Teoria Chaosu

Teoria Chaosu
Proste modele ze złożonym zachowaniem: o teorii chaosu w ekologii.
Zanim zaczniemy...
Komputer - symulacja wizualizacja w fizyce.
Zanim zaczniemy
Prowadzimy pilotażowe warsztaty
w szkołach,
chętnych prosimy o kontakt.
Robert May, Oxford 1976
W latach siedemdziesiątych XX wieku, na
Uniwersytecie w Oxford,
australijski uczony Robert May zajmował się
teoretycznymi aspektami ekologii.
Robert May, Oxford 1976
Ekologia Teoretyczna
dyscyplina naukowa poświęcona badaniu
układów ekologicznych z wykorzystaniem
metod teoretycznych, takich jak:
● modeli matematycznych
● symulacji komputerowych
● zaawansowanej analizy danych.
Co badał Robert May w 1976?
Rozważmy populację owadów.
Niech Ni oznacza liczebność w i-tym roku.
Równanie ewolucji może wyglądać tak:
Co badał Robert May w 1976?
a = 0.5
x = 142
for i in range(10):
x = a*x
print x
link
71.0000000000000
35.5000000000000
17.7500000000000
8.87500000000000
4.43750000000000
2.21875000000000
1.10937500000000
0.554687500000000
0.277343750000000
0.138671875000000
Co badał Robert May w 1976?
a = 1.5
x = 142
for i in range(10):
x = a*x
print x
link
213.000000000000
319.500000000000
479.250000000000
718.875000000000
1078.31250000000
1617.46875000000
2426.20312500000
3639.30468750000
5458.95703125000
8188.43554687500
Co badał Robert May w 1976?
Niech pożywienie będzie ograniczone:
● mało osobników - rozmnażają się bez
ograniczenia
● dużo osobników - brakuje pożywienia i
rozmnażają się wolniej
● za dużo osobników, wszystkie giną z głodu!
Mapa logistyczna
Własności mapy logistycznej
a = 0.5
x = 0.45
for i in range(10):
x = a*x*(1-x)
print x
0.123750000000000
0.0542179687500000
0.0256391903073120
0.0124909111138487
0.00616744412669733
0.00306470337982070
0.00152765548650721
0.000762660877610875
0.000381039612998319
Permalink
0.000190447210905822
Punkt stacjonarny f(x)=x
a = 2.0
x = 0.1
for i in range(10):
x = a*x*(1-x)
print x
0.180000000000000
0.295200000000000
0.416113920000000
0.485926251164467
0.499603859187429
0.499999686144913
0.499999999999803
0.500000000000000
0.500000000000000
0.500000000000000
Punkt stacjonarny o okresie 2
a = 3.2
x = 0.45
for i in range(10):
x = a*x*(1-x)
print x
0.792000000000000
0.527155200000000
0.797640304361472
0.516512797502753
0.799127448059626
0.513672863415475
0.799401768979270
0.513147458342669
0.799446861885209
0.513061046102722
Bifurkacje
Pajęczyna w służbie matematyka
f(x1)
f(x2)
f(x0)
x0
x1
x2
Wykres pajęczynowy
Wykres pajęczynowy
Wykres pajęczynowy
Wykres pajęczynowy
Wykres pajęczynowy
Wykres pajęczynowy
Wykres pajęczynowy
Jednocześnie
symulowaliśmy
dwie trajektorie
Punkt startowe
różną sie o
0.000001
Wykres pajęczynowy
Jednocześnie
symulowaliśmy
dwie trajektorie
Punkt startowe
różną sie o
0.000001
Samodzielna zabawa w Sage
var('r,x0,n')
@interact
def cobweb(r=slider(0,4.001,0.001,default=2),x0=slider(0,1,0.1,default=0.4)):
f(x)=r*x*(1-x)
p = plot(f(x)==0,(x,0,1),ymin=-0.1,ymax=1.5,xmin=0,xmax=1.5,color='black')
p += plot(x,(x,0,1),color='green',figsize=7)
for n in range(50):
th = 1
if n>45:
th = 1.5
color='red'
elif n < 5:
color='blue'
th=1.5
else:
color='grey'
th =0.5
l1 = line([(x0,x0),(x0,f(x0))],color=color,thickness=th)
l2 = line([(x0,f(x0)),(f(x0),f(x0))],\
color=color,thickness=th,xmin=0,xmax=1,ymin=0,ymax=1)
p = p+l1+l2
x0 = f(x0)
p.axes_labels(["$x_n$","$x_{n+1}$"])
p.show(aspect_ratio=1)
Permalink
Punkty stałe mapy logistycznej
Mapa ma punkt stały jeżeli odwzorowanie
f go nie zmienia:
Diagram bifurkacyjny
Punkty stałe mapy logistycznej
Punkt o okresie 2
var('a x')
f(x) = a*x*(1-x)
show( expand( f(f(x))==x) )
s = solve(f(f(x))==x,x)
show(s)
Permalink
Diagram bifurkacyjny
Diagram bifurkacyjny
a=3
.569
94
Diagram bifurkacyjny
Diagram bifurkacyjny
Diagram bifurkacyjny
Diagram bifurkacyjny
Diagram bifurkacyjny
Generacja
diagramu
bifurkacyjnego
Permalink
import numpy as np
Nx = 100
Na = 400
x = np.linspace(0,1,Nx)
x = x + np.zeros((Na,Nx))
x = np.transpose(x)
a=np.linspace(1,4,Na)
a=a+np.zeros((Nx,Na))
for i in range(1000):
x=a*x*(1-x)
pt = [[a_,x_] for a_,x_ in zip(a.flatten(),x.flatten())]
point(pt,size=1,figsize=(7,5))
Benoît Mandelbrot, 1967
Pytanie:
“Jaka jest długość linii brzegowej Anglii?”
przyczyniło się do odkrycia Fraktali: obiekty o
ułamkowym wymiarze i własnościa samopodobieństwa.
Jaka jest długość linii brzegowej Anglii?
jednostka: 200km,
wynik: 2400km
jednostka: 50km,
wynik: 3400km
Jaka jest długość linii brzegowej Anglii?
Źle postawione zagadnienie:
długość brzegu zdaje się
rosnąć do nieskończoności!!!
Okazuje się, że brzeg Anglii
ma wymiar ok 1.25!
Co to jest wymiar?
punkt,
d=0
odcinek,
d=1
koło,
d=2
cylinder,
d=3
Co to jest wymiar?
Wymiar korelacyjny:
Z jaką potęgą rośnie liczba punktów w
otoczeniu punktu ze zbioru?
Fraktal: objekt z ułamkowym wymiarem
Zbiór Cantora, wymiar: 0.6309
Fraktal: objekt z ułamkowym wymiarem
Krzywa Kocha,
wymiar d=1.26186
Diagram bifurkacyjny
a
4
9
9
6
5
= 3.
Chaos deterministyczny w a=4
Nasi i nienasi Pionierzy Chaotyczni
Andrzej Lasota
James Alan Yorke
Układ chaotyczny
Posiada czułość na warunki startowe.
Nieregularność rozwiązań.
Niezwykle często występuje
w fizyce.
Proste układy posiadają niezwykle
skomplikowane zachowanie.
Majac deterministycze reguły, praktycznie nie
znamy przyszłości.
dziekuję za uwagę!