n - Instytut Matematyki UJ

Zestaw I
I. Niech symbol
n
k oznacza liczb¦ ró»nych podzbiorów
k -elementowych zbioru n-elementowego.
nij prawdziwo±¢ poni»szych równo±ci nie odwoªuj¡c si¦ do wzorów opisuj¡cych warto±¢
Uzasad-
n
k , a jedynie
w oparciu o powy»sz¡ denicj¦.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f )
n
0 +
n
0 +
n
1 +
n 2
+
0
n
k =
n
k +
n
n
n
n
1 + 2 + ... + n = 2
n
n
n−1
2 + 4 + ... = 2
n
n
n−1
3 + 5 + ... = 2
2
2
n 2
+ n2 + . . . + nn =
1
n
n−k
n
n+1
k+1 = k+1
2n
n
II. Uzasadnij wzory na liczb¦ permutacji zbioru
zbioru
n-elementowego,
liczb¦ podzbiorów
k -elementowych
n-elementowego.
A = A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An . Uzasadnij wzór
X
X
X
#A =
#Ai −
#(Ai ∩ Aj ) +
#(Ai ∩ Aj ∩ Ak ) − . . . − (−1)n #(A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An ).
III. Niech
1≤i≤n
IV. Rozkªadamy w
1≤i<j≤n
n
1≤i<j<k≤n
rozró»nialnych szuadach
k
elementów. Na ile sposobów mo»na to zrobi¢, je±li
(a) elementy s¡ rozró»nialne;
(b) elementy s¡ nierozró»nialne;
(c) elementy s¡ rozró»nialne i »adna z szuad nie mo»e pozosta¢ pusta;
(d) elementy s¡ nierozró»nialne i »adna z szuad nie mo»e pozosta¢ pusta;
Spróbuj znale¹¢ odpowied¹ dla analogicznego zadania, w którym szuady równie» s¡ nierozró»nialne.
V. Przy okr¡gªym stole stoi 6 krzeseª. Na ile sposobów da si¦ na nich posadzi¢ 2 Anglików, 2 Francuzów
i 2 Turków, tak aby osoby tej samej narodowo±ci nie siedziaªy obok siebie?
VI. Ile jest permutacji liczb
(a) liczby
1i2
(b) liczby
1, 2, 3
1, 2, . . . , n
w których
nie s¡siaduj¡ ze sob¡,
nie tworz¡ trzech kolejnych wyrazów (niezale»nie od porz¡dku).
VII. Mamy szachownic¦ o wymiarach
5 × 5.
W prawym górnym polu szachownicy znajduje si¦ mysz, w
lewym dolnym polu kot. Mysz mo»e si¦ porusza¢ jedynie w dóª lub w lewo (o jedno pole), za± kot
jedynie w gór¦ lub w prawo (te» o jedno pole). Gdy które± ze zwierz¡t ma mo»liwo±¢ wyboru jednego
z dwóch posuni¦¢, dokonuje go z prawdopodobie«stwem
1
2 . Zwierz¦ta wykonuj¡ ruchy jednocze±nie.
Kot zjada mysz, gdy stan¡ razem na jednym polu. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e mysz zostanie
po»arta?
7 × 7. W lewym dolnym rogu szachownicy znajduje si¦ mysz, za±
(3, 3), (3, 5), (5, 3) i (5, 5) siedz¡ i cierpliwie czekaj¡ cztery koty. Mysz mo»e
VIII. Mamy szachownic¦ o wymiarach
na polach o numerach
porusza¢ si¦ jedynie w gór¦ lub w prawo, w ka»dym ruchu o jedno pole. Mysz ginie, gdy stanie na
polu zaj¦tym przez kota. Ile jest ró»nych dróg, którymi mysz mo»e dotrze¢ szcz¦±liwie do prawego
górnego rogu szachownicy?
IX. Przez pustyni¦ idzie karawana zªo»ona z pi¦ciu wielbª¡dów.
Na ile sposobów mo»na zmieni¢ kolej-
no±¢ wielbª¡dów w karawanie tak, aby bezpo±rednio przed »adnym wielbª¡dem nie szedª ten sam co
poprzednio?
X. Na ile sposobów mo»na wypeªni¢ kupony losowa« w ró»nych grach losowych Lotto?
Zestaw II
I. Iloma sposobami mo»na podzieli¢
m·n
przedmiotów na
m
zbiorów, z których ka»dy zawiera
n
ele-
mentów?
II. Kostk¦ rzucamy
10
razy. Tak otrzymany zbiór liczb (nieuporz¡dkowany) nazywamy losowaniem.
(a) Ile jest ró»nych losowa«?
(b) W ilu losowaniach nie wyst¦puje
6?
(c) W ilu losowaniach
6
wyst¦puje dokªadnie 3 razy?
(d) W ilu losowaniach
6
wyst¦puje co najwy»ej 3 razy?
(e) W ilu losowaniach
6
wyst¦puje parzyst¡ liczb¦ razy?
III. Na ile sposobów da si¦ uªo»y¢ z liczb
1, 2, 3, 4 i 5 ci¡g o dªugo±ci 10, tak aby:
ka»da liczba wyst¦powaªa
dokªadnie dwa razy i dwie takie same liczby nie znajdowaªy si¦ w ci¡gu obok siebie.
IV. Ile jest czterocyfrowych liczb naturalnych o sumie cyfr podzielnej przez 5?
V. Jaka jest szansa, »e w 14-osobowej grupie dwie maj¡ urodziny tego samego dnia?
VI. Na póªce stoi 12 ksi¡»ek.
Na ile sposobów mo»na wybra¢ 5 ksi¡»ek z póªki, tak aby nie zabiera¢
»adnych dwóch stoj¡cych wcze±niej obok siebie?
VII. Ile jest liczb caªkowitych dodatnich mniejszych od 1000 oraz niepodzielnych przez
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
i 11?
VIII. W szae znajduje si¦ 10 par butów. Losujemy z niej 4 buty. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e w±ród
wylosowanych butów znajdzie si¦ przynajmniej jedna para?
IX. Niech
(Ω, Σ, P )
(a) Je±li
b¦dzie przestrzeni¡ probabilistyczn¡,
A, B, C ∈ Σ.
Wyka» nast¦puj¡ce twierdzenia:
A ∪ B ∪ C = Ω, P (B) = 2P (A), P (C) = 3P (A), P (A ∩ B) = P (B ∩ C)
1
8,
1
1
6 oraz P (A ∩ C) = 24 , to
1
1
1
(c) Je±li (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ B , P (B) =
8 i P (C) = 6 , to P (B ∪ C) ≥ 4 .
1
1
0
0
(d) Je±li B ∩ C = A ∪ (A ∩ B ) i P (B) = , to P (C) ≥ .
2
3
(b) Je±li
(A ∩ B) ∪ (B ∩ C) = B , P (A) =
P (C) =
to
1
6
≤ P (A) ≤
P (B) ≤
1
4.
1
4.
Metoda funkcji tworz¡cych (schemat)
(an ) speªniaj¡cego pewn¡ zale»no±¢. Zakªadamy,
»e
P
i
F (x) = ∞
a
x
i=0 i .
Zauwa»my, »e pewne operacje na funkcji F zmieniaj¡ te wspóªczynniki w znany sposób, np: xF (x) ma
0
te same wspóªczynniki, ale przesuni¦te o 1 i uzupeªnione na pocz¡tku o 0; F (x) ma ci¡g wspóªczynników
P
n
2
w postaci ((n + 1) · an+1 ); F (x) ma ci¡g wspóªczynników w postaci (
i=0 ai · an−i ), itp. Naszym celem jest
Zaªó»my, »e poszukujemy pewnego ci¡gu liczbowego
wyrazy tego ci¡gu s¡ wspóªczynnikami w rozwini¦ciu pewnej funkcji w szereg pot¦gowy:
znalezienie funkcji, której wspóªczynniki b¦d¡ speªniaªy zadan¡ zale»no±¢, co sprowadza si¦ do rozwi¡zania
pewnego równania algebraicznego, ró»niczkowego, lub innego typu.
Przykªad 1. Szukamy ci¡gu speªniaj¡cego zale»no±¢
dzie zale»no±¢
F (x) =
P∞
i
i=0 ai x .
przy zerowej pot¦dze równy 0, przy pierwszej:
si¦ zeruj¡, wi¦c
F (x) − xF (x) −
Po znalezieniu funkcji
F
an = an−1 +an−2 , a0 = 0, a1 = 1. Niech speªniona b¦F (x) − xF (x) − x2 F (x) b¦dzie miaªa wspóªczynnik
Zauwa»my, »e funkcja
x2 F (x)
= x.
1,
za± przy pozostaªych wyrazach wszystkie wspóªczynniki
To znaczy, »e musi by¢
F (x) =
x
.
1 − x − x2
pozostaje znale¹¢ jej wspóªczynniki. Dla niektórych funkcji mo»na czasem je
zgadn¡¢, znale¹¢ w tablicach lub wyliczy¢ korzystaj¡c ze wzoru Taylora.
Przykªad 2. W przykªadzie 1 mo»emy rozpisa¢
x
(1 −
1
1−
√
= √15
1+ 5
− 2 )
√
= 1 + 1+2 5 x +
√
1− 5
2 )(1
√
1+ 5
2 x
F (x) =
√1
5
√
1+ 5
2
−
1
F
1
jako sum¦ uªamków prostych:
!
F (x) =
x
=
1 − x − x2
√
√
−
. Ze wzoru na sum¦ szeregu geometrycznego mamy
1+ 5
1 − 1−2 5 x
2 x
√
√
√
1
√
( 1+2 5 )2 x2 + . . . oraz
= 1 + 1−2 5 x + ( 1−2 5 )2 x2 + . . . a zatem
1− 5
1 −
2 x
√ √ √
2
2
1− 5
1+ 5
1− 5
2
x+
−
x + . . . co znaczy, »e szukanym wzorem jest
2
2
2
1−
1
an = √
5
√ !n
1+ 5
−
2
λk =
ka»de rozwi¡zanie rekurencji jest
an =
Pk
i=1 wi an−i mo»na rozpatrywa¢ równanie
w
a
.
Je±li
pierwiastki
tego równania λi s¡ wszystkie ró»ne, to
i=1 i k−i
Pk
(i)
n
n
postaci an =
i=1 αi λi . Wynika to st¡d, »e ka»dy ci¡g postaci bn = λi
W przypadku, gdy równanie rekurencyjne jest postaci
charakterystyczne w postaci
√ !n !
1− 5
.
2
Pk
jest rozwi¡zaniem rekurencji; równie» ka»da kombinacja liniowa jest rozwi¡zaniem. Ponadto dla ró»nych
λi
ci¡gi
(i)
(bn )
s¡ liniowo niezale»ne i mo»na znale¹¢ tak¡ ich kombinacj¦, która speªnia ka»dy warunek
pocz¡tkowy.
Prosz¦ pomy±le¢ co si¦ zmienia, gdy równanie charakterystyczne ma wielokrotne pierwiastki.
Przykªad 3. W przykªadzie 1 równaniem charakterystycznym jest
α2 = −α1 .
Dla
n=1
i ma pierwiastki
√
1± 5
2 ,
√ n
√ n
1+ 5
1− 5
+
α
. Wstawiaj¡c n = 0 dostaniemy α1 + α2 = 0,
2
2
2
√
√
√
√
√
1+ 5
1− 5
1+ 5
1− 5
z kolei jest 1 = α1
(
+
α
=
α
−
2
1
2
2
2
2 ) = α1 5, co daje to samo
a wi¦c rozwi¡zania s¡ postaci
czyli
λ2 − λ − 1 = 0
rozwi¡zanie, co poprzednio.
an = α1
Zestaw III
I. Znajd¹ ogólny wyraz ci¡gu okre±lonego rekurencyjnie:
(a)
x0 = 0, x1 = 1, xn+2 = 7xn+1 − 12xn ;
(b)
x0 = x1 = x2 = 1, xn+3 = 2xn+2 − xn+1 + 2xn .
II. W ilu permutacjach liczb
1, . . . , n
»adna z liczb nie stoi na swoim miejscu?
III. Na ile sposobów mo»na szachownic¦ wymiaru
IV. Ile jest ci¡gów dªugo±ci
n
n×2
pokry¢ kostkami domina o wymiarach
1 × 2?
o wyrazach 0 i 1 oraz tej wªasno±ci, »e »adne 3 kolejne wyrazy ci¡gu nie s¡
takie same?
V. Ile jest ci¡gów
suma
Pk
{ai }ni=1
dªugo±ci
n
o wyrazach
1, 2, 3
oraz tej wªasno±ci, »e dla »adnego
k = 1, 2, . . . , n
i=1 ai nie jest podzielna przez 3?
VI. Na ile sposobów da si¦ rozmie±ci¢ nawiasy w iloczynie
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7
w taki sposób, aby ich ukªad okre±laª jednoznacznie sposób wykonywania mno»enia?
Przykªadowe rozmieszczenia nawiasów:
((a1 a2 )(a3 a4 ))(a5 (a6 a7 ));
(((a1 a2 )a3 )(a4 (a5 a6 )))a7 ,
VII. Na ile sposobów da si¦ rozmie±ci¢ nawiasy w wyra»eniu
a1 : a2 : a3 : a4 : a5 : . . . : an
uzyskuj¡c wyra»enia opisuj¡ce ró»ne funkcje
n
zmiennych?
VIII. Na póªce stoi 20 ksi¡»ek. Na ile sposobów mo»na wybra¢ pewn¡ liczb¦ ksi¡»ek z póªki, tak aby »adne
dwie z nich nie staªy obok siebie?
IX. Dany jest odcinek
AB
o dªugo±ci
l.
Wybieramy na nim losowo poªo»enie dwóch punktów:
Znale¹¢ prawdopodobie«stwo, »e punkt
X. Dany jest patyk o dªugo±ci
a.
C
b¦dzie bli»ej punktu
A
ni» punktu
C
i
D.
D.
Šamiemy go losowo na trzy cz¦±ci. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e
da si¦ z tych cz¦±ci uªo»y¢ trójk¡t?
XI. Wybieramy losowo trzy odcinki o dªugo±ci nie wi¦kszej od
a.
Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e da
si¦ z tych odcinków uªo»y¢ trójk¡t?
XII. Dany jest okr¡g o promieniu
R.
Wybieramy losowo trzy punkty. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e
trójk¡t przez nie zadany jest ostrok¡tny?
XIII. Ola i Jola umówiªy si¦ mi¦dzy 12 a 13 w centrum miasta; ta, która przyjdzie pierwsza, czeka 15 minut.
Jola ju» wie, »e przed 12:30 na pewno nie przyjdzie. Jaka jest szansa, »e dojdzie do spotkania?
x2 + 2bx + a = 0 s¡ rzeczywiste,
je»eli warto±ci wspóªczynników s¡ jednakowo mo»liwe dla warto±ci z prostok¡ta |a| ≤ n, |b| ≤ m. Jakie
XIV. Znale¹¢ prawdopodobie«stwo, »e pierwiastki równania kwadratowego
jest prawdopodobie«stwo, »e przy wskazanych warunkach pierwiastki b¦d¡ ujemne?
Zestaw IV
I. Wyobra¹my sobie
ciaªo decyzyjne, w którym uczestniczy n podmiotów tworz¡cych zbiór I = {1, ..., n}.
wi¦kszo±ci¡ kwalikowan¡ wedªug nast¦-
Ciaªo to podejmuje decyzje w wyniku wa»onego gªosowania
puj¡cych reguª:
•
ka»dy podmiot
k (k ∈ I )
•
decyzja zostaje podj¦ta, je»eli suma oddanych za ni¡ gªosów osi¡ga co najmniej próg
ma przypisan¡ pewn¡ liczb¦ gªosów (wag¦ gªosu)
jest ustalon¡ liczb¡ speªniaj¡c¡ warunek
Taki
system decyzyjny
q>
1
2
wk > 0;
q,
gdzie
q
Pn
i=1 wi .
b¦dziemy oznacza¢ symbolicznie przez
[q; w1 , . . . , wn ].
Zaªó»my ponadto, »e
ka»dy z podmiotów bior¡cych udziaª w gªosowaniu mo»e gªosowa¢ przy podejmowaniu decyzji jedynie
tak lub nie, oraz »e ka»dy z mo»liwych
(model Bernoullego).
2n
wyników gªosowania jest jednakowo prawdopodobny
Mówimy, »e w danym gªosowaniu podmiot
zmiana warto±ci gªosu tego podmiotu zmienia wynik gªosowania.
(k
∈ I ).
k (k ∈ I ) jest krytyczny, je»eli
Niech bk := P (k jest krytyczny)
Wielko±ci te nazywamy absolutnym wspóªczynnikiem Banzhafa podmiotu k. Znormalizowany
wspóªczynnik Banzhafa podmiotu
k
dany jest wzorem
P
βk := ( ni=1 bi )−1 bk .
Oczywi±cie
Pn
i=1 βi
= 1.
Wielko±ci te mierz¡ siª¦ gªosu danego podmiotu.
a. Poka», »e dla
bk = P (k
k∈I
zachodz¡ równo±ci:
jest krytyczny|k gªosowaª tak )
lub (do wyboru) poka», »e dla
P (wynik
k∈I
= P (k
jest krytyczny|k gªosowaª nie )
zachodzi równo±¢:
gªosowania byª zgodny z decyzj¡k)
=
Mówimy, »e wynik gªosowania byª zgodny z decyzj¡
1 + bk
.
2
k,
je»eli
k
gªosowaª tak i decyzja przeszªa lub
k
gªosowaª nie i decyzja nie przeszªa.
βk (k = 1, ...6) dla podmiotów w systemie decyzyj[12; 4, 4, 4, 2, 2, 1]. System taki obowi¡zywaª w Radzie Wspólnot Europejskich w latach 19581972.
b. Oblicz znormalizowane wspóªczynniki Banzhafa
nym
W Radzie tej poszczególne pa«stwa otrzymaªy nastepuj¡c¡ liczb¦ gªosów wa»onych: Niemcy - 4, Francja - 4, Wªochy - 4, Holandia - 2, Belgia - 2, Luksemburg - 1.
Decyzja podejmowana na wniosek
Komisji Europejskiej zapadaªa, gdy liczba oddanych za ni¡ gªosów wynosiªa co najmniej 12.
c. Przy zaªo»eniu, »e ka»dy z mo»liwych wyników gªosowania byª w tym przypadku jednakowo prawdopodobny oblicz prawdopodobie«stwo, »e w danym gªosowaniu Wªochy gªosowaªy tak, je»eli wiemy,
»e w tym gªosowaniu gªos Holandii byª krytyczny.
II. Ile jest prostopadªo±cianów o caªkowitych dªugo±ciach kraw¦dzi i obj¦to±ci
III. W wyborach wzi¦ªo udziaª dwóch kandydatów:
przy czym
p > q.
P i Q. P
otrzymaª
106 ?
p gªosów, za± Q otrzymaª q
gªosów,
Gªosy obliczaªa jedna osoba w jednej komisji. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e w
ci¡gu obliczania gªosów
P
stale prowadziª?
Zestaw V
I. W urnie znajduj¡ si¦ dwie biaªe i trzy czarne kule.
Dwaj gracze, po kolei, wyci¡gaj¡ z urny po
jednej kuli ze zwracaniem (bez zwracania). Wygra ten, który pierwszy wyci¡gnie kul¦ biaª¡. Znale¹¢
prawdopodobie«stwo, »e wygra pierwszy gracz.
II. Dwóch strzelców, dla których prawdopodobie«stwa traenia do celu wynosz¡ odpowiednio 0,7 i 0,8;
oddaje po jednym strzale. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e cel zostaª traony.
III. Na strzelnicy jest dziewi¦¢ strzelb, z których tylko dwie s¡ dobre. Prawdopodobie«stwo traenia do
celu z dobrej strzelby wynosi 0,8, a ze strzelby wadliwej 0,1.
Strzelono z wzi¦tej na chybiª traª
strzelby i traono do celu. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e strzelano z dobrej strzelby i »e strzelano
z wadliwej strzelby.
IV. Prawdopodobie«stwo traenia do celu przy ka»dym strzale dla trzech strzelców s¡ równe odpowiednio
2
4 3
5 , 4 i 3 . Wszyscy trzej strzelcy równocze±nie strzelili i dwóch z nich traªo do celu. Obliczy¢
prawdopodobie«stwo, »e chybiª trzeci strzelec.
V. S¡ dwie kostki symetryczne i jedna obci¡»ona, na której szóstka wypada z prawdopodobie«stwem
1/10, a pozostaªe wyniki maj¡ równe szanse.
Wybrano losowo kostk¦ i w 7 rzutach nie uzyskano ani jednej szóstki. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo,
»e kostka jest obci¡»ona.
Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e w rzucie dwiema losowo wybranymi kostkami nie wypadnie ani
jedna szóstka?
VI. W czasie lotu z Warszawy do Auckland pasa»erowie trzykrotnie zmieniaj¡ samolot. Prawdopodobie«stwa zagini¦cia baga»u w trzech kolejnych miejscach przesiadki wynosz¡ odpowiednio:
10%.
40%, 20%
i
W Auckland okazaªo si¦ »e mój baga» nie dotarª ze mn¡ do miejsca przeznaczenia. Jakie jest
prawdopodobie«stwo, »e utkn¡ª w drugim z portów lotniczych?
VII. Losujemy niezale»nie dwie liczby z odcinka
[0, 1].
Je»eli mniejsza z nich jest mniejsza ni»
3
prawdopodobie«stwem wi¦ksza z nich jest wi¦ksza ni» .
4
1
4 , to z jakim
VIII. Do poszukiwania zaginionego rozbitka przydzielono 20 helikopterów. Ka»dy z nich mo»na skierowa¢ do
jednego z dwóch rejonów, w których mo»e, z prawdopodobie«stwem odpowiednio
1 1
3 i 6 , znajdowa¢ si¦
poszukiwany rozbitek. Ka»dy helikopter wykrywa znajduj¡cego si¦ w rejonie poszukiwania rozbitka
z prawdopodobie«stwem
q = 1−
√
10
0, 5
i dokonuje tego niezale»nie od pozostaªych helikopterów.
Rozstrzygnij, jak nale»y rozdzieli¢ helikoptery pomi¦dzy rejony poszukiwa«, »eby prawdopodobie«stwo
znalezienia rozbitka byªo jak najwi¦ksze.
IX. Pewien egzamin sklada si¦ z czterech kolejnych testów.
pierwszy test wynosi
p (0 < p < 1),
poprzedni, czy te» nie.
za± »e zda kolejny
Prawdopodobie«stwo, »e pan Brown zda
p
lub
p
2 , w zale»no±ci od tego czy zdaª
Pan Brown zda egzamin je»eli zda co najmniej trzy testy; zda na ocen¦
A, je»eli zda co najmniej trzy testy pod rz¡d.
Wiemy ju», »e pan Brown zdaª egzamin.
Jakie jest
prawdopodobie«stwo, »e otrzymaª ocen¦ A?
X. ›ona ma grup¦ krwi 0, a m¡» AB. Maj¡ oni bli¹ni¦ta dwóch chªopców o grupie krwi B. Oblicz
prawdopodobie«stwo, »e s¡ to bli¹ni¦ta jednojajowe, wiedz¡c, »e
bli¹ni¦ta ró»nopªciowe?
32% par wszystkich bli¹ni¡t stanowi¡
Zestaw VI
Σ
I. Niech
b¦dzie
σ−algebr¡
podzbiorów niepustego zbioru
Ω.
Udowodni¢, »e odwzorowanie
P :Σ→R
jest rozkªadem prawdopodobie«stwa wtedy i tylko wtedy, gdy
P (A) ≥ 0 dla ka»dego A ∈ Σ,
P (Ω) = 1,
c) dla ka»dych A, B ∈ Σ je»eli A ∩ B = ∅, to P (A ∪ B) = P (A) + P (B),
∞
d) dla ka»dego ci¡gu zst¦puj¡cego (An )n=1 zdarze« losowych zachodzi równo±¢
a)
b)
P(
∞
\
An ) = lim P (An )
n→∞
n=1
II. Udowodni¢, »e je»eli
P (A|B) > P (A)
to
P (B|A) > P (B).
A, B , C s¡ parami niezale»ne, ale wszystkie trzy nie mog¡
P (A) = P (B) = P (C) = x. Znajd¹ najwi¦ksz¡ mo»liw¡ warto±¢ x.
III. Zdarzenia
IV. Zaªó»my, »e zdarzenia
AiB
AiC
s¡ niezale»ne oraz, »e zdarzenia
si¦ wykluczaj¡. Pokaza¢, »e zdarzenia
A∪B i C
BiC
zaj±¢ równocze±nie. Ponadto
s¡ niezale»ne, natomiast zdarzenia
s¡ niezale»ne.
V. Poka» przykªad zdarze«, które s¡ parami niezale»ne, ale nie s¡ niezale»ne.
Czy istniej¡ zdarzenia o prawdopodobie«stwach w przedziale
(0, 1)
takie, »e prawdopodobie«stwo ich
przeci¦cia jest równe iloczynowi prawdopodobie«stw, ale nie s¡ niezale»ne?
VI. Które pary zdarze« s¡ niezale»ne?
(a) Dwie osoby rzucaj¡ kostkami sze±ciennymi.
A : pierwsza osoba ma wi¦cej oczek; B : druga osoba
ma parzyst¡ liczb¦ oczek.
A : suma oczek jest podzielna przez 3, B : ró»nica jest
C : ró»nica jest podzielna przez 2.
n monet. A : wypadªa parzysta liczba orªów, B : wypadªo wi¦cej orªów, ni» reszek.
(b) W rzucie 2 kostkami sze±ciennymi.
podzielna przez 3,
(c) W rzucie
VII. Informacje przekazuje si¦ za pomoc¡ telegrafu, nadaj¡c sygnaªy `−' i `•'.
przeszkód s¡ takie, »e ±rednio
Statystyczne wªasno±ci
1
2
5 sygnaªów `−' i 3 sygnaªów `•' zostaje znieksztaªconych. Wiadomo, »e
w±ród przekazanych sygnaªów `−' i `•' wyst¦puj¡ w stosunku
5 : 3.
Oblicz prawdopodobie«stwo, »e
odebrane sygnaªy `−' i `•' w rzeczywisto±ci byªy te» nadane odpowiednio jako `−' i `•'.
VIII. W jednej z dwóch urn, w których jest po 10 kul, jedna z kul jest zaznaczona.
Graj¡cy ma prawo
wyci¡gn¡¢ kolejno 20 kul z dowolnej urny, zwracaj¡c za ka»dym razem wyci¡gni¦t¡ kul¦.
Jak na-
le»y prowadzi¢ gr¦, aby prawdopodobie«stwo wyci¡gni¦cia zaznaczonej kuli byªo najwi¦ksze, je»eli
prawdopodobie«stwo, »e zaznaczona kula znajduje si¦ w pierwszej urnie, jest równe
2
3?
Czemu to
prawdopodobie«stwo jest równe?
IX. Wicemarszaªek parlamentu w pewnym egzotycznym kraju w ka»dym ze swoich niezale»nych wyst¡pie«
na forum izby popeªnia gaf¦ z prawdopodobie«stwem
1
2 . Zniecierpliwieni parlamentarzy±ci postanowili
odwoªa¢ go z peªnionej funkcji, je»eli popeªni dwie gafy pod rz¡d. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e
zostanie on odwoªany dokªadnie po pi¦tnastu wyst¡pieniach?
X. W Kole Matematyków Studentów Pewnej Uczelni odbywaªy si¦ wybory Prezesa. Kandydatów byªo
dwóch: student
A ust¦puj¡cy Prezes i student B .
Wiadomo byªo, »e ka»dy z nich b¦dzie gªosowaª na
siebie. Pozostali czªonkowie Zarz¡du (w liczbie pi¦ciu) do ko«ca wahali si¦ i prawdopodobie«stwo, »e
popr¡ którego± z kandydatów wynosiªo
okazaªo si¦, »e student
dobie«stwa.
B
1
2 . Wybory wygraª student
B.
Jednak»e miesi¡c po wyborach
zataiª przed kolegami fakt niezaliczenia egzaminu z rachunku prawdopo-
W tej sytuacji S¡d Kole»e«ski zarz¡dziª nowe wybory, które maj¡ si¦ odby¢ wkrótce.
Studenci, którzy gªosowali na kandydata
A zamierzaj¡ poprze¢ go powtórnie, za±
B zmieni¡ zdanie wynosi dla ka»dego z
stwo, »e ci którzy gªosowali na kandydata
prawdopodobie«nich
1
3 . Który ze
studentów ma wi¦ksze szanse na zwyci¦stwo w powtórzonych wyborach?
XI. Rzucamy monet¡
n-krotnie.
p. Niech A oznacza
Ak w n rzutach wypadªo dokªadnie k orªów.
(0 ≤ p ≤ 1, 0 ≤ k ≤ n, k, n ∈ N)
Prawdopodobie«stwo wypadni¦cia orªa wynosi
rzenie w pierwszym rzucie wypadª orzeª, za±
jakich
k, n, p
zdarzenia
A i Ak
s¡ niezale»ne?
zdaDla
Zestaw VII
I. Niech
X oznacza liczb¦ reszek wyrzuconych przy n-krotnym
X oraz zmiennej losowej Y = (−1)X .
rzucie monet¡. Poda¢ rozkªad zmiennej
losowej
II. Oblicz czas oczekiwania na
k
sukcesów (szóstek) w rzucie ko±ci¡ do gry. Podaj formaln¡ denicj¦
przestrzeni probabilistycznej i poka», »e funkcja oczekiwania na sukces jest zmienn¡ losow¡.
III. Urna zawiera 2 czarne i 3 biaªe kule. Wyjmujemy losowo z urny po jednej kuli tak dªugo, dopóki nie
wyjmiemy kuli czarnej. Niech
bie«stwa zmiennej losowej
ξ
oznacza liczb¦ kul wyj¦tych z urny. Wyznaczy¢ rozkªad prawdopodo-
ξ.
IV. Rzucamy jedn¡ kostk¡ do gry. Niech zmienna losowa
liczbie oczek modulo
i.
Xi
dla
i = 1, 2, 3, 4, 5
Xi .
przyjmuje warto±¢ równ¡
Zbadaj niezale»no±¢ zmiennych losowych
V. W dziesi¦cioelementowej partii pewnego towaru s¡ dwie sztuki wadliwe. Wylosowano bez zwracania
dwie sztuki. Niech zmienna losowa
losowanych sztuk, za±
Y
X
przyjmuje warto±ci równe liczbie sztuk wadliwych w±ród wy-
przyjmuje warto±¢
1,
je±li nie jest wadliwa. Wyznaczy¢ rozkªad wektora losowego
Y
s¡ niezale»ne. Obliczy¢
0,
X i
je±li pierwsza wylosowana sztuka jest wadliwa, oraz
(X, Y ).
Zbada¢ czy zmienne losowe
P (X + Y = 2).
VI. Rzucamy 5 razy monet¡. Niech
X
oznacza liczb¦ orªów otrzymanych w tych rzutach, za±
Y
dªugo±¢
najdªu»szej serii orªów. (Seri¡ nazywamy ka»dy ukªad le»¡cych koªo siebie elementów jednego rodzaju.)
Czy
X
i
Y
s¡ niezale»ne? Wyznacz rozkªad wektora losowego
(X, Y )
i rozkªady brzegowe.
VII. ‘ciany i wierzchoªki czworo±cianu numerujemy losowo i niezale»nie liczbami 1, 2, 3, 4 w taki sposób,
»e nie ma dwóch wierzchoªków, ani dwóch ±cian o tym samym numerze.
Niech
ξ
oznacza zmienn¡
losow¡ równ¡ liczbie ±cian, dla których istnieje wierzchoªek tej ±ciany o numerze równym jej numerowi.
Znajd¹
Eξ .
VIII. Pewien czªowiek ma dwa pudeªka zapaªek, w lewej i prawej kieszeni po jednym. W ka»dym z nich s¡
cztery zapaªki. Wyci¡gaj¡c zapaªki na chybiª traª z jednej lub drugiej kieszeni, stwierdza w pewnym
momencie, »e pudeªko do którego si¦gn¡ª jest puste. Niech zmienna losowa
w drugim pudeªku. Znajd¹
= 2, 10)
oznacza liczb¦ zapaªek
Eξ .
IX. Losujemy jedn¡ liczb¦ z przedziaªu
(i
ξ
[0, 1].
Niech
X
oznacza jej odlegªo±¢ od bli»szego z ko«ców,
jej pierwsz¡ cyfr¦ w rozwini¦ciu o podstawie
i,
za±
Zi
Yi
- drug¡ cyfr¦. Jakie rozkªady maj¡
powy»sze zmienne? Czy s¡ parami niezale»ne?
X. Dwaj szachi±ci, Robert (Bobby) Fischer (19432008) i Borys Spasski (1937 ), graj¡ mecz zªo»ony
z szeregu partii.
Zakªadamy, »e liczba mo»liwych partii jest nieograniczona, a ka»da z nich ko«czy
si¦ albo zwyci¦stwem biaªych lub czarnych pionków, albo remisem. Zwyci¦zc¦ wyªania si¦ zgodnie z
zasad¡ tzw.
nagªej ±mierci :
wygrywa ten kto pierwszy zwyci¦»y w jednej z partii, czyli mówi¡c inaczej,
gra si¦ do pierwszej rozstrzygni¦tej partii. Gracze graj¡ na zmian¦ biaªymi i czarnymi pionkami, przy
czym w pierwszej partii biaªymi gra Spasski, a czarnymi Fischer. Gdy Fischer gra parti¦ czarnymi
3/10, »e wygra Spasski 2/10, za±
prawdopodobie«stwo, »e partia zako«czy si¦ remisem równa si¦ 5/10. Gdy Fischer gra parti¦ biaªymi
(a wi¦c Spasski czarnymi) prawdopodobie«stwo, »e wygra wynosi równie» 3/10, natomiast, »e wygra
Spasski 1/10, za± partia w tym przypadku ko«czy si¦ remisem z prawdopodobie«stwem 6/10. Na
(a wi¦c Spasski biaªymi) prawdopodobie«stwo, »e wygra wynosi
wynik danej partii nie maj¡ wpªywu wyniki partii ju» rozegranych.
a. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e Fischer wygra mecz?
b. Je»eli wiemy, »e Fischer wygraª mecz, jakie jest prawdopodobie«stwo, »e ostatni¡ parti¦ graª czarnymi?
c. Jaka jest warto±¢ oczekiwana czasu trwania meczu (mierzonego w liczbie partii)?
d. Jaka jest mediana (trzeba wskaza¢ przynajmniej jedn¡) czasu trwania meczu (mierzonego w liczbie
partii)?
Uwaga: prawdopodobie«stwa wyliczono na podstawie przebiegu pierwszych dwudziestu partii sªynnego meczu stulecia o mistrzostwo ±wiata, który Fischer i Spasski w roku 1972 rozegrali w Reykjaviku.
W meczu zwyci¦»yª Bobby Fischer.
Zestaw VIII
I. Losujemy z kwadratu
[0, 1]2
punkt zgodnie z miar¡ Lebesgua.
X
Niech
i
Y
b¦d¡ wspóªrz¦dnymi
wylosowanego punktu. Jaki rozkªad ma
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
X;
min{X, Y };
max{X, Y };
X +Y;
XY ;
X/Y .
X1 i X2 s¡ niezale»ne i maj¡ obie rozkªad geometryczny
Z = max(X1 , X2 ). Znajd¹ rozkªad zmiennej losowej Z .
II. Zmienne losowe
Niech
ξ
III. Zmienna losowa
Eξ =
∞
X
o parametrze
p (0 < p < 1).
przyjmuje tylko warto±ci naturalne. Wyka», »e
P ({ω ∈ Ω : ξ(ω) ≥ k}).
k=1
IV. Niech
(Ω, Σ, P )
jednostajnym na przedziale
V. Niech
X1
i
ξ : Ω → R zmienn¡ losow¡ o rozkªadzie
η = min(ξ, 1 − ξ). Ile wynosi Eη , a ile E(η/(1 − η))?
b¦dzie przestrzeni¡ probabilistyczn¡, za±
X2
(0, 1).
Niech
b¦d¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkªadzie wykªadniczym z
g¦sto±ci¡ dan¡ wzorem:
f (t) = exp(−t)
dla
t > 0
i
f (t) = 0
dla
t ≤ 0.
Ile wynosi granica ci¡gu
prawdopodobie«stw warunkowych
lim P (min(X1 , X2 ) > R|X1 + X2 > 2R)?
R→∞
VI. Zmienna losowa
X
ma rozkªad Poissona
P (X = k) = e−λ
λk
k!
dla
k = 0, 1, 2, . . .
Wyznacz warto±¢ oczekiwan¡ zmiennej
VII. Niech zmienna losowa
η2 = 2ξ/(1 −
ma rozkªad Cauchy'ego. Jaki rozkªad maj¡ zmienne losowe
samym parametrze
P (Z = 1) = 1 − p,
λ,
X, Y , Z
b¦d¡ niezale»ne. Zaªó»my, »e
Z
0 < p < 1.
natomiast
gdzie
Y b¦d¡ niezale»nymi
1
1
powiednio, (n, ) i (k, ).
2
2
IX. Niech
η1 = 1/ξ
oraz
ξ 2 )?
VIII. Niech zmienne losowe
X
ξ
Y = X(X − 1).
i
X
i
Y
maj¡ rozkªad wykªadniczy o tym
ma rozkªad dwupunktowy Bernoulliego, to jest
Wyznacz rozkªad zmiennej losowej
P (Z = 0) = p
i
X
X+Y Z .
zmiennymi losowymi o rozkªadach Bernoulliego z parametrami, od-
X +Y.
X + Y i |X − Y |
a) Znajd¹ rozkªad zmiennej losowej
b) Sprawd¹ czy zmienne losowe
s¡ niezale»ne?
(Ω, Σ, P ) b¦dzie przestrzeni¡ probabilistyczn¡, za± ξ : Ω → R zmienn¡ losow¡ na tej przestrzeni.
n · P (ξ ≥ n) → 0 (n → ∞), gdzie:
a) P (ξ ∈ N) = 1 i E|ξ| < ∞,
b) E|ξ| < ∞,
2
c) D ξ < ∞.
X. Niech
Przy ka»dym zaªo»eniu a), b), c) z osobna poka», »e zachodzi:
XI. Rozkªad zmiennej losowej
XII. Wektor losowy
f (x, y) =
(X, Y )
η
ma ci¡gª¡ dystrybuant¦
F.
Znajd¹ rozkªad zmiennej
F (η).
ma rozkªad normalny o g¦sto±ci
1
1 x2 + y 2
exp[−
(
)]
2πσ 2
2
σ2
Wyznacz g¦sto±¢
Wyznacz g¦sto±¢
g
g
wektora losowego
wektora losowego
(U, V ), gdzie U = X + Y , V = X − Y .
Y
.
(U, V ) takiego, »e U 2 = X 2 + Y 2 i V = arctg X
17 maja 2011
I. W ka»dej z 4 urn jest 6 kul, przy czym w i-tej urnie jest
i kul biaªych.
Losujemy dwie urny a nast¦pnie
po jednej kuli z ka»dej wylosowanej urny. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e obie s¡ biaªe?
Czy odpowied¹ b¦dzie taka sama, je±li po wylosowaniu urn zmieszamy ich zawarto±¢ i wylosujemy z
12 kul dwie?
II. Mamy dwie monety, przy czym jedna jest sfaªszowana i orzeª wypada na niej ±rednio dwa razy na 5
rzutów. Dwukrotnie rzucamy jedn¡ z monet i wypadª dwa razy orzeª. Jakie jest prawdopodobie«stwo,
»e rzucali±my monet¡ symetryczn¡?
Wykonujemy jeszcze jeden rzut drug¡ monet¡ i znowu wypadª orzeª. Jakie jest teraz prawdopodobie«stwo, »e pierwsz¡ rzucali±my monet¡ symetryczn¡?
III. ‘ciany czworo±cianu foremnego ponumerowano liczbami naturalnymi od 1 do 4. Rozwa»my do±wiad-
Xi oznacza wynik i-tego rzutu.
Y = maxi=1,2,3 {Xi } − mini=1,2,3 {Xi }.
czenie trzykrotnego rzutu czworo±cianem. Niech
Znajd¹ rozkªad i warto±¢ oczekiwan¡ zmiennej
Jak¡ warto±¢ oczekiwan¡ ma
Czy zmienne
Y
i
Z
Z = X1 · X2 · X3 ?
s¡ niezale»ne?
max{X, Y } − min{X, Y }
X, Y
s¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi o
X oznacza liczb¦ reszek wyrzuconych przy n-krotnym
X
losowej X oraz zmiennej losowej Y = (−1) .
rzucie monet¡. Poda¢ rozkªad zmiennej
IV. Jaki rozkªad ma zmienna
je±li
rozkªadzie wykªadniczym?
Zestaw IX
I. Niech
II. Trzej chªopcy Adam, Bolek i Cezary graj¡ w nast¦puj¡c¡ gr¦: zªo»yli si¦ po jednej monecie, po czym
Adam podrzuca te monety do góry, a gdy spadn¡ zabiera te, które spadªy orªami do góry. Nast¦pnie
Bolek zbiera pozostaªe monety, podrzuca je i zabiera te, które spadªy orªami do góry.
Pozostaªe
ξ1 oznacza liczb¦ monet wygranych przez Adama, ξ2 oznacza liczb¦
monet wygranych przez Bolka, ξ3 oznacza liczb¦ monet, które przypadªy Cezaremu. Wyznaczy¢
rozkªady prawdopodobie«stwa zmiennych losowych ξ1 , ξ2 , ξ3 .
monety zabiera Cezary.
Niech
III. Dwóch t¦gich posªów z konkurencyjnych partii Paraboloida i Sto»ek oraz Pªaszczyzna Ortogonalna
zaªo»yªo si¦, który z nich odchudzaj¡c si¦ szybciej osi¡gnie pewien okre±lony uªamek wyj±ciowej wagi.
Zaªó»my, »e czasy doj±cia do ko«cowej wagi przez ka»dego z posªów s¡ zmiennymi niezale»nymi o
rozkªadzie wykªadniczym, oraz »e warto±¢ oczekiwana tych czasów wynosi, odpowiednio, dla posªa
PiSu: 3 miesiace, za± dla posªa PO: 2 miesiace. Oblicz prawdopodobie«stwo wygrania zakªadu przez
ka»dego z posªów.
IV. Na jednej z wysp Archipelagu Galapagos mieszkaj¡ dwa podobne do siebie gatunki »óªwi: »óªw olbrzymi i »óªw Darwina. Wiadomo, »e populacja »óªwi olbrzymich liczy
Darwina
20
sztuk.
Naukowcy podzielili wysp¦ na
15
rejonów.
30
sztuk, za± populacja »óªwi
›óªwie »yj¡ samotnie, zamieszkuj¡
caª¡ wysp¦ i prawdopodobie«stwo napotkania którego± z nich jest w ka»dym rejonie takie same. W
jednym z obszarów naukowcy zaobserwowali trzy »óªwie, nie mog¡ jednak stwierdzi¢ do jakiego gatunku nale»¡. Która z czterech mo»liwo±ci (3 »óªwie olbrzymie, 2 »óªwie olbrzymie i 1 »óªw Darwina,
2 »óªwie Darwina i 1 »óªw olbrzymi, 3 »óªwie Darwina) jest najbardziej prawdopodobna? Oszacuj jej
prawdopodobie«stwo korzystaj¡c z prawa Poissona.
V. Jeden z pracowników Instytutu Matematyki UJ zadaje na egzaminie trzy pytania.
Ocenia ka»de z
nich z osobna w skali: 1, 2, 3, 4, 5 i skre±la najwy»sz¡ oraz najni»sz¡ ocen¦. Ta, która zostanie jest
ocen¡ ko«cow¡. Je»eli prawdopodobie«stwo otrzymania dowolnej oceny jest w przypadku ka»dego z
pyta« takie same i równe
1
5 oraz oceny z poszczególnych pyta« s¡ niezale»ne, to jak w takim razie
wygl¡da rozkªad oceny ko«cowej i ile wynosi jej warto±¢ oczekiwana?
VI.
60%
ludzi woli czekolad¦ gorzk¡ od mlecznej. Osoba organizuj¡ca przyj¦cie dla
ka»da ma otrzyma¢ jako prezent pudeªeczko czekoladek, przygotowuje
gorzkimi i
45 z mlecznymi.
70
100
osób, z których
pudeªeczek z czekoladkami
Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e ka»dy z go±ci b¦dzie mógª sobie wybra¢
taki rodzaj czekoladek, jaki mu odpowiada?
0, 05. Ile detali powinna wyprodunajmniej 0, 9 przynajmniej 100 spo±ród nich
VII. Prawdopodobie«stwo wyprodukowania wadliwego detalu wynosi
kowa¢ fabryka, aby z prawdopodobie«stwem równym co
nie byªo wybrakowanych.
a) Podaj oszacowanie w oparciu o nierówno±¢ Czebyszewa.
b) Podaj oszacowanie w oparciu o centralne twierdzenie graniczne.
Pomocnicza tabela:
p = 0, 95, ζn = √np−100
np(1−p)
:
n 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115
ζn 0, 31 0, 73 1, 15 1, 56 1, 97 2, 37 2, 77 3, 17 3, 57 3, 96
VIII. Okres obiegu planetoidy Swaro»yc wokóª Sªo«ca (rok swaro»ycja«ski) podlega rocznym (licz¡c lata
swaro»ycja«skie) losowym wahaniom wokóª warto±ci
wi¦ksz¡ od zera.
x
sekund (ziemskich), gdzie
x
jest du»¡ liczb¡
Wahania te s¡ zmiennymi losowymi niezale»nymi maj¡cymi rozkªad jednostajny
(w sekundach) na odcinku
[(x − 1), (x + 1)].
Czy z prawdopodobie«stwem wi¦kszym ni» 0,95 mo»na
stwierdzi¢, »e w ci¡gu tysi¡ca lat swaro»ycja«skich caªkowite odchylenie sumy okresów obiegu od
spodziewanej warto±ci
IX.
Chªopcy radarowcy.
1000x
nie przekroczy minuty?
Przy pewnej niezbyt ruchliwej trasie (w godzinach szczytu 15 samochodów/min),
na której obowi¡zuje ograniczenie pr¦dko±ci do 70 km/ h, policja umie±ciªa nowoczesny fotoradar.
Ka»dy samochód, przeje»d»aj¡cy monitorowany odcinek drogi z pr¦dko±ci¡ wi¦ksz¡ ni» pr¦dko±¢
v
na jak¡ zostaª zaprogramowany radar, zostaje sfotografowany. Niestety, ze wzgl¦du na ograniczenia
technologiczne, fotoradar mo»e wykona¢ i przesªa¢ do centrum obróbki danych jedynie 90 zdj¦¢ w
ci¡gu godziny w przypadku wi¦kszej liczby zdj¦¢ aparatura blokuje si¦. Policja przekonaªa si¦ o
tym, gdy ustawiªa pr¦dko±¢ krytyczna
v = 75km/
h radar blokowaª si¦ kilka razy dziennie.
oparciu o centralne twierdzenie graniczne oce«, czy radar nastawiony na pr¦dko±¢ krytyczn¡
W
v =
85km/ h b¦dzie dziaªaª w szczycie bezawaryjnie przez godzin¦ z prawdopodobie«stwem wi¦kszym ni»
0, 99. Zakªadamy, »e pr¦dko±ci samochodów s¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi, maj¡cymi rozkªad
normalny o parametrach N (70 km/h, 10 km/h).
Wskazówka: je»eli
X.
Referendum.
0<p<
1
10 , to
p
p(1 − p) ≤
3
10 .
W gªosowaniu nad przyj¦ciem Traktatu Konstytucyjnego Oceanii padªo w Australii
dokªadnie tyle samo gªosów za, co i przeciw. Zapytano po wyj±ciu z lokali wyborczych 750 obywateli
exit
losowo wybranych sposród kilkunastu milionów uczestnicz¡cych w referendum, jak gªosowali (
poll).
Zakªadaj¡c, »e wszyscy oni mówi¡ prawd¦, oce« wykorzystuj¡c centralne twierdzenie graniczne,
czy szansa na to, aby przeszªo 53% z nich odpowiedziaªo, »e gªosowali za przyj¦ciem Traktatu jest
mniejsza czy wi¦ksza ni» 5%?