Zastosowanie wielowymiarowych modeli GARCH do szacowania

Transkrypt

Krzysztof Piontek
Wydział Zarządzania, Informatyki i Finansów
Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem
Zastosowanie wielowymiarowych
modeli GARCH do szacowania
współczynnika zabezpieczenia
dla kontraktów futures na WIG20
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Zabezpieczanie portfela
Minimalizacja ryzyka – efektywność strategii
Estymacja optymalnego współ. Zabezpiecz.
Problemy praktyczne
Przykład empiryczny
Podsumowanie
SKAD
Jastrzębia Góra, 17-19.09.2008
Zabezpieczanie (hedging) – metody ograniczania ryzyka zmian cen
instrumentów finansowych najczęściej za pomocą instrumentów
pochodnych (zabezpieczanie portfela instrumentów przed zmianą jego
wartości)
W transakcji zabezpieczającej inwestor zajmuje na rynku terminowym
pozycje przeciwną w stosunku do pozycji zajmowanej na rynku
natychmiastowym, dzięki czemu potencjalne straty wynikające z jednej
pozycji zostaną (w mniejszym lub większym stopniu) zrównowaŜone
przez zyski osiągnięte na drugiej pozycji
SKAD
Istotą transakcji zabezpieczających jest kształtowanie
wartości (najczęściej minimalizacja) wybranej miary ryzyka
rynkowego portfela.
W kontekście zabezpieczanie portfela rozwaŜa się między innymi
następujące miary ryzyka portfela:
• wariancja,
• semiwariancja,
• dolny moment cząstkowy,
• wartość naraŜona na ryzyko (VaR).
W warunkach polskich najpopularniejszym instrumentem
terminowym wykorzystywanym do zabezpieczania wartości
portfela jest kontrakt terminowy na indeks WIG20
SKAD
Najpopularniejszym przypadkiem jest minimalizacja
wariancji wartości lub stopy zwrotu z portfela
pomijając tzw. mnoŜniki
cf


∆WP = cs ( St − St −1 ) − c f ( Ft − Ft −1 ) = cs  ∆St − ∆Ft  = cs ( ∆St − h1∆Ft )
cs


var ( ∆WP ) = var ( cs ( ∆St − h1∆Ft ) ) = cs2 var ( ∆S ) + cs2 h12 var ( ∆F ) − 2cs h1 cov ( ∆S , ∆F )
h1* :
cs = 1,
d ( var ( ∆WP ) )
dh1
=0
var ( ∆WP ) → min
→
cov ( ∆S , ∆F )
h =
var ( ∆F )
*
1
Cs – liczba jednostek instr. spot
Cf – liczba jednostek instr. futures
SKAD
analogicznie...
RP =
∆W p
cs St
=
cs ( St − St −1 ) − c f ( Ft − Ft −1 )
cs St
St − St −1 c f Ft Ft − Ft −1
=
−
= ...
St
cs St
Ft
= Rs − h2 R f
*
2
h :
d ( var ( RP ) )
dh2
var ( RP ) → min
=0
→
h =
*
2
cov ( Rs , R f
var ( R f
)
)
oba współczynniki róŜnią się zazwyczaj
SKAD
Miara efektywności strategii zabezpieczającej
HE = 1 −
var ( ∆S − h ∆F )
*
1
var ( ∆S )
redukcja wariancji wartości portfela zabezpieczonego
w stosunku do portfela niezabezpieczonego
Ederington, 1979
SKAD
Metody estymacji h1* zaleŜą od uwzględnianych
własności finansowych szeregów kursów
natychmiastowych i terminowych
- kointegracja kursów spot i futures
- autokorelacja przyrostów kursów
- korelacja pomiędzy przyrostami spot i futures
- grube ogony rozkładów przyrostów
- zmienna warunkowa macierz kowariancji
SKAD
Metody estymacji h1* - regresja
∆St = α + β∆Ft + ε t
h =β
*
1
nawet jeśli zakładamy stałość macierzy kowariancji w
czasie, a estymujemy parametry na postawie danych z
przesuwającego się okna, to otrzymujemy zmienny w czasie
współczynnik zabezpieczenie, który moŜe być podstawą
hedgingu dynamicznego SKAD
q
p
i =1
j =1
∆St = α + β ∆Ft + ∑ ϕi ∆St −i + ∑ β j ∆Ft − j +ε t
h =β
*
1
q
p
i =1
j =1
∆St = α + β ∆Ft + ∑ ϕi ∆St −i + ∑ β j ∆Ft − j + ht zt
ht = ω + αε
zt ~ iid ( 0,1)
2
t −1
+ β ht −1
h =β
*
1
SKAD
ECM
q
p
i =1
j =1
∆St = α + β ∆Ft + ∑ ϕi ∆St −i + ∑ β j ∆Ft − j + γ ECM t −1 +ε t
ECM t −1 = St −1 − b0 − b1 Ft −1
moŜna równieŜ dołączyć jednowymiarowy model GARCH
h =β
*
1
SKAD
VAR(k)
k
k
i =1
j =1
k
k
i =1
j =1
∆St = α s + ∑ ϕ si ∆St −i + ∑ β sj ∆Ft − j +ε st
∆Ft = α f + ∑ ϕ fi ∆St −i + ∑ β fj ∆Ft − j +ε ft
h =
*
1
cov (ε st , ε ft )
var (ε ft )
SKAD
VECM(k)
k
k
i =1
j =1
k
k
i =1
j =1
∆St = α s + ∑ ϕ si ∆St −i + ∑ β sj ∆Ft − j + γ s ECM t −1 +ε st
∆Ft = α f + ∑ ϕ fi ∆St −i + ∑ β fj ∆Ft − j + γ f ECM t −1 +ε ft
ECM t −1 = St −1 − b0 − b1 Ft −1
h =
*
1
cov (ε st , ε ft )
var (ε ft )
SKAD
 ∆St   µ s  ε st 
 ∆F  =  µ  + ε 
 t   f   ft 
MGARCH
ε st 
ε  ℑt −1 ~ N ( 0, H t )
 ft 
*
1,t +1
h
=
hsf ,t
h ff ,t
h12,t
=
h22,t
dynamika współczynnika wynika ze zmiennej w czasie
macierzy kowariancji, a takŜe zbioru danych, na
podstawie którego dokonuje sie estymacji parametrów
SKAD
Proponuje się takŜe modele, które zawierają
zarówno VECM, jak i MGARCH.
Analizuje się takŜe modele wykorzystujące
koncepcję funkcji powiązań.
SKAD
 ∆St   µ s  ε st 
 ∆F  =  µ  + ε 
 t   f   ft 
punkt wyjścia…
ε st 
ℑ
~
N
0,
H
(
ε  t −1
t)
 ft 
*
1,t +1
h
=
hsf ,t
h ff ,t
h12,t
=
h22,t
SKAD
VECH(1,1)
model VECH(1,1)
vech ( H t ) = W + Avech ( εTt −1ε t −1 ) + Bvech ( H t −1 )
2
ω

h11,t   11  a11 a12 a13  ε1,t-1  b11 b12 b13  h11,t-1
 


  = ω  + 


h
a
12,t
21 a22 a23 ε 1,t-1ε 2,t-1 + b21 b22 b23
12
    


 h12,t-1
h22,t  ω22  a31 a32 a33  ε 22,t-1  b31 b32 b33 h22,t-1
SKAD
Problemy
Problemy:
1) liczba parametrów modelu
 N ( N + 1)  
N ( N + 1) 

 1 + ( p + q )

2
2



N
liczba parametrów
modelu VECH
2
21
3
78
4
210
5
465
6
903
2) konieczność zapewnienia dodatniej określoności
macierzy Ht
3) konieczność zapewnienia stacjonarności macierzy Ht
Σ = E [ H]
SKAD
DVECH
Diagonal VECH model
Bollerslev, Engle, Wooldridge, 1988
N ( N + 1)
(1 + P + Q )
2
h11,t  ω11  a11 0 0   ε12,t-1  b11 0 0  h11,t-1

 
  = ω  +  0 a



0
+
0
b
0
22
22
h12,t   12  
 ε1,t-1ε 2,t-1 
 h12,t-1
h22,t  ω22   0 0 a33   ε 22,t-1   0 0 b33  h22,t-1
h11,t = ω11 + a ε
2
11 1,t −1
+ b11h11,t −1
h12 ,t = ω12 + a22ε1,t −1ε 2 ,t −1 + b22 h12 ,t −1
h22 ,t = ω22 + a33ε 22,t −1 + b33h22 ,t −1
brak efektu przenikania zmienności pomiędzy
instrumentami, rynkami, itp.
SKAD
N
DVECH
VECH
2
9
21
3
18
78
4
30
210
5
45
465
6
63
903
BEKK
BEKK: Baba,Engle,Kroner,Kraft (1995)
Ht = W W + A ε ε A + B Ht −1B
*T
*
*T
T
t −1 t −1
N ( N + 1)
2
+ ( p + q) N
2
gdy H1 jest dodatnio określona
model gwarantuje dodatnią
określoność dla t>1
*
*T
*
N
liczba
parametrów
modelu
BEKK(1,1)
liczba
parametrów
modelu
VECH(1,1)
2
11
21
3
24
78
4
42
210
5
65
465
6
93
903
SKAD
Inne modele BEKK
inne modyfikacje modelu BEKK, to:
diagonal BEKK:
a
A =
0
*
macierz A* i/lub B* są diagonalne
*
11
0
* 
a22 
prosty warunek stacjonarności
scalar BEKK
macierz A* i/lub B* są macierzami skalarnymi
*

a
*
A = *
a
SKAD
a 
*
a 
*
CCC
Model stałych korelacji warunkowych
constant conditional correlation - CCC, Bollerslev (1990)
H t = Dt RDt
 1

R=

ρ
 N1



Dt = 



1
⋱
0
0
h22,t
0
⋯
⋱



1 






hNN ,t 
0
+ β ii hii ,t −1
hij ,t = ρij hii ,t h jj ,t
ρ12 ⋯ ρ1N 
h11,t
⋮
hii ,t = ωii + α ε
2
ii i ,t −1
N
liczba
parametrów
modelu CCC(1,1)
liczba
parametrów
modelu
BEKK(1,1)
liczba
parametrów
modelu
VECH(1,1)
2
7
11
21
3
12
24
78
4
18
42
210
5
25
65
465
6
33
93
903
SKAD
METODA ŚREDNIEJ WAśONEJ WYKŁADNICZO
∞
H t +1 = (1 − λ ) ε ε + λ H t = (1 − λ ) ∑ λ ε
T
t t
hii ,t +1 ≃
1
N −1
l
λ
∑
l =0
h12 ,t +1 ≃
N −1
N −1
k =0
k =0
k 2
k 2
λ
ε
≈
1
−
λ
λ
∑ i ,t −k ( ) ∑ ε i ,t −k
1
N −1
k =o
k T
t −k
l
λ
∑
N −1
N −1
k =0
k =0
k
k
1
λ
ε
ε
≈
−
λ
λ
∑ 1,t −k 2 ,t −k ( ) ∑ ε1,t −k ε 2 ,t −k
l =0
SKAD
⋅ εt −k
Problemy praktyczne:
- konieczność stworzenia tzw. kontynuowanego szeregu
futures (perpetual futures time series)
- liczba obserwacji
- ciągle brak prostego w uŜyciu oprogramowania,
(estymacja modeli z duŜą liczbą parametrów oraz
warunków – dodatniookreśloność, stacjonarność)
- asynchroniczność danych
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
XI
XII
marzec
czerwiec
wrzesień
grudzień
marzec
czerwiec
SKAD
>
>
Kontrakt syntetyczny z symbolem WS (np FW20WS) odpowiada
rzeczywistym cenom jakie wystąpiły w danym okresie na kontrakcie
z najbliŜszym terminem wygasania. Taka metodologia prowadzi do
powstania na wykresie luk, związanych z wygasaniem serii i
przejściem na nową.
SKAD
Dla kontraktu synetycznego bez symbolu (np. FW20) źródłem są
notowania kontraktu FW20XX o największej liczbie otwartych
pozycji. Po zmianie 'źródła' na kolejną serię, dane historyczne
korygowane są o lukę wynikającą ze 'skokowego przejścia.
Takie podejście powoduje, Ŝe historyczne dane ( z wyjątkiem
ostatnich, przy aktualnej serii) nie są danymi rzeczywistymi.
SKAD
Przykład empiryczny
Próbę do badań stanowiły szeregi kursów indeksu
WIG20 oraz stworzonego syntetycznego
(kontynuowanego) kontraktu futures FW20.
Okres badawczy stanowiło 1500 obserwacji dziennych
z dni od 2002-09-20 do 2008-09-10.
Parametry modeli oraz prognozy jednodniowe wartości
macierzy kowariancji szacowane były codziennie z
ostatnich dostępnych 1000 danych.
Efektywność strategii oceniano dla 500 dni.
SKAD
Z punktu widzenia kryteriów ekonometrycznych najlepszym
modelem był zazwyczaj model DVECH oraz CC.
SKAD
500 dni testowych
Metoda estymacji h
wariancja zmiany
wartości portfela
redukcja
ryzyka w %
ranking
metod
bez zabezp. h=0
1243,25
0
12
zabezp. naiwne h=1
262,4293
0,788917
11
prosta regresja
EWMA (0.965)
258,4456
248,3628
0,792121
0,800231
10
1
full BEKK – N
255,506
0,794485
9
diag BEKK – N
253,3218
0,796242
7
scalar BEKK – N
249,8075
0,799069
4
diag VECH – N
251,6696
0,797571
5
CC GARCH
248,4718
0,800143
2
full BEKK – S
252,7386
0,796711
6
diag BEKK – S
253,3218
0,796242
7
scalar BEKK - S
249,5769
0,799254
3
SKAD
Metoda estymacji h
T1
T2
T3
T4
T5
R1
R2
bez zabezp. h=0
12
12
12
12
12
12
12
zabezp. naiwne h=1
11
3
1
11
11
9
11
prosta regresja
10
11
11
1
10
11
10
EWMA (0.965)
8
2
5
2
9
4
1
full BEKK – N
9
10
9
9
3
10
9
diag BEKK – N
5
8
7
7
7
7
7
scalar BEKK – N
3
6
2
4
5
2,5
4
diag VECH – N
7
7
3
5
6
6
5
CC GARCH
1
1
6
6
2
1
2
full BEKK – S
2
4
10
10
1
5
6
diag BEKK – S
5
8
7
7
7
7
7
scalar BEKK - S
4
5
4
3
4
2,5
3
SKAD
Metoda estymacji h
min
max
średni
var(∆h)
×1000
bez zabezp. h=0
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
zabezp. naiwne h=1
1,0000
1,0000
1,0000
0,0000
prosta regresja
EWMA
0,8475
0,7620
0,9137
1,1084
0,8857
0,9308
0,0004
0,1043
full BEKK – N
0,7035
1,1943
0,9196
1,7214
diag BEKK – N
0,7102
1,1494
0,9199
0,3523
scalar BEKK – N
0,7241
1,1051
0,9266
0,2232
diag VECH – N
0,7033
1,2921
0,9194
0,7205
CC GARCH
0,7112
1,1867
0,9254
0,4146
full BEKK – S
0,7143
1,2043
0,9302
1,3190
diag BEKK – S
0,7101
1,1466
0,9241
0,3104
scalar BEKK - S
0,7347
1,1079
0,9318
0,1907
SKAD
wartości współczynników zabezpieczenia
SKAD
wybrane szeregi
SKAD
Podsumowanie:
1)najprostsze modele okazały się najlepsze z punktu
widzenia redukcji wariancji wartości portfela w całej próbie
testowej,
2)w podpróbach wyniki nie są juŜ tak jednoznaczne, choć
wartości miary efektywności strategii są bardzo zbliŜone,
3)dla modelu EWMA zmiany liczby kontraktów z dnia na
dzień okazały się najmniejsze, co jednocześnie zmniejsza
koszty transakcyjne
Sugerowana metoda: średnia waŜona wykładniczo
SKAD
Kierunki dalszych badań
EWMA oraz:
1)uwzględnienie kointegracji szeregów
2)analiza wyników dla innych technik tworzenia
szeregu kontynuowanego kursów futures
3)analiza efektywności strategii dla dłuŜszych
horyzontów zabezpieczania
4)uwzględnienie technik odpornych na obserwacje
nietypowe
SKAD
Krzysztof Piontek
Wydział Zarządzania, Informatyki i Finansów
Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem
Zastosowanie wielowymiarowych
modeli GARCH do szacowania
współczynnika zabezpieczenia
dla kontraktów futures na WIG20
Dziękuję za uwagę
SKAD

Zastosowanie wielowymiarowych modeli GARCH do szacowania

Transkrypt

Podobne dokumenty

strona z katalogu

fuskj jbmbd gccre eadsf

jastrzębia góra camp jastrzębia góra camp - Pol

LATO 2015 - Primavera Jastrzębia Góra