród graczy, a także – co już nie powinno dziwić
są również promowane przez organizatorów gier.
wyliczone teoretyczne prawdopodobieństwa
zuje się bowiem, że ludzie traktują kupon jak tarczę
i obstawiając celują w jej środek.Wybierając kombinację „niepopularną” mamy co prawda taką samą szansę
trafienia, ale nie będziemy musieli się z nikim dzielić wygraną w razie sukcesu. 30 marca 1994 roku w Dużym
Lotku wylosowano następujące numery: 11, 16, 23, 30,
35 i 41 (proszę spróbować zakreślić te liczby na kuponie
– otrzymamy „ładny”, symetryczny wzorek) Po najwyższą
wygraną zgłosiło się do Totalizatora kilkadziesiąt osób...
– sukces
– bankructwo
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
zysk netto
Wykres przedstawia prawdopodobieństwo sukcesu i bankructwa
metody Martingale (podwajanie obstawień) w zależności
od planowanego zysku.
Fot. Corbis/Free
Grając va banque
Kowalski z Kwiatkowskim grają lekko niesymetryczną monetą
– orzeł wypada statystycznie w 52 przypadkach na 100.Kowalski
ma 100 zł i obstawia orła,stawiając po złotówce na każdy zakład.
Po 1000 rozgrywek, statystycznie rzecz biorąc, Kowalski wygra średnio 520 razy a przegra 480. Czyli zarobi 40 zł. A gdyby chciał zgarnąć więcej?
Może zaryzykować stawiając wszystko co ma. Po
5 kolejnych korzystnych dla niego grach miałby 3200 zł.
Zyskałby 3100 zł netto. Zarobek całkiem godziwy ale
i ryzyko bankructwa ogromne – szansa wygrania 5 gier
pod rząd wynosi bowiem mniej niż 4 proc.
Stawianie wszystkiego na jedną kartę to sposób
dla desperatów. Z drugiej strony, mozolne powtarzanie tej samej gry tysiąc razy w nadziei na 40 złotowy
zarobek może wystawić na szwank cierpliwośc nawet
najwytrwalszego drobnego ciułacza. Czy istnieje złoty środek?
Kowalski mógłby przecież obstawiać więcej niż
złotówkę a mniej niż 100 zł, za każdym razem zostawiając sobie na wszelki wypadek część posiadanej
kwoty, by oddalić widmo całkowitego bankructwa
i dać sobie szansę odegrania się w następnej kolejce.
Jeżeli ułamek ryzykowanego majątku byłby wysoki
(np. 60 proc.), to o końcowym bilansie decydowałyby wyniki początkowych gier. Jeśli na początku przeważałyby przegrane, straciłby znaczącą część kapitału,
której nie zdążyłby w dalszej części gry odrobić. Zakończyłby więc grę z mniejszą ilością pieniędzy niż ją
zaczynał.
Z kolei, przeznaczanie na kolejne gry małego procentu aktualnie posiadanego przez gracza kapitału (np.
2 proc.) byłoby strategią bezpieczną, ale takie
asekuranctwo nie pozwoliłoby mu wygrać żadnej
znaczącej kwoty.
Kto wymyślił
ruletkę?
Jej powstanie
przypisuje się
starożytnym
Rzymianom,
Chińczykom,
anonimowemu
francuskiemy
mnichowi bądź
matematykowi
Blaise Pascalowi.
W 18 wieku
we Francji gry
oparte o kręcenie
kulką po kole
były dość
popularne
i występowały
pod wieloma
nazwami. Ruletka
we współczesnej
postaci pojawiła
się w Paryżu
około 1760 roku
S TY C Z E Ń 2 0 0 5
WIEDZA I ŻYCIE
5
Kryterium Kelly
Black Jack jest grą
francuską pochodzącą
z początków 18 w.
W Paryżu znana
była pod nazwą 21.
Amerykańska nazwa
bierze się od premii
wyplacanej gdy
gracz jako pierwsze
karty otrzymał „J”
i asa pik, obydwie
„czarne karty”
Odpowiedzi na to pytanie po raz pierwszy udzielił
J. L. Kelly opierając się na matematycznej teorii informacji i jej zastosowaniu w telekomunikacji. Podał on
wzór pozwalający obliczyć optymalny procent posiadanej kwoty, którą należy przeznaczać na kolejne gry.
Procent ten określa formuła:
ƒ = (k + 1) x p -1
k
W powyższym wzorze p jest prawdopodobieństwem sukcesu (gra musi być korzystna – czyli p>0,5),
k – kurs – wypłata netto w grze w przypadku sukcesu.
UWAGA: TU JEST SYSTEM
W grze w Black Jacka udział bierze krupier (po stronie kasyna), który występuje
przeciwko graczom. Krupier rozdaje karty (jednocześnie je odkrywając) każdemu
z uczestników po dwie, sobie jedną. Zadaniem graczy jest dobór kart
do wartości 21. Figury w kartach (króle, damy, walety) maja wartość 10,
pozostałe zgodnie z ich wartością liczbową. Wyjątkiem jest as, który może
w zależności od kontekstu oznaczać 1 lub 11.
Gracz może dobierać dowolną ilość kart, jednak przekroczenie limitu 21 oczek
powoduje jego natychmiastowa porażkę i stratę postawionych na grę żetonów.
Jeżeli zdecyduje się zatrzymać na jakiejś ilości oczek mniejszej od 21, karty
zaczyna dobierać sobie krupier. Zasadą jest, że dobierać (za każdym razem) musi
on tylko do wartości 17. Jeżeli zebrał już 18 lub więcej oczek musi na tym
poprzestać. W przypadku, gdy krupier dobierając karty przekroczy limit 21,
również przegrywa.
Gracz wygrywa jeżeli jego ilość oczek jest bliższa wartości 21 niż krupiera.
Opis różnych wariantów black jacka jak i proponowanych odpowiednio do nich
systemów liczenia schodzących kart, a także wiele innych ciekawostek
dotyczących tej gry, znaleźć można na stronach: http://www.kasyno.org/ ,
http://www.blackjackinfo.com/ oraz http://www.bjmath.com/.
6
W IEDZA I ŻYCIE
S TY C Z E Ń 2 0 0 5
W rozgrywce Kowalski kontra Kwiatkowski optymalna strategia dla Kowalskiego wyliczona z formuły
Kellego zakłada obstawianie 4 proc. posiadanej puli
i pozwala zarobić w ciągu 1000 kolejek 122,6 proc.
kwoty wyjściowej – czyli w przypadku Kowalskiego
122zł 60 gr. (dokładne rachunki znależć można na
naszej stronie internetowej).Wyliczona ze wzoru strategia sprawdza się tylko w przypadkach posiadania w grze statystycznie niewielkiej przewagi. Może być też stosowana
w przypadku gry giełdowej – przewaga, jaką mamy wówczas po swojej stronie to stosowna wiedza ekonomiczna.
Zarobić na wyścigach
Wzór J. L. Kellyego sprawdza się też w sportowych grach
bukmacherskich. Również w tym przypadku proponowane stawki na określone zdarzenia wyliczone są w specyficzny korzystny dla bukmachera sposób – przewagę
może dać nam tylko doskonała znajomość realiów sportowych rządzących daną dyscypliną.
Najwyższe stawki proponują zazwyczaj bukmacherzy internetowi
ze względu na niskie koszty prowadzenia działalności. Ich firmy z reguły zarejestrowane są w krajach,
w których ta forma działalności gospodarczej zwolniona jest z podatku
(np. Malta), więc grający przy zawieraniu zakładu również jest niego
zwolniony.
Jaki jest mechanizm ustalania
stawek? Załóżmy, że grają drużyny
A i B. Jeśli bukmacher uważa, że drużyna A jest faworytem, proponuje
zakład na jej zwycięstwo z kursem
wypłaty np. 1,95 (za każdą postawioną na A złotówkę wypłata wynosi
1,95 zł, czyli zysk netto 0,95 zł).
W ten sam sposób szacuje szanse na
zwycięstwo drużyny B (jako że uważa ją za słabszą, oferuje wyższe przebicie w zakładzie – np. 3,55 za zwycięstwo i 3,2 za remis).
Dokładne wartości prawdopodobieństw wyników nie są oczywiście znane bukmacherowi ani jego klientom, są one szacowane na podstawie
analizy „rynku zdarzeń sportowych”. Brana jest pod
uwagę aktualna dyspozycja drużyny którą najlepiej
odzwierciedlają osiągane przez nią ostatnio wyniki.
Żeby gra była sprawiedliwa (wartość oczekiwana wygranej wynosiła zero) oferowane kursy powinny być
równe odwrotności prawdopodobieństwa obstawianego
wyniku rozgrywki. Na przykład, jeśli prawdopodobieństwo że Legia wygra z Wisłą jest równe 1/4, proponowany kurs wypłaty wyniósłby 4 do 1. Jeśli szacujemy szanse wygranej Wisły na 3/4, kurs wypłaty na to zdarzenie
powinien być równy 4/3, czyli ok. 1,33 do 1.W praktyce jednak tak nie jest. Bukmacher prowadzi działalność aby
zarobić i ustala kursy na poziomie nieznacznie niższym tzn.
K1<1/P1, K2<1/P2 i K3<1/P3. (K1 jest kursem wypłat
zdarzenia o prawdopodobieństwie P1 itd). Wartość
Z=1/K1+1/K2+1/K3 jest większa od jedynki i określa ile,
niezależnie od wyniku rozgrywek, zarobi bukmacher. Im
Z jest większa od 1, tym bukmacher bardziej „zachłanny”.
Fot. Łukasz Cynalewski
Powstaje pytanie: jak obstawiać (jaki stały procent
posiadanego kapitału przeznaczać na kolejne gry), aby
zmaksymalizować zysk?
Porównując kursy u kilkunastu, a nawet kilkudziesięciu bukmacherów, możemy znaleźć takie zakłady dla
których wartość Z będzie mniejsza od jedynki (oczywiście
nigdy nie u tego samego bukmachera).W takim przypadku umiejętne obstawienie przeciwnych rozstrzygnięć tego
samego zdarzenia sportowego u różnych bukmacherów, bez
względu na wynik – przyniesie nam wymierny pewny
zysk.Wyszukiwaniem takich kursów (tzw. sytuacji arbitrażowych), ich analizą i porównywaniem, zajmują się różne
tematyczne serwisy internetowe (np. www.betbrain.com
oraz www.noriskbetting.com).
Porównajmy teraz kursy u różnych bukmacherów.
Przykład jest całkowicie fikcyjny i wymyślony przez autora w celu zobrazowania rozważanego zagadnienia.
Uwaga: trzeba będzie wykonać kilka rachunków. Dla
osób nieprzyzwyczajonych może to być wyczerpujące
– ale czego się w końcu nie robi dla pieniędzy...
Fot. Getty Images/Flash Press Media
Andrzej Gołota spotyka się w finale meczu bokserskiego
o mistrzostwo świata z Mikem Tysonem.
Bukmacher „Expert” ustala kurs za zwycięstwo Gołoty
jako K1a=2,50, a za zwycięstwo Tysona K2a=1,50. Otrzymujemy Za=1/K1a+1/K2a=1,066, co oznacza, że średnio
6,6 proc. obstawianych kwot ląduje w kieszeni przyjmującego
zakłady.
Inny bukmacher „Velifex” uważa, że Gołota ma trochę
większe szanse na zwycięstwo więc ustala kurs na K1b=2,00
oraz K 2b =1,73 w przypadku zwycięstwa Tysona.
Po podstawieniu danych do wzoru otrzymujemy
Zb=1/K1b+1/K2b=1,078. (Ten bukmacher zgarnia więcej
– aż 7,8 proc)
Obliczmy wartość Z w przypadku obstawiania zwycięstwa Andrzeja Gołoty w „Expert”, a zwycięstwa Mika Tysona w „Velifex”. Otrzymujemy Z=1/K1a+1/K2b=0,978.
Jest to wartość mniejsza od jedynki! Widać stąd, że taki
„mieszany” zakład, o „zachłanności” mniejszej od jedynki
gwarantuje pewny zysk.
Załóżmy teraz, że chcielibyśmy wygrać 100 zł. Jeśli
przewidujemy zwycięstwo Gołoty, warto obstawić je tam,
gdzie dają za nie jak najwięcej, czyli u „Experta”. Jako że
kurs wynosi 2,50, aby wypłacono nam 100 zł trzeba zagrać za złotych 40. Z kolei wygraną Tysona obstawmy w
„Velifex”. Przy oferowanym tu kursie 1,73 aby wygrać
100 zł należy postawić 57,80 zł.W ten sposób inwestując 97,80 (40+57,80) zarabiamy 100 zł niezależnie od wyniku starcia Gołota-Tyson! Zysk netto jest pewny i wynosi 2,20 zł. Jeżeli zainwestujemy kwotę 10-krotnie
większą to również 10-krotnie wzrośnie nasz zysk
netto – do poziomu 22 zł.
Wyszukanie różnic w stawkach zakładów odpłatnie oferują wspomniane serwisy – informacja jak wiadomo kosztuje – gwarantując zysk rzędu do blisko
10 proc., a czasami nawet większy. W żadnym banku czy
funduszu pewnego zysku tej wysokości tak szybko nie
osiągniemy. Wadą i niedogodnością takiego rozwiązania jest to, że należałoby mieć pozakładane konta
u różnych bukmacherów (a jest ich na całym świecie
bardzo wielu) z odpowiednimi kwotami które umożliwiałyby grę na rozsądnym poziomie.
Ryzyko dobrze określone
Jaki morał płynie z powyższych rozważań? Ano taki, że
wprawdzie systemy istnieją (i działają!) to jednak nie
likwidują – bo i nie mogą – przewagi kasyna nad graczem.Ta jest bowiem wpisana w samą strukturę gry. Ka-
syno nie chce „oskubywać gości (gdyby tak było, rychło
starciłoby wszystkich klientów), zarabia tylko na jak
największym obrocie, musi jednak zapewnić sobie
pewną barierę bezpieczeństwa, chroniąc się przed bankructwem.Temu i wyłącznie temu służy przewaga.
Co zatem daje system? Minimalizację ryzyka.Techniki martyngałowe oparte są na fakcie, że „zły los kiedyś się w końcu odwraca”. I że skoro do tej miało się pecha, z tym większą odwagą można podnieść stawkę
i w następnej koklejce postawić więcej. Oczywiście cudów nie ma. Bo wprawdzie z każdą kolejką prawdopodobieństwo, że tym razem w końcu karta się odwróci jest
„większe” ale i ryzykujemy coraz wyższą stawkę...W końcu, jeśli mamy kosmicznego pecha możemy przegrywać
nawet kilkadziesiąt razy z rzędu. To oznacza że może
nas spotkać klapa i ostateczne bankructwo, czyli „piękna katastrofa” jak mawiał Zorba.
Na stronie www.wiedzaizycie.pl zamieściliśmy rozszerzoną wersję tekstu zawierającą szczegółowe wyliczenia, wyprowadzenia używanych formuł a także opis systemy do gry w Multilotka.
Na zakładach
sportowych można
zarobić nawet
wówczas, gdy nie
ma się zielonego
pojęcia która
z drużyn
ma większą szansę
na wygraną.
Wystarczy zadać
sobie trud
przeanalizowania
kursów u różnych
bukmacherów
PIOTR WOŁOWIK
jest doktorantem
w Instytucie Elektroniki
i Telekomunikacji
Politechniki Poznańskiej.
S TY C Z E Ń 2 0 0 5
WIEDZA I ŻYCIE
7