Część XV

–
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki
dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego
Inżynieria i Gospodarka Wodna
w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość”
Projekt „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość” jest współfinansowany
przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Geometria analityczna w R2
15. Geometria analityczna w R2
1. Wektory
−−→
Jeżeli A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) ∈ R2 , wtedy wektor AB = [x2 − x1 , y2 − y1 ].
Wersorem nazywamy wektor jednostkowy, tzn. wektor o długości 1.
Wektory ⃗i = [1, 0], ⃗j = [0, 1] nazywamy wersorami odpowiednio osi OX, OY .
Niech ⃗u = [x1 , y1 ], ⃗v = [x2 , y2 ], λ ∈ R.
• ⃗u + ⃗v = [x1 + x2 , y1 + y2 ].
• ⃗u − ⃗v = [x1 − x2 , y1 − y2 ].
• λ⃗u = [λx1 , λy1 ].
Długość wektora ⃗u jest określona wzorem
|⃗x| =
√
x21
x1
+
y12 .
x
x2
Iloczyn skalarny wektorów ⃗u = [x1 , y1 ], ⃗v = [x2 , y2 ] określamy wzorem
⃗u ◦ ⃗v = x1 x2 + y1 y2 .
Jeżeli ⃗u i ⃗v są wektorami niezerowymi, to kąt φ między tymi wektorami możemy wyznaczyć
z zależności
⃗u ◦ ⃗v
cos φ =
.
|⃗u| · |⃗v |
Jeśli ⃗u ̸= 0, ⃗v ̸= 0, to:
• ⃗u ∥ ⃗v ⇐⇒ x1 y2 = x2 y1 ,
• ⃗u ⊥ ⃗v ⇐⇒ ⃗u ◦ ⃗v = 0
Pole trójkąta ABC, gdzie A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ), C(x3 , y3 ) wyraża się wzorem
P = 21 det
[
x2 − x1
x3 − x1
]
y2 − y1 1)
.
y3 − y1
2. Prosta na płaszczyźnie
Równanie kierunkowe prostej ma postać
y
l
l : y = ax + b,
gdzie a nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej l.
a = tg α, gdzie α jest kątem nachylenia prostej l
do osi OX.
[
1)
76
det
a
c
b
d
]
= ad − bc
y=ax+b
a
0
x
Geometria analityczna w R2
Kątem φ między prostymi nazywamy mniejszy z wyznaczonych przez nie kątów, φ ∈ (0, π2 ].
Przyjmujemy, że kąt między prostymi równoległymi jest równy 0.
y
l2
?
l1
x
0
Weźmy dwie dowolne proste dane równaniami l1 : y = a1 x + b1 , l2 : y = a2 x + b2 .
• l1 ∥ l2 ⇐⇒ a1 = a2 .
• l1 ⊥ l2 ⇐⇒ a1 · a2 = −1.
• Kąt φ między prostymi l1 i l2 możemy wyznaczyć ze wzoru
a1 − a2 .
1+a a tg φ = 1 2
Równanie ogólne prostej
l : Ax + By + C = 0,
gdzie A, B są współrzędnymi wektora prostopadłego do prostej.
Wektor ⃗n = [A, B] nazywamy wektorem normalnym prostej l.
Równanie prostej przechodzącej przez punkt P (x0 , y0 ) oraz prostopadłej do niezerowego wektora
⃗n = [A, B] ma postać
l : A(x − x0 ) + B(y − y0 ) = 0.
Weźmy dwie dowolne proste dane równaniami l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0, l2 : A2 x + B2 y + C2 = 0.
Wektory normalne tych prostych oznaczmy odpowiednio przez ⃗n1 = [A1 , B1 ] i ⃗n2 = [A2 , B2 ].
Wtedy:
• l1 ∥ l2 ⇐⇒ ⃗n1 ∥ ⃗n2 .
• l1 ⊥ l2 ⇐⇒ ⃗n1 ⊥ ⃗n2 .
• Kąt φ między prostymi l1 i l2 możemy wyznaczyć ze wzoru
cos φ =
|⃗n1 ◦ ⃗n2 |
.
|⃗n1 | · |⃗n2 |
Odległość punktu P (x0 , y0 ) od prostej l : Ax + By + C = 0 wyraża się wzorem
d=
|Ax√0 +By0 +C|
.
A2 +B 2
Równanie odcinkowe prostej ma postać
x y
+ = 1,
a
b
gdzie a, b ̸= 0. Prosta ta przecina osie OX, OY
układu współrzędnych odpowiednio w punktach
(a, 0), (0, b).
y
x
77
Geometria analityczna w R2
Równanie kanoniczne prostej przechodzącej przez punkt P (x0 , y0 ) oraz równoległej do niezerowego wektora ⃗u = [a, b] ma postać
l:
x − x0
y − y0
=
.
a
b
Wektor ⃗u nazywamy wektorem kierunkowym prostej l.
Uwaga! W mianownikach mogą pojawiać się zera, bo kreska nie jest tu symbolem dzielenia, tylko
proporcji.
Weźmy dwie dowolne proste dane równaniami
l1 :
x−x1
a1
=
y−y1
b1
,
l2 :
x−x2
a2
=
y−y2
b2
.
Wektory kierunkowe tych prostych oznaczmy odpowiednio przez ⃗u1 = [a1 , b1 ] i ⃗u2 = [a2 , b2 ]. Wtedy:
• l1 ∥ l2 ⇐⇒ ⃗u1 ∥ ⃗u2 .
• l1 ⊥ l2 ⇐⇒ ⃗u1 ⊥ ⃗u2 .
• Kąt φ między prostymi l1 i l2 możemy wyznaczyć ze wzoru
cos φ =
|⃗u1 ◦ ⃗u2 |
.
|⃗u1 | · |⃗u2 |
Równanie parametryczne prostej przechodzącej przez punkt P (x0 , y0 ) oraz równoległej do
niezerowego wektora ⃗u = [a, b] ma postać
{
l:
x = x0 + at
gdzie t ∈ R.
y = y0 + b t,
3. Okrąg, elipsa
Równanie okręgu o środku w punkcie S(a, b) i promieniu r ma postać
(x − a)2 + (y − b)2 = r2 .
y
(a,b)
x
Równanie elipsy o ogniskach a, b i środku w punkcie S(0, 0) jest postaci
x2 y 2
+ 2 = 1.
a2
b
y
b
a
x
Zadania
1. Obliczyć odległość punktów A i B, jeżeli A(−3, 1), B(1, 7).
2. Wyznaczyć pole kwadratu ABCD, jeśli A(2, 3) i C(1, 2).
78
Geometria analityczna w R2
3. Na osi OY znaleźć punkt równo oddalony od początku układu i od punktu A(4, 8).
4. Wyznaczyć współrzędne środka odcinka AB, jeśli A(2, 5) i B(−4, 1).
5. Dane są punkty A(3, −1) i B(2, 1). Wyznaczyć punkt symetryczny do A względem punktu B.
6. Które z punktów A(1, 1), B(−1, 2), C(2, 1) leżą na prostej x + 2y − 3 = 0?
7. Dla jakich wartości parametru m prosta mx − y + 1 = 0 jest równoległa do osi OX?
8. Dla jakich wartości współczynników A i B prosta Ax + By + 1 = 0 tworzy z osią OX kąt 45◦ ?
9. Przez punkt A(4, 6) poprowadzić prostą odcinającą na osiach odcinki jednakowej długości.
10. Przez punkt A(2, −1) poprowadzić prostą równoległą do prostej 2x + 3y + 2 = 0.
11. Wyznaczyć kąt między prostymi: 2x + y = 0, 3x − y − 4 = 0.
12. Dany jest wierzchołek kwadratu A(1, −3) i jedna z jego przekątnych y = 2x. Wyznaczyć równania
boków kwadratu.
√
13. Przez początek układu współrzędnych poprowadzić prostą oddaloną od punktu (3, 4) o 5.
14. Napisać równanie okręgu o środku S(−4, 3) i promieniu 5.
15. Napisać równanie okręgu o środku S(−2, 1) i przechodzącego przez początek układu.
16. Napisać równanie okręgu o środku leżącym na prostej x + y − 7 = 0 i przechodzącego przez punkty
A(0, 0) i B(1, 7).
17. Napisać równanie okręgu przechodzącego przez punkt (1, 0) i stycznego do prostych 2x + y + 2 = 0
oraz 2x + y − 18 = 0.
18. Znaleźć półosie elipsy danej równaniem: 4x2 + 9y 2 = 36.
19. Znaleźć półosie oraz środek symetrii elipsy danej równaniem: x2 + 4y 2 + 2x + 16y + 16 = 0.
79